08-03-04. Графическое решение квадратных уравнений 1. Рассмотрим, например, уравнение x 2 x 2 0 . Его можно переписать в виде x 2 2 x Построим на координатной плоскости графики функций y x 2 и y 2 x , а затем найдем их точки пересечения A( x1 y1 ) и B( x2 y2 ) (рисунок 1). Для координат точки A выполняются равенства y1 x12 и y1 2 x1 . Значит, x12 2 x1 и число x1 — корень уравнения x 2 2 x . Аналогично, для координат точки B выполняются равенства y2 x22 и y2 2 x2 , поэтому x22 2 x2 и число x2 — также корень уравнения x 2 2 x . Таким образом, абсциссы точек A и B , в которых пересекаются графики функций 2 y x и y 2 x , являются корнями исходного уравнения. Если чертеж выполнен достаточно аккуратно, то с его помощью можно найти приближенные значения корней x1 и x2 . В данном случае x1 2 , x2 1 . Непосредственной проверкой легко убедиться, что числа -2 и 1 на самом деле являются точными значениями корней уравнения x 2 2 x . 2. Рассуждения, приведенные в предыдущем пункте, можно обобщить и применить к решению любого квадратного уравнения x 2 px q 0 . Сначала надо переписать его в виде x 2 px q , а затем построить на одном чертеже графики квадратичной функции y x 2 и линейной функции y px q . Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями данного уравнения. Так как всякое квадратное уравнение имеет не более двух различных действительных корней, то прямая y px q также пересекает параболу y x 2 не более чем в двух точках. Если точек пересечения две, то уравнение x 2 px q 0 имеет два корня. Если точка пересечения одна, то и корень один. Если, наконец, прямая y px q вовсе не пересекает параболу y x 2 , то уравнение x 2 px q 0 действительных корней не имеет. 3.* Графический способ решения уравнений требует особой аккуратности в построениях и обязательно должен сопровождаться аналитической проверкой результатов. Даже очень незначительная погрешность при построении графика может привести к грубой ошибке в определении корней. Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется решить уравнение x 2 2 x 1 . Если воспользоваться формулой корней квадратного уравнения, то получится x12 1 12 1 1 Следовательно, данное уравнение имеет один действительный корень, а парабола y x и прямая y 2 x 1 имеют единственную общую точку A(11) , как на рисунке 2. Если чуть-чуть ошибиться при построении графика и провести прямую выше ее истинного расположения, как l1 на рисунке 2, то точек пересечения окажется две — B и C . Их абсциссы можно ошибочно принять за корни исходного уравнения. Если же провести прямую чуть ниже, как l2 на рисунке 2, то она вообще не пересечется с параболой и можно будет сделать ошибочный вывод, что данное уравнение дей2 ствительных корней не имеет. В таких сомнительных ситуациях только проверка при помощи точных формул из предыдущего параграфа дает гарантию правильности сделанных построений. 4. Образ параболы y x 2 при параллельном переносе. Выясним, наконец, как правильно построить график функции y x 2 px q . Для этого рассмотрим на координатной плоскости параллельный перенос, заданный какойнибудь парой чисел, например, (-2;3). При этом параллельном переносе парабола y x 2 переходит в некоторую новую кривую. Найдем ее уравнение. Пусть точка A1 ( x1 y1 ) лежит на исходной параболе, то есть ее координаты связаны соотношением y1 x12 . При данном параллельном переносе точка A1 переходит в такую точку A( x y ) , что x x1 (2) , y y1 3 . Отсюда вытекает, что x1 x (2) , y1 y 3 . Подставляя в равенство y1 x12 вместо x1 и y1 их выражения через x и y , придем к уравнению y 3 ( x (2))2 Это и есть уравнение искомой кривой. Она тоже называется параболой (рисунок 3). Аналогичные рассуждения можно провести для каждого параллельного переноса, заданного парой чисел (a b) , и получить следующий результат: при параллельном переносе, определенном парой чисел (a b) , парабола y x 2 переходит в параболу с уравнением (1) y b ( x a)2 5. Представление параллельного переноса параболы в виде последовательных переносов вдоль осей. Как известно, всякий параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) , является результатом последовательного выполнения двух простейших параллельных переносов - – вдоль оси Ox на a и вдоль оси Oy на b . Выясним, в какую кривую переходит парабола при каждом из этих простейших параллельных переносов. Параллельный перенос вдоль оси Ox на a равносилен переносу, определяемому парой чисел (a 0) . Согласно общей формуле (1) при таком параллельном переносе парабола y x 2 перейдет в кривую с уравнением y ( x a) 2 Например, парабола y ( x 2)2 получается параллельным переносом параболы y x 2 вдоль оси Ox на 2 (рисунок 4). На рисунке 5 изображена парабола y ( x 3)2 , полученная параллельным переносом параболы y x 2 вдоль оси Ox на -3. Аналогично, параллельный перенос вдоль оси Oy на b равносилен переносу, определяемому парой чисел (0b) . По общей формуле (1), при таком переносе парабола y x 2 перейдет в кривую с уравнением y b x 2 , которое можно переписать в виде y x 2 b Например, парабола y x 2 2 получается из параболы y x 2 параллельным переносом вдоль оси Oy на -2 (рисунок 6). 6. Построение графика функции y ( x a)2 b . Из рассуждений пунктов 4 — 5 вытекает, что парабола с уравнением (2) y ( x a) 2 b 2 получается из параболы y x в результате последовательного выполнения двух параллельных переносов. Сначала надо сделать параллельный перенос вдоль оси Ox на a , а затем – - вдоль оси Oy на b . Можно выполнять эти параллельные переносы в обратном порядке: сначала — вдоль оси Oy на b , а затем — вдоль оси Ox на a . Результат будет тот же самый. Например, параболу y ( x 3)2 1 можно построить за два шага. На первом шаге мы строим график функции y ( x 3)2 , выполняя параллельный перенос параболы y x 2 вдоль оси Ox на -3. На втором шаге мы переносим получившуюся кривую параллельно оси Oy на -1. В итоге получится нужный график, как на рисунке 7. 7. Построение графика функции y x 2 px q . Вернемся к построению графика квадратичной функции y x 2 px q . Для этого проделаем с ней те же самые преобразования, что и при выводе формулы корней квадратного уравнения: y x 2 px q 2 2 p p2 p x 2 x q 2 4 2 p p2 x q 2 4 2 p 2 Итак, данное уравнение удалось переписать в виде (2), где роль a выполняет число 2 , а роль b — число q p4 . Теперь для построения нужного графика достаточно взять параболу y x 2 и последовательно дважды параллельно перенести ее. Сначала — вдоль оси Ox на 2p , а затем получившуюся кривую — вдоль оси Oy на q p2 4 . Например, для построения графика функции y x 2 3x 1 выполним такие преобразования: 2 2 3 3 3 y x 3x 1 x 2 x 1 2 2 2 2 2 2 3 13 x 2 4 Значит, искомый график получается из параболы y x 2 параллельным переносом, определяемым парой чисел 32 134 . 8. В заключение рассмотрим некоторые особенности графика функции 2 y x px q . Мы уже видели, что этот график получается параллельным переносом параболы y x 2 . При этом вершина параболы y x 2 , то есть точка (0 0) , перейдет в вер- шину параболы y x 2 px q . Так как перенос определяется парой чисел 2p q p2 4 , то такие же координаты будет иметь и новая вершина. Следовательно, вершина параболы y x 2 px q имеет координаты 2p q p2 4 . 2 Допустим, что q p4 0 . Тогда вершина параболы y x 2 px q будет расположена выше оси абсцисс. Весь график также окажется в верхней полуплоскости, а его ветви не пересекутся с осью абсцисс (рисунок 8). Это означает, что уравнение x 2 px q 0 не имеет действительных корней. Если q p2 4 0 , то параллельный перенос, определяемый парой чисел 2p 3 q px q совпадут с 0 (рисунок 9). Видно, что уравнение x p2 4 , сводится к сдвигу вдоль оси абсцисс на 2p . В данном случае координаты вершины параболы y x 2 p 2 2 px q 0 имеет действительное решение x 2p . 2 Пусть, наконец, q p4 0 . Тогда вершина параболы y x 2 px q окажется ниже оси абсцисс, а ее ветви пересекут эту ось в двух различных точках ( x1 0) и ( x2 0) (рисунок 10). В данном случае уравнение x 2 px q 0 имеет два различных действительных корня x1 и x2 . Контрольные вопросы 1. В чем состоит процедура графического решения квадратного уравнения? 2. Почему при графическом решении квадратных уравнений необходима проверка? 3. Что такое параллельный перенос? 4. Напишите уравнение кривой, в которую переходит парабола y x 2 при параллельном переносе, определенном парой чисел (a b) . 5. Что происходит с параболой y x 2 при параллельном переносе вдоль оси Ox на a ? Какое уравнение имеет перемещенная парабола? 6. Что происходит с параболой y x 2 при параллельном переносе вдоль оси Oy на b? 7. Какое уравнение имеет перемещенная парабола? 8. Как изобразить график квадратного трехчлена y x 2 px q ? 9. Каковы координаты вершины параболы y x 2 px q ? 10. Как по графику квадратного трехчлена определить число действительных корней соответствующего квадратного уравнения? 11.*Как проверить, пересекает график квадратного трехчлена y x 2 px q прямую y kx или нет? Задачи и упражнения 1. Вычислите приближенные значения корней (с точностью до 0,1): а) x 2 15 x 5 0 ; б) 3 x 2 14 x 4 0 ; в) 5 x 2 24 x 9 0 ; г) 7 x 2 27 x 12 0 . 2. Решить графически уравнения: а) x 2 x 2 0 ; б) x 2 2 x 3 0 ; в) 2 x 2 3 x 4 0 . 3.В какую параболу перейдет парабола y x 2 при параллельном переносе: а) на (1; 0); е) на (-1; -1); б) на (0; 1); ж) на (1; -1); в) на (1; 1); з) на (-1; 1); г) на (-1; 0); и) на (2; 3); д) на (0; -1); к) на (4; -2). 4.* Определите, при каком параллельном переносе парабола: а) y x 2 1 ; в) y x 2 4 x ; б) y x 2 2 x 1; г) y x 2 6 x 4 переходит в параболу y x 2 . 5. При каком параллельном переносе парабола y x 2 переходит в параболу: а) y x 2 1 ; в) y x 2 4 x ; б) y x 2 2 x 1; г) y x 2 6 x 4 ? 6. Постройте график функции: а) y x 2 1 ; в) y ( x 1) 2 ; б) y x 2 2 ; г) y ( x 2)2 . 7. Постройте график функции: а) y x 2 2 x 3 ; г) y x 2 4 x 5 ; б) y x 2 2 x 4 ; д) y x 2 6 x 1; в) y x 2 4 x 1; е) y x 2 6 x 5 . 8. Известно, что вершина параболы y x 2 px q лежит на оси Ox , а парабола проходит через точку (2; 1). Найдите числа p и q . 9. Известно, что вершина параболы y ax 2 bx c лежит на оси Ox , а парабола проходит через точки (- 1; 1) и (1; 9). Найдите числа a , b , c . Ответы и указания Задача 8. Указание. Вершина параболы y x 2 , т. е. точка (0 0) , переходит в вершину параболы y x 2 px q при параллельном переносе, определяемым парой чисел p 2 q p2 4 . Поскольку вершина находится на оси Ox , то q p2 4 0 , то есть q p2 4 . Из то- го, что парабола y x 2 px q проходит через точку (2;1) следует, что выполняется равенство 1 22 p 2 p2 4 , то есть 1 2 . Отсюда следует, что либо 1 2 p 2 2 p 2 , и тогда p 2 , q 1 , либо 1 2 2p , и тогда p 6 , q 9 . Задача 9. Указание. Если исходить из данного в этой главе определения параболы как кривой, заданной уравнением вида ( y n) ( x m)2 для фиксированных чисел m и n , то формально сразу получаем, что a 1 . Подставляя значения координат (11) и (1 9) в уравнение y x 2 bx c получаем соотношения 1 1 b c и 9 1 b c . Вычитая из второго первое соотношение, получим b 4 , а после этого c 4 . Остается только проверить, что вершина параболы расположена на оси Ox . Решая уравнение 0 x 2 4 x 4 , ви- дим, что 0 ( x 2)2 , то есть вершина этой параболы действительно расположена в точке (2 0) , то есть на оси Ox . Более сложным будет решение, если полагать, что графиком функции f ( x) ax 2 bx c при a 0 также является парабола. В дальнейшем это будет доказано и установлено, что параболу y ax 2 при a 0 можно получить из параболы y x 2 растяжением или сжатием вдоль оси Oy , то есть при каждом значении x умножением значения функции f1 ( x ) x 2 на одно и то же фиксированное число a . Будет показано также, что любые две параболы подобны. Ориентируясь на эти закономерности, можно сделать следующие выводы. Выделив полный квадрат, получаем f ( x) ax 2 bx c a x 2 ba x ac a x 2 2 2ba x 2ba 2 b2 4a2 c a x 2ba 4ac4ab . 2 2 Отсюда видно, что если a 0 , то функция f ( x) при x 2ba принимает наименьшее значение, равное 4 ac b2 4a , а если a 0 , то функция f ( x) при x 2ba принимает наиболь- шее значение, также равное 4 ac b2 4a . Для параболы y x 2 вершиной называется точка ми- нимума функции f1 ( x ) x 2 , и аналогично для параболы y ax 2 bx c вершиной называется точка минимума при a 0 и точка максимума при a 0 для функции f ( x) ax 2 bx c , то есть точка с координатами 2ba 4 ac4ab . Отсюда и из того, что вер- шина параболы лежит на оси Ox получаем, что 4 ac b 4a b 2 4ac 0 2 2 0 или (3) Из того, что кривая y ax 2 bx c переходит через точки (11) и (1 9) получаем еще два соотношения: 1 a b c (4) 9 a b c (5) Вычитая из соотношения (4) соотношение (3), получаем 8 2b , откуда b 4 . Отсюда и из (2) получаем, что 16 4ac , то есть ac 4 . Таким образом, мы получили соотношения 1 a 4 c , 9 a 4 c , 4 ac , из которых следует, что c a 5 и c a4 , то есть справедливо равенство a4 a 5 или a4 a 5 0 , или a 2 5a 4 0 . Решая это квадратное уравнение, находим a1 4 , a2 1 . Отсюда c1 1 , c2 4 . В результате получаем две тройки чисел: a1 4 , b1 4 , c1 1 и a2 1 , b2 4 , c2 4 .