Д.ф.-м.н., проф. Блохин А.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Д.ф.-м.н., проф. Блохин А.М.
Обыкновенные дифференциальные уравнения
3-й и 4-й семестры, 2013/14 уч.год
1.
Организационно-методический раздел.
1. Название курса: Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Курс
обыкновенных дифференциальных уравнений с одной стороны является
общематематической дисциплиной, а с другой стороны выступает как продолжение и
дополнение к курсу математического анализа.
2. Цели и задачи курса. Дисциплина ”Обыкновенные дифференциальные уравнения”
является основой для дальнейшего изучения таких разделов математики, как уравнения
математической физики, функциональный анализ, вычислительная математика. С
другой стороны, хорошие знания по этому курсу необходимы студентам, изучающим
курсы теоретической механики, механики сплошной среды и т.д.
3. Требования к уровню освоения содержания курса. По окончанию изучения
указанной дисциплины студент должен без труда уметь находить решения простейших
обыкновенных дифференциальных уравнений.
4. Формы контроля. Для контроля усвоения дисциплины предусмотрен зачет (после 3-го
семестра) и экзамен (после 4-го семестра). В течении каждого семестра выполняются
контрольные работы (не реже 1-го раза в месяц), принимаются коллоквиумы (1-2
коллоквиума в семестр).
2.
Содержание дисциплины.
1. Новизна курса: в целенаправленном использовании понятия матричной экспоненты при
изложении материала курса.
2. Распределение часов.
Лекции: 68 часов.
Консультации: 27 часов.
Прием экзаменов: 48 часов.
Семинары: 68 часов.
Зачеты: 4 часа (на группу).
Проверка контрольных: 48 часов.
3. Содержание отдельных разделов и тем.
2.3.1 Линейные системы уравнений с постоянными коэффициентами.
Единственность и существование решений у однородных уравнений. Пространство
решений системы с постоянными коэффициентами и одного уравнения произвольного
порядка. Фундаментальная система решений и определитель ее матрицы.
Фундаментальная матрица и матричная экспонента. Вычисление матричной экспоненты
для некоторых специальных матриц. Каноническое представление матричной
экспоненты. Фундаментальные системы решений одного линейного уравнения с
постоянными коэффициентами.
2.3.2
Система
неоднородных
линейных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами. Теорема о непрерывной зависимости решений от параметра.
2.3.3
Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами.
Априорная оценка решений. Существование и единственность решения задачи
Коши. Основные свойства решений. Уравнение произвольного порядка с
переменными коэффициентами.
2.3.4
Существование и единственность решений не обязательно линейных систем
дифференциальных уравнений с достаточно гладкими правыми частями.
Лемма Адамара. Обсуждение утверждений локальной теоремы существования.
Достаточные условия для существования решений в целом.
2.3.5
Непрерывная дифференцируемая зависимость решений от параметра.
Примеры на теорему о дифференцируемости решений по параметру.
2.3.6
Определение устойчивости и асимптотической устойчивости. Устойчивость
и неустойчивость нулевого решения линейной системы в зависимости от
расположения собственных значений. Матричное уравнение Ляпунова. Функции
Ляпунова. Критерии устойчивости и неустойчивости.
2.3.7
Первые интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений и
уравнения в частных производных первого порядка. Представление общего
решения линейного однородного уравнения с частными производными.
Квазилинейные уравнения с частными производными. Уравнение ГамильтонаЯкоби. Условие интегрируемости уравнений u xi  Ai ( x u ) , i  1 n
2.3.8
Краевые задачи для линейных систем уравнений первого порядка. Матрица
Грина. Собственные значения. Ограниченные решения линейных неоднородных
систем с постоянными коэффициентами. Краевые условия, удовлетворяющие
условию Лопатинского. Линейное уравнение 2-го порядка.
2.4 Перечень примерных задач, позволяющих контролировать степень усвоения
материала курса.
1. Докажите неравенства Куранта
min ( A)  y 1  ( Ay y )  max ( A)  y 2 
Здесь A( A ) - эрмитова матрица, min ( A) , max ( A) - наименьшее и наибольшее
собственные значения матрицы A.
2. Найдите такие вектора y , на которых достигаются равенства в левом и правом неравенствах
Куранта
min ( A)  y 2  ( Ay y )  max ( A)  y 2 
3. Докажите неравенство
 A   A E
где  A  max( A Ay y ) - операторная норма матрицы A,
 y1
 A E 
n
a
ij
i  j 1
2 - евклидова норма матрицы A  (aij ) .
4. Докажите неравенство
 Am   A  
m
где m  0 - целое число.
5. Докажите неравенство
 Ay  A    y  
Здесь A - квадратная матрица порядка N .
6. Докажите, что  A  0  A  0N . Здесь A - квадратная матрица порядка N , 0 N - нулевая
матрица порядка N .
7. Построить векторный ряд для решения системы
y  Ay
где
 0 1
A

1 0 


y00 


y20 
y(0)  y9  


8. Построить векторный ряд для решения системы
y  Ay
где


2 2 0
 y10 




A   0 2 2   y (0)  y0   y40  


0 0 2
y 


 30 
9. Доказать равномерную сходимость рядов
t
tk
y0  Ay0    M k y0  
1
k
и
mk 1 k
0  Ay0   
A y0  
(k  1)
где y0 - постоянный вектор, A - матрица порядка N с постоянными коэффициентами,
 t  T   .
10. Пусть
1 0
5 1
A
 B  

0 2
0 0
Покажите, что
etA  etAetB 
11. Докажите неравенство треугольника
 A  B  A    B 
где A , B - квадратные матрицы порядка N .
12. Покажите, что
et ( A B )  etA ntB  AB  BA
13. Пусть
n
l
k 0
k 0
P( A)   pk Ak  Q( A)   qk Ak 
где pi , i  0 k , q j , j  0 l - некоторые постоянные.
Покажите, что et ( P Q )  etP etQ 
14. Докажите, что для любой матрицы A  (aij ) 
 aij  A  
15. Доказать, что произведение двух верхних треугольных матриц будет снова верхней
треугольной матрицей. Вывести отсюда утверждение, что etA , где A - верхняя треугольная
матрица, будет тоже верхней треугольной матрицей.
16. Показать, что решение Задача Коши для матричного уравнения
X (t )  X (t ) B X (0)  C
дается формулой X (t )  Ce Bt 
17. Пусть (см. Теорему Шура) A  U U  Доказать, что
 A    
Здесь  - верхняя треугольная матрица.
18. Показать, что решение матричного уравнения
X (t )  AX (t )  X (t ) B X (0)  C
дается формулой
X (t )  e At Ce Bt 
19. Покажите, что если уравнение с вещественными коэффициентами
x ( N )  p1 x ( N 8)    pN 1 x  pN x  0
имеет некратные корни 1 2  N , среди которых есть пара комплексно сопряженных
 t
( j  j 1   j ) , то в фундаментальной системе решений можно комплексные экспоненты e j ,
e j заменить на вещественные решения et cos( t ) et sin( t ) ( j    i )
t
20. Постройте для уравнения с вещественными коэффициентами и комплексными корнями
вещественную фундаментальную систему, в случае, если среди корней есть кратные.
21. Покажите, что для уравнения с вещественными коэффициентами совокупность частных
решений
t 1t
t k1 1 1t
1t
x1 (t )  e  x2 (t )  e … xk1 (t ) 
e 
1
(k1  1)
t 2t
t k2 1 2t
xk1 1 (t )  e  xk1  2 (t )  e … xk1  k2 (t ) 
e …
1
(k2  1)
2t
t kP 1 Pt
xN (t ) 
e 
(k P  1)
p
где   1 является корнем кратности k1 и т.д. ( ki  N ) образует фундаментальную
i 1
систему решений.
22. Докажите, что матричная экспонента etA непрерывно зависит от матрицы A .
23. Пусть дана система
y   A(t ) y
с непрерывными коэффициентами на отрезке [0 T ] . Известно, что на отрезке [0 T ] 
 max( A  A )  0 . Предполагая, что на отрезке [0 T ] существуют решение задачи
y  A(t ) y y (0)  b 0  t  T 
доказать, что
 y (t )  b  при0  t  T 
24. Даны матричные уравнения
X   A(t ) X  X (0)  I
и
Y   YA(t ) Y (0)  I 
Показать, что
Y (t )  X 1 (t )
25. Известно, что любое решение Задачи Коши


t  R1

 y  By




y(0) y0
таково, что  y (t ) 2  y0 2 . Показать, что это справедливо тогда и только тогда, когда
B   B ( B -постоянная матрица).
26. Система
Y ( s)  Y ( s) A( s) 0  s  t 

Y (t )  I

называется сопряженной по отношению к системе
 X (t )  A(t ) X (t ) t  0

X (0)  I 

Показать, что
Y (s)  X (t ) X 1 ( s)
27. Показать, что решение матричного уравнения
d
X  AX  XB X (0)  C
dt
дается равенством
X  etACetB 
28. Пусть дано уравнение y  f (t  y ) где
 2t
приy  t 2

 2y
f (t  y )  
приt 2  y  t 2
 t
2t
приy  t 2 
Убедитесь, что эта функция непрерывная (в том числе при y  t  0 ). Докажите, что задача
Коши
y  f (t  y ) y (0)  0
имеет бесконечно много решений. Почему?
29. Пусть дано уравнение y  f (t  y ) , где
дляt  0 y  
 0
 2t
для0  t  1   y  0

f (t  y )  
4y
для0  t  1 0  y  t 2
2t  t

для0  t  1 t 2  y  
 2t
На множестве 0  t  1 ,  y   функция f (t  y ) непрерывна и ограничена постоянной:
 f (t  y )  2 (докажите). Докажите, что задача Коши y  f (t y ) y (0)  0 не имеет решения.
Почему?
30. Задача Коши
1
y  y 3  y(0)  0 t  0
3
имеет решение y (t )  ( 23t ) 2 .
Докажите, что решение этой задачи Коши не единственно.
31. Убедитесь, что для задачи
3
 
y1 (0)  y10 

 y1   y2  y1 




y2  y1  y23  y2 (0)  y20
все решения стремятся к нулю при t  
32. Рассмотрим задачу Коши
y  f ( x y) y( x0 )  y0 
Докажите, что если функция f непрерывно дифференцируема, то
x

y ( x x0  y0 )
  f ( x0  y0 ) exp   f y (t y (t ))dt  
x

x0
 0

x

y ( x x0  y0 )
 exp   f y (t  y (t ))dt  
x

y0
 0

33. Докажите, что любая фундаментальная матрица Y (t ) системы y   A(t ) y может быть
получена из любой другой Y (t ) умножением справа на некоторую невырожденную
матрицу B .
34. Докажите, что если
 LY (a) 
det 

 BY (b)   0

detY (a)
то задача
y  A(t ) y Ly (a)  0 Ry (b)  0
имеет только нулевое решение.
35. Для уравнения y  Q( x) y  0 доказать, что колеблющееся решение не может иметь точки
накопления нулей. Иными словами, все нули решения уравнения y  Q( x) y  0 суть
изолированные точки.
36. Пусть задано уравнение y  Q( x) y  0 где коэффициент Q( x)  0 при x  [a b] . Тогда все
решения уравнения не колеблющиеся на отрезке [ a b]
37. Для системы
 y1  sin( y1  y2 )

 y2  cos( y1  y2 )
найти точки равновесия и исследовать их устойчивость.
38. Найти решение следующей задачи:
 u u
 0 t  0 x  R1 
 

t

x

 u (t  x) t 0  10 x  R1 
39. Найти решение следующей задачи:
u
 u
 0 t  R1  x  R1 
 6

t

x

 u (t  x) x 6t  10 t  R1 
40. Найти решение следующей задачи:
u
 u
 0 t  0 x  R1 
 x  (t  1)
x
 t

u (t  x) t 0  x x  R1 
41. Найти время существования гладкого решения задачи:
u
 u
 0 t  0 x  R1
 u

t

x

 u (t  x) t 0  x 3  x  R1 
3. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
литературы.
Список основной и дополнительной
1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Физматгиз, 1961.
2. Годунов С. К. Матричная экспонента, матрица Грина и условие Лопатинского.
Новосибирск: НГУ, 1983.
3. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:
Наука 1970.
4. Годунов С. К. Квадратичные функции Ляпунова. Новосибирск: НГУ, 1982.
5. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука 1973.
6. Годунов С. К и др. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Новосибирск: НГУ, 1986.
7. Блохин А. М. Равномерная ограниченность матричной экспоненты. Методические
указания к курсу "Обыкновенные дифференциальные уравнения" Новосибирск: НГУ, 1986.
8. Блохин А. М. Элементы теории гиперболических систем и уравнений. Учебное пособие.
Новосибирск: НГУ, 1995.
Изучение не предусматривает использование нормативно-правовых актов.
Проф., д.ф.-м.н.
А. М. Блохин