- Кафедра Астрономии и Геодезии

Дальневосточный государственный университет
Кафедра астрономии и геодезии
Литература по ТМОГИ есть в читальном зале естественнонаучной литературы и на учебном абонементе
библиотеки ДВГУ. Сайт: http://ini-fb.dvgu.ru/
Некоторые книги можно получить в электронном виде, написав письмо по адресу: geo112@mail.ru
Вопросы по контрольной работе направляйте по адресу: geo112@mail.ru
Контрольные задания по курсу
«Теория математической обработки геодезических измерений»
Для студентов заочного отделения специальности
«Прикладная геодезия»
Владивосток
2009
Задание 1 (с примером решения)
Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100,
превышающих по абсолютной величине: а) одинарное с.к.о. измерений, т.е. σ; б)
удвоенное с.к.о. измерений, т.е. 2σ; в) 2,5σ; г) утроенное с.к.о. измерений, т.е. 3σ, при
n=1000.
Примечание: с.к.о. – среднеквадратическая ошибка, обозначается  или m.
Решение: Для начала необходимо правильно записать, что нам дано по условию
задачи и что надо найти.
По условию задачи: а) n=100 и    ; б) n=100 и   2 ; в) n=100 и   2,5
г) n=1000 и   3 .
Необходимо определить: а) P   ; б) P  2 ; в) P  2,5 ; г)
P  3 .
Приведем алгоритм решения задания а). Решение сводится к нахождению
соответствующих значений интеграла вероятности Ф(t) по таблице в Приложение 1.
Алгоритм решения задания а):
Находим значение интеграла вероятности Ф(t) при заданном предельном
значении  , равном одинарному с.к.о. измерений, т.е. σ. Для этого необходимо
вычислить значение центрированной, нормированной случайной величины t для
данного предельного значения. Хочется отметить, что в данном случае речь идет о
случайных ошибках измерений  , которые уже являются центрированными
величинами, т.к. обладают свойством компенсации.
P   = Ф(t), где t 


.

=1.

Теперь по заданному значению центрированной нормированной случайной
величины t можно определить соответствующее значение Ф(t) по таблице из
Приложения 1.
Для t=1 интеграл вероятности Ф(t)=0,683. Следовательно, вероятность попадания
случайной величины по абсолютной величине  в интервал, не превышающий
одинарной с.к.о. σ, равен 0,683.
Однако по условию задачи надо было наоборот определить вероятность
попадания случайной величины Δ в интервал, превышающий одинарное с.к.о. σ
измерения, т.е. P   .
Подставляем в числитель предельное значение  и получаем t 
Для этого необходимо вычесть P    из 1, т.е. P   =1– P   .
P   =1–0,683= 0,317
Чтобы найти число ошибок Δ из общего их числа n=100, превышающих по
абсолютной величине одинарное с.к.о.,
перемножим вероятность
попадания
случайной величины Δ в интервал, превышающий одинарное с.к.о. и количество
ошибок:
2
k  n(1  P   )  n  P     100  0,317  31,7  32
Для контроля вычислим число ошибок Δ, не превышающих по абсолютной
величине одинарное с.к.о. измерений:
k   n  P     100  0,683  68,3  68
Определим общее число ошибок: n  k  k  =32+68=100.
Ответ: а) 32 ошибки по абсолютной величине превысят одинарное значение с.к.о.,
если общее число ошибок равно 100.
Заданное
предельное
значение

t
Ф(t)
100
100
1000
2,0σ
2,5σ
3,0σ
2,0
2,5
3,0
0,955
0,988
0,997
Число ошибок
P   = превышающих
укладывающихся
заданное
1–
в пределы
значение
P   
от 0 до ±σ
k  n(1  Ф(t ))
0,045
5
95
0,012
1
99
0,003
3
997
Контроль
Число
ошибок n
Задания б), в) и г) решаются по аналогии, поэтому приведем итоговую таблицу
результатов вычислений:
100
100
1000
Задание 2
Определить вероятность того, что ошибка измерения Δ
не превзойдет по
абсолютной величине следующих пределов: 1) 1,25σ; 2) 1,50σ; 3) 1,75σ; 4) 2,00σ; 5) 2,25σ;
6) 2,50σ; 7) 2,75σ; 8) 3,00σ; 9) 3,25σ; 10) 3,25σ.
Вычислить, сколько ошибок не выйдет за эти пределы, если всех ошибок 1000.
Задание 3 (с примером решения)
Вероятность появления ошибки в пределах от –10 до 10´´ равна 0,95, т.е.
P  10=0,95. Вычислить с.к.о. измерений, если M   0 .
Примечание: M  - математическое ожидание – это центр группирования
случайных величин (ошибок).
Решение: Так
как
Ф(t)=0,95,
то по таблице функции Ф(t) обратным
  M   10  1,96 , откуда σ=5,1´´.
интерполированием находим t=1,96. Но t 


Отметим, что математическое ожидание случайных ошибок равно нулю M   0
только в случае отсутствия систематических ошибок θ в измерениях. В противном случае
математическое ожидание сдвигается на величину систематической ошибки M    .
Задание 4
В каких пределах (–x;+x) можно с вероятностью 0,495 ожидать появления ошибки Δ,
т.е. P  х=0,495, если σ=15?
Задание 5
3
При некоторых условиях инструмент обеспечивает измерения с точностью σ=10´´.
Найти вероятность того, что при измерениях этим инструментом в тех же условиях
ошибка по абсолютной величине не превзойдет 6,0´´.
Задание 6 (с примером решения)
Вероятным (средним) отклонением Е называется величина, больше и меньше
которой (по абсолютной величине) ошибки в ряде наблюдений равновозможны, т.е.
P  Е=1/2.
Найти вероятность того, что ошибка Δ не превзойдет предел, равный: а) 2µабс; и б)
2Е.
Решение: Для решения задачи необходимо воспользоваться формулами связи
среднеквадратической ошибки σ и вероятной (средней) Е:
Е  0,67
и связи с.к.о. σ и средней абсолютной ошибки µабс :
 абс  0,80 .
Далее решение сводится к нахождению соответствующих значений интеграла
вероятности Ф(t) по таблице в Приложение 1.
2
2 абс
а)
Следовательно,
P  2 абс   Ф(t ) ,
t  абс 
 1,60 .

1,25 абс
P  2 абс   Ф(1,6)  0,890 .
б)
P  2Е  Ф(t ) ,
P  2Е  Ф(1,34)  0,820 .
t
2Е


1,34

 1,34 .
Следовательно,
Задание 7
Вычислить наиболее возможное число ошибок Δ из общего их числа n=100,
превышающих по абсолютной величине: а) одинарную вероятную ошибку измерений, т.е.
Е; б) двойную вероятную ошибку измерений, т.е. 2Е; в) тройную вероятную ошибку
измерений, т.е. 3Е.
Задание 8
Известно вероятное отклонение на 1 км нивелирного Е=2,0 мм. Определить
вероятность того, что среднее абсолютное отклонение на 1 км при нивелировании в таких
же условиях окажется не более 4,0 мм.
Задание 9
Вероятность того, что ошибка по абсолютной величине превзойдет 4,0´´, равна
0,823. Вычислить вероятное и среднее абсолютное значение.
Задание 10
4
При исследовании светодальномера одна и та же линия S была измерена 16 раз.
Результаты измерений приведены в таблице, пользуясь которыми следует вычислить:
первые 4 центральных момента, дисперсию, эксцесс, асимметрию и средние
квадратические ошибки эксцесса и асимметрии. Все вычисления привести в таблице.
№
n/n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Si, м
δSi= Si- Sср, мм
δSi2
δSi3
δSi4
6994.911
6994.890
6994.879
6994.895
6994.882
6994.898
6994.885
6994.883
6994.902
6994.901
6994.895
6994.894
6994.896
6994.883
6994.895
6994.902
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных
в списке литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: §10. Числовые характеристики случайной величины.
Математическое ожидание, дисперсия и их свойства. Моменты стр. 36-45;
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §13. Основные характеристики (параметры распределения) случайной
величины стр. 56-64; §14. Дополнительные характеристики случайной величины стр. 8287.
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений:
§3.Случайные величины и их характеристики стр. 14-16; §7. Моменты, асимметрия и
эксцесс стр. 22-25.
Задание 11
В треугольнике измерены углы α и β со средними квадратическими ошибками
mα=3.0" и mβ =4.0". Найти mγ третьего угла γ, вычисленного по углам α и β.
Указание!
5
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §35. Средние квадратические ошибки функции измеренных величин стр.
126-132.
Задание 12
Линия состоит из 5 отрезков, длины и средние квадратичные ошибки которых
приведены в таблице.
№ n/n
1
2
3
4
5
Длины Si, м
103.74
129.67
145.81
94.65
138.52
mi , м
0.054
0.072
0.081
0.063
0.115
Вычислить абсолютную и относительную средние квадратические ошибки всей линии.
Указание!
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §31. Абсолютные и относительные ошибки стр. 116-117; §35. Средние
квадратические ошибки функции измеренных величин стр. 126-132;
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §2.
Классификация ошибок стр. 10-14.
Задание 13
Найти вес Ps площади треугольника, если его основание b=8 м имеет вес Pb=1,
высота h=16 м имеет вес Рh=0.5.
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных
в списке литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: §24. Неравноточные измерения. Понятие веса. Вес функции
измеренных величин стр. 121-127;
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §43. Общие сведения о весах. Основные формулы стр. 162-164; §44.
Вычисление весов функций стр. 164-167.
6
Задание 14
Произвести действия с матрицами:
 2 1  1 0 
 2 1  1 0 

  
 

  
 
1
1
0
1
1
1
0
1

 


 

1 1
 2 1  1 0 

  
 
1 1    
 1 1  0 1 
1 1
1 1

  1 1 
1 1
Задание 15
Угол измерен высокоточным теодолитом с ошибкой 1΄, расстояние измерено лентой
с ошибкой, равной 5 м; превышение определено геометрическим нивелированием с
ошибкой 0,5 м. Можно ли считать эти погрешности грубыми?
Задание 16
Ряд измерений выполнен со следующими погрешностями: +1; -1; -3; 0; -4; -1; +2; -2;
-3. Являются ли эти погрешности случайными или носят систематический характер?
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в
списке литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §29. Классификация ошибок измерений стр. 110-111;
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §2.
Классификация ошибок стр. 10-14.
Задание 17
К какой категории следует отнести погрешности: коллимационную, за неравенство
подставок трубы, за эксцентриситет алидады, погрешности делений лимба, погрешности
наведения, погрешности отсчитывания, погрешности за рефракцию?
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в
списке литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §29. Классификация ошибок измерений стр. 110-111;
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §2.
Классификация ошибок стр. 10-14.
Задание 18
Расстояние измерено лентой и нитяным дальномером; длина стороны треугольника
измерена лентой и получена из решения треугольника; высота визирного цилиндра над
центром пункта измерена рулеткой и получена аналитически; один из углов треугольника
7
измерен теодолитом и получен по остальным двум углам. В каждом случае одно
измерение непосредственное другое - косвенное. Какие измерения являются здесь
косвенными?
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в
списке литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §27. Общие сведения об измерениях стр. 106-107.
Задание 19
Линия, истинное значение длины которой равно 125,43 м, измерена 6 раз.
Результаты измерений следующие: 125,56; 125,49; 125,39; 125,38; 125,44; 125,35 м.
Определить среднюю, вероятную и среднюю квадратическую погрешности одного
измерения.
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в
списке литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §30. Критерий точности измерений стр. 111-116;
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §5.
Вероятная (средняя) ошибка стр. 20-21; §6. Средняя абсолютная ошибка стр. 22.
Задание 20
Истинные погрешности результатов определений превышений равны в
миллиметрах: +0,11; +0,05; -0,02; +0,25; +0,04; -0,20; -0,12; -0,07; +0,50; -0,03; +0,13,
Найти среднюю квадратическую, среднюю и вероятную погрешности одного измерения.
Проверить, имеются ли среди истинных ошибок грубые погрешности.
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в
списке литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §30. Критерий точности измерений стр. 111-116; §33. Исследование рядов
измерений стр. 120-125; §52. Допуски результатов измерений и их функции стр. 187-189;
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §5.
Вероятная (средняя) ошибка стр. 20-21; §6. Средняя абсолютная ошибка стр. 22.
Задание 21
Средние квадратические погрешности равны: 1) измерения угла m = 20"; 2) отсчета
по рейке m = 0,7 мм; 3) взаимного положения точек m = 0,3 м. Вычислить значения
соответствующих предельных ошибок.
Указание! Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в
списке литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §33. Исследование рядов измерений стр. 120-125.
8
Задание 22
Светодальномер обеспечивает измерение расстояний со средней квадратической
погрешностью m=3 см. Какую можно ожидать относительную погрешность при
измерении сторон длиной: 1) 200 м; 2) 500 м: 3) 1000 м; 4) 1200 м.
Указание!
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §31. Абсолютные и относительные ошибки стр. 116-117;
[3] Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений: §2.
Классификация ошибок стр. 10-14.
Задание 23
Составить условные и параметрические условные уравнения для нивелирной сети,
если А и В – исходные пункты; 1, 2, 3 – определяемые пункты, h1, h2, h3, h4, h5 измеренные превышения.
Примечание: Условные уравнения составляются при коррелатном уравнивании, а
параметрические условные - при параметрическом уравнивании.
Рис.1.
Указание!
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: §28. Параметрический способ уравнивания, уравнения поправок,
нормальные уравнения (равноточные измерения) стр. 137-147; §39. Коррелатный способ
уравнивания. Условные и нормальные уравнения, их решения стр. 230-237;
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §56. Параметрический способ уравнивания стр. 198-205; §58. Коррелатный
способ уравнивания стр. 215-219;
[4] Герасименко М.Д. Современный метод наименьших квадратов с геодезическими
приложениями §4. Коррелатный способ стр. 23; §5. Параметрический способ стр. 24-26.
Задание 24
9
1 0 2 


1 1 2 
T
Является ли нормальной матрица R = А А, если А = 
.
1 1 3


1 0 2 


Указание!
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: §28. Параметрический способ уравнивания, уравнения поправок,
нормальные уравнения (равноточные измерения) стр. 137-147; §39. Коррелатный способ
уравнивания. Условные и нормальные уравнения, их решения стр. 230-237;
[2] Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений: §61. Вычисление коэффициентов нормальных уравнений стр. 232-238.
[4] Герасименко М.Д. Современный метод наименьших квадратов с геодезическими
приложениями §3. Общее решение задачи стр. 11-23.
Задание 25
Составить условные и параметрические условные уравнения для треугольника, в
котором измерены все углы.
Указание!
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: § 42. Некоторые виды условных уравнений в геодезических сетях
стр. 246-259;
[5] Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей § 14. Условные уравнения в
сетях триангуляции стр. 143-158; § 14. Условные уравнения в сетях трилатерации стр.
158-161.
Задание 26
Составить условное уравнение горизонта для варианта:
Рис.2.
Указание!
10
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: § 42. Некоторые виды условных уравнений в геодезических сетях
стр. 246-259;
[5] Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей § 14. Условные уравнения в
сетях триангуляции стр. 143-158; § 14. Условные уравнения в сетях трилатерации стр.
158-161.
Задание 27
Составить условное уравнение жесткого угла для варианта:
Рис.3.
Указание!
Воспользоваться следующими параграфами в учебниках, приведенных в списке
литературы:
[1] Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической
обработки измерений: § 42. Некоторые виды условных уравнений в геодезических сетях
стр. 246-259;
[5] Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей § 14. Условные уравнения в
сетях триангуляции стр. 143-158; § 14. Условные уравнения в сетях трилатерации стр.
158-161.
Задание 28
Уравнять параметрическим способом нивелирную сеть, изображенную на рис. 4, и
получить все данные, характеризующие сеть.
Рис.4.
11
№ хода
Измеренные
превышения h, мм
+10
+17
+15
1
2
3
Длины ходов L,
км
4
6
2
Отметки исходных реперов: НА=100.010 м, НВ=100.000 м, НС=100.030 м.
Указание: веса ходов следует вычислять по формуле PI=С/L=10/L (КМ).
Задание 29
Уравнять коррелатным способом сеть задания 28.
Указание! Теоретические аспекты и примеры уравнивания сетей параметрическим и
коррелатным способами освещены в литературе [1], [2], [4], [5].
Приложение 1
Таблица значений интеграла вероятностей
Ф(t ) 
1
t
e
2 t
аргумента   x  x .
t
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
Ф(t)
0,000
0,080
0,159
0,236
0,311
0,383
0,451
0,516
0,576
0,632
0,683
d
80
79
77
75
72
68
65
60
56
51
t 2
2
dt , t 
t
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
0
n
k

 h  p , h 2 
, 0 –

pq
n

Ф(t)
0,683
0,729
0,770
0,806
0,838
0,866
0,890
0,911
0,928
0,913
0,955
d
46
41
36
32
28
24
21
17
15
12
t
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00
Ф(t)
0,955
0,964
0,972
0,979
0,984
0,988
0,991
0,933
0,995
0,996
0,997
заданные пределы измерений
d
9
8
7
5
4
3
2
2
1
1
t
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
Ф(t)
0,997
0,998
0,999
0,999
0,999
1,000
d
1
1
0
0
1
Рекомендуемая литература
1. Большаков В. Д., Маркузе Ю.И. Практикум по теории математической обработки
измерений. - М.: Недра, 1984.
2. Гайдаев П.А., Большаков В.Д. Теория математической обработки геодезических
измерений. – М.: Недра, 1969.
3. Герасименко М.Д., Штанько Г.В. Введение в теорию ошибок измерений. –
Владивосток: Изд-во ДВГТУ, 1996.
12
4. Герасименко М.Д. Современный' метод наименьших квадратов с геодезическими
приложениями. - Владивосток, Дальнаука, 1998.
5. Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей – М.: Недра, 1979.
13