УДК 519.685 МЕТОД ПОРОЖДЕНИЯ ЦЕЛОСТНЫХ СОЧЕТАНИЙ

УДК 519.685
МЕТОД ПОРОЖДЕНИЯ ЦЕЛОСТНЫХ СОЧЕТАНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМНОГО
ТЕХНИЧЕСКОГО ОБЪЕКТА СБОРКИ (СТОС)
И.С. Ямшанов, асп.
(АСУ НТУ «Харьковский политехнический институт»)
В задаче формирования рациональной технологической схемы сборки одной из ключевых проблем
является построение множества существенно различных вариантов структуры рассматриваемого СТОС. Для
формирования этого множества необходимо выделить генеральное множество подсистем СТОС, которое
может быть получено на основании нескольких различных подходов, суть которых сводится к следующему:
формирование так называемых перспективных сочетаний - некоторых подмножеств элементов системы - и
последующая их проверка на соответствие правилам образования подсистем [1].
Рассматриваемая задача формирования множества перспективных сочетаний классифицируется как
задача порождения элементарных комбинаторных объектов с ограничениями [2]. Описываемые в
литературе методы для подобных задач в качестве таких ограничений рассматривают мощность
порождаемых множеств. В данной задаче это приводит к формированию всех возможных сочетаний


элементов мощностью от 2 до n  1 на множестве D  di i  1, n , где n – количество элементов в СТОС.
Т.е. будет сформировано
C
m
n
m 2, n 1
 2n  n  2 вариантов сочетаний. При этом, как отмечалось в работе [3],
наибольшую трудоемкость представляет не само формирование всех возможных вариантов, а их
последующая проверка на соответствие правилам образования подсистем. С учетом того, что большая часть
сформированных сочетаний не обладает свойством целостности, одним из необходимых для соответствия
правилам образования подсистем, очевидными являются избыточность при порождении и необходимость
учета в процессе порождения ограничений существенно иного характера. Чтобы формируемые сочетания
обладали свойством целостности, необходимо в процессе порождения учитывать связи между элементами
СТОС.
В работе [4] для построения модели СТОС предлагается выделить связи двух типов: прямые связи типа
фиксированное и нефиксированное сопряжения. И те, и другие рассматриваются по координатным
направлениям, т.е. СТОС может быть представлен шестью матрицами каждого типа.
Избежать полного перебора при порождении сочетаний элементов позволяют алгоритмы, описанные в
работах [3,5,6]. Суть указанных алгоритмов состоит в представлении процесса порождения в виде набора
деревьев или инвариантной ему структуры. Корни деревьев формируются на основании обобщенной по
координатным направлениям матрицы связей типа нефиксированное сопряжение. Это обусловлено тем, что
любая подсистема должна быть собираемой. Принцип построения дерева заключается в последовательном
расширении множества элементов, соответствующих вершине дерева, связями этих же элементов из
обобщенной по координатным направлениям матрицы связей типа фиксированное сопряжение без учета
связей, обусловленных проекцией одних элементов на другие. Благодаря этому достигается целостность
порождаемых сочетаний элементов. Процесс порождения продолжается до тех пор, пока возможно
расширение хотя бы одной вершины [3].
Использование указанных алгоритмов позволяет снизить трудоемкость формирования сочетаний на
порядок по сравнению с полным перебором. Однако их анализ и практические испытания показали, что
порождаемое множество сочетаний элементов не всегда является полным, т.е. иногда отсутствует точное
совпадение с результатами применения полного перебора.
Расхождения между результатами применения указанных алгоритмов и полным перебором имеют
тенденцию возрастать с ростом размерности задачи, т.е. количества элементов в СТОС. В качестве причин
обнаруженного явления можно указать следующие:
- обычно с ростом количества элементов в СТОС возрастает удельное количество связей между ними;
- для определения корней деревьев порождения используют все связи типа нефиксированное сопряжение
элемента, а они являются независимыми бинарными отношениями.
- в процессе порождения при расширении множества, описывающего вершину, для получения вершины
следующего уровня используют сразу все связи типа фиксированное сопряжение некоторого элемента, что
может приводить к пропуску важных сочетаний, поскольку связи между элементами по своей сути являются
независимыми бинарными сочетаниями.
Последняя причина требует более детального рассмотрения. Пусть на некотором уровне дерева
порождения имеется вершина, описываемая множествами S1 - сочетание элементов, соответствующее
данной вершине, и S2 - путь из корневой вершины в данную. Для порождения некоторой вершины
следующего уровня используется элемент с индексом dk  S1 \ S2 . Его связи типа фиксированное
сопряжение имеют вид Cdk   dl , dm   S1 . В соответствии с алгоритмом порождаемая вершина будет
описываться множествами S1/  S1  Cdk  и S2/  S2  dk  . Существует вероятность формирования таких
ситуаций:
- если один из индексов элементов из Cdk  соответствует базовому элементу СТОС, то, в соответствии
с теоремой 1 из [7], подсистема, соответствующая сочетанию элементов S1/ , будет отброшена при
формировании структуры СТОС;
- если один из индексов элементов из Cdk  является базовым для подсистемы, соответствующей
сочетанию элементов S1/ , и существует сочетание элементов Sr  S1/ с тем же базовым элементом, то, в
соответствии с теоремой 2 из [7], сочетание S1/ будет отброшено при формировании структуры СТОС;
- один из индексов элементов из Cdk  может являться причиной несоответствия сочетания одному из
правил образования подсистем.
Таким образом, становится очевидной необходимость иного подхода при расширении множеств в
процессе порождения для того, чтобы выделять вышеперечисленные ситуации только для элементов, их
порождающих. Следовательно, существует потребность в методе, который, с одной стороны, позволял бы
формировать множество сочетаний, обладающих свойством целостности, в полном объеме, а с другой обладал бы сравнимыми с вышеописанными методами временными характеристиками, т.е. был бы лучше
применения полного перебора.
Предлагаемый метод является модификацией методов, описанных в [3,5]. Базовой предпосылкой для
модификации является рассмотрение в процессе порождения связей элемента как равноправных и
независимых бинарных отношений.
Далее приводится формальное описание метода. Для определения корней деревьев порождения
используется обобщенная по координатным направлениям матрица связей типа нефиксированное
сопряжение. В качестве корней на каждой строке обобщенной матрицы выбирают пары индексов
элементов: индекс, соответствующий строке, и индекс, с которым имеется связь. Затем из результирующего
множества корней необходимо исключить дублирование и корни, содержащие индекс базового элемента
СТОС.
Таким образом, если в СТОС содержится n элементов, i-й элемент имеет k i связей типа
k
i
i 1, n
 kj корней, где j – индекс элемента, являющегося
2
базовым для данного СТОС. Исключение из рассмотрения пар элементов, содержащих индекс базовой
детали, обосновано теоремой 1 из [7], т.к. порождаемые в результате сочетания не несут значимой для
структурного синтеза информации.
Для каждого из определенных корней производится построение дерева порождения. Связи элемента типа
фиксированное сопряжение в процессе порождения добавляются по одной плюс все возможные их
комбинаторные сочетания, т.е. если Cdk   dl , dm , dn  , то при расширении с использованием связей
нефиксированное сопряжение, то будет получено
элемента dk будут использоваться сочетания dl  , dm  , dn , dl , dm  , dl , dn  , dm , dn  и dl , dm , dn  .
Видно, что использовавшийся ранее подход к расширению включается как частный случай. При этом
комбинации с индексами тех элементов, которые уже содержатся во множестве S1 , описывающем вершину,
а также базовым элементом не производятся. Количество вариантов расширения на основании связей
элемента может быть определено по формуле
C
m
k
 2k  1 , где k – количество связей типа
m 1, k
фиксированное сопряжение рассматриваемого элемента с другими, такими, что они еще не содержатся в
множестве S1 и не являются базовыми для СТОС.
После порождения вершин очередного уровня производится их анализ:
- если описания вершин идентичны, то все, кроме одной вершины, помечаются как дублирующие и далее
не рассматриваются. Такой вариант возможен только для вершин, расположенных на одном уровне;
- если совпадает только множество S1 , то такие вершины объединяются в одну, причем множество S2
результирующей вершины есть объединение множеств S2 исходных вершин. Вершины могут
располагаться на разных уровнях.
Поиск целесообразно проводить и среди вершин ранее построенных деревьев.
Процесс формирования завершается, когда порождение новых вершин становится невозможно.
Очевидно, что процесс порождения конечен, т.к. число элементов зафиксировано, количество связей между
ними ограничено и каждое последующее порождение использует одну из них. То есть в конце концов все
они будут использованы.
Ниже приводится пример, позволяющий практически сравнить предлагаемый в данной работе метод и
его аналоги. Рассматривается условный СТОС, изображение которого приведено на рисунке 1.
Рисунок 1 - Условный СТОС
Базовым является элемент с индексом 1. Обобщенные по координатным направлениям матрицы связей
типа фиксированное и нефиксированное сопряжения приведены в таблицах 1 и 2 соответственно.
Таблица 1
Таблица 2
В результате анализа таблицы 2 были выделены следующие корни: {3,6}, {4,5}, {4,6}, {7,8}, {10,11},
Таблица 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
21553361 1 1 1 1 1
8 6 6 4 4 8 6 13 11 10 11 9
9
65 7
13 12
10
10
7
11
8
12
13
Таблица 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
2 1 6 5 4 3 8 1 1 1 10 1 10
8
6 4 7
11
9
13
10
12
{10,13}. В соответствии с ранее описывавшимися алгоритмами были бы выделены такие корни: {3,6},
{4,5,6}, {4,5}, {3,4,6}, {7,8}, а сочетания {10,11} и {10,13} были бы сразу добавлены во множество
перспективных сочетаний без построения деревьев.
В процессе порождения была сформирована 101 вершина, из которых после исключения дублирований
во множество перспективных сочетаний было включено 37 сочетаний. В результате проверки на
соответствие правилам образования подсистем было определено генеральное множество подсистем: ({3,6},
{4,6}, {3,4,6}, {4,5,6}, {3,4,5,6}, {3,4,5,6,7,8}).
Для ранее описанных алгоритмов было бы сформировано 25 вершин, множество перспективных
сочетаний содержало бы 13 сочетаний. Генеральное множество подсистем приняло бы вид ({3,6}, {3,4,6},
{4,5,6}, {3,4,5,6}, {3,4,5,6,7,8}).
Различия в полученных генеральных множествах обуславливаются второй из ранее указанных причин.
Таким образом, могут быть сделаны следующие выводы:
1 Удалось определить причины неполноты формирования генерального множества подсистем при
применении методов, описанных в работах [3,5].
2 Явление неполноты генерального множества подсистем усиливается с ростом размерности задачи.
3 Предложенный для решения проблемы метод доказал свою работоспособность и практическую
значимость в решении задачи формирования генерального множества подсистем.
4 Предложенный метод, являясь более трудоемким, чем существовавшие методы, позволяет
сформировать генеральное множество подсистем в полном объеме.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
Челищев Б.Е. и др. Автоматизация проектирования технологии в машиностроении /Под ред. акад. Н.Г.Бруевича. - М.:
Машиностроение, 1987. - 264c.
Рейнгольд Э., Нивергель Ю., Део Н. Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. – М.: Мир, 1980. – 476с.
Гамаюн И.П. Комбинаторный алгоритм порождения множества подсистем системного объекта сборки//Управл. с-мы и машины. 2002. -№2. -С. 12–19.
Гамаюн И.П. Эвристический алгоритм сборки-разборки сложной машиностроительной конструкции //Механика и машиностроение
5.
6.
7.
/АН Высшей школы Украины. Отделение механики и машиностроения. -1998. - № 1.- С. 146-149.
Ямшанов И.С. Совершенствование метода порождения сочетаний элементов, образующих подсистемы объектов сборки //Вестник
НТУ "ХПИ".- 2002.–Т.2, №6.-С. 88-93.
Ямшанов И.С. Алгоритм порождения подсистем технического объекта на основе бинарных матриц//Радіоелектроніка та
інформатика.- 2002. -№4. -С. 107-112.
Gamayun I. Method of forming the set of alternative variants of assembly technological scheme //Engineering & Automation problems
(Проблемы машиностроения и автоматизации).- 2001.- №1. -С. 69-75.
Поступила в редколлегию 28 января 2003 г.