Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
НАЙТИ:1)длину ребра А1А3,
2)угол между ребрами А1А3 и А1А4,
3)уравнение плоскости А1А2А4
4)угол между ребром А1А3 и гранью А1А2А4,
5)площадь грани А1А2А4,
6)объем пирамиды,
7)уравнение высоты,опущенной из вершины А3 на грань А1А2А4,
8)уравнение прямой А1А4,
9)уравнение прямой,проходящей через вершину А2 параллельно ребру А1А4,
10)уравнение плоскости,проходящей через точку А3 перпендикулярно ребру А1А4,
11)расстояние от точки А3 до грани А1А2А4.
Координаты - А1(2;-4;-3). A2(5;-6;0). A3(-1;3;-3). A4(-10;-8;7).
Решение.
1) Длина А1А3
A1 (2; -4; -3)
A3 (-1; 3; -3)
Координаты ребра A1A3 {-1-2;3-(-4);-3-(-3)}={-3; 7; 0}
|A1A3| =√ 9 + 49 = √58
|A1A3| = √58
2) угол между ребрами А1А3 и А1А4
A1 (2; -4; -3)
A4 (-10; -8; 7)
Координаты A1A4 {-10-2;-8-(-4);7-(-3)}= {-12; -4; 10}
|A1A4| = √144 + 16 + 100 = √260
|A1A4| = √260
Посчитаем скалярное произведение векторов A1A3 и A1A4 по определению
(A1A3;A1A4) = |A1A3|*|A1A4|*cos(A3A1A4) =
= √58*√260*cos(A3A1A4) =
= 2*√3770*cos(A3A1A4) (*)
Посчитаем скалярное произведение векторов A1A3 и A1A4 покоординатно
(A1A3;A1A4) = 36 - 28 + 0 = 8 (**)
Из (*) и (**) следует, что
2*√3770*cos(A3A1A4) = 8
cos(A3A1A4) = 4/√3770
угол A3A1A4 = arccos(4/√3770)
3) уравнение плоскости А1А2А4;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A4(-10;-8;7)
|x-2 y+4 z+3|
| 3 -2 3 | = 0
|-12 -4 10 |
(x-2)*|-2 3 | - (y+4)*|3
3| + (z+3)*|3 -2| = 0
|-4 10|
|-12 10|
|-12 -4|
(x-2)*(-20+12) - (y+4)*(30+36) + (z+3)*(-12-24) = 0
-8(x-2) - 66(y+4) - 36(z+3) = 0
4(x-2) + 33(y+4) + 18(z+3) = 0
4x - 8 + 33y + 132 + 18z + 54 = 0
4x + 33y + 18z + 178 = 0 - уравнение плоскости A1A2A4
4) угол между ребром А1А3 и гранью А1А2А4;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
A1A3 = √58
A3H = 219/√(1141)
Рассмотрим треугольник A1A3H. Он является прямоугольным (угол H павен 90 градусов)
Угол между ребром A1A3 и плоскостью A1A2A4 равен углу HA1A3
sin(HA1A3) = A3H/A1A3 = 219/√(1141*58) = 219/√(66178)
Угол HA1A3 = arcsin(219/√(66178))
5) площадь грани А1А2А4;
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A4(-10;-8;7)
A1A2 {3; -2; 3}
A1A4 {-12; -4; 10}
|i
j k| = i*|-2 3| - j*|3
3| + k*|3 -2| =
|3 -2 3|
|-4 10| |-12 10|
|-12 -4|
|-12 -4 10|
= i*(-20+12) - j*(30+36) + k*(-12+24) =
= (-8)*i + (-66)*j + 12*k
S = (1/2)*√(64 + 4356 + 144) =
= (1/2)*√(4564) = (1/2)*2*√(1141) = √(1141) (кв.ед)
6) объем пирамиды;
Для нахождения объема пирамиды надо найти объем параллепипеда, построенного на
гранях А1А2, А1А3 и А1А4 и поделить его на 6.
А1А2={3;-2;3}
А1А3={-3;7;0}
А1А4={-12;-4;10};
Запишим эти значения ввиде матрицы и найдем ее определитель:
A3A1xA3A2 = |i j k| = i*|-7 0| - j*|3 0| + k*|3 -7| =
|3 -7 0|
|-9 3|
|6 3|
|6 -9|
|6 -9 3|
= i*(-21-0) - j*(9-0) + k*(-27+42) = (-21)i + (-9)j + 15k
A3A1xA3A2 {-21; -9; 15}
(A3A4, A3A1xA3A2) = (-9)*(-21) + (-11)*(-9) + 10*15 =
= 189 + 99 + 150 = 438
V = (1/6)*438 = 73(куб. ед.)
7) уравнение высоты, опущенной из вершины А3 на грань А1А2А4; А1(2;-4;-3),
A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
Уравнение грани A1A2A4:
4x + 33y + 18z + 178 = 0 (пункт 3)
Высота проходит через точку A3 (-1; 3; -3)
Следовательно, уравнение высоты, опущенной из точки A3, имеет вид:
(x+1)/l = (y-3)/m = (z+3)/n
Необходимо оределить m и n.
Высота перпендикулярна плоскости A1A2A4. По условию перпендикулярности прямой и
плоскости
4/l = 33/m = 18/n
l = (2/9)n
m = (11/6)n
Тогда уравнение высоты имеет вид:
9(x+1)/(2n) = 6(y-3)/(11n) = (z+3)/n
9(x+1)/2 = 6(y-3)/11 = z+3
8) уравнение прямой А1А4;
А1(2;-4;-3), A4(-10;-8;7)
(x-2)/(-10-2) = (y+4)/(-8+4) = (z+3)/(7+3)
(x-2)/(-12) = (y+4)/(-4) = (z+3)/10
9) уравнение прямой, проходящей через вершину А2 параллельно ребру А1А4
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A4(-10;-8;7)
Найдем координаты ребра А1А4:
А1А4 {-10-2;-8-(-4);-3-7}={-12;-4;-10}
Тогда уравнение прямой, проходящей через А2(5;-6;0) параллельно вектору А1А4 имеет
вид
(x-5)/(-12)=(y+6)/(-4)=z/(-10)
10) уравнение плоскости, проходящей через точку А3 перпендикулярно ребру А1А4
Ребро А1А4 {-12;-4;10} будет нормальным вектором плоскости, поэтому искомое
уравнение будет иметь вид:
-12(х-(-1))+(-4)(y-3)+10(z-(-3))=0
-12x-12-4y+12+10z+30=0
-12x-4y+10z+30=0
12x+4y-10z-30=0 – уравнение плоскости
11) расстояние от точки А3 до грани А1А2А4.
А1(2;-4;-3), A2(5;-6;0), A3(-1;3;-3), A4(-10;-8;7)
A3H - это расстояние от точки A3 до плоскости A1A2A4, при этом A3H - высота,
опущенная из точки A3. Найдем ее делением объема на площадь:
V = (1/3)*S(A1A2A4)*A3H
A3H = 3V/S = 3*73/√(1141) = 219/√(1141)