Urok-seminar. Trigonometriax

Всероссийский фестиваль педагогического творчества
(2014/15 учебный год)
_________________________________________________________
Номинация: Педагогические идеи и технологии: среднее образование
Название работы: Повторительно-обобщающий урок-семинар:
«Тригонометрические
уравнения»
(2 часа)
Предмет: Алгебра и начала анализа
10 класс
Профиль: Социально-экономический
Учитель: Скорикова Л.А.
МАОУ лицей № 44 г. Липецка
Программа: базовый уровень
Цели урока:
Образовательные:
- актуализировать знания учащихся по теме «Тригонометрические уравнения» и
обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
Развивающие:
- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать,
синтезировать, сравнивать;
- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов
решения;
- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора
соответствующего их уровню развития.
задания,
Воспитательные:
-
вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
- способствовать формированию
работоспособности.
активности
и
Продолжительность урока: 2 часа
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
настойчивости,
максимальной
Пояснительная записка
Повторительно-обобщающий урок-семинар по теме «Тригонометрические
уравнения» разработан для учащихся 10 класса, изучающих предмет «Алгебра и начала
анализа» по учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 классы под редакцией
А.Г.Мордковича. В разработке урока представлены различные способы решения
тригонометрических
уравнений:
по
известным
алгоритмам,
однородные
тригонометрические уравнения, уравнения вида A sinx+В cosx = С, путем разложения на
множители, с помощью понижения степени, задачи с прикладной направленностью.
Задания разбиты на различные блоки. Некоторые задания решаются различными
способами. В конце урока-семинара проводится самостоятельная работа.
Урок разработан для учащихся 10 класса общеобразовательной школы, но может
использоваться и в 11 классе при подготовке учащихся к ЕГЭ.
Предложенная работа может быть полезна для учителей математики при
объяснении этой темы в 10 классе.
Ход учебного занятия:
Структура урока:
1. Вводно-мотивационная часть.
1.1. Организационный момент.
1.2. Сообщение плана урока.
2. Основная часть урока.
2.1. Разбор основных приемов решения тригонометрических уравнений.
2.2. Знакомство с новыми способами решения тригонометрических уравнений.
2.3. Прикладная направленность данной темы.
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов работы.
3.2. Информация о домашнем задании.
3.3. Подведение итогов урока.
Подготовка к уроку-семинару.
На подготовку к семинару отводится неделя.
I.Всем учащимся даются задания:
1. Записать в тетради решения простейших тригонометрических уравнений вида:
sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a .
2. Решить уравнения:
1
1) cos 2x = 2;
2) sin x = 0 ;
3) tg x =
1
√3
4) 8cos 2 x + 6 sin x − 3 = 0;
5) 2tg x − 2ctg x = 3;
6) 3sin2 x + sin x ∗ cos = 2cos 2 x;
7) sin5x + cos 5x = 0;
8) 2sin3 x + cos x ∗ sin2x = −1;
Найти все корни, принадлежащие [0;2π].
II. Сообщается план семинара:
1. Доклад об истории развития тригонометрии.
2. Решение тригонометрических уравнений, содержащих одну и ту же функцию
одного и того же аргумента, методом подстановки. Подобрать два-три уравнения.
3. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по
формулам:
а)sin2 x + cos 2 x = 1;
б) tg x ∗ ctg x = 1;
в) cos2x=2cos 2 x − 1;
г) cos2x=1 − 2sin2 x;
4. Решение однородных уравнений.
5. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
6. Показать прикладную направленность данной темы. Решение одной-двух задач по
физике, в которых используются умения решать тригонометрические уравнения.
7. Решение уравнений различными способами.
Организация урока-семинара
Класс разбивается на шесть групп и каждая группа получает одно из заданий,
перечисленных в плане семинара; седьмое задание оставляется для себя. Каждая
группа при подготовке к семинару прорабатывает соответствующие разделы
учебника, использует дополнительную литературу, получает консультацию
учителя.
Учащиеся представляют тетради, в которых записаны схемы решений каждого из
простейших тригонометрический уравнений:
cos x = a
x1 = arccos а + 2πn, nϵZ
x2 = − arccos а + 2πm, mϵZ
Если |а| > 1, то xϵ ∅.
Если |a| ≤ 1, то x = ± arccos a + 2πk, kϵZ.
Особые случаи:
cos x = 1, x = 2πk, kϵZ;
cos x = −1, x = π + 2πn, x = π(2n + 1), nϵZ;
π
cos x = 0, x = 2 + πm, mϵZ;
При a ϵ[−1; 1] 0 ≤ arccos a ≤ π;
arccos(−a) = π − arccos a.
sin x = a
x1 = arcsin a + π(2m + 1), mϵZ
х2 = arcsin a + π(2k), kϵZ
Особые случаи:
sin х = 1 ,
sin х = −1 ,
sin х = 0 ,
π
+ 2πk , k ∈ Z;
2
π
х = − + 2πm , mk ∈ Z;
2
х = πn, n ∈ Z;
х=
При a ∈ [−1; 1]
−
π
π
≤ arcsin a ≤ ;
2
2
arcsin (−a) = − arcsin a
tg x = a
x = arctg a + πm, m ∈ Z.
tg x = 0,
x = πk, k ∈ Z.
π
π
< 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑎 < ,
2
2
arctg(−a) = −arctg a.
−
ctg x = a
x = arcctg a + πn, n ∈ Z.
ctg x = 0,
x = πm, m ∈ Z.
0 < 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑎 < 𝜋,
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 (−a) = π − arcctg a.
x1 = arcctg a + π(2k + 1),
k∈Z
y1 = arcctg a + 2πn,
n∈Z
x1 = arcctg a + 2πl
l∈Z
y1 = π + arcctg a + 2πm,
m∈Z
Ход урока – семинара
1. Представитель 1-й группы делает доклад об истории развития тригонометрии.
История развития тригонометрии
Термин "тригонометрия " дословно означает "изменение тругольников".
Понятие "Тригонометрия" ввел в употребление в 1595 году немецкий математик и богослов
Варфоломей Питиск, автор учебника по тригонометрии и тригонометрических таблиц.
В тригонометрии выделяют 3 вида соотношении:
1. между элементами плоского треугольника (тригонометрия на плоскости)
2. между элементами сферического треугольника, то есть фигуры, высекаемой на сфере тремя
плоскостями, проходящими через ее центр (сферическая геометрия)
3. между самими тригонометрическими функциями
С чего все начиналось?
Потребность в решении треугольников раньше всего возникла в астрономии. Древние
наблюдали за движением небесных светил. Ученые обрабатывали данные измерений, чтобы
вести календарь и правильно определять время начала сева и сбора урожая, даты религиозных
праздников.
Но и на Земле не всегда удавалось непосредственно определить расстояние между какимито пунктами. И тогда вновь прибегали к косвенным измерениям. Например, вычисляли высоту
дерева, сравнивая длину ее тени с длиной тени от какого-нибудь шеста, высота которого была
известна.
Подобные задачи сводятся к анализу треугольника, в котором одни его элементы выражают
через другие. Этим занимается тригонометрия.
Поскольку звезды и планеты представлялись древним точками небесной сфере, то сначала
стала развиваться именно сферическая тригонометрия. Ее считали разделом астрономии.
Первые открытые сведения по тригонометрии сохранились на клинописных табличках
Древнего Вавилона. Именно от астрономов Междуречья мы унаследовали систему измерения
углов в градусах, минутах, секундах, основанную на шестеричной и шестнадцатеричной системе
счисления.
"Альмагест"(II век)- знаменитое сочинение в 13 книгах греческого астронома и математика
Клавдия Птолемея.
В "Альмагесте" автор приводит таблицу длин хорд окружности радиуса в 60 единиц,
вычисленных с шагом 0,5 градуса, с точностью до единицы и объясняет, как таблица составлялась.
Труд Птолемея несколько веков служил введением в тригонометрию для астрономов. В II
веке до н. э. Астроном Гиппарх из Никеи составил таблицу для определения соотношений между
элементами треугольников. Гиппарх подсчитал в круге заданного радиуса длины хорд,
отвечающих всем углам от 0 до 180 градусов, кратных 7,5 градусам. По существу, это таблица
синусов.
Если греки по углам вычисляли хорды, то индийские астрономы(IV-V в.в.) перешли к
полухордам двойной дуги, то есть в точности к линиям синуса. Они пользовались и линиями
косинуса- точнее, не его самого, а "обращенного" синуса.
К концу Х века ученые исламского мира оперировали наряду с синусом и косинусом
четырьмя другими функциями- тангенсом, котангенсом, секансом, косекансом. Они открыли и
доказали несколько важных теорем плоской и сферической тригонометрии; использовали
окружность единого радиуса (что позволило толковать тригонометрические функции в
современном стиле).
Арабские математики составили исключительно точные таблицы синусов и тангенсов с шагом
!! ! и точностью до одной семьсот миллионной.
Очень важной прикладной задачей была и такая: научиться определять направление на
Мекку для пяти ежедневных молитв, где бы не находился мусульманин.
Особенно большое влияние на развитие тригонометрии оказал "Трактат о полном
четырёхугольнике" Астронома Насиреддина ат-Туси(1201-1274). Это было первое в мире
сочинение, в котором тригонометрия трактовалась как самостоятельная область математики.
Открытия ученых исламского мира долгое время оставались неизвестными европейским
ученым, и тангенсы заново были открыты в XIV в. сначала английским ученым Т. Бравердином, а
позднее немецким астрономом Региомонтаном (Иоганом Мюллером 1436-1476). Регоимонтан
составил обширные таблицы синусов (через 1 минуту с точностью до седьмой значащей цифры)
За таблицами Региомонтана последовал ряд других, еще более подробных. Друг Коперника
Ретикус (1514-1576) вместе с несколькими помощниками в течении 30 лет работал над
таблицами, законченными и изданными в 1596 году его учеником Ото. Угла шли через 10``,
синусы имели 15 верных цифр.
1. Дальнейшее развитие тригонометрии шло по пути накопления и систематизации формул,
уточнения основных тождеств, становления терминологии и обозначений.
2. Представитель 2-й группы объясняет решение уравнений:
𝑥
𝑥
3𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑐𝑜𝑠 − 2 = 0
1
2
2
𝑥
Пусть 𝑐𝑜𝑠 = 𝑡 (|𝑡| ≤ 1).
2
2
3𝑡 2 − 𝑡 − 2 = 0; 𝑡1 = 1, 𝑡2 = − .
3
𝑐𝑜𝑠
𝑥
=1
2
или
𝑥
2
=− .
2
3
2
𝑥 = 4𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍;
2
𝑐𝑜𝑠
𝑥 = ±2𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (− 3) + 4𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
2𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 5𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3 = 0
Пусть 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑡(|𝑡| ≤ 1).
2𝑡 2 + 5𝑡 − 3 = 0;
1
𝑡1 = , 𝑡2 = −3 − посторонний корень, так как |−3| > 1.
2
1
𝜋 𝜋𝑛
𝑠𝑖𝑛2𝑥 = ; 𝑥 = (−1)𝑛
+
, 𝑛 ∈ 𝑍.
2
12
2
3. Представитель 3-й группы показывает решение уравнений:
2
1
1
4𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3 2 = 0.
2
После преобразования получим
1
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 =
и
𝑐𝑜𝑠𝑥 = − .
2
4
1
Ответ:
𝑥 = ± (𝜋 − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 ) + 2𝜋𝑛,
4
𝜋
𝑥 = ± + 2𝜋𝑘,
𝑘 ∈ 𝑍.
3
2𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠 3 − 5𝑐𝑜𝑠 3 − 2 = 0.
𝑛 ∈ 𝑍;
𝑥
2𝑥
= 𝑡, |𝑡| ≤ 1, тогда 𝑐𝑜𝑠
= 2𝑡 2 − 1.
3
3
1
2𝑡 2 − 5𝑡 − 3 = 0; 𝑡1 = 3, 𝑡2 = − .
2
𝑥
𝑥
1
𝑥
2
𝑐𝑜𝑠 ≠ 3; 𝑐𝑜𝑠 = − ,
= ± 𝜋 + 2𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍;
3
3
2
3
3
𝑥 = ±2𝜋 + 6𝜋𝑛,
𝑛 ∈ 𝑍.
При каких значениях Х принимают равные значения функции 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 и 𝑦 =
−𝑐𝑜𝑠2𝑥?
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝑐𝑜𝑠2𝑥,
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −(2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1),
2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0,
𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) = 0.
1
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0
или
𝑐𝑜𝑠𝑥 = − .
2
𝜋
2
𝑥 = + 𝜋𝑛,
𝑛 ∈ 𝑍,
𝑥 = ± 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
2
3
Ответ: функции 𝑦 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 и 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠2𝑥 принимают равные значения при 𝑥
𝜋
2
= + 𝜋𝑛 или 𝑥 = ± 𝜋 + 2𝜋𝑘, где 𝑛, 𝑘 ∈ 𝑍.
2
3
Пусть 𝑐𝑜𝑠
3
4. Представитель 4-й группы объясняет решение однородных тригонометрических
уравнений.
1
аsin x + bcos x=0 - однородное тригонометрическое уравнение первой степени
относительно sinx и cosx. Оно решается делением обеих его частей на cosx≠ 0. В
𝑏
2
результате получается уравнение вида atgx+b=0; 𝑡𝑔𝑥 = −
и т.д.
3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥.
3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
⋮ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥.
3𝑡𝑔2 𝑥 + 𝑡𝑔𝑥 − 2 = 0.
2
𝑡𝑔𝑥 = −1
или 𝑡𝑔𝑥 = .
3
𝜋
2
𝑥 = − 4 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 3 + 𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝑍.
𝑎
3
𝑠𝑖𝑛 2𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0,
2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0.
𝜋
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0, 𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 или 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0
2
𝜋
Так как 𝑥 = 2 + 𝜋𝑛 не являются корнями уравнения и 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≠
0, то разделим обе части на 𝑐𝑜𝑠 𝑥:
𝑡𝑔 𝑥 − 1 = 0, 𝑡𝑔 𝑥 = 1, 𝑥 =
𝜋
𝜋
+ 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
4
𝜋
Ответ: 𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑘, 𝑛𝜖𝑍.
2
4
Выяснить, почему нежелательно обе части делить на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Уравнение
2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0
почленно нельзя делить на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ,
так как потеряли бы серию корней 𝑥 =
𝜋
+ 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍. Или было нужно это учесть .
2
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0.
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑠𝑖𝑛 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0,
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0 или 𝑡𝑔 𝑥 = 2, 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0 .
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔2 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
можно было разделить обе части на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 и получить 𝑡𝑔2 𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥 = 0. Но если делить на
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0, то нужно учесть, что те x, при которых 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0,-решения данного уравнения.
4
1
Поэтому к корням уравнения 𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 2 = 0 нужно добавить корни уравнения 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0.
5. Представитель 5-й группы объясняет решение тригонометрических уравнений
разложением на множители.
1
2
𝑠𝑖𝑛 3𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(𝜋 − 2𝑥).
𝑠𝑖𝑛(3𝑥 − 2𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 2𝑥,
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0,
𝑠𝑖𝑛 𝑥(1 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0,
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0
или
1 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝜋
𝑥 = 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
𝑥 = ± + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
3
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = −1. Найти все корни, принадлежащие [0; 2𝜋].
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = −1,
2𝑠𝑖𝑛𝑥(𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) = −1,
𝜋
2𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1,
𝑥 = (−1)𝑛+1 + 𝜋𝑛, 𝑛 ∈ 𝑍.
6
Найдем все корни, принадлежащие промежутку [0; 2𝜋]:
𝜋 𝜋
𝑛 = 0, тогда 𝑥 = − , −  [0; 2𝜋];
6
6
𝜋
7𝜋
7𝜋
𝑛 = 1, тогда 𝑥 = + 𝜋 =
,
𝜖[0; 2𝜋];
6
6
6
𝜋
11𝜋
+ 2𝜋 =
,
6
6
𝜋
19𝜋
19𝜋
𝑛 = 3, тогда 𝑥 = + 3𝜋 =
,
[0; 2𝜋];
6
6
6
𝜋
Ответ: 1)𝑥 = (−1)𝑛+1 6 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
7𝜋
11𝜋
2)
,
𝜖[0; 2𝜋].
6
6
𝑛 = 2, тогда 𝑥 = −
𝑥
3
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 ,
𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 ,
11𝜋
𝜖[0; 2𝜋];
6
Применяем формулу суммы косинусов, получим
𝑥
𝑐𝑜𝑠 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0,
2
𝑥
𝑥
2𝑥 + 2
2𝑥 − 2
2 𝑐𝑜𝑠
∗ 𝑐𝑜𝑠
= 0,
2
2
5𝑥
2cos 4 ∗ 𝑐𝑜𝑠
3𝑥
4
= 0;
5𝑥
cos 4 = 0,
или
2
𝑐𝑜𝑠
4
Ответ: 𝑥 = 5 𝜋 + 5 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍;
3𝑥
4
,
2
3
𝑥 = 3 𝜋 + 4 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
6.
Представитель 6-й группы решает физические задачи и объясняет прикладную
направленность тригонометрических уравнений.
Спортсмен на соревнованиях, проходящих в Осло, послал копье на 90 м 86 см. На каком
расстоянии приземлилось бы копье, если бы оно было пущено с такой е скоростью и под
тем же углом к горизонту в Токио? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение
свободного падение в Осло равно 9,819 м/с2 , а в Токио – 9,798 м/с2 .
Дано:
𝑙1 = 90, 86м
𝑔1 = 9,819 м/с2
𝑔2 = 9,798 м/с2
𝑣01 = 𝑣02
𝑙2 −?
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝑎 ∗ 𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑣02 𝑠𝑖𝑛2𝑎
=
;
𝑔
2𝑔
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑣0 𝑐𝑜𝑠𝑎 − 𝑔𝑡 = 0 ⇒ 𝑡 =
𝑔
2
2
𝑣01 𝑠𝑖𝑛2𝑎
𝑣02 𝑠𝑖𝑛2𝑎
𝑙1 =
и 𝑙2 =
;
2𝑔1
2𝑔2
𝑙=
2
2
𝑙1 𝑣01
𝑠𝑖𝑛2𝑎 𝑣02
𝑠𝑖𝑛2𝑎 𝑔2
=
∶
= ;
𝑙2
2𝑔1
2𝑔2
𝑔1
𝑙1 ∗ 𝑔1 90,86 ∗ 9,819
𝑙2 =
=
= 91,05м.
𝑔2
9,798
2. Тело скользит равномерно по наклонной плоскости с углом наклона 400 .
Определить коэффициент трения.
̅
̅̅̅̅
𝑚𝑔̅ + 𝑁 + 𝐹
тр = 0.
𝑂𝑥: 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝐹тр = 0;
𝑂𝑦: 𝑁 − 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0.
𝑁 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼,
𝐹тр = 𝜇𝑁 = 𝜇(𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼);
𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝜇 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0
𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 𝜇 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠𝛼;
𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝛼
𝜇=
= 𝑡𝑔 𝛼.
𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝛼
7. Решение уравнений различными способами.
7
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = .
8
1
I способ:
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥,
7
1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = ,
8
1
2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = ,
8
1
2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∗ 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 4 ,
1
𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = ,
4
1
𝜋
𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = ± , 2𝑥 = ± + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;
2
6
𝜋 𝜋
𝑥 = ± + 𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
12 2
II способ. Понизим степень синуса и косинуса:
1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2
1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 2
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = (𝑠𝑖𝑛2 𝑥)2 + (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 = (
) +(
) .
2
2
После преобразований получим
2 + 2𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 7
= ,
4
8
2
3
𝜋
𝜋 𝜋
√3
𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 = , 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = ±
, 2𝑥 = ± + 𝜋𝑘, 𝑥 = ± + , 𝑘𝜖𝑍
4
2
6
12 2
𝑠𝑖𝑛 x- 𝑐𝑜𝑠 x = 1.
I способ. Разложим левую часть по формулам двойного аргумента, а правую часть
заменим тригонометрической единицей:
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
2 𝑠𝑖𝑛 2 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑐𝑜𝑠 2 2 + 𝑠𝑖𝑛2 2 = 𝑠𝑖𝑛2 2 + 𝑐𝑜𝑠 2 2 ;
𝑥
𝑥
𝑥
2 𝑠𝑖𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 2 = 0;
2
2
2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 (𝑠𝑖𝑛 2 − 𝑐𝑜𝑠 2) = 0.
𝑐𝑜𝑠
𝑥
= 0,
2
𝑥
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘,
𝑥
или 𝑠𝑖𝑛 2 − 𝑐𝑜𝑠 2 = 0;
𝑘𝜖𝑍.
𝑥
делим на 𝑐𝑜𝑠 2 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
𝜋
Ответ: 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑘 или 𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛, 𝑛, 𝑘𝜖𝑍.
II способ. Разложим левую часть на множители:
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − (1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥) = 0;
𝑥
𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 ,
2
2
𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 ;
2
𝑥
𝑥
𝑥
2
2 𝑠𝑖𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 2 − 2𝑐𝑜𝑠 2 = 0;
2
𝑥
𝑥
𝑥
𝑐𝑜𝑠 (𝑠𝑖𝑛 − 𝑐𝑜𝑠 ) = 0, а дальше, как и в 𝐼 способе.
2
2
2
III способ. Запишем уравнение в виде
𝜋
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 ( − 𝑥) = 1.
2
Применим формулу разности двух синусов, получим:
𝜋
𝜋
2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − ) 𝑐𝑜𝑠 = 1;
4
4
𝜋 √2
2 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − ) ∗
= 1;
4
2
𝜋
1
𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − ) =
;
4
√2
𝑥−
𝜋
𝜋
= (−1)𝑛 ∗ + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
4
4
C помощью тригонометрического круга запишем решение:
𝜋
𝑥 = 2 + 2𝜋𝑛,
⌈
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑛; 𝑘𝜖𝑍.
IV способ: (𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥)2 = 12 ;
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1;
1 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 1;
𝑠𝑖𝑛 2𝑥 = 0,
𝑥=
𝜋
𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
2
Полученное решение эквивалентно объединению четырех решений:
𝑥 = 2𝜋𝑘; 𝑘𝜖𝑍;
𝜋
⌈ 𝑥 = + 2𝜋𝑛; 𝑛𝜖𝑍;
2
𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑚; 𝑚𝜖𝑍;
⌊𝑥 = −
𝜋
+ 2𝜋𝑙; 𝑙𝜖𝑍.
2
Проверка показывает, что первое и четвертое решения- посторонние.
𝜋
Ответ: 𝑥 = 2 + 2𝜋𝑘, 𝑥 = 𝜋 + 2𝜋𝑚, 𝑘, 𝑚𝜖𝑍.
V способ. Введение вспомогательного угла.
В левой части вынесем √2 за скобку (корень квадратный из суммы квадратов
коэффициентов при 𝑠𝑖𝑛 𝑥 и 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ). Получим:
√2 (𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗
𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠
1
√2
− 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∗
1
) = 1;
√2
𝜋
𝜋
1
𝜋
𝜋
𝜋
√2
− 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∗ 𝑠𝑖𝑛 =
; 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − ) =
; 𝑥 = + (−1)𝑛 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 .
4
4 √2
4
2
4
4
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
Ответ: 𝑥 = 4 + (−1)𝑛 4 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 , 𝑥 = 4 + (−1)𝑛 4 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍 .
Самостоятельная работа
Вариант 1
1.1. 𝑡𝑔 2 𝑥 − (1 + √3)𝑡𝑔 𝑥 + √3 = 0.
𝑡 2 − (1 + √3)𝑡 + √3 = 0,
𝑡1 = 1; 𝑡2 = √3.
𝑡𝑔 𝑥 = 1,
𝑡𝑔 𝑥 = √3
𝜋
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
4
3
2. 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 0.
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑐𝑜𝑠 𝑥(2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1) = 0.
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0,
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = −
3. 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛 𝑥 ∗ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 0.
делим обе части на 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥:
𝑡𝑔2 𝑥 − 5𝑡𝑔 𝑥 + 4 = 0;
𝑡𝑔 𝑥 = 1, 𝑡𝑔 𝑥 = 4.
𝜋
𝑥 = + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;
4
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
1
2
Вариант 𝟐
1. 2𝑡𝑔2 3𝑥 − 3𝑡𝑔 3𝑥 + 1 = 0.
2𝑡 2 − 3𝑡 + 1 = 0.
1
𝑡1 = 1; 𝑡2 = .
2
1
𝑡𝑔 𝑥 = 1,
𝑡𝑔 𝑥 = ,
2
𝜋
1
𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
4
2
2. 𝑡𝑔 𝑥(2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛) = 0.
𝑡𝑔 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍.
2𝑐𝑜𝑠 − 3𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0
{
𝑐𝑜𝑠 𝑥 ≠ 0
2
𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
3
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
3. 2𝑠𝑖𝑛2 − 3𝑠𝑖𝑛 ∗ 𝑐𝑜𝑠 − 2𝑐𝑜𝑠 2 = 0;
2
2
2
2
𝑥
𝑥
2
2𝑡𝑔 − 3𝑡𝑔 − 2 = 0,
2
2
𝑥
𝑥
1
𝑡𝑔 = 2, 𝑡𝑔 = − .
2
2
2
𝑥 = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 2 + 2𝜋𝑘, 𝑘𝜖𝑍;
1
𝑥 = −2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 + 2𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍.
2
3. Рефлексивно-оценочная часть урока.
3.1. Обсуждение результатов работы.
Класс дает качественную оценку работы каждого ученика по выполнению работы на
уроке.
3.3. Подведение итогов урока.
Вспоминаем основные моменты урока, анализируем усвоение предложенного материала
и умение применить полученные знания в дальнейшем. На уроке сложилось более
полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их
решения.
Учащиеся отвечают на вопросы:
1. Что нового узнали на уроке?
2. Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?
3. Испытывали ли вы затруднения на самостоятельной работе?
4. Какие из способов решения тригонометрических уравнений
оказались наиболее трудными?
из рассмотренных
5. Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?
6. Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?
Список литературы:
1.
2.
3.
4.
Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. «Контрольные и проверочные работы по алгебре
10-11 классы» М., Дрофа, 2001
Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. «Дидактические материалы по
алгебре и началам анализа. 10 класс». М., Просвещение, 1997
Мордкович А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11 класс» М., Мнемозина, 2009 г.
Колмогоров А.Н. , Абрамов А. М., Дудницын Ю.П. «Алгебра и начала анализа 1011» М., «Просвещение», 2009г.