Комбинаторика, вероятность, статистика

Муниципальное общеобразовательное учреждение лицей № 2
города Рыбинска Ярославской области
Особенности методики изучения элементов
комбинаторики, статистики и теории
вероятностей в средней школе
Методическая разработка
Девкиной Ирины Валентиновны
учителя математики
лицея № 2 г.Рыбинска
Рыбинск
1
Содержание
Введение
1.Анализ ситуации, постановка проблемы, цели, планируемые результаты при изучении
элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики
1.1. Анализ изложения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в различных УМК
1.2. Психолого-педагогические особенности младших подростков и возможности их учета в процессе
введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики
1.3. Цели изучения, особенности структуры и содержания линии,
требования к уровню подготовки учащихся
1.4. Дидактические принципы в содержании и построении процесса обучения элементам комбинаторики,
теории вероятностей и статистики
2. Некоторые подходы и методическое обеспечение в работе учителя по введению элементов
комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьный курс математики
2.1. Методические рекомендации по изучению основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики
2.1.1. Развитие комбинаторных возможностей интеллекта учащихся
2.1.2. Роль комбинаторных задач в развитии математического стиля мышления учащихся
2.1.3. Некоторые особенности введения правил комбинаторики
2.1.4. Введение понятий размещений, перестановок и сочетаний
2.1.5. Математическое моделирование – необходимый компонент обучения теории вероятностей
2.1.6. Природа понятия вероятности и методика его введения
2.1.7. Роль визуализации в процессе изучения теории вероятностей
2.1.8. Развитие вероятностной интуиции
2.1.9. Некоторые аспекты изучения статистики
2.2. Взаимосвязь комбинаторики, теории вероятностей и статистики с разделами
школьного курса математики и другими дисциплинами
2.3. Дидактическое и методическое обеспечение содержательной линии
2.4. Контрольно-оценочная деятельность учащихся и учителя
Заключение
Список литературы
Приложения
3
4
4
5
9
10
11
11
12
15
16
18
20
25
28
29
32
36
38
39
40
41
1. Значение комбинаторики, теории вероятностей и статистики в современной науке и практической
жизни
2. Изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школах ряда зарубежных
стран
3. Место и роль содержательной линии в системе математического образования
4. Использование компьютерного моделирования как средства интенсификации познавательной
деятельности
5. Организация научно-методической деятельности по руководству исследовательской работой
школьников
2
Введение
Одна из задач модернизации содержания и структуры Российского школьного образования состоит в
совершенствовании качества математического образования. Основным недостатком математической
подготовки школьников является неумение пользоваться математическими понятиями при работе с
реальными объектами.
По данным Третьего международного исследования (ТIМSS) наши школьники хуже владеют
методологическими знаниями. По данным международного исследования PISA были выявлены невысокие
результаты качества обучения детей 15-летнего возраста, получивших общее обязательное образование.
Исследование было проведено в 2004 году в 41 стране мира, в том числе вторично и в России. Наши
школьники оказались между 29-м и 31-м местом по математической грамотности. Проверочные вопросы
были разного уровня сложности. Показав хорошие результаты в области владения фактологическим
материалом, умение воспроизводить знания и применять их в знакомой ситуации, учащиеся не смогли
интегрировать эти знания и применить их для получения новых знаний и объяснения явлений, происходящих
в окружающем мире.
Наибольшие затруднения у учащихся вызывают задачи, в которых необходимо построить математическую
модель, отражающую реальные процессы и с ее помощью просчитать результаты; задания на построение и
чтение графиков реальных зависимостей; задачи на процентный рост, на оценку и прикидку результатов
вычислений; задачи, связанным с выдвижением и проверкой гипотез. А в условиях современной цивилизации
практически каждому человеку приходится постоянно проводить элементарные подсчеты, делать оценки и
прикидки, прокладывать транспортные маршруты, читать графики и диаграммы, осмысливать статистические
данные и т.п.
Актуальность обновления содержания школьного математического образования стала очевидна, так как
курс математики недостаточно хорошо готовил выпускников к коллизиям жизни, Наши выпускники с трудом
преодолевают тот глубокий детерминизм, который взрастила в их умах средняя школа. Практика показывает,
что человеку, не понявшему вероятностно-статистических идей в детстве, в более зрелом возрасте они
даются нелегко, ибо многое в теории вероятностей вроде бы противоречит жизненному опыту, а с возрастом
опыт набирается и приобретает статус безусловности.
Значит, назрела необходимость введения элементов комбинаторики теории вероятностей, статистики в
школьный курс математики. Но введение элементов теории вероятностей как замкнутого раздела программы
по математике, относящегося к «чистой», теоретической математике, уже проводилось при реформировании
школьного математического образования в 60-е годы. Тогда появился целый ряд работ ученых методистов,
которые ставили своей целью разработать методику преподавания теории вероятностей как отдельной темы
школьного курса математики. Однако в 70-х годах в силу изолированности и инородности его по отношению
к традиционному школьному курсу этот материал был изъят из программ и учебников.
Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и математической статистики были включены в
программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного.
Итак, несмотря на то, что идея введения стохастической линии в школьный курс математики
разрабатывалась много лет и встречала поддержку в среде математиков и педагогов-практиков, в практику
нашей школы теория вероятностей и математическая статистика вводилась лишь номинально. Основными
причинами такого положения дел являлась нетрадиционность, новизна этого материала для самой
математики, отсутствие прочных методических традиций преподавания его школьникам, неподготовленность
части учителей к изложению материала в духе прикладной, а не чистой математики. Но самое главное социально-экономическое состояние общества, при котором умение грамотно анализировать имеющуюся
информацию, делать научно обоснованные прогнозы, предвидеть последствия принимаемых решений, - а все
это призвана формировать вероятностно-статистическая линия курса математики, - долго оставалось
невостребованным.
В настоящее время принципиально изменилась ситуация в обществе, и это позволяет предположить, что
формируемые вероятностным материалом умения и знания окажутся необходимыми широкому кругу людей
и станут наравне с компьютерной грамотностью неотъемлемой составляющей общекультурной подготовки
современного человека.
В течение последних лет те или иные материалы по комбинаторике, теории вероятностей, статистике
появились в учебниках математики, однако не во всех УМК они являются систематическими и формируют
целостное представление. Учителя не всегда рассматривали этот материал, так как он не был включен в
государственный стандарт и программы. Теперь это произошло. Включение элементов комбинаторики,
статистики и теории вероятностей в государственный стандарт общего образования требует более
тщательного осмысления методики преподавания этих разделов математики.
В лицее № 2 г. Рыбинска я работаю с 1994 года. Специфика лицея № 2 проявляется, в том числе и в
организации, поиске, разработке и внедрении нового содержания обучения, форм и методов его реализации; в
формировании у школьников потребностей к саморазвитию и самообучению, пробуждение в лицеистах
активных исследовательских интересов, способствующих их творческой самореализации. (Приложение 5)
3
На протяжении нескольких лет я веду спецкурсы по основам комбинаторики, теории вероятностей и
статистики c 7 класса, а в 5-6 классах использую элементы комбинаторики и теории вероятностей, статистики
на уроках математики. Шесть лет работала в физико-математических классах. Сейчас работаю в классах с
углубленным изучением математики, руковожу исследовательской работой школьников по математике.
Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей, статистики помогло учащимся осознать, что
многие законы природы и общества имеют вероятностный характер, что много реальных явлений и процессов
описываются вероятностными моделями. За это время возрос уровень познавательной активности учащихся;
разнообразные по содержанию и по уровню сложности задания позволили выявить творческие возможности
детей, нестандартность их мышления.
В своей разработке я попыталась отразить решение проблемы введения элементов комбинаторики, теории
вероятностей, статистики в школьный курс математики.
Цель работы: разработать методические материалы для работы учителя математики по проблеме введения
элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьный курс математики. Задачи,
решаемые для достижения цели:
-проанализировать способы введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики с учетом
возрастных особенностей школьников;
-разработать подходы и методическое обеспечение в работе учителя по данному направлению.
1. Анализ ситуации, постановка проблемы, цели, планируемые результаты при изучении элементов
комбинаторики, теории вероятностей, статистики
В настоящее время комбинаторика, теория вероятностей и статистика завоевали очень серьезное место в
науке и прикладной деятельности. Идеи, методы и результаты теории вероятностей, статистики,
комбинаторики не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки,
экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от
математики науки, как лингвистику и археологию. (Приложение 1)
Во многих зарубежных странах с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с
первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к
анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни. (Приложение 2)
Развитое общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению
анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие
ситуации и, наконец, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях
неопределенности.
Были приняты принципиальные решения о включении элементов комбинаторики, теории вероятностей и
статистики в школьное математическое образование. ( Приложение 3)
1.1. Анализ изложения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в различных
УМК
Для введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики в практику преподавания
математики создаются реальные условия. Имеется учебно-методическое обеспечение, позволяющее включать
элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебный процесс.
Уже несколько лет в различных регионах России учащиеся основной школы работают по учебным
комплектам «Математика 5-6» под ред. Г.В. Дорофеева и И.Ф. Шарыгина, «Математика 7-9» под ред. Г.В.
Дорофеева. В этих учебниках последовательно с 5 по 9 класс вводится вероятностно-статистическая линия.
Перечисленные книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт
учащихся. В 5 классе рассматриваются случайные, достоверные, невозможные события, а в 6-ом классе эксперимент со случайными исходами, частота и вероятность события, школьники учатся оценивать
вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный
подсчет вероятностей происходит позднее. Для решения комбинаторных задач вводится дерево возможных
вариантов, правило умножения (в 5-6 классах). В 5-6 классах начинается формирование умений работать с
информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм.
В курсе 7-8 классов рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных
событий. В этих учебных комплектах принят статистический подход к понятию вероятности, который
методически и психологически соответствует возрастным особенностям учеников основной школы. В основе
статистического определения вероятности лежит закон больших чисел, который в курсе приводится, как
факт, подтвержденный многочисленными опытами и наблюдениями.
Важнейшей методической особенностью данных учебников является возможность реализации уровневой
дифференциации, за счет широкого диапазона в уровне сложности задач, распределенных в группы А и Б,
разнообразного материала, позволяющего выйти за рамки обязательного содержания. Методические
особенности комплекта: мотивированное и доступное изложение материала, создание условий для
формирования навыков исследовательской деятельности, для развития самостоятельности мышления.
Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей включены в учебники под ред. А.Г.
Мордковича (Математика 5-6 класс), а к курсу алгебры для 7-9 классов подготовлен специальный вкладыш
«События. Вероятность. Статистика» (авторы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов). В первой части каждого
4
параграфа на большом количестве конкретных примеров изложены начальные положения, идеи и методы
комбинаторики (правило умножения, перестановки, размещения, сочетания), теории вероятностей (случайные
события, классическое определение вероятности, вероятность суммы событий, схема Бернулли) и статистики
(многоугольники распределения данных, кривая нормального распределения, числовые характеристики
выборки). Теоремы и определения формулируются только после того, как из рассмотрения практических
вопросов становится ясной необходимость их введения. Во второй части каждого параграфа собраны
упражнения для классных, домашних, самостоятельных и контрольных работ.
В «Учебниках-собеседниках» для 5-6 классов (авторы Л.Н. Шеврин и др.) стохастическая линия так же
внедряется в учебный процесс. В начале 5-ого класса идет разговор о таблицах. В конце 5-го класса, где два
последних параграфа посвящены достоверным, невозможным и случайным событиям, совместным и
несовместным событиям, сравнению шансов наступления событий и первому знакомству с комбинаторными
задачами, с деревом вариантов. Далее, в 6-м классе комбинаторные задачи включаются в систему упражнений
по другим темам (например, при изучении числовых промежутков), вводится правило умножения, действия
над событиями, осуществляется первое знакомство с понятием вероятности и с подсчетом вероятности,
вводится вероятность суммы событий, вероятность произведения событий, понятие случайной величины и ее
среднего значения.
В учебниках «Математика 5», «Математика 6» (авторы: Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков,
С.И. Шварцбурд) имеется достаточное количество прикладных и математических задач на составление
комбинаций из нескольких элементов; числовых ребусов; задач на перебор элементов заданного множества,
на выявление общего признака некоторого множества чисел, фигур. Однако, как в 5 классе, так и в 6 классе
отсутствуют элементы теории вероятностей. Для преподавания вероятностно-статистической линии в 5 – 6
классах по учебникам этих авторов можно использовать рекомендации М.В. Ткачевой «Анализ данных в
учебниках Н.Я. Виленкина и других».
Авторы пособия «Элементы статистики и теории вероятностей» Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк в 7-8
рассматривают статистические характеристики, статистические исследования. Параграф об элементах
комбинаторики помещен в курс 9 класса и содержит гораздо больше и теоретических сведений (вводятся
соединения), и практических упражнений, чем соответствующий материал по комбинаторике в УМК под ред.
Г.В. Дорофеева. Сведения
из теории вероятностей (вероятность события, сложение и умножение
вероятностей) тоже рассматриваются в 9-ом классе. Пособие содержит большое количество хорошо
подобранных упражнений разного уровня сложности.
Учебники «Арифметика» для 5-6 классов и «Алгебра» для 7-9 классов С.М. Никольского, М.К. Потапова,
Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина содержат элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей
(рассмотрен минимальный круг вопросов). В 5-ом классе рассматриваются комбинаторные задачи на
существование и построение комбинаций, удовлетворяющих заданному свойству, а в 6-ом классе - задачи на
перебор всех возможных вариантов, вводится понятие вероятности события, начинается формирование
умений работать с информацией, представленной в форме графиков и диаграмм.
Вопросам комбинаторики, статистики и теории вероятностей в учебниках алгебры для учащихся 7 – 9
классов авторского коллектива Ш.А. Алимова и других уделено мало внимания. Чтобы школьники, обучаясь
по этим учебникам, приобрели вероятностно-статистическую грамотность, было выпущено пособие для
учащихся «Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность» (авторы М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова).
Более широкий круг вопросов по комбинаторике и теории вероятностей рассмотрен в учебных пособиях для
углубленного изучения математики (9, 11 кл.) под ред. Виленкина Н.Я. (основные понятия, законы и
формулы комбинаторики, алгебра событий, вероятность события, вероятностное пространство, теоремы
сложения, формула умножения вероятностей, формула Бернулли, закон больших чисел), но в них отсутствует
раздел математической статистики.
В учебном пособии «Вероятность и статистика. 5-9 кл.» (авторы Е.А.Бунимович, В.А.Булычев) система
изложения близка к той, которая используется в учебниках под ред. Дорофеева. В книге содержится
дополнительный теоретический материал и соответствующие ему блоки задач, которые могут оказаться
полезными для проведения занятий в профильных классах, математических кружках, на факультативах.
Отдельные главы пособия могут быть успешно использованы при изучении вероятностно-статистического
материала и в 10-11 классах. Задачи поделены на две группы: первая группа - типовые задачи, необходимые
для усвоения основных теоретических положений, вторая - более сложные задачи, в которых развиваются
идеи и методы теоретической части.
Предлагаемые в «Сборнике задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс
основной школы» (авторы С.А. Шестаков, И.Р. Высоцкий, Л.И. Звавич) материалы могут быть использованы
учителями общеобразовательных школ и математических классов для организации и проведения
обобщающего повторения вне зависимости от учебников и сборников задач, по которым они работают. Такая
универсальность базируется на выделении основных содержательных линий, соответствующих стандарту
математического образования, и отнесении каждой задачи к одной из этих линий.
Классификация задач из
данного сборника, относящихся к вероятностно-статистической линии:
статистическое определение вероятности, статистические характеристики, классическое определение
5
вероятности, геометрическое определение вероятности, теорема сложения вероятностей, теорема умножения
вероятностей, анализ табличных данных.
1.2. Психолого-педагогические особенности младших подростков и возможности их учета в процессе
введения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики
Когда учитель решает вопрос о том, как следует преподнести учащимся тот или иной учебный материал, он
должен знать не только содержание соответствующего учебного предмета, но и психологические особенности
учащихся, которые будут этот материал усваивать. Необходимо учитывать возрастные и индивидуальные
особенности учащихся, их познавательные интересы и стили, индивидуальные интеллектуальные склонности,
знать и использовать основные результаты обучения учащихся в начальной школе, среди которых
приоритетным на данном этапе развития общества является формирование общеучебных умений и навыков,
уровень освоения которых в значительной мере определяет успешность школьника на всех ступенях
образования. Можно выделить следующие общеучебные умения и навыки, относящиеся к трем сферам
компетентности ученика:
• Организация деятельности - выполнять работу по несложному алгоритму; совместно (всем классом)
ставить новую задачу, определять последовательность действий по ее решению; доводить начатое дело до
конца;
• Читательская компетентность - осмысленно читать текст, выделять главную мысль, искать информацию в
научной литературе;
• Естественно-научная компетентность - описать объект наблюдения, проводить классификацию объектов
по общему признаку, сравнивать объекты для того, чтобы найти их общие и специфические свойства,
высказывать суждения по результатам сравнения.
Общеучебные умения и навыки являются в начальной школе основой для формирования такой
универсальной способности человека, как умение учиться, которая и закладывается на этом этапе
образования вместе с потребностью и желанием учиться. Желание и основы умения учиться предполагают,
что учащийся умеет видеть границу между известным и неизвестным; соотносить результат своей
деятельности с образцом; находить ошибки в своей и чужой работе и устранять их; оценить свои и чужие
действия по заданным критериям; обращаться к взрослому с запросом недостающей информации или
просьбой о консультации; а главное - готовность искать недостающие способы и средства решения задач, а не
получать их в готовом виде.
Задачи индивидуализации на этапе начальной школы решаются в большей мере через организацию
групповых форм обучения, предусматривающих умение учащихся вступать в предметную коммуникацию
(вести дискуссию) и организовывать свою работу в малых группах, владение приемами и навыками учебного
сотрудничества. Использовать результаты обучения учащихся в начальной школе с учетом их возрастных и
индивидуальных особенностей, не потерять детей - одна из основных задач учителя-предметника.
5-6 класс, то есть 10-12 летний возраст - пограничный между детством и отрочеством. Сегодняшняя школа,
резко меняя то, что должно меняться постепенно, практически не изменяет те характеристики
образовательной среды, которые должны отвечать новым возрастным потребностям и возможностям детей,
находящихся на границе двух эпох развития - детства и отрочества.
Урок остается основной, а чаще единственной формой организации учебного процесса учащихся на
протяжении всех лет обучения в школе. Движение учащихся в учебном материале происходит в одном темпе
и по одной общей траектории. Понятия осваиваются преимущественно репродуктивно и с одной
("единственно правильной") точки зрения. Учительские контрольно-оценочные действия ориентированы, в
основном на результативную сторону обучения. Понимание и применение понятий ограничивается
сложившимися рамками школьной дисциплины. Знания, "разложенные по полочкам", не становятся основой
компетентности школьников, они не применяются за пределами тех ситуаций, в которых были освоены. (Об
этом свидетельствуют низкие результаты российских школьников в тестах компетентности, РISА).
Для того, чтобы изменить сложившуюся ситуацию, необходимо знать те возрастные особенности
школьников 10-12 лет, которые в лучшем случае игнорируются, в худшем - служат почвой для
непродуктивных конфликтов между учителями и учениками. "Чувство взрослости", не подкреплённое ещё
реальной ответственностью - вот особая форма самосознания, возникающая в переходный период и
определяющая основные отношения младших подростков с миром. "Чувство взрослости" проявляется в
потребности равноправия, уважения и самостоятельности, в требовании серьёзного, доверительного
отношения со стороны взрослых.
Пренебрежение этими требованиями, неудовлетворённость этой потребности обостряет негативные черты
этого периода. Если школа не предлагает ученикам места и средств реализации их чувства взрослости, оно
всё равно появится, но самым невыгодным образом - в распрях по поводу учительской несправедливости и
объективности.
6
Склонность к фантазированию, некритическому планированию своего будущего. Результат действия
становится второстепенным, на первый план выступает свой собственный авторский замысел. Если учитель
оценивает прежде всего качество "продуктов" учебной работы школьников и не находит места для
выращивания детского замысла, то тем самым для ученика обесценивается сам процесс учения.
Стремление экспериментировать со своими возможностями - едва ли не самая яркая характеристика
младших подростков. Если школа не предоставляет ученикам культурных форм такого экспериментирования,
то оно реализуется в самой поверхностной и примитивной форме - в экспериментах со своей внешностью.
В исследованиях Ж. Пиаже и Дж. Брунера разработана периодизация умственного развития ребенка. Стадия
конкретных операций охватывает период от начала занятий в школе до 10-11 лет. На этой стадии ребенок
переходит к конкретным операциям как с самими предметами, так и с символами (знаковыми моделями)
предметов и отношений между ними. Ребенок уже может решить ту или иную задачу не непосредственно,
путем манипуляции с предметами, а мысленно и обратимо. На этой стадии в сознании ребенка начинают
развиваться внутренние структуры, служащие объектом и средством выполнения операций, но он еще не
готов к тому, чтобы иметь дело с возможностями, которые не может воспринять непосредственно. На рубеже
10-12 лет ребенок переходит на последнюю стадию – формальных операций, и примерно к 14-15 годам у него
формируется мышление и логика взрослого человека.
Экспериментальная психология позволяет утверждать, что в человеке от рождения заложены, в числе
многого прочего, стремления к исследовательскому поведению, к активной деятельности (поисковой
активности), к познанию нового. И в младших/средних классах именно на этих врожденных качествах может
быть основана «стратегия и тактика» в организации учебной деятельности: ученики, что называется,
«схватывают с лёту» знания и хотят узнать еще больше.
Между 11-12 и 14-15 годами происходит снижение уровня исследовательской активности, от общего
исследования проблемной ситуации подросток переходит к углубленному рассмотрению выделенной
проблемы.
Таким образом, учителю необходимо найти такие средства и способы учебной работы школьников,
которые отвечают возрастным новообразованиям подростков данного возраста и задачам, которые ставит
перед ними основная школа, связанных, прежде всего, с содержанием обучения:
- содержание учебных курсов основной школы выстраивается системно, что предполагает системную
организацию мышления подростков;
- основная школа предъявляет недетские требования к самостоятельности, ответственности и
инициативности школьников, особенно в ситуациях свободного выбора индивидуальных учебных
траекторий;
-сообщество взрослых ожидает от подростков способности понимать других людей и сосуществовать с
ними на принципах равноправия и терпимости.
А так же с воспитанием учебной самостоятельности, которая является ключевой педагогической задачей
подросткового этапа образования и рассматривается как умение расширять свои знания, умения и
способности по собственной инициативе.
Опираясь на культурно-возрастные характеристики детской жизни надо организовать обучение младших
подростков как расширяющийся опыт определения пространства возможностей своих действий, определение
зоны возможных целей. Этот этап по праву должен стать этапом испытаний, проб, экспериментирования,
началом этапа постепенного выращивания из коллективного субъекта учебной деятельности
индивидуального субъекта.
К особенностям данной содержательной линии можно отнести то, что в ней много эмпирики и
рассуждений, мало формул, отсутствуют громоздкие вычисления, открыт большой простор для творческой
деятельности учащихся. Эта линия требует своеобразных форм, средств и приемов обучения,
соответствующих возрасту и интересам учащихся: дидактических игр и экспериментов, живых наблюдений и
предметной деятельности. Изучение основ комбинаторики, теории вероятностей, статистики должно быть
направлено на развитие личности школьника, расширять возможности его общения с современными
источниками информации, совершенствовать коммуникативные способности и умение ориентироваться в
общественных процессах, анализировать ситуации и принимать обоснованные решения, обогащать систему
взглядов на мир осознанными представлениями о закономерностях в массе случайных фактов.
10-12 -летний возраст для начала изучения элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей
выбран не случайно: многочисленные психолого-педагогические исследования, подтвержденные мировым
опытом, убедительно свидетельствуют, что период от 10 до 12 лет - это наиболее благоприятный возрастной
период для формирования начальных вероятностно-статистических представлений. Учащиеся в возрасте 1012 лет, стремясь раскрыть себя, остро ощущают необходимость интеллектуального обеспечения своей
деятельности. Основным источником самовыражения является индивидуальная организация познавательных
процессов, которая фиксируется в способах учебной работы.
7
Особое место в учении должно занять моделирование. Должны присутствовать задания, направленные на
обеспечение самостоятельности детского движения, задания, связанные с понятийным развитием, с
продвижением в содержании. Введению центральных понятий линии должен предшествовать этап
содержательно-практической деятельности, в ходе которой знания формируются на наглядно-интуитивном
уровне. Этому способствуют задания, требующие практических действий, составляющих основу
формируемых умений; правила возникают как обобщенное вербальное выражение способов действий.
Примерами таких упражнений могут служить следующие задания: 1) моделирование вариантов с помощью
вспомогательного материала, с помощью дерева возможных вариантов, с помощью таблиц, с помощью
кодирования; 2) проведение несложных экспериментов со случайными исходами; 3) сбор, регистрация
данных, наглядное представление данных, чтение диаграмм, таблиц.
1.3. Цели изучения, особенности структуры и содержания линии, требования к уровню подготовки
учащихся
Введение элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики предусматривает формирование таких
видов деятельности, как:
— построение комбинаций элементов, удовлетворяющих заранее заданным свойствам, перебор или
подсчет количества таких комбинаций;
— построение вероятностных моделей реальных процессов и явлений;
— анализ эмпирических, т.е. полученных посредством наблюдения или эксперимента, данных,
включающий самостоятельный сбор данных, проведение экспериментов, первоначальную обработку
статистического материала, статистические выводы.
Эти виды деятельности взаимосвязаны и направлены на обучение учащихся анализу данных.
Цели изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики
познавательные:
приобретение знаний об основных правилах и формулах комбинаторики, об основных понятиях и
теоремах теории вероятностей, о статистическом наблюдении и статистическом выводе;
формирование научного мировоззрения;
удовлетворение личных познавательных интересов, необходимых для применения в практической
деятельности, для изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
развивающие:
развитие математического стиля мышления, комбинаторных возможностей интеллекта учащихся,
вероятностно-статистической интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных
явлений,
формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном
обществе (ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление,
алгоритмическая культура, способность к преодолению трудностей, умения ориентироваться в изменчивом
информационном мире).
воспитательные:
воспитание культуры умственного труда,
становление самосознания,
- воспитание понимания значимости комбинаторики, теории вероятностей, статистики для научнотехнического прогресса.
Особенности структуры и содержания линии
Изучение элементов комбинаторики, вероятности, статистики целесообразно начинать в 5 классе и
продолжать в течение всего дальнейшего периода обучения (постепенный переход от простого к сложному).
На всех ступенях обучения фактически формируются одни и те же виды деятельности, но на разных
уровнях и различными средствами.
Рассмотрю примерное содержание обучения для каждого этапа обучения.
5-6 классы
Существование и построение комбинаций с какими-либо заданными свойствами. Перебор возможных
вариантов.
Достоверное, невозможное, случайное событие. Сравнение шансов наступления случайных событий на
основе интуитивных соображений, на классической, статистической основах, с помощью геометрических
соображений.
Представление данных. Чтение таблиц, диаграмм.
7—9 классы
Комбинаторные правила произведения и сложения. Решение комбинаторных задач на правила умножения и
сложения.
Эксперимент со случайными исходами, случайное событие. Операции над событиями. Частота события.
Вероятность события. Вычисление вероятности наступления случайных событий на классической,
статистической, геометрической основах.
8
Первичная обработка статистических данных. Наглядное представление статистической информации.
Статистические характеристики. Статистические исследования. Статистическое оценивание и прогноз.
10—11 классы
Размещения, перестановки, сочетания. Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов.
Треугольник Паскаля.
Вероятностное пространство. Вероятность события. Вероятности суммы и произведения событий. Решение
задач.
[Случайные величины и их характеристики. Понятие о законе больших чисел.]
В ходе изложения вопросов данной линии включаются сведения по историческому становлению и
развитию изучаемых явлений.
В результате изучения данных тем учащиеся должны:
- понимать вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира;
- решать комбинаторные задачи методом перебора, с использованием известных комбинаторных правил и
формул;
- использовать комбинаторные схемы для вычисления вероятностей случайных событий в классической модели;
- вычислять вероятности наступления случайных событий на статистической основе, с помощью
геометрических соображений;
- использовать приобретенные знания и умения для анализа реальных числовых данных, представленных
в виде таблиц, диаграмм, графиков, для сбора и анализа информации статистического характера, для решения
учебных и практических задач.
1.4. Дидактические принципы в содержании и построении процесса обучения основам
комбинаторики, теории вероятностей и статистики
Дидактические принципы, выражая определенные закономерности обучения и передовой опыт учебновоспитательной деятельности школы, не являются раз и навсегда установленными. Они постоянно
углубляются и видоизменяются в соответствии с теми задачами, которые ставит перед школой общество.
Таким образом, дидактические принципы - это основные направляющие положения, возникающие в
результате анализа научно-педагогических закономерностей и практического педагогического опыта. Они
являются главным ориентиром в педагогической работе учителя.
В настоящее время в дидактике школы выделены шесть принципов: фундаментальности, непрерывности,
ведущей идеи, бинарности, информатизации, комплексного подхода.
Рассмотрю возможности реализации данных принципов в процессе обучения элементам комбинаторики,
теории вероятностей и статистики.
Принцип фундаментальности. Для более качественного усвоения школьниками материала на протяжении
всего курса обучения следует уделять особое внимание связи обучения с жизнью, опираясь при этом на
конкретные примеры. Это позволит учащимся изменить свое отношение к теории вероятностей как к
абстрактной науке. Большое значение имеет вариативность введения основных понятий. Например:
различные подходы к понятию вероятности (классический, статистический,
геометрический,
аксиоматический); вычисление искомой вероятности с помощью различных формул и сравнение полученных
значений.
Такой подход к обучению способствует формированию и развитию у учащегося умения абстрактно
мыслить, свободно ориентироваться в различных подходах к изучению материала. При изучении данного
материала полезно применять алгоритмы для решения стандартных задач, а также формировать навыки
самостоятельного составления алгоритмов и др. В задачах необходимо обращать внимание школьников на
взаимосвязь научных и практических компонентов, выявление закономерностей, которые позволят построить
математическую модель, найти алгоритм решения. Особый интерес представляют задачи, демонстрирующие
связь комбинаторики, теории вероятностей и статистики с другими науками: физикой, химией, биологией,
психологией, экономикой и др.
Принцип бинарности. Учащиеся должны овладеть не только основными теоретическими сведениями и
практическими навыками, но и умело применять их в дальнейшем. Создание проблемной ситуации
обеспечивает мотивацию постановки и необходимости решения задачи. К тому же, планомерное и
целенаправленное осуществление мотивационного обеспечения приучает школьников к постоянному
переосмыслению изучаемого материала.
Принцип ведущей идеи. Три раздела новой содержательной линии — комбинаторику, теорию вероятностей,
статистику — надо изучать в тесной связи друг с другом, а так же применять элементы этих разделов в традиционных разделах школьного курса математики.
Принцип непрерывности. Между знаниями, умениями и навыками, приобретаемыми учащимися на
протяжении обучения в школе (а в дальнейшем и студентами в вузе; в настоящее время теория вероятностей
входит в качестве обязательной дисциплины в учебные планы подготовки специалистов практически всех
естественнонаучных, технических и гуманитарных дисциплин в высших учебных заведениях), должна
присутствовать неразрывная связь, осуществляющаяся в соответствии с принципом непрерывности, в
9
логичной последовательности, взаимосвязанности в содержании и методах преподавания. Формирование и
развитие мастерства школьников в решении комбинаторных, вероятностных, статистических задач, изучение
новых теоретических сведений, более глубокое осмысление уже известного математического материала
необходимо вести непрерывно на протяжении всего периода обучения в школе.
Принцип информатизации обучения предполагает изменения в системе математического образования,
использование современных информационных технологий на разных этапах обучения. Компьютер способен
осуществлять функции контроля, тренировки, анализа, синтеза и т.д. В частности, он может быть использован
для хранения, представления и обработки статистических данных; при построении графов, диаграмм,
гистограмм, графиков, при создании моделей и т. д.
Принцип комплексного подхода. Формирование и развитие стохастических знаний и умений школьников
должно осуществляться в системе, составляющими компонентами которой являются умения,
соответствующие знаниям, общению и самосовершенствованию.
Правильное, целостное применение вышеперечисленных принципов будет способствовать повышению
эффективности подготовки школьников.
2. Некоторые подходы и методическое обеспечение в работе учителя по введению элементов
комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школьной курс математики
Глубокое и прочное усвоение школьниками основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики важно
для формирования их математической культуры. Формирование математической культуры учеников
предполагает организацию собственной познавательной деятельности школьников, в процессе которой у них
формируется умение изучать данные разделы самостоятельно и творчески, а следовательно, создаются
предпосылки к активному применению полученных знаний в своей дальнейшей, профессиональной
деятельности.
Успешное изучение в значительной мере зависит от того, какими средствами и методами ведется обучение.
В преподавании основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики значительные результаты дает
проблемное обучение. Ситуация затруднения у школьника в решении предложенной учителем задачи
приводит к явному пониманию учеником недостаточности имеющихся у него знаний, что в свою очередь
вызывает интерес к познанию и установку на приобретение нового знания.
Существенным условием проявления проблемного обучения в курсе является исследовательский характер
работы учащегося в процессе обучения. Занятия можно считать мало эффективными, если на этом занятии
ученики не работают активно и самостоятельно, не решают задач, требующих не только определенных
знаний, но и определенной сообразительности, догадки.
Важным средством активизации мыслительной деятельности учащихся является “обучение через
открытие”, в результате чего ученики испытывают удовольствие от деятельности, переживание учеником
субъективного открытия.
Проблемное обучение в процессе введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики я
стараюсь сочетать с элементами методики сотрудничества, которая привлекла меня тем, что:
- подход к ребенку гуманно-личностный, соблюдается посредством учета индивидуальных темпов работы
каждого ученика, уровня его знаний, возможностей и наклонностей к какому-либо виду математической
деятельности;
- преобладающие методы – проблемно - поисковый, творческий, игровой.
- организационные формы – индивидуальная, групповая.
Умелое сочетание групповой и индивидуальной форм занятий по изучению основ комбинаторики, теории
вероятностей и статистики обеспечивает всестороннее развитие активности и самостоятельности в обучении
всех учащихся.
Главная функция учителя – лидерство, основанное на совместной деятельности, направленной на
достижение общей образовательной цели. Такой подход позволяет на занятии создать психологический
климат, в основе которого – доверительность, взаимопомощь, сотрудничество.
Важной составляющей обучения является представление учеником своей работы в форме реферата,
доклада. В таком докладе ученик показывает уровень освоения теоретической части. При этом другие
ученики могут оценить как его, так и свой уровень знаний. Это позволяет ученикам осваивать эффективные
для самообразования научные формы работы.
Развитие самостоятельной деятельности учащихся на занятиях, обеспечивающее проникновение в сущность
изучаемого материала, формирование умений самостоятельно обобщать и систематизировать имеющиеся
знания, использовать их в качестве способа деятельности при решении разного рода задач, обеспечивает
развитие познавательного интереса и активности школьников.
2.1. Методические рекомендации по изучению основ комбинаторики, теории вероятностей,
статистики
2.1.1. Развитие комбинаторных возможностей интеллекта учащихся
В развитии детей большую роль играют задачи, формирующие комбинаторный стиль мышления.
Комбинаторный стиль призван усилить сторону дискретной математики в школьном курсе математики.
10
Задания комбинаторного стиля предполагают работу учащихся с конечными множествами, решение
простейших задач пересчета, перечисления, анализ дискретных данных, а также там, где это необходимо,
выполнение классификации, сортировки, систематизации. Можно выделить следующие типы заданий:
подсчёты (задачи, в которых нужно что-либо сосчитать), комбинаторный анализ (все задачи по
комбинаторике), анализ дискретных данных (эти задания призваны научить учащихся рациональным
способам подсчёта, систематизации, сортировки, классификации, а также проведению анализа совокупности
данных).
Я остановлюсь на двух чертах комбинаторного стиля мышления: способности представлять явления в
разных комбинациях, целенаправленный перебор определенным образом ограниченного круга
возможностей при поиске решения задачи.
В ряде исследований психологов и методистов показано, что изучение элементов комбинаторики
вполне можно ввести и в начальное обучение. Это не требует никаких дополнительных знаний у детей
младшего школьного возраста, кроме хороших навыков счета.
Развитие комбинаторного стиля мышления необходимо начинать с рассмотрения задач существования и
построения конфигураций (в пер. с латинского расположений) с какими-либо интересными свойствами.
Например, задачи на построение магических и латинских квадратов, на применение ортогональных латинских
квадратов, конечные геометрии.
Начиная с 5 класса целесообразно проводить исследовательскую работу. Это позволит показать учащимся
роль индукции, наблюдения, эксперимента и даст возможность наряду с навыками логического рассуждения
прививать учащимся навыки эвристического мышления, указать им пути к математическому творчеству.
Учащиеся должны овладеть некоторыми приемами мышления при решении задач, накапливать различные
математические факты, по возможности запоминать их, делать обобщения.
Рассмотрим выше сказанное на примере решения следующей задачи на существование и построение
конфигураций. Расположите 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки (отрезки не
принадлежат одной прямой).
В средних классах в деятельность учащихся могут включаться лишь отдельные элементы исследований.
Это является подготовкой для применения в старших классах исследовательского метода в более развитой
форме. Для того чтобы знания учащихся были результатом их собственных поисков, управляемых учителем,
их самостоятельной познавательной деятельности, необходимо организовать эти поиски.
Дети, никогда ранее не встречавшиеся с подобными задачами, не знают, с чего начать решение, и задача
учителя — указать, в каком направлении следует им работать. Учителю необходимо задать такие вопросы,
чтобы все учащиеся вынуждены были принимать участие в поисках идеи решения. Ход мысли учащихся (с
помощью вопросов учителя) может быть, например, таким: «Если на каждом отрезке расположить по 4 точки,
то на 5 отрезках должно быть 20 точек (4 • 5 = 20). Нам же, согласно условию задачи, требуется расположить
10 точек. Куда девать «лишние» 10 точек?»
Наиболее сообразительные ученики догадаются, что 10 точек должны быть точками пересечения данных
отрезков. Чтобы идею поиска решения поняли все учащиеся, целесообразно вместе с ними провести
небольшое исследование: предложить им серию вспомогательных задач (еще лучше побудить учащихся к
тому, чтобы вспомогательные задачи они подобрали сами), а затем обобщить идею решения.
№1. Какое число точек можно расположить на двух отрезках, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки
(отрезки не лежат на одной прямой)?
Найти правильное решение сможет каждый учащийся (8 точек, если отрезки не пересекаются, и 7 точек,
если отрезки пересекаются).
№2. Какое число точек можно расположить на трех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4
точки (отрезки не лежат на одной прямой)?
Возможны несколько случаев:
1) Отрезки не пересекаются. Тогда на трех отрезках можно расположить 12 точек (4•3=12).
2) Отрезки имеют одну точку пересечения, тогда возможны варианты:
а) пересекаются только два отрезка, можно расположить 11 точек;
б) все три отрезка пересекаются в одной точке, можно расположить 10 точек.
3)Отрезки имеют две точки пересечения. В этом случае количество точек, удовлетворяющих условию
задачи, 10.
4) Отрезки имеют три точки пересечения. В этом случае имеем 9 точек, удовлетворяющих условию задачи.
Учащиеся, рассмотрев все возможные случаи, должны заметить следующую закономерность: чтобы
уменьшить количество точек, принадлежащих всем отрезкам, необходимо или увеличить число точек
пересечения отрезков, или увеличить число отрезков, пересекающихся в одной точке. Минимальное число
точек, принадлежащих одновременно трем отрезкам - 9, получаем в том случае, когда отрезки имеют три
точки пересечения.
Тем учащимся, у которых в результате решения задачи появился вкус к исследовательской работе (для
учащихся 5 класса приведенное выше решение — действительно исследовательская работа), учитель может
предложить более сложную задачу (еще лучше, если такую задачу предложат сами учащиеся).
11
№ 3. Какое число точек можно расположить на четырех отрезках, если на каждом отрезке должно быть по 4
точки (отрезки не лежат на одной прямой)?
В результате решения задач 2 и 3 учащиеся устанавливают закономерность: чтобы число точек,
удовлетворяющих условию задачи (на каждом отрезке — 4 точки), было наименьшим, необходимо, чтобы
число точек пересечения отрезков было наибольшим.
Теперь, после проведения небольшого исследования, учащиеся должны понять не только идею решения, но
и как возникла сама задача (очевидно, автор задачи имел в виду минимальное число точек, принадлежащих
всем отрезкам). В результате такой систематической работы учащиеся сами смогут составить или хотя бы
понять, как можно составить ту или иную задачу. Конструирование задач — один из верных способов
научиться решать задачи.
Вернемся теперь к решению исходной задачи. Подсчет показывает, что отрезки должны иметь 10 точек
пересечения (4•5—10=10). Следовательно, задача свелась к следующей: «Расположить 5 отрезков так, чтобы
они имели 10 точек пересечения». Небольшой опыт, приобретенный учащимися в решении вспомогательных
задач, поможет им легко найти решение.
Я рассмотрела пример организации процесса развития одной из черт комбинаторного стиля мышления
учащихся, а именно, способности представлять явления в разных комбинациях.
В курсе геометрии такого вида навыки будут востребованы. Поскольку, формулировки задач на построение
не содержат указания на то, что рассматриваемая конфигурация существует, поэтому необходимо
исследование.
Другой характерной чертой комбинаторного стиля мышления является целенаправленный перебор
определенным образом ограниченного круга возможностей при поиске решения задачи.
Для формирования у учащихся видов деятельности, связанных с перебором и подсчетом числа
конфигураций того или иного вида в 5-6 классах необходимо решать комбинаторные задачи на перечисление.
Эти задачи тесно связаны с теорией вероятностей. Для их решения разработано немало общих приемов.
Однако в 5-6 классах они решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путем предметной
деятельности с конкретными вещами, постепенно осуществляется переход к использованию других способов
перебора: дерева возможных вариантов, таблиц, совокупности точек и отрезков и т.п. Потом применяется
кодирование предметов с помощью букв или чисел, так как растет уровень абстрактного мышления
учащихся. Разумеется, всегда надо следить за взаимно однозначным соответствием между объектами и
кодами. Только в этом случае подсчет числа объектов можно заменить подсчетом числа кодов.
Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,5? Чтобы ответить на этот вопрос
учащиеся приступают к моделированию вариантов с помощью вспомогательного материала (карточек с
цифрами 0,1,2,5). Готовые наборы выкладываются на парте. По окончании работы совместно обсуждаем
результат, ребята осуществляют взаимопроверку.
Следующий этап – моделирование с помощью дерева.
Рассмотрим использование таблицы. На первом месте в числе может стоять любая
0
2
цифра, кроме нуля, строки будут отмечены цифрами 1,2,5, значит, в этой таблице будет 3 строки.
1 1
1
На втором месте в числе должна стоять четная цифра 0,2, значит, в таблице будет 2 столбца.
0
2
Первая цифра двузначного числа равна метке строки, вторая - метке столбца. В такой таблице
2 2
2
будут учтены все варианты двузначных чисел 2·3=6.
0
2
Существует одна особенность комбинаторики, на которую следует обращать внимание при
5 5
5
0
2
рассмотрении задач на перечисление. В ней исключительно большую роль играет точная
формулировка и точное понимание задачи. С этим связано большинство ошибок у учащихся. Поэтому одно
из главных правил комбинаторики: прежде чем подсчитывать число различных вариантов, необходимо точно
выяснить смысл слова «различные».
В некоторых задачниках можно встретить задачи с некорректные формулировками.
Например, сколькими способами можно распределить три конфеты между тремя девочками? В условии
этой задачи имеются два источника неопределенности. Что значит «распределить»? Одинаковые конфеты или
нет? Если все конфеты одинаковые и делить справедливо каждому по одной конфете, то будет 1 вариант
распределения. Если конфеты одинаковые, а дележ конфет любой, то получаем 10 вариантов. При помощи
кодирование найдем количество различных вариантов, если все конфеты различные. Число вариантов при
кодировании превращается в число кодов. Обозначим девочек через А, В, С и пронумеруем конфеты, тогда
каждый способ распределения можно представить в виде кода. Например, код ААС отвечает варианту, когда
первую и вторую конфеты получит А, а последнюю С. Получаем 27 различных кодов.
Что бы избежать путаницы при решении комбинаторных задач, необходимо точно выяснить смысл слов
«различные варианты».
Учащихся надо научить отличать некорректные задачи. В этом могут помочь творческие домашние
задания: придумать собственные задачи и обязательно решить их (способ решения строго не оговаривается).
12
Свобода выбора раскрепощает детей, они проявляют инициативу и решают одну и ту же задачу несколькими
способами.
Задачи, составленные самими учащимися, выполняют обучающую функцию. Они предлагаются для
решения одноклассникам. Уровень этих задач самый различный. Встречаются и некорректные задачи,
которые требуют корректировки условия, и это хороший обучающий прием. Например, задача, составленная
учеником. Семеро козлят, украденных волком, решили написать маме письмо. Сколькими способами они
могут это сделать? В ходе обсуждения учащиеся доопределяют задачу: сколькими способами может быть
написано письмо, если оно пишется одним козленком? Слабоуспевающие учащиеся с каждым разом
предлагают все более содержательные задачи. Некоторые учащиеся придумывают в задачах «ловушки».
Например, сколькими способами из пенала, в котором находятся 2 ручки, 3 карандаша, 1 стерка, можно
вынуть яблоко и шоколадку?
2.1.2. Роль комбинаторных задач в развитии математического стиля мышления учащихся
Среди многих проблем преподавания математики в школе есть проблема формирования у учащихся
математического стиля мышления.
Математическое мышление является не только одним из важных компонентов процесса познавательной
деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно
достичь эффективных результатов в обучении системе математических знаний, умений и навыков.
Рассмотрим некоторые качества мышления, образующие математический стиль мышления.
Первое качество - гибкость мышления. Гибкость мышления характеризуется: способностью к
целесообразному варьированию способов действий; легкой перестройкой системы знаний, умений и навыков
при изменении условий действий; легкостью перехода от одного способа действия к другому, умением
выходить за границы привычного способа действий.
Второе качество - активность мышления. Активность мышления характеризуется постоянством усилий,
направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно решить эту проблему, изучить разные
подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от
изменяющихся условий и т. д. Развитию этого качества мышления способствует рассмотрение различных
способов решения одной и той же задачи.
«Человеку, изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами,
чем решить три или четыре различных задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем
сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».
У.У. Сойер.
Многие задачи допускают несколько способов решения. Часто первый избранный способ бывает далеко не
самым удачным. Образно говоря, решающий задачу находится в положении человека, блуждающего по
незнакомой местности. Дойдя до цели, он видит, что дорогу можно выбрать более удачную. Нахождение
более простых оригинальных способов решений нередко является результатом длительной и кропотливой
работы.
Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков хорошей подготовки
школьников по математике. При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется
познавательный интерес. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило,
получает моральное удовлетворение. В результате чего ученик проявляет определенную активность
мышления.
Кроме того, частое использование одного и того же метода при решении задач иногда приводит к привычке,
которая становится вредной. У решающего задачу развивается инертность мышления - антипод гибкости.
Исходя из выше сказанного, можно сделать вывод, что решение задач различными способами развивает
активность и гибкость мышления.
Третье качество - целенаправленность. Целенаправленность мышления характеризуется стремлением
осуществить выбор действий, при решении какой - либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную
этой проблемой цель, а также стремлением к поиску кратчайших путей решения.
С формированием целенаправленности мышления тесно связан выбор рационального метода решения
задачи.
Четвертое качество - широта мышления. Это качество характеризуется способностью к формированию
обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным,
нетипичным действиям. Оно проявляется в готовности школьников применять новые изученные факты к
решению задач и делать обобщения.
Пятое качество - глубина мышления. Это качество мышления характеризуется способностью глубокого
понимания каждого из изучаемых фактов в их взаимосвязи с другими фактами.
Для формирования глубины мышления служат задачи, в которых необходимо проанализировать
накопленный опыт и применить его при решении.
Здесь рассмотрены не все качества мышления, которые формируются при решении задач. Такие качества,
свойственные математическому стилю мышления, как ясность, точность, лаконичность речи и записи, его
доказательность не нуждаются в особых комментариях.
13
Рассмотрим различные решения одной комбинаторной задачи, которая рассматривается перед введением
правил комбинаторики: сколько существует к-значных числовых кодов, цифры которых расположены в
возрастающем порядке? (Урок одной задачи, позволяющий проанализировать, как изменение данных в
условии задачи ведет к изменению в способе ее решения.)
Это трудная задача. Разобьем задачу на более простые. Итак, начнем наш путь «от простого к сложному».
№1.а) Сколько существует двузначных кодов, меньших 100, цифры которых идут в возрастающем порядке?
б) Тот же вопрос для кодов, цифры которых идут в убывающем порядке.
в) Тот же вопрос для кодов, цифры которых идут в не возрастающем порядке.
Уточним условие задачи. Цифры двузначного кода идут в возрастающем порядке, когда первая цифра
меньше второй.
Решение а). Самое первое, что приходит в голову учащимся, это выписать подряд все такие коды: 01, 02, …
09, 12, 13, … ,19, 23, … ,29, 34, … ,39, … ,89 и пересчитать их. Некоторые учащиеся могут заметить, что в
первом десятке кодов 9 штук, во втором - 8 штук, в третьем – 7 штук и т.д. В девятом десятке – 1 штука, а в
десятом их вообще нет. Поэтому они предложат просто сложить числа 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 или
(9+1)+(8+2)+(7+3)(6+4)+5=45. Ответ: 45 кодов.
Решение б). Здесь, конечно, можно сделать точно такой же подсчет, как и в а), но учащимся сразу
становится ясно, что ответ будет таким же, как и там. В самом деле, если в каждом коде, цифры которого идут
в возрастающем порядке, поменять цифры местами, то получится код, цифры которого идут в убывающем
порядке, и наоборот. Ответ: 45 кодов.
Решение в). К таким кодам относятся коды, цифры которых идут в возрастающем порядке, и коды, обе
цифры которых одинаковы. Сколько есть кодов с возрастающим порядком, учащиеся уже знают – их 45 штук.
Количество кодов с одинаковыми цифрами учащимся найти нетрудно. Их 10 штук: 00, 11, 22, 33 … 99.
Итого 45 + 10 = 55. Ответ: 55 кодов.
Решая задачи а), б) некоторые учащиеся заметят, что можно решить задачу а) еще более простым
подсчетом. Двузначных кодов, обе цифры которых разные – 90 штук. Двузначные коды с двумя
неодинаковыми цифрами разбиваются на два класса, состоящих из кодов, цифры которых идут в
возрастающем порядке и из кодов, цифры которых идут в убывающем порядке, причем тех и других
одинаковое количество. Следовательно, кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке 90/2=45 штук.
Оказывается, что задачу № 1(а) можно представить геометрически. Пусть на плоскости имеется 10 точек.
Сколько существует отрезков с концами в этих точках? Занумеруем 10 точек цифрами 0, 1, 2, …, 9.
Рассмотрим теперь какой-нибудь отрезок с концами в этих точках. В концах отрезка стоят две разные цифры;
поставив их в порядке возрастания, мы получим двузначный код с возрастающим порядком цифр. При таком
соответствии двум разным отрезкам соответствуют два разных кода и двум разным кодам соответствуют два
разных отрезка. Значит, отрезков будет столько же, сколько двузначных кодов, цифры которых идут в
возрастающем порядке. А таких кодов 45.
Решение с помощью теории графов. Вершины графа - различные цифры, ребра графа-связи между
цифрами. Найдем сумму степеней вершин графа. Каждая вершина имеет степень 9 (количество ребер,
выходящих из вершины), сумма степеней вершин – 90. Количество ребер в графе 90:2=45.
№2. Сколько существует трехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?
Решение №2. Трехзначные коды, цифры которых идут в возрастающем порядке, это коды, у которых вторая
цифра больше первой, а третья – больше второй. Следовательно, у таких кодов все три цифры разные.
Разобьем их на классы. Если коды состоят из одних и тех же трех цифр и отличаются только порядком, в
котором они поставлены, то мы их относим к одному классу. Всякий код, таким образом, попадает только в
один из классов.
Покажем теперь, что в каждый класс попадает ровно шесть кодов, и, кроме того, среди них есть только один
код, цифры которого идут в возрастающем порядке.
Пусть a, b, c – какие-то три разных цифры и пусть a > b > c. Тогда из них можно составить только шесть
различных кодов: abc, acb, bac, bca, cab, cba и из них только у одного кода, cba цифры идут в возрастающем
порядке. Отсюда мы можем заключить, что если N – количество кодов, у которых все три цифры разные, то
количество классов, на которые мы их разбили, будет равно N/6. Кроме того, поскольку в каждом классе есть
только один код с возрастающим порядком цифр, таких кодов будет столько же, сколько классов, то есть N/6
штук. Осталось найти N, то есть решить следующую задачу.
Сколько существует трехзначных кодов с разными цифрами?
Решая №1, мы нашли, что двузначных коды с разными цифрами 90 штук. Приписывая впереди к каждому
такому двузначному коду по одной из 8 цифр, не содержащихся в этом коде, мы, очевидно, получим все
различные трехзначные коды с разными цифрами.
14
Таким образом, всего кодов с тремя
Двузначные коды с
Трехзначные коды с разными цифрами
разными цифрами
разными цифрами будет равно
01
201 301 401 501 601 701 801
901
90·8=10·9·8 штук.
02
102
302
402
502
602
702
802
902
Мы нашли, что N =720; разделив N на
…
…
6, мы получим ответ 120 кодов.
10
210 310 410 510 610 710 810
910
Ответ к №2. 120 трехзначных числовых
12
012 312 412 512 612 712 812
912
кодов, цифры которых идут в
…
…
18
018 218 318 418 518 618 718
918
возрастающем порядке.
19
019
219
319
419
519
619
719
819
№3. Сколько существует 4-значных
…
…
числовых кодов, цифры которых идут в
97
097 197 297 397 497 597 697
897
возрастающем порядке?
98
098 198 298 398 498 598 698
798
Аналогичные рассуждения применяем
для нахождения числа кодов с четырьмя разными цифрами. Число таких кодов равно 720·7=5040. Как и в
предыдущем случае разобьем эти коды на классы, в каждый из которых войдут коды, состоящие из одних и
тех же трех цифр и отличающиеся только порядком расположения цифр. Пусть d, a, b, c – какие-то цифры,
причем d >a > b > c. Будем составлять из них коды. Если фиксировать цифру d на первом месте, то получится
6 вариантов расстановок dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba. Если фиксировать любую из оставшихся цифр на
первом месте, то для каждой получится 6 вариантов расстановок. Тогда из цифр d, a, b, c можно составить
только 4·6=24 различных кода. Из них только у одного кода, cbad цифры идут в возрастающем порядке.
Поэтому 5040:24=210 четырехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке.
№4. Сколько существует восьмизначных кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?
Решение №3. Ответ: столько же, сколько двузначных, то есть 45 кодов.
Докажем это. Выпишем в строку все десять цифр в порядке возрастания: 0123456789. Возьмем двузначный
код, цифры которого идут в возрастающем порядке, и вычеркнем его цифры из этой строки. Мы получим в
результате восьмизначный код, цифры которого идут в возрастающем порядке, например:
07  0123456789 , то есть 12345689; 26  0123456789 , то есть 01345789.
Таким образом, каждому двузначному коду с возрастающим порядком цифр мы сопоставили один
восьмизначный код с возрастающим порядком цифр. Теперь наоборот, возьмем какой-нибудь восьмизначный
код, цифры которого идут в возрастающем порядке, и, составив двузначный код из двух цифр, которые не
вошли в этот восьмизначный код, поставим эти две цифры в порядке возрастания, например: 12346789 05.
Таким образом, каждому восьмизначному коду мы сопоставим один двузначный код. Очевидно, что в
первом и во втором случаях двум разным кодам соответствуют два разных кода.
Мы установили взаимно однозначное соответствие между двузначными и восьмизначными кодами с
возрастающим порядком цифр. Следовательно, и тех, и других одинаковое количество.
Аналогичные рассуждения при к=6 (столько же, сколько четырехзначных кодов), к=7 (столько же, сколько
трехзначных кодов).
№5. Сколько существует 10-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?
Ответ очевиден, только один код.
№6. Сколько существует 11-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?
Ответ: таких кодов нет. В самом деле, у каждого такого кода все 11 цифр должны быть разными, но всего
есть только 10 различных цифр.
Значит, не существует к-значных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке при к>10.
При рассмотрении такого блока у учащихся развивается способность к целесообразному варьированию
способов действий, они учатся перестраивать систему знаний, умений и навыков при изменении условий
действий, переходить от одного способа действия к другому, учатся выходить за границы привычного
способа действий. У учащихся появляется желание обязательно решить эту проблему, изучить разные
подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от
изменяющихся условий. Они стремятся осуществить выбор действий, постоянно ориентируясь на
поставленную этой проблемой цель. Так же у учащихся формируются обобщенные способы действий.
2.1.3. Некоторые особенности введения правил комбинаторики
В 7-9 классах основное внимание отводится решению комбинаторных задач на применение правил
умножения и сложения. Изучение данной темы я начинаю с вопросов: Зачем вводить какие-то правила?
Нельзя ли просто пересчитать?
Необходимость диалога диктуется субъективностью ученика и влиянием диалога на интеллектуальное
развитие. Через диалог в классе, с самим с собой может осуществляться познавательная деятельность
учащихся, только через диалог можно выяснить проблемы учеников.
Любой вопрос учителя должен быть мотивирован. Ученики должны понимать, почему именно сейчас и
именно такой вопрос задает учитель, какая польза будет от участия в ответе на поставленный вопрос. До
этого момента все комбинаторные задачи решались учащимися перебором различных вариантов. Перебор
осуществлялся с помощью предметной деятельности, таблиц, графов, кодирования.
15
Диалог в классе должен переходить в полилог. Ученик как субъект первого уровня является участником
коллективной познавательной деятельности, а это значит, что любая мысль, высказанная одним из учеников,
должна оцениваться, отвергаться или подхватываться другими учениками, поскольку опыт деятельности в
коллективе должен быть приобретен в школьные годы.
Необходимо стремиться к тому, чтобы инициатором диалога были ученики. Это правило вызвано ролью
постановки вопросов при выполнении самостоятельной познавательной и творческой деятельности.
Диалог должен затрагивать связи с прошлым, последующим и будущим. Это связано с тем, что обучение –
это процесс, который имеет «вчера, сегодня, завтра», и с ролью установления связей при формировании
понятийного мышления.
В процессе обучения диалог должен приобретать личностный характер, так как происходит обращение к
личному опыту учащихся. Диалоговая манера «как вы думаете?», «проверьте себя» и т.д. хотя и выглядит
порой несколько искусственно и даже наивно, тем не менее весьма интересна и полезна, поскольку
нацеливает ученика на самостоятельную работу, а учителя – на определенный способ организации учебного
процесса на уроке.
Вопрос можно считать педагогически целесообразным, если ответ на него будит активную, сознательную
мысль ученика.
Простой вопрос (Зачем вводить какие-то правила?) приводит учащихся к коллективной познавательной
деятельности. «Можно просто пересчитать все варианты, так как интересующих нас объектов конечное
число» - говорят некоторые учащиеся. Другие начинают приводить контрпримеры, когда перебор не
возможен.
Простой пример показывает необходимость введения правил. Сколько существует различных двузначных
чисел, составленных из цифр 1, 2 с повторением? С помощью перебора находим искомые числа: 11,12,21,22.
Попробуем решить тем же методом задачу для десятизначных, стозначных чисел. Сколько времени на это
решение потратим? Перебор для к-значных чисел не возможен в принципе. А между тем простые
соображения позволяют быстро дать ответ: 2к.
После введения правил комбинаторики обычно у учащихся возникает вопрос: Складывать или умножать?
Правило умножения мало отличается от арифметических задач типа: «Сколько всего листов в 20 стопках
тетрадей, если в каждой стопке по 40 тетрадей, а в каждой тетради по 18 листов?» Учащийся сразу даст ответ
без упоминаний о комбинаторике 20·40·18=14400. Но ведь листов столько, сколько упорядоченных наборов
а1а2а3 , где а1 пробегает значения от1 до 20 (номер стопки), где а2 пробегает значения от 1 до 40 (номер
тетради в стопке), где а3 пробегает значения от 1 до 18 (номер листа в тетради). Таким образом, решая эту
задачу, мы пользуемся принципом умножения.
Следующий вопрос так же необходимо обсудить с учащимися. Зачем надо заниматься «ненужным»? Иногда
при решении комбинаторных задач используется прием перехода к множеству «ненужных» (т.е. не
обладающих требуемым свойством) объектов.
Рассмотрим пример. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1?
Всего пятизначных чисел 25 , «ненужных» (тех, где на первом месте стоит 0) - М=24, значит из цифр 0, 1
можно составить 25-24=32-16=16 пятизначных чисел.
Изложенный прием перехода к дополнительному множеству очень прост. А вот забывают про него
обучающиеся часто.
2.1.4. Введения понятий размещений, перестановок и сочетаний
Многие исследователи признавали особую роль понятийного мышления в структуре интеллекта,
рассматривая способность к понятийному отражению как высшую стадию интеллектуального развития, а
понятийную мысль - как один из наиболее эффективных познавательных инструментов.
Л.С. Выготский считал, что образование понятий играет ключевую роль в процессе интеллектуального
развития, поскольку «... именно образование понятий является основным ядром, вокруг которого
располагаются все изменения в мышлении подростка». По мере формирования понятийного мышления не
только происходит перестройка связей между отдельными познавательными функциями, но наблюдается
изменение природы каждой отдельной познавательной функции.
В старшей школе при изучении комбинаторики вводятся понятия размещений, перестановок, сочетаний.
Изучение основных комбинаторных схем можно проводить или на языке выборок, или на языке множеств. Я
отдаю предпочтение первому подходу. Во-первых, для учащихся оказывается сложными понятия
упорядоченного множества (для размещения без повторений), кортежа (для размещения с повторениями). Вовторых, язык выборок позволяет опираться на содержание конкретной рассматриваемой задачи. В-третьих, в
математической статистике используются понятия генеральной совокупности и выборки.
Приведу возможный вариант введения понятий размещений, сочетаний, перестановок без повторений с
помощью выборок.
С целью экономии учебного времени и для большей четкости и ясности излагаемого материала подбираю
минимальное количество подготовительных задач. Так как наилучшие результаты получаются в тех случаях,
когда одна и та же подготовительная задача используется несколько раз при изложении новой темы, помогая
16
оттенить различные ее моменты. Рассмотрим 5 квадратов различных цветов (красный, синий, зеленый, белый,
желтый).
Назовем генеральной совокупностью без повторений набор некоторого конечного числа различных
элементов: а1, а2, a3, ...,aп. Наглядному представлению такой генеральной совокупности может послужить
набор из наших 5 квадратов (п=5). Выборкой объема к (к < n) будем называть произвольную группу из к
элементов данной генеральной совокупности.
Наглядному представлению такой выборки может служить пестрая лента, построенная из к квадратов
различной окраски. Рассматриваем пример с построением ленты из 3 квадратов, взятых из 5 квадратов
различных цветов. Каким минимальным признаком могут отличаться узоры двух пестрых лент, построенных
из одинакового количества квадратов? Ответы учащихся: отличаются составом квадратов, порядком
расположения квадратов.
Каким минимальным признаком может отличиться одна выборка объема к от другой выборки такого же
объема? Минимальным признаком, отличающим одну выборку объема к от другой выборки такого же
объема, может быть (установление существенных признаков):
их различие по крайней мере одним элементом
(а)
или их различие порядком расположения элементов.
(б)
Назовем такие выборки размещениями без повторений из п элементов по к.
Строим с учащимися такую наглядную схему рассуждений:
Выборки объема к из генеральной совокупности без повторений объема п
когда одна от другой отличаются по крайней мере одним элементом или
порядком расположения элементов
Размещения без повторений из п элементов по к
Отсюда следует определение понятия:
Размещениями без повторений из п элементов по к называются такие выборки, которые, имея по к
элементов, выбранных из числа данных п элементов генеральной совокупности без повторений, отличаются
одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Обозначение числа размещений Акn (от фр. "arangement" – размещение (приведение в порядок)).
Характерный пример размещений без повторений — вся совокупность трехзначных номеров, в каждом из
которых нет повторения цифр. Учащиеся приводят свои примеры.
Рассматриваем с учащимися задачу. Сколько лент из 3 квадратов можно построить из 5 квадратов
различных цветов? Предыдущий опыт подсказывает учащимся, что надо воспользоваться правилом
произведения. Они быстро находят ответ 5·4·3=60 вариантов.
Определяем число размещений без повторений из п элементов по к. Пусть имеем п различных элементов.
Сколькими способами можно выбрать первый элемент? Ответ: п способами. Второй элемент? Ответ: п—1
способом, т.к. его приходится выбирать из оставшихся п—1 элементов. Сколькими способами можно
образовать пары элементов? Ответ: п(п—1) способами по правилу произведения. Учащиеся продолжают
рассуждения. Третий элемент придется отбирать из числа оставшихся п—2 элементов. Это можно сделать п—
2 способами. Тогда тройки элементов можно образовать п(п—1)(п—2) способами. Аналогично четверки
можно образовать п(п—1)(п—2)(п—3) способами, а размещения из n по к элементов п(п—1)(п—2)...(п—(к—1))
способами. Таким образом, у нас получается формула:
Акn= п(п—1)(п—2)...(п—к+1.)
(1)
Формулу (1) преобразуем, умножая и деля правую часть на произведение
(п—к) (п— к—1) (п—к—2)...3 • 2 • 1.
Получаем: Акn=(п(п-1)(п-2)... 3 • 2 • 1) : ( (п—к) (п—к—1) (п—к—2)...3 • 2 • 1).
Математики ввели специальное название для произведения п(п-1)(п-2)... 3 • 2 • 1.
Такое произведение называется факториалом числа п и обозначается символом п!
Причем принято считать, что 0! = 1.
Формула (1) теперь приобретает удобную для запоминания форму: Акn=n! :(п — к)!
В случае, когда к=п, одно размещение от другого отличается только порядком расположения элементов
(выбор существенного признака (б) в качестве основного). (Рассматривается пример с лентой, построенной из
всех 5 квадратов). Такие размещения называются перестановками без повторений. Рассуждения оформляем в
виде схемы:
Выборки объема к из генеральной совокупности без повторений объема п
когда обладают или признаком (а), или (б)
Размещения без повторений из п элементов по к
когда к = п и обладают признаком (б) и только (б)
Перестановки без повторений из п элементов
По схеме учащиеся выводят определение:
Перестановками без повторений из п элементов называются размещения без повторений из п элементов по
п, т. е. размещения, отличающиеся одно от другого только порядком расположения элементов.
17
Обозначение числа перестановок Рп (от фр. "permutation" - перестановка)
Характерный пример перестановок без повторений — вся совокупность всех десятизначных номеров, в
каждом из которых нет повторения цифр. Учащиеся приводят свои примеры.
Считаем число лент составленных из 5 различных квадратов. Получаем 5!
По определению и формуле (1) имеем: Рп = Апn= п(п-1)(п-2)... 3 • 2 • 1, т. е. Рп = п!
(2)
Среди размещений без повторений из п элементов по к (к<п) можно выделить такие, которые отличаются
одно от другого (а) и только (а) признаком (выбор существенного признака (а) в качестве основного).
Рассматриваем составление наборов из 3 квадратов, взятых из 5 различных квадратов. Такие размещения
называются сочетаниями без повторений. Строим с учащимися схему рассуждений:
Выборки объема к из генеральной совокупности без повторений объема п
когда обладают или признаком (а), или (6)
Размещения без повторений из п элементов по к
когда к<п и обладают признаком (а) и только (а) (неупорядоченные выборки)
Сочетания без повторений из п элементов по к
По схеме учащиеся выводят определение:
Сочетаниями без повторений из п элементов по к называются такие размещения без повторений из п
элементов по к, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.
Обозначение числа сочетаний Скn (от фр. "combinaison" - сочетания)
Решаем с учащимися следующую задачу. Сколькими способами можно составить наборы из 3 квадратов,
взятых из 5 квадратов разного цвета?
Обозначим: красный квадрат— к, зеленый— з, синий— с, т.д. Составим и запишем одну из возможных
выборок: ксб. Если мы будем переставлять элементы в этой выборке, то получим 3!=6 вариантов выборок
кбс, бкс, скб, ксб, скб, сбк. Все выборки из 5 по3 можно разбить на шесть классов, в каждом классе будет
только одна интересующая нас выборка (т.к. порядок расположения элементов в наборе квадратов не
важен). Количество всевозможных выборок (число размещений) 5·4·3=60 делим на 6, получаем 10
способов составления наборов из 3 квадратов, взятых из 5 квадратов разного цвета.
Значит, формула для числа сочетаний легко получается из формулы для числа размещений. Действительно,
если составить сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставить входящие в каждое сочетание
элементы всеми возможными способами. При этом получатся все k-размещения из n элементов, причем
каждое только по одному разу. Но из каждого k-сочетания можно сделать k! перестановок, а число этих
сочетаний
равно
Скn.
Значит,
справедлива
формула
.
Из
этой
формулы
находим,
что
, т.е. Скn·Рк=Акn. Значит,
.
(3)
Характерный пример сочетаний без повторений — всевозможные варианты состава делегации в количестве,
например, трех человек от коллектива, в котором 15 человек.
В результате обсуждения появляется схема (модель системы понятий, имеющая логическую структуру):
Выборки объема к из совокупности п различных элементов
если одна от другой отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения
Размещения без повторений объема к из п данных элементов. Их число Акn=n! : (п — к)!
если одно от другого отличаются только порядком
расположения элементов
Перестановки без повторений объема к. Их число. Рк = к!
если одно от другого отличаются хотя бы
одним элементом
Сочетания без повторений объема k из данных n элементов.
Их число
Скn= n!:((п — к)!к!)
Представленные схемы появляются как продукт анализа, синтеза, обобщения материала. Последняя схема
позволяет разом охватить все множество вводимых понятий и проследить отношения между ними.
Психологами было показано, что отношения между объектами сохраняются в памяти учащихся значительно
дольше. Если объекты расположены в строго продуманной системе, то их восприятие требует минимальных
усилий.
Этот способ позволяет по аналогичной схеме ввести понятия размещений, перестановок, сочетаний с
повторениями. Приведенные здесь определения (через выборки) более удобны при решении задач, в которых
приходится устанавливать, имеем ли мы дело с размещениями, сочетаниями или перестановками.
Исаак Ньютон утверждал, что "при изучении наук примеры полезнее правил". Пример - это яркий образ,
правило же - это сухая схема. Рассмотрим вывод свойств сочетаний посредством решения конкретных задач.
18
Заметим, что выбор к участников олимпиады равносилен выбору п—к учеников, не участвующих в
олимпиаде. Поэтому число способов, которым можно выбрать к человек из п, равно числу способов, которым
можно выбрать п — к человек из п, то есть
.
Предположим, что в классе учится п человек. Зафиксируем какого-нибудь ученика класса (обозначим его
через А). Разобьем все возможные команды по к человек на две группы: те, в которые А входит, и те, в
которые А не входит. Число команд в первой группе равно Ск-1п-1 - надо дополнить команду еще к—1
учениками, выбрав их из п-1 оставшихся. Число команд во второй группе равно Скп-1 - теперь из оставшихся
п-1 учеников надо выбрать полную команду. Поэтому
.
Приведенные задачи позволили без всяких вычислений доказать содержательные факты (свойства
сочетаний). Подобное явление вообще характерно для комбинаторики. Часто несколько минут размышлений
(проникновения в комбинаторный смысл задачи) могут избавить от громоздких вычислений.
2.1.5. Математическое моделирование – необходимый компонент обучения теории вероятностей
Применение теории вероятностей к решению прикладных задач – одно из направлений формирования
мировоззрения учащихся о месте и роли математики в общественной практике людей.
Человечество познает окружающий мир через его моделирование. Задачей школьного образования является
ознакомление учащихся с соотношениями между явлениями реального или проецируемого мира и его
моделями, практическое обучение школьников построению моделей для встречающихся жизненных
ситуаций. В ходе изучения учебного материала необходимо знакомить школьников с процессом построения
модели, учить их анализировать, проверять адекватность построенной модели реальным ситуациям.
Под моделью понимается некоторая реально существующая или мысленно представляемая система,
которая, замещая и отображая в познавательных процессах другую систему — оригинал находится с ней в
отношении сходства (подобия), благодаря чему изучение модели позволяет получить информацию об
оригинале. Моделирование — это построение модели, воспроизводящей особенности структуры, поведения, а
также свойства оригинала, и последующее ее экспериментальное или мысленное исследование. С логической
точки зрения моделирование представляет собой способ расширения знания, перехода от знания одного
объекта к познанию других объектов.
Моделирование как метод познания включает в себя:
1) формализацию (переход от реальной ситуации к построению формальной модели); для построения
модели учащиеся должны уметь выделить основные взаимосвязи между компонентами исследуемой
проблемы, анализировать полноту имеющихся в условии данных;
2) исследование модели (экспериментальное или мысленное); учащиеся на этом этапе должны научиться
выбирать рациональный метод решения;
3) анализ полученных результатов и их перенос на подлинный объект изучения.
По сути дела, мы проходим через три названных выше этапа, решая прикладные задачи. Анализ моделей
дает как бы образцы научной деятельности на уровне учебной деятельности, способствуя культурному и
мировоззренческому пониманию сущности предмета.
Большую роль в успешности работы по математическому моделированию играет выявление элементов
математического моделирования (замена исходных терминов выбранными математическими эквивалентами;
оценка полноты исходной информации и введение при необходимости недостающих числовых данных;
выбор точности числовых значений, соответствующей смыслу задачи; выявление возможности получения
данных для решения задачи на практике).
Рассмотрим пример построения математической модели.
Предположим, мы купили 8 шоколадок, а потом встретили двоих друзей и угостили каждого из них
шоколадкой. Сколько шоколадок у нас еще осталось? Математический смысл задачи таков: «Чему равна
разность 8-2?». Выполняем действие вычитание, получаем ответ. Таким образом, решая задачу про
шоколадки, мы не стараемся вообразить сумку и представить себе, сколько там осталось шоколадок, а ищем
математическое содержание задачи, подбираем для нее математическую модель и ее уже изучаем.
Можно условно выделить следующие дидактические функции математического моделирования:
1. Познавательная функция. Методической целью этой функции является формирование познавательного
образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.
Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному
восприятию объекта. Заметим, что реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного
познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным
способом осмысления изучаемого материала.
2. Функция управления деятельностью учащихся. Математическое моделирование предметно и потому
облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием
может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также
внесение в него дополнительных элементов,
19
Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися
чертежа с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при
тех или иных преобразованиях.
Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью
учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия,
учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели
суть изучаемого явления или факта.
3. Интерпретационная функция. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных
моделей. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других —
геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей
объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных
сторон.
Использование различных функций математической модели способствует наиболее плодотворному
мышлению учащихся, т. к. его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее
помощью информацию об объекте и обратно.
Все математические науки, в том числе и теория вероятностей, имеют дело лишь с математическими
моделями, но не с реальной жизнью. Для решения жизненной задачи мы выбираем методы той
математической дисциплины, которые к ней более подходят, чьи модели наиболее близки к существу задачи
или просто удобнее. Сложной задаче из жизни может соответствовать сразу несколько разных по сложности
моделей, в зависимости от того, как мы задачу понимаем и с какой точностью хотим решить.
Рассмотрим пример. На карте изображена дорога между двумя городами, и мы хотим найти длину этого
пути. Мы можем приставить линейку к началу и концу дороги и полученный результат принять за ответ (в
этом случае в качестве модели дороги используется прямая линия). Более точно вычислить расстояние
можно, разбив путь на достаточно мелкие участки и заменив каждый участок такой линией, длину которой
мы умеем вычислять (частью окружности или прямой).
Чтобы учащиеся лучше подружились с математикой и умело использовали ее, в учебниках многие
математические задачи формулируются в виде некоторой реальной ситуации, т.е. суть изучаемых
математических понятий передается и поясняется с помощью привычных вещей. Под решением задачи
понимается правильное построение и изучение ее модели.
В жизни мы сталкиваемся как с ситуациями, исход которых не вызывает сомнений. Например, мы не
сомневаемся, что при отрицательной температуре вода превратится в лед. А так же встречаемся с
ситуациями, когда невозможно предсказать, что получится. Например, какой стороной упадет бутерброд,
выроненный из рук. Ситуации с непредсказуемыми (случайными) исходами широко распространены, и часто
очень важно иметь как можно лучшее представление о них. Конечно, фактор случайности всегда останется
неизбежным, но если всмотреться в суть нужных явлений, то во многих из них обнаружатся определенные
закономерности, изучением которых можно заняться всерьез.
Теория вероятностей - это область математики, в которой изучаются закономерности в случайных явлениях.
Для формулировки задач в ней часто используются бросания монеты или игрального кубика, извлечение карт
из колоды и т.п. Предметом теории вероятностей являются модели экспериментов со случайными исходами.
При этом изучаются только такие эксперименты, которые можно в одних и тех же условиях повторять сколь
угодно раз. В примерах таких экспериментов описания весьма точно соответствуют нужным моделям, и
зачастую ответ, полученный математически можно проверить, проведя эксперименты (или опыты как их еще
называют).
Итак, чтобы решить задачу математически нужно правильно построить ее модель. Модель эксперимента со
случайными исходами включает в себя перечисление всех возможных исходов. Мы должны перечислить все
исключающие друг друга исходы такие, что результатом каждого эксперимента обязательно является один из
них (элементарные исходы или элементарные события). Так, при построении математической модели
эксперимента по бросанию игральной кости естественно учесть шесть исходов, при моделировании
извлечения наудачу карты из хорошо перемешанной колоды в качестве элементарных можно рассматривать
исходы, изображающие появление всех возможных карт (т.е. 32, 36 или 54 исхода в зависимости от набора
колоды). Из элементарных событий можно составить уже все нужные нам случаи (события). Каждое из
случайных событий есть «набор» некоторого числа элементарных событий. Например, «выпадет четное число
очков» означает то же самое, что появится грань с одним из номеров {2,4,6}»; событие «выпадет число очков
меньшее трех» равносильно тому, что «появится грань с одним из номеров {1,2}». Чем больше имеется
элементарных исходов, тем больше событий можно рассмотреть. Наконец завершить создание вероятностной
модели можно, определив способ задания вероятности для всех событий в ходе эксперимента, которые
представляют для нас интерес. Обычно это наиболее трудная часть.
2.1.6. Природа понятия вероятности и методика его введения
В наши дни человек постоянно сталкивается с вероятностной терминологией в политических и научных
текстах, широко использует ее в повседневной речи. Она звучит в завтрашнем прогнозе погоды, когда речь
20
заходит о вероятности дождя, в выступлении политика, когда он оценивает шансы или анализирует данные, в
разговоре экономиста, организатора производства, ученого.
Одним из важнейших компонентов вероятностно-статистического стиля мышления является понимание
устойчивости в мире случайностей, упорядоченности случайных фактов. Нельзя допустить, чтобы стихийно
воспринимаемые в жизни отдельные стороны случайных явлений учащиеся воспринимали вне всяких
взаимосвязей. Самый простой и доступный путь состоит в формировании представлений о вероятности как о
«теоретически ожидаемом» значении частоты при увеличении числа наблюдений. При этом понимание
взаимоотношения между вероятностью и ее эмпирическим прообразом — частотой приводит к осознанию
статистической устойчивости частоты. В то же время важную роль играет и понимание того, что
количественная оценка возможности наступления некоторого события может быть осуществлена до
проведения эксперимента, исходя из некоторых теоретических соображений. Таким образом мы приходим к
вычислению вероятностей в классической схеме.
Рассмотрим введение понятия вероятности поэтапно.
I этап (5 - 6 классы) обучения охватывает два года жизни учащихся и является ключевым для их
общеобразовательной подготовки. Выделение 5 - 6 классов в отдельную ступень продиктовано следующими
основными причинами. Во-первых, возраст учащихся 11 - 12 лет - является важным моментом в
интеллектуальном развитии личности, в становлении вероятностной интуиции и мышления. На этом этапе
вероятностно-статистическое образование имеет ряд специфических черт и особенностей: появляется
необходимость и возможность изучать данный материал не распределенно, а в качестве отдельной темы курса
математики, значительно возрастает роль межпредметных связей с другими школьными предметами, другими
темами курса. При этом на первый план выходят существенные различия между статистическими
закономерностями, начинают формироваться представления об особенности прогнозов, о характерных
особенностях случайных явлений и процессов. Во-вторых, на данном этапе в школе изучается единый курс
математики, отличающийся от курса алгебры 7 - 9 класса.
В 5-6 классах сначала в игровой ситуации целесообразно начинать учить детей различать такие понятия, как
«возможно да» или «обязательно да» (наверняка), «необязательно да» или «обязательно нет». Таким образом,
начинается формирование понятия случайного события. Следует подвести детей к пониманию таких понятий,
как «вероятнее», «менее вероятно», «равновозможно». Другими словами, можно научить детей качественно
оценивать шансы наступления случайного события. Пока учащиеся еще не владеют свободно дробями,
целесообразно сравнивать шансы наступления разных событий, пользуясь интуицией, предыдущим опытом.
Здесь можно постепенно вырабатывать понимание того, что вероятность события можно измерять так же, как
длину, массу, время и другие величины. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идет о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы
классической вероятности школьники смогут после экспериментирования с шарами, монетами, игральными
костями и т.п. Спустя некоторое время учащиеся смогут решать подобные задачи, не прибегая к
эксперименту. Все вводимые понятия базируются на интуиции, опыте, индуктивных и дедуктивных навыках
мышления, которыми владеют учащиеся 5-6 классов. Учащиеся добывают знания через исследование
поставленных проблем.
Понятие вероятности вводится на данном этапе на эмпирическом уровне через целенаправленное
накопление эмпирического материала, описание эмпирического материала на языке математики.
Одним из вопросов, из которого родилась теория вероятностей, был вопрос о том, как часто наступает то
или иное случайное событие в длинной серии опытов, происходящих в одинаковых условиях.
Рассмотрим опыт с бросанием монеты на парту. Он имеет два элементарных исхода: «выпал герб», «выпала
цифра». Обсуждаем совместно с учащимися вопрос: могут ли произойти другие события в нашем опыте,
отличные от событий «выпал герб», «выпала цифра»? Учащиеся говорят о том, что монета может встать на
ребро, попасть в какую-нибудь щель, укатиться далеко-далеко. Поскольку в условиях нашего опыта такого
случиться не может, договариваемся в качестве исходов рассматривать: «выпал герб», «выпала цифра». Исход
бросания монеты случаен, и заранее сказать с уверенностью, выпадет герб или цифра, невозможно. Этот опыт
можно проводить в одних и тех же условиях сколь угодно много раз. Проводим с учащимися серию из 50
опытов
по
Исходы
Подсчет
Сколько раз в серии
Какая доля опытов завершилась
подбрасыванию
повторений
наблюдалось данное событие наступлением данного события
монеты. Исходы
Выпал герб
|||||||||||||||||||||||||||
27
27/50=0,54
Выпала цифра
|||||||||||||||||||||||
23
23/50=0,46
опытов заносим
в следующую таблицу.
Вводим понятия абсолютной и относительной частоты
0,54
события. Повторим эксперимент n раз. Пусть m — число
0,52
0,5
тех опытов, в которых наступило событие А. Число m –
относитель
0,48
0,46
абсолютная частота. Отношение
m/n называется
ная частота
0,44
относительной частотой события А в данной серии
0,42
герб
решка
опытов. В последнем столбце таблицы производилась
регистрация относительных частот. Из таблицы можно
исходы
21
90
0
10
00
80
0
70
0
60
0
50
0
40
0
30
0
20
0
10
0
увидеть свойства частот: сумма абсолютных частот равна числу опытов, относительная частота события –
величина неотрицательная, сумма относительных частот равна 1.
Удобным наглядным способом представления относительных частот служат гистограммы.
Однако, несмотря на случайность исхода этого опыта, при многократном его повторении можно
наблюдать интересную закономерность. Продолжаем серии опытов с монетой. Практика показывает, что детям
очень важно ощутить свою личную значимость в процессе поиска истин, решения проблем. Они с
удовольствием выполняют исследовательские и творческие задачи.
Следует учить учащихся правильно проводить опыты, формировать понимание того, что для получения
обоснованных выводов количество опытов может быть довольно большим. Поскольку проведение большого
количества опытов требует определенных усилий и затрат значительного времени, можно поручать каждому
ученику провести небольшое количество опытов
Номер серии
(при этом заранее договариваемся проводить опыт
Количество опытов
единым образом), а потом объединить результаты
Число выпадений герба
опытов,
проведенных
всеми
учащимися.
Частота исхода «выпал герб»
Число выпадений цифры
Проведение даже незначительного количества опыЧастота исхода «выпала цифра»
тов может надоесть ученикам, и они могут перейти
к фальсификации их результатов. Чтобы предупредить такое явление, можно перейти постепенно к
моделированию экспериментов с помощью таблицы случайных чисел, моделирование с помощью
компьютера (старшеклассники создают нужную модель на компьютере, а затем она используется на уроках).
(Приложение 4)
Данные серии опытов регистрируются в следующей таблице. Таблица показывает, что относительная
частота появления герба от серии к серии случайным образом колеблется около одного и того же числа.
Далее переходим к сериям с возрастающим числом испытаний. Для этого используем предыдущую
таблицу, и будем рассматривать новые серии испытаний, которые получаются при объединении двух серий,
трех, четырех и т.д. По данным новой таблицы
составляется график зависимости какой-нибудь из
относительн 1
относительных частот от числа экспериментов.
ая частота
0,5
Значит, относительная частота события обладает
выпадения
герба
свойством устойчивости: с ростом числа опытов
0
она имеет тенденцию стабилизироваться вблизи
числа.
Устойчивость относительной частоты массовых
количество опытов
случайных событий является объективным
свойством реального мира, который убедительно
подтверждается практикой. Первые представления о статистической устойчивости возникли из наблюдений
над демографическими явлениями.
Относительная частота повторения случайного события служит прообразом понятия вероятности. Эта
взаимосвязь лежит в основе статистического определения вероятности, которое целесообразно дать учащимся
на данном этапе обучения на описательном языке. Вероятностью массового случайного события А называют
такое число P, что частота события A почти для каждой большой группы испытаний лишь незначительно
отклоняется от P.
Достоинства этого определения: понятие вероятности имеет корни в реальной действительности; является
простым, естественным и доступным, хотя в ущерб формальной строгости. Недостатками данного
определения является его "расплывчатость", которая выражается словами "почти", "большая группа",
"незначительно отклоняется". Поэтому определение нельзя признать математическим.
II этап. В 7-9 классах происходит постепенное усиление уровня строгости в изложении материала. Сначала
можно рассмотреть классическую схему, то есть опыты с конечным числом равновозможных исходов.
Равновозможные элементарные события - такие события, любое из которых по отношению к другим событиям не
обладает никаким преимуществом появляться чаще другого при многократных испытаниях, проводимых в одинаковых
условиях.. Выпадения герба и цифры на симметричной монете представляются равновозможными, грани
правильной игральной кости одна по отношению к другой также не имеют преимуществ.
Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий,
благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий определяемых
данным испытанием. Это — классическое определение вероятности случайного события. Полезно формуле
Р(А)= т/п (m - число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию A, п - число всех
равновозможных элементарных событий определяемых данным испытанием) придать
наглядную иллюстрацию.
Это определение представляет собой более высокую ступень
математической формализации случайного явления, чем статистическое
определение. Оно свободно от расплывчатых выражений, применяемых
в статистическом определении. Однако оно носит ограниченный
22
характер, связанный с концепцией равновозможности. Классическая вероятностная модель пригодна для
опытов с конечным числом равновозможных исходов. Для вычисления вероятности события в классической
модели применяются комбинаторные схемы.
Определим вероятность того, что выпадет нечетное число очков при бросании правильной игральной кости.
Количество равновзможных элементарных исходов в условиях данного эксперимента - 6 (на кости могут
выпасть следующие количества очков: 1,2,3,4,5,6), из них три исхода благоприятствуют нашему событию.
Можно представить множество элементарных исходов в виде прямоугольника, разделенного на равные
квадраты, каждый из которых представляет некоторое элементарное событие. Выделим искомое случайное
событие (подмножество, состоящее из 3 таких квадратов).
ω
ω
ω
ω
ω
ω
1
2
3
4
5
6
Значит, вероятность события равна 3/6=1/2.
Рисуем дерево возможных исходов, рядом с каждым его ребром записываем вероятность элементарного
события. Дерево становится вероятностным. Находим искомую вероятность 1/6+1/6+1/6=3/6.
В некоторых случаях умение интерпретировать наблюдаемое событие с помощью графов является самым
простым подходом к вычислению вероятности этого события. Наглядность при решении вероятностных задач
способствует повышению интереса учащихся к поиску закономерностей в случайных явлениях.
Классическое определение можно рассматривать как "мостик" от эмпирических основ теории вероятностей
к современной теории, которая строится на базе теоретико-множественных представлений. Действительно, с
одной стороны, оно допускает наглядную частотную интерпретацию. В результате проведения с учащимися
лабораторных работ (например, кладем в коробку разноцветные кружки одинакового радиуса, вырезанные из
одинаковой по структуре бумаги, тщательно перемешиваем их, не глядя, извлекаем один или несколько
кружков) появляется возможность сравнения частоты наступления событий и его вероятности, вычисленной
на основе классического определения. Подобные занятия имеют большое воспитательное значение,
показывая, что в задаче, где господствует случай, имеются свои закономерности.
С другой стороны, классическое определение вероятности может служить преддверием более общего
аксиоматического определения. Равновозможные случаи, которые используются в выше названном
определении, по существу представляют собой элементарные события из конечного пространства
элементарных событий, в котором специальным образом задана вероятность.
При классическом подходе определение понятия вероятности сводится к более простому понятию —
равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении
человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность. Но не
каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть речи о равновозможных
исходах испытания, состоящего в подбрасывании игральной кости, центр тяжести которой сознательно
смещен с геометрического центра.
Каким путем следует подойти к понятию, например, вероятности выпадения шестерки при бросании
такой кости? Пусть т1/п, т2/(п+1),…, тN/N — относительные
частоты
наступления события А в
некоторой серии испытаний, каждое из которых проводится в одинаковых условиях (например,
подбрасывается одна и та же игральная кость с одинаковой высоты).
Вероятностью события А называется то неизвестное число Р, около которого сосредоточиваются значения
относительных частот наступления события А при возрастании числа испытаний.
Это — статистическое определение вероятности случайного события.
Вероятность события можно приближенно определить принципиально со сколько угодной высокой
точностью, осуществив достаточно большое число испытаний и подсчитав частоту наступления события в
этой совокупности испытаний.
Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события
«попадание» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу:
Р («попадание»)=1/2.
Но они могут быть неравновозможны. Скажем, первый мальчик постоянно посещает тренировки по
стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а второй на стрельбище бывает
редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз. Ясно, что у первого возможность попадания
больше, чем у второго. Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как определяется число
появлений
Произведено выстрелов
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
герба
при
Число попаданий первого мальчика
8
17
25
34
41
48
56
65
73
82
подбрасыван
Число попаданий второго мальчика
4
5
8
13
15
19
22
25
28
32
ии монеты.
Из таблицы видно, что как у первого мальчика, так и у второго отношение числа
попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти отношения в какой-то мере
зависят от числа произведенных выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое
23
отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у первого - около 4/5, у второго около 3/10. Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания. Эта оценка тем более надежна, чем
больше проведено опытов с целью установления ее значения.
Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от
вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство элементарных событий и
подпространство, представляющее событие А, были бы одинакового вида и одинаковых измерений.
С этой целью можно рассмотреть такой пример. С какой вероятностью стрелка вертушки, изображенной на
рисунке (круг разделен на 8 равных частей), остановится на черном секторе? Для ответа на этот вопрос можно:
вычислить площадь черных секторов и разделить ее на площадь всего круга, или найти суммарную длину дуг,
ограничивающих черные секторы, и поделить ее на длину всей окружности.
Способ 2 лучше отражает суть нашего эксперимента, ведь фактически мы выбираем точку на окружности, в
которой остановится острие стрелки. Отсюда искомая вероятность будет Р=(2·π/4·R)/(2πR)=1/4.
Заметим, что тот же результат можно было получить и без привлечения геометрической вероятности, ведь вертушка
поделена на 8 равных ( значит равновозможных) секторов, из которых 2 выкрашены в черный цвет. Отсюда Р=2/8=1/4.
Теперь рассмотрим пример, в котором геометрическое определение вероятности дает единственно
возможный способ решения.
В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до
ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?
Изобразим квадрат со стороной 4 см и закрасим в нем множество точек, удаленных от ближайшей стороны
квадрата меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата составляет 16 см2 — 4 см2 = 12 см2.
Отсюда искомая вероятность будет равна Р=12/16=3/4.
Геометрический подход к определению вероятности может применяться и тогда, когда задача не имеет
геометрической природы. Рассмотрим такой пример.
Поезда метро ходят с интервалом ровно 3 минуты. Какова вероятность того, что
пассажир, пришедший на станцию в случайный момент времени, будет ждать поезда
больше, чем 1 минуту?
Пассажиры, конечно же, не знают расписания поездов, и подходят на платформу в
моменты времени, никак не связанные с движением поездов. Изобразим моменты прихода
поездов на станцию точками на числовой оси Т1, Т2, ..., Тк, .... Эти точки отстоят одна от
другой на 3 минуты. Момент прихода пассажира на станцию изобразим точкой Р на этой
же оси. Легко заметить, что если расстояние от точки Р до первой, следующей за ней точкой Тк больше 1, то
и ждать придется больше, чем 1 минуту (в остальных случаях ожидание не
затянется больше, чем на минуту).
Пассажир Р1 уедет на своем поезде меньше, чем через минуту, а Р2 придется
ждать больше 1 минуты. Поскольку момент появления пассажира на станции не
связан с расписанием поездов, можно считать, что все моменты времени в
промежутке между двумя поездами для него равноправны, то есть имеем право
применять геометрические вероятности. Так как все отрезки [Тк-1; Тк] имеют одинаковую длину, а точка Р
обязательно попадет на один из них, достаточно рассмотреть именно этот отрезок. С интересующим нас
событием (ожидание больше 1 минуты) связан отрезок длины 2, а весь отрезок [Тк-1; Тк] имеет длину 3,
следовательно, вероятность интересующего нас события равна отношению 2/3.
Учащиеся отлично знают, что плоская фигура имеет площадь. Они знают, что площадь, например,
прямоугольника можно измерить физически, накладывая на него квадратик, принятый за единицу площади.
Эту же площадь можно вычислить, предварительно определив длины сторон прямоугольника и затем
перемножив их. Но при этом никому не приходит в голову говорить о разных площадях — измеренной и
вычисленной. Есть одно понятие «площадь» и есть разные способы его определения. При этом слово
«определение» следует понимать как нахождение величины, а не как раскрытие сущности понятия.
Аналогично можно подходить и к введению понятия вероятности. Разные случайные события происходят с
разной относительной частотой: одни чаще, другие реже. Те события, которые происходят чаще, имеют
большую возможность появления, а те, которые реже — меньшую. Иначе говоря, подобно тому, как каждая
плоская фигура имеет свою меру пространственной протяженности — площадь, так и каждое случайное
событие имеет свою меру возможности появления — вероятность. Как и площадь, эта мера может быть
выражена числом. Находить это число, т.е. значение вероятности, можно в разных случаях по-разному.
Можно проводить реальный эксперимент и считать число появлений события - это будет статистический
подход к определению (нахождению значения) вероятности. В частном случае, когда количество
элементарных исходов конечно и все эти исходы равновозможны, можно поступить иначе: подсчитать общее
число возможных исходов и число исходов, благоприятных для рассматриваемого события, а затем разделить
второе число на первое — это будет классический подход к определению вероятности. Итак, понятие
вероятности одно, а способы нахождения значения вероятности разные.
24
Используются четыре подхода к формированию понятия вероятности: статистический, классический,
геометрический и аксиоматический. При том или ином подходе к понятию вероятности вырисовывается
единое ядро: вероятность — это специальная мера.
III этап (10 - 11 классы). Основным средством дифференциации обучения на старшей ступени является
создание профильных классов и школ, которые могут иметь самые разнообразные цели математического
образования. Однако, можно выделить некий "минимальный" уровень, то есть уровень обязательной
подготовки, который бы обеспечил каждому выпускнику школы необходимый для полноценного
функционирования в современном обществе уровень знаний.
Общий для всех профилей уровень обязательной подготовки предполагает, что учащийся овладевает теми
умениями и навыками, которые необходимы ему как специалисту, профессиональные интересы которого не
связаны с математикой, как современному человеку для ориентации в повседневной жизни. Возможный
уровень подготовки не является максимальным для всех профилей, он ориентирован на формирование
общекультурных представлений и развитие навыков прикладного характера, позволяющих использовать
вероятностно-статистические идеи и методы для решения задач, связанных с различными отраслями знаний,
организацией производства и повседневными нуждами людей. Этот уровень характеризует возможную
вероятностно-статистическую подготовку выпускника большинства профилей, однако в отдельных профилях
(математическом, физическом и т.д.) может быть дополнен рядом требований, связанных с более высоким
уровнем конкретных знаний.
В общеобразовательной школе, в гуманитарных классах, в классах технического, естественнонаучного,
экономического профилей целесообразно строить изложение материала на статистическом определении
вероятности. Этот подход экономней по времени, более доступный для учащихся в сравнении с другими
благодаря тому, что в значительной мере опирается на их личный опыт, интуицию, здравый смысл. Что
касается классов математического профиля, то там наиболее
приемлемым является аксиоматический
подход. Он отличается большей, по сравнению с другими подходами, строгостью, позволяет строить
вероятностные модели случайных экспериментов
Завершающим этапом введения понятия вероятности является аксиоматическое определение вероятности и
обсуждение соотношения между теорией вероятностей и реальной действительностью.
Все частные определения вероятности события имеют как достоинства, так и недостатки.
Недостатки классического определения вероятности: с экспериментом связана конечная система
элементарных исходов, которые должны быть равновозможными. Достоинства: позволяет точно определить
вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к опыту. Недостатки статистического
определения вероятности: проведение экспериментов, сбор и обработка статистических данных; при малом
количестве опытов полученная частота дает искаженное, иногда и просто ошибочное представление о
вероятности; какой бы длинной ни была серия экспериментов, частота все равно будет колебаться, нет
уверенности, что в дальнейшем частота не выскочит за пределы найденного интервала. Недостатки
геометрического определения вероятности: пространство
содержит настолько большое количество
исходов, что их нельзя даже перенумеровать; вероятность каждого отдельного исхода приходится считать
равной нулю, а вероятность случайного события вычислять как отношение длин (площадей, объемов).
Достоинства: позволяет точно определить вероятность в рамках математической модели, не обращаясь к
опыту.
Общепринятое в настоящее время аксиоматическое определение вероятности было предложено А.Н.
Колмогоровым в 1983 году. Для школьников применяется аксиоматическое определение вероятности,
основанное на рассмотрении конечного пространства элементарных событий.
Пусть
- конечное множество всех возможных результатов испытания. Каждому элементарному исходу
испытания
ставится в соответствие неотрицательное число рi=р( i), называемое вероятностью
i
элементарного исхода, причем сумма этих чисел равна 1. (Вероятностное пространство: ( 1, 2,…, п,
р1,…,рп).)
Вероятностью P(A) любого события A называется сумма вероятностей элементарных событий, входящих в
событие A.
P(A)=0, если А - невозможное событие, P(A)=1, если А- достоверное событие, P(A)= р( 1)+…+р ( К), если
А={ 1, 2,…, к}.
Ценность аксиоматического подхода к понятию вероятности определяется возможностью
продемонстрировать процесс применения вероятностных знаний для решения внематематических проблем.
Решение внематематической задачи начинается с перевода проблемы на язык математики и с построения
вероятностной модели.
2.1.7. Роль визуализации в процессе изучения теории вероятностей
Из истории математики известно, что новая научная идея, понятие почти никогда не рождаются в
готовом, четко сформулированном виде. Обычно они появляются у ученого в форме некоторых неясных
мысленных образов. И только после того, как мысленная картина оформляется ярко и четко, идея
25
выплескивается на бумагу, одевается словами, символами, формулами. Широко известно, например,
высказывание Эйнштейна о том, что слова, по-видимому, не играют никакой роли в процессе его
мышления. Оно опирается на чередование некоторых более или менее ясных образов, чаще зрительных, но
иногда и слуховых, двигательных. Слова и знаки оказываются необходимы только на завершающем этапе,
когда требуется отразить результаты мыслительной работы в общепонятной форме, и часто именно этот
этап оказывается наиболее мучительным и сложным.
Для детей обучение математике в чем-то сродни настоящему научному творчеству. И если при этом ученик
лишен возможности пройти через этап мышления образами, он сталкивается со значительными трудностями
в усвоении математических знаний. Действительно, в процессе обучения математике у учащихся должны
сформироваться субъективно новые понятия. И точно так же, как и профессиональные математики, дети
сначала пытаются мысленно увидеть требуемую ситуацию и только затем используют абстрактно-логический
аппарат. Попробуйте задать ребенку вопрос: «Может ли в треугольнике быть два прямых угла?» — и сначала
последует ответ: «Нет, стороны не сойдутся», подкрепляемый соответствующим «рисунком» в воздухе. По
требованию учителя ученик приведет формально-логическое обоснование своего ответа, однако началось
решение поставленной задачи все же с помощью наглядных образов.
Движение от наглядного образа понятия к его формальному определению, опора на образную стратегию
мышления при решении задач - «подлинно детский путь в математику».
Таким образом, появляется возможность сделать процесс обучения математике более «естественным» для
ребенка, более комфортным с точки зрения его соответствия особенностям мышления ученика. Для этого
необходимо как можно шире использовать возможности визуального мышления учащихся (мышления
зрительными образами). В частности, при формировании математических понятий важное значениё
приобретает визуализация математического знания (создание многоаспектных, динамичных зрительных
образов, соответствующих изучаемому понятию).
Строго говоря, при любом стиле и методах обучения некоторая часть учащихся, независимо от желания
учителя, будет опираться на визуальное мышление. То есть у этих детей будут оформляться некоторые
мысленные зрительные образы, в той или иной степени соответствующие изучаемому понятию, а затем эти
индивидуализированные образы будут использоваться, например, в ходе решения задачи. Если такое
формирование и оперирование созданными образами будет проходить у учащихся стихийно, без помощи и
контроля со стороны учителя (или учебного текста), если особенности их визуального мышления будут
игнорироваться, то это может привести к целому ряду типичных ошибок и затруднений при усвоении
математических понятий.
1. Формализм в усвоении понятий. Нередко случается, что ученик при использовании математического
понятия не учитывает некоторые его существенные признаки. Апеллирование к формально-логическому
определению не приносит результата: учащиеся раз за разом абсолютно верно его воспроизводит, но все же
не видит своей ошибки. Это означает, что у него не был создан целостный образ изучаемого понятия, в
котором были бы одномоментно «схвачены» все необходимые признаки.
В этом плане зрительный образ (естественно, правильно сформированный, адекватный понятию) даже
предпочтительнее словесного определения. Исследования показывают, что можно сколь угодно долго
оперировать словами и знаками, не видя за ними содержания и не понимая их смысла, а вот долго удерживать
в представлении образ, к содержанию которого субъект безразличен, невозможно.
2. Сужение объема понятия. В образе могут закрепляться несущественные, ситуативные свойства объекта и
игнорироваться существенные, инвариантные признаки.
3.Затруднения при необходимости выделять понятия из контекста. Неумение анализировать структуру
образа приводит к неспособности вычленять из него элементы, необходимые для дальнейшей работы.
4. Затруднения при необходимости выйти за границы очерченного контура.
5. Многие основополагающие математические идеи усваиваются учащимися с большим трудом, так как эти
идеи не подкрепляются соответствующими зрительными образами.
6. Известен феномен «отторжения» понятия в случае невозможности его визуализации.
В процессе обучения теории вероятностей учащиеся могут столкнуться с аналогичными проблемами.
Поэтому слова «я не понимаю, потому что не могу это себе представить, потому что не вижу», не стоит
воспринимать как простой каприз или отговорку. Возможно, это отголосок серьезного психологического
затруднения, и нужно помочь учащемуся преодолеть его, поискать вместе с учеником зрительный образ для
понятия, которое породило такой барьер.
Методическая ценность такого подхода к изложению ряда тем теории вероятностей: делает теорию более
доступной для учащихся, облегчает доказательство многих законов, решение многих задач.
Пусть множество элементарных исходов некоторого эксперимента представлено прямоугольником Ω.
Случайным событием будем называть любое подмножество из множества всех элементарных исходов. Тогда
каждое случайное событие А может быть изображено некоторой фигурой, границы которой не выходят за
рамки прямоугольника (диаграмма Эйлера-Венна). На рис. 1 эта фигура заштрихована. В таком случае
область прямоугольника Ω, оставшаяся не заштрихованной на рис.1 (дополнение множества А до Ω)
изображает противоположное событие А.
26
Аналогичным образом можно дать наглядные пояснения ряду
простейших понятий теории вероятностей.
Совместимость событий А и В изображается двумя фигурами,
имеющими непустое пересечение (рис.2). Несовместимость
событий иллюстрируется непересекающимися фигурами (рис.3).
Теперь появляется возможность с помощью кругов истолковать операции над случайными событиями.
На рис.4 и 5 штриховкой выделено случайное событие, которое является объединением (суммой)
случайных событий А и В, причем на рис. 4 эти случайные события совместимые, а на рис. 5 —
несовместимые. В случае совместимости А и В сумма А+В означает: произошло событие А, или В, или оба
вместе. В случае несовместимости АUВ трактуется так: произошло либо А, либо В. На рис. 6 выделено
пересечение (произведение) совместимых событий А и В.
Его нужно понимать так: произошли события А и В вместе.
Очень удобным средством для построения модели со
случайными исходами является вероятностный граф.
Каждое ребро или ветвь графа - это результат испытания.
Рядом с каждым ребром графа записываем вероятность
события, соответствующего конечной вершине этого ребра, при условии выполнения события,
соответствующего начальной вершине ребра.
Теорема сложения. Для любых двух событий справедливо равенство:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А•В).
Условной вероятностью Р(А/В) события А при условии, что событие В произошло (Р(В)≠ 0), назовем
отношение Р(А•В)/ Р(В).
Это определение эквивалентно теореме умножения, согласно которой
Р(А•В) = Р(А) • Р(В/А) =Р(В) • Р(А/В).
Следствия теорем сложения и умножения:
1.
Р(А•В+С•D)=P(A)• Р(В/А)+ Р(В) • Р(А/В), где А•В и С•D – несовместимые события.
2.
Р(A1•A2•…•An-1•An)= Р(A1)• Р(A2 /A1)•…• Р (An /A1•A2•…•An-1•An).
В работе с учащимися используем следующую интерпретацию следствий из теорем сложения и умножения
на вероятностных деревьях:
для первого свойства.
для второго свойства.
Произведение Р(A1)•Р(A2/A1)•…•Р(An/A1•A2•…•An-1•An) называется весом ветви, проходящей через корень
дерева и вершины, соответствующие событиям A1, A2, ..., An.
Так вероятность конечного результата, соответствующего одной ветви дерева, является произведением
вероятностей, присвоенных очередным ребрам этой ветви. В этом заключена формула умножения, которая
позволяет определить распределение вероятности на пространстве результатов многоэтапного испытания.
Формула сложения заключается в сложении вероятностей отдельных результатов испытаний, которые
представлены на вероятностном дереве в виде конечных ветвей. Сумма вероятностей всех исходов равна
единице. Вероятностное дерево показывает, как эта единица распределяется между отдельными результатами
испытания.
Выше изложенное проиллюстрируем на примерах.
1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а
потом наугад собрал из них слово. Какова вероятность того, что он опять
составил слово «книга»?
Р=1/5·1/4·1/2·1=1/120.
2. Из мешка с двумя белыми и тремя черными шарами, не глядя,
выбирают два раза шар (без возвращения). Построим вероятностную модель этого опыта.
Изобразим вероятностное дерево двукратного случайного выбора шара из мешка без возвращения. Буквой b
обозначен исход - случайно выбранный шар белый, буквой а - выбранный шар
черный. Имеем: p(b)=3/5, p(a)=2/5.
Конечному результату соответствует произведение вероятностей, присвоенных
очередным ребрам этой ветви. P(aa)=6/20, P(bb)=2/20, P(ab)=6/20, P(ba)=6/20.
27
Найдем вероятности извлечения шаров одного цвета и разного цвета. Рассмотрим события: событие А извлечение шаров одного цвета; событие В - извлечение шаров разного цвета.
Для событий А и В, связанного с данным испытанием, построим множество благоприятствующих ему
результатов испытания А={bb,aa}; B={ab,ba}.
P(A)=6/20+2/20=2/5, P(B)=6/20+6/20=3/5.
Математическое решение проблемы выбора шаров означает, что
выбор шаров разного цвета будет наблюдаться чаще, чем одного
цвета.
3. Имеются 3 одинаковых непрозрачных клетки. В первой клетке
находятся 2 белых и 1 коричневая мыши, во второй – 3 белых и 1
коричневая мыши, в третьей – 2 белых и 2 коричневых мыши.
Лаборант выбирает наугад одну из клеток и извлекает из нее наудачу
мышь. Какова вероятность, что извлеченная мышь – белая?
При традиционном подходе эта задача на формулу полной вероятности. Пусть событие А - извлеченная
мышь - белая, Н1- выбрана клетка 1, Н2- выбрана клетка 2, Н3 - выбрана клетка 3. Тогда
Р(Н1)= Р(Н2)=
Р(Н3)=1/3, Р(А/ Н1)=2/3, Р(А/ Н2)=3/4, Р(А/ Н3)=2/4=1/2.
Р(А)= Р(Н1)• Р(А/ Н1)+ Р(Н2)• Р(А/ Н2)+Р(Н3)• Р(А/ Н3). Р(А)=23/36.
Полная вероятность события A равна весу всего вероятностного графа
с гипотезами (и с выбранной вершиной):
Если до опыта вероятности гипотез были P(H1), P(H2), ..., P(Hn), а в
результате опыта появилось событие A, то с учетом этого события
«новые», то есть условные вероятности гипотез, вычисляются по
формуле Байеса:
,
где
.
Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдающегося
результата опыта. Условная вероятность Р(Нк/А) находится как отношение веса ветви, проходящей через
вершину, соответствующую гипотезе Hk, к весу всего вероятностного графа. Формулировка формулы Байеса
на графе «похожа» на определение вероятности.
4. Строительная бригада получает железобетонные перекрытия от трех домостроительных
комбинатов (ДСК): от I ДСК — 30%, от II ДСК—55% и от III ДСК—15% перекрытий. Известно, что
брак продукции I ДСК составляет 5%, II ДСК—6%, а III ДСК—10%. Полученные перекрытия хранятся
на общем складе. Наугад выбранное для контроля перекрытие оказалось
бракованным. Какова вероятность того, что бракованное перекрытие изготовлено на
I ДСК?
Обозначим события:
А — «наугад проверенное перекрытие — брак»,
Н1 — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на I ДСК»,
Н2 — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на II ДСК»,
Нз — «наугад проверенное перекрытие изготовлено на III ДСК».
По условию задачи Р(А/Н1)=0,05; Р(А/Н2)=0,06; Р(А/Н3)=0,1; Р(Н1)=0,3; Р(Н2)=0,55;
Р(Н3)=0,15. Построим вероятностный граф с гипотезами.
Находим искомую вероятность Р(Н1/А)=0,05•0,3/(0,05•0,3+0,06•0,55+0,1•0,15)≈0,238. Вероятностные
графы делают решение более наглядным и доступным.
2.1.8. Развитие вероятностной интуиции
Одной из важных целей изучения вероятностно-статистического материала в школе является развитие
вероятностной интуиции, формирование адекватных представлений о свойствах случайных явлений. Ведь в
жизни очень часто приходится осуществлять оценку шансов, выдвигать гипотезы и предложения,
прогнозировать развитие ситуации, рассуждать о возможностях подтверждения той или иной гипотезы и т. п.
Представление о вероятности, которое усвоено в процессе организованного, систематического изучения,
отличается от обыденного, житейского именно тем, что оно является носителем представлений об
устойчивости, закономерности в мире случайного, позволяет наиболее полно и правильно делать выводы из
имеющейся информации.
В последние годы большое распространение получили различные лотереи, азартные игры, участвуя в
которых важно правильно оценивать шансы получить выигрыш, придерживаться оптимальной стратегии или,
наоборот, оценив свои шансы, отказаться от игры. Все вопросы, связанные с выигрышными стратегиями,
справедливыми и несправедливыми условиями случайных игр, вызывают большой интерес даже у самых
28
слабых учащихся. Кроме того, игровая фабула задачи дает возможность организовать захватывающий
эксперимент перед решением ее в классе, в беседе с учащимися обсудить их оценки шансов, углубить и
развить вероятностную интуицию в нужном направлении. Так, например, вероятностный анализ игры в
«наперстки» показывает учащимся, что независимо от наблюдательности и внимательности играющего тот,
кто двигает наперстки, оказывается в выигрыше.
В том случае, когда при обучении математике вероятностная интуиция не развивается, вместо верных
представлений и концепций учащимися усваиваются ложные взгляды, они высказывают ошибочные
суждения. Беседуя с учащимся, не изучающим основ теории вероятностей, я столкнулась с таким мнением:
«Лотерея — это случайная игра, в которой иногда выигрываешь, а иногда проигрываешь. Я уже несколько раз
покупал лотерейные билеты и все время проигрывал. Мой друг тоже купил билет, и ему сразу повезло —
выиграл. Но зато в следующем туре у меня больше шансов выиграть, чем у него, ведь он уже один раз
выигрывал, а я еще нет». Для развития вероятностной интуиции используются вероятностные игры.
Сначала рассматриваются простые игровые ситуации. Например. 1). Играют два человека, каждый из них
бросает по одной монете одновременно. Если на обеих монетах выпадает «орел», то одну конфету получает 1
игрок. Если на одной монете выпадает «орел», а на другой «решка», то одну конфету получает 2 игрок.
Определить справедливая эта игра или нет. 2). Игра «камень - ножницы – бумага. Играют два человека.
Одновременно выбрасывают на пальцах одну из трех возможных фигур (К, Н, Б). В комбинации К-Н
выигрывает К, в комбинации К-Б выигрывает Б, в комбинации Б-Н выигрывает Н. Если игроки выбрасывают
одинаковые фигуры, происходит переигрывание. Какова вероятность выигрыша для каждой из фигур?
Постепенно дети учатся моделировать игры. Интерпретация с помощью вероятностных графов самая
доступная. Например. Играют двое, они «выбрасывают» одновременно пальцы одной руки, находят сумму
этих пальцев, начинают считать до числа равного этой сумме. Тот на котором закончился счет отдыхает, а
оставшийся бежит за мороженым. Является ли выбор с помощью «считалки» справедливым? Играет ли роль с
кого начинать счет? Первый, с кого начинается счет, не бежит в магазин, если сумма «выброшенных» пальцев
окажется нечетной, а второй – если четной. Составим вероятностное дерево исходов:
P2 > P1 и, следовательно, выгодней
при игре «считалки» стоять вторым.
Незаменимую
помощь
учителю
по
моделированию вероятностных игр с
помощью графов могут оказать работы
доктора педагогических наук, профессора
В.В. Афанасьева.
Рассмотрим еще одну игру. Мишень
разделена на 8 равных секторов и
установлена так, что может вращаться вокруг
оси, проходящей через точку О. При
достаточно большой угловой скорости
вращения стрелок не в состоянии различать
цифры, выписанные по одной на секторах.
Он вынужден стрелять наугад.
При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8
— 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить
50р.?
Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения:
попадание — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она
может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.
Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает с
одинаковой вероятностью 1/8.
Значит, М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45
Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость выстрела 50р. Стрелять много раз явно
невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные азартные игры, приводящие
игроков к разорению.
В ходе изучения вероятностных игр особенно хорошо заметны развитие мыслительных способностей
учащихся и возрастание их интереса к исследовательской деятельности.
2.1.9. Некоторые аспекты изучения статистики
Статистика - это математическая теория,
позволяющая познать мир через опыт.
В. Томпсон
Математическая статистика - наука о математических методах систематизации и использования
статистических данных для научных и практических выводов. Главной задачей математической статистики
является установление соответствия между данными реального мира и его математическим описанием.
29
Людям присуще воспринимать окружающую среду как последовательность фактов, событий. Им дано
анализировать поступающую информацию (хотя и не всем из них это удается) и делать выводы из такого
анализа и учитывать их в своей сознательной деятельности. Поэтому можно смело утверждать, что во все
времена, все люди занимались и занимаются статистическими “исследованиями”, даже не зная иногда такого
слова “статистика”.
Все наши наблюдения за окружающим нас миром можно условно разделить на два класса:
наблюдения
за
событиями,
которые
могут
произойти
или
не
произойти;
наблюдения за физическими величинами, значения которых в момент наблюдения могут быть различными.
В окружающем нас мире происходят случайные события, а наблюдаемые нами значения показателей внешней
среды являются случайными величинами.
Самые первые представления о мире случайного дети получают из наблюдений за ним в окружающей
жизни. При этом важные характерные черты наблюдаемых явлений проясняются в ходе сбора статистических
сведений и наглядного их представления. Умение регистрировать статистические сведения и представлять их
в виде простейших таблиц и диаграмм уже само по себе характеризует наличие у школьника некоторого
статистического опыта. В нем находят отражение самые первые, пусть еще не до конца осознанные
представления о неоднозначности и изменчивости реальных явлений, о случайных, достоверных или
невозможных результатах наблюдений, о конкретных видах статистических совокупностей, их особенностях,
общих свойствах. Эти умения дают возможность формировать правильное представление не только о
явлениях с ярко выраженной случайностью, но и о таких явлениях, случайная природа которых неочевидна и
затушевана многими осложняющими восприятие факторами.
Школьников 5-6 классов необходимо учить интерпретировать таблицы, схемы, диаграммы, привлекать к
проведению экспериментов, опросов.
Например. С учащимися можно рассмотреть страницу классного журнала, озаглавленную «Математика».
По ней определить, какие оценки получил каждый ученик, сравнить результаты одноклассников и сделать
прогноз о том, какие оценки им поставят за четверть.
Погода
меся
Всего
Поручить учащимся два месяца понаблюдать за погодой,
цы
дней
полученные данные представить в таблице:
Ясно
Используя таблицу ответить на вопросы: В каком месяце было
Пасмурно
больше ясных дней? Сколько всего было пасмурных дней?
Переменная
Провести опрос в классе по теме: «Любимые лакомства». облачность
Учащимся предлагается ответить на вопрос: Что ты любишь
Список
Любимые
больше всего: пряники, конфеты, мороженое, печенье? Сначала таблица, класса
лакомства
которую составляют учащиеся, оказывается слишком длинной и неудобной
для анализа:
Любимые
Подсчет
Всего
Тогда составляем другую таблицу:
лакомства
голосов
ребят
пряники
0
Такая таблица дает более наглядное представление о
конфеты
IIIIIIIIIIII
12
предпочтениях учащихся.
мороженое
IIIIIIIIIII
11
Данные таблиц представляем в виде столбчатых и
печенье
II
2
круговых диаграмм. Ученики учатся читать диаграммы. В
ходе анализа выясняем, что столбчатые диаграммы следует использовать в тех случаях, когда необходимо
наглядно сопоставить результаты опроса, продемонстрировать динамику процесса, показать, как изменяется
со временем интересующее нас явление и т.д.; что круговые диаграммы используются в тех случаях, когда
нужно представить соотношения между частями целого.
В начале надо изучать явления, не зависящие от нашего контроля. Понимание характера изучаемого
стохастического явления связано с умением выделять главное, видеть особенности и тенденции при
рассмотрении таблиц, диаграмм и графиков. Простейшие навыки в «чтении» таблиц и графиков позволяют
подметить некоторые закономерности наблюдаемых явлений, увидеть за формами представления
статистических данных конкретные свойства явлений с присущими им особенностями и причинными
связями.
В дальнейшем ученик сможет применить эти навыки: на уроках физики, химии, биологии при выполнении
лабораторных и практических работ оформить результаты наблюдений и опытов; на уроках географии,
истории, обществознания использовать таблицы и справочники, воспринимать информацию, представленную
в графической форме. Эти умения необходимы каждому человеку, так как со статистическим материалом,
представленным в различной форме, он постоянно встречается во всех источниках информации,
рассчитанных на массовую аудиторию,— в газетах, журналах, книгах, по телевидению и т. п.
В основной школе рассматривается способы изображения данных, числовые характеристики. Следует
сформировать у учащихся понимание того, что статистика дает краткую, концентрированную характеристику
изучаемого явления, и научить учащихся пользоваться ее методами и результатами.
Учащиеся получают начальные представления о сборе и группировке данных, составлении таблиц частот и
относительных частот. Вводятся понятия генеральной совокупности и выборки, основных статистических
характеристик. Рассматриваются различные способы наглядного изображения результатов исследований.
30
Для решения задач исследования проводится эксперимент (измерение,
тестирование, анкетирование), в результате которого получают значение
некоторой случайной величины (результаты тестирования, кол-во баллов).
Если в эксперименте участвуют все объекты генеральной совокупности, то
такое обследование называют сплошным. При изучении множества
однородных объектов относительно некоторого характерного признака
(количественного или качественного), обычно подвергают испытаниям
некоторое его подмножество (выборку) случайно отобранных объектов.
Множество объектов, из которых производится выборка, называется генеральной совокупностью. Задачей
исследования является изучение признаков генеральной совокупности, которые определяются влиянием
некоторых случайных факторов.
На практике обычно применяют выборочный
метод, который заключается в том, что из генеральной
совокупности случайным образом извлекают n элементов. Количество элементов в выборке называется ее
объемом. Исследователь изучает и анализирует выборочную совокупность и на основании полученных
показателей делает вывод о параметрах генеральной совокупности.
Допустим, из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n, измерена некоторая величина Х, в
результате чего получен ряд значений х1, х2, . . . хn. Наблюдаемые значения хi признака Х называются
вариантами.
Пример: измерена масса тела девочек 7 лет. Полученные данные образуют ряд: 24 22 23 28 24 23 25
27 25 25.
Отдельные значения этого ряда называются вариантами. Если варианта хi появилась m раз, то число m
называют частотой значения признака, а ее отношение к объему выборки m/n - относительной частотой
значения признака.
Х
22
23
24
25
27
28
m
1
2
2
3
1
1
Последовательность
вариант,
записанная в возрастающем (убывающем) порядке, называется ранжированным рядом. Пример
ранжированного ряда: 23 23 24 24 25 25 25 27 28.
Соответствие между вариантами вариационного ряда и их частотами называется статистическим
распределением выборки.
Графическое представление статистического распределения. Для его построения на оси x откладывают
значения вариант, на оси у - соответствующие им частоты. Точки с координатами (хi; mi) соединяют
отрезками, полученная ломаная линия называется полигоном частот. Можно построить и полигон
относительных частот.
У каждой выборки есть своего рода «паспортные данные». Они весьма существенны и важны. Следует
только точно понимать, что они в принципе не могут дать полных данных о выборке: абсолютной
информацией о выборке является сама выборка. Но так как объемы выборок данных, как правило, очень
велики, то приходится иметь дело с некоторым набором важных числовых характеристик этих выборок.
Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений величины, встречающихся в
выборке.
. Вычисление среднего значения массы тела девочек 7 лет:
Х=(24+22+23+28+24+23+25+27+25+25)/10=24,6.
Если выборочное среднее вычисляется по вариационному ряду, то находят сумму произведений вариант на
соответствующие частоты, и делят на количество элементов в выборке.
. Х=(22+23•2+24•2+25•3+26+27)/10=24,6.
Выборочное среднее, не имеет наглядной иллюстрации с помощью полигона частот. Оно, по определению,
усредняет все различные результаты, заменяя полную, но объемную информацию одним-единственным
числом. Само это число, как мы видим, может и не входить в результаты выборки.
Выборочное среднее является основной характеристикой положения, показывает центр распределения
совокупности, позволяет охарактеризовать исследуемую совокупность одним числом, проследить тенденцию
развития, сравнить различные совокупности. Выборочное среднее значение имеет наглядный физический
смысл. На оси абсцисс отметим п точек координаты которых равны вариантам выборки. В первую точку
поместим массу, равную относительной частоте первой варианты. Во вторую точку поместим массу, равную
относительной частоте второй варианты и т. д. Получится система из п материальных точек. Общий вес этой
системы равен 1. Так вот, ее центр тяжести в точности совпадает с выборочным средним значением.
Мода — величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. Применительно к
вариационному ряду модой является наиболее часто встречающееся значение ранжированного ряда, т.е.
варианта, обладающая наибольшей частотой. Мода может применяться при определении магазинов, которые
31
чаще посещаются, наиболее распространенной цены на какой-либо товар. На графике – это точка, в которой
достигается максимум полигона частот.
Пример: найти моду выборочной совокупности по массе тела девочек 7 лет. Мо = 25.
Размах выборки – это разница между максимальной и минимальной вариантами.
R=Xmax - Xmin. . Этот показатель является характеристикой рассеяния ряда и
показывает диапазон варьирования величины. На графике – это длина области
определения полигона частот.
Мы составили простейший «паспорт» выборки. Он состоит из размаха, моды, выборочного среднего.
Целесообразно на этом этапе изучения статистики проводить лабораторные работы. Чтобы ученик изучал
некоторое явление или объект, не только «головой», но и «руками», подмечал закономерности реального
мира и пытался дать их адекватное математическое описание. Например: путем опроса мальчиков,
обучающихся в вашей параллели собрать данные о размере их обуви, составить вариационный ряд, построить
полигон частот, вычислить выборочное среднее, моду, размах выборки.
Если выборка представлена большим количеством различных значений случайной величины, то проводят
группировку данных. В результате получается интервальный вариационный ряд. Размах варьирования
признака разбивают на несколько равных интервалов и указывают количество вариант, попавших в каждый
интервал. В этих случаях, в первую очередь, следует разумно выбрать шаг деления промежутка между
наименьшей и наибольшей вариантой. Слишком маленький шаг даст слишком большое число участков и не
упростит вычисления. Слишком большой шаг приведет к слишком серьезному искажению первоначальных
данных. Идеальный случай, когда шаг уже кто-то заранее сообщил: учитель, учебник. Например. Алгоритм
построения интервального вариационного ряда.
1. Исходя из объема выборки, определить количество интервалов.
n
k
25-40
5-6
40-60
6-8
60-100
7-10
100-200
8-12
п – количество опрошенных, к - количество интервалов, к≈√п.
интервал
Середина
m
2. Вычислить размах ряда: R=Xmax - Xmin.
интервала
3. Определить ширину интервала: h≈R/k.
60-65
62,5
14
65-70
67,5
33
4. Составить интервальный вариационный ряд.
70-75
72,5
29
Пример. После измерения массы тела 100 женщин тридцати лет
75-80
77,5
14
получили следующие данные:
80-85
82,5
7
Графическим изображением интервального вариационного ряда
85-90
87,5
3
является гистограмма частот. Для ее построения на оси х откладывают
интервалы шириной h, на каждом интервале строят
прямоугольник высотой m.
35
30
Вычисление среднего значения массы тела женщин
25
20
15
30
лет.
частота
10
5
Х=(62,5•14+67,5•33+72,5•29+77,5•14+82,5•7+87,5•3)/
0
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
100=71,3.
масса тела
Выборочное среднее дает представление о том,
вокруг какой точки числовой оси группируются
значения случайной величины. Но эти значения могут группироваться вокруг этой величины более или менее
густо.
Например, некий человек каждый день ездит на работу. У него есть два варианта на выбор: он может сесть
возле самого дома на трамвай и доехать прямо до работы, а может немного пройти до метро, проехать на
метро, и еще немного пройти от метро до работы. Время поездки в обоих случаях, конечно же, - случайные
величины. Оба варианта поездки занимают примерно одно и то же время, но первый из них подвержен
гораздо большему влиянию внешних обстоятельств (трамваи ломаются гораздо чаще, чем поезда метро, на
улицах бывают пробки и т. д.). Будем отмечать на числовой оси время, затраченное на эти ежедневные
поездки (каждый из вариантов поездки будем отмечать на своей оси, получим два рисунка). Ясно, что на
рисунке, описывающем поездки на метро, точки будут лежать очень густо, очень мало отклоняясь от среднего
значения,
а на рисунке, который описывает поездку на трамвае, будут заметны очень большие отклонения от
среднего.
Для того чтобы различать такого рода ситуации используется дисперсия (от латинского слова dispersio рассеиваю). На основе статистических данных находим выборочную дисперсию:
32
. Если выборочная дисперсия вычисляется по вариационному ряду, то используется
следующая формула
.
Итак, чем больше дисперсия, тем больше разброс значений случайной величины, тем больше
неопределенности, случайности в ее поведении.
Дисперсия измеряется в квадратных единицах, поэтому не является основным показателем рассеяния
вариационного ряда.
Выборочное среднее квадратическое отклонение  является основной характеристикой разброса значений,
оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина.
.
Рассмотрим следующий пример. В 2005 учебном году выпускники лицея № 2 г. Рыбинска сдавали ЕГЭ по
математике. Экзамен сдавали 71 человек. По полученным оценкам была составлена таблица:
Х
3
4
5
m
4
21
46
50
40
30
частота 20
10
0
3
4
5
оценки
Х=(3•4+4•21+5•46)/71 ≈4,59; D≈0,35; σ≈0,59.
Понимание смысла средних показателей необходимо каждому ученику. Умение ориентироваться в этих
показателях помогает человеку принимать правильные решения, адекватно воспринимать поступающую к
нему информацию.
Необходимо прививать школьникам критическое отношение к статистическим выводам и обобщениям,
развивать умение понимать скрытый смысл того или иного сообщения, противостоять манипулированию
сознанием человека со стороны СМИ, учить быть гибко мыслящим человеком, лишённым догматической
веры в абсолютную истинность чужих выводов.
Изучение элементов статистики в старшей школе не должно дублировать то, что изучалось в основной
школе. При наличии времени и готовности учащихся, в классах с углубленным изучением математики
можно познакомить учащихся с некоторыми идеями математической статистики.
2.2. Взаимосвязь комбинаторики, теории вероятностей, статистики с разделами школьного курса
математики и других дисциплин
Почти все содержательные линии курса математики находят применение при изучении комбинаторики,
теории вероятностей и статистики. Это и вычисления, и преобразование выражений, и уравнения, и элементы
геометрии.
Но с применением элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в других разделах
школьного курса математики дело обстоит значительно хуже. Важно, чтобы данная содержательная линия
естественно использовалась в курсе математики. Во-первых, если новый материал будет изучаться не в
рамках одной темы, а на протяжении всего периода обучения, то с повестки дня снимется вопрос о
применении изученного материала. Во-вторых, три раздела новой содержательной линии — комбинаторику,
теорию вероятностей, статистику — надо изучать в тесной связи друг с другом. Но все сказанное касается
внутренних связей новой содержательной линии. Этого слишком мало.
Поэтому стоит задача связать новую содержательную линию курса математики с другими. Для адаптации
традиционного содержания к целям содержательной линии «Элементы комбинаторики, статистики и теории
вероятностей» необходимо использовать следующие средства:
-разнообразные задачи, способствующие формированию комбинаторного стиля мышления;
-задания на сбор, систематизацию, наглядное представление и анализ данных, представленных в обозримых
выборках;
-задачи на применение схем для вычисления вероятностей.
Однако общие подходы не исключают и установления отдельных, лишь бы не искусственных, связей.
Можно решать с детьми комбинаторные задачи при изучении натуральных чисел, операций над ними,
обыкновенных, десятичных дробей, операций над десятичными дробями; при изучении делимости чисел,
умножение и деление натуральных и отрицательных чисел, при решении уравнений. Основные комбинаторные схемы целесообразно применять при решении комбинаторных геометрических задач. Схемы для
33
вычисления вероятностей можно с успехом использовать для суммирования бесконечных рядов. Известны
применения вероятностей к решению неравенств. Использование метода Монте-Карло для вычисления
определенного интеграла. Статистический характер имеют правила подсчета цифр. Перечень таких примеров
можно продолжить. Упомянутые вопросы могут стать предметом рассмотрения на внеклассных занятиях.
Приведу пример использования кодов, составленных из цифр 0, 1 при решении уравнений с параметрами.
Сколько решений может иметь уравнение ах+b=0?
Применим цифры 0, 1 для ответа на вопрос задачи. Разделим все значения коэффициентов а и b на два
класса: нулевые и ненулевые. Обозначим первый класс цифрой 0, второй —цифрой 1. Двухзначных кодов,
составленных из цифр 0, 1, всего 4. Это коды: 00, 01, 10, 11. Пусть первый разряд двухзначного кода
обозначает а, второй — b. Тогда коду 00 соответствуют значения а = 0, b = 0. В этом случае уравнение 0·x + 0
= 0 представляет собой тождество 0·x+ 0 = 0, которому удовлетворяет бесконечное множество значений х.
Второй код 01 приводит к уравнению 0·x + b = 0 (где b≠0), которое не имеет решений. Коду 10 соответствует
уравнение аx=0 (а≠0), которое имеет единственное решение х=0. Наконец код 11 дает случай, когда а≠0, b≠0.
Тогда х=Ь/а — единственное ненулевое решение.
Рассмотрим все случаи решения уравнения ахг+Ьх+с=0 в зависимости от значения коэффициентов а, b, с.
Трехзначных кодов, составленных из цифр 0 и 1, всего восемь. Будем считать, что первая буква каждого
такого слова соответствует параметру а, вторая — b, третья — с. (цифра 0 в коде означает, что коэффициент
равен 0, цифра 1 в коде — отличен от 0.) Мы получим следующие восемь случаев решения указанного
уравнения:
000 (а=0, b=0, с=0) — уравнение имеет бесконечное множество решений;
001 (а=0, b=0, с≠0) —уравнение решений не имеет;
010 (а = 0, b≠0, с=0) — единственное решение х=0;
011 (а=0, b≠0, с≠0) — единственное решение х= -с/Ь;
101 (а≠0, b=0, с≠0) — два корня x1=√-с/а , x2=-√-с/а, которые являются действительными при ас<0 и
мнимыми при ас>0;
100 (а≠0, b=0, с=0) — два нулевых корня;
110 (а≠0, b≠0, с=0)— два различных корня x1=0, x2=-Ь/а;
111 (а≠0, b≠0, с≠0) — два корня x1=(-b-√D)/а , x2=(-b+√D)/а, где D=b2-4ac.
Вопрос о наличии действительных корней решается в зависимости от знака D.
Другой пример показывает применение комбинаторного правила произведения при нахождении количества
делителей.
На
рисунке
выписаны все натуральные
делители чисел 96 и 144. Все делители числа 96 разбиваются на пары дополнительных друг другу делителей
(на рисунке они соединены дугами), а у числа 144 один из делителей, 12, является дополнительным к самому
себе, поскольку 144= 122. Из симметрии множества делителей следует такое утверждение:
Если число п не является квадратом целого числа, то у него четное число делителей, а если является — то
нечетное.
В самом деле, каждому делителю а числа п, меньшему √п, соответствует делитель п/а, больший √п. Поэтому
делителей, отличных от √п, всегда четное число. Если же п=к2, то к ним добавляется еще один делитель к.
Пусть d(п) — количество делителей натурального числа п. Как показано выше, если п — полный квадрат,
то d(п) — нечетное число (например, d(144)=15), а если нет, то d(п) — четное число (например, d(96)=12).
Покажем теперь, как, зная разложение числа п на простые множители, находить значение d(п).
Прежде всего, заметим, что при простом p всегда d(pα) = α+1.
Действительно, по определению, простое число р имеет только два делителя: 1 и р, а в силу следствия из
основной теоремы арифметики число pα имеет α+1 делителей: 1, р, р2,..., pα .
Рассмотрим теперь число п с двумя различными простыми множителями, например п=144 = 24·32. Все его
делители имеют вид 2β1·3 β2, где β1 может принимать любое из пяти целых значений от 0 до 4, β2 — одно из
трех значений 0, 1 или 2. Значит, всего различных пар (β1; β2) может быть 3·5=15, так что d(144)=15. Здесь
мы воспользовались комбинаторным правилом произведения.
Это правило позволяет написать формулу для числа делителей любого п= p1α1 · p2α2 ·…· pкαк . В самом деле,
согласно следствию из основной теоремы арифметики, любой делитель числа п имеет вид p1β1 · p2β2 ·…· pкβк,
где βi принимает одно из аi+1 значений 0,1,…, аi. Следовательно, количество разных наборов (β1, β2,…, βk), а
значит, и различных делителей числа п, равно
d(n)=( α1+1)( α2+1)…( αk+1).
Комбинаторные доказательства прочно укореняются в памяти, несут дополнительную информацию. Так
малую теорему Ферма, которую рассматривают в классах с углубленным изучением математики, можно
34
доказывать с помощью бинома Ньютона, а еще она может быть получена из комбинаторной задачи о числе
ожерелий с заданными типами бусинок. Вообще комбинаторика является притоком свежих идей в
преподавание алгебры школьникам.
Применение математического аппарата к решению задач других учебных дисциплин, установление
межпредметных связей содержат в себе еще один важный мировоззренческий аспект: существование
межпредметных связей является объективной закономерностью, отражающей взаимосвязь явлений
действительного мира.
Психологами давно доказано, что взаимосвязанное, логическое изучение учебных предметов наиболее
благоприятно для лучшего усвоения учебного материала, повышения интереса учащихся к изучаемым
предметам, для развития их мыслительных способностей.
Успех введения элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики во многом зависит от того,
будет ли материал этой содержательной линии применяться в таких предметах, как физика, химия, биология,
история, география. И наоборот, будет ли материал из этих дисциплин использоваться на уроках математики
как мотив для изучения новых понятий, фактов, методов, как иллюстрация изучаемого материала, как
источник построения математических (вероятностных) моделей и т.п.
Для сознательного усвоения определенного материала из других предметов учащийся, а еще больше учитель смежных предметов, должен владеть соответствующими вероятностно-статистическими понятиями и
фактами. С другой стороны, учитель математики должен быть знаком с применениями элементов
комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики в школьных предметах, использовать их
на уроках математики.
Методика формирования базовых понятий должна отличаться от той, которая используется в традиционной
методике преподавания отдельных тем школьной математики. Связано это с тем, что сам материал
стохастической линии по своей структуре является новым «витком», позволяющим оторваться от сложных
строго определённых связей в явлениях к случайным, зависящим от ряда обстоятельств, которые не могут
быть учтены заранее.
Непосредственное участие школьников в моделировании реальных процессов позволяет рассматривать
стохастику как средство познания окружающей действительности. Теперь новое понятие – не самоцель, а
возможность для анализа. Причем незнание одного отдельного компонента не дает возможности для
полноценного понятия общего в явлении. Именно это обстоятельство обуславливает стремление школьников
к более прочному усвоению новых понятий.
Возможная схема формирования понятий: термин →определение →прикладное значение
Покажу методику формирования основных (базовых) понятий на примере.
Ввести термины «опыт», «событие», «элементарное событие», формулировки данных терминов,
предложить следующие примеры (прикладного характера).
Пример 1. Вытягивание карты из колоды – опыт; выделение углекислого газа при взаимодействии
лимонной кислоты с раствором питьевой соды – событие.
Пример 2. Пусть дан раствор аммиачной селитры

электролитической диссоциации (распад на ионы NH 4 и
NH 4 NO3  ,
NO3 ).
1 ={образование ионов NH4  };  2 ={образование ионов
в котором происходит процесс
Тогда возможны два элементарных события:
NO3 }.
Рассматривая понятия «достоверное», «невозможное» и «случайное» события, следует прибегнуть к
конкретным примерам, дабы показать их прикладную сторону, а не чисто абстрактную.
Пример 3. M={если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 350 С,
то она в жидком состоянии} или H={образование белого творожистого осадка хлорида серебра в результате
взаимодействия поваренной соли с нитратом серебра} – достоверные события; C={формирование зелёных
семян гороха при опылении гомозиготных растений с жёлтыми и зелёными семенами} или F={появление
двух выигрышей по одному лотерейному билету} – невозможные события; L={появление в ходе реакции
(неконтролируемой) разветвлённой молекулы полимера} или N={выпадение какой-либо грани при
подбрасывании игрального кубика} – случайные события.
На закрепление данных базовых понятий учащимся может быть предложено следующее задание. Укажите,
какие из следующих, на Ваш взгляд, событий невозможные, какие – достоверные, а какие – случайные:
А={футбольный матч «ЦСКА» – «Спартак» закончится вничью};
В={Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее};
D={в полночь выпадет снег, а через 48 часов будет светить солнце};
Е={Вас изберут президентом Нидерландов};
F={образование белого осадка бромида серебра в результате взаимодействия бромида калия с нитратом
серебра}.
Работа с понятиями по данной схеме обеспечит более глубокое и детальное понимание школьниками
изучаемого вероятностно-статистического материала. При такой системе оказывается возможным
35
установление межпредметных связей в процессе обучении, что даёт возможность ещё раз подчеркнуть
значимость изучаемого на уроке вопроса и всей линии в целом.
Природа человека интегральна по своей сущности, и эта интегральность в человеке изначальна: физическое
тело, разум и духовность неразделимы. Достаточно убрать одну из трёх составляющих личности человека –
исчезнет сам человек. Наивысшая форма интеграции – философское взаимопроникновение различных теорий,
позволяющих представить мир как целостную картину бытия. Академик Ландау говорил: “Человек в
процессе познания природы может оторваться от своего воображения, он может открыть и осознать даже то,
что ему не под силу представить”.
Главным условием достижения устойчивых положительных результатов использования интеграции
является оптимизация процесса обучения математике на основе активной познавательной и творческой
деятельности учащихся, создания на уроке атмосферы совместной творческой деятельности учителя и
учеников, исследовательский характер работы учащихся, разработка мотивационных условий и др.
Интеграция уроков математики с другими учебными предметами позволяют многогранно рассмотреть
многие важные явления, связать уроки математики с жизнью, показать богатство и сложность окружающего
мира, дать детям заряд любознательности, творческой энергии. У ребят появляется возможность создать не
только собственную модель мира, но и выработать свой способ взаимодействия с ним. Учителю же
интеграция предметов позволяет воспитывать у ребят желание к целенаправленному преодолению
трудностей на пути познания.
Цель интегрированных курсов – формирование целостного и гармоничного понимания и восприятия мира.
Для достижения этой цели создается комплексная программа интегрированного курса, для которого очень
важен как отбор содержания, так и принцип её конструирования. Затем – проектирование интегрированных
уроков, учебных заседаний и способов оценки результатов учебной деятельности учащихся.
Интегрированные уроки математики с другими предметами обладают ярко выраженной прикладной
направленностью и вызывают несомненный, познавательный интерес учащихся.
В школьном курсе математики существует достаточно много тем, которые способствуют осознанному
восприятию биологических понятий и известных биологических законов. Например, «Золотое сечение и
гармония форм природы», «Геометрическая прогрессия и потенциальные возможности размножения
организмов», «Вариационный ряд и вариационная кривая при изучении модификационной изменчивости»,
«Теория вероятностей и генетика популяций».
В курсе общей биологии при изучении статистических закономерностей модификационной изменчивости
учебные программы позволяют ознакомить учащихся с приемами биостатистики. Эти приемы вычисления
средней арифметической величины варьирующего признака, построения вариационного ряда и вариационной
кривой и другое. Они обоснованы теорией вероятности и позволяют раскрыть учащимся закономерности
изменчивости, возникающей у организмов с одной и той же наследственной основой под влиянием разных
условий жизни. Важно подчеркнуть практическое значение математического описания варьирования
количественных признаков у особей одного вида, одной породы или сорта при их выведении в разных
природных климатических районах, а также значение использования биостатистики в систематике, генетике,
селекции, медицине.
Пример. Модификационная изменчивость многих признаков растений, животных и человека подчиняется
общим закономерностям. Эти закономерности выявляются на основании анализа проявления признака у
группы особей.
Каждое конкретное значение изучаемого признака называют вариантой и обозначают буквой V. Частота
встречаемости отдельных вариант обозначается буквой р.
При изучении изменчивости признака в выборочной совокупности составляется вариационный ряд, в
котором особи располагаются по возрастанию показателя изучаемого признака. На основании вариационного
рядя строится вариационная кривая — графическое отображение частоты встречаемости каждой варианты.
Например, если взять 100 колосьев пшеницы (п) и подсчитать число колосков в колосе, то это количество
будет от 14 до 20 — это численное значение вариант (V).
Вариационный ряд:
V=
14 15
16
17
18
19 20
Частота встречаемости каждой варианты:
р=
2 7
22
32
24
8
5
Легко посчитать и среднее значение данного признака. Для этого используют
формулу: М=Σ(vp)/n, где М — средняя величина признака, в числителе сумма
произведений вариант на частоту их встречаемости, в знаменателе — количество
вариант. Для данного признака среднее значение равно 17,13.
Устойчивые положительные результаты использования интеграции:
· создается психологический комфорт для приобретения учащимися знаний и для самовыражения;
· развиваются коммуникативные качества и общеучебные умения, повышается интерес к знаниям;
36
· развивается самостоятельность пользования научно-популярной литературой, умение выбирать главное из
текста, делать небольшие сообщения по выбранной теме;
· увеличивается творческий потенциал учащихся, развивается логическое мышление, коммуникативные
способности;
· использование различных видов работы в течении урока позволяет поддерживать внимание учеников на
высоком уровне, снижает утомляемость, снимает усталость им перенапряжение;
· интегрированный урок вовлекает учителей – предметников в совместную работу;
· нестандартная форма проведения уроков дает возможность для самовыражения, самореализации и
творчества учителя, способствует более полному раскрытию его способностей.
2.3.
Дидактическое и методическое обеспечение содержательной линии
Возникновение интереса к комбинаторике, теории вероятностей, статистике у значительного числа
учащихся зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена
учебная работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и увлеченно, и
использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого
познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются, а иногда и
только определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету.
Я на собственном опыте убедилась в правильности возрастной характеристики подростков, данной
психологом В.А. Крутецким: “Проблемный и эмоциональный характер изложения учебного материала,
организация поисковой, познавательной деятельности учащихся – подростков дает им возможность
переживать радость самостоятельных открытий”.
В работе по введению элементов комбинаторики, теории вероятностей, статистики все важно и значимо:
четкое, логически продуманное планирование уроков; интересное содержание; строгое изложение теории;
широкий тренинг решения задач, налаженная система контроля. Все это я старалась использовать в своей
работе.
При проектировании урока учителю важно ориентироваться на обеспечение научно-обоснованного
выбора целей, подборе содержания, методов и средств организации деятельности учащихся, создать
благоприятные условия для учебного процесса.
Специфика уроков состоит в том, что они проводятся по
программе, выбранной учителем и корректируемой в процессе обучения с учетом интеллектуальных
возможностей учащихся, познавательных интересов и развивающихся потребностей профессиональной
подготовки.
Содержание направлено как на вооружение учащихся теоретическими знаниями, так и на выработку
умений и закрепление навыков. Задача учителя заключается в том, чтобы продумать четкую систему
логически взаимосвязанных уроков, применение которой позволило бы обучать детей самоорганизации,
умениям и навыкам интеллектуального труда, его научной организации. Каждый урок представляется
своеобразной ступенькой продвижения ученика к полному усвоению учебного материала, к овладению
опытом поисковой и творческой деятельности. В уроках органически сочетаются: уроки ознакомления с
новым материалом на основе решения проблемных задач, в ходе поисковой и исследовательской
деятельности, в процессе работы с информационными источниками и т.п., уроки – закрепления изученного с
опорой на самостоятельную деятельность учащихся; уроки проверки и коррекции знаний на основе
аналитического подхода, рефлексии в деятельности школьников, самооценки и самоконтроля; уроки – лекци,
комбинированные уроки, практикумы, семинары, уроки-зачеты, уроки обобщения и систематизации знаний.
Обозначу некоторые методические подходы к разработке и обеспечению уроков. На каждом этапе
формирования общих интеллектуальных умений используются определенные методы обучения. При
подготовке к изучению нового материала применяются методы мотивации учебной деятельности,
эмпирические методы. На этапе изучения нового материала применяются словесные методы (лекция, беседа,
исторический подход), самостоятельная работа с различными источниками информации, методы проблемного
обучения. Этапу закрепления знаний и способов деятельности соответствуют: классификация и
конкретизация изученного, решение задач тренировочного характера, алгоритмический метод, составление
задач, творческие задания. При применении знаний и способов деятельности используются практические и
игровые методы. На этапе обобщения и систематизации изученного - обобщающие и интегрированные уроки,
семинары. При осуществлении контроля целесообразно проводить диагностические работы и зачеты
(письменная работа, собеседование, творческая подборка задач и их защита, защита рефератов, и т.д.). Для
поддержания и стимуляции у школьников желания действовать активно при решении проблемнопознавательных задач, настойчиво продвигаться к намеченной цели мною используются самые
разнообразные приемы, среди которых наиболее применимы в практике работы: создание мотивации,
ситуации занимательности, проблемности, занимательных аналогий, введение в учебный процесс
занимательных примеров.
В преподавании особенно значительные результаты дает проблемное обучение. На уроках перед
учащимися ставится проблема, которую надо разрешить. В результате чего происходит творческое овладение
профессиональными знаниями, умениями, навыками и развитие мыслительных способностей учащихся.
37
Одна из особенностей всех рассматриваемых задач – их проблемность. Возникновение интереса
учащихся зависит от умения создать проблемную ситуацию, чтобы создать учебную мотивацию. В своей
работе я использовала такие приемы создания проблемной ситуации как: использование исторического и
занимательного материала, исследовательские задания, при выполнении которых нужно обнаружить
некоторые закономерности, требующие теоретических обоснований.
При изучении простых теорем и выводе отдельных формул я предоставляю учащимся больше
самостоятельности, используя частично-поисковый метод. Сначала учащиеся сопровождают каждую
операцию объяснением того, что они выполняют. Постепенно их деятельность становится более
самостоятельной. Учитель осуществляет руководство и контроль над деятельностью учащихся.
В своей работе я использовала такие формы работы с учащимися как: фронтальную, индивидуальную и
групповую формы обучения. Фронтальную форму обучения я применяла на первоначальном этапе знакомства
с материалом, когда вводятся основные понятия изучаемой темы и в конце изучения темы, когда идет
обсуждение способов решения задачи, обобщение, поиски новых путей решения. Помощь учителя при
данной форме обучения включает мотивацию деятельности учеников, четкое объяснение нового материала,
показ образца рассуждения и практических действий, поощрение учащихся, справедливое отношение ко всем.
На отдельных уроках применяется групповая форма работы, когда учащиеся делятся на группы для
выполнения поставленной перед ними задачи. Учитель следит за работой групп, оказывая помощь отдельным
группам в случае затруднения.
Для решения задач основной формой учебной деятельности является индивидуальная работа. Большое
внимание на уроках я уделяю индивидуальной работе с учащимися: оказание ненавязчивой помощи
некоторым ученикам в поисках путей решения задачи, в подборе литературы для рефератов и сообщений и их
письменном оформлении, в организации и осуществлении самообразования.
Сочетание индивидуальной и групповой форм работы ведет к развитию активности и самостоятельности
деятельности учащихся.
Основной задачей в обучении основам комбинаторики, теории вероятностей, статистике можно
считать задачу формирования и развития умений мыслить по аналогии, умений обобщать, умения
анализировать, наблюдать и делать выводы. И в этой ситуации одним из основных средств достижения цели
является задача. Задача, с точки зрения содержания, есть носитель действий; с точки зрения методов обучения
– одна из форм их проявления; со стороны средств обучения – средство целенаправленного формирования
знаний, умений, навыков; в деятельностном плане задача является одним из способов организации и
управления учебно-познавательным процессом.
Как показал мой опыт работы, обучение через задачи на уроках обеспечивает развитие
самостоятельности и творческой активности учащихся, способствует приобретению прочных и осознанных
знаний, развивает умение сравнивать, обобщать, делать творческие выводы из решения задач, поддерживает
интерес к комбинаторике, теории вероятностей и статистике. Задачи становятся ядром любой
самостоятельной работы на уроках.
В содержание учебной деятельности входит комментированное решение задачи. Обсуждение решения
конкретной задачи учащимися, выбранного ими способа ее решения сопутствует повышенное внимание к
речи учащихся; они учатся давать точные, логически последовательные обоснования, относиться критически
к речи одноклассников и своей собственной.
Решение задач предполагает гармоничное сочетание использования логических и интуитивных
компонентов мышления. В качестве примера организации обучения формированию общих интеллектуальных
умений.
Необходимо использовать при решении задач графы, которые не только играют большую роль в
формировании компонентов логической грамотности, но развивают и совершенствуют речевые умения. При
решении задач таким способом происходит перевод информации с естественного языка на графический и
выполнение обратной операции – чтение графа. Кроме того, графы являются эвристическим средством,
выражая программу поиска, создаваемую учащимися при анализе задачи.
Выполняющиеся в течение занятия действия логического, эвристического и речевого характера,
“открытие” способа решения задачи, ее наглядного представления – все это имеет общезначимый характер.
Такие задачи учат учащихся мыслить нестандартно, приучают думать самостоятельно.
Степень развитости учащегося измеряется и оценивается его способностью самостоятельно приобретать
новые знания, использовать в учебной и практической деятельности уже полученные знания.
Я использовала различные виды самостоятельной деятельности учащихся: а) решение задач несколькими
способами; б) доклады, сообщения, рефераты учащихся; в) подготовительные задачи к формированию
понятия; г) задачи на закрепление нового материала; д) тренировочные задачи для выработки умений и
навыков решения и применения изученного материала; е) самообразование; ж) составление, решение, защита
задач.
Стремление к новым знаниям и активность мыслительной деятельности особенно возрастает, когда
методы и формы обучения разнообразны.
38
Для формирования визуально-образного мышления на занятиях предлагается использование
иллюстративного материала: рисунки, чертежи, таблицы. Целесообразно подчеркнуть, что построение схем,
таблиц в ходе изучения материала позволяет увеличить объем запоминаемой информации.
В процессе изучения основных формул и правил на занятиях курса учащиеся заполняют опорный лист.
К числу средств обучения следует отнести и тематические подборки задач по курсу. Именно такие
тематические карточки задач – важное звено в реализации цели обновления и обогащения содержания
материала в рамках данного курса.
2.4. Контрольно-оценочная деятельность учащихся и учителя
Главная задача любого образовательного учреждения - обеспечение более высокого качества образования.
Контролировать качество образования и управлять им возможно лишь при наличии оперативной, адекватной
и достоверной информации как о процессе, так и о результатах образования.
Контроль и проверка знаний, умений и навыков учащихся выполняет три основные функции:
контролирующую, обучающую и воспитывающую.
Контролирующая функция связана с выявлением состояния знаний, умений и навыков учащихся.
Обучающая функция состоит в повышении качества их знаний. Все надо организовать так, чтобы проверка
знаний была полезна для всего класса. Это значит, что для основной массы учащихся полученные знания
должны быть включены в новые связи и исследования, а слабым ученикам создаются условия для
дополнительной проработки материала с целью его усвоения.
Воспитывающая функция проверки заключается в приучении учащихся к систематической работе, а также в
развитии навыков самоконтроля и самооценки, без которых успешное продвижение ученика в познавательной
сфере едва ли возможно. Только тот контроль можно считать достаточно результативным, который
способствовал повышению качества знаний школьников и укреплению их веры в свои силы.
Требования к контролю: индивидуальный характер; систематичность; разнообразие форм проведения;
всесторонность; объективность; дифференцированный подход; единство требований.
Целью контроля и оценки со стороны учащегося должно стать выявление субъективных возможностей
выполнения того или иного действия. Основой личной самооценки учащегося становится рефлексия,
придающая учебной деятельности смысл соизмерения.
Содержание контроля и оценки со стороны учащегося составляют способы и результаты самостоятельной
деятельности в рамках учебного предмета, а так же, личностно значимые для него вопросы и способы
действия.
Педагогическая технология организации работы учителя в данном направлении должна быть связана с
созданием условий для личностного самоопределения учащегося в учебном материале. Действия контроля и
оценки учащегося должны быть направлены на:
- выбор заданий для самостоятельной работы учащегося над конкретной темой;
- определение сроков выполнения заданий и предъявления результатов самостоятельной работы на оценку;
- формирование умения определять источники информации для решения поставленных задач;
- выбор «пространства» действия;
- выполнение контрольных заданий по ведущим умениям и знаниям темы;
- оценку готовности к сдаче зачетов по теме и определение сроков их сдачи.
Содержание контрольно-оценочной деятельности составляют личностно значимые для ребенка вопросы и
способы действия, учебная деятельность приобретает избирательный характер.
Контрольно-оценочная деятельность учителя сосредотачивается, прежде всего, на:
- способах работы учащихся с различными источниками информации; использовании ими всевозможных
моделей в качестве средства решения той или иной задачи и источника самостоятельной постановки новой
задачи;
- способах планирования учащимися самостоятельной работы;
- сформированности рефлексивной и прогностической оценок;
- способности устанавливать причины несоответствия замысла и реализации;
- индивидуальных способах решения задач;
- умении проводить исследования и ставить эксперименты для достижения поставленных целей.
Основными формами социальной оценки деятельности учащихся становятся:
- защита учащимися своей деятельности как форма аттестации за определенный период (учебный блок).
Такой отчет включает в себя всю образовательную деятельность ученика во всех ее видах и формах и
сопровождается обстоятельным обсуждением его успехов и неудач, в котором принимают участие учителя,
одноклассники;
-самооценка собственного познавательного, творческого труда ученика, рефлексия его собственной
деятельности.
Что касается нормативной оценки (отметки)? Качественная оценка должна фиксировать: успешность
выполнения учеником той или иной работы, эффективность затраченных учеником усилий, степень его
продвижения.
39
Одна из возможных форм проведения диагностики с целью определения «первичного» уровня освоения
темы, а также для фиксации последующего его приращения за период самостоятельной работы диагностическая работа, в содержание которой должны войти задания на определение уровня
сформированности основных умений по данной теме.
Для систематического контроля за достижением обязательных результатов обучения в ходе учебного
процесса целесообразно выбрать такую форму проверки, как зачёт. Зачеты могут иметь различные формы и
виды организации: письменная работа, устное собеседование, доклад, творческая подборка задач и их защита,
собеседование, написание и защита рефератов выступление на конференции и т.д. Форма оценивания
зачетных работ также может быть совершенно различной в зависимости от того, в какой форме проводится
сам зачет.
В творческих работах учащихся хорошо видны уровень знаний и степень овладения учебным материалом.
Творческие работы развивают умение самостоятельно и грамотно формулировать вопрос и находить на него
ответ, применяя полученные знания, и при необходимости пополняя их.
По окончанию изучения темы, с целью проверки её усвоения проводится контрольная работа. При
составлении контрольных работ необходимо помнить, что в результате работы должен быть проверен
обязательный для усвоения материал, причём на том уровне сложности, которого требует программа. Но,
руководствуясь идеями уровневой дифференциации необходимо включить в работу задания повышенной
трудности, выполнение которых требует от ученика умения мыслить. Это приучает учащихся к творческому
подходу, воспитывает умение применять знания в нестандартной ситуации, вызывает интерес к предмету,
даёт возможность проявить ученику математические способности.
Реализация данной системы обеспечивает повышение качества знаний, учитывает индивидуальные
особенности школьника, дает возможность реализовать его творческий потенциал.
Заключение
Анализ известных подходов к изучению элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики и
мой личный опыт
позволяют сделать следующие выводы. Для успешного введения элементов
комбинаторики, теории вероятностей, статистики необходимо:
1.
Начинать изучение материала в 5 классах (некоторые вопросы в начальной школе).
2.
Дать законченное элементарное представление о комбинаторике, теории вероятностей и статистике и
их тесной взаимосвязи. Подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром.
3.
Избегать излишнего математического формализма; иллюстрировать материал яркими, доступными и
запоминающимися примерами.
4.
Использовать сквозные примеры и задачи при обсуждении разных тем. Подбирать примеры и задачи
с учетом различных интересов и возрастных особенностей развития учащихся.
5.
На протяжении всех лет обучения знакомить учащихся с вероятностно-статистическими подходами к
анализу эмпирических данных, причем большую роль отводить задачам прикладного характера, анализу
реальных ситуаций. Избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач.
6.
Возможность повторения и закрепления на новом материале пройденного ранее.
7.
В процессе обучения много времени отводить задачам, требующим от учащихся работы в малых
группах, самостоятельного сбора данных, обобщения результатов работы групп, проведения самостоятельных
исследований, работ практического характера, постановки экспериментов, проведения небольших
лабораторных работ, подготовки долгосрочных заданий, дающих детям возможность ощутить себя
первооткрывателями, так как все это диктуется своеобразием вероятностно-статистического материала, его
тесной связью с практической деятельностью.
На мой взгляд, все это должно способствовать усвоению новых для учащихся понятий, росту интереса
учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в
изменчивом информационном мире.
В 2004-05 учебном году на базе МОУ «Информационно-образовательный центр» я проводила спецкурс
«Элементы статистики и теории вероятностей» для учителей математики РМО, который имел большую
практическую значимость. (Приложение 9)
Список литературы
1.
Антипов И.Н., Виленкин Н.Я. и др., Избранные вопросы математики, 9 кл.- М.: Просвещение,1979.
2.
Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
3.
Афанасьев В.В. Введение в теорию вероятностей с помощью графов. – Математика № 35, 1999.
4.
Афанасьев В.В. Теория вероятностей в примерах и задачах. –Ярославль, 1994.
5.
Афанасьев В.В. Вероятностные игры. - Математика № 14, № 15 2005.
6.
Березина Л.Ю. Графы и их применение. М.: Просвещение,1979.
7.
Бунимович Е.А., Булычев В.А., Вероятность и статистика, 5-9 кл.- М.: Дрофа, 2002.
8.
Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики. М.: Просвещение, 1990.
9.
Вестник образования России. № 12, № 14, 2004.
10. Виленкин Н.Я.. Популярная комбинаторика. М.: Наука, 1975.
40
11. Виленкин Н.Я.. Индукция. Комбинаторика. М.: Просвещение, 1976.
12. Виленкин Н.Я.. Комбинаторика. М.: Наука, 1969.
13. Виленкин Н.Я., Потапов В.Г., Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами
комбинаторики и математической статистики. – М., Просвещение, 1979.
14. Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся. М, Педагогика, 1989г.
15. Возрастная и педагогическая психология. Под ред. М.В. Гамезо и др. М.: Просвещение, 1984.
16. Дзятковская Е.Н., Дьякова М.Б. Учет индивидуальных особенностей школьников при подготовке к
профильному обучению. / Профильная школа, 2003, №2.
17. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М., 2002.
18. Квант -№2, 1994, № 4, 2004.
19. Крутецкий В.А. Психология обучения математике. М.: Просвещение, 1976.
20. Лютикас В.С., Школьнику о теории вероятностей. – М.: Просвещение, 1976.
21. Математика (приложение к газете «Первое сентября»), № 34, 35, 41, 43, 44, 48 2002; № 4, 11, 17, 44
2003; № 25, 26, 31, 34 2004; № 5,7, 9 2005.
22. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. - М.,1989.
23. Мостеллер Ф. и др., Вероятность. – М.: Мир, 1969.
24. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач. – М., Наука, 1975.
25. Оганесян В.А. Методика преподавания математики в средней школе. М, Просвещение, 1980г.
26. Пед. диагностика №1-М., 2003
27. Психология и педагогика.- М.- Новосибирск, 2000.
28. Педагогика. Под ред. Бабанского Ю.К. М.: Просвещение, 1983.
29. Румшинский Л.З. Элементы теории вероятностей, М., Наука,1976.
30. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. – М., Наука, 1968.
31. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.
32. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности, М., Просвещение, 1984.
33. Талызина Н.Ф. Управление процессом усвоения знаний. – М.,1975.
34. Ткачева М.В. Анализ данных в учебниках Н.Я. Виленкина и других. — Математика в школе, № 5,
2003.
35. Фридман Л.М. Психология воспитания. – М., Сфера, 1999.
36. Фридман Л. М., Кулагина И.Ю. Психологический справочник учителя. - М.,1991.
37. Холодная М.А. Психология интеллекта: парадоксы, исследования. - М-Томск, 1997г
38. Холл. М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
39. Школа в «Кванте».- № 2,1994.
40. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М: МГУ, 1985.
41. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 1994.
42. Щукина В.А., Щукин Е.И. Случайные события. Ярославль,1995.
43. Якиманская И.С. Личностно-ориентированное обучение в современной школе. - М,1996.
Приложение 1
Значение комбинаторики, теории вероятностей и статистики в современной науке и практической
жизни
В настоящее время комбинаторика, теория вероятностей и статистика завоевали очень серьезное место в
науке и прикладной деятельности. Идеи, методы и результаты теории вероятностей, статистики,
комбинаторики не только используются, но буквально пронизывают все естественные и технические науки,
экономику, планирование, организацию производства, связи, а также такие далекие, казалось бы, от
математики науки, как лингвистику и археологию.
Сейчас без достаточно развитых представлений о случайных событиях и их вероятностях без хорошего
представления о том, что явления и процессы, с которыми мы имеем дело, подчиняются более сложным
закономерностям, чем закономерности полного детерминизма, невозможно полноценно работать в физике,
химии, биологии, управлять производственными процессами. Классические представления о господстве в
природе строго детерминистических закономерностей являются лишь первым приближением к тому, что
реально происходит. В действительности дело обстоит сложнее, поскольку в физике в силу молекулярного
строения материи имеет место взаимодействие огромного количества частиц, движущихся и сталкивающихся
беспорядочно. Цель физических исследований и состоит как раз в том, чтобы на базе этого хаоса выявить
закономерности, к которым он обязательно приводит, а также величину и частоту возможных отклонений.
Собственно, та же самая картина имеет место и в химии, где химические реакции происходят по законам
теории вероятностей, поскольку и здесь молекулярное и атомистическое строение материи играет основную
роль. Глубокое понимание химических процессов, обработка результатов экспериментов невозможны без
использования вероятностных и статистических методов. Это относится и к биологии, поскольку и здесь мы
сталкиваемся с воздействием на интересующие нас явления огромного, количества разнообразных факторов,
которые нет возможности даже перечислить. Хорошо известно, что если очень тщательно обработать почву
на некотором участке и затем высадить на ней сельскохозяйственную культуру, например, пшеницу, то
41
урожай, который будет снят осенью с различных частей этого участка равной площади, будет различен.
Разные колосья, казалось бы, абсолютно однородного семенного материала, будут содержать различное число
зерен. Если взвесить каждое отдельное зерно, то и здесь будет наблюдаться характерный разброс величин их
веса. Это только один пример, когда биологические явления требуют для своего изучения привлечения
вероятностно-статистических методов по самому их существу. Если вспомнить, что генетика, динамика
популяций и многие иные области современной биологии являются по своему существу и методам
исследования дисциплинами, в которых теория вероятностей сливается собственно с биологией, то
становится ясным, как важно биологу владеть понятиями, идеями и методами теории вероятностей.
Приведу несколько более конкретных примеров, относящихся к различным областям знания.
Представим себе, что мы производим наблюдения за появлением космического излучения и нас интересует
число частиц, которые попадают в данную область поверхности земли за определенный промежуток времени.
На вопрос, сколько частиц попадет в предстоящий промежуток времени заданной длины, мы не можем дать
однозначного ответа по той простой причине, что этого ответа не существует. В действительности может
попасть любое число частиц от 0 до сколь угодно большого числа, только вероятности каждого из таких
событий будут различны.
Лишь терминологически от рассмотренного вопроса отличаются следующие, имеющие огромное
практическое значение. Сколько вызовов от абонентов поступит за ближайшие 10 минут? Ответить на этот
вопрос однозначно нельзя, поскольку мы не знаем и не можем знать, кому из абонентов вздумается позвонить
в этот период времени. И действительно, на телефонной станции число вызовов за промежутки равной длины
колеблется в довольно значительных пределах. А знание закономерностей поступления вызовов очень важно
для проектирования телефонной станции, для организации ее работы. Мы вновь сталкиваемся с
необходимостью изучения случайных явлений, но уже для организации работы связи.
Пусть теперь нас интересует выявление закономерностей прибытия грузовых судов в какой-нибудь
морской порт. Как часто будет случаться, что за сутки прибудут 0, 1, 2, 3, ... судна? Определяется ли ответ
исключительно плановыми заданиями и расписанием? Очевидно, что нет, поскольку суда прибывают в порт
из многих стран мира и встречаются на своем пути со множеством непредвиденных обстоятельств —
задержками в портах, необходимостью остановок на непредвиденный ремонт или же для пережидания
шторма, и т. д. В результате непредвиденных возможностей изменения графика движения суда не поступают
в порт назначения в точно назначенное время. Наблюдается значительный разброс в их прибытии. В
результате загрузка порта делается случайной. Для организации работы порта необходимо использовать
методы теории вероятностей.
Еще пример, который в математическом отношении близок к двум приведенным. На станцию скорой
медицинской помощи в случайные моменты времени поступают требования от больных. Как в этих условиях
организовать работу станции? В частности, как рассчитать рациональное число дежурных машин и врачей,
чтобы, с одной стороны, больным не слишком часто приходилось долго ждать помощи и, с другой стороны,
не приходилось бы нести слишком большие расходы, содержа излишние штаты и машины? При этом задача
сильно осложняется тем, что нам неизвестны не только моменты поступления вызовов, но и места, откуда эти
вызовы поступят. Нам не известны заранее и состояние больного, его заболевание, а тем самым и то, как
долго врачу придется у него задержаться.
Известно, что как бы тщательно ни следить за однородностью технологического процесса, изготовленные
изделия обладают различным качеством, в том числе и различной длительностью их безотказной работы.
Сколько времени проработает определенное изделие, мы не знаем и не можем знать, так как нам неизвестны
его многочисленные внутренние качества, совокупность которых создает его индивидуальность. Нам
неизвестны также во всех деталях условия его эксплуатации. Все это создает предпосылки для очень
значительного разброса длительности безотказной работы.
Если взять большое число лиц одного пола, одного возраста и одной национальности, находящихся
примерно в одних и тех же жизненных условиях, то их рост, вес, объем груди, размер ступни, головы и т. д.
не остаются одними и теми же для всех этих лиц, а подвержены большим изменениям. Оказывается, что
наблюдающийся разброс для большой массы людей подчиняется определенным вероятностным
закономерностям, имеющим не только общетеоретическое значение, но и используемым в ряде отраслей
промышленности — швейной, обувной и т. д.
Статистические закономерности наблюдаются и в играющих такую важную роль для жизни
метеорологических явлениях. Смена погоды, количество осадков, число солнечных дней, изменение
температур пока для нас являются в значительной степени явлениями случайного порядка. К их изучению с
большой пользой применяются методы теории вероятностей и математической статистики. Удалось для ряда
районов земной поверхности разбить все разнообразие погодных условий на типы, смена которых подчинена
определенным, но не строго детерминистическим, а вероятностным закономерностям.
Заметим, наконец, что в педагогической деятельности непрерывно приходится учитывать случайные
явления разного рода. В каждом классе собираются учащиеся разных способностей, внимательности,
физических и психологических качеств. И в этих условиях нужно вести урок и выбирать такой способ
поведения, чтобы добиться лучших результатов. Мы имеем дело с типичной ситуацией управления
42
случайным процессом. Это только один из примеров, в действительности педагогика нуждается в теоретиковероятностном мышлении и его методах буквально во всех ее разделах. Без этого невозможно ни
разрабатывать, ни хорошо ставить педагогические эксперименты.
Теория вероятностей имеет и очень важное методологическое значение, поскольку она вводит в круг новых,
гораздо более широких закономерностей, которые позволяют описывать явления окружающего нас мира
полнее и глубже, чем это удается посредством классических закономерностей строгого детерминизма.
Приложение 2
Изучение элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики в школах ряда зарубежных
стран
Во многих зарубежных странах с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с
первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к
анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни.
Например, в учебном плане Англии изучению вероятностно-статистического материала отводится
значительное время. Учащиеся младших классов должны научиться выполнять группировку объектов,
собирать данные и заносить их в таблицу, выделять часть информации из таблицы, строить и читать
простейшие диаграммы, правильно использовать вероятностную терминологию, говорить о более и менее
вероятных исходах эксперимента. Итоговые требования к знаниям учащихся средних классов
свидетельствуют о том, что они осваивают различные способы обработки и представления статистических
данных, умеют работать с базой данных компьютера, оценивают и вычисляют несложные вероятности. В
старших классах от учащихся требуется умение анализировать и интерпретировать данные, представленные в
различной форме, проверять простейшие статистические гипотезы. Так, например, одно из заданий состоит в
том, что учащиеся должны провести опрос и выяснить отношение школьников и родителей к тому, чтобы
перерыв на обед в школе был сокращен на полчаса. Результаты опроса необходимо проанализировать и
сделать обоснованный вывод. В целом вероятностям и статистике посвящены 3 из 14 итоговых требований в
английской школе.
Экзамен на получение Общего аттестата об образовании включает тему - элементы теории вероятностей и
математической статистики. Для получения Общего аттестата об образовании обычного уровня школьники
должны владеть следующим материалом по теории вероятностей: вероятность события, комбинация событий,
случайная величина, биномиальное распределение, сложение и умножение вероятностей, математическое
ожидание, медиана. Для отдельных групп учащихся уровень требований к их знаниям значительно выше.
Имеются в виду те учащихся, которые сдают экзамен для получения Общего аттестата об образовании
повышенного уровня по программе SMP (School Mathematics Project). В вопросы программы входят
следующие понятия теории вероятностей: формула Пуассона, закон больших чисел, процессы Маркова.
Математическая подготовка школьников в США неоднородна. Это связано со спецификой системы
образования в США, выражающейся в делении учащихся по способностям, начиная с первых лет обучения в
школе. Две трети всех учащихся изучают математику на самом элементарном уровне. Теоретиковероятностные знания преподаются в основном в старшей средней школе, однако, в некоторых программах
младшей средней школы встречаются понятия вероятности и элементарные сведения статистики.
Углубленное изучение теоретико-вероятностных вопросов осуществляется в старшей средней школе лишь
незначительным числом наиболее способных к математике учеников.
Согласно материалам, разработанным Национальным советом учителей математики США, находить
простейшие вероятности могут даже ученики начальной школы. В V—VIII классах основное внимание
уделяется знакомству с вероятностными моделями реальных ситуаций, сравнению ожидаемых результатов с
теми, которые получены в ходе эксперимента. Американские педагоги подчеркивают, что данные, которые
ученики систематизируют и анализируют на уроках, должны быть им интересны, постановка задач должна
способствовать повышению математической культуры учащихся, развитию прикладных умений и навыков.
В методических рекомендациях школ США отмечается важность понимания вероятностных
закономерностей для современного гражданина, которому предстоит ориентироваться в информационном
потоке. Предполагается широко использовать игры, игровые ситуации для построения вероятностных
моделей и определения вероятности выигрыша.
Среди задач вероятностно-статистического характера часто встречаются такие, которые предназначены для
групповой работы всего класса. Например, учащимся предлагают нарисовать портрет среднего ученика
данного возраста. «Как выглядит? Сколько ему лет? Каков его рост? Какие у него отметки? Сколько у него
братьев и сестер? Какую телепередачу он не пропустит? Какую музыку он любит?» — учитель ставит
вопросы, на каждый из которых будет отвечать группа учащихся. В итоге коллективной работы
вырисовывается портрет ученика, с которым каждый может сравнить себя. В старших классах вероятностные
идеи и методы используются для постановки и решения задач как прикладного, так и теоретического
характера. Учащиеся знакомятся с распределением дискретных случайных величин, с нормальным
распределением, учатся понимать и использовать средние характеристики выборки, показатели вариации и
коэффициенты корреляции для анализа и сравнения выборок.
43
Что касается японской школы, то в ней пропедевтический курс статистики изучается со II класса, т. е. с того
момента, когда большинству учащихся исполняется 7 лет. На протяжении 5 лет у них формируются навыки
работы с эмпирическими данными, с таблицами и диаграммами. В младшей средней школе вероятностностатистический материал изучается в виде отдельных тем курса математики.
В I классе младшей средней школы (VII год обучения) элементам статистики рассматриваются правила
деления данных на шаги, гистограммы и кривые распределения, частоты, их таблицы и графики, а также
мода, медиана и среднее арифметическое как типичные представители выборки. Во II классе (VIII год
обучения) учащиеся должны научиться подсчитывать шансы случайного события, последовательно
систематизируя и классифицируя возможные исходы случайного эксперимента, находить число перестановок
и сочетаний в простых случаях, вычислять вероятности, пользоваться статистическим определением
вероятности для решения прикладных задач. В III классе на протяжении изучаются показатели разброса
данных, правила применения выборки для анализа генеральной совокупности, корреляционные таблицы и
диаграммы.
Благодаря такому большому вероятностно-статистическому блоку в программе обязательной средней
школы Японии вероятностные понятия прочно входят в круг повседневных представлений учащегося. Объем
теоретико-вероятностного цикла составляет 2,5% от общего объема математики.
Действующие в настоящее время программы по теории вероятности и математической статистике во
французской школе были приняты в конце 60-х годов, а незначительные изменения, направленные в сторону
большей доступности изложения материала вносились в 1981 - 85 годах. Как в образовательной, так и в
профессиональной французской школе элементы теории вероятностей и математической статистики
преподаются во II цикле, начиная с 16-летнего возраста учащихся. Но в настоящее время французские
педагоги ищут и находят пути более раннего (с 13-летнего возраста) обучения школьников основам
теоретико-вероятностным знаниям.
Приложение 3
Место и роль содержательной линии в системе математического образования
Развитое общество предъявляет к своим членам довольно высокие требования, относящиеся к умению
анализировать случайные факторы, оценивать шансы, выдвигать гипотезы, прогнозировать развитие
ситуации и, наконец, принимать решение в ситуациях, имеющих вероятностный характер, в ситуациях
неопределенности.
Ребенок в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра, азарт составляют
существенную часть его жизни. Он должен научиться осознавать соотношения понятий вероятности и
достоверности, выбирать наилучший из нескольких вариантов решения, оценивать степень риска и шансов на
успех, иметь представление о справедливости и несправедливости в играх и реальных жизненных коллизиях.
При изучении различных предметов в школе так же необходимы вероятностно-статистические знания, ведь
большинство рассматриваемых там закономерностей являются статистическими и требуют для глубокого
объяснения привлечения вероятностных идей и соответствующего понятийного аппарата.
Круг таких вопросов находится в сфере реальных интересов становления и развития личности. Познакомить
с комбинаторикой, теорией вероятностей и статистикой членов общества еще в школьном возрасте является
важной задачей, поскольку позднее переделать психику на новый способ мышления гораздо сложнее.
Введение элементов комбинаторики, теории вероятностей и статистики, прежде всего, призвано развить —
комбинаторный стиль мышления, вероятностно-статистическую интуицию, которые необходимы
современному человеку, как в общекультурном плане, так и для профессионального становления. Эта линия
призвана сформировать понимание детерминированности и случайности, помочь осознать, что многие законы
природы и общества имеют вероятностный характер, что много реальных явлений и процессов описываются
вероятностными моделями.
Поэтому были приняты принципиальные решения о включении элементов комбинаторики, теории
вероятностей и статистики в школьное математическое образование.
В связи с тем, что внедрение в практику этого материала требует нескольких лет и нуждается в накоплении
методического опыта, Министерство образования Российской Федерации рекомендовало образовательным
учреждениям начать его преподавание в основной школе с 2003/2004 учебного года (№ 03-93ин/13-03 от
23.09.2003).
В стандарты основного общего образования и среднего (полного) общего образования по математике
(Вестник Образования России №12, 2004 г., №14, 2004 г.) включены элементы комбинаторики, теории
вероятностей, статистики.
Появление в школьной программе этих содержательных разделов, ориентированных на знакомство
учащихся с вероятностной природой большинства явлений окружающей действительности, должно
способствовать усилению общекультурного потенциала, возникновению новых, глубоко обоснованных
межпредметных связей, гуманизации школьного математического образования, повышению математической
грамотности в соответствии с мировыми стандартами.
Возникает вопрос: каким образом всевозрастающий объем школьного курса математики остается
возможным изучать в примерно остающееся стабильным учебное время?
44
Как показывает история развития школьного математического образования, это становится выполнимым в
результате:
1) происходящего в изучаемом предмете процесса обобщения (генерализации) входящих в него понятий,
рассматриваемых фактов;
2) все возрастающего применения математических знаний и их приложений в повседневной практике, что
приводит к предварительному ознакомлению детей в их жизненном опыте с понятиями, подлежащими
изучению;
3) совершенствования методов и средств обучения.
Включение в школьный курс разделов комбинаторики, теории вероятностей, статистики становится
возможным, если каждый из перечисленных факторов учтен в должной для этого мере.
Надо так же понимать, что любая реформа обречена на провал, если ее не примет учитель, если ее
необходимость не осознанна, если не создан соответствующий учебно-методический комплекс.
Приложение 4
Использование компьютерного моделирования как средства интенсификации познавательной
деятельности учащихся
Деятельность представляет собой специфический вид активности человека, направленный на познание и
творческое преобразование окружающего мира, включая самого себя и условия своего существования.
Обучение можно рассматривать как некоторый вид управления познавательной деятельностью,
формированием и развитием психических процессов и свойств личности. Характеристики и свойства
обучения определяются характером и свойствами той деятельности, в ходе которой они сформировались и
которую могут ориентировать.
Среди разнообразных методов и средств интенсификации познавательной деятельности в преподавании
естественных дисциплин важное место занимает математическое и компьютерное моделирование, которые
являются универсальными методами решения широкого класса задач, так как позволяют адекватно описывать
реальные объекты, процессы и явления. Возможность проведения компьютерного эксперимента с
математической моделью позволяет расширить и сделать более глубокими знания по предмету; усилить
прикладную и практическую направленность обучения. Кроме этого, компьютерное моделирование
предоставляет возможность приобщения обучаемых к компьютерной технике и выработки навыков ее
систематического использования.
Разработка моделей является сложнейшей познавательной деятельностью учащихся и может включать как
прямое, так и косвенное управление, которые направлены на то, чтобы научить общим и наиболее
рациональным методам мышления, осуществлять поисковый процесс и т.д. Здесь требуется комплексное
решение всех проблем обучения с правильных психологических и дидактических позиций.
На каждом этапе моделирования преподаватель ставит определенную дидактическую цель, которая должна
быть сопоставима с уровнем усвоения знаний обучаемого.
Включение в школьный курс математики блока вероятностно-статистических вопросов (так называемой
линии анализа данных) ставит перед учителями ряд сложных методических проблем. В решении некоторых
из них существенную помощь могут оказать компьютерные технологии. Рассмотрим один из таких вопросов.
Известно как тесно связаны между собой понятия и методы теории вероятностей и статистики. Для того
чтобы школьники неформально усвоили природу этой связи полезно использовать вероятностностатистические игры, а также статистическую проверку правильности решения вероятностных задач. К
сожалению, для получения убедительного и надежного результата приходится выполнять слишком большое
число испытаний, что в условиях учебного процесса затруднительно.
Преодолеть эту трудность можно, моделируя описанный в задаче стохастический процесс на компьютере.
Для стандартных задач составление соответствующих программ вполне доступно школьникам старших
классов. При их написании учащиеся лицея использовали Turbo Pascal. Как показал опыт, составление
каждой такой программы содействует лучшему пониманию описываемого в задаче статистического
процесса.
Статистическое решение вероятностной задачи целесообразно начинать с нескольких испытаний,
проводимых в режиме физического эксперимента, и только после этого переходить к его компьютерной
реализации. Для того, чтобы сохранить убедительность компьютерного решения, желательно, одновременно с
демонстрацией значений меняющейся относительной частоты, изображать на экране монитора и сам
физический процесс. При этом в некоторых случаях, во избежание чрезмерных сложностей связанных с
изображением объектов, можно ограничиться "урновой" моделью, в которой действия сводятся к
манипулированию шарами.
Демонстрация процесса на экране монитора, хотя и идет быстрее, чем в реальном физическом
эксперименте, но все же не так быстро, чтобы за ограниченное рамками учебного процесса время, получить
значение частоты, отличающееся от вероятности менее чем на одну сотою долю единицы. Поэтому, после
того как учащиеся познакомятся с характером изменения относительной частоты, можно отключить
изображение и увеличить скорость процесса.
45
Особый интерес у учащихся вызывает компьютерная реализация и анализ некоторых, достаточно простых,
парадоксов теории вероятностей и статистики.
Покажем процесс поэтапного формирования умственных действий учащихся с использованием одного из
методов компьютерного моделирования – метода Монте-Карло.
Первоначально обучаемые знакомятся с особенностями и возможностями метода Монте-Карло. Суть
метода Монте-Карло заключается в использовании случайных чисел для описания вероятностной модели
некоторого объекта. Следующим шагом является рассмотрение способов получения случайных чисел,
которые затем будут использоваться при розыгрыше случайных событий.
Дальнейший этап представляет собой формирование умственных действий обучаемых, проявляющееся
через результаты деятельности - разработку алгоритма и программы. Содержание усваиваемых знаний в
данном методе обширно. Оно включает методы разработки алгоритмов, освоение конструкций какого-либо
языка программирования, практические навыки работы с инструментальной системой программирования,
знания из предметной области. Происходит постоянная комбинация теории и практики. Развиваются такие
умения учащихся, как пошаговая детализация алгоритма сверху вниз (анализ); сборка снизу вверх (синтез);
дедукция при поиске ошибок; обобщение алгоритма и снятие ограничений; умозаключение о правильности
программы (индукция). В этом случае деятельность учащихся направлена не на отдельные моменты решения
задач, а на полную систему действий: от постановки задачи до интерпретации результатов расчета.
Приложение 5
Организация научно-методической деятельности по руководству исследовательской работой
школьников
Исследовательская деятельность является не только самостоятельным компонентом образовательновоспитательного процесса, но и инструментом повышения качества образования. «Приобщение детей к
ранней научно-исследовательской, поисковой деятельности является одной из форм обучения в современной
школе, позволяющей наиболее полно определять и развивать как интеллектуальные, так и потенциальные
творческие способности, причем индивидуально у каждого ребенка» - такова общая стратегия инновационной
деятельности в рамках современной образовательной политики.
В Научном обществе учащихся реализуется одна из важнейших тенденций развития школьного
образования – усиление внимания к личности ребенка как субъекта образовательного процесса. Наука должна
и может научить каждого любознательного подростка самосовершенствованию и самоутверждению. Научноисследовательская работа не может носить массовый характер и проводится с наиболее увлеченными,
способными ребятами. Задача этой работы – подготовить учащихся к обучению и научно-исследовательской
46
деятельности в высшем учебном заведении, сформировать социально-активную жизненную позицию.
Цели:
1. Развитие интеллектуального творчества учащихся, привлечение их к исследовательской деятельности в
науке.
2. Выявление способных и одарённых учащихся.
Первый этап руководства
Прежде чем осуществить руководство исследовательской работой школьников, таких школьников надо
выявить, что можно сделать на уроках или на занятиях математического кружка. В процессе занятий на
уроках и на кружках создаётся математическая база для дальнейшей творческой работы школьника.
Необходимым условием творческой деятельности школьника является наличие математической базы и
желание школьника заниматься творческой деятельностью. Руководство исследовательской работой
школьника осуществляется через практическую деятельность, т.е. через решение задач. В процессе решения
задач предусматривается математическое развитие ученика. Руководитель должен научить школьника
варьированию условий задачи как средству активизации мыслительной деятельности. Варьирование - это
решение задач различными способами, составление и решение обратных задач, превращение задачи в более
простую и наоборот, получение различных выводов из уже решённой задачи, рассмотрение её частных
случаев, обобщение задачи, составление задачи, аналогичной к уже решенной. На занятиях математического
кружка руководитель должен показать, как составлять новые задачи, давать поисковые задания,
предполагающие при их выполнении проявление наблюдательности, обращение к анализу, синтезу,
сравнению, индукции. Необходимо подбирать блоки родственных заданий, объединённых одной
математической идеей или проблемой.
Второй этап руководства
1. Сформулировать проблему.
2. Дать школьнику тему доклада для представления на школьную научно-практическую конференцию
школьников.
3. Дать школьнику для решения и исследования интересные задачи, не встречающиеся в литературе
(составленные руководителем).
4. Предложить школьнику найти свои интересные задачи по теме, рассмотреть различные случаи,
осуществить поиск других способов решения предложенных руководителем задач, изменить некоторые
условия задач или рассмотреть задания с другими ограничениями.
5. Проводить индивидуальные консультации по возникающим у школьника вопросам.
6. Проверка и корректировка работы руководителем.
7. Помочь школьнику в подборе соответствующей литературы.
Покажу перечисленные этапы руководства на примере подготовки работы ученика 10 класса по теме:
"Математическое моделирование системы массового обслуживания - Рыбинского травмопункта".
Цель работы ученика:
1)
изучить необходимую литературу по моделированию систем массового обслуживания;
2)
создать компьютерную модель системы массового обслуживания.
Программа изучения темы:
1. Случайные величины и их характеристики.
2. Вероятностные модели.
3. Сбор статистических данных о работе Рыбинского травмопункта, анализ данных, выдвижение
гипотез, проверка гипотез.
4. Моделирование потока запросов.
5. Моделирование очередей.
6. Создание компьютерной модели работы Рыбинского травмопункта. Выводы об оптимизации работы
травмопункта.
Данная работа была представлена на VII Российской научной конференции школьников «Открытие», где
получила достойную оценку (диплом третьей степени).
47