Реферат на тему: Упорядоченное поле План: Введение 1 Определение o 1.1 Связанные определения o 1.2 Конструктивное построение порядка 2 Некоторые свойства 3 Место в иерархии алгебраических структур 4 Примеры Литература Введение Упорядоченное поле — алгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин впервые предложил Эмиль Артин в 1927 г. 1. Определение Пусть F — алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение (меньше или равно) со следующими свойствами: Рефлексивность: . Транзитивность: если и , то . Антисимметричность: если и , то . Линейность: все элементы F сравнимы между собой, то есть либо . 5. Согласованность со сложением: если , то для любого z: 6. Согласованность с умножением: если и , то . 1. 2. 3. 4. , либо . 1.1. Связанные определения Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения: Отношение больше или равно: означает, что Отношение больше: x > y означает, что и Отношение меньше: x < y означает, что y > x. . . Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством. Числа, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. 1.2. Конструктивное построение порядка Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества P, ноль и − P не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля. Пусть такое P выделено. Обозначим (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом: , если Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. 2. Некоторые свойства Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные числа, отрицательные числа, нуль. Если x положителен, то - x отрицателен, и наоборот. В любом упорядоченном поле 1 > 0 и квадрат любого ненулевого элемента положителен. Однотипные неравенства можно складывать: Если и , то . Неравенства можно умножать на положительные элементы: Если и , то . 3. Место в иерархии алгебраических структур Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем. Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю. Поэтому конечное поле не может быть упорядочено. Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда - 1 не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа. Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле. Если в поле не существует элемента больше, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым. 4. Примеры Рациональные числа Вещественные числа Вещественные алгебраические числа Поле вещественных рациональных функций: — многочлены, o . Упорядочим его следующим образом. Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) упорядочены традиционным образом. o Пусть , Будем считать, что дробь , если . Из определения вытекает, что многочлен p(x) = x больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля. o , где Литература Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965. Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с. Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.