Многогранные фуллерены

МБОУ г.Астрахани
«Средняя общеобразовательная школа №36»
Многогранные фуллерены.
Автор: Лемешев Николай
МБОУ г. Астрахани,
«СОШ №36», 9 класс.
Руководители:
Жак Алевтина Павловна учитель математике,
Мальцева Елена Михайловна учитель химии.
г. Астрахань 2014г.
Оглавление.
Введение.
1. Химия фуллеренов
1.1. История открытия фуллеренов
1.2. Химическое строение молекул
1.3.
Применение фуллеренов
2. Фуллерены как многогранники
2.1 Определение многогранникам
2.2. Платоновы тела
2.3. Усеченный икосаэдр
2.4. Теорема Эйлера
2.5 Площадь поверхности фуллерена
«История открытия С60 не может быть правильно оценена без учёта
красоты формы этой молекулы, которая обусловлена её невероятной
симметрией...»
Гарольд Крото
Введение
В последние годы в средствах массовой информации часто звучит
термин «фуллерены». Для меня он с самого начала был химическим. На
уроках химии я узнал, что фуллерены-то одна из аллотропных модификаций
углерода. До недавнего времени было известно, что углерод образует три
аллотропных формы: – алмаз, графит и карбин. Аллотропия, от греч. Allos иной, tropos - поворот, свойство, существование одного и того же элемента в
виде различных по свойствам и строению структур. В настоящее время
известна четвертая аллотропная форма углерода, так называемый фуллерен
(многоатомные молекулы углерода Сn).(рис 1) Я стал собирать литературу по
новым соединениям и узнал, что фуллерены – это ранее неизвестные
молекулы углерода. Я также узнал, что название этим соединениям дано в
честь американского архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера. Желая
узнать, какое отношение архитектор Фуллер имеет к химии, я стал искать
литературу по этому новому направлению. Оказалось, что фуллерены по
своему строению похожи на архитектурные сооружения Р.Б. Фуллера,
называемые «геодезическими куполами».
Фуллерены были открыты
в 1985 году. Это сенсационное событие оказало сильное влияние на всю
мировую науку. Группа англо-американских учёных, а именно Гарольд
Крото, Роберт Кёрл и Ричард Смолли, открыли фуллерены - новые молекулы,
состоящие из одних атомов углерода и получили в 1996 году Нобелевскую
премию по химии. Необычность этого открытия состояла в том, что оно
было связано с углеродом - одним из наиболее распространённых на земле
элементов. Углерод был известен человеку уже в глубокой древности в виде
угля, сажи, позже в виде алмаза, графита, а к концу ХХ века, когда уже стало
известно, что углерод является основой жизни на земле, его многочисленные
соединения были всесторонне изучены, так что в области углерода никто
никаких открытий не ожидал. Но открытие произошло именно здесь, в химии
углерода. Сенсация открытия заключалась также в том, что строение новых
углеродных соединений оказалось крайне необычным, что сильно потрясло
химическое сообщество. Хорошо известно, что атом углерода в своих
соединениях образует длинные углеродные цепи или плоские циклические
структуры, а вот, новые молекулы углерода имели СФЕРИЧЕСКОЕ
строение.(рис.2)
Атомы
углерода
располагались
на
сферической
поверхности, а внутри молекула была пустота. Открытие фуллеренов
оказалось настолько фундаментальным, что затронуло практически все
области научных знаний и способствовало дальнейшему развитию мировой
науки. Гарольд Крото приравнял открытие фуллеренов по значимости к
открытию Америки Колумбом. Фуллерены представляют собой одну из
аллотропных форм углерода, молекулы которой характеризуются замкнутой
каркасной структурой (так называемый фуллереновый кор) и состоят из
четного числа исключительно атомов углерода в sp2-гибридизированном
состоянии. В этой работе перед нами была поставлена задача разобраться в
природе фуллеренов, рассмотреть некоторые их свойства, строение и
возможные методы применения. Свойства фуллеренов изучает наука химия,
а вот строение этих удивительных молекул мы рассмотрим с точки зрения
геометрии и даже попробуем рассчитать их площадь поверхности и
выяснить, как устойчивость фуллеренов связана с их геометрическим
строением. [6С.7]
Актуальность: Данная тема является актуальной, т.к. в настоящее
время стремительно развиваются нано-технологии, которые в будущем
надеюсь, станут широко применяться повсеместно.
Цель работы: выяснить, как проявляются свойства многогранников на
примере молекул фуллеренов.
Гипотеза:
являются
ли
фуллерены
широко
используемыми
соединениями, где они применяются и что из себя представляют с точки
зрения геометрии.
Задачи:
1) Кратко описать строение и свойства фуллеренов;
2) Рассмотреть, как связана устойчивость молекулы фуллерена с его
геометрическим строением;
3) Рассмотреть какие виды многогранников проявляются на
примере
молекул фуллеренов.
4) Рассмотреть теоремы Эйлера и доказать, что эта теорема применяется к
самой устойчивой молекуле фуллерена С60;
5) Рассчитать площадь поверхности фуллерена.
Объект исследования: молекулярные соединения-фуллерены,
многогранники.
Методы исследования: Изучить литературные источники. Провести
анализ полученного материала на предмет актуальности работы.
Смоделировать макет одной из аллотропных модификаций углерода.
Провести вычисления для нахождения площади поверхности
фуллерена. Найти количество правильных пяти– и шестиугольников в
многограннике.
1.Химия фуллеренов.
1.1. История открытия и поучения фуллеренов.
Сегодня я хотел бы рассказать о том, как был открыт фуллерен,
заслуженно считающийся самой красивой и совершенной из известных на
данный момент молекул. Начнём с самых основ - с атома углерода.
Кристаллические формы углерода известны всем. Это алмаз и графит.
Казалось бы, абсолютно разные материалы. Алмаз (от греч. adamas,
adamastos - «несокрушимый») прозрачен, необычайно твёрд, не проводит
электрический ток, мало распространён в природе (что приводит к его
высокой цене). Графит (от греч. Graphain - писать) - непрозрачен, легко
крошится (малая твёрдость), проводник тока, широко распространён. Однако
основа этих материалов одна - углерод.(рис.3) [6С.51]
Различие
между
этими
объектами
видны
уже
на
уровне
кристаллической структуры: в графите каждый атом углерода связан с тремя
соседними атомами, в алмазе - с четырьмя. Уже исходя из этого можно
сказать, что графит способен легко расщепляться, т.к. связь между его
атомарными слоями слабая, в то время как алмаз во всех направлениях будет
иметь примерно одинаковую прочность. [6С.53]
И хотя алмаз и графит известны человечеству испокон веков, новые
формы углерода находят и сейчас. Фуллерен, нанотрубки, графен — каждый
из этих материалов занимает умы учёных и по сей день.(рис.5) [2С.7]
В
1973
г.
отечественные
ученые
Д.А.Бочвар
и
Е.Н.Гальперн
опубликовали результаты квантово-химических расчетов, из которых
следовало,
что
должна
существовать
устойчивая
форма
углерода,
содержащая в молекуле 60 углеродных атомов и не имеющая никаких
заместителей. В той же статье была предложена форма такой гипотетической
молекулы. Выводы этой работы казались в то время совершенно
фантастическими. Никто не мог себе представить, что такая молекула может
существовать, и тем более – как взяться за ее получение. Эта теоретическая
работа несколько опередила свое время и была вначале попросту забыта. В
1980-х гг. астрофизические исследования позволили установить, что в
спектрах некоторых звезд, так называемых «красных гигантах», обнаружены
полосы, указывающие на существование чисто углеродных молекул
различного размера. В 1985 г. Г.Крото и Р.Смолли начали проводить
исследования уже в «земных» условиях. Они изучали масс-спектры паров
графита, полученных под ударом лазерного пучка, и обнаружили, что в
спектрах есть два сигнала, интенсивность которых намного выше, чем всех
остальных. Сигналы соответствовали массам 720 и 840, что указывало на
существование крупных агрегатов из углеродных атомов – С60 и С70. Массспектры позволяют установить лишь молекулярную массу частицы и не
более того, однако этого оказалось достаточно, чтобы фантазия ученых
заработала. В итоге была предложена структура многогранника, собранного
из пяти- и шестиугольников. Это было точное повторение структуры,
предложенной 12 лет назад Бочваром.(рис 6) [3С.25-29]
Своё название молекула фуллерена получила по фамилии архитектора
Бакминстера ФУЛЛЕРА (Buckminster Fuller), сконструировавшего купол
павильона США на выставке в Монреале в 1967 году словно состоявший из
молекул.(рис.7) В 1997 году Р.Е.Смолли, Р.Ф.Керл, Г.Крото получили
Нобелевскую премию по химии за изучение молекул С60, имеющих форму
усеченного икосаэдра. [10]
1.2. Химическое строение фуллеренов
C60 является наиболее распространенным и изучаемым фуллереном.
Его молекула, в которой все атомы эквиваленты вследствие высокой
симметрии, имеет сферическую форму с расстоянием от центра до ядер
атомов около 0,36 нм и ван-дер-ваальсовым радиусом около 0,5 нм. C60
образует молекулярный кристалл, в котором молекулы находятся в узлах
кубической гранецентрированной решетки, т. е. трехслойной плотнейшей
шаровой упаковки. При высоких температурах C60 сублимирует без
образования жидкой фазы. Лучше всего C60 растворим в ароматических
веществах и таких растворителях, как сероуглерод, тогда как в полярных
растворителях он растворим плохо. Физические и химические свойства C70,
имеющего вытянутую эллипсоидальную форму, и высших фуллеренов
близки к свойствам C60. (рис.8). В XVIII в. швейцарский математик Л. Эйлер
расчетным путем доказал, что любой такой объект должен иметь точно 12
пятиугольников, чтобы они образовали замкнутый сфероид, а число
шестиугольников может варьироваться в широких пределах. Существует
формула n=20+2m, выражающая связь между числом атомов в молекуле
фуллерена n и числом поверхностных шестиугольников m. Структура C60 в
форме футбольного мяча имеет 20 шестиугольников, в то время как
предполагаемая структура C60 должна иметь их 30 и по форме быть близка к
мячу для регби. Было установлено, что все кластеры с четным числом атомов
углерода, большим 32, исключительно устойчивы (хотя и в меньшей степени,
чем C60 или C70) и что они имеют форму геодезического купола. В структуре
С70 содержится 30 шестиугольников.(рис.9) Высота молекулы С70 составляет
0,78 ± 0,001 нм. Диаметр экваториальной окружности, проходящей через
центры атомов углерода (перетяжка) равен 0,694 ± 0,005 нм. Фуллерен С 70
имеет восемь различных типов связей. Фуллерены с n<60 оказались
неустойчивыми, хотя из чисто топологических соображений возможным
наименьшим фуллереном является правильный додекаэдр С20. [8] (рис.10)
1.3. Применение фуллеренов
В настоящее время в научной литературе обсуждаются вопросы
использования
оптоэлектронных
фуллеренов
устройств,
для
создания
катализаторов
фотоприемников
роста,
алмазных
и
и
алмазоподобных пленок, сверхпроводящих материалов, а также в качестве
красителей для копировальных машин. Фуллерены применяются для синтеза
металлов и сплавов с новыми свойствами.
Фуллерены планируют
использовать в качестве основы для производства аккумуляторных батарей.
Эти батареи, принцип действия которых основан на реакции присоединения
водорода, во многих отношениях аналогичны широко распространенным
никелевым аккумуляторам, однако, обладают, в отличие от последних,
способностью запасать примерно в пять раз больше удельное количество
водорода. Кроме того, такие батареи характеризуются более высокой
эффективностью, малым весом, а также экологической и санитарной
безопасностью по сравнению с наиболее продвинутыми в отношении этих
качеств аккумуляторами на основе лития. Такие аккумуляторы могут найти
широкое применение для питания персональных компьютеров и слуховых
аппаратов .Растворы фуллеренов в неполярных растворителях (сероуглерод,
толуол, бензол, тетрахлорметан, декан, гексан, пентан) характеризуются
нелинейными оптическими свойствами, что проявляется, в частности, в
резком снижении прозрачности раствора при определенных условиях. Это
открывает возможность использования фуллеренов в качестве основы
оптических затворов - ограничителей интенсивности лазерного излучения.
Возникает перспектива использования фуллеренов в качестве основы для
создания запоминающей среды со сверхвысокой плотностью информации.
Фуллерены могут найти применение в качестве присадок для ракетных
топлив, смазочного материала. [9]
Большое внимание уделяется проблеме использования фуллеренов в
медицине и фармакологии. Обсуждается идея создания противораковых
медицинских препаратов на основе водорастворимых эндоэдральных
соединений фуллеренов с радиоактивными изотопами. Найдены условия
синтеза
противовирусных
и
противораковых
препаратов
на
основе
фуллеренов. Одна из трудностей при решении этих проблем – создания
водорастворимых нетоксичных соединений фуллеренов, которые могли бы
вводиться в организм человека и доставляться кровью в орган, подлежащий
терапевтическому воздействию. [4С.51]
2. Фуллерены как многогранники
2.1
МНОГОГРАННИК
-
часть
пространства,
ограниченная
совокупностью конечного числа плоских многоугольников, соединенных
таким образом, что каждая сторона любого многоугольника является
стороной ровно одного другого многоугольника (называемого смежным),
причем,
вокруг
каждой
вершины
существует
ровно
один
цикл
многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны –
ребрами, а вершины – вершинами многогранника.
Есть выпуклые и
невыпуклые, правильные и неправильные многогранники. Я обратил
внимание на правильные, а значит выпуклые, тела. Что такое правильный
многогранник? Правильным называется такой многогранник, все грани
которого равны между собой и при этом являются правильными
многоугольниками.
Существует
только
пять
выпуклых
правильных
многогранников, причём их гранями могут быть только три типа правильных
многоугольников: треугольники, квадраты и пентагоны (правильные
пятиугольники). [3С. 65]
2.2 Платоновы тела
Эти многогранники принято называть Платоновыми телами (рис.11),
названными так в честь древнегреческого философа Платона, который
использовал их в своей космологии.
Существуют
удивительные
геометрические связи
между всеми
правильными многогранниками. Так, например, куб и октаэдр дуальны, т.е.
получаются друг из друга, если центры тяжести граней одного принять за
вершины другого и обратно. Аналогично дуальны икосаэдр и додекаэдр.
2.3 Усечённый икосаэдр
Усеченный икосаэдр — один из 13 архимедовых многогранников или
архимедовых тел (считается, что их впервые описал Архимед). Оригинальная
работа Архимеда, к сожалению, не сохранилась, и ее результаты дошли до
нас, что называется, «из вторых рук». В конце концов Кеплер в 1619 г. в
своей книге «Мировая гармония» дал исчерпывающее описание всего набора
архимедовых тел — многогранников, каждая грань которых представляет
собой правильный многоугольник, а все вершины находятся в эквивалентном
положении (как атомы углерода в молекуле С60). Но сейчас доподлинно
известно, что первым открыл и подробно описал архимедовы тела (не зная,
конечно, что это уже было сделано Архимедом), в частности 5 усечённых
Платоновых тел: усеченные тетраэдр, куб, октаэдр, додэкаэдр и, что важно
непосредственно для нас, усечённый икосаэдр, Пьеро делла Франческа. В его
рукописи «О пяти правильных телах», датированной 1480 г., обнаружено
старейшее из дошедших до наших дней изображений усеченного икосаэдра.
Архимедовы тела состоят не менее чем из двух различных типов
многоугольников, в отличие от 5 Платоновых тел, все грани которых
одинаковы (как в молекуле С20, например). Итак, как же сконструировать
архимедов усеченный икосаэдр из Платонова икосаэдра? Действительно, в
любой из 12 вершин икосаэдра сходятся 5 граней. Если у каждой из 12
вершин отрезать (отсечь) часть икосаэдра плоскостью, то образуется 12
новых пятиугольных граней. Вместе с уже имеющимися 20 гранями,
превратившимися
после
такого
отсечения
из
треугольников
в
шестиугольники, они составят 32 грани усеченного икосаэдра. При этом
ребер будет 90, а вершин 60. [7]
2.4.
Формула Эйлера
Решающую роль в понимании структуры фуллеренов сыграло
применение теоремы, сформулированной и доказанной великим Леонардом
Эйлером (1707-1783): в любом выпуклом многограннике числа вершин (В),
ребер (Р) и граней (Г) подчиняются соотношению В — Р + Г = 2». Эта
формула связывает числа вершин, ребер и граней любого выпуклого
многогранника. Числовые характеристики Платоновых тел приведены в
следующей таблице:
Числовые характеристики Платоновых тел
Многогранник Число
Число
Число Число Число
Число
сторон
граней,
граней вершин ребер
плоских
грани, сходящихся
(Г)
(В)
(Р)
углов на
m
в вершине, n
поверхности
(У)
Тетраэдр
3
3
4
4
6
12
Гексаэдр (куб)
4
3
6
8
12
24
Октаэдр
3
4
8
6
12
24
Икосаэдр
3
5
20
12
30
60
Додекаэдр
5
3
12
20
30
60
Из этой теоремы следует, что не существует выпуклого многогранника,
у которого все грани были бы шестиугольниками.
Это
в
свою
очередь
означает,
что
нельзя
сконструировать
многогранную молекулу только посредством шестиугольников. Поэтому в
молекуле С60, кроме шестиугольных имеются и пятиугольные грани,
необходимые для искривления плоской (шестиугольной) графитовой
структуры и превращения ее в замкнутую оболочку.
Более того, соотношение Эйлера «требует» наличия 12 (не больше и не
меньше!) пятиугольных граней в любой из таких молекул. А вот число
шестиугольных граней может варьироваться, и при этом число вершин
многогранника (атомов углерода) всегда остается четным. По такой логике
наименьшая молекула фуллерена, С20, состоит только из 12 пятиугольников.
Следующий фуллерен- С24, затем С26, С28 С60, …С70, С72, … и т. д.
Применение соотношения Эйлера позволяет также объяснить уникальность и
особую стабильность С60 в сравнении с другими фуллеренами.
Пусть в произвольной замкнутой нанотрубке N пятиугольников и M
шестиугольников. Тогда: Г = N+M,
B = (5N+6M)/3, деление на 3 возникает, т.к. каждая вершина принадлежит 3
граням.
Р = (5N+6M)/2, деление на 2 возникает, т.к. каждое ребро принадлежит 2
граням.
1) Найдем N, подставив полученные выражения в формулу Эйлера:
(5N+6M)/3 + (N+M) - (5N+6M)/2 = 2
5N/3 + 2M + N + M - 5N/2 - 3M = 2
8N/3 - 5N/2 = 2
N/6 = 2
N = 12
Тем самым мы доказали, что в произвольной замкнутой нанотрубке 12
пятиугольников.
2) Найдем М:
B = (5N+6M)/3 = 60 (N=12 пятиугольников)
(60+6M)/3 = 60
60 + 6M = 180
6M = 120
M = 20
Г=20+12=32
Молекула самого устойчивого фуллерена С60 имеет 60 вершин, 32
грани и
90 ребер, то есть 60 – 90 + 32 = 2, то есть теорема Эйлера также
выполняется.
2.5. Площадь поверхности фуллерена
Формулы:
S = 4πR2 , или S = πD2
Площади правильных 5-ти и 6-ти угольников
Значит
. Отсюда следует, что с погрешностью
Заключение.
А закончить свою работу я хотел бы словами Гарольда Крото, одного
из открывателей фуллерена, которые он произнёс в своей Нобелевской
лекции: «История открытия С60 не может быть правильно оценена без учёта
красоты формы этой молекулы, которая обусловлена её невероятной
симметрией. Другой важный факт, создающий ауру вокруг этой молекулы,
связан с её названием бакминстерфуллерен. Всё это придаёт элегантной
молекуле харизму, которая очаровала учёных, привела в восторг обывателей,
добавила энтузиазма молодым в их отношении к науке и, в частности,
придала свежее дыхание химии». Хотя фуллерен, строго говоря, так и не
нашёл своего применения в повседневной жизни, красоту этой молекулы
оценит каждый. Упругий мяч из углерода можно часто встретить в
современных научных публикациях. К примеру, несколько лет назад группой
Джеймса ТУРА(James Tour) был создан наноавтомобиль, в качестве колёс
которого использовался фуллерен. Таким образом, даже если фуллерен и
останется лишь красивой молекулой, он уже сослужил хорошую службу,
просто показав, какой захватывающей может быть современная наука. Также
мы рассмотрели фуллерен с точки зрения геометрии и выяснили, что
молекулы представляют собой полуправильные многогранники. Фуллерены
представляют собой проявление изучаемых в математике абстрактных фигур
– многогранников и многоугольников – в природе. Фуллерены – вещества,
имеющие большие перспективы в использовании для различных целей,
поэтому их исследование и изучение их геометрической структура очень
важно.
Рассматривая строение молекул фуллеренов сделали вывод, что они
подчиняются теоремам, сформулированным для выпуклых многогранников:
теореме Эйлера и теореме Александрова А также
поверхности усеченного икосаэдра.
нашли площадь
Литература.
1. Атанасян Л.С., геометрия 7-9, М., Просвещение 2010.
2. Гусев А.И. наноматериалы, нанострукткры, нанотехнологии. – М.
Физматлит, 2007.
3. Мастеров В. Ф. Физические свойства фуллеренов.
4. Рывкин А.А.; Рывкин З.А. Справочник по математике, М, Высшая
школа, 2007.
5. Семенов Е.Е. За страницами учебника геометрии М, Просвещение,
2009.
6. Сидоров Л.Н., Юровская М.А., Борщевский А.Я. и др. – Фуллерены
. М, Экзамен, 2005.
7. Журнал №18 (080). Новая университетская жизнь.
8. http://www.modificator.ru/terms/fulleren.html
9. http://www.sivakrishna.com/full.html
10.http://www.sibsauktf.ru/courses/fulleren/g1.htm
Приложение.
Рис. 1
Аллотропные модификации углерода (а – алмаз, б –графит, вфуллерен)
Рис. 2
Куполообразные конструкции Бакминстера Фуллера
Рис. 3
Куполообразные конструкции Бакминстера
Фуллера
Рис. 5
Рис. 6
Правильный пятиугольник
Рис. 7
Способ построения пятиугольника (Дюрер)
Рис. 8
Построение правильного пятиугольника через правильный десятиугольник
Рис. 10
Правильные многогранники
Рис. 11
Платон (~428– ~348 до н. э.)
Рис. 12
Развертки бумажных моделей трех самых распространенных фуллеренов.
Рис. 13
Дуальные многогранники:
а- тетраэдр в кубе, б – октаэдр в кубе, в – икосаэдр в
кубе, г – додекаэдр в икосаэдре