Теория вероятностей, математическая статистика, случайные

21
22
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
Мосягин В.Е., Швемлер Н.А.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА,
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления
01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,
профиль: «Механика жидкости, газа и плазмы»,
очная форма обучения
23
Тюменский государственный университет
2014
24
Мосягин В.Е., Швемлер Н.А. Теория вероятностей. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,
профиль: «Механика жидкости, газа и плазмы», очная форма обучения. Тюмень, 2014, 27 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению и профилю
подготовки.
Рабочая программа дисциплины (модуля) опубликована на сайте ТюмГУ: Теория вероятностей [электронный ресурс] / Режим доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций. Утверждено директором Института математики и
компьютерных наук.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., к.ф-м.н, доцент
25
© Тюменский государственный университет, 2014.
© Мосягин В.Е., Швемлер Н.А., 2014.
1. Пояснительная записка
1.1.
Цели и задачи дисциплины (модуля)
Систематично изложить основы современной теории вероятностей на базе теории меры и интеграла Лебега. Обеспечить усвоение
студентами основных разделов и методов теории вероятностей. Научить студентов применять эти методы при выполнении курсовой и
квалификационной работы, а также в их дальнейшей практической деятельности. Создать у студентов достаточную теоретическую базу и
сформировать практические навыки для изучения курсов математической статистики, теории случайных процессов, дополнительных глав
теории случайных процессов, стохастических дифференциальных уравнений и других профильных дисциплин.
Систематично изложить основы современной математической статистики, делая акцент на строгое теоретическое обоснование
основных положений разделов курса. Обеспечить усвоение студентами основных статистических методов: оценке неизвестных параметров,
проверке статистических гипотез, статистическому анализу эмпирических зависимостей, регрессионному и факторному анализу.
Сформировать навыки статистического исследования эмпирических данных. Научить студентов правильной интерпретации статистических
выводов и привлечь внимание к богатому многообразию приложений.
1.2.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
26
Дисциплина Теория вероятностей принадлежит к дисциплинам базовой части. Для успешного усвоения курса студент обязан свободно
владеть всеми методами математического анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии, теорией функций комплексного
переменного, теорией меры и интеграла Лебега, методами функционального анализа (гильбертовыми пространствами L2 ).
Таблица 1.
№
п/п
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами
Наименование Темы дисциплины необходимые для изучения обеспечиваемых
обеспечиваемых (последующих) дисциплин
(последующих)
дисциплин
1 семестр
2 семестр
1.2
1.
2.
Статистическая
обработка
результатов
эксперимента
Стохастические
методы решения
инженерных
задач
1.3
+
+
+
1.4
2.2
3.1
3.2
+
+
+
+
+
+
1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.
В результате освоения ОП выпускник должен обладать следующими компетенциями:
ОПК-2 готовностью использовать фундаментальные знания в области теоретической и прикладной механики, механики сплошной
среды, математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной
геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, численных методов, теории вероятностей, математической статистики и случайных
процессов в будущей профессиональной деятельности
ПК-3 способностью строго доказать утверждение, сформулировать результат, увидеть следствия полученного результата
27
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
 аксиоматику Колмогорова, классические вероятностные модели;
 случайные величины и случайные векторы, их распределение, классические распределения;
 условные распределения;
 основные типы распределений;
 числовые характеристики случайных величин и векторов;
 независимость случайных событий, величин и испытаний;
 различные виды сходимости случайных величин;
 предельные теоремы для последовательностей сумм независимых случайных величин: центральную предельную теорему,
законы больших чисел, условия их применимости;
Уметь:
Владеть:










строить и исследовать вероятностные модели реальных процессов и явлений, проверять их адекватность;
давать количественную и качественную оценку случайным событиям в вероятностных моделях;
находить распределения функций от случайных величин и векторов;
проверять независимость случайных величин;
находить основные числовые характеристики распределений;
применять предельные теоремы для решения практических задач;
давать правильную трактовку результатам исследований.
навыками решением типовых задач и правильной интерпретацией полученного решения
навыками общения на профессиональном языке и способностью к адаптации при общении со специалистами из других областей
навыками анализа реальных случайных процессов и представлением их в виде математических моделей
28
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 6,7. Формы промежуточной аттестации зачет и экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 7 зачетных единиц,
252 академических часа, из них 151,25 часов, выделенных на контактную работу с преподавателем, 101 час, выделен на самостоятельную
работу.
3. Тематический план
Таблица 3.
Итого
часов
по
теме
Из них в
интерак
тивной
форме, в
часах
Итого
количес
тво
баллов
7
8
9
10
Самостоятельная
работа*
Лабораторные
занятия*
2
Семинарские
(практические)
занятия*
1
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
Лекции *
Тема
недели семестра
№
3
4
1
0
2
4
6
2
0-6
2-3
4
4
4
12
2
0-9
4
4
2
8
14
2
0-6
5
6
1 семестр
Модуль 1
Элементы
комбинаторики
1.2 Вероятностное
пространство
1.3 Условные
вероятности.
Независимость
1.1
29
1.4
событий
Независимые
испытания
5-6
Всего
4
4
8
16
2
0-9
12
12
24
48
8
0-30
6
6
12
24
4
0-15
6
6
12
24
4
0-15
12
12
24
48
8
0-30
6
6
14
26
2
0-20
6
6
10
22
2
0-20
12
12
24
4,65
48
4
0-40
36
36
76,65
148,65
Модуль 2
7-9
Случайные
величины
и
случайные векторы
10-12
2.2 Числовые
характеристики
конечномерных
распределений
2.1
Всего
Модуль 3
Характеристические 13-15
и
производящие
функции
16-18
3.2 Предельные
теоремы
3.1
Всего
Иные виды работы
Итого за 1 семестр
(часов, баллов):
Из них в интеракт.
форме
0-100
20
2 семестр
Модуль 1
1.1
Основные понятия и
задачи математической
статистики
1
2
0
5
7
2
0-15
1.2
Эмпирическое
распределение
2-4
6
6
5
17
4
0-15
30
Всего
8
6
10
24
6
0-30
5-7
6
6
5
17
4
0-15
8-12
10
12
5
27
4
0-15
16
18
10
44
8
0-30
Модуль 2
2.1
2.2
Точечное оценивание
параметров
распределений
Интервальное
оценивание параметров
распределений
Всего
Модуль 3
3.1
Проверка
статистических гипотез
(параметрическая
теория)
13-14
4
4
3
11
2
0-15
3.2
Проверка
статистических гипотез
(непараметрическая
теория)

15-16
4
4
3
11
2
0-15
3.3
Регрессионный и
факторный анализ
Всего
Иные виды работы
Итого за 2
семестр(часов,
баллов):
17-18
4
4
3
11
2
0-10
12
12
9
2,6
33
6
0-40
36
36
31,6
103,6
20
0-100
Из них в интеракт.
форме
Итого за два
семестр(часов,
баллов):
Из них в интеракт.
форме
20
252,25
40
31
*- если предусмотрены учебным планом ОП.
Примечание: количество часов в столбцах 4-9 указывается в соответствии с учебным планом образовательной программы. Значение
столбца 10 (Итого количество баллов) определяется как сумма баллов рейтинговой оценки успеваемости студента.
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
0-6
0-9
0-6
0-9
0-30
0-2
0-2
0-3
0-3
0-3
0-3
0-2
0-2
0-15
0-15
0-30
0-3
0-4
0-5
0-3
0-20
электронные
практикумы
0-2
0-1
0-1
0-1
эссе
0-2
0-2
0-2
0-2
реферат
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
0-2
лабораторная
работа
тест
другие формы
Информа
ции
онные
системы и
технологи
и
контрольная
работа
программы
компьютерног
о тестирования
комплексные
ситуационные
задания
Технические
формы
контроля
ответ на
семинаре
1 семестр
Модуль 1
1.1
0-2
1.2
0-2
1.3
0-2
1.4
Всего
Модуль 2
0-5
2.1
0-5
2.2
Всего
Модуль 3
0-5
3.1
Письменные работы
собеседование
Устный опрос
коллоквиумы
№
Темы
Итого количество баллов
Таблица 4.
32
3.2
Всего
Итого
0-5
2 семестр
Модуль
1
1.1
0-5
1.2
Всего
Модуль
2
0-5
2.1
0-5
2.2
Всего
Модуль
3
0-4
3.1
0-4
3.2
3.3
Всего
0Итого
23
0-3
0-4
0-5
0-3
0-20
0-40
0100
0-2
0-5
0-3
0-5
0-3
0-5
0-2
0-15
0-15
0-30
0-2
0-2
0-3
0-3
0-3
0-3
0-2
0-2
0-15
0-15
0-30
0-2
0-2
0-2
0-3
0-3
0-3
0-4
0-4
0-3
0-2
0-2
0-2
012
0-23
0-25
017
0-15
0-15
0-10
0-40
0100
5. Содержание дисциплины.
1 семестр
Модуль 1
1.1 Элементы комбинаторики
33
Выборки из конечной генеральной совокупности: упорядоченные и неупорядоченные, с возвращением и без возвращения. Принцип
умножения. Основные комбинаторные понятия и формулы. Биномиальные и полиномиальные коэффициенты. Бином Ньютона.
Полиномиальная схема.
1.2 Вероятностные пространства
Случайный эксперимент и пространство элементарных исходов. Случайные события и операции над ними; сигма-алгебра событий.
Закон устойчивости относительных частот. Статистическое определение вероятности. Аксиоматика Колмогорова. Вероятностное
пространство как математическая модель случайного эксперимента. Свойства вероятностей; теорема об эквивалентности аксиом
аддитивности и непрерывности вероятности. Дискретное вероятностное пространство. Распределение вероятностей. Классическая
вероятность. Континуальное вероятностное пространство. Геометрическая вероятность, как непрерывный аналог классической вероятности.
1.3 Условные вероятности и независимость событий
Условная вероятность. Независимость событий (попарная и в совокупности). Формула полной вероятности. Задача о разорении игрока.
Формула полной вероятности для условных вероятностей. Формула Байеса для апостериорной вероятности.
1.4 Независимые испытания
Прямое произведение вероятностных пространств. Определение независимых испытаний. Биномиальная и полиномиальная схемы
независимых испытаний. Связь биномиального и гипергеометрического распределений. Предельные теоремы для биномиальной и
полиномиальной схем (теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона).
Модуль 2
2.1 Случайные величины и случайные векторы
Сигма-алгебра борелевских множеств на прямой. Измеримые отображения и борелевские функции. Случайная величина и ее
распределение. Функция распределения случайной величины; ее свойства. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной. Теорема о
продолжении меры с алгебры интервалов на сигма-алгебру борелевских множеств. Взаимно однозначное соответствие между
вероятностными мерами на числовой прямой и функциями распределениями. Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные
распределения. Смеси распределений. Теорема Лебега о представлении произвольного распределения. Плотность распределения
относительно σ-конечной меры (Теорема Радона-Никодима). Плотность дискретного распределения относительно считающей меры.
Классические дискретные и абсолютно непрерывные распределения: биномиальное, геометрическое, гипергеометрическое, пуассоновское,
34
нормальное, показательное, равномерное, гамма, бета, Коши, хи–квадрат, Стьюдента, Фишера. Конечномерные случайные векторы и их
распределения. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные распределения. Классические примеры многомерных распределений:
полиномиальное, равномерное, гауссовское (нормальное). Независимость конечной совокупности случайных величин. Критерии
независимости. Распределение функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений. Моделирование случайных величин с
помощью квантильных преобразований. Существование последовательностей независимых случайных величин. Условные распределения
(дискретные и абсолютно непрерывные). Независимость случайных величин в терминах условных распределений.
2.2Числовые характеристики конечномерных распределений
Математическое ожидание случайной величины как абстрактный интеграл Лебега. Замена переменной в интеграле Лебега, приводящая
к интегралу Лебега-Стилтьеса. Формулы для вычисления математических ожиданий дискретных и абсолютно непрерывных случайных
величин. Свойства математического ожидания. Дисперсия случайной величины и ее свойства. Математические ожидания и дисперсии
классических распределений. Моменты случайных величин. Основные неравенства для моментов: неравенства Ляпунова, Маркова,
Чебышева, Гельдера. Числовые характеристики двумерных распределений: ковариация и корреляция. Корреляция как мера линейной
зависимости случайных величин. Задача об оптимальном среднеквадратичном линейном прогнозе. Матрица ковариаций случайного вектора.
Вероятностный смысл параметров многомерного нормального распределения. Условное математическое ожидание относительно событий
ненулевой вероятности, его свойства. Обобщение понятия условного математического ожидания. Формула повторного математического
ожидания.
Модуль 3
3.1 Характеристические и производящие функции
Распределение суммы большого числа независимых случайных величин. Характеристическая функция случайной величины, ее
аналитические свойства. Характеристические функции классических распределений. Формула обращения. Теорема о взаимно однозначном
соответствии. Слабая сходимость распределений. Теорема непрерывности для характеристических функций. Производящая функция и ее
свойства. Характеристическая функция случайного вектора и ее свойства. Независимость некоррелированных компонент гауссовского
случайного вектора.
3.2 Предельные теоремы
35
Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с вероятностью 1, по вероятности, в среднем, по
распределению) и связь между ними. Закон больших чисел в форме Чебышева для независимых и слабо зависимых случайных величин с
конечными дисперсиями. Закон больших чисел в форме Хинчина. Следствие для схемы Бернулли. Неравенства Колмогорова. Усиленный
закон больших чисел Колмогорова. Центральная предельная теорема для независимых и одинаково распределенных случайных величин.
Оценка скорости сходимости. Центральная предельная теорема для разнораспределенных независимых величин (теорема Линдеберга).
Достаточное условие выполнимости условия Линдеберга (теорема Ляпунова). Обобщение теоремы Пуассона. Оценка скорости сходимости в
теореме Пуассона.
2 семестр
Модуль 1
1.1 Основные понятия и задачи математической статистики
Выборка из распределения. Двойственный характер выборки. Основные статистические задачи: оценка параметров распределений,
проверка статистических гипотез, установление эмпирических зависимостей и др.
1.2 Эмпирическое распределение
Вариационный ряд и эмпирическая функция распределения. Группировка наблюдений, гистограммы. Теорема Гливенко-Кантелли.
Числовые характеристики эмпирических распределений: выборочное среднее, выборочные дисперсии, выборочные моменты. Сходимость
выборочных характеристик к соответствующим теоретическим характеристикам распределений.
Модуль 2
2.1 Точечное оценивание параметров распределений
Параметрическое семейство распределений. Понятие плотности относительно некоторой меры. Классические параметрические
семейства распределений. Экспоненциальное семейство распределений. Понятие точечной оценки неизвестного параметра. Состоятельные
оценки. Несмещенные и асимптотически несмещенные оценки. Сравнение оценок. Эффективные оценки в заданном классе оценок.
Асимптотически нормальные оценки и их сравнение. Состоятельность асимптотически нормальных оценок. Примеры преобразований,
стабилизирующих экспертные оценки.Методы нахождения оценок: метод подстановки (метод моментов), метод максимального
(наибольшего) правдоподобия. Асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия. Регулярные модели. Неравенство
Рао-Крамера (неравенство информации). R-эффективные оценки. Критерий R-эффективности. Связь R-эффективных оценок с оценками
максимального правдоподобия. Условные математические ожидания. Достаточные статистики. Теорема факторизации Неймана-Фишера.
36
Улучшение несмещенной оценки усреднением по достаточной статистике. Полные достаточные статистики. Наилучшие несмещенные
оценки.
2.2 Интервальное оценивание параметров распределений
Доверительные интервалы и доверительные вероятности. Точные и асимптотические доверительные интервалы. Универсальный
способ построения доверительных интервалов. Построение асимптотических доверительных интервалов с помощью асимптотически
нормальных оценок. Распределения «хи-квадрат», Стьюдента и Фишера. Выборки из нормального распределения. Теорема Фишера и ее
следствие для выборок из нормального распределения. Точные доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
Доверительные интервалы для одномерных параметров классических семейств распределений.
Модуль 3
3.1 Проверка статистических гипотез (параметрическая теория)
Основные понятия проверки статистических гипотез: простые и сложные гипотезы, критерии, критические области, вероятности
ошибок 1-го и 2-го рода. Размер и мощность критерия. Сравнение критериев. Невозможность построения наилучшего критерия в классе всех
критериев. Проверка двух простых гипотез. Наиболее мощные критерии. Лемма Неймана-Пирсона. Равномерно наиболее мощные критерии
для проверки сложных гипотез против сложных альтернатив. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Пример
экспоненциальных семейств. Равномерно наиболее мощные критерии для проверки сложных гипотез о параметрах нормального и
пуассоновского распределений. Сравнение параметров распределений двух выборок. Проверка гипотезы о равенстве средних и дисперсий
двух нормальных совокупностей.
3.2 Проверка статистических гипотез (непараметрическая теория)
Непараметрические критерии. Критерии согласия. Критерий Колмогорова и «омега-квадрат». Критерии «хи-квадрат» для проверки
простых и сложных гипотез. Теорема Пирсона. Проверка гипотезы о независимости признаков. Проверка гипотезы об однородности
выборок. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов.
3.3 Регрессионный и факторный анализ
Простейшая и общая модели регрессии с гауссовскими ошибками. Общие линейные модели. Ортогональность регрессоров. Оценка
параметров регрессии. Метод наименьших квадратов. Проверка гипотез относительно параметров линейной регрессии. Факторные модели.
6. Планы семинарских занятий.
1 семестр
37
Модуль 1
1.1 Элементы комбинаторики
Расчет числа выборок из конечной генеральной совокупности: упорядоченных и неупорядоченных, с возвращением и без возвращения.
Принцип умножения. Основные комбинаторные понятия и формулы. Биномиальные и полиномиальные коэффициенты. Бином Ньютона.
Полиномиальная схема.
1.2 Вероятностные пространства
Случайные события и операции над ними. Вычисление вероятностей в классической и геометрической модели вероятностного
пространства. Свойства вероятностей.
1.3 Условные вероятности и независимость событий
Условная вероятность. Независимость событий (попарная и в совокупности). Формула умножения вероятностей. Полная вероятность.
Формула Байеса.
1.4 Независимые испытания
Биномиальная и полиномиальная схемы независимых испытаний. Связь биномиального и гипергеометрического распределений.
Теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона. Решение задач с использованием таблиц вероятностных распределений.
Модуль 2
2.1 Случайные величины и случайные векторы
Случайная величина и ее распределение. Функция распределения случайной величины; ее свойства. Дискретные и абсолютно
непрерывные распределения. Случайные векторы и их распределения. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные распределения.
Нахождение маргинальных распределений. Проверка независимости конечной совокупности случайных величин. Нахождение
распределение функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений. Условные распределения. Независимость случайных
величин в терминах условных распределений.
2.2 Числовые характеристики конечномерных распределений
Нахождение математических ожиданий и дисперсий дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Свойства математического
ожидания и дисперсии. Моменты случайных величин. Неравенства для моментов. Числовые характеристики двумерных распределений:
38
ковариация и корреляция. Матрица ковариаций случайного вектора. Независимость некоррелированных компонент гауссовского случайного
вектора. Условное математическое ожидание.
Модуль 3
3.1 Характеристические и производящие функции
Характеристическая функция случайной величины, ее аналитические свойства. Нахождение распределений по их характеристическим
функциям (формула обращения). Применение теоремы непрерывности для нахождения предельных распределений. Производящая функция
и ее свойства. Характеристическая функция случайного вектора и ее свойства.
3.2 Предельные теоремы
Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с вероятностью 1, по вероятности, в среднем, по
распределению). Различные варианты законов больших чисел и их усиленные модификации. Проверка применимости закона больших чисел
к последовательности независимых и слабо зависимых случайных величин. Центральная предельная теорема. Теоремы Пуассона.
Численные задачи на применение центральной предельной теоремы и теоремы Пуассона с оценкой скорости сходимости.
2 семестр
1.1. Эмпирические распределения
Вариационный ряд. Построение эмпирической функции распределения. Группировка наблюдений, построение гистограммы.
Выборочные характеристики и их свойства. Сходимость выборочных характеристик к истинным.
1.2. Точечное оценивание параметров распределения
Проверка оценок на несмещенность, состоятельность и асимптотическую нормальность. Методы нахождения оценок: метод
моментов и метод максимального правдоподобия. Различные подходы к сравнению оценок. Информация по Фишеру о параметре.
Вычисление ее количества для различных статистических моделей. Неравенство Рао-Крамера. R-эффективные оценки. Нахождение
достаточных статистик, проверка их полноты. Улучшение несмещенной оценки усреднением по достаточной статистике. Нахождение
эффективных несмещенных оценок.
1.3. Интервальное оценивание параметров распределения
39
Универсальный способ построения доверительных интервалов. Построение асимптотических доверительных интервалов с помощью
асимптотически нормальных оценок, неравенства Чебышева. Построение точных доверительных интервалов для параметров классических
семейств распределений.
1.4. Проверка статистических гипотез (параметрическая теория)
Нахождение вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода, мощности критерия. Естественное сравнение критериев. Построение критериев
для проверки двух простых гипотез. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Построение равномерно наиболее мощных
критериев для проверки сложных гипотез.
1.5. Проверка статистических гипотез (непараметрическая теория)
Критерии согласия. Критерий Колмогорова, «омега-квадрат» и «хи-квадрат» для проверки простых и сложных гипотез. Построение
критериев по подходящей статистике. Нахождение размеров критериев, доказательство их состоятельности. Построение критериев согласия
с помощью доверительных интервалов.
1.6. Регрессионный и факторный анализ
Простейшая и общая линейные модели регрессии с гауссовскими ошибками. Ортогонализация регрессоров. Применение метода
наименьших квадратов для оценки параметров регрессии. Оценки максимального правдоподобия. Проверка гипотез относительно
параметров линейной регрессии.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП
8. Примерная тематика курсовых работ.
Не предусмотрены учебным планом ОП
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Таблица5 .
№
Модули и темы
Виды СРС
обязательные
Неделя Объем Кол-во
семестра
часов баллов
дополнительные
1 семестр
Модуль 1
40
1.1 Элементы
комбинаторики
1.2 Вероятностное
пространство
1.3 Условные
вероятности.
Независимость
событий
1.4 Независимые
испытания
Работа с лекционным
материалом,подготовка
к контрольной работе.
работа с лекционным
материалом,подготовка
к контрольной работе.
работа с литературой,
источниками,подготовка
к контрольной работе.
опытное
моделирование
работа с лекционным опытное
материалом,
моделирование
литературой,подготовка
к контрольной работе.
Всего
Модуль 2
2.1 Случайные величины работа с лекционным
и случайные векторы материалом,
литературой,подготовка
к контрольной работе.
2.2 Числовые
работа с лекционным
характеристики
материалом,
конечномерных
литературой, подготовка
распределений
к контрольной работе и
коллоквиуму.
Всего
Модуль 3
3.1 Характеристические и работа с лекционным
производящие
материалом,
функции
литературой, подготовка
к контрольной работе и
коллоквиуму.
1
4
0-6
2-3
4
0-9
4
8
0-6
5-6
8
0-9
6
24
0-30
7-9
12
0-15
10-12
12
0-15
6
24
0-30
13-15
14
0-20
41
3.2 Предельные теоремы
работа с лекционным
материалом,
литературой, подготовка
к контрольной работе и
коллоквиуму.
Всего
Итого за 1 семестр
2 семестр
Модуль 1
1.1 Основные понятия и Работа с литературой,
задачи
источниками.
математической
статистики
1.2 Эмпирическое
Работа с лекционным
распределение
материалом, подготовка
к контрольной работе и
коллоквиуму
Всего
Модуль 2
2.1 Точечное оценивание Работа с лекционным
параметров
материалом
распределений
2.2 Интервальное
Работа с лекционным
оценивание
материалом, подготовка
параметров
к контрольной работе и
распределений
коллоквиуму
Всего
Модуль 3
3.1 Проверка
Работа с лекционным
статистических
материалом
гипотез
(параметрическая
теория)
16-18
10
0-20
6
18
24
72
0-40
0-100
1
5
0-15
2-4
5
0-15
10
0-30
5-7
5
0-15
8-12
5
0-15
10
0-30
3
0-15
13-14
42
3.2 Проверка
статистических
гипотез
(непараметрическая
теория)
3.3 Регрессионный
факторный анализ
Работа с лекционным
материалом, подготовка
к контрольной работе и
коллоквиуму
15-16
3
0-15
и Работа с лекционным
материалом, подготовка
к контрольной работе
17-18
3
0-10
9
29
101
0-40
0-100
Всего
Итого за 2 семестр
Итого за два
семестра
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из
матрицы компетенций):
Выдержка из МАТРИЦЫ
соответствия компетенции и составных частей ООП
Циклы,
дисциплин
ы
(модули)
учебного
Б.1. Дисциплины (модули)
1
семестр
2
семестр
3
семестр
4
семестр
5
семестр
6
семестр
7
семестр
8
семестр
43
Математический анализ
+
Аналитическая геометрия
Математический анализ
+
+
Математический анализ
+
Математический анализ
Математическая логика
Дифференциальные уравнения
+
+
+
Концепции современного естествознания
Теория категорий
Граничные свойства аналитических функций
Итоговая государственная аттестация
+
+
+
Случайные процессы
+
+
Теоретико-множественная топология
+
Функциональный анализ
+
Математическая статистика
Комплексный анализ
+
Нестандартный анализ
+
+
+
Теория вероятностей
Функциональный анализ
+
+
Комплексный анализ
+
Ряды и интегралы Фурье
Дифференциальная геометрия и топология
+
Действительный анализ
Дискретная математика
+
Иностранный язык (английский)
Алгебра
+
Иностранный язык (английский)
Алгебра
+
Иностранный язык (английский)
Аналитическая геометрия
+
+
+
+
+
ПК-3
+
ОПК-1
Алгебра
Индекс
компетенц
ии
+
плана ОП
* - отмечены дисциплины базовой части
44
ОПК-1
Код
компетенции
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах
их формирования, описание шкал оценивания:
Таблица 6.
Карта критериев оценивания компетенций
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
Знает:
Знает:
Знает:
основные разделы
теории
вероятностей;
имеет
представление о
возможности ее
применения в
различных
областях
математики и
естествознания
базовые понятия
и методы
современной
теории
вероятностей;
знает сферы
применения
вероятностных
моделей в
разных областях
математики и
естествознания
теорию
вероятностей в
объеме лекционного
курса и смежные
области, основные
методы
современной
теории, свободно
ориентируется в
вопросах
приложения
Умеет:
Умеет:
Умеет:
корректно строить
вероятностные
модели и
применять методы
теории при
решении
теоретических и
прикладных задач
уверенно
применять
теорию
вероятностей для
построения
математических
моделей в
различных
областях
математики и
естествознания
свободно
оперировать
понятиями и
методами теории
вероятностей и
квалифицированно
применять знания в
многочисленных
приложениях
Владеет:
Владеет:
Владеет:
навыками
общения на
профессионально
м вероятностном
языке
навыками
объяснения сути
теорем и
решения задач
неформальным
языком
(объяснение на
«пальцах»)
Знает: основные
понятия и
теоремы теории
вероятностей и
разделы курса,
где эти теоремы
применяются
развитыми
навыками
объяснения сути
теорем и решения
задач
неформальным
языком
Знает: основные
ПК-3
базовый (хор.)
76-90 баллов
понятия теории
вероятностей и
разделы теории,
где эти понятия
используются
Знает: все разделы
курса теории
вероятностей и
понимает их
логическую
взаимосвязь
Виды занятий
(лекции,
семинар
ские,
практические,
лабораторные)
лекция, семинар
Оценочные
средства
(тесты,
творческие
работы,
проекты и
др.)
опрос,
практические
задания
семинар
опрос,
практические
задания
лекция, семинар
опрос,
практические
задания
лекция, семинар
опрос,
практические
задания
умеет определять
тематику задачи и
находить способ
ее решения с
консультационной
поддержкой
способен
самостоятельно
определить
тематику задачи
и находить один
из возможных
вариантов
решения
начальными
навыками
построения
простейших
вероятностных
моделей
навыками
применения
методов и
утверждений
теории
вероятностей при
решении задач и
доказательстве
теорем
способен видеть
разные подходы к
решению
поставленной
задачи и
самостоятельно
находить
рациональное
решение
развитыми
навыками
применения
методов и теорем
теории в разных
областях
математики и ее
приложениях
семинар
практические
задания
лекция, семинар
практические
задания, опрос
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Контрольная работа № 1
1. В каждой упаковке товара есть наклейка одного из трех цветов (красного,
синего и зеленого) равновероятно. Найти вероятность собрать наклейки всех цветов, купив 5
упаковок.
2. Найти вероятность, что среди 7 случайно выбранных цифр встретится хотя бы
одна из двух цифр: 1 или 2. Рассмотреть случаи выбора с возвращением и без возвращения.
3. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в девяти находятся по 2 белых и 2
черных шара, а в одной – 5 белых и 1 черный шар. Из урны, взятой наудачу, извлечен белый
шар. Какова вероятность того, что шар извлечен из урны, содержавшей 5 белых шаров?
4. Проведено 20 независимых испытаний, каждое из которых заключается в
одновременном подбрасывании 3 монет. Найти вероятность, что хотя бы в одном
подбрасывании появятся три герба.
5. При 14400 бросаниях монеты герб выпал 7428 раз. Насколько вероятно столь
большое или еще большее уклонение числа выпадений герба от половины случаев?
Контрольная работа № 2
1. Двумерное распределение пары целочисленных случайных величин  и  задается с
помощью таблицы


1
0
1
1
8
1
12
1
5
24
1
6
1
1
1
1
8
21
Найти частные распределения случайных величин  и , их математические ожидания
и дисперсии. Проверить  и  на зависимость. Найти распределение + и cov(,).
2. Пусть  и  независимы и имеют показательные распределения с параметром 1.
Найти распределения + и /. Верно ли, что + и / независимы?
3. Распределение случайной величины  имеет плотность p(x)=2/x3 при x1, p(x)=0
при x<1. Найти математическое ожидание  и распределение =1/.
4. Случайная точка (,) равномерно распределена в треугольнике с вершинами (0,0),
(2,1), (2,0). Найти частные распределения случайных величин  и , их математические
ожидания и дисперсии. Проверить  и  на зависимость. Найти распределение – и
cov(,).
Контрольная работа № 3
1. Найти распределения соответствующее характеристическим функциям:
sin t
1  3 cos 2t
4
а)
, б) t
2. Пусть 1,  2 ,...,  n --независимые случайные величины с одним и тем же
распределением Пуассона с параметром λ. Найти точное значение вероятности P(Sn  x) ,
используя свойство пуассоновского распределения и таблицы, а затем сравнить это значение
с приближенным результатом, полученным после применения ЦПТ. Вычисления провести
при n= 10, λ=0,2, x= 3.
3. Пусть 1,  2 ,...,  n --независимые случайные величины с одним и тем же
нормальным распределением N (a, σ2). Известно, что P(Sn  0)  p. Найти среднее значение
нормального распределения, если σ= 2, p= 0, 029.
Билеты к зачету формируются из перечня вопросов:
1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство
2. Дискретное вероятностное пространство. Распределение вероятностей. Классическая
вероятность
3. Геометрическое вероятностное пространство. Геометрическая вероятность
4. Свойства вероятностей. Свойства непрерывности вероятностей
5. Теорема об эквивалентности аксиом аддитивности и непрерывности вероятности
6. Условная вероятность. Независимость конечного числа событий: попарная и в
совокупности. Независимости последовательности событий
7. Формулы полной вероятности. Формула Байеса
8. Независимые испытания. Схема Бернулли. Биномиальное распределение.
9. Гипергеометрическое распределение. Связь биномиального и гипергеометрического
распределений
10. Полиномиальная схема независимых испытаний. Полиномиальное распределение
11. Предельные теоремы для биномиального распределения. Теорема Муавра Лапласа.
Оценка скорости сходимости
12. Предельные теоремы для биномиального распределения. Теорема Пуассона. Оценка
скорости сходимости
13. Определение случайной величины и функции распределения. Свойства, определяющие
функцию распределения
14. Дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные распределения. Теорема Лебега о
представлении произвольного распределения
15. Плотность распределения относительно -конечной меры (теорема Радона-Никодима).
Плотность дискретного распределения относительно считающей меры
16. Классические вероятностные распределения.
22
17. Векторная случайная величина. Дискретные и абсолютно непрерывные многомерные
распределения. Условия согласованности
18. Нахождение маргинальных дискретных и абсолютно непрерывных распределений
19. Классические примеры многомерных распределений: полиномиальное, равномерное,
гауссовское (нормальное)
20. Независимость конечной совокупности случайных величин. Критерии независимости
21. Распределение функции от случайных величин и векторов. Свертка распределений
22. Условные распределения (дискретные и абсолютно непрерывные). Независимость
случайных величин в терминах условных распределений
23. Математическое ожидание случайной величины как абстрактный интеграл Лебега.
Замена переменной в интеграле Лебега, приводящая к интегралу Лебега-Стилтьеса
24. Формулы для вычисления математических ожиданий дискретных и абсолютно
непрерывных случайных величин. Свойства математического ожидания
25. Дисперсия случайной величины и ее свойства
26. Математические ожидания и дисперсии классических распределений
27. Моменты случайных величин. Основные неравенства для моментов: неравенства
Ляпунова, Маркова, Чебышева, Гельдера
28. Числовые характеристики двумерных распределений: ковариация и корреляция.
Корреляция как мера линейной зависимости случайных величин
29. Задача об оптимальном среднеквадратичном линейном прогнозе
30. Матрица ковариаций случайного вектора. Вероятностный смысл параметров
многомерного нормального распределения
31. Условное математическое ожидание относительно событий ненулевой вероятности, его
свойства
32. Обобщение понятия условного математического ожидания. Формула повторного
математического ожидания
33. Характеристическая функция случайной величины, ее аналитические свойства
34. Характеристические функции классических распределений
35. Формула обращения. Теорема о взаимно однозначном соответствии
36. Слабая сходимость распределений. Теорема непрерывности для характеристических
функций
37. Производящая функция и ее свойства
38. Характеристическая функция случайного вектора и ее свойства. Независимость
некоррелированных компонент гауссовского случайного вектора
39. Основные виды сходимости последовательностей случайных величин (с вероятностью 1,
по вероятности, в среднем, по распределению) и связь между ними
40. Закон больших чисел в форме Чебышева для независимых и слабо зависимых случайных
величин с конечными дисперсиями
41. Закон больших чисел в форме Хинчина. Следствие для схемы Бернулли
42. Усиленный закон больших чисел Колмогорова
43. Центральная предельная теорема для независимых и одинаково распределенных
случайных величин. Оценка скорости сходимости
44. Центральная предельная теорема для разнораспределенных независимых величин
(теорема Линдеберга)
45. Достаточное условие выполнимости условия Линдеберга (теорема Ляпунова)
46. Обобщение теоремы Пуассона. Оценка скорости сходимости в теореме Пуассона
Билеты к экзамену формируются из перечня вопросов:
1. Выборка из распределения. Двойственный характер выборки. Основные задачи
математической статистики.
2. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Теорема ГливенкоКантелли
23
3. Выборочные моменты. Числовые характеристики выборочного среднего и его
асимптотическое поведение.
4. Выборочные моменты. Числовые характеристики выборочной дисперсии и ее
асимптотическое поведение. Исправленная выборочная дисперсия
5. Классические распределения математической статистики: хи-квадрат, Стьюдента,
Фишера
6. Выборки из нормального распределения. Теорема Фишера
7. Теорема Стьюдента (следствие теоремы Фишера)
8. Точечные оценки; их состоятельность, несмещенность и асимптотическая
несмещенность
9. Сравнение оценок. Эффективные оценки в заданном классе оценок
10. Асимптотически нормальные оценки и их сравнение. Состоятельность
асимптотически нормальных оценок
11. Метод моментов нахождения оценок
12. Метод максимального правдоподобия
13. Асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия
14. Условия регулярности. Неравенство Рао-Крамера. R-эффективные оценки. Пример
существования R-эффективной оценки.
15. Достаточные статистики. Теорема факторизации Неймана-Фишера
16. Метод улучшения оценок. Теорема Блекуэла-Рао-Колмогорова. Пример
17. Полная достаточная статистика. Теорема об эффективной оценке. Пример
18. Определение доверительного интервала (ДИ). Точные и асимптотические ДИ
19. Построение асимптотических ДИ с помощью асимптотически нормальных оценок
20. Асимптотический ДИ для неизвестной вероятности «успеха» распределения Бернулли
21. Точный ДИ для неизвестного среднего нормального распределения при известной
дисперсии
22. Точный ДИ для неизвестного среднего нормального распределения при неизвестной
дисперсии
23. Точный ДИ для неизвестной дисперсии
24. Универсальный способ построения ДИ
25. Общая постановка задачи проверки параметрических статистических гипотез.
Простые и сложные гипотезы. Понятие о критерии. Ошибки первого и второго рода.
Мощность и размер критерия
26. Математическая постановка задачи проверки простых гипотез. Понятие о
рандомизированном критерии
27. Фундаментальная лемма Неймана-Пирсона
28. Математическая постановка задачи проверки сложных гипотез. Равномерно наиболее
мощные критерии (РНМК).
29. Распределения с монотонным отношением правдоподобия. Экспоненциальное
семейство распределений. РНМК для проверки сложных гипотез
30. Примеры построения РНМК для параметров пуассоновского и нормального
распределений
31. Построения критериев для проверки сложных гипотез, если отношение
правдоподобия не монотонно. Односторонний и двусторонний критерий Стьюдента
32. Односторонний и двусторонний критерий однородности Фишера
33. Непараметрические критерии. Критерий согласия хи-квадрат. Теорема Пирсона
34. Проверка гипотезы о независимости признаков
35. Проверка гипотезы об однородности выборок
36. Критерий Колмогорова. Распределение Колмогорова
37. Критерий «омега-квадрат». Сравнение с критерием Колмогорова
38. Построение критериев согласия с помощью доверительных интервалов
39. Простейшая и общая модели регрессии с гауссовскими ошибками. Задача регрессии
24
40. Общие линейные модели регрессии. Ортогональность регрессоров
41. Оценки параметров простейшей линейной регрессии. Метод наименьших квадратов
42. Проверка гипотез относительно параметров линейной регрессии
Понятие о факторной модели
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений,
навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика
фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля,
предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Шкала перевода семестровых баллов в оценку
Таблица 7.
Баллы
0 – 60
61 – 75
76 – 90
91 – 100
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
Неуспевающие студенты или студенты, желающие повысить оценку, должны сдать
экзамен.
Экзаменационные билеты включают: два теоретических вопроса по курсу
дисциплины за семестр и три практические задачи.
Ответ на вопрос и решение каждой задачи оценивается максимально в 5 баллов.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
5 баллов ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике,
указанной в билете.
При этом допускаются незначительные неточности и частичная неполнота ответа при
условии, что в процессе беседы экзаменатора с экзаменуемым последний самостоятельно
делает необходимые уточнения и дополнения.
4 балла ставится в случае, если
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное
изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не
обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
3 балла ставится в случае, если:
25
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах
экзаменатора были частично исправлены;
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
2 балла ставится в случае, если:
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с
помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
1 балл ставится в случае, если:
- хотя бы одна формулировка (определения или теоремы) в ответе верна;
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам, но при этом
они частично верны и относятся к тому же разделу курса, что и экзаменационный вопрос.
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Критерии оценивания решения практической задачи:
5 баллов ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
При этом допускаются незначительные ошибки в расчетах на последнем этапе
решения.
4 балла ставится в случае, если
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать
ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на
дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и
переходов от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном
решении.
3 балла ставится в случае, если:
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы
и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
2 балла ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы
решения содержали существенные ошибки.
1 балл ставится в случае, если:
26
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из
этапов не был выполнен правильно;
В остальных случаях ставится 0 баллов.
Шкала перевода экзаменационных баллов в оценку
Таблица 8.
Баллы
0-8
9-15
16-20
21-25
Экзамен
Неудовлетворительно
Удовлетворительно
Хорошо
Отлично
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с
методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения
запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных
материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация его
примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения об их
приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике,
программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые
формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка
выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со
слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей
в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение
навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого
теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1 Основная литература:
1.
Мосягин В.Е. Теория вероятностей. Часть 1: Теория распределений. – Из-во ТюмГУ,
2011, 84 с.
2.
Мосягин В.Е. Теория вероятностей. Часть 2: Совместные распределения.
Независимость. – Из-во ТюмГУ, 2011, 51 с.
3.
Мосягин В.Е. Теория вероятностей. Часть 3: Числовые характеристики случайных
величин. – Из-во ТюмГУ, 2012, 50 с.
4.
Мосягин В.Е. Теория вероятностей. Часть 4: Предельные теоремы. – Из-во ТюмГУ,
2013, 68 с.
5.
Семенчин Е.А. Теория вероятностей в примерах и задачах. – С-Пб.: Лань, 2007, 352 с.
27
12.2 Дополнительная литература:
1.
Коршунов Д.А., Фосс С.Г., Эйсымонт И.М. Сборник задач и упражнений по теории
вероятностей. – СПб.: «Лань», 2004.
2.
Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.: Эдиториал, УРСС, 2003, 472 с.
3.
Боровков А.А. Теория вероятностей. – М.:Наука, 1986, 431 с.
4.
Ширяев А.Н. Вероятность. – М., Наука, 1989.
5.
Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Г. Задачи по теории вероятностей. – М.:
Наука, 1986.
6.
Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / В. Феллер ; пер.
с англ. Ю. В. Прохоров. - Москва: Мир. Т. 1. - 1984. - 528 с.
7.
Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. / Ф. Феллер ; пер.
с англ. Ю. В. Прохорова. - Москва: Мир. Т. 2. - 1984. - 751 с.
8.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М., "Наука", 1988.
9.
Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. – М.,
"Наука", 1982.
12.3 Интернет-ресурсы:
1.
Лекции по теории вероятностей - http://kyrator.com.ua/index.php
2.
Материалы по теории вероятностей -http://student48.ru/materials.php
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
Не используется
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины
(модуля).
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие
аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное
оборудование):
 доска и мел или мультимедийная доска,

компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и др.)
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Основной трудностью при работе с литературой по теории вероятностей является
отсутствие единой терминологии и системы обозначений. Первая тема курса имеет особое
значение, так как в ней излагаются основы теории вероятностей, без понимания и усвоения
которых дальнейшее изучение вызовет значительные затруднения.
«Теория вероятностей есть, в сущности, не что иное, как здравый смысл, сведённый к
исчислению: она заставляет оценить с точностью то, что справедливые умы чувствуют как
бы инстинктом, часто не умея отдать себе в этом отчёта» писал великий французский
математик П.Лаплас.
Основной трудностью при работе с литературой по математической статистике
является отсутствие единой терминологии и системы обозначений. Первая тема курса имеет
особое значение, так как в ней излагаются основы математической статистики, без
понимания и усвоения которых дальнейшее изучение вызовет значительные затруднения.
28
Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год
В рабочую программу вносятся следующие изменения:
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
___________________________________________________________
Рабочая
программа
пересмотрена
и
одобрена
на
заседании
______________________________________ «__» _______________201 г.
кафедры
Заведующий кафедрой ___________________/___________________/
Подпись
Ф.И.О.
29