ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ НОУ ВПО «РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА» (институт)

Российская Экономическая Школа
НОУ ВПО «РОССИЙСКАЯ ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ШКОЛА»
(институт)
программа учебной дисциплины
ОСНОВЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ
по направлению 080100.62 «Экономика» подготовки бакалавра
автор программы: А.М. Райгородский , д.ф.-м.н., mraigor@yandex.ru
Утверждена Cоветом Программы
«___»_____________2012 г.
Исполнительный директор:
Е.В. Максимова___________________
Москва
2012
Российская Экономическая Школа
Цели освоения и краткое описание дисциплины
Данная дисциплина познакомит студентов с основами современной «Computer Science».
Наука эта бурно развивается, и сейчас в ней есть масса разнообразных направлений,
связанных с теорией графов, математической логикой и теорией алгоритмов, теорией
кодирования и криптографией, теорией информации, теорией вероятностей и др.
Разумеется, в одном семестровом курсе невозможно охватить такое многообразие
сюжетов. Цель - дать почувствовать дух этой красивой и глубоко математизированной
системы дисциплин. Изучение данной дисциплины будет интересно всем, кто
увлекается комбинаторикой, теорией графов и алгоритмами, а также не боится слова
«вероятность».
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины
ОК-12, ОК-13, ПК-1, ПК-2, ПК-3, ПК-4, ПК-5, ПК-6, ПК-10, ПК-12, ПК-14, ПК-15
Структура и организация учебной дисциплины
Название раздела
Всего
часов
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоятельная
работа
1
Основы комбинаторного анализа
36
4
4
28
2
36
6
6
24
3
Основы теории графов и
гиперграфов.
Основы теории вероятностей.
36
6
6
24
4
Случайные графы.
36
6
6
24
5
Числа Рамсея.
36
6
6
24
6
Алгоритмы.
36
4
4
28
32
32
152
ИТОГО
216
Система оценивания и требования к выставлению итоговой оценки
Формы контроля знаний
Тип контроля
Форма контроля
Параметры
Текущий контроль
Контрольные
работы
2-3 письменные
работы
Вес в финальной
оценке (%)
30
Российская Экономическая Школа
Домашние работы
Итоговый
контроль
Экзамен
Выполнение
объемных
письменных
домашних заданий
Коллоквиум по
теории
40
30
Критерии оценки знаний и навыков
В каждом из домашних заданий будет много задач, и против каждой задачи будет указан
балл, даваемый за ее решение. В случае, если студент получает за курс
неудовлетворительную оценку, ему дается возможность повторно сдать коллоквиум.
Пересдачи осуществляются в сроки, отведенные программой для осуществления
пересдач по согласовании с преподавателем.
Содержание дисциплины
1.ОСНОВЫ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА.
Основные правила комбинаторики: правило сложения, правило умножения, принцип
Дирихле.
Размещения, перестановки и сочетания. Факториал. Формулы для чисел размещения и
сочетания с повторениями и без повторений.
Бином Ньютона, полиномиальная формула. Биномиальные и полиномиальные
коэффициенты. Простейшие тождества (6 штук). Как следствие, треугольник Паскаля и
формулы для сумм степеней натуральных чисел.
Формула включения и исключения (б/д). Знакопеременные тождества (2 штуки).
Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами: полное
решение для соотношений второго порядка и теорема б/д о соотношениях
произвольного порядка. Числа Фибоначчи и короткая формула для них.
Степенные ряды и производящие функции. Теорема б/д о сходимости степенного ряда:
отыскание радиуса сходимости, примеры, поясняющие формулу для радиуса, тонкости,
связанные с граничными точками интервала сходимости (примеры). Производящая
функция для чисел Фибоначчи. Отыскание сумм с биномиальными и полиномиальными
коэффициентами.
Задачи о максимальном количестве подмножеств конечного множества с
запрещенными пересечениями. Трехэлементные подмножества с запрещенным
пересечением 1: конструкция и верхняя оценка по индукции. Доказательство чуть более
слабой верхней оценки с помощью линейной алгебры (независимость многочленов над
полем). Пятиэлементные подмножества с запрещенным пересечением 2: верхняя и
нижняя оценки. Общий случай: k-элементные подмножества с запрещенным
пересечением l (теорема Франкла – Уилсона).
Российская Экономическая Школа
Оценки и асимптотики комбинаторных величин.
2.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ И ГИПЕРГРАФОВ.
Определение графа, орграфа, мультиграфа, псевдографа и т.д. Примеры.
Маршруты в графах (цепи, циклы и пр.).
Связность графа, связные компоненты.
Деревья. 4 эквивалентных определения. Формула Кэли для числа деревьев на n
вершинах.
Унициклические графы. Формула и асимптотика для числа унициклических графов на n
вершинах.
Эйлеровские цепи и циклы. Критерий эйлеровости графа. Планарность графа. Формула
Эйлера, непланарность К_5 и К_3,3. Гомеоморфизм графов. Формулировка критерия
Куратовского (б/д).
Хроматическое число графа, клики и кликовое число графа, независимые множества
вершин графа и его число независимости. Двудольные графы. Хроматическое, кликовое
числа и число независимости для полного графа, цикла, дерева и др. примеры. Пример с
тюрьмой. Проблема 4х красок и ее связь с хроматическим числом планарного графа.
Оценка omega(G) < 5 для планарного графа. Нижние оценки хроматического числа: через
кликовое число и через число независимости. Их неточность. Вопрос о соотношении
между ними (ср. п. 2 из раздела 4).
Хроматическое число плоскости. Рассуждение о конечных подграфах на плоскости
(теорема Эрдеша – де Брёйна б/д). Оценки 4 (снизу) и 9 (сверху). Оценка 7 сверху.
Проблема устранения зазора. Интерпретация задачи 18 из 1ого дз (про тройки) в
терминах числа независимости. Хроматическое число пространства. Верхняя оценка
величиной (2\sqrt{n})^n. Ее небольшое уточнение. Самая лучшая известная верхняя
оценка Лармана – Роджерса (б/д). Нижняя оценка Лармана – Роджерса за счет
результата задачи 18. История ее улучшений. Применение задачи из 2ого дз про
асимптотику максимума и константа 1.207… Наилучшая известная нижняя оценка –
константа 1.239… (б/д).
3.ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Классическое определение вероятности: пример с игральной костью и общее
определение. Свойства классической вероятности.
Геометрические вероятности. Пример с задачей о встрече: аппроксимация через
классическую вероятность и возникновение площадей (объемов). Общее определение и
его отличие от классического: проблемы с измеримостью и пр.
Российская Экономическая Школа
Условная вероятность. Пояснение определения. Теорема умножения. Независимость с
пояснением определения. Независимость в совокупности и ее связь с попарной
независимостью. Формулы полной вероятности и Байеса с примерами.
Схема испытаний Бернулли. Классическое определение вероятности как частный
случай. Пример с непересекающимися множествами.
Определение случайного графа.
Случайные величины, примеры для случайного графа. Вероятности значений случайных
величин и сложности с их подсчетом.
Математическое ожидание случайной величины. Его
матожиданием числа треугольников в случайном графе.
линейность.
Пример
с
Дисперсия. Неравенства Маркова и Чебышева
4.СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ.
Число треугольников в случайном графе при p = o(1/n). Число треугольников в
случайном графе при pn -> infinity. Число треугольников в случайном графе при p ~ c/n
(б/д, но с пояснением). («Модели случайных графов».)
Теорема о поведении числа независимости и кликового числа при р = ½. Следствие для
оценки снизу хроматического числа (ср. п. 7 из раздела 2). («Модели случайных графов»,
Алон и Спенсер «Вероятностный метод».)
Теорема о существовании графа со сколь угодно большими обхватом и хроматическим
числом. («Модели случайных графов», Алон и Спенсер «Вероятностный метод».)
Теорема о связности случайного графа при p=cln n/n, c>1. Теорема о связности
случайного графа при p=cln n/n, c<1. Теорема о связности случайного графа при p=(ln
n+c+o(1))/n (б/д). Комментарий при n = 2000. («Модели случайных графов».)
Теорема о гигантской компоненте случайного графа (б/д).
5.ЧИСЛА РАМСЕЯ.
Определение числа Рамсея. Числа R(3,3), R(5,5), R(1,s), R(2,s).
Рекуррентная верхняя оценка для R(s,t). Ее следствия.
Нижняя оценка для R(s,s). Ее сравнение с верхней оценкой.
Алгоритмическая нижняя оценка для R(s,s). Ее сравнение с оценкой из п. 3.
Российская Экономическая Школа
6.АЛГОРИТМЫ.
Понятие об алгоритме и его сложности. Практический и теоретический аспекты.
Примеры с графами и числами. Проверка числа на простоту.
Реализация последовательностей чисел графами. Алгоритм.
Алгоритм Дейкстры и проверка графа на двудольность
Сложность задачи отыскания хроматического числа графа. Жадный алгоритм
отыскания хроматического числа. Теорема о том, что для почти всякого графа жадный
алгоритм сработает лишь в 2 – 3 раза хуже, чем полный перебор.
Теорема Кучеры о слабости жадного алгоритма на некоторых последовательностях
графов (б/д). Теорема Кривелевича – Ву (б/д). Соотношения между разными
результатами.
Понятие вершинного покрытия графа: величина beta(G) и ее связь с числом
независимости.
Определение гиперграфа и его вершинного покрытия. Три утверждения о вершинном
покрытии гиперграфа с параметрами n, k, s.
Жадный алгоритм отыскания вершинного покрытия гиперграфа и теорема о верхней
оценке величины beta(H).
Конструктивная нижняя оценка величины beta(H), говорящая о силе жадного
алгоритма.
Вероятностная оценка величины beta(H). Ее следствие (б/д).
Проблема изоморфизма. Некоторые характеристики графов, которые полезны для
проверки изоморфизма, но проблемы не решают. Некоторые частные случаи, когда
проблема решена (б/д). Изоморфизм случайных графов.
Методы обучения
Процесс обучения будет состоять из лекционных и семинарских занятий. Большое
внимание будет уделено решению практических задач с использованием изученной
теории.
Примеры заданий и вопросов для самостоятельной работы и
промежуточного контроля
Примерные задания для текущего контроля, проводимого в форме письменных работ:
1. В языке одного древнего племени было 6 гласных и 8 согласных, причем при
составлении слов гласные и согласные непременно чередовались. Сколько слов
из девяти букв могло быть в этом языке?
Российская Экономическая Школа
2. Сколькими способами можно выбрать четырех человек на четыре должности,
если имеется девять кандидатов на эти должности?
3. Перечислите все попарно неизоморфные (неориентированные) графы с шестью
вершинами и четырьмя ребрами.
4. Чего больше: деревьев на 100 вершинах или унициклических графов на 98? Ответ
нужно дать без использования калькулятора и тем более компьютера.
5. Каких графов на n вершинах больше: связных или несвязных?
6. Восстановите дерево по коду (3,5,6,2,4).
7. Приведите пример неправильной карты, которую нельзя покрасить в 4 цвета.
8. Бывают ли дистанционные графы на плоскости (вершины – точки, ребра –
отрезки длины 1) с хроматическим числом 4, которые не содержат
треугольников?
Список основной и дополнительной литературы
Основная литература
Виленкин, Н.Я. Комбинаторика. - М.: Наука, 1969.
Райгородский, А.М. Вероятность и алгебра в комбинаторике. - М.: МЦНМО, 2ое
издание, 2010.
Райгородский, А.М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. - М.:
МЦНМО, 2007.
Райгородский, А.М. Модели случайных графов. - М.: МЦНМО, 2011.
Райгородский, А.М. Хроматические числа. - М.: МЦНМО, 2003.
Дополнительная литература
Алон, Н. и Спенсер, Дж. Вероятностный метод. - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2007.
Гнеденко, Б.В., Курс теории вероятностей, Москва, Физматлит, 1961.
Грэхем, Р., Кнут Д. и Паташник О. Конкретная математика. Основание
информатики. -М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, Мир, 2009.
Зубков, А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории
вероятностей. ---М.: Наука, 1989.
Оре, О. Графы и их применение. - М: Наука, 1965.
Райгородский, А.М. Системы общих представителей в комбинаторике и их
приложения в геометрии. - М.: МЦНМО, 2009.
Райгородский, А.М. Экстремальные задачи теории графов и интернет. Интеллект,
Москва, 2012.
Харари, Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973.
Bollobas, B., Random Graphs. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, Second Edition, 2001.