Анализ общего выражения для функции правдоподобия

Лекция 6
АНАЛИЗ ОБЩЕГО ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИИ
ПРАВДОПОДОБИЯ ОЦЕНИВАЕМОГО ПАРАМЕТРА

ПРИ ПРИЕМЕ ПОЛНОСТЬЮ ИЗВЕСТНОГО
СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОГО
НОРМАЛЬНОГО СТАЦИОНАРНОГО ШУМА
Итоговые выражения для функции правдоподобия   оцениваемого параметра  имеют вид:
T

 1T


(

)

g

exp

s
(
t
,

)

(
t
,

)
dt

x
(
t
)

(
t
,

)
dt






0
 20


T

 K (t  t 2 )(t , )dt  s(t 2 , ).

0
Выделяют два больших класса оцениваемых параметров:

энергетические параметры,

неэнергетические параметры.
Анализ общего выражения для обоих классов будем осуществлять с
учетом того, что оценка по максимуму максиморуму функции правдоподобия совпадает с оценкой по максимуму максиморуму любой монотонной функции от функции правдоподобия () . Вместо () удобнее
рассматривать логарифм () .
Для энергетических параметров сигнала (параметров, от которых
зависит энергия сигнала) алгоритм функционирования оптимального
приемника выглядит
T
()   x(t )(t , )dt 
0
1T
 s(t , )(t , )dt.
20
Для класса неэнергетических параметров (от которых не зависит энергия сигнала, временное положение, фаза и др.) первый интеграл в выражении для  () не зависит от значения оцениваемого параметра  . Поэтому
алгоритм функционирования оптимального приемника упрощается до
следующего вида:
59
T
    xt t ,  dt.
0
Структурная схема приемно-решающего устройства для этого случая приведена на рис. 1.
x(t)
У
И
РУ
m
(t , )
n(t)
ФВФ
s(t , )
Рис. 1. Структурная схема устройства оценки неэнергетического
параметра  сигнала известной формы s(t , ) : У – умножитель;
И – интегратор; РУ – решающее устройство; ФВФ – формирователь
весовой функции
Из приведенной структурной схемы видно, что функция (t , )
представляет собой «опорный» сигнал местного гетеродина корреляционного приемника или импульсную характеристику соответствующего
оптимального фильтра.
Определим вид весовой функции (t , ) для случая смеси сигнала
s (t , ) с белым нормальным шумом. Для белого шума
K (t  t 2 ) 
N0
(t  t 2 ) ,
2
из интегрального выражения
T
 K (t  t 2 )(t , )dt  s(t 2 , )
0
получаем
60
(t , ) 
2
s(t , ) .
N0
Таким образом, в данном случае весовая функция совпадает с формой сигнала.
Для «небелого» шума выражение для весовой функции существенно
усложняется. Например, для шума с функцией корреляции
K ()  2 exp   
весовая функция имеет вид:
 
1 d 2 s (t , ) 
(t , )  2  s (t , )  2
.
2 

dt 2 
1. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ОЦЕНОК ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ
Первоначально рассмотрим оценку неизвестной амплитуды сигнала
известной формы.
Пусть на вход приемного устройства поступает аддитивная смесь
полезного сигнала
s(t,a)=a s0(t),
где а0 – амплитуда сигнала; s0(t) – нормированный сигнал (сигнал с амплитудой =1), и нормального стационарного шума n(t):
x(t )  s(t , a)  n(t ) .
Положим также, что  n(t )   0 .
Логарифм функции правдоподобия амплитуды можно записать
T
1T
M ()   x(t )(t , )dt   s(t , )(t , )dt ,
20
0
T
M (a)  a  x(t ) 0 (t )dt 
0
где учтено, что (t , a)  a 0 (t ) .
61
1 2T
a  s 0 (t ) 0 (t )dt ,
2 0
Функция  0 (t ) определяется из интегрального уравнения
T
 K (t  t 2 ) 0 (t 2 )dt 2  s 0 (t ) .
0
Решая уравнения правдоподобия
T
T
 da 
 
 





x
t

t
dt

a

0
m  s0  t   0  t  dt  0,
 da 
0
0
am
относительно оценки a m получаем
T
am 
 x(t )0 (t )dt
0
T
 s0 (t )0 (t )dt
.
0
Данное соотношение вскрывает структуру оптимального приемного
устройства для оценки неизвестной амплитуды полностью известного
сигнала. Основной операцией является линейная операция интегрирования аддитивной смеси сигнала и шума x(t ) с весом  0 (t ) . Эта операция
может быть выполнена с помощью соответствующего линейного фильтра:  0 (t )  ch(T  t ) или ch(t )   0 (T  t ) , где с – некоторая константа.
Определим статистические характеристики (смещение и дисперсию)
оценки амплитуды сигнала.
Среднее значение оценки определяется соотношением
T
 a 0 s 0 (t )  n(t )  0 (t )dt
am 
 a0 ,
0
T
 s 0 (t ) 0 (t )dt
0
т. е. оценка является несмещенной.
Дисперсия оценки определяется формулой
62
T T
 (a )  (am  a0 )
2

2

x(t1 ) x(t2 ) 0 (t1 )0 (t2 )dt1dt2
 a02 
0 0
T

s
(
t
)

(
t
)
dt
 0

0
0

2
TT

  n(t1 )n(t 2 ) 0 (t1 )0 (t 2 )dt1dt2
00


  s0 (t )0 (t )dt 
0

T
2
T T

 K (t1  t2 )0 (t1 )0 (t2 )dt1dt2
0 0


  s0 (t )0 (t )dt 
0

T
2

T

 s0 (t )0 (t )dt
0
T

  s0 (t ) 0 (t )dt 
0

2
.
T
Так как  K (t1  t2 )0 (t2 )dt2  s0 (t1 ) , окончательно имеем
0
1
T

 (a)    s 0 (t ) 0 (t )dt  .
0

2
При приеме сигнала в белом шуме со спектральной плоскостью
2
N 0 (0 (t ) 
s0 (t )) имеем
N0
 2 (a) 
N0
T
2
.
s 02 (t ) dt
0
Определим дисперсию оценки амплитуды при приеме сигнала на
фоне нормального шума с функцией корреляции
K ()   2 exp   ,
для которой при нулевых значениях сигнала для t=0 и t=T, имеем:
63
2
 
1 d s 0 (t ) 
 0 (t )  2 s 0 (t )  2
.
2
2 

dt

Дисперсия оценки:
T

 (a)    s 0 (t ) 0 (t )dt 
0

2
1
2
Т
 2  
 0
s 02

1T
t dt   s 0 t s t dt 
0

1

1
 T

1T
 2 2   s 02 t dt   s 0 t 2 dt  .
0
 0

Пусть сигнал имеет колокольную форму

s 0 (t )  exp   2 (t  t 0 ) 2

и полностью расположен внутри интервала 0,T  . Тогда, распростра-няя
пределы интегрирования на интервал (, ) , получаем (рис. 2)
4 2
,
 (a) 
 
2 (  )
 
2
где 

характеризует отношение полос спектров сигнала и шума.
2 (a)
42
2
0,5
1
 
Рис. 2. Зависимость нормированного значения дисперсии оценки
амплитуды  2 (a) от отношения  
64
2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОЦЕНОК
НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ СЛУЧАЙНЫХ
СИГНАЛОВ
Рассмотрим более подробно структуру логарифмической функ-ции
правдоподобия неэнергетического параметра сигнала, когда
T
M     xt t ,  dt .
0
Если  0 – истинное значение параметра
x(t )  s(t ,  0 )  n(t ) ,
T
T
0
0
0t T
M ()   s(t ,  0 )(t , )dt   n(t )(t , )dt  S ()  N () ,
T
где S ()  S (   0 )   s(t ,  0 )(t , )dt – сигнал на выходе оптимального
0
приемника (сигнальная функция);
T
N ()   n(t )(t , )dt – шум на выходе оптимального приемника
0
(шумовая функция).
Рассмотрим свойства сигнальной и шумовой функции.
Сигнальная функция – это ненормированная по максимальному значению функция корреляции входного полезного сигнала с опорным сигналом местного гетеродина оптимального приемника по оцениваемому
параметру  . При    0 функция S ()  S ( 0 ) – достигает максимума:
T
TT
0
00
S ( 0 )  Q0   s(t ,  0 )(t ,  0 )dt    s(t1 ,  0 ) s(t 2 ,  0 )(t1 , t 2 )dt1dt 2
T
 s(t1 ,  0 )  (t1 , t 2 )dt1  (t 2 ,  0 ) .
0
Полагая сигнал (t , ) (так же, как и сигнал s(t , ) ) аналитическим
по параметру  и разлагая его в ряд Тейлора в окрестности точки    0 ,
для сигнальной функции S () получаем:
65
T
T
S ()   s (t ,  0 )(t ,  0 )dt  (   0 )  s (t ,  0 )
0

0
(t ,  0 )
dt 

T
 (t ,  0 )
1
(   0 ) 2  s (t ,  0 )
dt  
2
2


0
2
Из этого соотношения видно, что сигнальная функция зависит от
разности между текущим и истинным значением оцениваемого параметра.
Кроме того, для реальных сигналов, часто встречающихся на практике, S () зависит лишь от абсолютного значения разности (   0 ) . Подтвердим сказанное на примере вычисления сигнальной функции при оценке начальной фазы отрезка гармонического колебания
s(t ,  0 )  a 0 cos(  0 t   0 )
0t T
0 
1
T
на фоне белого шума со спектральной плотностью N0 , т. е. когда
2
(t , ) 
s(t , ) .
N0
Получаем, что сигнальная функция является четной функцией относительно   0 (в общем случае    0 ):
T
2a 02 T
2
S () 
cos
(

t


)
dt

(



)

0
0
0  cos( 0 t   0 ) sin( 0 t   0 )dt 
N 0 0
0
T

 a 02T  (   0 ) 2 (   0 ) 4
1
2
2
 (   0 )  cos (0 t   0 )dt   

 .
1 
2
2!
4!

0
 N 0 
Аналогичным образом четность сигнальной функции при оценке
неэнергетических параметров можно показать и на других примерах
оценки параметров при приеме сигнала в белом и коррелированных нормальных шумах. Это все справедливо, если сигнал и его производные
полностью заключены в интервал наблюдения 0, T  .
Шумовая функция N () – представляет собой линейную операцию
интегрирования в течение фиксированного времени стационарного нормального шума с весовой функцией (t , ) . Так как n(t )  0 , то
T
N ()   n(t ) (t , )dt  0 .
0
66
Функция корреляции случайного процесса N () имеет вид:
TT
N ( 1 ) N ( 2 )    n(t1 ), n(t 2 ) (t1 ,  1 )(t 2 ,  2 )dt1dt2 
00
TT
   K (t1  t 2 )(t1 ,  1 )(t 2 ,  2 )dt1dt2 .
00
T
Так как
 K (t
1
 t2 )(t1 , 1 )dt1  s (t2 , 1 ) ,
0
получаем
T
N ( 1 ), N ( 2 )   s(t 2 ,  1 )(t 2 ,  2 )dt 2  S ( 1   2 ) .
0
Дисперсия случайного процесса N () при этом численно равна максимальному значению полезного сигнала на выходе оптимального приемника
T
N ()  S (0)  Q0   s(t , )(t , )dt .
2
0
Таким образом, шум на выходе оптимального приемника имеет
нормальное распределение с нулевым средним значением и функцией
корреляции, совпадающей по форме с выходным полезным сигналом, и
является стационарным. Дисперсия этого нормального процесса численно равна максимальному значению сигнальной функции.
Определим отношение сигнал/шум на выходе оптимального приемника
S 2 ( 0)
2
N ( )
 Q0 ,
где S 2 (0) – квадрат максимального значения выходного сигнала;
N 2 () – средняя мощность выходного шума.
Таким образом, отношение сигнал/шум на выходе оптимального
приемника совпадает с максимальным значением полезного сигнала и
дисперсией выходного шума.
67