?acaae 1

324
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Приложение 3
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Рассмотрим двумерное линейное пространство , изоморфное1) линейному пространству радиус-векторов на плоскости.
Каждый элемент z пространства  в некотором базисе однозначно задается двухком1

понентным столбцом
. Если за базисные элементы пространства  принять g1 
и
0

g2 
0
,
то
произвольный
1
1
0
z 

  g1   g 2 .
0
1
элемент
z


может
быть
представлен
в
виде
Введем операцию умножения элементов пространства  по следующему правилу:
Определение
Пр.3.0.1.
Результатом операции умножения элементов z1 

является
   1 2
.
z1z 2  1 2
1 2   2 1
странства
Определение
Пр.3.0.2.
элемент
также
1
1
и z2 
этого
2
2
про-
пространства
1
0
, g2 
}, в
0
1
котором введена операция умножения элементов согласно определению
Пр.3.0.1., называется множеством комплексных чисел, а каждый элемент
z  - комплексным числом.
Двумерное линейное пространство , с базисом { g1 
) Изоморфизм (см §7.5.) в данном случае означает, что операции сложения и умножения на вещественное число выполняются в данном множестве так же, как и для векторов на плоскости.
1
325
Приложение 3
Комплексные числа
Замечания: 1.
Операция умножения комплексных чисел коммутативна и обладает распределительным свойством относительно операции сложения, что следует
непосредственно из ее определения.
2. Операция умножения комплексных чисел позволяет ввести операцию деления: частным от деления комплексного числа z1 на ненулевое z 2 называется
комплексное число z  такое, что z1  z2 z  .

, где 
0
- произвольное вещественное число, в силу определения Пр.3.0.2., обладает
всеми свойствами вещественных чисел, и потому можно говорить, что вещественные числа есть подмножество комплексных чисел.
3. Нетрудно убедиться, что подмножество комплексных чисел вида
На практике более употребительна специальная, упрощенная форма записи ком1
0

  g1   g 2 символ g1 опускается (как
плексных чисел: в представлении z  
0
1
бы заменяется не записываемым явно множителем “единица”), а символ g 2 заменяется символом i (называемым иногда “мнимой единицей”). Тогда произвольное комплексное число z
представимо как z     i , а записи операций с комплексными числами принимают следующий вид:
z1  z 2  (1  1i )  ( 2   2 i )  (1   2 )  ( 1   2 )i;
 z   (   i)  ( )  (  )i;
z1 z 2  (1  1i )( 2   2 i )  (1 2  1  2 )  (1  2   2 1 )i.
Данная форма записи удобна тем, что с комплексными числами можно оперировать
как с обычными алгебраическими двучленами, если принимать во внимание, что i 2  1 , поскольку
0 0
1
i 2  ii  (0  1i )(0  1i ) 

 (1)  0i  1.
1 1
0
Тогда, перемножая комплексные числа как двучлены и заменяя повсюду i 2 на число
(1) , мы формально приходим к соотношению
z1z2  (1  1i )( 2   2i )  1 2  1 i   2 1i  1 2i 2  (1 2  1 2 )  (1 2   2 1 )i ,
которое согласуется с введенным выше определением Пр.3.0.1.
326
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Достаточно просто может выполняться также и операция деления:
z1 1  1i
(  1i )( 2   2i ) (1 2  1 2 )  ( 2 1  1 2 )i

 1


z2  2   2i ( 2   2i )( 2   2i )
 22   22

1 2  1 2  2 1  1 2

i.
 22   22
 22   22
Для комплексного числа z     i :
Определение
Пр.3.0.3.
1. Вещественное число  называется вещественной частью z и обозначается Re z .
2. Вещественное число  называется мнимой частью z и обозначается Im z .
3. Вещественное число    2   2 называется модулем z и обозначается z .
4. Вещественное
sin  

2  2
число

такое,
что
cos  

2  2
и
, называется аргументом z и обозначается arg z ,
при условии, что z  0 .
5. Комплексное число    i называется комплексно сопряженным
числу z и обозначается z .
Замечания: 1.
Определения, аналогичные пунктам 1, 2 и 5, могут быть сделаны и для
матриц, элементами которых являются комплексные числа.
2. Поскольку существует взаимно однозначное соответствие множества радиус-векторов на плоскости и множества комплексных чисел, то комплексные
числа можно изображать точками на плоскости.
Свойства комплексного сопряжения
Имеют место следующие, легко проверяемые свойства для любых z, z1, z2   :
1. ( z )  z ;
327
Приложение 3
Комплексные числа
2. Число z будет вещественным тогда и только тогда, когда z  z ;
3. Число z z   2   2 всегда вещественное и неотрицательное;
4. z1  z 2  z1  z 2
5. Если Pn ( z ) 
;
z1 z 2  z1z 2 ;
n
 k z k
многочлен с вещественными коэффициентами,
k 0
имеющий корень , то этот многочлен также будет иметь и корень  .
n
Действительно, пусть
  k k
 0 , тогда
k 0
n
n
k 0
k 0
0  0   k  k   k  .
k
Замечание: если
алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами нечетной степени имеет, по крайней мере, один вещественный корень.
Задача
Пр.3.0.1.
На множестве комплексных чисел решить уравнение z 2  1  0 .
Решение:
Перепишем


это
уравнение,
приняв,
что
z   i 

,

то
есть

1
0
. Заметим, что здесь мы воспользовались развернутыми



0
0
представлениями чисел 1  1  0 i 
1
0
и 0  0  0i 
.
0
0
Выполнив умножение и сложение в правой части уравнения, приходим к равен0
 2   2 1
ству
. Но поскольку два комплексных числа равны тогда и

0
2
только тогда, когда одновременно равны их вещественные и мнимые части, то мы
получаем следующую систему нелинейных уравнений относительно вещественных неизвестных  и  :
 2   2  1  0
,


2  0
328
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
  0    0
которая, как легко видеть, имеет два решения 
и 
. Поэтому исходное
   1   1
0
0
уравнение также имеет два решения z1 
 0  1i  i и z 2 
 0  (1)i  i .
1
1
Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел
Исходя из определения Пр.3.0.3., можно получить специальную форму записи ненулевых комплексных чисел, называемую тригонометрической:
z    i   2   2 (

 
2
2


 2
2
i)   (cos   i sin  ) .
Тригонометрическая форма записи комплексных чисел соответствует заданию точки, изображающей комплексное число, в полярной системе координат.
Пусть
-
-
-
Im z
направляющим элементом полярной оси служит элемент
1
g1 
,
0
значение модуля комплексного
числа z равно  - расстоянию
от начала координат до точки,
изображающей данное число,
значение аргумента arg z совпадает с величиной полярного
угла , отсчитываемого против
часовой стрелки,

z

i
g2
0

g1
1

Re z
Рисунок Пр.3.0.1.
тогда, согласно определению Пр.3.0.3., комплексное число z     i представимо в тригонометрической форме
z   (cos   i sin  ) .
329
Приложение 3
Комплексные числа
Другой часто используемой формой представления комплексных чисел, является их
экспоненциальная форма, которая получается преобразованием тригонометрической формы
по формуле Эйлера:
eiz  cos z  i sin z , z   .
В этом случае из z     i  z (cos   i sin  ) следует, что z   ei .
Использование экспоненциальной формы записи комплексных чисел может упростить решение некоторых задач, поскольку при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются1).
Например,
z1z2  1e
или
i  (e
i
Задача
Пр.3.0.2.
Решение:
i1
i (   2 k ) i
2
)
 2e

e
i 2
 1 2e
  2 k
2
,
i (1   2 )
k  0,  1,  2, ... .
Найти какое-либо вещественное решение уравнения cos x  5 .
Из формулы Эйлера следует, что cos z 
уравнение можно записать в виде
ei
x
eiz  e iz
2
 e i
2
x
, z   , поэтому данное
 5 или y 
1
 10  0 , где
y
y  ei x .
Откуда находим, что ei x
5 2
6 , то есть i x  ln(5  2 6 ) или окончатель-
но x   ln 2 (5  2 6 ) .
) Обоснование обобщения свойств экспоненциальной функции вещественного аргумента на комплексный случай приводится в курсе ТФКП.
1