Предметx

^
Информационная карта урока геометрии 10 класс № 20
(план урока)
Тема. Понятие многогранника. Призма
Цель: ввести понятия многогранника, призмы и их элементов
^ Задачи:
1.
Учебно-познавательная – формирование умений применять основные понятия м
призмы и
их элементов при решении задач на конструктивном уровне.
2. Развивающая – развитие элементов анализа и синтеза; способствовать формированию
математической речи,
развитию памяти и абстрактного мышления.
3. Воспитательная – способствовать развитию устойчивого интереса к математике чере
информационно-коммуникационных технологий.
Оборудование: модели многогранников, опорные конспекты, компьютеры,
мультимедиа презентация.
^ Содержание учебно-познавательной деятельности
I.Мотивация
Добрый день, ребята! Я хочу пригласить Вас в удивительно- сказочный мир под назва
многогранников". И обращаю ваше внимание на технологическую карту №4 «Многог
(слайд 4). Сегодня первый урок по 1 микроцели «знать понятия многогранника, призм
элементы, уметь находить площади полной и боковой поверхностей» (слайд 5, 6). Тем
«Понятие многогранника. Призма» (слайд 7).
На уроке узнаем и у видим много интересного, познакомимся с некоторыми видами
многогранников; нам предстоит ответить на такие вопросы, как, например: Какие геом
тела называются многогранниками? Чем привлекательны многогранники? Что такое Э
характеристика? Какие тела носят название тел Кеплера- Пуансо? И многие- многие д
наконец: где, зачем и для чего нам нужны многогранники? Может быть, в жизни можн
и без них? Данный материал пригодится нам при изучении темы “Объемы многогранн
решении задач на комбинацию геометрических тел. Еще И. Кеплер говорил, что «мате
есть прообраз красоты мира» (слайд 8).
^ II. Актуализация знаний
Повторение
1) Вопросы:
o
чему равна сумма углов треугольника?
o
свойство углов при основании равнобедренного треугольника;
o
чему равны острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника?
o
свойство катета, лежащего против угла в 300;
o
что называется углом меду прямой и плоскостью?
o
что называется линейным углом двугранного угла? (слайд 9).
o
по готовому чертежу найти АС и ВС;
Вопрос учащимся:
а) вид треугольника?
б) какую теорему можно применить?
(Решение. (слайд 10) АС=ВС=х, 2х2=(7
)2, х2 =49, х=7, АС=7 и ВС=7).
o
как называется фигура под цифрой 10? (параллелепипед) (слайд 11)
o
как называется фигура под цифрой 2? (тетраэдр) (слайд 12)
2.
Сообщения обучающихся
o
«Параллелепипед и его основные элементы» (слайд 12).
o
«Тетраэдр и его основные элементы» (слайд 13).
III. Изучение нового материала
1) Объяснение учителя
Обратите внимание, что каждая из этих поверхностей, о которых напомнили вам ребя
ограничивает некоторое геометрическое тело, отделяет это тело от остальной части пр
В стереометрии изучаются фигуры в пространстве, называемые телами. Наглядно
геометрическое тело надо представлять себе как часть пространства, занимаемую пред
Геометрическое тело отделяется от окружающего его пространства поверхностью – гр
тела.
Учитель демонстрирует модели различных многогранников (слайд 14 ) и предлагает
обучающимся

выделить общие признаки
Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую не
тело, а так же само это тело, будем называть многогранной поверхностью или многогр
(слайд 15)
Многие строения в окружающем нас мире, в частности, пирамида Хеопса (слайд 16), и
форму многогранников. Поэтому для лучшей эксплуатации и моделирования зданий н
изучить свойства многогранников.
Многие многогранники изобрел не человек. А создала природа в виде кристаллов, сол
льда, хрусталя – «заточенная» с двух сторон призма, железного и серного колчедана (с
Кристаллы граната, кварца, каменной соли.
Используя модели многогранников (куба, параллелепипеда, тетраэдра, призмы и др.) в
элементы.
Элементы многогранника (слайд 18-22)
В1 С1
А1 D1
ВС
АD
^ Вопрос: из чего состоит поверхность многогранника? (Ответ: из многоугольников.)
Вывод: многоугольники – это грани.
Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются гранями многогра
(слайд 18)
Вопрос: что такое многоугольник? (Ответ: это плоская фигура, образованная замкну
прямоугольных отрезков.)
^ Вывод: прямоугольные отрезки – это ребра, а концы ребер – это вершины
Стороны граней называются ребрами многогранника. (слайд 19)
Концы ребер называются вершинами многогранника. (слайд 20)
Отрезок, который соединяет вершины, не принадлежащие одной грани,
называется диагональюмногогранника. (слайд 21)
Плоским углом многогранника называется любой внутренний угол его грани. (слайд 2
На готовых чертежах в рабочих тетрадях указать все элементы многогранников (слайд
Многогранники (слайд 24 )
Выпуклые Невыпуклые
Невыпуклые
полуправильные
однородные
Тела Платона
^
Тела Архимеда
Тела Кеплера-Пуансо
Выпуклые призмы и антипризмы
Многогранники
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоско
его грани. (слайд 25)
В противном случае называется невыпуклым (слайд 25 )
Простейшим примером архимедова многогранника может служить архимедова призм
правильная n-угольная призма с квадратными боковыми гранями.
Другой пример — так называемая п-угольная архимедова антипризма. Она может быт
если одно из оснований правильной n-угольной призмы (n>4) повернуть вокруг оси пр
угол - и затем соединить отрезками каждую вершину этого основания с ближайшими
другого основания; при этом высота призмы должна быть подобрана так, чтобы эти от
оказались равными стороне основания (иначе говоря, боковые грани антипризмы долж
правильными треугольниками). Меняя n, мы получим две бесконечные серии архимед
многогранников— призм и антипризм.
Полуправильные В кристаллографии приходится встречаться с классом многогранник
широким, чем равногранно-полуправильные, это класс равногранных многогранников
изоэдров.
Изогоны
(равноугольные многогранники)
Обобщением понятия архимедова многогранника является понятие равноу
многогранника, или изогона (у него все многогранные углы равны, а грани
произвольными). Простой пример, изогона мы получим, если у всех верши
правильного октаэдра с ребром, а отсечь от этого октаэдра правильную
четырехугольную пирамиду с ребром, меньшим чем — а
Такую форму имеет, в частности, кристалл флюорита CaF2.
Тетраэдр, рассмотренный выше, является изоэдром и одновременно изогоном.
выпуклые многогранники (изогоны, изоэдры) (слайд 26-27)
Простейшим примером изоэдра, не являющегося правильным или полуправнл
многогранником, может служить неправильный равногранный тетраэдр (рисун
неправильный тетраэдр, у которого равны между собой противоположные ребра: AB =
ВС=AD=a, CA=BD=b, причем отрезки а, b, с не все равны между собой. Для получени
многогранника достаточно в произвольном прямоугольном параллелепипеде, отлично
выбрать произвольную вершину D и в трех гранях, примыкающих к этой вершине, пр
диагонали DA, DB, DC. Четыре точки А, В. С, D и будут вершинами равногранного те
Форму изоэдра имеет кристалл куприта (Сu20);
это выпуклый многогранник, ограниченный 24
равными неправильными пятиугольниками.
Многогранники в кристаллографии (параллелоэдрах).
Невыпуклые многогранники (тела Пуансо). (слайд 28)
Тела Архимеда. (слайд 29)
Призмы и антипризмы (слайд 30).
3.
^ Доклады обучающихся (слайд 30-37).
1.
История возникновения . . . ……
Они обладают богатой историей, которая связана с таким знаменитыми учеными древ
Пифагор, Евклид, Архимед. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавил
Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них –
Хеопса. Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и в
которой достигает 146,5 м. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой тракта
геометрии.
2.
Применение многогранников в жизни.
Свойства плоских углов выпуклого многогранника (слайд 38)
1. Сумма плоских углов при каждой вершине
выпуклого многогранника меньше 3600 .
Доказать это можно с помощью
разверток, например, тетраэдр.
Очевидно, что
1
+
2+
3
3600.
Параллелепипед (прямоугольный).
Вопрос:
Сколько углов имеют общую вершину?
( Ответ: три, причем все по 900.)
2. Каждый плоский угол выпуклого
многогранника меньше суммы других
плоских углов при той же вершине.
(слайд 39).
3.
Объяснение учителя
Вводится понятие призмы, что это тоже многогранник, а также ее элементов.
Определение. Призмой (п – угольной призмой) называется многогранник, составленн
равных многоугольников А1А2…Ап и В1В2…Вп, лежащих в параллельных плоскостях
и п параллелограммов А1А2В2В1, А2А3В3В2,…, АпА1В1Вп. (слайд 40)
Многоугольники А1А2…Ап и В1В2…Вп называются основаниями призмы. (слайд 41 )
Параллелограммы А1А2В2В1, А2А3В3В2,…, АпА1В1Вп – боковые грани призмы. (слайд
Отрезки А1В1, А2В2, АпВп – боковые ребра призмы. (слайд 43 )
^
Свойства боковых ребер призмы
1.
Боковые ребра призмы параллельны и равны. (слайд 44 )
2.
Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания,
называется высотойпризмы. (слайд 45 )
Условие: у призмы число углов основания равно числу параллелограммов (боковых гр
В качестве примера показать чертеж №5 многогранника, изображенного на слайде. У
многогранника две грани – верхняя и нижняя – равные четырехугольники с соответст
параллельными сторонами, а остальные десять – параллелограммы. Однако многогран
слайде 46 – не призма.
Определение. Прямой призмой называется призма, у которой боковые ребра перпенд
плоскостям оснований. (слайд 47).
^ Боковые грани прямой призмы - прямоугольники.
В противном случае призмы наклонные. (слайд 47).
Боковые грани наклонной призмы – параллелограммы.
Замечание. Частным случаем прямой призмы является прямой параллелепипед (основ
произвольные параллелограммы), а частным случаем прямого параллелепипеда – прям
параллелепипед (основания – п Свойства прямой призмы.
1.
Боковые грани прямой призмы – прямоугольники.
2.
Высота прямой призмы равна боковому ребру. (слайд 49)
^ Вопрос: Покажите различие многоугольников, из которых состоит произвольный
параллелепипед.
Ответ: Произвольный состоит из параллелограммов, а прямоугольный из прямоуголь
Вывод: У произвольного параллелепипеда боковые ребра не перпендикулярны основа
прямоугольного – перпендикулярны.
Так же и у призмы (можно показать с помощью «воздушной» модели, примеры прямо
наклонной призм).
Определение. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – п
многоугольники (слайд 50).
3.
Заполнение таблицы классификации призм
Вывод: Классификация призмызависит от того, какой многогранник лежит в основани
51-52 )
^ IV. Первичное закрепление изученного
1.
Контрольные вопросы:
а) объясните, что такое многогранник?
б) какой многогранник называется выпуклым?
в) дан куб - выпуклый многогранник. Как, имея пилу, получить из деревянного куба м
невыпуклого многогранника?
г) назовите известные вам многогранники.
1) выпуклым или не выпуклым является каждый из них?
2) сколько граней, ребер и вершин у каждого?
д) дан квадрат. На нем как на основании построены куб и пирамида. Сколько вершин,
граней в полученном многограннике? Является ли он выпуклым?
В=9; Г=9; Р=16; 9-16=9=2. Да.
е) в каких плоскостях лежат основания призмы?
ж) какими фигурами являются боковые грани призмы?
з) какими фигурами являются все грани параллелепипеда?
и) сколько измерений у прямоугольного параллелепипеда?
к) какие многоугольники являются основанием и боковой гранью пятиугольной призм
л) призма имеет 30 граней. Какой многогранник лежит в ее основании? Сколько верш
имеет эта призма?
Г=30 п-30-2=28 – угольник
О=2 В=28*2=56
Р=28*3=84.
2.
Решение устных задач
Определите, могут ли плоские углы при одной вершине тетраэдра быть равными
а) 400, 900 и 1200; б) 1200, 1300 и 150? (слайд 53)
3) ^ Решение задач по вариантам (одновременно на доске решают трое обучающихся
Задача №219 (из учебника) (слайд 54)
Дано: АВСDА1В1С1D1– прямоугольный параллелепипед, АВ=12см, АD=5см,
(D1В,^ АВС)= 450
^ Найти: DD1
прямоугольники) (слайд 48).
Ответ:13см.
Задача №223 (из учебника) (слайд 55)
Дано: АВСDА1В1С1D1– куб, АD1С1В – сечение
SD1С1В= 64 √2 см2
^ Найти: АВ, ВD1..
Ответ: АВ=8см., ВD1 =8 √3см.
Задача №225 (из учебника) (слайд 56)
Дано: АВСDА1В1С1D1– правильная четырехугольная призма, (D1В, ^ АDD1)= 300 .
^ Найти: (ВD1 ^ А ВС).
Ответ: 450 .
4) Заполнение таблицы
На каждую парту раздаются модели многогранников и обучающиеся заполняют табли
№
Наименование
многогранника
1
Куб
2
Тетраэдр
3
Параллелепипед
4
Треугольная призма
5
Четырехугольная
призма
6
Шестиугольная
призма
7
п – угольная призма
В Р Г
Эйлерова
характеристика
В – число вершин многогранника
Р – число ребер многогранника
Г – число граней многогранника
В школе изучаются многогранники, Эйлерова характеристика которых равна 2, то ест
(слайд 59).
Равенство, которое выражает Эйлерову характеристику, было им доказано в 1752 году
гениальный ученый, родившийся в Швейцарии, почти всю жизнь прожил в России. Со
теория многогранников берет свое начало с его работ.
И оно верно для произвольного выпуклого многогранника.
5) ^ Выполнение теста (слайд 60-61).
Выполнение теста за компьютером. После выполнения, которого компьютер выставля
и ребята имеют возможность просмотреть, в каких заданиях они допустили ошибки.
1.
Что называется многогранником?
а) Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое тел
само это тело.
б) Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое тел
в) Поверхность, составленную из многоугольников.
2.
Среди изображенных многогранников выберите выпуклые.
3.
Назовите элемент многогранника.
4.
Назовите элемент многогранника.
5.
Назовите элемент многогранника.
6.
Среди изображенных тел выберите те, которые являются призмами.
7) Среди изображенных тел выберите те, которые являются параллелепипедами.
8) Может ли быть наклонной призма, две боковые грани которой – прямоугольники?
6) Интересные факты (слайд 62-64).
^ V. Домашнее задание (слайд 65).
«стандарт»
п. 25, 27. Вопросы:1, 2, к гл. III. № 219, 220, практическая работа «Изготовление разве
треугольной призмы».
«хорошо»
п.26. Вопросы:3,4,5, к гл. III. № 293, 295(а,б), практическая работа «Изготовление разв
четырехугольной призмы».
«отлично»
Вопросы:6,7, к гл. III. № 295(в,г), практическая работа «Изготовление развертки шести
призмы».
Учитель дает рекомендации по выполнению работы, дает необходимые комментарии.
^ VI. Оценки
Учитель объявляет оценки за урок с комментариями.
VII. Рефлексия

Назовите элементы многогранника.

О каких видах многогранников вы услышали сегодня на уроке впервые?

Достигли ли мы цели урока?

Что Вам понравилось сегодня на уроке?
VIII. Итог урока
Учитель благодарит за работу на уроке (слайд 66).