Теория вероятностей и экономическая статистика

Содержание
1. Пояснительная записка……………………………………………….
1.1. Цели и задачи освоения дисциплины……………………………..
1.2. Обязательный минимум содержания дисциплины ………………...
1.3. Место дисциплины в структуре ООП ВПО…………………………
3
3
3
4
2. Компетенции обучающегося, формируемые в результате
освоения дисциплины ………………………………………………….. 4
3. Структура и содержание дисциплины…………………………………..
3.1.Тематический план дисциплины……………………………………..
3.2.Содержание дисциплины…………………………………………….
3.3.Темы практических занятий……………………………………………..
5
5
8
11
4. Образовательные технологии……………………………………………..
13
5. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и
учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов………………………………………………………………….
15
5.1. Примерные темы рефератов и научно-исследовательской работы
5.2. Вопросы к зачету……………………………………………………..
5.3. Варианты тестовых заданий…………………………………………
6. Учебно-методическое и информационное обеспечение
дисциплины………………………………………………………………
16
17
20
7. Материально-техническое обеспечение дисциплины………………
25
24
2
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
1.1 Цели и задачи освоения дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика»
Целью курса «Теория вероятностей и математическая статистика» является
приобретение студентами представления о научных основах статистических методов
исследования массовых социально-экономических процессов и явлений, их вероятностноматематического аппарата.
Задачи дисциплины:
Изучение студентами методов расчета вероятностей случайных событий,
особенностей основных законов распределения случайных величин, способов их задания,
условий возникновения и особенностей нормального распределения, алгоритмов расчета
параметров генеральной и выборочной совокупностей, способов оценивания параметров
генеральной совокупности по выборочным данным, методики сравнения параметров
распределения случайных величин и использования полученных навыков и знаний в
анализе социально-экономических явлений и процессов.
1.2 Обязательный минимум содержания дисциплины «Теория вероятностей и
математическая статистика»
Случайные события; частота и вероятность; основные формулы для вычисления
вероятностей; случайные величины; числовые характеристики дискретной и непрерывной
случайных величин; нормальный закон распределения; генеральная совокупность и
выборка; оценки параметров; корреляция
1.3. Место дисциплины в структуре ООП ВПО
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является базовой
дисциплиной математического и естественнонаучного цикла дисциплин ФГОС ВПО по
направлению «Экономика» (Б2.Б.3). Дисциплина “Теория вероятностей и математическая
статистика” основывается на изучении курса «Математический анализ», в свою очередь
являясь основой для изучения таких дисциплин, как «Теория статистики»,
«Эконометрика» и обеспечивает необходимую подготовку студентов для курсового и
дипломного проектирования и изучения дисциплин профессионального цикла.
2. КОМПЕТЕНЦИИ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ, ФОРМИРУЕМЫЕ В РЕЗУЛЬТАТЕ
ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
2.1. Выпускник должен обладать следующими компетенциями:
Выпускник должен обладать следующими общекультурными компетенциями
(ОК):
 владеет культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1).
2.2.
Выпускник
должен
обладать
следующими
профессиональными
компетенциями (ПК):
 способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета
экономических и социально-экономических показателей, характеризующих
деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);
 способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических
данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты
расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);
 способен на основе описания экономических процессов и явлений строить
стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и
содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6).
2.2. Знания, умения и навыки, получаемые в процессе изучения дисциплины
В результате освоения дисциплины
3
Студент должен знать
предмет теории вероятностей, основные понятия теории вероятностей, способы
задания случайных величин, их числовые характеристики, законы распределения, понятие
о законе больших чисел и о «центральной предельной теореме»; понятие дискретного и
непрерывного вариационного рядов, их основных характеристик; понятие выборочного
метода, теории оценивания; понятие статистических гипотезы, их виды; понятия о модели
дисперсионного анализа при одном или нескольких факторах, алгоритм сравнения
нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного анализа.
Студент должен уметь
рассчитывать вероятность событий, используя элементы комбинаторики,
классическое и статистическое определение вероятности, теоремы сложения и умножения
вероятностей, формулы полной вероятности и Байеса для расчета вероятности событий;
задать и определить закон распределения случайных величин в табличном, аналитическом
и графическом виде, рассчитать параметры распределения и числовые характеристики;
определять вероятность попадания случайной величины в заданный интервал;
использовать неравенства Маркова Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Пуассона;
строить вариационные ряды и рассчитывать их числовые характеристики; задавать
эмпирическую функцию распределения; находить точечные и интервальные оценки
неизвестных параметров генеральной совокупности; формулировать нулевую и
альтернативную гипотезы, выбрать критерий проверки статистической гипотезы и
осуществить проверку; осуществить дисперсионный анализ при одном или нескольких
факторах, сравнить несколько средних при помощи однофакторного дисперсионного
анализа.
Студент должен иметь представление о
практике реализации методов теории вероятностей и математической статистики
посредством прикладных пакетов программ Statistica for Windows, MS Excel, Eviews;
использовании баз данных Internet в целях прикладного статистического анализа.
Приобрести практические навыки:
изучения учебно-методической, научной и математической литературы;
применения методов теории вероятностей и математической статистики в конкретных
исследованиях социально-экономических процессов и явлений.
3. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»
Общая трудоемкость дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» составляет 4 зачетные единицы или 144 часа.
Основной единицей трудоемкости является з.е. «кредит», равный 36 часам
учебного времени во всех его формах за один семестр обучения.
Общий объем час по ФГОС
Всего аудиторных занятий, час, в том числе:
- лекций,
по семестрам
- практические занятия, семинары
по семестрам
-КСР
Самостоятельная работа, час.
Контрольные работы по семестрам
Курсовые работы по семестрам
Зачеты, по семестрам
Экзамены, по семестрам
Очная форма
4 года
144
72
36
5с
36
5с
66
5с
-
Заочная форма
5 лет
144
12
6
5с
6
5с
126
5с
4
3.1. Тематический план дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика»
№
темы
1.
2.
3.
4.
5.
Название раздела, темы. Формы
промежуточного и итогового контроля
Всего
Теория вероятностей
Основные понятия и определения теории
вероятностей
Основные теоремы теории вероятностей
1.Предмет теории вероятностей и ее значение
для экономической науки.
2.Классическое и статистическое
определения вероятности.
3.Свойства вероятности
Очная форма обучения 4 года
14
Заочная форма обучения 5 лет
18
Случайные величины. Дискретные
случайные величины
1.Понятие и виды СВ.
2.Способы задания закона распределения СВ.
3.Ряд распределения, функции распределения
ДСВ, их свойства.
Очная форма обучения 4 года
10
Заочная форма обучения 5 лет
16
Основные законы распределения
дискретных случайных величин
1.Формула Бернулли и биномиальный закон
распределения.
2.Распределение Пуассона.
3.Гипергеометрическое распределение.
Очная форма обучения 4 года
22
Заочная форма обучения 5 лет
16
Непрерывные случайные величины
1. Дифференциальная
и
интегральная
функции распределения НСВ, их свойства,
геометрический смысл и связь между ними.
2. Числовые характеристики НСВ, их
свойства.
3. Мода, медиана, квантили НСВ. Моменты
распределения НСВ.
Очная форма обучения 4 года
10
Заочная форма обучения 5 лет
16
Основные законы распределения
непрерывных случайных величин
1. Нормальное распределение.
2. Показательное и равномерное
распределения.
3. Нормальное распределение как
аппроксимация дискретных распределений.
Количество часов
Аудиторные
занятия
Лекции Пр. занят
СРС
4
2
4
2
6
14
2
1
2
1
6
14
6
1
6
1
10
14
2
1
2
1
6
14
5
№
темы
6.
7.
8.
9.
Название раздела, темы. Формы
промежуточного и итогового контроля
Всего
Очная форма обучения 4 года
22
Заочная форма обучения 5 лет
18
Закон больших чисел. Центральная
предельная теорема.
1. Понятие о законе больших чисел.
2. Неравенства Маркова, Чебышева.
Теоремы Чебышева (общий и частный
случай).
3. Теоремы Бернулли и Пуассона.
4. Понятие о «центральной предельной
теореме» Ляпунова.
Очная форма обучения 4 года
18
Заочная форма обучения 5 лет
14
Математическая статистика
Вариационный ряд. Числовые
характеристики вариационного ряда
1. Понятие о вариационном ряде.
2. Границы интервалов и величина
интервалов. Плотность распределения.
3. Средняя арифметическая и ее свойства.
Квантили. Мода и медиана.
4. Показатели колеблемости: вариационный
размах, среднее линейное отклонение,
дисперсия, среднее квадратическое
отклонение, коэффициент вариации.
Очная форма обучения 4 года
12
Заочная форма обучения 5 лет
12
Выборочный метод и его значение в
экономических исследованиях
1. Понятие генеральной и выборочной
совокупности. Понятие выборочного метода.
2. Статистические оценки параметров
распределения (сущность теории
оценивания).
3. Интервальные оценки.
4. Доверительный интервал для оценки
генеральной доли.
Очная форма обучения 4 года
14
Заочная форма обучения 5 лет
12
Статистическая проверка гипотез
1. Законы распределения, применяемые в
математической статистике: Стьюдента, хи –
квадрат, Фишера.
2. Проверка гипотез.
Очная форма обучения 4 года
16
Заочная форма обучения 5 лет
12
ИТОГО:
Количество часов
Аудиторные
занятия
Лекции Пр. занят
6
6
1
1
СРС
10
16
4
-
4
-
10
14
4
-
4
-
4
12
4
-
4
-
6
12
4
-
4
-
8
12
6
Количество часов
Аудиторные
№
занятия
Всего
СРС
темы
Лекции Пр. занят
Очная форма обучения 4 года
138+6=
36
36
66+6=72
144
Заочная форма обучения 5 лет
138+6=
6
6
126+6=
144
132
3.2. Содержание дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Название раздела, темы. Формы
промежуточного и итогового контроля
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей. Основные теоремы
теории вероятностей
Предмет теории вероятностей и ее значение для экономической науки.
Комбинаторика: размещения, сочетания, перестановки, перестановки с повторениями.
Испытания, события и их классификация. Классическое и статистическое определения
вероятности. Свойства вероятности. Алгебра событий.
Теоремы сложения вероятностей. Зависимые и независимые события. Теоремы
умножения вероятностей. Независимость и зависимость событий в совокупности.
Вероятность наступления хотя бы одного из n независимых (зависимых) в совокупности
событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Их практическое применение в
экономическом анализе.
Тема 2. Случайные величины (СВ). Дискретные случайные величины (ДСВ).
Понятие СВ. Способы задания закона распределения СВ. Дискретные и
непрерывные СВ. Ряд распределения, функции распределения ДСВ, их свойства.
Числовые характеристики ДСВ, их свойства.
Тема 3. Основные законы распределения дискретных случайных величин
Схема повторных испытаний. Формула Бернулли и биномиальный закон
распределения.
Числовые
характеристики
биномиального
распределения.
Наивероятнейшее число появления событий. Числовые характеристики частоты и
частости.
Распределение Пуассона. Аппроксимация биномиального распределения
распределением Пуассона. Числовые характеристики распределения Пуассона.
Гипергеометрическое
распределение.
Мультиномиальное
распределение.
Геометрическое распределение. Производящая функция.
Тема 4. Непрерывные случайные величины и их характеристики
Дифференциальная и интегральная функции распределения НСВ, их свойства,
геометрический смысл и связь между ними. Вероятность того, что непрерывная случайная
величина примет точное наперед заданное значение.
Числовые характеристики НСВ, их свойства. Мода, медиана, квантили НСВ.
Моменты распределения НСВ. Асимметрия, эксцесс.
Тема 5. Законы распределения непрерывных случайных величин
Нормальное
распределение.
Стандартное
(нормированное)
нормальное
распределение. Функция Лапласа. Функция нормального распределения. Свойства
нормально распределенной случайной величины.
Показательное и равномерное распределения. Плотность вероятности и функция
распределения. Числовые характеристики. Область применения.
Нормальное распределение как аппроксимация дискретных распределений.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Вероятность заданного отклонения
частоты от своего математического ожидания. Вероятность заданного отклонения
частости от вероятности наступления события в каждом отдельном испытании.
7
Тема 6. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
Понятие о законе больших чисел. Неравенства Маркова, Чебышева. Теоремы
Чебышева (общий и частный случай). Теоремы Бернулли и Пуассона. Понятие о
«центральной предельной теореме» Ляпунова.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Тема 7. Вариационный ряд. Числовые характеристики вариационного ряда
Понятие о вариационном ряде. Частоты и частости. Виды вариации. Дискретные и
интервальные вариационные ряды.
Границы интервалов и величина интервалов. Плотность распределения.
Накопленные частоты (частости). Графические методы изображения вариационного ряда:
полигон, гистограмма, кумулята и огива.
Средняя арифметическая и ее свойства. Квантили. Мода и медиана.
Показатели колеблемости: вариационный размах, среднее линейное отклонение,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Частные дисперсии. Средняя из частных дисперсий. Межгрупповая дисперсия.
Правило сложения дисперсий.
Моменты распределения. Асимметрия и эксцесс. Эмпирическая функция.
Альтернативные признаки. Дисперсия альтернативного признака.
Тема 8. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях
Понятие генеральной и выборочной совокупности. Понятие выборочного метода.
Статистическое распределение выборки. Способы отбора: собственно-случайный
(повторный и бесповторный), механический, типический, серийный. Ошибки регистрации
и репрезентативности (систематические и случайные).
Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания).
Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Методы нахождения оценок.
Выборочная средняя как точечная оценка генеральной средней. Точечная оценка
генеральной дисперсии. «Исправленная» выборочная дисперсия и среднее квадратическое
отклонение. Предельная и средняя ошибка выборки для средней и доли.
Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность.
Доверительный интервал для оценки генеральной средней нормально распределенной
совокупности при известном и неизвестном средних квадратических отклонениях.
Доверительный интервал для оценки генеральной доли. Необходимая численность
выборки. Малая выборка. Распределение Стьюдента.
Тема 9. Статистическая проверка гипотезы
Законы распределения, применяемые в математической статистике: Стьюдента, хи
– квадрат, Фишера. Статистические гипотезы и их виды. Нулевая и конкурирующая
гипотезы. Ошибки I и II рода. Уровень значимости. Параметрические и
непараметрические гипотезы.
Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности.
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных
совокупностей. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально
распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной генеральных
дисперсиях.
Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре
биномиального закона распределения). Проверка гипотезы о равенстве двух долей
нормально распределенных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных
генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Проверка гипотезы о равенстве
двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных
равных дисперсиях.
8
Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерий согласия Пирсона.
Критерий Колмогорова. Проверка гипотез об однородности выборок.
Ранговые критерии: Критерий знаков; Критерий Вилкоксона для проверки
однородности двух выборок; Ранговая корреляция по Спирмену.
3.3. Темы практических занятий
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
1. Комбинаторика. Классификация событий. Классическое и статистическое
определение вероятности
Решение комбинаторных задач различного типа. Обсуждение классификации
событий с примерами. Решение задач на определение классической вероятности,
практическое рассмотрение свойств классической вероятности.
2. Теоремы сложения вероятностей. Теоремы умножения вероятностей. Совместное
применение теорем сложения и умножения
Определение суммы событий. Решение задач с использованием теорем сложения
вероятностей совместных и несовместных событий. Расчет вероятностей для зависимых и
независимых событий. Решение задач с использованием теорем умножения вероятностей.
Расчет вероятностей для событий зависимых и независимых в совокупности. Решение
задач с определением вероятности наступления хотя бы одного из n независимых
(зависимых) в совокупности событий. Практика совместного применения теорем
сложения и умножения.
3. Формулы полной вероятности и Байеса
Решение задач на применение формул полной вероятности и Байеса. Обсуждение
практики применения формулы Байеса при принятии управленческих решений.
3. Случайные величины и их числовые характеристики
Построение ряда распределения, функции и расчет числовых характеристик
дискретных СВ.
4. Биномиальное распределение
Решение задач на биномиальное распределение (ряд распределения, функция,
график функции, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
отклонение, наивероятнейшее число появления событий)
5. Распределение Пуассона
Решение задач на распределение Пуассона (ряд распределения, функция, график
функции, математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение,
практика использования таблиц распределения функции Пуассона)
6. Гипергеометрическое распределение. Производящая функция
Решение задач на гипергеометрическое распределение и производящую функцию
(ряд распределения, функция, график функции, математическое ожидание, дисперсия и
среднее квадратическое отклонение). Итоговое обсуждение признаков, позволяющих
классифицировать распределение ДСВ.
7. Непрерывные случайные величины
Связь между дифференциальной и интегральной функциями распределения
непрерывной СВ.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Расчет моментов
распределения. Расчет показателей асимметрии и эксцесса.
8. Нормальное и нормированное нормальное распределение
Обсуждение особенностей нормального и нормированного нормального
распределений. Алгоритмы использования таблиц значений функций нормального закона
распределения для определения значений функций нормального распределения с любыми
параметрами. Решение задач на расчет вероятности попадания в заданный интервал
9
нормально распределенной случайной величины, вероятности заданного отклонения
нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания,
правило трех сигм.
9. Нормальное распределение как аппроксимация дискретных распределений
Решение задач на оценку отклонения частоты от своего наивероятнейшего числа,
вероятности заданного отклонения частости от вероятности наступления события в
каждом отдельном испытании. Решение задач с применением локальной и интегральной
теорем Лапласа.
10. Показательное и равномерное распределения
Плотность вероятности и функция распределения. Числовые характеристики.
11. Закон больших чисел
Решение задач с применением неравенств Маркова и Чебышева.
Решение задач с применением теорем Чебышева, Бернулли и Пуассона. Понятие о
«центральной предельной теореме» Ляпунова.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
1. Вариационный ряд
Построение дискретного и интервального вариационных рядов. Расчет частот,
частостей, накопленных частот и частостей. Графическая интерпретация (изображение)
вариационного ряда.
2. Числовые характеристики вариационного ряда
Расчет средней арифметической. Расчет перцентилей, квартилей и децилей.
Показатели колеблемости: вариационный размах, среднее линейное отклонение,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
Расчет показателей колеблемости. Проверка правила сложения дисперсии. Расчет
моментов распределения. Расчет показателей асимметрии и эксцесса. Построение
эмпирической функции и её графическое представление. Расчет дисперсии
альтернативного признака.
3. Выборочный метод и его значение в экономических исследованиях
Нахождение точечных оценок генеральной средней и генеральной дисперсии.
Расчет предельной и средней ошибок выборки для средней и доли.
Построение доверительного интервала для оценки генеральной средней нормально
распределенной совокупности при известном и неизвестном средних квадратических
отклонениях.
Определение доверительного интервала для оценки генеральной доли. Расчет
необходимой численности выборки.
4. Статистическая проверка гипотезы
Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности.
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных
совокупностей.
Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных
генеральных совокупностей с известными дисперсиями. Проверка гипотезы о равенстве
двух средних нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных
равных дисперсиях.
Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре
биномиального закона распределения). Проверка гипотезы о равенстве двух долей
нормально распределенных генеральных совокупностей.
Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально
распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной генеральных
дисперсиях.
10
Проверка гипотезы о виде распределения. Критерий согласия Пирсона.
Критерий Колмогорова. Проверка гипотез об однородности выборок.
Решение задач на применение ранговых критериев.
4. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
При реализации программы дисциплины «Теория вероятностей и математическая
статистика» используются различные образовательные технологии, которые основаны на
использовании современных достижений науки и информационных технологий.
Направлены на повышение качества подготовки путем развития у студентов творческих
способностей и самостоятельности (методы проблемного обучения, исследовательские
методы, тренинговые формы, рейтинговые системы обучения и контроля знаний и др.).
Нацелены на активизацию творческого потенциала и самостоятельности студентов и
могут реализовываться на базе инновационных структур (научных лабораторий, центов,
предприятий и организаций и др.).
Основные методы:
Использование информационных ресурсов и баз данных. Для реализации
индивидуальной творческой работы по теме «Вариационные ряды и их характеристики»
на реальных выборочных данных используется информационный массив Независимого
института социальной политики доступный на сайте www.socpol.ru. Сайт содержит
обширный архив социально-экономических данных, которые можно использовать как в
учебных, так и в научных целях.
Применение электронных мультимедийных учебников и учебных пособий.
Применение электронного мультимедийного учебника доступного в сети Интернет
www.statsoft.ru/home/portal/ осуществляется при изучении всех тем дисциплины.
Сайт разработчика Statistica www.statsoft.ru содержит также значительное число
работ по практике использования математической статистики и теории вероятностей в
экономическом анализе. На сайте имеется большое количество справочной информации
по данному курсу.
Использование проблемно-ориентированного междисциплинарного подхода к
изучению наук. Для повышения мотивации к изучению дисциплины и закрепления
полученных теоретических и практических знаний, в ходе лекций и практических занятий
студенты рассматривают реальные примеры применения методов математической
статистики и теории вероятностей по специальности обучения, выявляют и подтверждают
взаимосвязь изучаемой дисциплины с другими науками.
Применение активных методов обучения, на основе опыта и др. Используются
интерактивные методы обучения: творческие задания; работа в малых группах;
обучающие деловые игры; изучение и закрепление нового материала.
Использование методов, основанных на изучении практики (case studies).
Использование в качестве кейсов примеров применения методов математической
статистики и теории вероятностей в социально-экономических исследованиях на сайте
разработчика Statistica www.statsoft.ru.
Использование проектно-организованных технологий обучения работе в команде
над комплексным решением практических задач. Для закрепления навыков практического
применения изучаемых методов выполняется творческое задание по теме «Вариационные
ряды и их характеристики». Исходный практический материал для анализа студенты
подбирают самостоятельно, исходя из личных интересов. Вычислительные работы,
реализуются вручную и с использованием MS Excel. Техническое оформление работы
производится посредством MS Word.
5. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ,
ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
И УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
СТУДЕНТОВ
В течение преподавания курса «Теория вероятностей и математическая
статистика» в качестве форм текущей аттестации студентов используются такие формы,
как промежуточное и итоговое тестирование, заслушивание и оценка доклада по теме
11
реферата, собеседование при приеме результатов практических работ с оценкой. По
итогам обучения проводится зачет.
Оценка осуществляется по всем элементам фонда оценочных знаний по
традиционной (пятибалльной) системе или по рейтинговой, переводя показатели
различных форм контроля в баллы.
Диапазон баллов для оценивания аудиторной и самостоятельной работы студентов
по результатам текущего и промежуточного контроля знаний:
№
п/п
Способ контроля аудиторной и самостоятельной работы
студентов
Посещаемость
Активность на лекционном, семинарском занятии
Доклад на семинаре
Письменный реферат
Тестирование
Блиц-опрос по определениям
Ответ на теоретический вопрос
Количество
баллов
0-1
0-3
0-3
0-5
0-10
0-1
0-2
Полученное число баллов пропорционально переводится в семестровую
пятибалльную оценку:
60-69 баллов – удовлетворительно;
70-84 баллов – хорошо;
Свыше 85 – отлично.
Итоговый рейтинг студента после завершения изучения дисциплины определяется
суммой набранных баллов.
Перевод рейтинговых баллов в традиционные оценки (по2-х балльной системе)
проводится по следующей шкале:
41 и более баллов – «зачтено»;
менее 40 баллов – «не зачтено».
12
5.1. Примерные темы рефератов
и научно-исследовательской работы студентов.
1. Диаграммы Вьенна. Понятие вероятности реализации события.
Различные подходы к описанию вероятностей.
Парадокс Бертрана. Связь с результатами эксперимента.
2. Булева алгебра. Подход Колмогорова. Аксиоматическое определение.
Связь с реальными измерениями. Сходимость по вероятности.
"Теоремы сложения". Формула полной вероятности. формула Байеса.
3. Распределения. Интегральное распределение. Плотность распределения.
Моменты. центральные моменты. Факториальные моменты. смешанные моменты.
Условные моменты. Интеграл стилтьеса. Производящая функция.
Коэффициент кореляции. Характеристические функции. Теорема Леви-Крамера.
4. Лемма Маркова. Неравенство Чебышева. Теорема Маркова.
Закон больших чисел.
5. Распределение Бернулли. Свойства распределения Бернулли.
Суперпозиция распределений Бернулли.
6. Распределение Пуассона. Нормальное распределение.
Получение нормального распределения из распределения Пуассона.
Поправочные члены.
7. Ряды Грама-Шарлье типа А и типа В. Разложение Эджворта.
Поправленное разложение Эджворта.
8. Кривые Пирсона. Случайные процессы, приводящие к ним. Задача Маркова.
9. Методы оценки, нулевая гипотеза, ошибки первого и второго рода.
Мощность критерия.
10. Оценки, несмещенная оценка, состоятельная оценка, оценка Маркова,
примеры.
11. Оценки для математического ожидания для дисперсии.
12. Хи-квадрат статистика. Упрощенный метод Романовского.
13. Распределение Стьюдента. Упрощенный метод Романовского.
14. Распределение Фишера. Упрощенный метод Романовского.
Коэффициент взаимной корреляции Чупрова. Преобразование Фишера.
15. Дисперсионный анализ. Дисперсия по факторам. Остаточная дисперсия.
Оценка влияния отельных факторов. Двойная группировка.
16. Последовательный анализ. Метод максимального правдоподобия.
Метод моментов
17. Критерий согласия Колмогорова-Смирнова. Порядковые критерии.
13
18. Корреляции. Оценка по выборке. Частные коэффициенты корреляции
19. Поправки Шеппарда.
20. Использование цепей Маркова в моделировании социально-экономических процессов
21. Комбинаторика
22. Кластерный анализ
23. Принятие решений в условиях неопределенности
24. Распределение Гаусса. Центральная предельная теорема теории вероятностей.
25. Распределения Пирсона и Стьюдента
5.2. Перечень вопросов к зачету (экзамену) по курсу «Теория вероятностей и
математическая статистика»
Раздел 1. Элементы теории вероятностей
1.Предмет и основные определения теории вероятностей.
2.Классическое определение вероятности. Свойства вероятности, вытекающие из
классического определения. Примеры.
3.Статистическое определение вероятности, его особенности и связь с классическим
определением.
4.Полная группа несовместных событий, противоположные события, свойства их
вероятностей.
5.Зависимые и независимые события. Условные и безусловные вероятности.
6.Теоремы умножения вероятностей.
7.Теоремы сложения вероятностей.
8.Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
9.Комбинаторика: размещение, сочетания, перестановки и перестановки с
повторениями.
10.Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной
величины и способы его задания.
11.Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Наивероятнейшее число
наступления событий.
12.Формула Пуассона. Закон распределения редких событий.
13.Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты.
Асимметрия и эксцесс.
14.Математическое ожидание случайной величины. Его смысл и примеры.
15.Свойства математического ожидания.
16.Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Их смысл и
примеры вычисления.
17.Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения.
18.Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение
частоты и частости.
19.Непрерывные случайные величины. Дифференциальная и интегральная функции их
распределения, их смысл и связь между ними.
14
20.Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал. Вероятность
того что непрерывная случайная величина примет точное наперед заданное
значение.
21.Равномерный закон распределения.
22.Нормальное распределение. Плотность нормального распределения и ее свойства.
23.Нормированное (стандартное) нормальное распределение. Функция Лапласа:
график, свойства, таблицы.
24.Функция нормального распределения случайной величины.
25.Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в
заданный интервал.
26.Вероятность заданного отклонения нормальной случайной величины от своего
математического ожидания. Правило трех сигм.
27.Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
28.Закон больших чисел. Понятие о теореме Чебышева. Значение теоремы Чебышева.
29.Закон больших чисел. Теорема Бернулли.
Раздел 2. Математическая статистика
1.Предмет и основные задачи математической статистики.
2.Генеральная совокупность и выборка. Сущность выборочного метода.
3.Вариационные ряды. Виды вариаций. Величина интервала. Накопленные частоты
(частости).
4.Графическое изображение вариационного ряда. Эмпирическая функция
распределения.
5.Числовые характеристики вариационного ряда. Средняя арифметическая и ее
свойства, мода и медиана. Квантили.
6.Показатели колеблемости: вариационный размах, среднее линейное отклонение,
дисперсия, коэффициент вариации. Свойства дисперсии.
7.Моменты (начальные и центральные). Показатели асимметрии и эксцесса.
8.Повторная и бесповторная выборка. Ошибки регистрации и репрезентативности,
предельная ошибка выборки.
9.Средняя ошибка выборки, для средней и для доли.
10.Необходимая численность выборки.
11.Статистические оценки параметров распределения (сущность теории оценивания):
несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.
12.Точечная оценка генеральной средней по выборочной средней.
13.Точечная оценка генеральной дисперсии. “Исправленные” выборочная дисперсия и
среднее квадратическое отклонение.
14.Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность.
15.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального
распределения при известном среднем квадратическом отклонении.
16.Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального
распределения при неизвестном среднем квадратическом отклонении.
17.Оценка вероятности по частости: точечная и интервальная.
18.Законы распределения Стьюдента, Пирсона, Фишера.
19.Статистическая проверка гипотезы. Статистическая гипотеза: нулевая и
альтернативная, параметрическая и непараметрическая. Ошибки I и II рода.
20.Статистический критерий проверки нулевой гипотезы. Наблюдаемое значение
критерия. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
Отыскание правосторонней, левосторонней, двусторонней критических областей.
Понятие мощности критерия.
21.Проверка гипотезы о нормальном распределении. Критерий согласия Пирсона.
15
22.Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности.
Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормально распределенных
генеральных совокупностей.
23.Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных
генеральных совокупностей с известными дисперсиями.
24.Проверка гипотезы о числовом значении генеральной средней нормально
распределенной генеральной совокупности при известной и неизвестной
генеральных дисперсиях.
25.Проверка гипотезы о равенстве двух средних нормально распределенных
генеральных совокупностей при неизвестных равных дисперсиях.
26.Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре
биномиального закона распределения). Проверка гипотезы о равенстве двух долей
нормально распределенных генеральных совокупностей.
27.Построение теоретического закона распределения по данному вариационному ряду.
28.Сравнение нескольких средних при помощи однофакторного дисперсионного
анализа.
5.3. Варианты тестов к зачету по дисциплине «Теория вероятностей и
математическая статистика»
1. Достоверным называется событие,
а.
которое может произойти или не произойти в результате испытания
б.
наступление которого можно достоверно исключить
в.
которое обязательно произойдет в результате испытания
г.
достоверность которого надо проверить с помощью статистических критериев
2. Вероятностью наступления события А называют отношение
а. числа исходов (шансов), благоприятствующих противоположному событию, к
общему числу всех равновозможных, несовместных элементарных исходов,
образующих полную группу
б. числа исходов (шансов), благоприятствующих этому событию, к общему числу
всех равновозможных, несовместных элементарных исходов без благоприятных
этому событию шансов (исходов)
в. числа исходов (шансов), благоприятствующих этому событию, к общему числу
всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную
группу
г. числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически
произведенных испытаний
3. Правило сложения вероятностей совместных событий:
а. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий
б. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного наступления
в. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме противоположных
вероятностей этих событий
г. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме противоположных
вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления
4. Формулы Байеса позволяют
16
а.
б.
в.
г.
переоценить условные вероятности события А после того, как становится известным
результат испытания, в итоге которого появилось событие А
переоценить вероятности гипотезы после того, как становится известным результат
испытания, в итоге которого появилось событие А
вычислить полную вероятность события А
переоценить полную вероятность события А
5. Случайной называется величина, которая
а.
может изменять свое значение от испытания к испытанию в силу случайных
обстоятельств, так что предугадать, какое именно значение примет случайная
величина в ходе испытания заранее невозможно
б.
в результате опыта может принять то или иное возможное значение, известное
заранее и обязательно одно
в.
в результате эксперимента может принять одно из двух возможных значений
г.
в результате эксперимента может принять только одно, заранее определенное
значение из некоторого конечного или бесконечного интервала
6. Функция распределения F(x)
а.
есть убывающая функция своего аргумента
б.
есть положительная функция
в.
есть отрицательная функция
г.
есть неубывающая функция своего аргумент
7. Основными числовыми характеристиками случайных величин являются:
а.
математическое ожидание, мода, медиана
б.
математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение
в.
мода, медиана, стандартное отклонение, дисперсия
г.
математическое ожидание, среднее линейное отклонение
8. Схемой испытаний Бернулли называется
а. последовательность независимых испытаний, в которых результатом каждого из
испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и
вероятность “успеха” (или “неудачи”) в каждом из испытаний одна и та же
б. последовательность зависимых испытаний, в которых результатом каждого из
испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и
вероятность “успеха” (или “неудачи”) в каждом из испытаний одна и та же
в. последовательность независимых испытаний, в которых результатом каждого из
испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и
вероятность “успеха” (или “неудачи”) меняется от опыта к опыту
г. последовательность зависимых испытаний, в которых результатом каждого из
испытаний может быть один из двух исходов (например, успех и неудача), и
вероятность “успеха” (или “неудачи”) меняется от опыта к опыту
9. Распределение Пуассона - это
а.
распределение вероятностей времени до первого наступления события
б.
распределение вероятностей числа наступлений события в течение промежутка
времени
в.
распределение вероятностей числа испытаний до первого появления события
г.
распределение вероятностей числа наступлений события в n зависимых
испытаниях.
10. Закон больших чисел в “узком смысле” – это
а.
совокупность теорем, доказывающих сходимость выборочных характеристик к
характеристикам генеральной совокупности при достаточно большом числе
наблюдений
б.
один общий закон, связанный с большими по величине числами
в.
“Золотая теорема” Я. Бернулли
17
г.
теорема П.Л. Чебышева
11. Теорема Бернулли позволяет
а.
используя среднее арифметическое значение, получить представление о величине
математического ожидания, и наоборот
б.
оценить вероятность отклонения частости от постоянной вероятности для любого
события
в.
оценить только верхнюю границ у вероятности отклонения относительной
частоты от постоянной вероятности для любого события
г.
оценить вероятность отклонения частоты появления события в n независимых
испытаниях от своего математического ожидания n  p
12. Что характеризуют показатели вариации?
а.
динамику явления
б.
колеблемость признака
в.
типичный уровень признака
г.
сопоставимость данных
д.
всех значений вариационного ряда в виде сектора соответствующей площади
13. Средняя величина вариационного ряда рассчитывается как
а.
разность между максимальным и минимальным значениями признака
б.
отношение суммы произведений значений признака на соответствующие частоты
к сумме частот
в.
отношение суммы произведений значений признака на соответствующие частоты
к сумме значений признака
г.
значение признака, относительно которого вариационный ряд делится на две
равные части
14. Дисперсия вариационного ряда рассчитывается как
а. сумма квадратов отклонения признака от средней арифметической
б. средний квадрат отклонения значений признака от средней арифметической
в. средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений значений признака
от средней
г. средняя квадратическая величина разностей значений признака для произвольно
составленной пары элементов совокупности
15. Общая дисперсия равна
а. отношению средней из частных дисперсий к межгрупповой дисперсии
б. отношению межгрупповой дисперсии к средней из частных дисперсий
в. разности двух величин: средней из частных дисперсий и межгрупповой дисперсии
г. сумме средней из частных дисперсий и межгрупповой дисперсии
16. Суть выборочного метода состоит в том, что:
а.
параметры
генеральной
совокупности
оцениваются
по выборочным
характеристикам, рассчитанным по части единиц генеральной совокупности,
отобранных в выборку по принципу случайности
б.
для исследования все элементы изучаемой совокупности группируются по
определённым правилам
в.
элементы изучаемой совокупности отбираются через определённый интервал
г.
сначала обследуются все элементы изучаемой совокупности, а затем по
определённым правилам отбирается их некоторая часть
18
17. Предельная ошибка выборки позволяет определять:
а.
надёжность результатов, полученных по данным выборки
б.
предельные значения характеристик генеральной совокупности при заданной
доверительной вероятности
в.
вероятность расхождения выборочных и генеральных характеристик
г.
минимально возможные расхождения выборочных и генеральных характеристик
18. Стандартная ошибка выборки представляет собой
а.
среднее квадратическое отклонение возможных значений выборочной
характеристики от характеристики генеральной совокупности, взвешенных по
вероятностям их наступления
б.
сумму отклонений возможных значений выборочной средней от генеральной
средней, взвешенных по вероятностям их наступления
в.
отклонение генеральной средней от предельной ошибки выборки
г.
отклонение выборочной средней от предельной ошибки выборки
19. Статистическим критерием называют
а.
любую непрерывную случайную величину
б.
случайную величину, которая служит для проверки статистической гипотезы
в.
случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону распределения
г.
любую дискретную случайную величину
20. В чем состоит ошибка первого рода?
а.
в том, что нулевая гипотеза будет отличаться от конкурирующей
б.
в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза
в.
в том, что будет отвергнута правильная нулевая гипотеза
г.
в том, что выборочные характеристики будут отличаться от истинных
характеристик генеральной совокупности
21. Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных
совокупностей относится:
а.
к гипотезам о форме распределения
б.
к гипотезам о долях
в.
к параметрическим гипотезам
г.
к непараметрическим гипотезам
22. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
осуществляется с помощью критерия
а.
F - Фишера-Снедекора
б.
U - нормально распределенной случайной величины
в.
T - Стьюдента
г.
2 – Пирсона
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА»
6.1. Специальная литература
Основная литература:
1. Балдин К.В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник / К.В.
Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. 2-е изд. – М.: Издательско-торговая
корпорация «Дашков и Ко», 2014. – 473 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
19
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Балдин К.В. Основы теории вероятностей и математической статистики: учебник
/ К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. – М.: Издательско-торговая
корпорация «Дашков и Ко», 2010. – 473 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Гусева Е.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: [электронный
ресурс] учебное пособие / Е.Н. Гусева. – 5-е изд., стереотип. – М.: ФЛИНТА,
2011. – 220 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для
студентов вузов / Н.Ш. Кремер. – 3-е изд., перераб и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА,
2012. – 551 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. – 2-е изд., испр.
и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 496 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Прохоров Ю.В., Пономаренко Л.С. Лекции по теории вероятностей и
математической статистике: учебник. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: Издательство
Московского университета, 2012. – 256 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Яковлев В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное
пособие / В.П. Яковлев. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация
«Дашков и Ко», 2011. – 184 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Лысенко С.Н., Дмитриева И.А. Общая теория статистики: учебное пособие. – М.:
Вузовский учебник, 2012 (Библиотека ЧОУ ВО «РИЗП»)
Дополнительная литература:
Шеремет Н.М. Общая теория статистики: учебник - М.: Изд-во УМЦ ЖДТ
(Маршрут), 2013 – 360 с. (ЭБС КнигаФонд)
Балдин К.В., Рукосуев А.В. Общая теория статистики: Учебное пособие– М.:
Издательско-торговая корпорация «Дашков и КО», -2015. – 312 с. (ЭБС
КнигаФонд)
Большакова Л.В. Теория вероятностей для экономистов: учебное пособие / Л.В.
Большакова. – М.: Финансы и статистика, 2009. – 208 с.
Высшая математика: учебное пособие/под ред. С.А.Розановой: М: Издательство:
ФИЗМАТЛИТ, 2009г. (ЭБС «КнигаФонд»)
Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное
пособие /Автор: Геворкян П.С.: М: Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. (ЭБС
«КнигаФонд»)
Высшая математика. Основы математического анализа: учебник для вузов /
Автор: Геворкян П.С.: М: Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. (ЭБС
«КнигаФонд»)
Курс математического анализа: учебник для вузов /Автор: Никольский С.М.: М:
Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. (ЭБС «КнигаФонд»)
Математика для гуманитариев: учебник / под общей ред. д.э.н., проф. К.В.
Балдина. – 3-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2011.
– 512 с. (ЭБС «КнигаФонд»)
Монсик В.Б. Вероятность и статистика: чебное пособие / В.Б. Монсик, А.А.
Скрынников. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 381 с.
Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Симонов Г.И. Теория вероятностей: учебник для
экономических и гуманитарных специальностей. – М.: МЦНМО, 2009. – 256 с.
(ЭБС «КнигаФонд»)
7. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
20
Для материально-технического обеспечения дисциплины используются:
компьютерный класс, специализированная аудитория с ПК и компьютерным проектором,
библиотека института; ППП Statistica 6.0, MS Excel, Eviews.
21