Урок №4. КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Квадратным неравенством называют неравенство вида ах2+вх+с=0, где а#0 (вместо знака > может быть любой другой знак неравенства). Пример 1. Решить неравенство: а) х2-2х-3> 0 в) х2-2х-3<0 б) х2-2х-3≥ 0 г) х2-2х-3≤0 Решение. а) Рассмотрим параболу у=х2-2х-3, изображённую на рисунке. Решить неравенство х2-2х-3>0-это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны. Замечаем, что у>0, т. е. график функции расположен выше оси х , при х<-1 и при х>3. Значит, решениями неравенства служат все открытого луча (-∞; -1) и все точки открытого луча (3; +∞). б) Неравенство х2-2х-3<0 или у<0, где у=х2-2х-3, также можно решить с помощью данного рисунка: график расположен ниже оси х, если -1<x<3. Поэтому решениями данного неравенства служит промежуток (-1; 3). в) Неравенство х2-2х-3≥0 отличается от неравенства х2-2х-3>0 тем,что в ответ нужно включить и корни уравнения х2-2х-3=0, т. е. точки х=-1 и х=3. Таким образом, решениями данного неравенства являются все точки луча (-∞; -1]и [3; +∞). г) Неравенство х2-2х-3≤0 отличается от неравенства х2-2х-3<0 тем, что в ответ надо включить и корни уравнения х2-2х-3=0, т. е. точки х=-1 и х=3. Следовательно, решениями данного неравенства служат все точки отрезка [-1; 3]. Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах +вх+с>0, аккуратно строить параболу? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трёхчлена и определить, куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, Этот схематический набросок даст наглядное представление о решении неравенства. 2 Алгоритм решения квадратного неравенства: 1. Найти корни квадратного трёхчлена ах2+вх+с. 2. Отметить найденные корни на оси х и определить, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы, служащей графиком функции у=ах 2+вх+с; сделать схематический набросок графика. 3. По схематическому наброску определить, на каких промежуткахоси х ординаты графика положительны ( отрицательны); включить эти промежутки в ответ. Пример 2.Решить неравенство: 4х2-4х+1≤0 Решение. 1) из уравнения 4х2-4х+1=0 находим х=1∕2 2) Квадратный трёхчлен имеет один корень х=1∕2; это значит, что парабола не пересекает ось х, а касается её в точке х=1∕2. Ветви параболы направлены вверх. Схематический набросок графика представлен на рисунке: 2х Ответ: х=1∕2. Возникает вопрос: а если квадратный трёхчлен не имеет корней? Тогда наш алгоритм не применим и нужно рассуждать по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы. Теорема 1. Если квадратный трёхчлен не имеет корней (т. е D<0) и если при этом а>0, то при всех значениях х выполняется неравенство ах2+вх+с>0. Теорема 2. Если квадратный трёхчлен не имеет корней и если при этом а<0, то при всех значениях х выполняется неравенство ах2+вх+с<0. Пример 3. Решить неравенства: а) 2х2-х+4>0, в) –х2+3х-8≥0 Решение. а) найдём дискриминант квадратного трёхчлена 2х2-х+4. Имеем Д=(-1)2-4*2*4=31<0. Старший коэффициент (число 2) положителен. Значит по теореме 1 , при всех значениях х выполняется неравенство 2х2-х+4>0, т. е. решением данного неравенства служит вся числовая прямая. б) Найдём дискриминант квадратного трёхчлена –х2+3х-8. Имеем Д=32-4*(-1)*(8)=-23<0. Старший коэффициент (число -1) отрицателен. Следовательно, по теореме 2, при всех значениях х выполняется неравенство –х2+3х-8<0. Это значит, что неравенство –х2+3х-8≥0 не выполняется ни при каком значении х, т. е. данное неравенство не имеет решений. Ответ: нет решений.