Лабораторная работа №10 ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ

Лабораторная работа №10
ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ ВОЛНОВЫХ
ЯВЛЕНИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Изучение волновых процессов на примере поверхнос тных волн, возбуждаемых на поверхности воды с помощью
вибратора, совершающего колебательное движение с регулируемой частотой в диапазоне от 20 до 100 Гц. Измерение
скорости распространения поверхностных волн, изучение
явлений дифракции и интерференции при прохождении по верхностных волн через отверстия непроницаемых экранов.
МЕТОДИЧЕСКИЕ И ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
РАБОТЫ
Различают три основных вида волн: упругие (звуковые,
сейсмические и т.д.), электромагнитные (свет, радиоволны
и др.) и волны на поверхности жидкости.
Поверхностные волны выделены в отдельную группу,
т.к., по словам Р.Фейнмана, "...эти вол ны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет, здесь собраны все трудности,
какие могут быть в волнах." Действительно, поскольку мо дуль сдвига для жидкостей и газов равен нулю, то попереч ные волны в этих средах распространяться не могут. Вмес те с тем, если следить лишь за изменениями положения по верхностного слоя жидкости, подвергнутой возмущению, то
волны на её поверхности можно назвать поперечными. При
формировании волн на поверхности рек и различных водо емов сочетание различных физических процессов бывает
настолько трудно учитываемым (плюс ко всему еще и эф фект удара при приближении к берегу), что, например, про цесс возникновения хорошо известной из наблюдений изог 138
нутой волны до настоящего времени не описан. Вместе с
тем, изучение поверхностных волн имеет большое практическое значение для судостроения, при проектировании и
эксплуатации гидросамолетов и т.д. Ниже рассматриваются
идеализированные условия формирования поверхностных
волн в лабораторных условиях, когда ванна заполняется во дой, вязкость которой полагается пренебрежимо малой, а
источником возмущающей силы является погруженный в
воду на 0,5 – 1 мм вибратор, совершающий возвратно -поступательное колебательное движение.
При возникновении волновых колебательных процессов
кроме возмущающей должна существовать и возвращающая
сила. В случае поверхностных волн роль возвращающей си лы играют силы поверхностного натяжения и силы тяжести.
Поверхность покоящейся жидкости, находящейся под воз действием только силы тяжести, горизонтальна. Всякое иск ривление поверхности жидкости, вызванное действием воз мущающей силы (колебания вибратора), связано с увели чением её потенциальной энергии, обусловленной действи ем сил поверхностного натяжения. Под действием этих сил
поверхность стремится уменьшиться, т.е . возвратиться в горизонтальное положение, в котором потенциальная энергия
минимальна. При небольших амплитудах волн пути отдель ных частиц жидкости с некоторым (довольно большим) при ближением можно считать окружностями. Круговое движе ние частиц возникает в связи с тем, что имеет место сумма
продольных и поперечных волн. Диаметры этих круговых
путей наибольшие для частиц, находящихся на поверхнос ти, и быстро уменьшаются с глубиной. Поэтому можно счи тать, что волны распространяются в тонком поверхностно м
слое жидкости.
Диаметр d  2r траекторий поверхностных частиц жид кости равен разности между впадиной и гребнем. Период T
полного обращения частицы соответствует продвижению
волны на полную ее длину  . На гребне волны частица движется в направлении распространения волны, во впадине –
в противоположном направлении.
139
Для определения скорости распространения волны удоб но рассмотреть движение частиц жидкости на поверхности
в системе координат, жестко связанной с движущейся волной. В случае маленьких амплитуд r    наблюдатель,
движущийся вместе с волной, видит частицы, проносящи еся по поверхности "застывшей" волны в сторону, противо положную движению волны. Во впадине эта относительная
2 r
скорость частицы равна  
, где  – скорость волны,
T
2 r
– абсолютная скорость частицы.
T
На гребне относительная скорость частиц меньше, чем
во впадине, на удвоенную величину ее абсолютной скорости.
Это уменьшение скорости частицы при поднятии на гребень
объясняется увеличением ее потенциальной энергии.
Для гравитационных волн (так называют один из видов
поверхностных волн), в образовании которых основную
роль играют силы тяжести, по сравнению с которыми силы
поверхностного натяжения пренебрежимо малы, это изме нение потенциальной энергии U  равно весу mg , умноженному на высоту:
U  mg  2r ,
где g – ускорение силы тяжести;
m – масса частицы.
Изменение
кинетической
энергии
определить из соотношения:
(10.1)
W 
2 r 2
2 r 2  4mr
m 
.
W     ( 
)  ( 
) 
T
T
T
2 

По закону сохранения энергии U  W , т.е.
140
можно
(10.2)
2mgr 
4mr
.
T
(10.3)
В случае малых амплитуд очертание волны можно считать синусоидальным. Для гармонических колебаний
   T.
(10.4)
Учитывая это, из (10.3) и (10.4) следует выражение для
скорости поверхностных волн, обусловленных влиянием
силы тяжести:

g
.
2
(10.5)
С ростом длины волны  скорость волны, описываемая
формулой (10.5), возрастает.
Влияние поверхностного натяжения на величину потен циальной энергии можно учесть следующим образом.
Рассмотрим вертикальное сечение волны, приведенное на
рис. 10.1.

P
А
h
Q
В
Рис. 10.1. Вертикальное сечение волны
Волна распространяется в направлении линии АВ по по верхности жидкости плотностью  и с поверхностным на-
141
Н
кг
тяжением  (для воды   103
,   73 10 3 ). Линия АQВ –
3
м
м
это уровень спокойной поверхности воды, h – высота точки
Р волновой поверхности над линией АВ.
Если в процессе распространения волны точка Р под нимается на бесконечно малую высоту  , то малый элемент
поверхности ds , включающий точку Р, будет двигаться
вверх против действия силы, равной
ds 

R
,
где R – модуль радиуса кривизны вертикального сечения
вол-ны в точке Р.
Работа, совершаемая при подъеме элемента поверхнос ти
ds в произвольной точке Р, равна:
dA  ds 

R
  cos  ,
(10.6)
где  – угол между вертикалью и радиусом кривизны вер тикального сечения волны в точке Р.
Можно считать, что жидкость, необходимая для напол нения освободившегося при перемещении элемента поверх ности пространства, берется с уровня А QВ. Тогда работа,
совершаемая против силы тяжести, равна   ds   cos   gh .
Вся совершаемая при перемещении элемента поверхности
ds работа, т.е. полное приращение потенциальной энергии,
равна:


dU  ds    cos   gh   .
R

142
(10.7)
Множитель 1 / R может быть вычислен из следующих
сооб-ражений. Запишем уравнение бегущей волны в виде:
 t x
h  h0 sin 2    ,
T  
(10.8)
где t – текущее время;
x – координата вдоль оси АВ.
Если зафиксировать положение волны в какой -то момент
времени t , то получим кривую, изображенную на рис. 10.1.
Кривизну в любой точке можно вычислить по известному
из курса высшей математики соотношению:
3
2
1 d 2 h   dh    2

1     .
R dx 2   dx  
(10.9)
В рассматриваемом случае малых амплитуд (h0   ) второй член в квадратных скобках можно опустить.
Следовательно,
1 4 2
 2 h.
R

(10.10)
Подставляя значение крутизны (10.10) в соотношение
(10.7), получим:
2 

4


dU  ds    cos    h g 
.
2 



(10.11)
Из соотношения (10.11) видно, что поверхностное натяже-
143
ние как бы увеличивает ускорение силы тяжести на величину
4 2
.
2

Учитывая это, можно видоизменить соотношение (10.5)
для скорости волны применительно к общему случаю с уче том как силы тяжести, так и поверхностного натяжения:

2
g 
 .
2

(10.12)

Выражение под знаком корня есть сумма двух слагае мых, изменяющихся в противоположном напра влении при
изменении длины волны. Значение длины волны, соответ ствующее минимальной скорости, разграничивает область
волн, обусловленных действием силы тяжести (гравитаци онных), от области так называемых капиллярных волн, в
образовании которых основную роль играет поверхностное
натяжение жидкости. Для чисто капиллярных волн
2


g
,
2
и скорость

2

 .
(10.13)
В общем случае из (10.12) можно получить выражение
коэффициента поверхностного натяжения, выражая ско рость  через частоту колебаний  (частота колебаний вибратора) и длину волны  , определяемую экспериментально.
Так как    , то
144
3  2
2 g

 2.
2
4
(10.14)
Соотношение (10.14) используется при определении ко эффициента поверхностного натяжения жидкости волновым
методом.
Поверхностные волны в общем случае (10.12) обладают
дисперсией скорости. На реках или водоемах это проявля ется в том, что при прохождении какого -либо судна на берегу вначале слышны редкие, а потом все более частые
затухающие всплески. Это объясняется тем, что длинные волны имеют бóльшую скорость. Выше мы определяли фазовую
скорость поверхностных волн. Реальное движение происхо дит с групповой скоростью, которая превышает фазовую (10.12)
для длин волн меньших длины волны, соответствующей ми нимальной фазовой скорости, и меньше нее в противопо ложном случае.
В тех случаях, когда   H , где H – глубина водоема
(приливные волны):
  gH .
(10.15)
Это единственный вид поверхностных волн, не обладаю щих дисперсией.
Поверхностные волны обладают всеми свойствами, при сущими всем остальным видам волновых процессов. Так,
при одновременном распространении нескольких волн к олебания частиц оказываются геометрической суммой коле баний, которые совершали бы частицы при распростра нении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны
накладываются друг на друга, не возмущая одна другую
(принцип суперпозиции).
Если колебания, обусловленные волнами, возбужденными различными источниками, когерентны, т.е. обладают
постоянной разностью фаз в каждой точке среды, при их
сложении наблюдается явление интерференции. Интерфе 145
ренция проявляется в том, что в одних местах волны уси ливают, а в других ослабляют друг друга.
В данной работе явление интерференции наблюдается
при сложении волн, источниками которых являются отверс тия в непроницаемом экране, установленном в воде на пути
распространения первичных поверхностных волн, возбужда емых вибратором. При этом на экране диаскопа лаборатор ной установки в местах увеличения амплитуды волновые
поверхности имеют меньшую освещенность, а в местах ос лабления амплитуды – бóльшую освещенность.
Расчет амплитуды колебаний после прохождения через
отверстия связан со сложными математическими операци ями, что затрудняет восприятие происходящих физических
явлений. В связи с этим ниже дифракция и интерференция
волн рассматриваются упрощенно, однако с сохранением
основных качественных особенностей рассматри ваемых
процессов.
При прохождении волн через одно отверстие в непрони цаемом экране дифракционная картина имеет вид, изобра женный на рис. 10.2,а, и качественно может быть объяснена
с помощью принципа Гюйгенса. При квазимонохромати ческом характере колебаний их частота после прохождения
через отверстие остается неизменной, а интенсивность су щественно снижается. При размерах отверстия, сопоста вимых с длиной волны колебаний, первый волновой фронт
(например, максимум амплитуды) сформируется на удале ниях порядка 1 2 от центра отверстия, а радиусы после дующих аналогичных волновых фронтов будут последова тельно увеличиваться на величину  . Форма волнового
фронта вблизи отверстия близка к полуокружности.
При прохождении поверхностных волн через два отверс тия, расстояние между которыми сопоставимо с их размера ми, наблюдается интерференция волн, которая проявляется
в искривлении волновых поверхностей (рис. 10.2,б) на небольших удалениях от экрана.
При прохождении поверхностных волн через N отверстий интерференционная картина будет иметь вид, приве 146
денный на рис. 10.2,в. Сущность процесса формирования
волнового фронта в этом случае практически та же, что и
при сложении волн в случае двух отверстий.
а)
A
M
K
B
б)
A
M
K
L
F
B
в)
A
B
Рис. 10.2
ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Принцип действия устройства основан на освещении
прерывистым освещением волновой картины на поверх ности воды. Частота прерываний светового потока должна
совпадать с частотой поверхностной волны. При проектировании волновой картины на экран диаскопа, вследствие
возникающего при этом стробоскопического эффекта, на эк ране наблюдается стоячая картина волны, по которой и произ водятся измерения.
Устройство (рис. 10.3) содержит диаскоп 1 и электронный блок 2.
147
1
2
сеть
Рис. 10.3
Диаскоп (рис. 10.4) состоит из штатива 1, основание 2
которого служит экраном для наблюдения картины волно вого процесса. В верхней части диапроектора находится ис точник света 3, который полагается точечным. Световой
поток источника (лампа РН-20-1) модулируется обтюратором 4, который насажен на ось электродвигателя 5. Модулированный световой поток падает на поверхность воды
в ванне 6.
Источником возбуждения волн различной частоты слу жит вибратор 7, который приводится в колебательное воз вратно-поступательное движение при помощи эксцентрика
8, посаженного на вал электродвигателя 5. К вибратору крепятся сменные наконечники 9, возбуждающие волны на поверхности воды.
Модулированное освещение создает стробоскопический
эффект, что позволяет фиксировать какую -либо выбранную
фазу колебаний, т.е. как бы "останавливает" для наблюде ния бегущую волну.
148
Частота (длина) волн на поверхности воды задается час тотой вращения вала электродвигателя и управляется элек тронным блоком.
Частота модулированного светового потока совпада ет с
частотой поверхностных волн, что обусловлено конструк цией установки. Она измеряется фотодатчиком 10 и отображается на передней панели электронного блока.
Рис. 10.4
На переднюю панель электронного блока выведены так же кнопка "Сеть" и ручки управления часто той волны
"Грубо" и "Плавно". На задней панели блока имеется кноп ка "Контроль", при нажатии которой в случае нормальной
149
работы частотомера индикатор на передней панели должен
показывать частоту 1024 Гц.
Уровень воды в ванне 10  2 мм, размер поля изображения порядка 240 x 240 мм, увеличение волн на экране
(крат) 3  0,2; пределы измерения частоты вибратора и стро боскопа порядка 20 – 100 Гц, амплитуда колебаний вибра тора не менее 0,5 мм.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1. Тщательно вымыть ванну и залить в нее воду, прове ряя ее уровень по делениям на боковых стенках ванны.
Уровень жидкости должен быть примерно равен 10 мм, что
позволяет исключить влияние дна ванны на параметры вол ны. Слишком много воды наливать нецелесообразно, т.к.
вследствие преломления в толще жидкости кольца волновых
поверхностей будут широкими с низкими границами, что
снижает точность измерений.
Произвести регулировку положения основания диаскопа
(при необходимости) с помощью регулируемых опор.
Установить (при необходимости) требуемый по условиям
лабораторной работы наконечник на вибратор и нужный эк ран на дно ванны.
2. Подключить устройство к сети 220 В и нажать кнопку
"Сеть". Дать устройству прогреться 1 – 2 мин.
Положить на основание диаскопа кальку (лист бумаги) и
зафиксировать ее положение пружинами.
3. Пользуясь ручками грубой и плавной регулировки, ус тановить частоту колебаний вибратора, равной 30 Гц. Изме рить длину возбуждаемой поверхностной волны. При измере нии длины волны между отсчетами мер ительной линейки
должно помещаться целое число длин волн. Окончание
стержня вибратора у поверхности жидкости должно нахо диться на одной прямой с градуированной гранью мери тельной линейки.
150
Измеряемая длина волны (с учетом кратности увеличе ния) равна отношению расстояния между выбранными точ ками отсчета к числу длин волн на интервале измерения.
Результаты измерений занести в таблицу 1.
Таблица 1
Определение скорости распространения поверхностных волн
№
 , Гц
, м
м
м


,

,
K

пп
расч
1
с
с
 расч
1
2
:
:
n
Среднее значение величины K1
Среднеквадратическое отклонение 
Доверительный интервал величины K1
Изменяя частоту колебаний вибратора (рекомендуется с
интервалом 10 Гц), повторить измерения длины волны, за нося полученные результаты в таблицу 1.
Величина скорости определяется по формуле:
   .
Расчетные значения скорости для каждой из измеренных
длин волн определяются по формуле (10.12). Математи ческое ожидание величины K1 равно:
n
K1 
 Ki
i 1
n
,
(10.16)
где n – число измерений.
Среднеквадратическое отклонение величины K равно:
151
n

 (Ki 
K )2
i 1
n(n  1)
.
(10.17)
Доверительный интервал для выбранной доверительной
вероятности (рекомендуется 0,95) равен:
K1  K1  t ,n   ,
(10.18)
где t ,n – коэффициент Стьюдента (см. Приложение 1).
Построить в одной системе координат графики   f1 ( )
и  расч  f 2 ( ) . При построении зависимости  расч ( ) установить минимальную скорость поверхностных волн в воде
и соответствующую этой величине длину волны.
4. Установить частоту колебаний вибратора 50 Гц. Разместить в ванне экран с одним отверстием. Экран распола гается от вибратора на расстоянии порядка 2 –3 длин волн
таким образом, чтобы воображаемая прямая, соединяющая
окончание стержня вибратора у поверхности воды со среди ной отверстия, была перпендикулярна поверхности экрана.
Регулируя частоту ручкой "Плавно", добиться наиболь шей отчетливости дифракционной картины после прохож дения поверхностных волн через отверстие в экране. Изме рить длину волны до и после прохождения колебаний через
отверстие. Для чего в каждом из рассматриваемых случаев
выполнить по 4–5 измерений длины волны. Затем, поль зуясь формулами (10.16), (10.17) и (10.18) , определить
средние значения, среднеквадратические отклонения и до верительные интервалы для измеренных величин.
Скопировать картину волновых поверхностей в области
вибратор–экран, обращая внимание на светлые и темные
пятна на соответствующих волновых поверхностях, и после
прохождения волны через отверстие. Объяснить получен ные результаты.
152
5. Установить частоту колебаний вибратора 50 Гц. По
методике, изложенной в п.4 установить экран с двумя от верстиями. Размеры отверстий в экране такие же, как и в
экране с одним отверстием (п.4).
Регулируя частоту ручкой "Плавно", добиться наиболь шей отчетливости изображения волновых поверхностей
после прохождения колебаний через отверстия в экране.
Скопировать картину волновых поверхностей после про хождения волны через отверстия. Используя результаты
п.4, показать, что интерференционная картина получается в
результате сложения колебаний от двух идентичных источ ников волн (отверстий).
6. Заменить экран с двумя отверстиями экраном с нес колькими (больше двух) отверстиями. Повторить все опера ции, описанные в п.5. Показать, что интерференционная
картина получается в результате сложения колебаний от N
идентичных источников поверхностных волн.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Назовите основные характеристики плоских волн. На пишите уравнение плоской волны.
2. Чем отличаются продольные волны от поперечных?
3. Дайте определения фазовой и групповой скорости.
4. Как связаны волновое число, частота и скорость вол ны, а также длина волны?
5. Какие поверхностные волны называются гравитационны ми?
6. Какие поверхностные волны называются капиллярны ми?
7. Выведите выражение для скорости поверхностных гравитационных волн.
8. Какие приближения были сделаны в п.8?
9. Выведите выражение для скорости капиллярных волн.
10. Какие приближения были сделаны в п.10?
153
11. Получите выражение для скорости волны на мелкой
воде с учетом как силы тяжести, так и поверхн остного натяжения.
12. Что такое дисперсия?
13. Сформулируйте принцип Гюйгенса.
14. Дайте определение явлению интерференции.
15. Какие волны называются когерентными?
16. На чем основан прицип действия эксперементальной установки?
17. В каком случае на экране осциллографа можно наблюдать неподвижную картину?
18. Чем задается частота волн на поверхности воды?
19. Можно ли использовать приближение “мелкой воды”
при заданом уровне воды в ванне?
20. Как измерить в данном опыте длину волны?
21. Как получить экспериментальное значение скорости
волны?
22. Рассчитайте среднее значение скорости и абсолют ную ошибку измерения.
23. Как определить рассчетное значение скорости при за данной длине волны?
24. Сравните рассчетные значения скоростей с экспери ментальными. Совпадают ли они в пределах ошибки из мерений?
25. Как получить дифракционную картину для поверх ностных волн?
26. Изменяется ли длина волны до и после прохождения
отверстия в экране?
27. Вычислите средние значения и абсолютные погреш ности длин волн до и после прохождения экрана. Объясните
полученные результаты.
28. Каким должен быть размер отверстия, чтобы можно
было наблюдать явление дифракции?
29. Сформулируйте условия дифракционых максимумов
в случае дифракции на одном отверстии.
30. Сформулируйте условия дифракционых минимумов в
случае дифракции на одном отверстии.
154