1. пояснительная записка - Рубцовский Институт филиал АлтГУ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайский государственный университет»
Рубцовский институт (филиал)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО ДИСЦИПЛИНЕ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Уровень основной образовательной программы базовый
Специальность 230103.51 Автоматизированные системы обработки
информации и управления (в промышленности, в бюджетных отраслях).
Форма обучения дневная
Срок освоения ОПОП нормативный
Кафедра математики и прикладной информатики
Рубцовск - 2011
СОДЕРЖАНИЕ
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА .....................................................................4
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН ................................................................................6
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ..............................................................10
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ ..................................................................................................23
4.1 Самостоятельная работа студента ............................................................23
4.2 Оценочные средства для контроля успеваемости и результатов
освоения учебной дисциплины ......................................................................24
5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ25
6.МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ КОНТРОЛЮ.
...............................................................................................................................26
7.СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ ...........................................32
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Пояснительная записка
Математика воспитывает такой склад ума, при котором требуется критическая
проверка и логическое обоснование тех или иных положений и точек зрения.
Цели освоения дисциплины:
Методы теории вероятностей и математической статистики широко
применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории
надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии,
астрономии, теории ошибок наблюдения, общей теории связи и во многих других
теоретических и прикладных наук. Теория вероятностей служит также для
обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь
используется при планировании и организации производства, при анализе
технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле
качества продукции и для многих других целей. Целью изучения курса является
изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных
событий.
Задачи дисциплины:
Основными задачами курса являются:
- изучение основ комбинаторики и теории вероятностей;
- изучение основ теории случайных величин;
- изучение статистических оценок параметров распределения по выборочным
данным и проверка статистических гипотез;
- изучение методики моделирования случайных величин, метода
статистических испытаний, основ вероятностного подхода к измерению
информации.
Требования к уровню изучения.
В результате изучения дисциплины студент должен:
иметь представление:
– о значении и областях применения данной дисциплины;
знать:
– основы комбинаторики и теории вероятностей;
– основы теории случайных величин;
– статистические оценки параметров распределения по выборочным данным и
проверку статистических гипотез;
– методику моделирования случайных величин, метод статистических испытаний,
основы вероятностного подхода к измерению информации;
уметь:
– рассчитывать вероятности событий;
– записывать распределения и находить характеристики случайных величин;
4
– рассчитывать статистические оценки параметров распределения по выборочным
данным, применять вероятностный подход для измерения информации.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика»
относится к циклу ОПД.09 Цикл общепрофессиональных дисциплин.
Федеральный компонент.
. Перечень дисциплин, усвоение которых студентами необходимо для
изучения данного курса:
«Математика», изучаемая студентами на первом курсе.
Программа предусматривает различные формы работы со студентами:
проведение лекционных и семинарских занятий, в качестве промежуточного
контроля знаний проведение контрольных работ.
5
2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
(распределение часов курса по разделам и видам работ)
Семинары
Лабораторны
е работы
Самостоятельная
работа студентов, час.
2
1. Теория вероятностей
как наука.
Возникновение и
развитие теории
вероятностей.
Вероятность и частота.
Виды случайных
событий. Классическое
определение
вероятности. Свойства
вероятности. Примеры
непосредственного
вычисления
вероятностей.
2. Элементы
комбинаторики.
Вычисление
вероятностей событий с
использованием
элементов
комбинаторики.
3. Различные подходы к
определению
вероятности
(геометрическая
вероятность,
6
Количество
аудиторных часов при
очной форме обучения
Лекции
ДЕ 1 Случайные события.
1
Наименование тем
3
4
5
6
7
5
2
2
1
5
2
2
1
5
2
2
1
Максимальная
нагрузка студентов,
час.
Дидактические
единицы (ДЕ)
Очная форма обучения
аксиоматическое,
статистическое
определение
вероятности).
4. Алгебра событий.
Действия над событиями.
Теоремы умножения и
сложения вероятностей
(Теорема сложения
вероятностей совместных
и несовместных событий.
Теорема умножения
вероятностей зависимых
и
независимых событий).
5. Вероятность
появления хотя бы
одного события.
6. Следствия теорем
сложения и умножения
(формула полной
вероятности).
7 Схема Бернулли,
формула Бернулли,
приближенные
формулы в схеме
Бернулли.
ДЕ 2 Случайные величины.
Промежуточный контроль
6
3
2
1
4
1
2
1
5
2
2
1
6
2
2
2
Аудиторная контрольная работа.
8Случайная величина.
Виды случайных
величин. Дискретная
случайная величина,
способы ее задания.
Действия над
случайными величинами.
9. Числовые
характеристики
дискретной случайной
величины
(математическое
ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое
7
4
2
1
1
4
2
1
1
отклонение).
10. Функция
распределения случайной
величины и ее свойства.
11. Непрерывная
случайная величина,
плотность распределения
и ее свойства. Числовые
характеристики.
12. Законы
распределения
дискретных случайных
величин. законы
распределения
непрерывных случайных
величин.
13. Закон больших чисел
и центральная предельная
теорема.
4
2
1
1
4
2
1
1
5
2
2
1
4
2
0
2
ДЕ 3 Математическая
статистика.
Промежуточный контроль
Домашняя контрольная работа.
14. Предмет и основные
задачи математической
статистики.
Выборочный метод
математической
статистики.
Вариационные ряды.
Характеристики выборки.
15. Оценки параметров
распределения. Метод
моментов.
16. Проверка
статистических гипотез.
Критерий Пирсона.
Проверка гипотезы о
виде распределения
генеральной
совокупности.
Промежуточный контроль
4
2
1
1
5
2
2
1
8
4
3
1
Типовой расчет.
8
ДЕ 4 Моделирование случайных
величин. Основы вероятностного
подхода к измерению информации
17. Моделирование
случайных величин.
Метод статистических
испытаний.
18. Основы
вероятностного подхода
к измерению
информации.
6
3
2
1
6
3
2
1
Промежуточный контроль
Коллоквиум.
Итоговый контроль
экзамен
Итого часов
90
9
40
30
20
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
(дидактические единицы)
3.1 Обязательный минимум содержания образовательной программы.
Элементы комбинаторики; понятие случайного события, классическое определение
вероятности, вычисление вероятностей событий с использованием элементов
комбинаторики, геометрическая вероятность; алгебра событий, теоремы
умножения и сложения вероятностей, формула полной вероятности; схема
Бернулли, формула Бернулли, приближенные формулы в схеме Бернулли.
Случайная величина, дискретная случайная величина, её распределение и
характеристики, непрерывная случайная величина, её распределение и
характеристики; законы распределения непрерывных случайных величин;
центральная предельная теорема, выборочный метод математической статистики,
характеристики выборки; вероятность и частота; моделирование случайных
величин, метод статистических испытаний
3.2 Содержание разделов учебной дисциплины
ДЕ 1 Случайные события.
Тема 1. Теория вероятностей как наука. Возникновение и развитие теории
вероятностей. Виды случайных событий. Вероятность и частота. Классическое
определение вероятности. Свойства вероятности. Примеры непосредственного
вычисления вероятностей.
Аудиторное изучение: предмет теории вероятностей. Определение случайного
события, примеры. Исторические сведения о возникновении и развитии теории
вероятностей. Классификация событий: достоверные, невозможные и случайные.
Виды случайных событий: совместные, несовместные, равновозможные,
единственно возможные, образующие полную группу, противоположные. Понятие
вероятности. Классическое определение вероятности, свойства вероятности
(вероятность достоверного события, вероятность невозможного события, вероятность
случайного события). Примеры непосредственного вычисления вероятностей.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.1, 1.2. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. Определение случайного, невозможного, достоверного, совместных, несовместных,
равновозможных, единственно возможных, образующих полную группу, противоположных
событий;
10
классическое определение вероятности.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. различать различные виды событий;
2. применять классическое определение для вычисления вероятностей событий.
Тема 2. Элементы комбинаторики. Применение формул комбинаторики для
вычисления вероятностей.
Аудиторное изучение: что изучает комбинаторика. Правила
комбинаторики (правило суммы, правило произведения). Формулы
комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания. Примеры задач на
применение правил и формул комбинаторики.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.5; 1.6 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать правила и формулы
комбинаторики;
Требования к умениям: студент должен уметь применять правила и
формулы комбинаторики для решения задач.
Тема 3. Различные подходы к определению вероятности (геометрическая
вероятность, аксиоматическое, статистическое определение вероятности).
Аудиторное изучение: ограниченность классического определения. Статистическая
вероятность. Геометрические вероятности. Аксиоматическое и субъективное
определения вероятности.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.3, 1.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям:
студент должен знать различные определения вероятности.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. вычислять вероятности с помощью статистического определения;
2. вычислять вероятности с помощью геометрического определения.
Тема 4. Алгебра событий. Действия над событиями. Теоремы умножения и
сложения вероятностей (Теорема сложения вероятностей совместных и
несовместных событий. Теорема умножения вероятностей зависимых и
независимых событий).
Аудиторное изучение: определение суммы и произведения событий, их
иллюстрация с помощью диаграмм Венна. Теорема сложения вероятностей
несовместных событий, примеры ее применения. Теорема о сумме вероятностей
событий, образующих полную группу, примеры ее применения. Условная и
2.
11
безусловная вероятности. Зависимые и независимые события, события независимые
в совокупности. Теоремы умножения вероятностей, примеры их применения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.7. – 1.10. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение суммы и произведения событий;
2. теорему о сумме вероятностей событий, образующих полную группу;
3. определения зависимых и независимых событий;
4. теоремы умножения зависимых и независимых событий.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. изображать с помощью диаграмм Венна различные события и действия над
ними;
2. различать зависимые и независимые события;
3. применять теорему сложения и теоремы умножения при решении задач.
Тема 5. Вероятность появления хотя бы одного события.
Аудиторное изучение: теоремы о нахождении вероятности появления
хотя бы одного события (для независимых в совокупности событий; событий,
имеющих одинаковую вероятность; зависимых событий), примеры их
применения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 1.9. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая
статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать: теоремы о нахождении
вероятности появления хотя бы одного события (для независимых в совокупности
событий; событий, имеющих одинаковую вероятность; зависимых событий)
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить вероятность появления хотя бы одного события с помощью
соответствующих теорем;
2. формулировать событие противоположное тому, что хотя бы одно из
событий произошло.
Тема 6. Следствия теорем сложения и умножения.
Аудиторное изучение: теорема сложения вероятностей совместных событий.
Формула полной вероятности. Определение гипотез. Формулы Байеса. Их
применение к решению практических задач.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 1.9, 1.11. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
12
Требования к знаниям: студент должен знать:
теорему сложения вероятностей совместных событий;
формулу полной вероятности;
формулы Байеса.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. применять теорему сложения вероятностей совместных событий;
2. отличать задачи, решаемые с помощью формулы полной вероятности, от задач, при
решении которых используются формулы Байеса;
3. применять формулу полной вероятности и формулы Байеса.
Тема 7. Схема Бернулли, формула Бернулли, приближенные формулы в схеме
Бернулли.
Аудиторное изучение: понятие повторных независимых испытаний. Сложное событие.
Формула Бернулли, ее применение к решению задач. Формула Пуассона, ее
применение к решению задач. Локальная и интегральная формулы МуавраЛапласа, их применение к решению задач. Формула нахождения вероятности
отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых
испытаниях, ее применение к решению задач. Наивероятнейшее число появлений
события в независимых испытаниях, формула его нахождения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 2.1. – 2.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. что понимают под повторными независимыми испытаниями;
2. формулу Бернулли и асимптотические формулы (формула Пуассона,
локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа);
3. формулу нахождения вероятности отклонения относительной частоты от
постоянной вероятности в независимых испытаниях;
4. определение наивероятнейшего числа и формулу для его нахождения.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. применять формулу Бернулли, формулу Пуассона, локальную и
интегральную теоремы Муавра–Лапласа при решении задач;
2. при решении задач с помощью формулы Пуассона, локальной и
интегральной формул Муавра–Лапласа пользоваться соответствующими
таблицами для нахождения искомых вероятностей;
3. применять формулу нахождения вероятности отклонения относительной
частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях при решении
задач;
4. находить наивероятнейшее число появлений события в независимых
испытаниях.
ДЕ 2 Случайные величины.
1.
2.
3.
13
Тема 8. Понятие случайной величины. Виды случайных величин. Дискретная случайная
величина, способы ее задания. Действия над случайными величинами.
Аудиторное изучение: понятие случайной величины. Дискретная и
непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины. Математические операции над случайными величинами.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 3.1. – 3.2. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение случайной величины;
2. виды случайных величин;
3. способы задания дискретной случайной величины.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. различать дискретную и непрерывную величины;
2. находить сумму, разность, произведение, частное нескольких случайных
величин;
3. возводить случайную величину в степень, умножать случайную величину на
постоянную;
4. задавать случайную величину табличным, аналитическим, графическим
способами.
Тема 9. Числовые характеристики дискретной случайной величины
(математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение).
Аудиторное изучение: понятие числовых характеристик. Определение
математического ожидания дискретной случайной величины. Свойства
математического ожидания. Вероятностный смысл математического ожидания.
Определение дисперсии дискретной случайной величины. Свойства дисперсии.
Определение среднего квадратического отклонения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 3.3. – 3.4. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определения основных числовых характеристик дискретной случайной величины;
2. свойства основных числовых характеристик дискретной случайной величины;
3. что характеризует каждая из числовых характеристик;
4. формулы вычисления основных числовых характеристик дискретной случайной
величины;
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины;
14
вычислять дисперсию дискретной случайной величины по определению и с
помощью свойства;
3. вычислять среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины;
4. зная числовые характеристики дискретной случайной величины, находить
значения случайной величины и их вероятности.
Тема 10. Функция распределения случайной величины и ее свойства.
Аудиторное изучение: определение функции распределения вероятностей.
Свойства этой функции. Нахождение функции распределения вероятностей дискретной
случайной величины по известному закону распределения. Нахождение закона
распределения дискретной случайной величины по известной функции
распределения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 3.5. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая
статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение функции распределения вероятностей случайной величины;
2. свойства функции распределения вероятностей случайной величины.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить функцию распределения вероятностей дискретной случайной величины по
известному закону распределения;
2. находить закон распределения дискретной случайной величины по известной
функции распределения.
Тема 11. Непрерывная случайная величина, плотность распределения и ее
свойства. Числовые характеристики.
Аудиторное изучение: определение непрерывной случайной величины.
Определение плотности распределение вероятностей. Свойства плотности распределения
вероятностей. Нахождение функции распределения по известной плотности.
Нахождение плотности распределения по известной функции распределения.
Нахождение вероятности того, что случайная величина примет значение из некоторого
интервала. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического
отклонения.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 3.6. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и математическая
статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. определение непрерывной случайной величины с помощью функции распределения
вероятностей;
2. определение плотности распределение вероятностей непрерывной случайной
величины;
2.
15
свойства плотности распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
определения основных числовых характеристик непрерывной случайной
величины.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить функцию распределения вероятностей по известной плотности
распределения;
2. находить плотность распределения вероятностей по известной функции
распределения;
3. находить вероятности того, что случайная величина примет значение из
некоторого интервала с помощью функции распределения и с помощью
плотности распределения;
4. вычислять числовые характеристики непрерывной случайной величины.
Тема 12. Законы распределения дискретных случайных величин. законы
распределения непрерывных случайных величин
.Аудиторное изучение: законы распределения дискретной случайной величины
(биномиальный закон, геометрический закон). Законы распределения непрерывной
случайной величины (показательный и нормальный законы).
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 4.1, 4.3, 4.6, 4.7. учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. случайную величину, распределенную по биномиальному закону, ее числовые
характеристики;
2. случайную величину, распределенную по геометрическому закону, ее числовые
характеристики;
3. случайную величину, распределенную по показательному закону, ее числовые
характеристики;
4. случайную величину, распределенную по нормальному закону, ее числовые
характеристики;
5. свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения;
6. кривую Гаусса.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. задавать случайную величину, распределенную по биномиальному закону,
находить ее числовые характеристики;
2. задавать случайную величину, распределенную по геометрическому закону,
находить ее числовые характеристики;
3. задавать случайную величину, распределенную по показательному закону,
находить ее числовые характеристики;
4. задавать случайную величину, распределенную по нормальному закону,
находить ее числовые характеристики;
3.
4.
16
5. использовать свойства нормального распределения при решении задач.
Тема 13. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
Аудиторное изучение: закон больших чисел. Неравенство Чебышева.
Теорема Чебышева. Сущность и значение данной теоремы. Теорема Бернулли.
Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§6.1 – 6.5 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. что понимают под законом больших чисел в широком и узком смысле;
2. неравенство Чебышева;
3. теорему Чебышева, сущность и значение данной теоремы;
4. Теорему Бернулли, значение данной теоремы;
5. Теорему Ляпунова.
Требования к умениям: студент должен уметь: вычислять вероятности и
рассчитывать «трехсигмовый» интервал для величины Y  x1  x2  ...  x N , N –
большое
ДЕ 3 Математическая статистика.
Тема 14. Предмет и основные задачи математической статистики.
Выборочный метод математической статистики. Вариационные ряды.
Характеристики выборки.
Аудиторное изучение: математическая статистика как наука, ее основные задачи.
Генеральная и выборочная совокупности. Общие сведения о выборочном методе
(сущность выборочного метода, репрезентативная выборка, виды выборок,
важнейшая задача выборочного метода). Статистическое распределение выборки.
Полигон и гистограмма. Основные характеристики статистического распределения
(выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое
отклонение). Метод произведений.
Самостоятельное изучение.
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение §§ 8.1, 8.2, 8.4, 9.1 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. что изучает математическая статистика, ее основные задачи;
2. генеральную и выборочную совокупности;
3. виды выборок;
4. сущность выборочного метода;
5. статистическое распределение выборки;
6. основные характеристики статистического распределения.
Требования к умениям: студент должен уметь:
17
строить полигон и гистограмму для соответствующего статистического
распределения;
2. вычислять основные характеристики статистического распределения по
основным формулам и с помощью метода произведений.
Тема 15. Оценки параметров распределения. Метод моментов.
Аудиторное изучение: понятие оценки параметров. Несмещенные,
эффективные и состоятельные оценки. Точечные и интервальные оценки. Метод
моментов для точечной оценки параметров распределения.
Самостоятельное изучение.
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 9.2, 9.3 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. понятие оценки параметров;
2. виды оценок;
3. несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии;
4. точечные и интервальные оценки;
5. метод моментов.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. находить несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии;
2. применять метод моментов для нахождения оценок;
3. находить интервальные оценки.
Тема 16. Проверка статистических гипотез. Критерий Пирсона. Проверка
гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
Аудиторное изучение: статистическая гипотеза (параметрическая,
непараметрическая). Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы.
Ошибки первого и второго рода. Статистической критерий проверки нулевой
гипотезы. Наблюдаемое значение критерия. Критическая область, область принятия
гипотезы. Основной принцип проверки статистических гипотез. Критические точки.
Критерий согласия. Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной
совокупности. Критерий согласия Пирсона.
Самостоятельное изучение.
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
2. Изучение § 10.1, 10.2, 10.7 учебника Кремера Н.Ш. «Теория вероятностей и
математическая статистика».
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. понятие статистической гипотезы, виды гипотез;
2. основной принцип проверки нулевой гипотезы.
Требования к умениям: студент должен уметь: применять критерий
согласия Пирсона для проверки непараметрической гипотезы.
1.
18
ДЕ 4 Моделирование случайных величин. Основы вероятностного
подхода к измерению информации
Тема 17. Моделирование случайных величин. Метод статистических
испытаний.
Аудиторное изучение: примеры моделирования случайных величин с
помощью физических экспериментов. Таблицы случайных цифр. Моделирование
дискретной случайной величины (общий случай). Моделирование нормально
распределенной величины. Сущность метода статистических испытаний.
Приблизительное нахождение (оценивание) площади плоской фигуры с помощью
метода статистических испытаний. Зависимость точности результата, получаемого
методом статистических испытаний от количества испытаний.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. методику моделирования дискретной случайной величины;
2. методику моделирования непрерывной случайной величины;
3. сущность метода статистических испытаний;
4. методику приблизительного нахождения (оценивания) площади плоской
фигуры с помощью метода статистических испытаний.
Требования к умениям: студент должен уметь:
1. моделировать дискретную случайную величину;
2. моделировать непрерывную случайную величину;
3. применять метод статистических испытаний для приблизительного
нахождения (оценивания) площади плоской фигуры.
Тема 18. Основы вероятностного подхода к измерению информации.
Аудиторное изучение: сущность вероятностного подхода к измерению
информации. Связь одного бита с выбором одного из двух равновероятных
исходов, выбор одного из нескольких равновероятных исходов, формула Хартли.
Выбор одного из нескольких исходов в случае произвольного распределения
вероятностей, формула Шеннона.
Самостоятельное изучение:
1. Изучение соответствующего лекционного материала.
Требования к знаниям: студент должен знать:
1. сущность вероятностного подхода к измерению информации;
2. вероятностное понимание одного бита информации;
3. формулы Хартли и Шеннона.
Требования к умениям: студент должен уметь рассчитывать количество
информации по формулам Хартли и Шеннона.
3.3 Содержание практических занятий
19
Тема 1. Классическое определение вероятности. Применение формул
комбинаторики для вычисления вероятностей.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№3, 5, 8, 9, 10, 12, 14, 16.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.37, 1.38, 1.39,
1.44, 1.47.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 2. Основные теоремы теории вероятностей.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 46, 47, 50, 51, 52, 53, 55.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.45, 1.46, 1.58,
1.60.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 3.. Вероятность появления хотя бы одного события. Следствия теорем
сложения и умножения.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 58, 59, 61, 65, 67, 86.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 1.63, 1.64, 1.65,
1.69.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 4. Повторные независимые испытания.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 110, 111, 112, 115, 119, 120.
Домашнее задание:
20
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 2.15, 2.17, 2.20,
2.23, 2.25.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 5. Дискретная случайная величина, способы ее задания. Числовые
характеристики.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 165, 166, 167, 170.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 3.29, 3.33, 3.35,
3.36, 3.41.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 6 Функция распределения и ее свойства. Непрерывная случайная величина,
плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 252, 256, 260, 262, 264, 265.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 3.48, 3.62, 3.63,
3.65.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 7. Законы распределения случайных величин.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 168, 169, 177, 178, 308, 310.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 3.25, 3.28, 4.11,
4.14, 4.17.
Решение задач индивидуальной контрольной.
Тема 9. Метод произведений вычисления выборочного среднего и выборочной
дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
21
№ 523, 524, 635, 652, 658, 664.
Домашнее задание:
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. № 8.10, 8.11, 10.28,
10.30, 10.31
Решение задачи индивидуального типового расчета.
Тема 10. Моделирование случайных величин. Метод статистических
испытаний.
План.
Решение задач.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической
статистике.
№ 679, 680,682, 685, 688, 690.
Домашнее задание:
Подготовка к коллоквиуму
Тема 11. Основы вероятностного подхода к измерению информации.
План.
Решение задач.
Домашнее задание:
Подготовка к коллоквиуму
22
4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОСВОЕНИЮ УЧЕБНОЙ
ДИСЦИПЛИНЫ
4.1 Самостоятельная работа студента
Основной составной частью учебного процесса в преподавании дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика» студентам дневной формы
обучения являются лекции и практические занятия. Теория вероятностей и
математическая статистика относятся к числу фундаментальных областей
математики.
Владение основами теории вероятностей и математической статистики
предполагает знание основных понятий, определений и теорем курса, умение
применять их при решении практических задач. Чтобы соответствовать этим
требованиям, студенту необходимо уделять большое внимание изучению материалов
лекционных и практических занятий, а также работать со специальной литературой
по указанному курсу.
Все лекции студентам необходимо конспектировать. В конспект
рекомендуется выписывать определения, формулировки и доказательства
теорем, формулы и т.п. На полях конспекта следует помечать вопросы,
выделенные студентом для консультации с преподавателем. Выводы,
полученные в виде формул, а также алгоритмы решения тех или иных классов
задач рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при
перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Полезно
составить краткий справочник, содержащий определения важнейших понятий и
наиболее часто употребляемые формулы дисциплины. К каждой лекции следует
разобрать материал предыдущей лекции.
На практических занятиях подробно рассматриваются основные вопросы
дисциплины, разбираются основные типы задач. К каждому практическому
занятию следует заранее самостоятельно выполнить домашнее задание и
выучить лекционный материал к следующей теме. Систематическое выполнение
домашних заданий обязательно и является важным фактором, способствующим
успешному усвоению дисциплины.
Промежуточный контроль проводится в виде контрольных работ и
коллоквиума.
Большая часть материалов для самостоятельного изучения доступна на
файл-сервере Института.
23
4.2 Оценочные средства для контроля успеваемости и результатов
освоения учебной дисциплины
На экзамене оценка «отлично» ставится, если студент строит ответ
логично в соответствии с планом, показывает максимально глубокие знания
математических терминов, понятий, категорий, концепций и теорий.
Практические задания выполнены полностью, осознанно. Устанавливает
содержательные межпредметные связи. Демонстрирует знание специальной
литературы в рамках учебного методического комплекса и дополнительных
источников информации.
Оценка «хорошо» ставится, если студент строит свой ответ в соответствии
с планом. Есть небольшие неточности в изложении теоретического материала
или в выполнении практических заданий. Устанавливает содержательные межпредметные
связи. Речь грамотна, используется профессиональная лексика. Демонстрирует
знание специальной литературы в рамках учебного методического комплекса и
дополнительных источников информации. Имеет место средний уровень
выполнения контрольных и самостоятельных работ в течение учебного
процесса
Оценка «удовлетворительно» ставится, если ответ недостаточно
логически выстроен, план ответа соблюдается непоследовательно.
Практические задания выполнены все, есть небольшие неточности.
Оценка «неудовлетворительно» ставится при условии недостаточного
раскрытия понятий. Ответ содержит ряд серьезных неточностей. Выводы
поверхностны. Имеет место очень низкий уровень выполнения контрольных и
самостоятельных работ в течение учебного процесса
24
5. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ДИСЦИПЛИНЫ
1. Аудитория для проведения лекционных занятий, имеющая необходимое
количество посадочных мест и оснащенная оборудованием для проведения
презентаций (ноутбук, проектор).
2. SPSS 11.5 for Windows Пакет STATISTICA
25
6.МАТЕРИАЛЫ К ПРОМЕЖУТОЧНОМУ И ИТОГОВОМУ
КОНТРОЛЮ.
Вариант аудиторной контрольной работы.
1. В коробке из 15 шаров 7 белых. Найти вероятность того, что среди 5 взятых
наудачу шаров 4 белых.
2. На отдельных одинаковых карточках написаны цифры: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6.
Эти карточки тщательно перемешивают, наудачу отбирают 4 карточки и
раскладывают в ряд в порядке появления. Найти вероятность того, что
получится число 2356.
3. Подбрасывают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма
выпавших очков равна 7.
4. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы
которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность того, что точка,
брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное
указанными окружностями?
5. В сборочный цех завода поступают детали с двух конвейеров в
соотношении 3:2. Первый конвейер выпускает 90% стандартных деталей, а
второй – 95%.Определить вероятность того, что наудачу взятая деталь будет
стандартной. Наудачу взятая деталь оказалась нестандартной. Найти
вероятность того, что она поступила с первого конвейера.
6. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. В некоторой семье шестеро
детей. Найти вероятность, что среди них не больше 2-х девочек.
Вариант домашней контрольной работы
1. Вычислить:
8
C 5  A72
;
P5 (2,3)
2. Найти значение n , при котором верно равенство:
4
( A 2  C113 )  Pn  4344.
3. Из 28 строительных рабочих 15 - штукатуры, а 13 -маляры. Наудачу отбирается
бригада из 7 рабочих. Какова вероятность того, что среди них будет 3
маляра и 4 штукатуров?
4. На карточках написаны буквы А, А, К, К, О, Р, Т, Ч. Карточки перемешивают и
кладут в порядке их вытягивания. Какова вероятность того, что: а) из 5
карточек получится слово “КАРТА”; б) из трех карточек получится слово
“ТОК”.
26
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
На один ряд из шести мест, случайным образом садятся шесть учеников. Найти
вероятность того, что два определенных ученика окажутся рядом.
В магазин поступили изделия, 75% которых получено от одной фабрики, 20% –
от другой и остальные – от третьей. Найти вероятность того, что купленное
покупателем изделие изготовлено на первой или третьей фабрике.
В коробке находятся жетоны с цифрами то 1 до 17. Наудачу извлекаются два
жетона. Какова вероятность того, что будут вынуты: а) оба жетона с четными
номерами; б) хотя бы один жетон с нечетным номером.
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,65, вторым - 0,8, третьим 0,75. Найти вероятность того, что только один стрелок попадет в цель.
Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число кратно трем или
пяти.
Вероятность того, что стрелок попадет хотя бы один раз при трех выстрелах, равна
0,992. Найти вероятность одного попадания в цель при трех выстрелах, если при
каждом выстреле вероятность попадания постоянна.
В группе спортсменов 25 лыжников, 17 боксеров и 18 бегунов. Вероятность
выполнить квалификационную норму для лыжников составляет 0,95, боксеров 0,7, бегунов - 0,9. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу,
выполнит квалификационную норму.
Два предприятия выпускают однотипные изделия. Причем второе выпускает
45% изделий обоих предприятий. Вероятность выпуска нестандартного изделия
первым предприятием 0,01, вторым - 0,05. Взятое изделие оказалось
стандартным. Какова вероятность, что оно выпущено на втором
предприятии.
Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину при броске равна
0,75. Произведено 6 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и
соответствующую вероятность.
Станок автомат делает детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной,
равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 деталей окажется: а) 6
бракованных; б) хотя бы одна бракованная; в) не менее 3 и не более 7
бракованных.
Установлено, что виноградник поражен вредителями на 12%. Найти
вероятность того, что из 200 проверенных число незараженных кустов будет
160.
Известно, что 75% специалистов в районе имеет высшее образование. Найти
вероятность того, что из 100 наудачу отобранных человек высшее образование
имеют не менее 70.
В группе из 12 спортсменов 4 мастера спорта. Отбирают (по схеме без
возвращения) 3 спортсменов. Составить закон распределения случайной
27
величины X – числа мастеров спорта из отобранных спортсменов. Найти:
M(X), D(X), (X). Построить многоугольник распределения вероятностей.
18. Непрерывная случайная величина X задана функцией распределения.
e x , x  0,
F ( x)  
1, х  0.
Найти: а) плотность вероятности (x); б) вероятность попадания X в интервал (2;2); в) числовые характеристики.
19. X – нормально распределенная случайная величина с параметрами а=30 и =5. Найти
P(28<X<34), P(X-300,1).
Вариант типового расчета.
В течение 10 часов регистрировалось прибытие автомобилей к бензоколонке,
получили эмпирическое распределение, приведенное в таблице (во втором
столбце указан интервал времени в часах, в третьем столбце – частота, т. е.
количество машин, прибывших в этом интервале):
Номер
интервала
Интервалы времени, ч.
Частоты, ni
1
8–9
12
2
9–10
40
3
10–11
22
4
11–12
16
5
12–13
28
6
13–14
6
14–15
11
8
15–16
33
9
16–17
18
7
28
10
17–18
14
Требуется при уровне значимости 0,01 проверить гипотезу о том, что время
прибытия машин распределено равномерно.
Вопросы к коллоквиуму.
Моделирование случайных величин с помощью физических экспериментов.
Моделирование дискретной случайной величины (общий случай).
Моделирование нормально распределенной величины.
Случайные числа.
Моделирование (разыгрывание) противоположных событий.
Сущность метода статистических испытаний.
Приблизительное нахождение (оценивание) площади плоской фигуры с помощью
метода статистических испытаний.
8. Сущность вероятностного подхода к измерению информации.
9. Связь одного бита с выбором одного из двух равновероятных исходов.
10. Выбор одного из нескольких равновероятных исходов. Формула Хартли.
Выбор одного из нескольких исходов в случае произвольного распределения
вероятностей. Формула Шеннона.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы к экзамену
1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности. Относительная
частота.
2. Формулы комбинаторики.
3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.
4. Полная группа событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих
полную группу.
5. Противоположные события. Теорема о сумме вероятностей противоположных
событий.
6. Произведение событий. Условная вероятность. Теорема умножения
вероятностей.
7. Независимые события. Теорема умножения для независимых событий.
Доказать, что если события A и B независимые, то независимы также
события В и А.
29
8. Вероятность появления хотя бы одного из событий, независимых в
совокупности.
9. Теорема сложения вероятностей совместных событий.
10. Формула полной вероятности.
11. Формулы Байеса.
12. Формула Бернулли.
13. Локальная теорема Лапласа.
14. Интегральная теорема Лапласа.
15. Формула Пуассона.
16. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона.
17. Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
18. Определение математического ожидания дискретной случайной величины.
Вероятностный смысл математического ожидания.
19. Математическое ожидание числа появлений события в n независимых испытаниях.
20. Отклонение случайной величины от своего математического ожидания.
Математическое ожидание этого отклонения.
21. Определение дисперсии случайной величины. Свойства дисперсии.
22. Вывод формулы для вычисления дисперсии дискретной случайной величины.
23. Дисперсия числа появлений события в n независимых испытаниях. Среднее
квадратическое отклонение.
24. Определение функции распределения вероятностей случайной величины.
25. Доказать, что функция распределения вероятностей случайной величины
является неубывающей.
26. Чему равна вероятность того, что непрерывная величина X примет одно
определенное значение.
27. Определение плотности распределения. Вероятность попадания непрерывной
случайной величины в заданный интервал.
28. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.
Свойства плотности распределения.
29. Вероятностный смысл плотности распределения.
30. Закон равномерного распределения вероятностей.
31. Математическое ожидание непрерывной случайной величины.
32. Дисперсия непрерывной случайной величины. Вывод формулы.
33. Кривая Гаусса.
34. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.
35. Вероятность отклонения нормально распределенной величины X от
математического ожидания.
36. Правило трех сигм.
37. Закон больших чисел и центральная предельная теорема.
38. .Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии.
30
39. Показать, что М(X)=D(X), где X- случайная величина, распределенная по закону
Пуассона.
40. Критерий согласия Пирсона.
41. Задано статистическое распределение. Как найти закон распределения с нормальной
плотностью.
42. Задано статистическое распределение. Как найти закон распределения с
равномерной плотностью.
31
7.СПИСОК ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
ДРУГИЕ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ИСТОЧНИКИ
Основная литература
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах В 2ч.: Ч.2:
Учебное пособие для вузов / П.Е. Данко. - 6-е изд.- М.: ООО
"Издательство Оникс", 2005 - 416c.
2. Кремер Н.Ш.Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп.- М.: , 2007 573c.
3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей /
Сост. Ю.А.Кузнецова. - Рубцовск-Барнаул: АГУ, 2005 - 133c.
Дополнительная литература
1. Венцель Е.С. Теория вероятностей : Учебник для вузов / Е. С. Вентцель .
– 7-е изд., стереотип . – М. : Высшая школа, 2001 . – 575 с.
2. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая
статистика: В примерах и задачах с применением Excel / Г.В. Горелова,
И.А. Кацко. - Ростов-н/Д: Феникс, 2006 - 475c.
3. Гусак А.А., Бричикова Е.А. Справочное пособие к решению задач:
теория вероятностей / А.А. Гусак, Е.А. Бричикова. - Мн.: ТетраСистемс,
1999 - 288c
4. Зайцев И.А Высшая математика: Учебник для вузов / И.А. Зайцев. испр.- М.: Дрофа, 2004 - 400c.
5. Калинина, В.Н. Математическая статистика: Учебник для студентов
средних специальных учеб. заведений / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. Мн.: Высш. шк., 2001 - 336c.
6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории
вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. –
Ростов н/Д: Феникс, 1999.
7. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-тов физ.
культ. / Под ред. В.С. Иванова. - М.: Физкультура и спорт, 1990 - 176c.
8. Румшинский, Л.З. Элементы теории вероятностей / Л.З. Румшинский. М.: Гос.изд.Физ.-математ.лит., 1963 - 156c.
9. Селезнев, Л.И. Введение в теорию вероятностей и ее приложения :
Учебно-справочное пособие / Л.И. Селезнев. - М.: РОУ, 1996 - 56c.
32
10. Солодовников, А.С.
Теория вероятностей: Учеб.пособие
для
студентов пед. ин-тов по матем. спец. / А.С. Солодовников. - М.:
Просвещение, 1983 - 207c.
Базы данных, Интернет-ресурсы,
информационно-справочные и поисковые системы
1. Единое окно доступа к образовательным ресурсам. Электронная
библиотека [Электронный ресурс]: инф. система. – М.: ФГАУ ГНИИ ИТТ
"Информика", 2005-2012. – Режим доступа: //www. http://window.edu.ru,
свободный. – Загл. с экрана (дата обращения 11.04.2012)
2. Интернет-университет информационных технологий – дистанционное
образование – INTUIT.ru [Электронный ресурс]: офиц. сайт. – М.:
Открытые системы, 2003-2011. - Режим доступа: http://www.intuit.ru,
свободный. - Загл. с экрана (дата обращения: 17.05.2012).
3. Поисковые системы: Google, Yandex, Rambler.
33