Лекция к уроку № 4 "Пирамида" Цели урока: образовательная: познакомить учащихся с геометрической фигурой пирамида, изучение элементов пирамиды (основание, вершина, боковые ребра, высота, тетраэдр), ввести историческую справку, познакомить учащихся с формулой нахождения объема; развивающая: формирование умений и навыков пользоваться математическими инструментами, решение задач на построение пирамиды, ее сечения; воспитательная: данная тема способствует воспитанию любознательности, усидчивости, сообразительности, внимательности и развитию интереса к математике, формирование аккуратности в построении математических фигур. Ход урока 1. Изучение нового материала Историческая справка (сообщение учащегося): Термин «пирамида» заимствован из греческого «пирамис» или «пирамидос». Греки в свою очередь позаимствовали это слово из египетского языка. В папирусе Ахмеса встречается слово «пирамис» в смысле ребра правильной пирамиды. Другие считают, что термин берет свое начало от формы хлебцев в Древней Греции («пирос» - рожь). В связи с тем, что форма пламени напоминает образ пирамиды, некоторые ученые считали, что термин происходит от греческого слова «пир» - огонь. В Древнем Египте гробницы фараонов имели форму пирамид. Основные понятия (учитель показывает на объемной фигуре, или на заранее нарисованной на доске фигуре): Сейчас же пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основание пирамиды; точки, не лежащей в плоскости основания – вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания – боковыми ребрами. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Треугольная пирамида называется тетраэдром. Например, у пирамиды основание – А1А2…An, вершина - S, боковые ребра - SА1,SА2…, боковые грани - ∆SА1А2, SА1An. (рис. 1) Рисунок 1 Увлекательная задача (сообщение учащимся), оборудование: картон, цветная нить. Изготовить объемную модель пирамиды можно своими руками. Например, для задачи: Основанием пирамиды служит прямоугольник. Определить высоту пирамиды, если одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а три других равны соответственно a, b, c. На листке картона учащиеся чертят прямоугольник ABCD и треугольник ADS (рис.а). Лист перегибают по прямой DA. Точки S и C, S и B соединяют цветной нитью или шнуром так, чтобы при взаимной перпендикулярности граней ADCB и DSA они были туго натянуты. Они закрепляются узлами с обратной стороны картона. Получаем пирамиду, о которой говорится в задаче (рис. 2). Рисунок 2 2. Закрепление - решение познавательных задач (сообщается учителем) Важным при изучении пирамиды являются задачи на построения их сечений, установление формы этих сечений. Задача № 1. Условие задачи. Дан тетраэдр ABCD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной грани ACD и проходящей через точку M ребра DB. Рисунок 3 Построение: 1. строим MP, MP//DA; 2. MN, MN//CD; 3.∆MNP – искомое сечение. Рисунок 4 Сечение пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники. Треугольниками являются диагональные сечения. Задача № 2. Исторические задача Историческая справка. Согласно Архимеду, еще в V в. До н.э. Демокрит из Абдеры установил, что объем пирамиды равен 1/3 объема призмы с тем же основанием и той же высотой. В «началах» Евклида доказывается, что в равновеликих пирамидах площади оснований обратно пропорциональны соответственным высотам. Для частного случая четырехугольной пирамиды с двумя боковыми гранями, наклоненными под углом 450 к горизонтальному основанию, объем был вычислен еще древними вавилонянами. Демокрит рассматривал пирамиду как сложенную из бесконечно таких и подобных друг другу пластинок (кружков). Доказательство основывалось на метод исчерпывания с применением доказательства от противного. Условие задачи. Пусть требуется, например, найти объем V пирамиды UABCDE, зная площадь S ее основания и ее высоту UO = h. Пусть F(x) площадь произвольного сечения A1B1C1D1E1, параллельного основанию и находящегося на расстоянии x от вершины. Решение. В силу подобия фигур ABCDE и A1B1C1D1E1, F(x) – связана с переменной x соотношением: Объем части тела можно представить в виде F(x)dx. Тогда искомый объем V как предел соответствующей интегральной суммы объемов всех частей тела представится: Ответ: объем пирамиды равняется 1/3 произведения площади ее основания на высоту. Рисунок 5 Задача № 3 (№ 54 [6]) Условие задачи. Боковое ребро пирамиды разделено на 4 равные части и через точки деления проведены плоскости, параллельные основанию. Площадь основания равна 400 см2. Найдите площади сечений. Решение Сечения подобны основанию пирамиды с коэффициентами подобия 1/4, 2/4 и 3/4. Площади подобных фигур относятся как квадраты линейных размеров. Поэтому отношения площадей сечения к площади основания пирамиды есть (1/4)2, (2/4)2 и (3/4)2. Следовательно, площади сечений равны: Решение следующих задач осуществляется по одному плану. Достаточно знать способ решения лишь одной из них, чтобы по аналогии решить другую. Любую из этих двух можно принять за опорную. Задача № 4. Условие задачи. Боковые ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания. Доказать, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания пирамиды. Задача № 5. Условие задачи. Боковые ребра пирамиды равны между собой. Доказать, что высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания пирамиды.