Министерство образования Республики Беларусь Министерство образования и науки Российской Федерации Учреждение образования

Министерство образования Республики Беларусь
Министерство образования и науки Российской Федерации
Учреждение образования
БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра «Автоматизированные системы управления»
С.К. Крутолевич
«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И
МОДЕЛИ»
Тема 9
Система массового обслуживания
Конспект лекций
для студентов экономических специальностей
Могилев 2006
9. Система массового обслуживания
9.1. Модель системы массового обслуживания с простейшим
входным потоком.
9.1. Модель системы массового обслуживания с простейшим
входным потоком.
Система содержит:
1. При свободных каналах заявка принимается на
обслуживание.
2. При занятых – направляется в очередь.
3. Если все места в очереди заняты, заявке отказывается в
обслуживании.
Самая простая система массового обслуживания с простейшими
входными и выходными потоками.
Входной поток характеризует закономерность появления заявки на
обслуживание.
Выходной поток характеризует продолжительность обслуживания
заявки.
Простейшие потоки характеризуются 3 свойствами:
1. Стационарностью – характеристики случайных величин не
зависят от времени.
2. Ординарностью – это значит, что 2 заявки не могут поступить
одновременно. В результате этого свойства системы массового
обслуживания поочередно занимают все возможные состояния.
3. Отсутствие последствий – появление одной заявки не влияет на
появление других.
Модель СМО отражает следующие свойства:
1. Множество возможных состояний;
2. Возможные переходы от i состоянія в i +1 ілі i –1;
3. Интенсивность переходов.
Множество возможных состояний зависит от характеристики системы
обслуживания, которая включает 2 основных показателя:
1. n– число каналов обслуживания, n=2.
2. m – число мест в очереди
Если m=0, значит система массового обслуживания без очереди.
Заявка или сразу обслуживается или отклоняется.
Если m>0, то система массового обслуживания c очередью.
Если m=, то система с ожиданием.
m=3
Необходимо определить организацию дисциплины в очереди:
FIFO– первый пришел, первый ушел
LIFO – последний пришел, первый ушел (склад. х-во)
λ01
0
1
λ10
СМО
свободна
λ12
λ23
2
λ21
λ34
λ45
4
3
λ32
5
λ43
Каналы обслуживания
λ54
Очередь
Отказ
в обслуживании
Т.О. число возможных состояний системы:
k = m + n +1;
1 – характеризует свободное (нулевое) состояние системы
P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 1.
Сумма вероятностей всех возможных состояний равна 1
Pi, i+1 = Pi+1, I;
P01=P10; – для крайних состояний
Интенсивность перехода определяется статистическими
характеристиками входного и выходного процесса. Для входного
процесса – это интенсивность входного потока, которая равна числу
поступивших заявок и принятых на обслуживание за единицу времени:
k
.
t

С интенсивностью  система переходит с i в i +1 состояние:
i  i  1;
Интенсивностью перехода с i +1 в i состояние определяется числом
каналов обслуживания n и интенсивностью обслуживания , которая
зависит от среднего времени обслуживания одной заявки.

1
tобсл уж
;
n
tобсл уж 
t
i 1
обсл уж _ i
n
.
Ожидание в очереди во время обслуживания не входит.
n – число заявок, принятых на обслуживание
λ10 = 1*μ;
λ21 = λ32 = λ43 = λ54 = 2*μ;
Определим вероятность нахождения системы в Pi состоянии.
Вероятность перехода системы с i-го в i +1 состояние равна
вероятности нахождения в i-том состоянии, умноженном на
интенсивности перехода.
Pi, i+1 = Pi * λi, i+1;
Pi+1, i = Pi+1 * λi+1, i;
i = 0; P1λ10 – P0λ01 = 0; P1 = P0 λ01/λ10.
i = 1; P0λ01 –
P1λ10 + P2λ21 – P1λ12 = 0;
P2 = P0λ01/λ10*λ12/λ21 = P1λ12/λ21.
Соответственно
P3 = P0λ01/λ10*λ12/λ21*λ23/λ32 = P2λ23/λ32.
Введем обозначения:
di = λi-1, i/λi, i-1.
d2 = λ12/λ21;
d1 = λ01/λ10;
d3 = λ23/λ32.
В конечном виде формулы имеют вид:
s
Ps  P0  d1  d 2  d i  P0  d i ,
i 1
R
R
 P  P   P  1,
i 1
i
0
i
i 1
R
P0  P0  d1  d 2  ...  d s  1,
s 1
P0  [1  d1  d1  d 2  d1  d 2  d 3  ...  d1  d 2  ...  d k ]1.
Так определяется вероятность нахождения системы в нулевом
состоянии.
Pi = Pi-1 di ;
Определяем характеристики системы МО, у которой число каналов
N=2, число мест в очереди m=3, интенсивность входного потока заявок
 = 6 з/час, время обслуживания t обслуж= 90 мин=1,5 часа:
1. Определяем характеристику выходного потока заявок

2. Определяем к-ты di
d1 
1
tобсл уж

1
2
 ;
1.5 3
01 
6


 9;
10  2
3
.
d2  d3  d4  d5 


6
9


 ;

2 4
2
12
21
3
Определяем вероятность нахождения системы в свободном
состоянии
9 2 93 9 4 95 1
P0  [1  9 


 ]  0.0002.
2 2 2 23 2 4
P1  P0  d1  0.0002  9  0.002;
9
 0.0085;
2
9
P3  P2  d 3  0.0085   0.038;
2
9
P4  P3  d 4  0.038   0.17;
2
9
P5  P4  d 5  0.17   0.778;
2
 Pi  1.
P2  P1  d 2  0.002 
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
1
2
3
4
5
Средняя длина отрезка равна сумме произведений числа заявок в
очереди на вероятность соответствующего состояния системы
L0 = 1 * P3 + 2 * P4 + 3 * P5 = 0.038 + 2 * 0.17 + 3 * 0.778 = 2.7
заявок.
Вероятность отказа совпадает с вероятностью наиболее
загруженного состояния системы
Pотк = P5 = 0.778.
Вероятность обслуживания
Pобслуж = 1 – Pотк = 0.222.
Продажная способность СМО определяется, как произведение
вероятности обслуживания на интенсивность выходного потока заявок.
a = Pобслуж * λ = 0.222 * 6 = 1.3 заявки/час.
Среднее число занятых каналов обслуживания
n
a


1.3
 1.99;
2
3
Среднее число заявок в системе определяется как сумма заявок на
обслуживание и заявок в очереди.
Lc  L0  n  2.7  1.99  4.7;
Среднее время нахождения заявок в очереди
L0
2.7

 2.05часа;
a
1.3
T0 
L0 – длина очереди
а – пропускная способность системы
Среднее время пребывания заявки в системе МО
Tс 
Lс
4.7

 3.5часа;
a
1.3
Необходимо определить выгодно ли открывать дополнительно
аналогичные системы массового обслуживания
2 СМО λ = 3;
3 СМО λ = 2;
λ=6/М.
Каждая обслуженная заявка приносит прибыль:
W = (N + 40)$.
Содержание одной СМО
СМО = 20$/час = 3СМО.
Содержание заявок в очереди
З0 = 5$/1 заявку в час;
Общая прибыль определяется по формуле:
F = M * (a * W - 30 * L0 * T0 – 3CMO).
M
1
2
3
4
5
N
32
x
a
6
1,332
3
0,666
2
0,444
1,5
0,333
1,2
0,2664
L0
W
2,7
72
T0
2,027027
4,054054
6,081081
8,108108
10,13514
3o
5
F
48,53914
-53,5555
-210,38
-421,934
-688,218
3CMO
20