Проектно- исследовательская работа по математике ( 5 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ЗАСИЖЬЕВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА»
Математика
« Графы»
Работу выполнила:
ученица 5 класса Цяцько Юлия.
Учитель:
Базуева Надежда Александровна
2013 год
1
I.
II.
III.
IV.
Содержание:
Введение……………………………………………………1стр.
Теория графа.
1.Понятие графа………………………………………….3стр.
2.Виды графов и их элементы…………………………..4стр.
Графы вокруг нас.
1.Графы в медицине……………………………………..8стр.
2.Лабиринты……………………………………………...9стр.
3.Графы в астрономии…………………………………...9стр
Задачи…………………………………………………. . . …11стр.
Заключение………………………………………………….16стр.
Приложение 1……………………………………………..17стр.
Приложение 2……………………………………………..18стр.
Приложение 3……………………………………………..19стр.
Приложение 4……………………………………………..20стр.
Приложение 5……………………………………………..21стр.
Используемая литература………………………………..22стр.
2
« Эйлер вычислял без всякого
видимого усилия, как человек дышит
или как орёл парит над землёй ».
Доминик Араго.
I.
Введение.
Актуальность темы.
На внеклассном мероприятии меня заинтересовал один из способов решения
задач, в которых нужно было подсчитать число всех возможных вариантов.
Оказалось, в математике и смежных с ней дисциплинах существует класс задач,
которые наиболее просто и понятно решаются с применением теории графов. Это
замечательные математические объекты, применяя которые можно решать
математические и логические задачи. Также c применением графов можно решать
различные головоломки и упрощать условия задач. Я решила узнать, как можно
применить теорию графов на практике, в жизни, и поделиться
этим с
одноклассниками, т.к. в обязательном курсе школьной программы такой раздел
отсутствует. Возникшая проблема стала главной причиной выбора темы данной
исследовательской работы.
Проблема: сегодня выбором объектов и расположением их в том, или ином
порядке
приходится
заниматься
всем.
Современный
человек
должен
самостоятельно мыслить, сопоставлять факты, уметь находить различные
варианты решения проблем.
Предметом изучения и исследования является такое математическое
понятие как граф, а также класс задач, решаемых с помощью этого понятия.
Цель работы: - ознакомится с понятием графа в математике, применением
их в жизни, приобрести навыки решения задач с использованием графов.
Задачи:
1.Познакомиться с историей возникновения графов.
2.Изучить различные виды графов и их элементы.
3.Рассмотреть примеры применения графов в современном мире.
4.Научиться решать задачи и составить вариант меню для школьной
столовой.
3
Гипотеза исследования состоит в том, что понятие графа должно
продолжать развиваться и совершенствоваться, это позволит решать все большее
количество задач из различных областей науки и техники.
Методы изучения и исследования: знакомство с уже известными
научными фактами, применение полученных знаний для решения задач, работа
над составлением авторских задач.
Этапы работы:
1. изучение специальной литературы;
2. знакомство с решениями некоторых известных задач;
3. составление собственных задач по изучаемой теме;
4. решение задач, предлагаемых на ЕГЭ по математике;
5. изготовление макета для иллюстрации задачи.
II.
Теория графа.
1. Понятие графа.
Графом в математике называется конечная совокупность точек, именуемых
вершинами; некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми
ребрами графа.
С дворянским титулом «граф» их связывает общее происхождение от
латинского слова «графио» - пишу.
Примерами графов могут служить схемы авиалиний, дорог, электросхемы,
чертежи многоугольников. Хорошо знакомый
всем
образец графа – схема
московского метро. Вершины – конечные станции и станции пересадок, ребра –
пути, соединяющие эти станции. (см.Приложение 1.)
Использует графы и дворянство. Например, в генеалогическом дереве,
вершины – члены рода, а связывающие их отрезки – отношения родственности. В
качестве примера генеалогическое дерево великого русского поэта А.С.Пушкина.
(см.Приложение 2.)
Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру (1736 год),
где он описывал решения головоломок и математических развлекательных задач.
4
Широкое развитие теория графов получила с 50-х гг. ХХ в. в связи со
становлением кибернетики и развитием вычислительной техники.
Термин «граф» впервые ввел в 1936 году венгерский математик Денеш
Кениг.
2. Виды графов и их элементы.
Схема графа, на рисунке 2 состоящая из «изолированных» вершин,
называется нулевым графом.
Графы, в которых не построены все возможные ребра, называются
неполными графами. (рис.3)
Графы, в которых построены все возможные ребра, называются полными
графами. Этому определению соответствует граф на рисунке 4.
Граф называется связным, если любые две его вершины могут быть
соединены последовательностью рёбер так, что каждое следующее ребро
начинается в конце предыдущего, что показано на рисунке 5.
рис.5.
5
Граф называется несвязным, если первое условие не выполняется (рис.6).
рис.6.
Если, например, между вершинами Д и Е провести ребро, то граф станет
связным. Такое ребро в теории графов (после удаления, которого граф из связного
превращается в несвязный) называется мостом.
Граф, в котором две любые вершины соединены ровно одним простым
путём, является деревом ( рис.7). Чаще всего они встречаются при составлении
родословных.Я составила своё родословное дерево(см.Приложение 3).
рис.7
После удаления любого ребра дерева, оно «распадается» на два
дерева. Кружком обведены висячие вершины.
Граф, который можно нарисовать так, чтобы его рёбра не пересекались
нигде, кроме вершин, называются плоским (рис.8).
Плоские графы обладают многими интересными свойствами. Так, Эйлер
обнаружил простую связь между количеством вершин (В), количеством ребер (Р)
и количеством частей (Г), на которые граф разделяет плоскость:
В–Р+Г=2.
В качестве примера можно рассмотреть следующую задачу:
В стране «Озерной» - 7 озер,
Каналы их соединяют.
А между ними – острова,
И сколько их – никто не знает
6
Решение. Рассмотрим граф, в котором вершины соответствуют островам, а
рёбра — каналам. Полученный граф будет плоским и связным, значит, для него
выполняется формула Эйлера: В — Р + Г = 2. Для нашего графа В = 7, Р = 10.
Подставляя в формулу, получаем 7 — 10 + Г = 2. Отсюда следует, что Г = 5, то
есть, рёбра графа разбивают плоскость на 5 частей. Островам соответствуют все
грани, кроме внешней (она бесконечно большая во все стороны и острову
соответствовать не может), значит, их 4.
Рис
Рис.8
Большой интерес вызывают графы, которые можно нарисовать, не отрывая
карандаша от бумаги. Их называют эйлеровыми в честь учёного Леонарда
Эйлера.(рис.9)
Рис.9.
7
Такой путь существует лишь в том случае, если граф – связный
т. е. от каждой его вершины к каждой другой можно пройти по ребрам графа и из
каждой вершины, кроме, может быть, двух, выходит четное число ребер.
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называется степенью
вершины. Вершина графа, имеющая нечётную степень, называется нечетной, а
чётную степень – чётной.
рис.10
На рисунке 10: Ст.А = 1, Ст.Б = 2, Ст.В = 3, Ст.Г= 2, Ст.Д= 0.
Если степени всех вершин графа равны, то граф называется однородным.
Таким образом, любой полный граф — однородный. Соединив А с Б и А с Д
получим полный, однородный граф.
Одноклассники заинтересовались моей работой и я подготовила материал с
эйлеровыми графами для математического стенда (см.Приложение 4).
8
III.
Графы вокруг нас.
1. Графы в медицине.
Известно, что у разных людей кровь отличается по группе. Существуют
четыре группы крови. Оказывается, что при переливании крови от одного
человека к другому не все группы совместимы.
Граф показывает возможные варианты переливания крови. Группы крови –
это вершины графов с соответствующими номерами, а стрелки указывают на
возможность переливания одной группы крови человеку с другой группой крови.
Из графа видно, что кровь 1-й группы можно переливать любому человеку, а
человек с 1-й группой крови воспринимает кровь только своей группы.
Видно также, что человеку с 4-й группой крови можно переливать любую, но
его собственную кровь можно переливать только в ту же группу. В настоящее
время при необходимости перелить кровь больному человеку, стараются
подобрать кровь той же группы, однако в экстренных случаях надо иметь в виду
эту схему.
I
II
III
IV
V
V
9
2. Лабиринты.
В XIII-XIX веках лабиринтами называли особого рода садовые украшения,
состоящие из более или менее высоких живых изгородей
обсаженных
растениями. Они были расположены так, что между ними образуются дорожки,
ведущие к одному центру, но изгибающиеся в разные стороны и сообщающиеся
между собой столь замысловато, что гуляющему не легко добраться до этого
центра, также как и найти обратный путь.
«Живой» лабиринт.
Для отыскания пути, позволяющего выбраться из лабиринта можно
использовать способ графов. Маршруты в них могут быть представлены
графами,в которых рёбра соответствуют коридорам, а вершины – входам,
выходам, перекрёсткам, тупикам.
3. Графы в астрономии.
Чтобы выделить отдельные созвездия из общего «звездного хаоса», первые
астрономы условно соединили наиболее яркие звёзды линиями (построили
графы). Всё множество видимых звёзд разделилось на отдельные группы –
созвездия. Если граф ассоциировался с каким-либо знакомым объектом, то
созвездию давалось соответствующее название.
10
Когда кругом густая тьма ,
А бездна звездами мерцает,
Струится с неба красота
И счастьем душу наполняет.
Какой порядок иль закон
Творит вселенское величье?
Но нам художник незнаком,
Скрывает тьма его обличье.
Мы,ведь,знаем то , что звезды
Группируются в созвездья
Волопаса, Девы, Рака,
Скорпиона и Стрельца.
А отрезки между ними –
Это просто ребра графа,
От начала до конца.
11
Задачи.
IV.
Задача 1.
Между
планетами
введено
космическое
сообщение
по
следующим
маршрутам: З-К, П-В, З-П, П-К, К-В, У-М, М-С, С-Ю, Ю-М, М-У. Можно ли
добраться с З до М?
Решение:
Составим схему-граф маршрутов:
Мы видим, что от З до М добраться нельзя.
Задача 2.
При встрече каждый из друзей пожал руку другому (каждый пожал
каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было: 1)трое;
2)четверо.
Решение.
Задача решается с помощью полных графов.
1)Встретились трое:
1
2
3
Количество рукопожатий равно количеству рёбер, т.е.3.
2)Встретились четверо:
1
2
3
4
Количество рёбер 6; возможно 6 рукопожатий.
Ответ: 1)3; 2)6.
12
Задача 3.
Нарисовать плоский граф, имеющий 6 вершин, степень каждой из
которых равна а)3; б)4.
Решение:
Задача 4.
Можно ли обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проходя по
одной линии дважды пятиугольник с диагоналями?
Решение:
Если пятиугольник – граф и все вершины его четные – то это выполнить
можно.
Задача 5. (ЕГЭ)
Велосипедист собирается проехать из пункта A в пункт E, в который ведут 3
маршрута: через B, через C, через D. Расстояния в километрах показаны на схеме.
Известно, что если ехать через B, то средняя скорость будет равна 16 км/ч, если
ехать через D, то средняя скорость будет равна 18 км/ч, а если ехать через C, то
средняя скорость будет равна 20 км/ч. Исходя из этих данных, велосипедист
выбрал маршрут так, чтобы доехать до E за наименьшее время.
Сколько минут он планирует пробыть в пути?
Решение :
1)
(15 + 25) : 16 = 2часа 30мин – время в пути ABE
13
2)
(19 + 17) : 18 = 2 часа – время в пути ADE
3)
(11 + 34) : 20 = 2часа 15мин – время в пути AСE
4)
2ч < 2ч 15мин < 2ч 30мин
5)
2 (ч) = 120 (мин)
Граф, соответствующий условию задачи.
Задача 6. (ЕГЭ)
Цепочка из трех бусин формируется по следующему правилу:на 3-м месте в
цепочке стоит одна из бусин А, В, Г. На 2-м месте – одна из бусин А, Б, В. На 1-м
месте – одна из бусин Б, В, Г, не стоящая в цепочке на втором или третьем месте.
Сколько существует различных цепочек, соответствующих этому правилу?
14
Задача 7. (варианты обедов для школьной столовой)
В столовой предлагают два первых блюда: борщ, щи, а также четыре вторых
блюда: гуляш, котлеты, сосиски, блинчики.Какие обеды из двух блюд можно
заказать.
Решение:
Обеды
Гуляш
1
Борщ
Котлеты
2
Сосиски
3
Блинчики
8
Щи
Блинчики
4
Гуляш
5
Котлеты
6
Сосиски
7
Ответ: 8 разных обедов из двух блюд.
Задача 8.
Для учащихся класса нужно составить расписание уроков на понедельник.
Должны быть такие предметы: 2 урока математики, по 1 уроку русского языка,
истории, биологии и географии. Учитель математики высказала пожелание, чтобы
ее уроки были 1 и 3. Учителя русского языка и истории согласны заниматься с
учащимися на 2 или 4 уроках. Учителя биологии и географии – на 5 или 6.
Сколько вариантов расписания можно составить?
Можно составить 16 вариантов. Например:
Математика
Русский язык
Математика
История
Биология
География
Математиа
Русский язык
Математика
История
География
Биология
Математика
История
Математика
Русский язык
Биология
География
15
Задача 9.(для кабинета математики, см.Приложение5).
В одном селе стоят три дома,
В них три хозяина живут.
Есть три колодца, а к колодцам
Тропинки от домов ведут.
Но без воды не проживешь,
Не сваришь суп, лук не польешь,
А будешь дальше обижаться –
Того гляди и сам помрешь.
Колодцы эти непростые,
В колодцах разная вода.
Соленой хочешь, пресной, сладкой?
Так знаешь сам идти куда.
Но вот однажды повезло:
Соседям в голову пришло
К воде пути себе наметить,
Да так, чтоб никого не встретить,
Чтоб все колодцы обойти,
Водицы разной принести.
Пока хозяева дружили,
Все славно жили, не тужили.
Товар везли во все концы –
Укроп, клубнику, огурцы.
Но вдруг нагрянула беда,
Всему виной была вода.
Друзья поссорились, да так –
Друг друга видеть не хотели.
Что делать? - Людям подскажите,
К воде тропинки проложите.
Им нужен добрый ваш совет:
Как быть и где найти ответ?
Друг друга вечно сторониться,
Или придётся помириться?
16
V. Заключение.
Выводы
Графы используются в самых разных областях науки и жизни. Каждому
школьнику, решившему связать свою будущую профессию с математикой
необходимо овладеть этим методом.
Описание результатов работы
Я научились решать задачи методом, который не изучается в нашей
школьной программе и попыталась составить свои собственные задачи.
Некоторые
утверждения проверила в ходе экспериментов и убедилась в их
справедливости. Это было очень увлекательно!
Самоанализ
В ходе работы над проектом я поняла, что выбранная тема намного более
обширная и глубокая, чем я себе представляла сначала. Некоторые задачи
оказались
сложными , и мне нужна была помощь, а значит,
есть куда
развиваться.
Практическая значимость работы.
Материал
работы
может
пригодиться
для
занятий
школьного
математического кружка, для подготовки к экзаменам и олимпиадам по
математике. Работа
вызвала повышенный интерес не только у меня, но и у
одноклассников, и у родителей.Составление проекта прокладывания дорожек, с
помощью графов, на пришкольной лужайке для отдыха – следующая тема для
работы.
17
Приложения.
Приложение 1.
18
Приложение 2.
19
Используемая литература:
1. Весёлые задачи, Я. И. Перельман, Москва, 2003г
2. Графы и их применение, О. Оре, Москва, 1979г
3. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы, С. А.
Генкин, И. В. Итенберг, Киров, 1994г
4. Математика (Дополнительные главы). Е. В. Смыкалова Санкт-Петербург
СМИО Пресс 2006
5 Математическая смекалка, Е. И. Игнатьев, Москва 1994г.
6. Сборник олимпиадных задач по математике, В. Г. Горбачев, 2004г.
7. Физико-математический журнал «Квант», А. Савин, №6 1994г.
20