АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ « ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
реклама
АВТОНОМНАЯ НЕКОММЕРЧЕСКАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
« ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ »
Кафедра математических и естественнонаучных дисциплин
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Б2.В.ДВ. Уравнения математической физики
СОГ СОГЛАСОВАНО:
Проректор по научно – методической
работе__________________М.В.Кузнецова
(подпись, расшифровка подписи)
«29» августа 2015 г.
(под
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой математических и
естественнонаучных дисциплин
_______________________Т.Ю.Ходаковская
(подпись, расшифровка подписи)
протокол №_1_от «29»августа 2015 г.
Направление подготовки: 230100.62 «Информатика и вычислительная техника»
Профиль: «Программное обеспечение средств вычислительной техники
автоматизированных систем»
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: заочная
Курск – 201_
1
и
Составитель: Т.Ю.Ходаковская
Рабочая программа предназначена для преподавания дисциплины базовой части
математического и естественнонаучного цикла студентам очной формы обучения по
направлению подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника в 6
семестре.
Рабочая программа составлена с учетом Федерального государственного
образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению
подготовки 230100.62 Информатика и вычислительная техника, утвержденного приказом
Министерства образования и науки Российской Федерации
от 5 ноября 2009 г. № 553.
Рабочая программа утверждена на заседании кафедры математических
естественнонаучных дисциплин протокол № 1 от «29»августа 2015 г.
и
Заведующий кафедрой
математических и естественнонаучных дисциплин
_____________________ Т.Ю.Ходаковская
2
Содержание
Название раздела программы
1
Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
2
Место дисциплины в структуре ООП ВПО
3
Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу
обучающихся
4
Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов
учебных занятий
5
Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
6
Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дис циплине (модулю)
7
Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для
освоения дисциплины (модуля)
8
Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины
(модуля)*
9
Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины
(модуля)
10
Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
11
Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
3
с.
4
5
5
6
20
20
25
26
26
28
28
1 Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной
программы
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть следующими
знаниями, умениями и навыками:
Коды
Результаты освоения
Перечень планируемых
компетенций
ООП
результатов обучения по
по ФГОС
дисциплине
ОК-10
использует
основные законы Знать: основные определения и
естественнонаучных дисциплин в свойства объектов теории уравнений
профессиональной деятельности, математической физики;
применяет
методы Уметь:
интерпретировать
математического
анализа
и найденные решения в понятиях
моделирования, теоретического и рассматриваемой задачи;
экспериментального исследования Владеть:
аппаратом
теории
уравнений математической физики,
методами
доказательств
ее
утверждений.
ПК-2
осваивать
методики Знать: формулировки утверждений,
использования
программных методы их доказательства;
средств
для
решения Уметь: работать с математической
литературой
и
извлекать
практических задач
необходимую
информацию
математического характера из сети
Интернет;
Владеть: навыками применения
данной теории в других областях
математического
знания
и
дисциплинах естественно-научного
содержания; основными принципами
математического
моделирования
прикладных задач.
2 Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина относится к дисциплинам по выбору учебного цикла –
Б2 Математический и естественнонаучный цикл.
Содержание данной дисциплины опирается на:
– математический анализ;
– дифференциальные уравнения;
Содержание данной дисциплины является опорой для освоения таких дисциплин
как: математическая логика и теория алгоритмов
4
3. Объем дисциплины (модуля) в зачетных единицах с указанием количества
академических часов, выделенных на контактную работу обучающихся с
преподавателем (по видам занятий) и на самостоятельную работу обучающихся
Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц (288 часа)
Вид работы
Трудоемкость, часов
6 семестр
Всего
Общая трудоемкость
Аудиторная работа:
Лекции (Л)
Практические занятия (ПЗ)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа:
Подготовка и сдача экзамена
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
5
288
10
4
6
269
9
288
10
4
6
269
9
экзамен
экзамен
4. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных
занятий
4.1 Содержание разделов дисциплины
№
п.п
Наименование
раздела
1
2
1
Общие сведения об
уравнениях
математической
физики
2
Типы линейных
УЧП второго
порядка
3
Специальные
функции
4
Задача Коши для
одномерного
волнового
уравнения
5
Задача на
характеристиках
(задача Гурса)
6
Метод Римана
решения задачи
Коши для
гиперболического
уравнения
Форма
текущего
контроля
3
4
Общие
сведения
о
построении Опрос, ДЗ
математических
моделей
физических
задач, уравнениях в частных производных
и краевых условиях. Понятие корректно и
некорректно
поставленных
задач.
Примеры. Вывод основных уравнений
математической физики – волнового
уравнения, уравнения Лапласа, Пуассона,
теплопроводности и других. Физические
задачи, приводящие к этим уравнениям.
Обсуждение
условий
применимости
различных математических моделей.
Классификация уравнений в частных Опрос, ДЗ, Т
производных второго порядка. Приведение
к
каноническому
виду.
Понятие
характеристической
поверхности.
Классификация задач математической
физики.
Специальные функции математической Опрос, ДЗ
физики и их свойства.
Содержание раздела
Постановка задачи Коши для одномерного Опрос, ДЗ
волнового уравнения. Общее решение
уравнения, бегущие волны. Формула
Даламбера,
распространение
волн.
Корректность задачи Коши для уравнения
колебаний
струны.
Понятие
о
характеристическом треугольнике, фазовой
плоскости. Отражение волн в случае
полубесконечной струны. Задача Коши для
неоднородного
уравнения
колебания
струны. Понятие об обобщенном решении.
Постановка задачи на характеристиках для Опрос, ДЗ
общего гиперболического уравнения с
двумя
независимыми
переменными.
Сведение задачи Гурса к системе
интегральных уравнений. Существование и
единственность решения задачи Гурса.
Корректность задачи Гурса.
Постановка задачи Коши для общего Опрос, ДЗ
гиперболического уравнения с двумя
независимыми
переменными.
Вывод
формулы Римана, существование и
единственность
функции
Римана.
Обобщенный
принцип
суперпозиции.
6
7
Метод разделения
переменных для
одномерного
волнового
уравнения
8
Задача Коши для
уравнения
теплопроводности
9
Метод разделения
переменных для
решения уравнения
теплопроводности
10
11
Гармонические
функции и их
свойства
Основные задачи
для уравнений
Лапласа и Пуассона
Симметрия функции Римана сопряженных
операторов, существование решения задачи
Гурса с данными на характеристиках
внутри прямоугольника. Существование
решения задачи Коши. Задача Коши для
телеграфного уравнения.
Постановка
краевой
задачи
для
одномерного волнового уравнения. Метод
Фурье разделения переменных. Задача
Штурма-Лиувилля. Собственные значения
и собственные функции. Вещественность
собственных значений, ортогональность
собственных функций. Ряд Фурье по
собственным функциям. Теорема Штурма
и осцилляции.
Принцип максимума и минимума для
решения уравнения теплопроводности.
Единственность решения задачи Коши.
Интеграл
Пуассона.
Ограниченность
интеграла
Пуассона,
удовлетворение
начальным
условиям
и
уравнению
теплопроводности.
Краевая
задача
для
уравнения
теплопроводности, ее решение методом
разделения переменных. Исследование
сходимости рядов Фурье по собственным
функциям задачи Штурма-Лиувилля.
Уравнение
Лапласа,
гармонические
функции.
Фундаментальное
решение
уравнения
Лапласа.
Свойства
гармонических функций. Первая. Вторая и
основная интегральные формулы Грина
для гармонических функций. Теорема о
среднем. Принцип максимума и минимума
для гармонических функций. Тождество
Дирихле.
Теоремы
Гарнака
о
последовательностях
гармонических
функций.
Уравнения Лапласа и Пуассона. Задачи
Дирихле и Неймана, внутренние и внешние
задачи. Единственность и устойчивость
решения внутренней задачи Дирихле.
Необходимое
условие разрешимости
задачи Неймана. О единственности
решения задачи Неймана. Теорема об
устранимой особенности. Преобразование
Кельвина.
Поведение гармонической
функции
на
бесконечности.
Единственность решения внешней задачи
Дирихле. Сведение внешних задач к
внутренним. Метод функции Грина.
Построение функции Грина, ее свойства.
Решение задач Дирихле и Неймана с
помощью функции Грина. Решение задач
Дирихле для шара. Формула Пуассона.
Неравенство Гарнака. Задачи Дирихле и
Неймана в двумерном случае. Сведение
7
Опрос, ДЗ,
РК, Т
Опрос, ДЗ
Опрос, ДЗ,
КР
Опрос, ДЗ
Опрос, ДЗ,
РК, Т
12
Теория потенциала
13
Уравнения
смешанного типа
задачи Неймана к задаче Дирихле. Метод
разделения переменных. Решение задачи
для круга.
Потенциалы простого и двойного слоя, их Опрос, ДЗ
свойства. Разрыв потенциала двойного
слоя
и
нормальной
производной
потенциала простого слоя. Решение задачи
Дирихле
методом
интегральных
уравнений. Сведение задач Дирихле к
интегральным уравнениям Фредгольма
второго рода, исследование полученных
интегральных
уравнений.
Потенциал
объемных масс, его свойства. Задача
Дирихле
для
уравнения
Пуассона.
Потенциал объемных масс – решение
уравнения Пуассона.
Понятие об уравнениях смешанного типа. Опрос, ДЗ
Задача
Трикоми
для
уравнения
Лаврентьева-Бицадзе.
4.2 Структура дисциплины
Количество часов
№
разд
ела
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Наименование раздела
2
Общие сведения об уравнениях
математической физики
Типы линейных УЧП второго
порядка
Специальные функции
Задача Коши для одномерного
волнового уравнения
Задача на характеристиках (задача
Гурса)
Метод Римана решения задачи Коши
для гиперболического уравнения
Метод разделения переменных для
одномерного волнового уравнения
Задача Коши для уравнения
теплопроводности
Метод разделения переменных для
решения уравнения
теплопроводности
Гармонические функции и их
свойства
Основные задачи для уравнений
Лапласа и Пуассона
Теория потенциала
Уравнения смешанного типа
Аудиторная работа
Всего
3
Л/
интер.
ф
4
ПЗ/
интер.
ф
5
ЛР
Внеауд
иторна
я
работа
СР
7
23
2/2
21
23
2
21
23
2/2
21
21
22
1
21
21
21
21
23
2/1
21
21
21
21
21
21
1/1
20
20
20
20
20
20
20
8
экзамен
Итого
9
288
4/2
6/4
269
4.3 Практические занятия (семинары)
Общие сведения об уравнениях математической физики (2 часа)
Реализуемые компетенции: ОК-10, ПК-2
Цель работы: нахождение общих и частных решений дифференциальных уравнений.
Приведение дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных к
каноническому виду.
Задача 1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения:
uхx + yuуу = 0
и привести его к каноническому виду в области гиперболичности.
Задача 2. Привести к каноническому виду уравнения:
uхz + хуuуу = 0
Задача 3. Привести к каноническому виду и максимально упростить уравнение:
auxx + 2аuxу + auуу + bux + сuy + u = 0
а,b,c – постоянные.
Литература
1. Щербакова Ю.В. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Щербакова Ю.В., Миханьков М.А.— Электрон. текстовые данные.—
Саратов: Научная книга, 2012.— ЭБС
2. Ильин А.М. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Ильин А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2009.— ЭБС
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]/
Владимиров В.С., Жаринов В.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит,
2008.— 400 c.— ЭБС.
Типы линейных УЧП второго порядка (2 часа)
Реализуемые компетенции: ОК-10, ПК-2
Цель работы: Изучение основных определений и положений теории линейных
дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.
2. Изучение теории конечно-разностной аппроксимации линейных дифференциальных
уравнений второго порядка в частных производных.
3. Изучение разностных схем решения линейных дифференциальных уравнений в частных
производных.
4. Разработка алгоритмов, программ и решение на ЭВМ линейных дифференциальных
уравнений в частных производных второго порядка сеточными методами.
Задание для самостоятельной работы.
1. Разработать текст программы для решения уравнений гиперболического типа сеточным
методом, использующим явную разностную схему.
2. Разработать текст программы для решения уравнений параболического типа сеточным
методом, использующим неявную разностную схему.
3. Решить смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных
гиперболического и параболического типа. Начальные и краевые условия взять из
таблицы индивидуальных заданий.
9
Пример выполнения работы:
1. Задание:
а) решить смешанную задачу для волнового уравнения:
2u
t 2
2u
x 2
x 01
, ,
,
t 0, T ,
(1)
при T=2, с начальными условиями:
u
( x,0) g( x),
t
u( x,0) f ( x),
где
f ( x) x( x 1);
0 x 1;
(2)
g( x) 0;
(3)
и нулевыми краевыми условиями:
u(0, t ) 0,
u(1, t ) 0,
0 t T.
(4)
б) решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности:
u 2 u
,
t x 2
0 x 1;
0 t T;
(5)
с начальными условиями:
u( x,0) f ( x),
где
0 x 1;
(6)
f ( x) x( x 1);
(7)
и краевым условиям первого рода:
u(0, t ) 1 ( t ),
при
1 ( t ) 0;
u(a , t ) 2 ( t );
0 t T;
(8)
2 ( t ) 0.
(9)
2. Для решения волнового уравнения используем явную разностную схему
уравнение
u i , j 1 2(1 2 ) u ij 2 ( u i 1, j u i 1, j ) u i , j 1 ,
i 1,..., n 1. и
u i1 u i0 g( x i ), i 1,..., n 1.
Задаем количество узлов сетки по x: n=5 и определяем шаг h: h=1/(n-1).
Определяем шаг по t. Так как согласно условий Куранта:
Отсюда получаем количество узлов сетки по t: m=2nT.
3. Пример программ на языке Паскаль.
program lab12(1);
{Решение смешанной задачи для волнового уравнения}
явная разностная схема}
{a - начало отрезка, где необходимо найти решение}
{b - конец отрезка, где необходимо найти решение}
{t - конечное значение времени T}
{u2[i] - массив с решениями в узле (xi: i=0,...n) при t=tj+1}
{u1[i] - массив с решениями в узле (xi: i=0,...n) при t=tj}
{u0[i] - массив с решениями в узле (xi: i=0,...n) при t=tj-1}
10
1 , то положим: =h/2.
h
{n - количество узлов по x}
{m - количество узлов по t}
{h - шаг по x}
{th - шаг по t}
var a,b,t0,t,h,th,x,tx: real;
var i,j,n,m,n1 : integer;
var xi,u0,u1,u2: array[0..100] of real;
function f(x : real) : real;
{функция f(x)}
begin
f:=x*(x-1);
end;
{f}
function g(x : real) : real;
{функция g(x)}
begin
g:=0;
end;
{g}
begin
writeln(‘Введите значение a и значение b’);
readln (a,b);
writeln(‘Введите значение T’);
readln (t);
writeln(‘Введите число узлов по x’);
readln (n);
n1:=n-1
h:=(b-a)/n1;
th=0.5*h;
ll=th*th/(h*h);
t0:=0;
tx:=0;
j:=0;
while tx<t do begin
j:=j+1;
tx:=tx+j*th;
if j=1 then begin
i:=0;
xi[0]:=a;
xi[n1]:=b;
u0[0]:=0;
u1[0]:=0;
u0[n1]:=0;
u1[n1]:=0;
while i<n1 do begin
i:=i+1;
xi[i]:=a+i*h;
x:=xi[i];
u0[i]:=f(x);
u1[i]:=u0[i]+th*g(x);
end;
writeln(‘tx=’,t0, ’,xi[0],’ ’,xi[1],’ ’,xi[2],’ ‘,
11
формула (10)
формула (11)
вычисление шага по h
вычисление шага по t
вычисление 2
условия (12)
xi[3],’ ‘,xi[4]);
writeln(‘tx=’,t0, ’,u0[0],’ ’,u0[1],’ ’,u0[2],’ ‘,
u0[3],’ ‘,u0[4]);
writeln(‘tx=’,tx,’ u ’,u1[0],’ ’,u1[1],’ ’,u1[2],’ ‘,
u1[3],’ ‘,u1[4]);
end else begin
i:=0;
u2[0]:=0;
u2[n1]:=0;
while i<n1 do begin
i:=i+1;
xi:=a+i*h;
u2[i]:=2*(1-ll)*u1[i]+ll*(u1[i+1]+u1[i-1])-u0[i];
end;
writeln(‘tx=’,tx,’ ’,u2[0],’ ’,u2[1],’ ’,u2[2],’ ‘,
u2[3],’ ‘,u2[4]);
end;
for i:=0 to n1 do begin
u0[i]:=u1[i];
u1[i]:=u2[i];
end;
end;
условия (13)
end.
4. Для решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности используем неявную
разностную схему (2.16-2.18).
Задаем количество узлов сетки по x: n=5 и определяем шаг h: h=1/(n-1). Задаем количество
узлов сетки по t: m=10 и определяем шаг : =t/(m-1).
5. Пример программ на языке Паскаль.
program lab12(2);
{Решение смешанной задачи для уравнения теплопроводности}
неявная разностная схема}
{a - начало отрезка, где необходимо найти решение}
{b - конец отрезка, где необходимо найти решение}
{t - конечное значение времени T}
{u1[i] - массив с решениями в узле (xi: i=0,...n) при t=tj}
{u0[i] - массив с решениями в узле (xi: i=0,...n) при t=tj-1}
{n - количество узлов по x}
{m - количество узлов по t}
{h - шаг по x}
{th - шаг по t}
var a,b,t0,t,h,th,x,tx: real;
var i,j,n,m,n1,m1 : integer;
var xi,u0,u1,an,bn,cn,dn: array[0..100] of real;
function f(x : real) : real;
{функция f(x)}
begin
f:=x*(x-1);
end;
{f}
формула (14)
12
function g1(tx : real) : real;
{функция g1(tx)}
begin
g1:=0;
end; {g1}
function g2(tx : real) : real;
{функция g2(tx)}
begin
g2:=0;
end; {g2}
формула (15)
формула (16)
begin
writeln(‘Введите значение a и значение b’);
readln (a,b);
writeln(‘Введите значение T’);
readln (t);
writeln(‘Введите число узлов по x’);
readln (n);
writeln(‘Введите число узлов по t’);
readln (m);
n1:=n-1
h:=(b-a)/n1;
m1:=m-1;
th=t/m1;
ll=th/(h*h);
t0:=0;
xi[0]:=a;
xi[n1]:=b;
u0[0]:=g1(t0);
u0[n1]:=g2(t);
for i:=1 to n1 do begin
xi[i]:=a+i*h;
x:=xi[i];
u0[i]:=f(x);
end;
writeln(‘tx=’,t0, ’,xi[0],’ ’,xi[1],’ ’,xi[2],’ ‘,
xi[3],’ ‘,xi[4]);
writeln(‘tx=’,t0, ’,u0[0],’ ’,u0[1],’ ’,u0[2],’ ‘,
u0[3],’ ‘,u0[4]);
for j:=1 to m1 do begin
tx:=t0+j*th;
for i:=0 to n do begin
if i=0 then begin
an[0]:=0;
bn[0]:=1;
cn[0]:=0;
dn[0]:=g1(tx);
end else begin
if i=n then begin
an[n]:=0;
bn[n]:=1;
13
вычисление шага по h
вычисление шага по t
вычисление
условия (17)
формула (18)
формула (19)
формула (20)
cn[n]:=0;
dn[n]:=g2(tx);
end else begin
an[i]:=ll;
bn[i]:=-(1-2*ll);
формула (21)
cn[i]:=ll;
dn[i]:=-u0[i];
end
end;
end;
конец цикла по i
procedure prog(n,an,bn,cn,dn,u1);
решение методом прогонки
writeln(‘tx=’,tx,’ ’,u1[0],’ ’,u1[1],’ ’,u1[2],’ ‘,
u1[3],’ ‘,u1[4]);
for i:=0 to n1 do begin
u0[i]:=u1[i];
end;
конец цикла по t
end.
procedure prog(n : integer;
a,b,c,d,x : array [0..100] of real);
{Программа решения системы линейных уравнений методом прогонки}
var Ai,Bi : array[0..100] of real;
var e: real;
var i,j: integer;
begin
Ai[0]:=-c[0]/b[0];
Bi[0]:=d[0]/b[0];
for i:=1 to n do begin
e:=c[i]*Ai[i-1]+b[i];
Ai[i]:=-c[i]/e;
Bi[i]:=(d[i]-a[i]*Bi[i-1])/e;
end;
for i:=n downto 0 do begin
x[i]:=Ai[i]*x[i+1]+Bi[i];
end;
вычисление A0
вычисление B0
прямой ход
обратный ход
6. Заполняем таблицу результатов расчета
t
t0
t1
x0
x1
x2
t
Содержание отчета
1.Название лабораторной работы.
14
x3
x4
2.Индивидуальное задание.
3.Текст программы.
4.Таблица результатов расчета на ЭВМ.
Замечание: Пункты 1-4, а также таблица пункта 5 без численных результатов должны
быть оформлены до начала выполнения лабораторной работы.
Результаты можно вывести в виде графика используя файл lab.dat с данными и
соответствующую программу.
Контрольные вопросы.
1. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных.
2. Определение узла, сетки и сеточной функции.
3. Начальные условия и краевые условия (первого рода, второго рода и смешанные).
4. Что такое смешанная задача решения дифференциального уравнения в частных
производных.
5. Разностная схема.
6. Погрешность аппроксимации разностной схемы..
7. Шаблон разностной схемы.
8. Явные и неявные разностные схемы.
9. Устойчивость разностной схемы.
10. Сходимость разностной схемы
11. Невязка разностной схемы.
12. Норма невязки разностной схемы.
15
ТАБЛИЦЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
f(x)
x[0,1]
g(x)
x[0,1]
x(x2-1)
sin(x)cos(x)
sin(x2)
xsin(2(x-1))
4x3(x-1)
x2(x-1)
(x-1)sin2x
(x-1)ln(1+x)
sin(xex)sin(x-1)
10x(x3-1)
sin(x)ln(1+x)
(x-1)2(1-cos(x))
(1-cos(x))sin(x3)
(x2-1)sin(cos(x))
ln2(1+x)sin(sin(x))
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1(t)
t[0,2]
0
1
0
0
1
0.5
1
1
0
0
1
0
0
1
1
f(x)
x[0,1]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
x(x-1)
1+x2
x2(1-x)
ln(1+x)
e-x
(x2+0.5)cos(x)
x2+x+1
cos(x)
xsin(x-1)
xsin(2x)
1/(1+x2)
xe-x
arctg(x)
1-x2
1/(1+x)
Литература
16
Таблица 1.
1(t)
2(t)
t[0,2]
t[0,2]
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Таблица 2.
2(t)
t[0,2]
0
2
0
ln2
1/e
-1.5
3
cos1
0
0
0.5
1/e
/4
0
0.5
1. Щербакова Ю.В. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]:
учебное пособие/ Щербакова Ю.В., Миханьков М.А.— Электрон. текстовые данные.—
Саратов: Научная книга, 2012.— ЭБС
2. Ильин А.М. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Ильин А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2009.— ЭБС
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]/
Владимиров В.С., Жаринов В.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит,
2008.— 400 c.— ЭБС.
Составить программу вычисления символа Лежандра (2 часа)
Реализуемые компетенции: ОК-10, ПК-2
Цель работы – используя алгоритм для вычисления символа Лежандра, составить
программу вычисления символа Лежандра.
Задание к работе
В программной реализации рассмотренных ниже алгоритмов должен быть разработан
интерфейс, удобный для эксплуатации. В интерфейсе требуется предусмотреть:
• ввод начальной информации;
• вывод результатов расчета.
Разработать тестовые примеры для работы с
программой. Подготовить отчет по работе. В
отчете описать алгоритмы проверки числа
на
простоту,
описать
структуру
представления
данных
в
программе,
основные функции программы, назначение
функций,
входные
и
выходные
параметры
функций.
Теоретический материал Символ Лежандра
Определение 3. Пусть a – целое число и p, p > 2, – простое число. Символ Лежандра L(a,
p) определяется равенством
0, если a ≡ 0 mod p,
L(a, p) = 1, если a – квадратичный вычет по модулю p,-1, если a – квадратичный невычет
по модулю p.
Иными словами, L(a, p) =1, если сравнение x2 ≡ a mod p
имеет решений, и L(a, p) = -1, если данное сравнение не имеет решений. В литературе
символ Лежандра часто обозначается через следующим образом
L(a, p) = (𝑎𝑝)
Далее будем рассматривать случай, когда p не делит a, т.е. L(a, p) ≠ 0.
Пример. L(3, 11) = 1, так как сравнение x2 ≡ 3 mod 11 имеет два
решения x1 ≡ 5 mod 11, x2 ≡ -5 mod 11.
L(6, 7) = -1, так как сравнение x2 6 mod 7 не имеет решений.
Приведем
основные
свойства
символа
Лежандра.
1. Если a b mod p, то L(a, p) = L(b, p).
2. L(a1a2…ak) = L(a1, p)L(a2, p)… L(ak, p).
3. L(a2, p) = 1.
4. L(1, p) = 1.
5. L(a, p) = a(p-1)/2 mod p – критерий Эйлера.
17
6. L(-1, p) = (-1)(p-1)/2 mod p.
7. L(2, p) = (-1)( p2 -1)/8.
8. L(q, p) = -1[(p-1)/2][(q-1)/2]L(p, q) – закон взаимности. Этот закон можно записать в виде
L(q, p)L(p, q) = -1[(p-1)/2][(q-1)/2].
На
основании
перечисленных
свойств
заметим, что если
a =a11 … akak, то
L(a, p) = L(a1, p)a1 … L(ak, p)ak.
В данном равенстве, учитывая свойство 3,
можно
отбросить
множители,
у
которых
показатель aj, j ≤ k, является четным числом.
Если же некоторое aj=2, j £ k, то свойство 7
позволяет вычислить значение
L(aj, p)aj = L(2, p)aj.
Вышесказанное позволяет сформулировать
алгоритм вычисления символа Лежандра.
Алгоритм вычисления символа Лежандра
1. Если число a отрицательно, то выделяем множитель L(-1, p);
2. Заменяем число a на остаток от деления числа a на p;
3. Раскладываем число a в произведение в простых сомножителей
a = a11a22 … akk;
если число на простые множители не разлагается, то переходим на шаг
4. Переходим к разложению
L(a, p) = L(a1, p)1 … L(ak, p)k;
5. Отбрасываем множители с четным
значением показателя j, j k;
6. Вычисляем символ Лежандра L(aj, p)j для aj = 2;
7. Если все символы Лежандра в выражении
L(a, p) = L(a1, p)1 … L(ak, p)ak
вычислены, то алгоритм вычисления L(a, p) завершаем. В противном случае для
множителей L(aj, p)aj, у которых aj ≠ 2, применяем закон взаимности
L(p, q) = -1[(p-1)/2][(q-1)/2]L(q, p).
Здесь полагается, что p = aj.
8. Переходим к шагу 1.
Замечание. На каждом шаге процесс вычисления символа Лежандра может быть
завершено. Это произойдет в том случае, если на каком-то шаге алгоритма, все числа aj, j
k, окажутся равными 1, 2 или –1.
Пример. Вычислить L(68, 113). Здесь a = 68, p = 113 – простое число.
Вычисляем L(68, 113).
1. При a > 0 множитель L(-1, 113) отсутствует;
2. Так как 68 < 113, то остаток равен самому числу;
3. Разлагаем число a = 68 на простые множители 68 = 22´17;
4. Имеем
L(68, 113)=L(22´17, 113)=L(22, 113)L(17, 113)=[L(2, 113)]2L(17, 113);
5. Так как L(22, 113) = 1 (см. свойство 3), то в разложении L(68, 113)= [L(2, 113)]2L(17, 113)
отбрасываем множитель [L(2, 113)]2;
6. После выполнения шага 5 получаем L(68, 113) = L(17, 113).
В полученном разложении отсутствует множитель L(2, 113);
7. Для множителя L(17, 113), применяя закон взаимности для a=17 и p=113, получаем
18
L(17, 113) = (-1)8´56L(113, 17) = L(113, 17).
8. В итоге имеем L(68, 113) = L(113, 17).
Далее переходим на шаг 1 и начинаем вычислять L(113, 17). Здесь a = 113 и p=17 –
простое число.
Вычисляем L(113, 17).
1. При a > 0 множитель L(-1, 17) отсутствует;
2. Остаток от деления числа 113 на 17 равен 11, поэтому получаем
L(113, 17) = L(11, 17);
3. Число 11 – простое на множители не
разлагается;
4. Так как 11 простое число, то переходим к
шагу 7;
7. Для множителя L(11, 17), применяя закон взаимности для a=11 и p=17. Получаем
L(11, 17) = (-1)5х8L(17, 11) = L(17, 11).
8. В итоге имеем L(113, 17) = L(17, 11).
Далее переходим на шаг 1 и начинаем вычислять L(17, 11), здесь a = 17 и p=11 – простое
число.
Вычисляем L(17, 11).
1. При a > 0 множитель L(-1, 11) отсутствует;
2. Остаток от деления числа 17 на 11 равен 6;
3. Разлагаем число 6 на простые множители 6 = 2´3;
4. Имеем L(6, 11) = L(2,11)L(3,11)
5. В разложении L(6, 11) множители с четным значением показателей отсутствуют,
поэтому переходим к шагу 6;
6. Вычисляем значение L(2,11)
L(2,11) = [-1](a-1)/8 = [-1]15 = -1,
где
a = p2 = 112 = 121;
7. Для множителя L(3, 11), применяя закон взаимности для a=3 и p=11, получаем
L(3, 11) = (-1)1´5L(11, 3) = -L(11, 3).
8. В итоге имеем
L(17, 11) = (-1)х[-L(11, 3)] = L(11,3).
Далее переходим на шаг 1 и начинаем вычислять L(11, 3), здесь a = 11, p = 3 –
простое число.
Вычисляем L(11, 3).
1. При a > 0 множитель L(-1, 3) отсутствует;
2. Остаток от деления числа 11 на 3 равен 2, поэтому получаем L(11, 3) = L(2, 3)
3. Число 2 – простое, на множители не разлагается;
4. Имеем
L(11, 3) = L(2, 3)
5. В разложении L(11, 3) множители с четным значением показателей отсутствуют,
поэтому переходим к шагу 6;
6. Вычисляем значение L(2,3)
L(2, 3) = [-1](a-1)/8 = [-1]1 = -1,
где
a = p2 = 32 = 9;
Окончательно получаем, что L(68, 113) = -1. Тем самым вычисление символа Лежандра
L(68, 113) завершено. Значение символа Лежандра L(68, 113) = -1 позволяет сделать
вывод, что сравнение
x2 ≡ 68 mod 113
не имеет решений.
19
Литература
1. Щербакова Ю.В. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Щербакова Ю.В., Миханьков М.А.— Электрон. текстовые данные.— Саратов:
Научная книга, 2012.— ЭБС
2. Ильин А.М. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Ильин А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2009.— ЭБС
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]/
Владимиров В.С., Жаринов В.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит,
2008.— 400 c.— ЭБС.
4.4 Самостоятельное изучение разделов дисциплины
Таблица 6 – Самостоятельное изучение разделов дисциплины
№
раздела
1
1
2
3
Вопросы, выносимые на самостоятельное изучение
2
Вывод уравнений малых продольных колебаний упругого стержня
и малых поперечных колебаний мембраны.
Задача Дарбу для уравнения струны.
Вариационное исчисление.
4.5 Образовательные технологии
Семестр
Вид
занятия
(Л,ПР,Лр)
Л
6
ПР
Используемые интерактивные
образовательные технологии
Беседа по пройденному материалу,
проблемная лекция, лекция-визуализация
Технология проблемного обучения,
групповая
работа,
индивидуальные
творческие задания
Итого
Количество
часов
2
4
6
5 Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине
Сборник задач по уравнениям математической физики [Электронный ресурс]/ А.А.
Вашарин [и др.].— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2003.— 288 c.—
Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/17432.— ЭБС «IPRbooks»
6.Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной
аттестации
Итоговыми формами контроля знаний, умений и навыков по дисциплине
является экзамен.
Критерии оценки результатов:
«5» («отлично») - уровень выполнения требований значительно выше
удовлетворительного: использование дополнительного материала, самостоятельность
суждений, отражение своего отношения к предмету обсуждения, отсутствие ошибок в
изложении учебного материала, логичность и полнота изложения. Вопросы раскрыты на
высоком уровне, выявлены полнота материала, систематичность и последовательность в
изложении основных теоретических положений и вопросов; показаны умения четко и
коротко излагать сущность вопросов, способность формулировать основные идеи темы,
20
умение дискутировать. Представлен полный ответ на дополнительные вопросы.
Обоснованы все ключевые моменты вопросов.
«4» («хорошо») - уровень выполнения требования выше удовлетворительного:
полнота раскрытия вопроса; самостоятельность суждений; не более 1-2 недочетов;
незначительные нарушения логики изложения материала. Вопросы раскрыты полностью,
выявлены систематичность и последовательность в изложении основных теоретических
вопросов, обоснованы все ключевые моменты темы. Не отражены при дискутировании
умения четко и ясно излагать основные идеи темы, её результаты. Не на все
дополнительные вопросы был дан полный ответ.
«3» («удовлетворительно») - достаточный минимальный уровень выполнения
требований предъявляемых к работе: не более 1 ошибки или 2-3 недочетов; отдельные
нарушения логики изложения материала. Вопросы раскрыты не полностью, обоснованы
не все ключевые моменты вопросов. Представлена последовательность в изложении
основных теоретических положений вопросов. Сущность темы не отражена в ответах на
дополнительные вопросы. Возможны ошибки при изложении материала, не показано
умение дискутировать.
«2» («неудовлетворительно») - уровень выполнения требования ниже
удовлетворительного: наличие более 2 ошибок или 4 недочетов; нарушение логики,
неполнота, нераскрытость обсуждаемого вопроса; отсутствие аргументации либо
ошибочность её основных положений. Вопросы раскрыты не полностью, общая идея
верная, но не выявлены систематичность и последовательность в изложении основных
теоретических положений. Большинство ключевых моментов темы не обоснованы или
имеются неверные обоснования. Возможны ошибки в схемах или чертежах. Ни на один
дополнительный вопрос не получен ответ. Не выявлено умение дискутировать, не
показано умение излагать материал четко и ясно.
6.1 Образцы тестов для проведения текущего контроля и промежуточной
аттестации по итогам освоения дисциплины, а также для контроля самостоятельной
работы обучающегося
1. Уравнение 𝑢𝑥𝑥 + 2𝑢𝑥𝑦 + 2𝑢𝑦𝑦 + 6𝑢𝑥 + 6𝑢𝑦 − 3𝑢 = 𝑥 + 𝑦 2 тип и канонический
вид…
1) уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY имеет канонический
вид 𝑢𝜉ξ + 𝑢𝜂𝜂 = −2𝑢𝜂 + 𝑢 + 𝜂 + (𝜉 + 𝜂)2 ;
2) уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY и имеет канонический
вид 𝑢𝜉ξ + 𝑢𝜂𝜂 = −2𝑢𝜂 + 𝑢 + 𝜂 + (𝜉 + 𝜂)2 ;
3) уравнение параболического типа во всей плоскости XOY и имеет канонический
вид 𝑢𝜂𝜂 = 𝑢𝜂 + 𝑢 + 𝜂;
4) уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY и имеет канонический
вид 𝑢𝜉ξ + 𝑢𝜂𝜂 = −2𝑢𝜂 + 𝜉 + (𝜉 − 𝜂)2 .
2. Общее решение уравнения 𝑢𝑥𝑥 + 4𝑢𝑥𝑦 − 5𝑢𝑦𝑦 = 0 имеет вид…
1) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 2𝑦 − 4𝑥;
2) 𝑢𝜉𝜂 = 0;
3) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐶1 (𝑦 − 5𝑥) + 𝐶2 (𝑦 + 𝑥);
3) 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝐶1 (𝑦 − 5𝑥) + 𝐶2 (𝑦 + 3𝑥).
3. Задача Коши для волнового уравнения на прямой:
2
1
𝑢𝑡𝑡 = 4𝑢𝑥𝑥 , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑒 −𝑥 , 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 1+𝑥 2 , 𝑥 ∈ (−∞, +∞), 𝑡 ∈ (−∞, +∞)имеет
решение…
2
2
1
1
1
1
1) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 2 𝑒 −(𝑥+2𝑡) + 2 𝑒 −(𝑥−2𝑡) + 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 2𝑡) − 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 − 2𝑡);
2
1
2) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 −(𝑥+2𝑡) + 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 2𝑡);
2
2
1
1
3) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 −(𝑥+2𝑡) + 𝑒 −(𝑥−2𝑡) + 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 2𝑡) − 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 − 2𝑡);
1
1
4) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 + 2𝑡) − 4 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 − 2𝑡)
21
4. Первая смешанная задача для однородного волнового уравнения на отрезке:
𝑢𝑡𝑡 − 4𝑢𝑥𝑥 = 0, 𝑢(𝑥, 0) = 0, 𝑢𝑡 (𝑥, 0) = 𝑥(1 − 𝑥),
𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, 𝑥 ∈ (0,1), 𝑡 ∈ (0, +∞)
имеет решение…
4
1) 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝜋 4 (2𝑘+1)4 sin 2𝜋 (2𝑘 + 1)𝑡 sin(2𝑘 + 1)𝜋𝑥;
4
2) 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝜋 4 (2𝑘+1)4 sin 𝜋 (2𝑘 + 1)𝑡 sin(2𝑘 + 1)𝜋𝑥;
4
3) 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑∞
𝑘=1 𝜋 4 (2𝑘+1)4 sin 2𝜋 (2𝑘 + 1)𝑡 sin(2𝑘 + 1)𝜋𝑥;
4
4) 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑∞
𝑘=0 𝜋 4 𝑘 4 sin 2𝜋𝑘𝑡 sin 𝑘𝜋𝑥.
22
5. Задача Коши для уравнения теплопроводности на прямой:
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢(𝑥, 0) = 𝑒 −𝑥 , 𝑥 ∈ (−∞, +∞), 𝑡 ∈ (0, +∞)
имеет решение…
1
1) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝑡−𝑥 ;
3) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 𝑡+𝑥 ;
2) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 2 𝑒 𝑡−𝑥 ;
4) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 2(𝑡−𝑥) .
6. Первая смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке:
𝑢𝑡 = 𝑢𝑥𝑥 , 𝑢(𝑥, 0) = sin3 2𝜋𝑥 , 𝑢(0, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0, 𝑥 ∈ (0,1), 𝑡 ∈ (0, +∞)
имеет решение…
3
1
2
1)𝑢(𝑥, 𝑡) = 4 𝑒 −4𝜋𝑡 sin 2𝜋𝑥 − 4 𝑒 −36𝜋 𝑡 sin 6𝜋𝑥;
3
2
1
3
2
1
2
2) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 4 𝑒 −4𝜋 𝑡 sin 2𝜋𝑥 − 4 𝑒 −36𝜋 𝑡 sin 6𝜋𝑥;
2
3) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑒 −4𝜋 𝑡 sin 2𝜋𝑥 − 𝑒 −9𝜋 𝑡 sin 6𝜋𝑥;
4) 𝑢(𝑥, 𝑡) =
4
3 −2𝜋𝑡
𝑒
4
sin 2𝜋𝑥 −
4
1 −6𝜋𝑡
𝑒
4
sin 6𝜋𝑥.
7. Краевая задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге:
∆𝑢 = 0, 0 ≤ 𝑟 < 1, 𝑢|𝑟=1 sin3 𝜑
имеет решение…
3
1
3𝑟
1)𝑢(𝑟, 𝜑) = 4 sin 𝜑 − 4 sin 3𝜑 ;
2) 𝑢(𝑥, 𝑡) =
3) 𝑢(𝑥, 𝑡) =
4) 𝑢(𝑟, 𝜑) =
3𝑟
4
sin 𝜑 −
𝑟3
4
27𝜑;
sin 𝜑 −
4
3𝑟
4
𝑟3
sin 3𝜑 ;
4
𝑟3
sin 𝜑 −
4
sin 3𝜑.
8. Краевая задача Дирихле для уравнения Пуассона в кольце:
𝜕𝑦
∆𝑢 = 𝑟 3 cos 𝜑 , 1 < 𝑟 < 2, 𝑢|𝑟=1 = cos 2𝜑 , |
= sin 3𝜑
𝜕𝑟 𝑟=2
имеет решение…
𝑟5
107
𝑟5
40
107
𝑟5
40
107
𝑟3
40
107
1) 𝑢(𝑟, 𝜑) = (24 +
2) 𝑢(𝑟, 𝜑) = (24 −
3) 𝑢(𝑟, 𝜑) = (24 −
4) 𝑢(𝑟, 𝜑) = (24 −
40
79
1
16
16
16
79
1
16
16
16
79
1
16
16
16
79
1
16
16
16
𝑟 + 30𝑟) sin 𝜑 + (17 𝑟 + 17 𝑟) cos 2𝜑 + (195 𝑟 + 195𝑟) sin 3𝜑;
𝑟 + 30𝑟) sin 𝜑 + (17 𝑟 + 17 𝑟) sin 2𝜑 + (195 𝑟 − 195𝑟) cos 3𝜑;
𝑟 + 30𝑟) cos 𝜑 + (17 𝑟 + 17 𝑟) cos 2𝜑 + (195 𝑟 − 195𝑟) sin 3𝜑;
𝑟 + 30𝑟) cos 𝜑 + (17 𝑟 + 17 𝑟) cos 2𝜑 + (195 𝑟 − 195𝑟) sin 3𝜑.
6.2 Примерные темы рефератов/ учебных проектов
1. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных.
2. Решение уравнений математической физики на основе теории тригонометрических
рядов Фурье;
3. Решение уравнений математической физики методом разделения переменных;
4. Распространение тепла в пространстве. Стационарное тепловое поле.
5. Описание потенциального течения жидкости с помощью уравнений математической
физики.
6.3 Вопросы для подготовки к экзаменам по дисциплине
Раздел 1. Общие сведения об уравнениях математической физики ОК-10, ПК-2
1. Что такое уравнение с частными производными?
2. Запишите волновое уравнение. Какие процессы им описываются?
3. Запишите уравнение теплопроводности. Какие процессы им описываются?
23
4. Запишите уравнение Пуассона. Какие процессы им описываются?
5. Запишите уравнение Лапласа. Какие процессы им описываются?
6. В чем состоит задача математической физики?
7. Какие условия называются граничными?
8. Какие условия называются начальными?
9. Какая задача математической физики считается поставленной корректно?
10. Для чего необходимо требование устойчивости решения задач математической
физики?
11. Какое уравнение с частными производными называются однородным?
12. Что называется порядком уравнения?
13. Дайте понятие об общем интеграле уравнения в частных производных. Приведите
примеры.
Раздел 2. Типы линейных УЧП второго порядка ОК-10, ПК-2
1. Какое уравнение называется линейным, квазилинейным?
2. Как определяется тип уравнений в частных производных второго порядка?
3. При решении каких физических задач получаются уравнения каждого из типов УЧП
второго порядка?
4. Какому условию должны удовлетворять новые переменные при упрощении уравнения и
почему?
5. Какое уравнение называется характеристическим для линейного относительно старших
производных уравнения с частными производными второго порядка с двумя
независимыми переменными?
6. Получите уравнение характеристик.
7. Почему тип уравнения не меняется после указанной замены переменных?
8. Почему при приведении параболического уравнения к каноническому виду вторая
замена берется произвольным образом? Есть ли какие-нибудь ограничения на эту замену?
9. Что называют характеристиками уравнения с частными производными второго порядка
с двумя независимыми переменными?
Раздел 3. Специальные функции ОК-10, ПК-2
1. Какие функции называются специальными функциями? Приведите примеры
специальных функций.
2. Запишите уравнения Бесселя.
3. При решении какой задачи появляется уравнение Бесселя?
4. Каков вид общего решения уравнения Бесселя?
5. Какие свойства функции Бесселя вы знаете?
6. Какие специальные функции называются сферическими функциями?
7. Напишите уравнение, решениями которого являются полиномы Лежандра.
8. Напишите уравнение, решениями которого являются сферические функции Лежандра.
9. При решении каких задач математической физики появляются сферические функции?
Раздел 4. Задача Коши для одноименного волнового уравнения ОК-10, ПК-2
1. Какое уравнение называется уравнением гиперболического типа? Приведите примеры.
2. Напишите каноническую форму уравнения гиперболического типа.
3. Напишите общий вид уравнения колебаний.
4. Что называется струной? Выведите уравнения колебаний струны.
5. Какие характеристики имеет одномерное волновое уравнение?
6. Что называется задачей Коши? Для какого типа уравнений ставится задача Коши?
Приведите примеры.
7. Какие методы решения задачи Коши для уравнений гиперболического типа Вы знаете?
8. Выведите формулу Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения.
9. Приведите физическую интерпретацию полученного решения.
10. Сформулируйте и решите задачу Коши для неоднородного уравнения колебания
струны. Что называется обобщенным решением?
Раздел 5. Задача на характеристиках (задача Гурса) ОК-10, ПК-2
24
1. Что называется задачей Гурса? Для какого типа уравнений ставится задача Гурса?
Приведите примеры.
2. Какие методы решения задачи Гурса Вы знаете?
3. Докажите равносильность задачи Гурса системе интегральных уравнений.
4. Получите решение задачи Гурса методом Римана.
5. Докажите существование и единственность решения задачи Гурса.
Раздел 6. Метод Римана решения задачи Коши для гиперболического уравнения ОК10, ПК-2
1. Выведите формулу Римана решения задачи Коши для уравнения гиперболического
типа.
2. Функция Римана и ее свойства.
3. Получить функцию Римана для уравнения uxy=0.
4. Получите решение задачи Гурса методом Римана.
5. Получите решение задачи Коши методом Римана для телеграфного уравнения.
Раздел 7. Метод разделения переменных для одномерного волнового уравнения ОК10, ПК-2
1. Сформулируйте задачу Штурма-Лиувилля.
2. Что называется собственной функцией задачи? Что такое собственное значение задачи?
3. Сформулируйте смешанную задачу для конечной струны для случая жесткого
закрепления ее концов.
4. Какие ГУ для одномерного волнового уравнения Вы знаете? В чем состоит их
физический смысл?
5. Выполните процесс разделения переменных в случае одномерного волнового уравнения
с двумя независимыми переменными.
6. Применим ли метод Фурье для неоднородных ГУ?
7. Приведите физическую интерпретацию полученного решения.
Раздел 8. Задача Коши для уравнения теплопроводности ОК-10, ПК-2
1. Какое уравнение называется уравнением параболического типа? Приведите примеры.
2. Напишите каноническую форму уравнения параболического типа.
3. Сформулируйте задачу Коши для уравнения теплопроводности.
4. Какие методы решения данной задачи Вы знаете?
5. Что называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности?
6. В чем отличие полученных решений задач Коши для параболического и
гиперболического уравнений?
7. Как доказывается выполнение НУ?
Раздел 9. Метод разделения переменных для решения уравнения теплопроводности
ОК-10, ПК-2
1. Сформулируйте задачу об остывании конечного стержня.
2. Какие ГУ для уравнения теплопроводности Вы знаете? В чем состоит их физический
смысл?
3. Выполните процесс разделения переменных в случае одномерного уравнения
теплопроводности с двумя независимыми переменными.
4. Что происходит с течением времени с «подробностями» НУ?
5. Какая функция называется функцией мгновенного температурного источника?
Раздел 10. Гармонические функции и их свойства ОК-10, ПК-2
1. Дайте определение гармонической функции.
2. Сформулируйте и докажите свойства гармонических функций.
3. Может ли гармоническая функция в начале координат быть равной 0, а на окружности
x2+y2=1 быть положительной?
4. С какими функциями тесно связаны гармонические функции?
25
5. Для чего применяется принцип максимума?
Раздел 11. Основные задачи для уравнений Лапласа и Пуассона ОК-10, ПК-2
1. Какое уравнение называется уравнением эллиптического типа? Приведите примеры.
2. К какому типу уравнений относится уравнение Лапласа? Пуассона?
3. Какие характеристики имеет двухмерное уравнение Лапласа?
4. Напишите каноническую форму уравнения эллиптического типа.
5. Напишите уравнение Лапласа и уравнение Пуассона. Сформулируйте основные
краевые задачи для этих уравнений.
6. Докажите единственность решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
7. Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения Лапласа в
цилиндрических координатах.
8. Выполните процесс разделения переменных в случае уравнения Лапласа в сферических
координатах.
9. Сформулируйте задачу Дирихле для круга. Получите решение этой задачи методом
разделения переменных.
10. Докажите единственность и устойчивость задачи Дирихле для круга.
11. Напишите интеграл Пуассона. В чем преимущество такого представления решения
задачи Дирихле для круга?
12. Что называется ядром Пуассона? Сформулируйте и докажите свойства ядра Пуассона.
13. Дайте определение функции Грина задачи Дирихле. Сформулируйте и докажите ее
свойства.
14. Решение задачи Дирихле в круге, в полукруге и в шаре методом Грина.
15. Решение задачи Неймана для уравнения Лапласа методом Грина.
Раздел 12. Теория потенциала ОК-10, ПК-2
1. Дайте определение потенциалов простого и двойного слоя, перечислите их свойства.
2. Почему рассматриваемые функции названы потенциалами?
3. Для решения каких задач и каким образом применяются потенциалы простого и
двойного слоя?
4. Дайте определение потенциала объемных масс, перечислите его свойства.
5. Докажите, что потенциал объемных масс является решением уравнения Пуассона.
Раздел 13. Уравнения смешанного типа ОК-10, ПК-2
1. Почему тип уравнения определяется в точке? От чего зависит тип уравнения? Что
можно сказать о типе уравнения с постоянными коэффициентами?
2. Какое уравнение называется уравнением смешанного типа?
3. Что называется смешанной задачей? Для какого типа уравнений ставится смешанная
задача? Приведите примеры.
4. Постановка задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе. Сформулируйте и
докажите принцип экстремума Бицадзе.
5. Сформулируйте и докажите принцип экстремума Бицадзе.
6. Докажите существование решения задачи Трикоми.
7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины (модуля)
7.1 Основная литература
1. Щербакова Ю.В. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Щербакова Ю.В., Миханьков М.А.— Электрон. текстовые данные.— Саратов:
Научная книга, 2012.— ЭБС
2. Ильин А.М. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]: учебное
пособие/ Ильин А.М.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит, 2009.— ЭБС
26
3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики [Электронный ресурс]/
Владимиров В.С., Жаринов В.В.— Электрон. текстовые данные.— М.: Физматлит,
2008.— 400 c.— ЭБС.
7.2 Дополнительная литература
1. Сабитов К.Б. Уравнения математической физики: Учеб. Пособие для вузов. – М.: Высш.
шк. – 2003. – 255 с.
2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.И. Сборник задач по математической физике.
М.: Физматлит, 2003. – 688 с. ISBN: 978-5-9221-0311-4
[Электронный ресурс] – Режим доступа: WWW.URL:
http://biblioclub.ru/67912_Sbornik_zadach_po_matematicheskoi_fizike.html
3. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики:
Учеб.вузов./Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – 2-е изд. – М.: Изд-во МГТУ им.
Н.Э. Баумана, 2002. – 368 с.
4. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.; 1977. – 422 с.
5. Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.; 1961. – 400 с.
6. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.; 1972. – 736 с.
7. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.В. Сборник задач по уравнениям математической физики.
М.; 1977. – 224 с.
8. Сборник задач по уравнениям математической физики./Под ред. В.С. Владимирова. – 3е изд., испр. – М.: Физматлит, 2001. – 288 с.ISBN: 5-9221-0309-1
[Электронный ресурс] – Режим доступа:
WWW.URL:http://biblioclub.ru/68127_Sbornik_zadach_po_uravneniyam_matematicheskoi_fizi
ki.html
7.3 Периодические издания
Не предусмотрены.
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет"
(далее - сеть "Интернет"), необходимых для освоения дисциплины (модуля)
№
Интернет-ресурс
Краткое описание
1
htth://exponenta.ru
Математический сайт с большим
количеством методических материалов
по
высшей
математике
и
математическим компьютерным пакетам
2
htth://fizmatkniga.ru
Доставка книг (в бумажном
варианте) по математике и физике
3
htth://math.ru
Научно-популярный
математический сайт
4
htth://techlibrary.ru/books.html
Книги по математике и физике в
электронном виде
5
htth://allmatematika.ru
Форум по математике
6
htth://elementy.ru
Энциклопедический сайт
7
htth://en.edu.ru
Портал
является
составной
частью
федерального
портала
«Российское образование». Содержит
ресурсы и ссылки на ресурсы по
естественно-научным дисциплинам
8
htth://ru.wikipedia.org
Энциклопедия «Википедия»
9. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)
Методические указания студентам
27
Следует обратить особое внимание на систематическое выполнение домашних
заданий. Решение задач теории вероятности и математической статистики во многом
основано на свободном владении аппаратом линейной алгебры и математического анализа.
9.1.Методические рекомендации по
самостоятельной работы студентов
изучению
дисциплины
и
организации
Самостоятельная работа студентов – совокупность всей самостоятельной
деятельности обучаемых как в отсутствие преподавателя, так и в контакте с ним, в
учебной аудитории и за ее пределами (в том числе и в ходе учебных занятий). При
изучении данной дисциплины целесообразно использовать следующие формы учебной
работы:
- обзорные лекции;
- самостоятельная работа студентов с учебной и методической литературой;
- выполнение контрольных заданий (упражнений, тестов, задач).
Планируя время на изучение дисциплины, студентам можно руководствоваться
предложенным учебно-методическим планом, где указано распределение времени,
отведенного на изучение дисциплины, между лекциями, семинарами и самостоятельной
подготовкой.
В ходе самостоятельной работы студентам необходимо разбираться с изучаемым
вопросом, используя учебники (смотри список основной литературы) и материалы лекций.
Для подготовки докладов к семинарским занятиям, или для углубления знаний по той или
иной теме, целесообразно воспользоваться дополнительной литературой (смотри список
дополнительной литературы). Учебники и другую литературу можно взять в библиотеке.
При подготовке докладов, сообщений можно воспользоваться Интернет-ресурсами.
При этом следует обратить внимание на то, чтобы используемая информация была
актуальна и достоверна.
9.2. Методические рекомендации и указания по подготовке реферата
Целью реферативной работы является приобретение навыков работы с
литературой, обобщения литературных источников и практического материала по теме,
способности грамотно излагать вопросы по теме, делать выводы. Реферат должен иметь
следующие разделы: введение, основную часть, выводы, а также пронумерованный
список использованной литературы (не менее 2-х источников) с указанием автора,
названия, места издания, издательства, года издания.
Во введении следует отразить место рассматриваемого вопроса в естественно научной проблематике, его теоретическое и прикладное значение.
Основная часть должна излагаться в соответствии с планом, четко и
последовательно, желательно своими словами. В тексте должны быть и необходимо
делать ссылки на использованную литературу. При дословном воспроизведении
материала каждая цитата должна иметь ссылку на соответствующую позицию в списке
использованной литературы.
Выводы должны содержать краткое обобщение рассмотренного материала,
выделение наиболее достоверных и обоснованных положений и утверждений, а также
наиболее проблемных, разработанных на уровне гипотез, важность рассмотренной
проблемы с точки зрения практического приложения, мировоззрения, этики т.п.
Реферат должен быть аккуратно напечатан или написан на бумаге стандартного
(А.4) формата, на одной стороне листа. Страницы должны быть пронумерованы, начиная
со 2-й (титульный лист, включается в общую нумерацию, но номер на нем не
проставляется). Номер страницы проставляются в правом верхнем углу без точки в конце.
Текст реферата следует печатать (писать), соблюдая следующие размеры полей: левой –
28
не менее 30 мм, правое – не менее 10 мм. Верхнее и нижнее – не менее 20 мм. Примерный
объем реферата составляет 20-25 страниц машинописного текста.
Для наглядности изложения желательно сопровождать текст рисунками. В
последнем случае на рисунки в тексте должны быть соответствующие ссылки, например
«см. рисунок 5» или «график…приведем на рисунке 2».
Тема реферата может быть выбрана из предложенного списка, либо носить
свободный характер. Работа над рефератом позволит лучше подготовиться к экзамену, т.к.
темы из предложенного списка во многом совпадают с вопросами, выносимыми на
экзамен. Кроме того, в рабочей программе курса можно найти краткое содержание и
список рекомендованной литературы. При выборе свободной темы все это придется
выполнять самостоятельно.
9.3. Методические рекомендации по выполнению учебных проектов
Учебные проекты готовятся студентами индивидуально или небольшими группами
по 2-3 человека. По результатам разработки проекта готовится презентация в Microsoft
PowerPoint (10-15 слайдов) и доклад (в пределах 5 минут). На слайды презентации
рекомендуется выносить рисунки, таблицы, схемы, в виде текста только основные
положения доклада.
Студенты выбирают темы учебных проектов согласно порядковому номеру в
журнале. Структура презентации учебного проекта студентов данных специальностей:
- титульный лист (1 слайд);
- теоретическая часть, раскрывающая суть темы (8-13 слайдов);
- заключение, в котором излагаются собственные выводы и предложения автора (1
слайд).
Защита проекта происходит в форме краткого доклада на занятии и ответов на
вопросы преподавателя и студентов по данному докладу. Критериями оценки учебных
проектов являются оформление, содержание (концептуальность, логичность и
конструктивность работы) и форма подачи (доклад, ответы на вопросы).
10. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
табличный процессор Excel (встроенные статистические функции, надстройка
AtteStat);
математический ППП MathCAD;
Статистический пакет «Statistica».
11. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
1. Компьютерный класс, оснащенный современной техникой (PENTIUM 3,
PENTIUM 4, INTEL CORE 2)
2. LCD – проектор EPSON EMP-X3;
3. Ноутбук ASUS A6RP;
4. Экран для проектора ЭКСКЛЮЗИВ MW 213*213.
29