3. Элементы векторной алгебры

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Томский политехнический университет»
В. П. Арефьев
Л. И. Лазарева
ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ
МАТЕМАТИКИ
Часть I
Учебное пособие
Рекомендовано Сибирским региональным учебнометодическим центром высшего профессионального образования
для межвузовского использования в качестве учебного пособия
для подготовительных отделений вузов
Издательство ТПУ
Томск 2005
УДК 53
А 80
А 80
Арефьев В. П., Лазарева Л. И.
Избранные вопросы математики: Учебное пособие. Часть I. –
Томск: Изд-во ТПУ, 2005. – 76 с.
Пособие содержит основные теоретические и практические сведения по разделам математики: алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики и бином Ньютона.
Пособие предназначено для слушателей курса математики
любой формы обучения: дневной, заочной и во время занятий
в ЕНШ, в школе молодого физика и на подготовительных отделениях Томского политехнического университета. Пособие
также адресуется студентам-заочникам для оказания помощи
в освоении втузовского курса высшей математики.
УДК 53
Рекомендовано к печати Редакционно-издательским
советом Томского политехнического университета
Рецензент:
В. Н. Задорожный – канд. физ.-мат. наук доцент кафедры высшей
математики и математической физики ТПУ.
© Томский политехнический университет, 2005
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................ 5
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ.............................. 6
1.1. Теоретические основы темы и решение типовых задач ..................... 6
1.1.1. Формулы сокращенного умножения ...............................................6
1.1.2. Многочлен Pn(x) и его корень. Теорема Безу.
Разложение многочлена на множители .........................................7
1.1.3. Арифметические корни и их свойства ..........................................11
1.1.4. Степени и их свойства ....................................................................12
1.2. Вопросы и задания для самоподготовки ..............................................16
1.3. Тесты по теме преобразование алгебраических выражений ...........17
1.4. Задачи для самостоятельной работы .................................................... 18
1.5. Варианты проверочной работы ............................................................. 19
1.6. Ответы по теме «Преобразование алгебраических выражений» ...20
2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ...................................................................................... 22
2.1. Теоретические основы темы и решение типовых задач ................... 22
2.1.1. Комплексные числа в алгебраической форме .............................. 22
2.1.2. Комплексные числа в тригонометрической форме ..................... 25
2.2. Задачи более сложного типа ...................................................................30
2.3. Вопросы и задания для самоподготовки ..............................................32
2.4. Тесты по теме комплексные числа ....................................................... 32
2.5. Задачи для самостоятельной работы .................................................... 33
2.6. Варианты проверочной работы по теме «Комплексные числа» ....35
2.7. Ответы по теме «Комплексные числа» ...............................................36
3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ ................................................................ 38
3.1. Теоретические основы темы и решение типовых задач ................... 38
3.1.1. Понятие вектора. Прямоугольная декартова система
координат ........................................................................................ 38
3.1.2. Скалярное произведение векторов ................................................40
3.2. Применение методов векторной алгебры
для решения геометрических задач ....................................................... 45
3
3.3. Вопросы и задания для самоподготовки ..............................................52
3.4. Тесты по теме «Элементы векторной алгебры» .................................53
3.5. Задачи для самостоятельной работы .................................................... 54
3.6. Варианты проверочной работы по теме
«Элементы векторной алгебры» ............................................................ 56
3.6. Ответы по теме «Элементы векторной алгебры» .............................. 57
4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ И БИНОМ НЬЮТОНА ............................ 59
4.1. Теоретические основы занятия и решение типовых задач ..............59
4.1.1. Комбинаторика ................................................................................59
4.1.2. Бином Ньютона ...............................................................................64
4.2. Вопросы и задания для самоподготовки ..............................................67
4.3. Тесты по теме «Элементы комбинаторики и бином Ньютона» .....67
4.4. Задачи для самостоятельной работы .................................................... 68
4.5. Варианты проверочной работы ............................................................. 70
4.6. Ответы по теме «Элементы комбинаторики и бином Ньютона» .72
ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................ 74
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие «Избранные вопросы математики» содержит интересные разделы математики: алгебраические преобразования, комплексные числа, векторная алгебра, элементы комбинаторики
и бином Ньютона. Эти разделы практически не связаны между собой.
Единым в данном пособии будет форма работы по каждому разделу.
Материал каждого раздела будет изложен таким образом: основные
теоретические сведения и методические рекомендации по решению типовых задач и задач на качественное усвоение теории; вопросы для самоподготовки по данному разделу. Даны задачи с ответами, предлагаемые для самостоятельного решения, тесты по каждой теме. В рамках
каждого раздела предложены проверочные работы по закреплению необходимых навыков по каждой теме (25–30 мин/).
Вопросы для самоподготовки должны быть разобраны на занятиях или самостоятельно, а следующее занятие предполагается начинать
с 5–7 минутного письменного опроса по теории.
Предлагается следующий план занятия по каждой теме:
1. Письменный опрос по теории и разбор основных теоретических
понятий устно.
2. Решение и рекомендации по решению типовых задач.
3. Работа по тестам.
4. Самостоятельная работа школьника по теме.
5. Проверочные работы по закреплению темы (25–30 мин.).
Регулярно проводимые письменные опросы по теории и 25–30
минутные проверочные работы по закреплению темы в значительной
степени должны способствовать ритмичности самостоятельной работы
абитуриента и готовить его как будущего студента.
5
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
1.1. Теоретические основы темы и решение типовых задач
1.1.1. Формулы сокращенного умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;
(a  b)2 = a2  2ab + b2;
a2 – b2 = (a – b)(a + b);
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2);
(1.1)
a3 + b3 = (a + b)(a2  ab + b2);
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a – b);
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).
Кроме того, если рассмотреть
1
 (a 2 ) 2
1
( a 3 )3
a
 ( a ) , при а  0 ; a 
 (3 a ) 3 ,
то формулы разности квадратов, суммы и разности кубов можно увидеть и в выражениях:
a b 
2
a2
3
 a3
2
2
 b2
3
 b3
1
 (a 2
1
 (a 3
1
1
2
 b )( a 2
1
2
 b 3 )( a 3
1
 b2 ) ,
1 1
 a 3b 3
при а, b  0 ;
2
 b3 ).
a b
(1.2)
Важно знать, как выделить полный квадрат в квадратном трехчлене ( а  0 ):
b
b2
b2 с
ax2  bx  c  a x 2  2 x
 2  2  =
2a 4a
а
4a
2
2

b  b 2  4ac 
b  b 2  4ac

= a  x   
.
(1.3)
  a x   
2
2
a
2
a
4
a
4
a






Пример 1. Выделить полный квадрат в квадратном трехчлене:
5 25 25
5
1

 6  ( х  )2  ;
1) x 2  5 x  6  x 2  2  x  
2 4 4
2
4
2
2
2
2)  x  8 x  7  ( х  8 х  7)  ( x  2  x  4  16  16  7) 
 [( х  4) 2  9]  9  (4  x) 2 .
6
Пример 2. Преобразовать данное уравнение к квадратному:
1
 2 1 
 х  2   2 х    1  0 .
х
х  

1

Решение. Полагаем  х    у .
х

Преобразуем первое слагаемое, исходя из нашей замены:
(*)
2
1 
1 1  
1 

y   х     х2  2х   2  =  х2  2  2  .
х 
х х  

х 
2
2
1
1 
1


 
Рассматривая  х 2  2  как  х 2  2  2  2  =  х    2 , подх
х 
х


 
ставляя в исходное уравнение и делая замену (*), имеем у 2  2 у  3  0 .
1.1.2. Многочлен Pn(x) и его корень. Теорема Безу.
Разложение многочлена на множители
Схема Горнера
Напомним, что одночленом называется произведение нескольких
сомножителей, один из которых числовой (коэффициент), а другие –
степени с буквенными основаниями (например, 3x4y2).
Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех
букв, входящих в этот одночлен. Два одночлена называются подобными, если они одинаковы или отличаются только коэффициентами.
Многочленом называется сумма нескольких одночленов (например, 3x4y2 + x2y2 + x2y – 1).
Степенью многочлена называется наибольшая из степеней одночленов, образующих данный многочлен.
Разложить многочлен
Pn ( x)  an x n  an 1x n 1    a1x  a0
(1.4)
на множители – значит заменить его тождественно равным ему произведением, т. е. представить его в виде
Pn ( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )  ( x  xn ) ,
(1.5)
или с учетом кратности корней:
Pn ( x)  an ( x  x1 ) к1 ( x  x2 ) к2 ( x  xn ) кn ,
где к1, к2 , кn – кратности корней.
Приведем примеры, иллюстрирующие три основных способа разложения многочленов на множители.
7
1. Разложение на множители путем вынесения общего множителя
за скобки.
Пример 3. 18 х 3 у 2  12 х 4 у  24 х 3 у z = 6 x 3 y (3 y  2 x  4 z ) .
Пример 4.
6a(2c  d )  3(d  2c) 
= 6a(2c  d )  3b(2c  d )  3(2с  d )(2a  b).
2. Разложение на множители многочлена методом группировки.
Пример 5.
x y  z y  x  z  y  1  ( xy  zy  y )   x  z  1 
 y( x  z  1)  ( x  z  1)  ( x  z  1)( y  1) .
Пример 6.
у 4  у 2  2  ( у 4  1)  ( у 2  1) 
= ( у 2  1)( у 2  1)  ( у 2  1)  ( у 2  1)( у 2  2) =
= ( у  1)( у  1)( у 2  2) .
3. Разложение на множители многочлена, применяя формулы сокращенного умножения.
Пример 7. х 2  7 = ( х  7 ) ( х  7 ) .
Пример 8.
4 х 4  9  (2 х 2  3) (2 х 2  3) =
= (2 х 2  3) ( 2 х  3 ) ( 2 х  3 ) .
Корни многочлена n-й степени (1.4) можно найти с помощью следующей теоремы: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами an x n  an 1x n 1    a1x  a0  0 имеет целый корень, то он является делителем свободного члена a0 многочлена Pn (x) .
Если путем подбора делителей свободного члена a0 найти x1 – корень многочлена n-й степени Pn (x) , то многочлен (1.4) запишется в виде
Pn (x) = ( x  x1 )  Pn1 ( x) ,
(1.6)
где Pn1 ( x ) – некоторый многочлен степени n – 1.
Здесь уместно привести формулировку теоремы Безу.
Остаток от деления многочлена Pn (x) на двучлен ( x  x1 ) равен
Pn ( x1 ) , т. е. значению многочлена при х  х1 .
8
Многочлен Pn1 ( x ) находят путем деления «углом» многочлена на
многочлен (в нашем случае на одночлен), для этого надо:
1) расположить делимое и делитель по убывающим степеням x ;
2) разделить старший член делимого на старший член делителя;
полученный одночлен является первым членом частного;
3) первый член частного умножить на делитель, результат вычесть
из делимого; полученная разность является первым остатком;
4) чтобы получить следующий член частного, надо с первым
остатком поступить так же, как поступили с делимым в п. 2 и 3.
Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ниже степени делителя. Далее находят корни многочлена Pn1 ( x ) .
Следствие из теоремы Безу:
Многочлен делится на двучлен ( x  x1 ) без остатка тогда и только
тогда, когда число x1 является корнем данного многочлена.
Пример 9. Найти остаток от деления многочлена
P4 ( x)  x 4  15 x 3  3x  6 на x + 3.
Решение.
Найдем
остаток
от
деления
P4 ( x)  x 4  15 x 3  3x  6 на x + 3 по теореме Безу:
многочлена
P4 (3)  (3) 4  15(3)3  3(3)  6  39 .
Проверить (самостоятельно) путем деления «углом» данного многочлена на x + 3, что остаток будет равен –39 .
Пример 10. Найти корень x1 многочлена
P4 ( x)  x 4  2 x 3  13 x 2  14 x  24 .
Найти P3 ( x) и записать P4 ( x) = ( x  x1 )  P3 ( x) .
Решение. Согласно теореме целый корень этого уравнения следует искать среди делителей свободного члена 24, т. е. среди чисел 1; 2;
3; 4; 6; 8; 12; 24.
Путем подбора делителей свободного члена находим корень многочлена P4 (1)  14  2  13  13  12  14  1  24  0 ,
P4 (1)  (1) 4  2(1)3  13(1) 2  14(1)  24  0 .
Таким образом x1  1 – корень данного уравнения.
Многочлен P3 ( x) находят путем деления «углом» многочлена на
одночлен x  1 :
9
x 4  2 x3  13 x 2  14 x  24
x 4  x3
x 1
x3  3x 2  10 x  24
 3 x 3  13 x 2
 3x3  3x 2
 10 x 2  14 x
 10 x 2  10 x
24 x  24
24 x  24
0
Получаем
x 4  2 x3  13 x 2  14 x  24 = ( x  1) ( x3  3x 2  10 x  24) .
Ответ: x 4  2 x3  13 x 2  14 x  24 = ( x  1) ( x3  3x 2  10 x  24) .
Оказывается, в случае, когда делитель есть двучлен ( x  x1 ) ,
обычную схему деления «углом» можно значительно упростить в записи. Это правило нахождения частного и остатка называется схемой Горнера и состоит в следующем: старший коэффициент частного равен
старшему коэффициенту делимого. Для получения каждого следующего коэффициента частного нужно соответствующий коэффициент
делимого сложить с предыдущим коэффициентом частного, умноженным на число x1 . Остаток вычисляется аналогично: нужно свободный
член делимого сложить со свободным членом частного, умноженным
на число x1 . Эти вычисления обычно записываются с помощью таблицы:
коэффициенты делимого
an
an 1

a2
x1 bn 1 ( an ) bn  2
b1
 (an 1    (a 2 
 x1bn 1 )
 x1b2 )
коэффициенты частного
a1
a0
R
b0
 (a1   ( a 0 
 x1b1 )  x1b0 )
остаток
Пример 11. Для того же многочлена, что и в примере 10:
P4 ( x)  x 4  2 x3  13 x 2  14 x  24 найти P3 ( x) , зная корень x1  1 , и записать P4 ( x) = ( x  x1 )  P3 ( x) .
10
Решение. Составим таблицу схемы Горнера:
коэффициенты делимого
1
a4  1
a3  2
a2  13 a1  14
a0  24
1
3
10
R=0
24
коэффициенты частного
остаток
Получаем
x 4  2 x3  13 x 2  14 x  24 = ( x  1) ( x3  3x 2  10 x  24) .
Ответ: x 4  2 x3  13 x 2  14 x  24 = ( x  1) ( x3  3x 2  10 x  24) .
Когда n  2 , т. е. P2 ( x)  ax 2  bx  c – квадратный трехчлен, имеем ax 2  bx  c = a( x  x1 )( x  x2 ) , где x1 , x2 – корни квадратного уравнения ax 2  bx  c = 0 , они находятся по следующей формуле:
x1, 2
 b  b 2  4ac
.

2a
При решении приведенных квадратных уравнений х 2 
корни x1, x2 находят обычно по теореме Виета:
c
b
x1  x2  ; х1  х2   .
a
a
(1.7)
b
c
х 0
a
a
(1.8)
1.1.3. Арифметические корни и их свойства
Корнем n -й степени (или арифметическим корнем n -й степени)
из положительного числа a называется единственное положительное
решение уравнения х n  a .
При любом a и натуральном n справедливы равенства:
2 n 1
 a   2n 1 a ,
2n
 a при a  0,
a 2n  a  
 a при a  0.
(1.9)
В частности, a 2  a .
Если m – целое, n – натуральное (т. е. m  Z , n  N ), то для любого а  0 справедливо
m
an
 a m  (n a ) m .
n
11
Для любых натуральных m , n и любых a  0, b  0 справедливы:
n
a
a

b
ab  a  b ;
n
n
b
mn
и
n
a na

(при b  0 );
b nb
a  mn a ;
ab 
a b.
(1.10)
Наконец, если 0  a  b, то n a  n b .
Следующая формула называется формулой сложного радикала:
a  a2  b
a  a2  b
,
(1.11)
a b 

2
2
где a  0, b  0 и a 2  b , а знаки в правой и левой части одновременно
берутся верхние, либо нижние (соответственно).
1.1.4. Степени и их свойства
Для любых действительных m и n и любых a  0, b  0 справедливы равенства:
a 0  1; a1  a ; 1m  1;
a
mn
 a a ; a
m
n
mn

am
a
n
(1.12)
; (ab ) m  a m  b m ;
(1.13)
1
m
am
1
a
m n
mn
n
; an  n a .
   m ; (a )  a ; a 
n
b
b
a
(1.14)
Пример 12. Освободиться от иррациональности в знаменателе:
6
.
5 8
Решение. Для того, чтобы в данном выражении освободиться от
иррациональности в знаменателе, необходимо числитель и знаменатель
умножить на выражение, сопряженное знаменателю:
6
6( 5  8 )
6( 5  8 )


=
5  8 ( 5  8 )( 5  8 ) ( 5 ) 2  ( 8 ) 2
6( 5  8 )
 2( 5  8 ) .
58
Ответ:  2( 5  8 ) .
=
12
5
4 3
a3 )2
5
4 3
(
Пример 13. Упростить

3
( a a 2b ) 4
6
4
.
( a b)
( a )
Решение. Область допустимых значений (О.Д.З.): a  0; b  0 .
3
5 4 2
 3
a
1) 


2)
3)
3
4
1

2

3
5
 (a ) 


a
5
2
a5
12
a5



2 12

a5 5
a

6)
6
a b ) =(
10 2
a 3 b3
3 3
a 2b 4
7) a
2
Ответ:
4
10
5
3
4) ( a a 2b ) 4 = (
5)



3
3
(4


2
5
a ;
12
 4


5
 a
a5 ;
 
 
3
4


3
4

2

15
 a 
 a 2 ;
a a b )  ( a b)  ( a  b)
3 2
6
4
a b )  ( a b)
2
8
6
2
11
10 3 2 3
1



3
2
3
4
6
12
b
=a
=a b
11
a6

b
1
12
2
1
12

=a
1
6

b
1
12
=6
5
6
6
4
5 6
2
1
6
 (a 8 ) (b 8 )6

4
10 2
=a 3 b3 ;
3 3
a 2b 4 ;
;
1
1
1
 12 
.
b 12 a 2b
a
, при a  0; b  0 .
a b
Пример 14. Вычислить 27  10 2  27  10 2 .
27  10 2  ( 2  5) 2 ;
Решение.
Заметим,
что
27  10 2  ( 2  5) 2 .
Тогда
27  10 2  27  10 2 =

2
2 5 

2
2 5 =
= 2  5  2  5  2  5  5  2  10 .
Ответ: 10.
13
Пример 15. Вычислить 29  12 5  29  12 5 .
Решение. Подкоренные выражения не являются полными квадратами, т. е. применить прием из предыдущего примера не удается. Возведем вычисляемое выражение в квадрат:
2
29  12 5  29  12 5  29  12 5 
 2 (29  12 5 )( 29  12 5 )  29  12 5 =
58  2 841  144  5 = 58  2 121  58  22  36 .
Следовательно, исходное выражение может быть равно 6 или  6 ; так
как
29  12 5  29  12 5 , то это выражение отрицательно.
Ответ:  6 .
Пример 16. Разность
40 2  57  40 2  57 является целым
числом. Найдите это число.
Решение. Обозначим А =
40 2  57 >
40 2  57  40 2  57 . Поскольку
40 2  57 , то А – отрицательное (и целое по условию)
число. Далее находим А2 , учитывая, что
40 2  57 = 57  40 2 .
Получаем, что А = –10.
Ответ: –10.
Пример 17. Вычислить
Решение. Пусть
3
3
20  392  3 20  392 .
20  392  3 20  392 =x. Тогда,
х 3  40  33 20  392 3 20  392 (3 20  392 
20  392 ) .
Подставляя х вместо выражения в скобках, получим
х 3  40  3х3 20  392 3 20  392 .
Отсюда х 3  6 х  40  0 . Это уравнение имеет один действительный корень:
х = 4.
Ответ: х = 4.
14
2
 a2 1
a
 .
1  
Пример 18. Упростить выражение 2

2
a
a 1


Решение. Заметим, что a  0 , тогда
2
 a2 1
a
a
4a 2  a 4  2a 2  1


1 
=
Y (a)  2
2
 = a2  1
2
a
a 1
4
a


a
a2  1 a
a
a 4  2a 2  1
a
(a 2  1) 2

= 2
= 2
= 2
=
,
2a
a 1 2 a
a 1
4a 2
a 1
4a 2
так как
имеем
a 2  a . Далее по определению модуля действительного числа
a
 2a , a  0,
Y (a)  

a

, a  0.
 2(a)
 0,5 если a  0,
Y( a )  
 0,5 если a  0.
Ответ: 0,5 если а  0;  0,5 если a  0.
Пример 19. Упростить выражение
x


1
1
 x  ( x 2  1) 2

2
x
x

1

:
.

1
1
 x  x2  1



x( x 2  1) 2  1  x  1  2



x

Решение. ОДЗ: x  0 , x 2  1  0  x  (1; ) . Обозначим
 x  x2 1
x 2  1  x 
A

: x2 1 =
 x  x2 1 x  x2 1 


 ( x  x 2  1) 2
( x 2  1  x) 2 

=
 : x2 1 =
2
2
2
2
2
2
 x  ( x  1)
( x  1)  x 


= ( x  x 2  1) 2  ( x 2  1  x) 2 : x 2  1 =
= 4x x2  1 : x2  1  4x .
Ответ: 4 x при x  (1; ) .
15
Пример 20. Упростить выражение
 x2  1
x 2  1 
2
4

2( x  x  1) 
 3
 3x
x 

2
.
Решение. ОДЗ: x  0 , x 2  1  0 , x 4  1  0  x  (;  1)  (1; ) .
При решении задач на упрощение иррациональных алгебраических выражений часто применяют способ замены младших степеней переменных какими-либо новыми переменными. При этом должно получиться
более простое алгебраическое выражение относительно новых переменных. Упростив полученное выражение, следует вернуться к выражению
с прежними переменными. Обозначим y  x 2 , тогда
 x2  1
x 2  1 
2( x 2  x 4  1)   3
 3

x
x 

= 2 ( y  y 2  1) 
=
Ответ:
3
3
2
y
( y  1  y  1) 2
2 ( y  y 2  1)  3 y
2 ( y  y 2  1)
=
=
= 3 y  3 x2 .
x 2 при x  (;  1)  (1; ) .
1.2. Вопросы и задания для самоподготовки
1. Записать формулы сокращенного умножения.
2. Что называется одночленом и как определяется его степень?
3. Дать определение многочлена. Как определяется степень многочлена?
4. Как выделить полный квадрат в квадратном трехчлене?
5. Разложить многочлен на множители.
6. Как следует искать корень уравнения среди делителей его свободного члена?
7. Описать схему деления «углом» многочлена на одночлен.
8. Изложить правило нахождения частного и остатка по схеме
Горнера.
9. Перечислить арифметические корни и их свойства. Изложите формулу сложного радикала.
10. Перечислить степени и их свойства.
16
1.3. Тесты по теме преобразование алгебраических выражений
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Задание
Упростить выражение
(m  4) 2  (3  m) 2
Варианты ответов
1) 14m  7 ; 2) 7 + 2m;
3) 2m;
4) 2m – 7;
5) правильный ответ не указан
Разложить
на
множители 1) (3x  2 y  1) (3x  2 y  1) ;
2
2
9x  4 y  4 y  1
2) (3x  2 y)(3x  2 y) ;
3) (3 x  2 y  1) 2 ;
4) (3x  2 y  1) (3x  2 y  1) ;
5) правильный ответ не указан
Упростить выражение
1) 2m  n ; 2)  n  2m ;
3) n  4m ; 4) 4m  n ;
(m  n)2  9m2 ,
5) правильный ответ не указан
если m  0  n
Упростить выражение
1) 2 2 ;
2) 2  3 ;
2 1
2 1
3) 2  3 ; 4) 2 3 ;

5) правильный ответ не указан
3 1
3 1
При каких значениях k и p 1) k = 1; p = 2;
корнями уравнения
2) k = –1; p = –2;
2
kx  px  3  0
3) k = –1; p = 2;
являются числа 1 и  3 ?
4) k = 1; p = –2;
5) правильный ответ не указан
Упростить выражение
1
1)
; 2) x 2 y 2, 2 ;
2 3

xy
( x 3 ) 4 xy 1,6
x
3
1
xy
3)
;
4)
;

y
0,5
3
5
(x y )
5) правильный ответ не указан
Вычислить
1
1) 3 ; 2) 1 ; 3) 3 ; 4) ;
4
3
63 3 4 63 3
5) правильный ответ не указан
1
3
Освободиться от иррациональ- 1) 2 2  5 ; 2) 5  3 ;
14
3) 5  3 ;
ности в знаменателе
2 3  5 4) 2(2 3  5) ;
5) правильный ответ не указан
Упростить выражение
1) x17 24 ; 2) x17 25 ;
3
3) x11 24 ; 4) x 7 24 ;
x x2
5) правильный ответ не указан
4
x
17
№
10
Задание
Варианты ответов
Выделить полный квадрат в 1) ( x  3) 2  4 ;
трехчлене x 2  6 x  13
2) ( x  1) 2  4 ;
3) ( x  3) 2  5 ;
4) ( x  4) 2  1 ;
5) правильный ответ не указан
1.4. Задачи для самостоятельной работы
1. Выделить полный квадрат в квадратном трехчлене
а)  2 x 2  4 x  7 ;
б) x 2  11x  30 .
2. Разложить на множители
а) x3  x 2  8 x  12 ;
б) 2 x 2  20 ху  50 у 2  2.
3. Вычислить
4. Упростить
3
5 2 7 3 5 2 7 .
х 6 х 9  х 6 х 9 .


1
23 a



5. Упростить 

3 4 3
1
a  64 a 
 a 4 a
2
 a 2  8a  16 .
4
1
1
2 2 1
6. Упростить

2

 .
х 4 х 1
х
2
4 х 1
7. Упростив левую часть, найти х:
(3 a  3 b ) 3
a  b  a 2b  ab2
3
3

(3 a  3 b ) 3
a  b  a 2b  ab2
3
3

2x  3
.
3x  1
b 2  2b  1
2
 b b 2  2b  1  2 
b
b , где 0  b  1 .
8. Упростить
1
b2
b
9. Упростить выражение и вычислить его при данных значениях x,
y параметров х = 23, у = 1,32:
 24 2 ху
ху  4 2  2 ху
ху



 4,1 .
 2 2
4 
4
4
 х у  2 2 ху  2 2  ху  2 ху  2
10. Проверить, что число 3 4  80  3 80  4 является корнем
уравнения x3  12 x  8  0 .
11. Доказать, что если х  4(а  1) и 1  a  2 , то
(a  x )
18

1
2
 (a  x )

1
2

2
.
2a
1.5. Варианты проверочной работы
Вариант 1
1. Освободиться от иррациональности в знаменателе
3
6
.
7 3 4
x 4  10 x3  35 x 2  50 x  24
2. Сократить дробь
.
x3  9 x 2  26 x  24
Вариант 2
1. Освободиться от иррациональности в знаменателе
1
2. Упростить выражение
1
m
n
1
:
1
p
m
1
n

1
3 2
3
.
1
.
n(mnp  m  p )
Вариант 3
1. Доказать равенство
8  2 10  2 5 + 8  2 10  2 5 = 2 ( 5  1) .
2. Упростить выражение


1
2
2

x


3
: [(1  x) 3  (1  2 x  x 2 ) 1 ] .
 x(1  x) 
5

(1  x) 3 

Вариант 4
1. Вычислить
6  17  12 2 .
2
3  4 bx3  4 a 2bx 4 
 bx  bx  3

2 
x

a


2. Упростить выражение
.
1 2
x( b  3x )
Вариант 5
1. Вычислить 13  30 2  9  4 2 .
2. Упростить выражение
x  1 ( x 2  x  2)( x  1)  x
x3  1  x  1
.
19
Вариант 6
1
49 6
1. Найти х, если
7
2,5
7

2
3
1
72
 49  х 0,5 .
2
1 1

2 
 a  1
4 a

2. Упростить выражение

1 1
1 1

 a   1  
 a 

4 a
2 a


2
2
.
1.6. Ответы по теме
«Преобразование алгебраических выражений»
Тесты
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ 5
4
1
3
2
2
3
4
1
1
Задачи для самостоятельной работы
2
1. а) 9  2( х  1) ;
2
11  1

б)  х    .
2
4

б) 2( х  6)( х  4) .
2. а) ( х  2) 2 ( х  3) ;
3. 1,23;
2.
4. 2 х  9 , если х  18 ;
5. 4 a при a  0 , a  4 .
2х  3
6.
при х [4; ) ;
2 х
5
7. х   .
4
2
b 1
8.
.
b
9. 4,1.
20
6 , если 9  х  18 .
5
2 x
при x  (0; 4) .
Варианты проверочной работы
1
(1  3 5  3 25 ) .
6
2. x  1 .
1
3.
( 3  3 2 )(9  3 3 4  2 3 2 ) .
23
4. 1.
5. x .
6. 2  1 .
7. 1.
8. 5  3 2 .
9.  x( x  1) при x  (; 1) ; x 2  x  2 при x  (1; ) .
10. 49.
2
11. 2 при 0  a  1;
при a  1.
3
1.
21
2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2.1. Теоретические основы темы
и решение типовых задач
Введение комплексных чисел связано с неразрешимостью в области вещественных чисел операции извлечения корня четной степени из
отрицательных чисел.
Рассмотрим простейший случай: х 2  1  0 или х 2  1 . Число,
квадрат которого равен –1, называют мнимой единицей и обозначают
буквой i . Тогда i 2  1 и i   1.
2.1.1. Комплексные числа в алгебраической форме
Комплексным числом называется выражение вида
z  a  ib,
(2.1)
( a и b – действительные числа, i – мнимая единица), если для любых
комплексных чисел z1  a1  b1 i и z2  a2  b2 i введены операции по
следующим правилам:
1) два комплексных числа z1  a1  b1 i и z2  a2  b2 i называются
равными, если a1  a2 и b1  b2 ;
2) суммой и разностью двух комплексных чисел z1  a1  b1 i
и z2  a2  b2 i называется комплексное число
z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i ;
3) произведением двух комплексных чисел
z2  a2  b2 i называется комплексное число
(2.2)
z1  a1  b1 i
z1  z2  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1 )i .
и
(2.3)
Степени числа i : так как i1  1, i 2  1, i 3  i 2  i  i, i 4  (i 2 )2  1, то
i
4 n 1
 1, i
4n 2
 1, i
4n 3
 i, i 4 n  1, n  N .
(2.4)
Запись комплексного числа в виде z  a  i b называется алгебраической формой записи комплексного числа, где a действительная
часть числа z и обозначается Re z , а b – мнимая часть числа z и обозначается Im z . Тогда комплексное число можно записать как
z  a  i b  Re z  i Im z .
22
Любое действительное число a содержится во множестве комплексных чисел, его можно записать так: a  a  0 i . Числа 0, 1, i записываются соответственно в виде 0  0  0 i , 1  1  0 i , i  0  1 i . Если
a  0 , комплексное число z  a  b i обращается в чисто мнимое число
b i . Комплексное число z  a  b i (отличается только знаком мнимой
части) называется комплексно сопряженным с числом z  a  b i . Комплексные числа a  b i и  a  b i называются противоположными. Модулем комплексного числа z  a  b i называют число
z  a  b i  a 2  b2 .
a 2  b2 :
(2.5)
Модуль комплексного числа всегда есть действительное неотрицательное число z  0 , причем z  0 тогда и только тогда, когда
z  0 . Из определения модуля комплексного числа следует, что для любых комплексных чисел z , z1, z2 справедливы соотношения
z1  z2  z1  z2 ;
z
z1
 1 , если z2  0 ,
z2
z2
(2.6)
для любого целого числа n (при n  0 предполагается, что z  0 ).
Каков геометрический образ комплексного числа z  a  b i ?
Комплексное число z  a  b i изображают на координатной плоскости
точкой с декартовыми координатами (a, b) . Действительные числа a
изображаются точками оси x -ов. Чисто мнимые числа i b – точками
оси y -ов. Ось x -ов – действительная ось. Ось y -ов – мнимая ось. Точка
А (a, b) , соответствующая комплексному
числу z  a  b i называется аффиксом данного комплексного числа.
Каждой точке плоскости с координатами (a, b) соответствует один и только
один вектор с началом в точке О(0,0) и концом в точке А (a, b) . Поэтому комплексное
число z  a  b i можно изобразить в виде
Рис. 2.1
вектора ОА  z с началом в точке z  0
и концом в точке (рис. 2.1).
23
Пример 1. Записать аффиксы следующих комплексных чисел и построить соответствующие им радиусы-векторы: 1) z  2;
2) z  3; 3) z  3 i ; 4) z  2 i ; 5) z  2  3 i .
Решение.
1) М1(2, 0);
2) М2(–3, 0);
3) М3(0, 3);
4) М4(0, –2);
5) М5(2, 3) (рис. 2.2).
Рис. 2.2
Пример 2. Найти множество точек, для
которых Re z  2 .
Решение. Точки искомого множества
удовлетворяют неравенству а  2 , т. к.
Re z  а (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Пример 3. Найти корни уравнения x 2  2 x  17  0 .
Решение. По известной формуле имеем
2  4  68 2   64 2  8  1 2  8i
x1, 2 



 1  4i ,
2
2
2
2
т. е. x1  1  4i, x2  1  4i.
Ответ: x1  1  4i, x2  1  4i.
Пример 4. Найти сумму z1  z2 , если: а) z1  2  i и z2  3  2 i
Решение. z1  z2 = (2  i )  (3  2i )  1  i .
Ответ: 1  i .
Найти сумму z1  z2 , если: б) z1  5  3 i и z2  2  i .
Решение. z1  z2 = (5  3i )  (2  i)  7  2i .
Ответ: 7  2i .
Пример 5. Найти разность z1  z2 , если z1  5  3 i и z2  2  i .
Решение. z1  z2 = ( 5  3 i ) – ( 2  i ) = 3  4i .
Ответ: 3  4i .
24
Пример 6. Найти z1  z2 , если z1  2  i и z2  3  2 i .
Решение. z1  z2 =( 2  i ) (3  2 i )=  4  7i .
Ответ:  4  7i .
z
Пример 7. Найти 1 , если z1  3  i и z2  2  3 i .
z2
z
3i
(3  i)(2  3i ) 3  11i
Решение. 1 =
.


z 2 2  3i (2  3i )(2  3i )
13
3  11i
Ответ:
.
13
2.1.2. Комплексные числа в тригонометрической форме
Комплексное число z  a  b i изображается в виде вектора

ОА  z с началом в точке z  0 и концом в точке z  a  b i . Угол 
между действительной осью Ох и вектором ОА , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называется аргументом
комплексного числа z  0 (рис. 2.4).
Если отсчет ведется против часовой
стрелки, то величина угла считается положительной, если по движению часовой стрелки –
отрицательной. Аргумент  комплексного числа z  a  b i записывается так:  = argz или
 = arg ( a  b i ).
Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Любое комплексное чисРис. 2.4
ло z  0 имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число,
кратное 2  . Аргумент комплексного числа определяется однозначно,
если область его изменения ограничить промежутком величины 2  .
В качестве такого промежутка принято брать один из следующих промежутков 0, 2 ,  ,  . Такое значение аргумента z называется главным
значением аргумента arg z . Так как аргумент z определяется с точностью
до слагаемого k  2 , то
argz  arg z  2k .
(2.7)
Из рисунка видно, что
a  r cos  , b  r sin  ,
r  z  a 2  b2 , r  0 ,
(2.8)
b
b
 tg,   arg z  arctg .
a
a
25
Запишем формулы для вычисления главного значения аргумента,
принадлежащие промежутку 0, 2 :
b

arctg
,
a  0, b  0;

a



,
a  0, b  0;

2

b
arg z  arg( a  bi)  arctg  ,
a  0, b  0;
a

3

,
a  0, b  0;

2

arctg b  2, a  0, b  0.

a
(2.9)
Для представления комплексного числа z  a  b i в тригонометрической форме необходимо найти:
1) модуль этого числа r  z  a 2  b2 ; изобразить точку a  b i
и выбрать нужное значение аргумента этого числа;
2) записать z  a  b i , воспользовавшись соотношением (2.8). Получаем тригонометрическую форму комплексного числа
z  a  b i = r (cos  i sin  ) .
(2.10)
Действия над комплексными числами
в тригонометрической форме
При умножении двух или нескольких чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:
r1 (cos 1  i sin 1 )  r 2 (cos 2  i sin 2 ) 
(2.11)
 r1  r2 (cos(1  2 )  i sin(  1 2 )).
При делении двух комплексных чисел модуль числителя делится
на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя:
z1 r1 (cos 1  i sin 1 ) r1
(2.12)

 (cos(1  2 )  i sin( 1  2 )) .
z2 r2 (cos 2  i sin 2 ) r2
При возведении комплексного числа в целую положительную
степень модуль его возводится в ту же степень, а аргумент умножается
на показатель степени, т. е.
z n  (r (cos   i sin  )) n  r n (cos n  i sin n ) ,
(2.13)
где n  N . Эта формула называется формулой Муавра.
26
Корень n -й степени из комплексного числа z = r (cos  i sin  )
имеет n различных значений, которые находятся по формуле
  2k
  2k 

n
(2.14)
z  n r  cos
 i sin
,
n
n 

где k = 0, 1, 2,…, n –1.
Пример 8. Записать комплексное число z  1  i 3 в тригонометрической форме.
Решение. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической
форме нужно знать его модуль и аргумент, по формуле (2.5) находим
z  a 2  b2  1 
 3 2 
4  2.
Затем подсчитываем главное значение аргумента z  1  i 3 .
Вещественная и мнимая части данного комплексного числа положительны ( a  1, b  3 ). По формуле (2.9) главное значение аргумента
3 
 .
1
3



Тогда z  1  i 3  2 cos  i sin  .
3
3




Ответ: z  1  i 3  2 cos  i sin  .
3
3

Пример 9. Записать в тригонометрической форме комплексное
число z  5.
Решение. Данное число является вещественным и отрицательным,
а главное значение его аргумента (см. формулу (2.9)) равно  . Подсчитаем модуль числа
совпадает с arg z  arctg
 5  (5) 2  02  5.
Модуль и аргумент числа –5 найдены, по формулам (2.7) – (2.9)
имеем z  5  5cos   i sin  .
Ответ: z  5  5cos   i sin  .
Пример 10. Найти аргумент числа z  3  i 3.
Решение. Вещественные и мнимые части данного числа отрицательны и по формуле (2.9) главное значение аргумента его совпадает с
b
 3
1

7
arctg    arctg
   arctg
      .
a
3
6
6
3
7
Следовательно, arg  3  i 3    2n .
6


27
Пример 11. Найти произведение чисел z1  z2 , где






z1  2 cos  i sin  , z2  3 cos  i sin  .
6
6
12
12 


   
   
Решение. z1  z2 = 2  3 cos    i sin     =
 6 12  
  6 12 
 2


2

  3 2  3 i 2 .
 6 cos  i sin   6
i
4
4
2
2



Ответ: z1  z 2 = 3 2  3 i 2 .
Пример 12. Найти произведение чисел z1  z2 , где






z1   cos  i sin  , z2   cos  i sin  .
4
4
12
12 


Решение.

 1
3
   
    
z1  z2 =  cos    i sin       cos  i sin    i
.
3
3 2
2
 4 12   
  4 12 
1
3
Ответ: z1  z2 =  i
.
2
2
Пример 13. Найти частное чисел z1 и z 2 , где
3
3 




z1  10 cos  i sin  , z1  2 cos  i sin  .
4
4
4
4


Решение.
10   3  
 3   
 cos    i sin     =
5   4 4
 4 4 



 5 cos  i sin   5(0  i)  5i .
2
2

Ответ: z1 : z2 = 5i .



Пример 14. Найти z 6 , где z  2 cos  i sin  .
6
6

Решение. Возводим в шестую степень z , согласно формуле (2.13):
z1 : z2 =
6


  
  
z  2  cos  i sin   26 cos 6    i sin  6   
6
6

 6 
  6
6
6
6
= 2 cos   i sin   2 (1  i  0)  2 .
Ответ: z 6 =  26 .
6
28
6
Пример 15. Найти 3 1 .
Решение. Поскольку 1 = cos0  i sin 0 , то 3 1 состоит из чисел
0  2k
0  2k 

z k = 3 1 = 3 1 cos
 i sin
,
3
3 

где k  0, 1, 2 (см. формулу (2.14)).
Задаем k = 0, получим z0 = cos0  i sin 0  1 ;
1
3
2
2
i;
= 
 i sin
2 2
3
3
1
3
4
4
i.
k = 2, получим z2  cos  i sin
= 
2 2
3
3
1
3
1
3
i ; z2   
i.
Ответ: z0 =1 ; z1  =  
2 2
2 2
Пример 16. Найти 3  i .
3
3
Решение. Поскольку  i = cos  i sin , то 3  i состоит из чисел
2
2
3
3


 2k
 2k 

.
z k = 3  i  3 1 cos 2
 i sin 2
3
3








Задаем k  0, 1, 2 . Получаем z0 = cos  i sin  i ,
2
2
3 i
7
7
 ,
=
z1  cos  i sin
2 2
6
6
3 i
11
11
 .
=
z 2  cos
 i sin
2 2
6
6
3 i
3 i
 , z2 = 
 .
Ответ: z0  i , z1 =
2 2
2 2
Отметим, что точки плоскости
z0 , z1 , z2 (рис. 2.5) являются вершинами
правильного треугольника. Это не случайно – для любого z  0 и любого n  2 корни степени n из числа z являются вершинами правильного n -угольника с центром
в нуле (рис. 2.5).
k = 1, получим z1  cos
Рис. 2.5
29
2.2. Задачи более сложного типа
Пример 17. Составить квадратное уравнение с действительными
коэффициентами, если известен один из его корней x1  1  3i .
Решение. Если x1 – корень уравнения с действительными коэффициентами, то и x2  x1  1  3i – тоже корень этого уравнения. Тогда
левая часть квадратного уравнения раскладывается на множители
( x  x1 )( x  x1 )  ( x  (1  3i ))( x  (1  3i )) 
 (( x  1)  3i )(( x  1)  3i )  ( x  1) 2  32  x 2  2 x  10,
т. е. искомое квадратное уравнение имеет вид x 2  2 x  10  0 . Этот же
результат можно получить, производя решение по формуле Виета.
Ответ: x 2  2 x  10  0 .
Пример 18. Решить уравнение (5  2i) x  (3  4i) y  2  i .
Решение. Так как два комплексных числа z1  a1  b1 i и
z2  a2  b2 i называются равными, если a1  a2 и b1  b2 , то преобразуем наше уравнение к виду
(5x  3 y)  i(2 x  4 y)  2  i ,
тогда решая уравнения
 5 x  3 y  2,

2 x  4 y  1,
получаем
5

 x   14 ,

y   1 .

14
5
1
Ответ: x   ; y   .
14
14
Пример 19. Изобразить множества точек,
для которых выполняются заданные условия:
 1  Re z  3 .
Решение. Поскольку z  a  i b  Re z  i Im z ,
имеем  1  а  3 . Действительные числа a
изображаются точками оси абсцисс (рис. 2.6),
значит, мы имеем область – вертикальную полосу, ограниченную прямыми: x  1 и x  3 (точки прямой x  1 в область не входят, поэтому
эта прямая изображена пунктиром).
Рис. 2.6
30
Пример 20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенству
2  (1  i) z  i  2 2 .
Решение. Поскольку z  a  i b , имеем
(1  i) z  i  (a  i b)(1  i)  i  (a  b)  (b  a  1)i .
Найдем модуль полученного комплексного числа
| (a  b)  (b  a  1)i |= (a  b)2  (b  a  1)2  2a 2  2b 2  2a  2b  1.
По условию
2a 2  2b2  2a  2b  1  2 2 , или
2  2a 2  2b 2  2a  2b  1  8 ,
1  a 2  b2  a  b  0,5  4 .
Выделяя полные квадраты по a и b ,
получим
1  (a  0,5) 2  (b  0,5) 2  4.
Это неравенство представляет собой
внутренность кольца (рис. 2.7), т. к. левая
часть двойного неравенства – область, лежащая вне круга радиусом 1 с центром в
точке С (–0,5; 0,5), правая часть – круг с
центром в точке С и радиусом, равным 2
Рис. 2.7
(границы окружностей в область не входят,
поэтому они изображены пунктиром).
2
Пример 21. Найти наибольшее и наименьшее значения z , если
z  2  cos   i sin  .
Решение. Имеем
z  (2  cos ) 2  sin 2  
= 4  4 cos   cos 2   sin 2  = 5  4 cos  .
Анализируя полученное z = 5  4 cos  , делаем вывод, что наибольшее значение z равно 9  3 (при   0 ), а наименьшее значение z
равно 5  4  1 (при    ).
Ответ: наибольшее значение z = 3 (при   0 ), а наименьшее
значение z = 1 (при    ).
31
Пример 22. Решить неравенство
a  1  2i  2
(*)
1  log 0,5
 0.
2 1
a  1  2i  2
Решение. ОДЗ:
 0 , отсюда a  1  2i  2 ; находя мо2 1
дуль, имеем (a  1) 2  4  4 или (a  1) 2  0 , тогда a  1.
a  1  2i  2
Из (*) имеем log 0,5
 1 , по определению
2 1
a  1  2i  2
 2 . Из последнего неравенства имеем a  1  2i  2 2 ,
2 1
преобразовывая, получаем (a  1) 2  4  8 , т. е. (a  1) 2  4 или
 2  (a  1)  2 , окончательно  3  a  1.
При условии a  1 получаем, что неравенству (*) удовлетворяет
множество [–3;1)  (–1;1].
Ответ: [–3;1)  (–1;1].
2.3. Вопросы и задания для самоподготовки
1. Какое число называется мнимой единицей?
2. Назвать комплексные числа в алгебраической форме?
3. Перечислить действия над комплексными числами в алгебраической форме.
4. Назвать геометрический образ комплексного числа?
5. Назвать комплексные числа в тригонометрической форме?
6. Какое значение аргумента называется главным?
7. Назвать действия над комплексными числами, заданными
в тригонометрической форме?
8. Записать формулу, по которой осуществляется возведение комплексного числа в целую положительную степень.
9. Записать формулу, по которой находится корень n -й степени из
комплексного числа.
10. Вершинами чего являются корни степени n из числа z ?
2.4. Тесты по теме комплексные числа
№
1
32
Задание
Вычислить уравнение
(2  i )3 (2  11i )
Варианты ответов
1) 123 ; 2) 125 ;
3) 100 ; 4) 125i ;
5) правильный ответ не указан
№
2
3
4
5
6
7
8
Задание
Варианты ответов
Решить на множестве ком- 1)  3i ,  6i ; 2)  6i ,  3 ;
плексных чисел уравнение
3)  2i ,  6i ; 4)  3 ,  2i ;
4 x 4  5 x 2  36  0
5) правильный ответ не указан
Решить на множестве ком- 1)  6i ,  3 ;
2)  2i ,  6i ;
плексных чисел уравнение
3)  3i ,  6i ; 4)  3 ,  2i ;
x 4  15 x 2  54  0
5) правильный ответ не указан
15
16
17
18
1) i ; 2) 0 ; 3)  i ; 4)  6 ;
Вычислить i  i  i  i
5) правильный ответ не указан
Вычислить сумму
1)  5  i ; 2)  5  i ;
(2  i )  (3  2i)
3) 5  i ; 4) 5  i ;
5) правильный ответ не указан
Вычислить произведение
1) 6; 2) i +6; 3) 6i ; 4)  6i ;
5) правильный ответ не указан
z1  2  3i и z2  1  4i
Найти частное
2
10 11
1)   i ; 2)  i ; 3) 6i ; 4)  i ;
z1  2  3i и z2  1  4i
17 17
3
5) правильный ответ не указан
1) 6i ; 2)  7i ;
1 i
Найти частное
3)  i ; 4)  6  7i ;
1 i
5) правильный ответ не указан
в виде z  a  b i
9
Вычислить произведение
(3  i)  (2  3i )
10
1  i 
Вычислить 

1  i 
20
1) 1  6i ; 2) 1 7i ;
3) 2  i ; 4) 9  7i ;
5) правильный ответ не указан
1) (i ) 20 ; 2) (1) 20 ;
3) 220 ; 4) 1;
5) правильный ответ не указан
2.5. Задачи для самостоятельной работы
Выполнить действия:
1. (5  4i )  (7  2i) .
2. (5  4i )  (7  4i) .
3. (6  2i )  (6  2i ) .
4. (1  i )  (7  3i )  (6  2i )  (2  i) .
5. (2  i )  (1  i) .
6. (5  4i )  (3  2i) .
1
7.
.
1 i
33
5i
.
5  2i
3  2i
9.
.
1  3i
8.
8  2i
.
5  3i
11. Представить в алгебраической форме число
3
3 

z  2  cos  i sin  .
4
4

12. Найти произведение чисел z1  z 2 ,



 


z1  2 cos  i sin  ,
z 2  5 cos( )  i sin ( )  .
4
4 
3
3


13. Найти частное чисел z1 и z 2 , где






z1  2 cos  i sin  , z2  3 cos  i sin  .
6
6
12
12 


10. Найти модуль и аргумент числа
10
3
3 
14. Возвести в степень  
i  .
2
2


15. Извлечь корень i .
16. Решить на множестве комплексных
2
4 x  8 x  13  0 .
5  2i 3  4i
17. Выполнить действия
.

2  5i 4  3i
чисел
уравнение
3  2i
 i9.
1  4i
( 2  i )3
19. Найти действительную часть комплексного числа z 
.
3  4i
20. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям 2  z  2  i  3 , 0  Im z  3.
21. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям z  2 .
22. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удо

влетворяющих условиям   arg z  .
6
4
23. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удо1 2
влетворяющих условиям Im    1.
z z
18. Найти мнимую часть комплексного числа z 
34
2.6. Варианты проверочной работы по теме
«Комплексные числа»
Вариант 1
5i
.
2  3i
комплексных
чисел
уравнение
4  3i 5  4i

.
3  4i 4  5i
множестве комплексных
чисел
уравнение
1. Найти модуль и аргумент числа
2. Решить
x  6 x  34  0.
на
множестве
2
Вариант 2
1. Выполнить действия
2. Решить
x  2 x 2  4  0.
на
4
Вариант 3
1. Найти
действительную
часть
комплексного
(1  2i )3
z
 4i16 .
i
2. Решить на множестве комплексных чисел уравнение
x 4  4 x 2  16  0.
числа
Вариант 4
5  12i (1  2i) 2
1. Выполнить действия

.
8  6i
2i
2. Считая х и у действительными числами, решить уравнение
2  5i 1  3i  7 x  12i

 2
.
x y x y
y  x2
Вариант 5
1. Выполнить действия 2(1  i 3 
31  17i 1  i
  1.
4  3i
6
2. Найти z12 , если z  2 z  3  i .
Вариант 6
7  24i  8
1
 i
.
1. Выполнить действия  (1  i ) 4 
4  3i
3
 (1  i ) 2
2. Найти z 6 , если 3  z  z  4  8i .
35
2.7. Ответы по теме «Комплексные числа»
Тесты
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ответ
2
4
3
2
4
5
1
3
4
4
Задачи для самостоятельной работы
3. –12.
4.  2  i .
2 1
1
5
5.  1 3i .
6. 23  2i .
7.  i .
8. 
i.
2 2
3 3

9.  0,3  1,1i .
10. z  2 ;    2k , k  Z .
11. 1  i .
4


2



12. z  10 cos  i sin  .
13. z   cos  i sin  .
12
12 
3
12
12 

2
2
2
2

i ; z1  

i.
14. 121,5(1  i 3 ) .
15. z0 
2
2
2
2
27
16. x1,2  1  1,5i .
17. 2i .
18. Im z 
.
19. Re z  1,52 .
17
1. 12  2i .
2. 12.
Рис. 2.8
Рис. 2.10
36
Рис. 2.9
Рис. 2.11
Ответы к вариантам проверочной работы

1. z  2 ,     2k , k  Z .
4
2. x1,2  3  5i .
3. 2i .
6
2
6
2

i ; x3, 4  

i.
2
2
2
2
4. x1, 2 
5. Re z  6 .
6. x1,2  3  i ; x3,4   3  i .
7.  0,72  3,46i .
8. x  1, y  2 .
9. 0 .
10. –64.
11.  8 
32
i.
3
12. 512 i .
37
3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
3.1. Теоретические основы темы и решение типовых задач
3.1.1. Понятие вектора. Прямоугольная декартова система
координат
Величины, которые характеризуются не только числовым значением, но и направлением, называются векторными.
Отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление, называется вектором. О всяком отрезке АВ из этого множества го

ворят, что он представляет вектор а (получен приложением вектора а
к точке А ).
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным
вектором или ортом.
Векторы, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Два вектора называются равными, если они коллинеарны,
направлены в одну сторону и имеют одинаковую длину.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.
Прямоугольной системой координат на плоскости называется
упорядоченная пара двух взаимно перпендикулярных координатных осей
 
Ох и Оу (рис. 3.1). Точка О – начало координат. Векторы i , j – единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу соответственно. Они
называются базисными векторами прямоугольной системы координат
(или ортами).
Проекции вектора ОА на координатные оси Ох и Оу, обозначим
через х А и у А (рис. 3.1). Эти проекции вектора ОА называются его координатами.
Координаты вектора АВ( х; у) находятся
по формулам:
х  х2  х1 ; у  у2  у1 ,
(3.1)
где точки А и В имеют координаты соответственно ( х1 ; у1 ) и ( х2 ; у2 ). Тот факт, что вектор
АВ имеет координаты ( х; у ) может быть записан
так:


Рис. 3.1
АВ  x  i  y  j .
(3.2)
 
Иначе, вектор АВ представлен в разложении по базису i , j .
38
Расстояние между точками плоскости А и В, имеющими координаты соответственно ( х1 ; у1 ) и ( х2 ; у2 ), определяются по формуле
(3.3)
AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2 .
По этой же формуле определяется длина отрезка АВ или модуль
вектора АВ .
Координаты ( хср ; уср ) средины отрезка АВ определяются по
формулам:
х х
у  у2
.
(3.4)
хср  1 2 ; уср  1
2
2
Если вектор АВ имеет координаты ( х; у; z ) , т. е. задана прямоугольная система координат в пространстве, его можно записать так:



АВ  x  i  y  j  z  k ,
(3.5)
  
  
т. е вектор представлен в разложении по базису i , j , k . Векторы i , j , k
– единичные векторы, направленные вдоль осей Ох, Оу, Оz соответственно.
Координаты вектора АВ ( х; у; z ) находятся по формулам:
х  х2  х1 ; у  у2  у1 ; z  z2  z1 ,
(3.6)
где точки А и В, имеют координаты соответственно ( х1; у1; z1 ) и
( х2 ; у2 ; z 2 ). Расстояние между точками А и В, имеющими координаты
соответственно ( х1; у1; z2 ) и ( х2 ; у2 ; z 2 ), определяются по формуле
(3.7)
AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2  ( z2  z1 )2 .
По этой же формуле определяется длина отрезка АВ или модуль
вектора АВ .
Координаты ( хср ; уср ; zcр ) средины отрезка АВ определяются по
формулам:
х х
у  у2
z z
; zср  1 2 .
(3.8)
хср  1 2 ; уср  1
2
2
2

В общем случае, модуль вектора a (a1; a2 ; a3 ) , заданного своими
декартовыми координатами, находится по формуле

(3.9)
а  a12  a22  a32 .


Единичный вектор a0 , сонаправленный с вектором a , находится
по формуле

a
a0   .
(3.10)
a
Для операций сложения, вычитания и умножения вектора на число справедливы следующие соотношения:
39
  
a  b  с (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ;
  
a  b  d (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) ;
 
 a  g ( a1;  a2 ;  a3 ) ,
      

где с = a  b ; d = a  b ; g =  a .
(3.11)
(3.12)
(3.13)
3.1.2. Скалярное произведение векторов
Решение типовых задач
 
 
Скалярным произведением a  b векторов a и b называется число
   
a  b  a  b cos  ,
(3.14)
 
где  – угол между векторами a и b .
 
 
Приняты обозначения скалярного произведения a  b или ( a , b ).
Отметим следующие свойства скалярного произведения:
   
   
  
 
 
1) a  b = b  a ; 2) а  (b  с ) = a  b + a  c ; 3) ( a ) b   (a , b ) .
  
2
В частности: a  a  a 2  a , откуда


(3.15)
a  a2 .
Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, выражается формулой
 
a  b = a1b1  a2b2  a3b3 .
(3.16)


Косинус угла между векторами a (a1; a2 ; a3 ) и b (b1; b2 ; b3 ) определяется по формуле
 
a1b1  a2b2  a3b3
a b
cos     
.
(3.17)
a b
a12  a22  a32  b12  b22  b32
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векто

ров a (a1; a2 ; a3 ) и b (b1; b2 ; b3 ) имеет вид
 
a  b  0 или a1b1  a2b2  a3b3  0 .
(3.18)
 
a  b  0 , то угол межЕсли скалярное
 произведение отрицательно



дувекторами a и b тупой. Если a  b  0 , то угол между векторами a
и b острый.
Необходимым
и достаточным условием коллинеарности ненуле 
вых векторов a и b является существование
такого числа  , что


a  b .
(3.19)
40
Если   0 , то векторы имеют одинаковое направление, если
  0 , то направление противоположное. Из выражения (3.13) следует,
что у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
a
a
a1
= 2 = 3.
b1
b2 b3
Аппарат векторной алгебры позволяет создать особый метод решения различных геометрических задач. В таблице приводятся примеры
использования векторного языка для формулировки и доказательства
некоторых геометрических утверждений или вычисления геометрических величин.
Что требуется
(на геометрическом языке)
Что достаточно сделать
(на векторном языке)
1. Установить параллельность Вводятся отрезки АВ и CD , находят
прямых m и n
АВ  CD , где отрезки АВ и CD
принадлежат соответственно прямым m и n;  – число
2. Установить, что точки А, В и Установить справедливость одного
С принадлежат прямой m
из следующих равенств: АВ   ВС ,
или АС   ВС , или АС   АВ ;
Доказать равенство
МС  p МА  q МВ , где p  q  1 и
М – произвольная точка прямой
3. Установить перпендикуляр- Из
скалярного
произведения
ность прямых m и n (т. е. АВ СD  0 , где точки А и В принадm  n)
лежат прямой m, а точки C и D –
прямой n
4. Вычислить длину отрезка В некоторой системе координат превратить искомый отрезок АВ в векАВ

тор a и воспользоваться формулой
  
2
a  a  a2  a

a
на
сторонах
угла
векторы
5. Вычислить величину угла  Выбрать

и b и воспользоваться
формулой
 
a b
cos     , где  – угол между
ab
векторами a и b
41

Пример 1. Векторы АС  m и BD  n служат диагоналями па
раллелограмма ABCD . Выразить AB, BC, CD, DA через m и n (рис. 3.2).
Решение. По определению суммы и

разности векторов имеем BC + CD = n ,

BC  CD = m . Сложив эти равенства, полу 
чим BC  (m  n ) / 2 . Далее находим:


 
 
CD  n  BC  n  (m  n ) / 2  (n  m) / 2 ,
 
 
AB  (n  m) / 2  (m  n ) / 2 ,
Рис. 3.2
 
DA   BC  (m  n ) / 2.







Пример 2. Векторы AB  3i  4k и AC  5i  2 j  4k служат
сторонами треугольника ABC . Найти длину медианы AM .

 1

 1
Решение. AM = ( AB  AC ), AM = (3  5; 0  2; 4  4) =(1; –1; 4).
2
2

АМ  12  (1) 2  42  18  3 2 .

Ответ: АМ  3 2 .

Пример 3. При каком значении z векторы a (6; 0; 12) и

b (8; 13; z ) перпендикулярны?
Решение.
Воспользуемся формулой (3.17)
 
a  b = 6  (8)  0  13  12  z  0 , 12 z  48  0 , z  4 .
Ответ: z  4 .

Пример 4. При каком значении  векторы a (2; 3;  4) и

b (;  6; 8) коллинеарны?


Решение. Воспользуясь соотношением (3.18), получим a   b .
Отсюда: 2    , 3  6 ,  4  8 . Решая эту систему получим
  1 2 ,   4 . Или из пропорциональности координат
2
1
2
3 4
1
      4 .




2
 6
8
2
Ответ: при   4 .
Пример 5. Даны вершины треугольника A(1; 4; 1) , B(3; 4;  2) ,
C (5; 2;  1) . Найти  ABC .


Решение. Находим координаты векторов BA, BC ; имеем


BA  (4; 0; 3) , BC  (2;  2; 1) . Угол  ABC равен углу между векто

рами BA и BC , обозначим его через  , тогда
42
 
BA  BC
(4)  2  0  (2)  3  1
1
cos   
= .
 
3
BA  BC
(4) 2  0  32  2 2  (2) 2  12
1
1
Ответ: cos   ,   arccos( ) .
3
3


Пример 6. Векторы a и b образуют угол равный 60 . Зная, что


 


2
a

b
2
a

3
b
)(
).
а  6 , b  3 вычислить (
Решение. Найдем скалярное произведение


 


 
 
( 2a  b )( 2a  3b )= 4a 2  6 a b cos 60 + 2 a b cos 60  3b 2 =
= 4  62  6  6  3  0,5  2  6  3  0,5  3  32  81 .




Ответ: ( 2a  b )( 2a  3b )  81 .




Пример 7. Даны векторы a и b , такие, что а  11 , b  23 ,
 
 
a  b  30 . Найти a  b .
Решение. Воспользуемся соотношением (3.15) для нахождения
модуля
вектора
через
скалярное
произведение.
Находим








2
2



 


2

а  b  (a  b )(a  b )  (a , a )  (b , a )  (a , b )  (b , b ) = a  2(a , b )  b .
Аналогично, находим
 
 
 2
   
 
 
а  b  (a  b )(a  b )  (a , a )  (b , a )  (a , b )  (b , b ) =
2
2
 
= a  2(a , b )  b .
2  2 2
2
 2 2
 
 
Получаем а  b = a  2(a , b )  b ; а  b  a  2(a , b )  b . Складыва2
 2  2
2
ем эти два соотношения: а  b  а  b  2 a  2 b . Переходим к числам
 2
 2
30 2  а  b  2 112  2  232 , отсюда а  b  2 112  2  232  30 2  400 ,
 
или а  b  20 . Второе значение корня не удовлетворяет условию задачи.
 
Ответ: а  b  20 .
Пример 8. Найти координаты точки C , лежащей на оси Ох
и одинаково удаленной от точек А(1; 2; 3) и В(2; 2; 4).
Решение. Так как точка C лежит на оси Ох, то ее вторая и третья
координаты равны нулю, т. е. координаты точки C есть
х  а; у  0; z  0 . По формуле (2.6) расстояния между двумя точками
имеем
43
АС  (а  1)2  (0  2)2  (0  3)2  а 2  2а  14 .
ВС  (а  2)2  (0  3)2  (0  4)2  а 2  4а  24 .
Поскольку АС  ВС , то
а 2  2а  14  а 2  4а  24 .
Обе части полученного уравнения определены при всех значениях
и неотрицательны. Следовательно, это уравнение равносильно уравнению а 2  2а  14  а 2  4а  29 , его единственный корень а  5 .
Ответ: координаты точки C ( 5 ; 0; 0 ).
Пример 9. В параллелограмме ABCD известны координаты вершины D(3; 1;  2) , векторы DC(5;  1; 2) и DB (4;  6;  1) . Найти
сумму координат вершины А.
Решение. Сделаем схематический
чертеж (рис. 3.3).
Пусть искомые координаты точки А
(a1 ; a2 ; a3 ) ,
будут
тогда
вектор
DA
(a1  3; a 2  1; a3  2) .
Кроме
того,
DA  DC  DB , тогда DA  DB – DC . Переходя к координатам, будем иметь
a1  3  4  5  a1  4  5  3  12 ;
a2  1  6  1  a2  6  1  1  4 ;
a3  2  1  2  a3  1  2  2  5 .
Суммируя полученные координаты, получаем
a1  a2  a3  12  4  5  3.
Ответ: a1  a2  a3  3.
Рис. 3.3
Пример 10. В декартовой прямоугольной системе координат Оху
на кривой у  х 2 заданы две точки А и В. При этом скалярные произве

дения ОА  i  1 и ОВ  i  2, где i – единичный вектор оси Ох. Найти
вектор 2 ОА  3 ОВ и его длину.
Решение. Запишем координаты единичного вектора оси Ох, век
тора i (1; 0) . Обозначим координаты вектора ОА как ( х1; у1 ) координаты
вектора ОВ как ( х2 ; у2 ) , тогда наши скалярные произведения, согласно
условию задачи:


ОА  i  1  х1  0  у1  1 ;
ОВ  i  1  х2  0  у2  2 .
Отсюда получаем х1  1 , х2  2 . Нам известно, что точки А и В
лежат на кривой у  х 2 , тогда найдем вторые координаты у1  1 и у2  4
44
векторов ОА и ОВ (координаты этих векторов такие же, как и у точек
А и В, поскольку точка О(0; 0). Итак, координаты векторов ОА (1;1)
и ОВ (2; 4) . Находим вектор 2 ОА  3ОВ  (2  6; 2  12)  (8;  10) .
Далее
находим
модуль
этого
вектора
2ОА  3ОВ  82  10 2  164  2 41 .
Ответ: 2ОА  3ОВ  2 41 .
3.2. Применение методов векторной алгебры
для решения геометрических задач
Пример 11. В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ  ВС  8 )
точка Е делит боковую сторону АВ в отношении 3:1 (считая от верши


ны В). Найти угол между векторами СЕ и СА , если СА  12.
Решение. Обозначим угол между векто

СА
СЕ и
рами
через
 . Так как
 
СЕ  СА
cos   
 , для получения ответа надо
СЕ  СА
 

найти СЕ и скалярное произведение СЕ  СА .



Легко видеть (рис. 3.4), что СЕ  СА  АЕ
 1 
и что АЕ  АВ . Поэтому, пользуясь свойства4
Рис. 3.4
ми скалярного произведения, имеем

 
 
( СЕ  СА ) = (СА  АЕ , СА) =

  1  
 
1  
= (СА  АВ, СА) = (СА, СА)  АВ СА cos( АВ, СА) .
4
4
Опуская высоту BD в треугольнике АВС, получаем прямоуголь ВАD   .
ный
треугольник
в
котором
Тогда
АBD ,


cos  = АD : AB  6 8  3 4 .


Поскольку величина угла между векторами АВ и СА равна   BAD ,
 
 
1
то cos( АВ, СА) =  3 4 . Значит ( СЕ  СА ) =144   12  8  ( 3 4)  126 . Да4
лее по теореме косинусов имеем
45
2
2
 
2
EC  AC  AE  2 AC AE cosCAE =
=144  4  2  12  2  3 4  112.
 
СЕ  СА
126
3 7

Теперь получаем, что cos     
8
112  12
СЕ  СА
3 7
.
8
3 7
Ответ:   arccos
.
8
Значит,   arccos
Пример
ABCDA1B1C1D1
12.
Длина
ребра
куба
( AA1 BB1 CC1 DD1 ) равна 1. На ребре AA1 взята точка Е так, что длина
отрезка АЕ равна 1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка
BF равна 1/4. Через центр куба и точки E и F проведена плоскость  .
Найти расстояние от вершины В1 до плоскости  (рис. 3.5).
Рис. 3.5
Решение. Обозначим через Q ортогональную проекцию точки B1
на плоскость  . Введем в пространстве систему координат, поместив
начало координат в точку B и направив ось Ох по лучу ВА , ось Оy по

лучу ВС , ось Cz по лучу ВВ1 и взяв за единицу масштаба отрезок, длина которого равна 1. Тогда точки E, F, K, B1 будут иметь следующие координаты: E(1; 0; 1/3), F(0; 1/4; 0); K(1/2; 1/2; 1/2), B1(0; 0; 1). Поскольку
векторы КЕ и KF не коллинеарны и точка Q лежит в плоскости , то
существyют числа  и  такие, что KQ    KE    KF
1 1 1
и QB1  KB1  KQ  KB1    KE    KF . Поскольку KE   ; ;  ,
 2 2 6
 1 1 1
 1 1 1
KF    ; ;  , KB1    ;  ;  , то
 2 4 2
 2 2 2
46
1
1 1
1 1 1
1 
 1 1
QB1       ;     ;      .
2
2 2
4 2 6
2 
 2 2
Вектор QB1 ортогонален векторам KE и KF , поэтому
1
1 1 1
1  1 1 1
0 = ( KE , QB1 )=               
2 2 2
2  2 2 2
4
11 1
1 
1 19
1
            .
62 6
2 
12 36
24
1
1 1 1
1  1 1 1
0 = ( KF , QB1 )=                
2 2 2
2  4 2 2
4
11 1
1  1 1
9
           .
22 6
2  8 24
16
Решая эту систему относительно  и ,
1 19
1
1 1
9
  
  0;
    0,
12 36
24
8 24
16
88 99 
 55
;
;
находим  = –12/85 и  = 18/85. Тогда QB1   
 , и иско 170 170 170 
мое расстояние равно
2
2
2
1
 55   88   99 
QB1   
.
  
 
 
170
 170   170   170 
Ответ: QB1 
1
.
170
Пример 13. В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник, а точка O – основание высоты SO пирамиды – является серединой стороны AB и SO = 3:2. На ребрах SC и SB взяты соответствующие точки P и Q – средины этих ребер. Найти угол между прямыми AP
и CQ (см. рис. 3.6).
Решение. Соединим точку O с точкой C. Так как SO – высота пирамиды, то SO  AB и SO  OC. Кроме того, треугольник ABC правильный, поэтому CO  AB. Таким образом, удобно выбрать прямоугольную
систему координат Оxyz , как показано на рисунке. Примем сторону основания равной AB = 2. Тогда SO = 3, OC =  3 . Найдем координаты
нужных для дальнейших вычислений точек. Имеем O(0; 0; 0),
3
3
1 3
C ( 3; 0; 0) , A(0; 1; 0), S(0; 0; 3), B(0; –1; 0), P ( ; 0; ) , Q(0;  ; ) .
2
2
2 2
47
Далее
находим
1 3

CQ  3;  ;
.
2 2

координаты
Теперь
векторов
прямым
 3
АР 
;  1;
 2
счетом
3
,
2 
находим
3 1 9
  
5 22
2 2 4
cos(AP, CO)  cos(AP, CQ) 
=
. Итак, угол
88
3
9
1 9
1  3  
4
4
4 4
5 22
между прямыми AP и CQ равен arccos
.
88
Рис. 3.6
Векторно-координационный способ нахождения
угла прямой с плоскостью
Если прямая AB пересекает плоскость  и не перпендикулярна  ,
то углом между прямой AB и плоскостью  называется угол между
прямой AB и ее проекцией на плоскость.
Решение такого рода задач по нахождению угла прямой с плоскостью состоит в следующем: используя особенности заданной фигуры,
вводят в пространстве прямоугольную систему координат, находят ко
ординаты нужных точек, координаты какого-нибудь вектора a , колли
неарного прямой AB, и вектора n – нормального вектора плоскости .
 
Далее находят косинус угла между векторами a и n .
Так как   это угол между двумя прямыми, то 0    90  . Но
угол между векторами может принимать значения от 0  до 180 .
48


1. Если угол между векторами a и n изменяется от 0    90 
 
 
(рис. 3.7, а), то cos (а, ^ n )  0 и (а , ^ n )  90    . Но cos( 90    )  sin  ,
то есть в этом случае
 
(3.20)
sin   сos (а, ^ n ) .
Рис. 3.7

2. Если угол между векторами a и n изменяется от 90     180 
 
(рис. 3.7, б), то cos (а, ^ n )  0 и (а , ^ n ) = 90  + . Но
cos(90   )   sin  , т. е. в этом случае
 
(3.21)
sin   – сos (а, ^ n ) .
Объединяя результаты (3.20) и (3.21), получаем формулу
 
sin   сos (а, ^ n ) ,
которую мы будем применять при решении задач на нахождение угла
между прямой и плоскостью векторно-координационным способом.

Координаты вектора n можно найти, не выходя за рамки школьной программы, например, следующим образом: если вектор


n (n1; n2 ; n3 ) – нормальный вектор плоскости , а векторы b (b1; b2 ; b3 )
 
 

и c (с1; с2 ; с3 ) – векторы, параллельные плоскости , то n  b и n  c ,
 
 
т. е. ( n , b )  0 и (n , c )  0 или
b1n1  b2 n2  b3n3  0,

c1n1  c2 n2  c3n3  0.
Из этой системы уравнений координаты n1 , n2 , n3 находятся с точностью до пропорциональности. Их можно принять за координаты нормального вектора плоскости .
49
Пример 14. В основании
прямого параллелепипеда ABCD
A1B1 C1D1 лежит параллелограмм с
углом при вершине A, равным 60.
Отношение ребер параллелепипеда
AB : AD : AA1 = 1:2:3. Найдем угол
между прямой B1D и плоскостью
грани AA1D1D.
Решение. Зададим в пространстве прямоугольную систему
координат Bxyz (рис. 3.8).
Рис. 3.8
Воспользуемся для этого
тем, что заданный параллелепипед
прямой, т. е. BB1  BA и BB1  BD. Прямые BA и BB1, таким образом,
можно принять соответственно за оси Bx и Bz. Для задания оси By отметим, что в треугольнике ABD BD2 = AB2 + AD2 – 2ABADcos 60 .
Положив AB = a, получаем, что тогда
AD = 2a и BD2 = a2 + 4a2 – 2a2acos 60  = 3a2.
Тогда в треугольнике ABD: AD2 = AB2 + BD2, т. е. ABD = 90 .
Итак, прямую BD можно принять за ось By. Так как в заданном
параллелепипеде AB: AA1 = 1:3, и, как подсчитано выше, BD2 = 3a2, т. е.
BD = a 3 , то, принимая отрезок BA за единичный отрезок, координаты
точек A, D и B1 получим следующими: A(1; 0; 0), D(0; 3; 0), и B1(0; 0; 3).
Определим в выбранной системе координат координаты точки D1
и вектора B1D . Получим D1 (0; 3; 3) , B1D (0; 3;  3) . Найдем далее ко
ординаты (n1 ; n2 ; n3 ) какого-нибудь вектора n – нормального вектора
плоскости AA1D1 . Сделаем это исходя из следующих соображений: так



как вектор n перпендикулярен плоскости AA1D1, то n  DD1 и n  AD .
3n3  0,
Но DD1 (0; 0; 3) и AD (1; 3; 0) . Таким образом, 
, отку
n

3
n

0
 1
2
да n3 = 0 и, полагая, например, n3  3 , находим n1 = 3. Итак, в качестве

нормального вектора плоскости AA1D1 можно взять вектор n (3; 3; 0) ,
тогда, обозначив искомый угол через , получаем
3

1
sin   cos(n, ^ B1D) 
 .
39 39 4
Это значит, что угол между прямой B1D и плоскостью грани
1
AA1D1D равен arcsin .
4
50
Ответ: угол между прямой B1D и плоскостью грани AA1D1D равен
1
arcsin .
4
Векторно-координационный способ нахождения двугранного угла
между плоскостями сводится к нахождению угла между их нормальными векторами.
Пример 15. На ребрах AC и SA правильного тетраэдра SABC взяты соответственно точки K и L – средины этих ребер. Через точки B, K
и L проведена секущая плоскость. Найдем угол между плоскостями BKL
и SAC .
Решение. Ведем систему координат Dxyz, как показано на рис. 3.9
(точка D – средина ребра AB).
Приняв, например, AB=2,
найдем координаты нужных точек. Получаем сначала точки
D(0; 0; 0), С ( 3; 0; 0) и A(0;1; 0) ,
затем
точки

2 6
 ,
P 0; 0;
3


 3

O
; 0; 0  ,
 3

 3 2 6
 ,
S 
; 0;
3
3


 3 1 6

далее B(0;  1; 0) , L ; ;
6
2
3


 3 1 
Рис. 3.9
и K  ; ; 0  . Теперь найдем
 2 2 


координаты векторов n1 и n2 – нормальных векторов соответственно
 3 3 
; ; 0  ,
плоскостей BKL и SAC. Находим координаты BK 
2
2 

 3 3 6



 . Так как n1  BK и n2  BL , то полагая n1 ( x1, y1, z1 ) , поBL ; ;
 6 2 3 
 3
2
x1  y1  0,

2
3
лучаем систему 
 3 x  3 y  6 z  0.
 6 1 2 1 3 1
51
Из системы выражаем наши неизвестные координаты, например,

6
у1 ) . Тогда с точностью до пропорциочерез y1, имеем n1 ( 3 у1; у1; 
2

6
).
нальности находим n1 ( 3;1; 
2

Аналогично находим и вектор n2 ( x2 , y2 , z2 ) . Так как

3
2 6


 , AC ( 3;  1; 0) и n2  SA , n2  AC , то
SA 
;1; 
3 
 3
 3
2 6
x2  y 2 
z2  0,

3
 3
 3x  y  0,

2
1
2

откуда n2 (1; 3; ) .
2
Обозначим для краткости угол между плоскостями BKL и SAC через , находим
2 3
 3 3
4
 
33
.

cos  = cos(n1 , ^ n2 ) 
33
6
2
3 1  1 3 
4
4
33
Таким образом, искомый угол равен arccos
.
33
33
Ответ:  = arccos
.
33
3.3. Вопросы и задания для самоподготовки
1. Какие векторы называются равными?
2. Сформулировать правило сложения любого числа векторов.
3. Какие векторы называются противоположными?
4. Какие векторы называются коллинеарными?
5. Назвать необходимое и достаточное условие коллинеарности
векторов.
6. Назвать понятие прямоугольного базиса. Разложение вектора
  
по базису i , j , k .
7. Назвать понятие координат вектора.
8. Как найти координаты вектора, заданного координатами точек
– начала и конца этого вектора?
52
9. Чему равна длина (модуль) вектора, заданного своими координатами?
10. К чему сводятся линейные операции над векторами, заданными своими координатами?
11. Сформулировать условие коллинеарности двух векторов, заданными своими координатами.
12. Дать определение скалярного произведения двух векторов. Его
свойства.
13. Когда скалярное произведение двух векторов больше нуля,
меньше нуля?
14. Сформулировать условие перпендикулярности двух векторов.
15. Назвать выражение скалярного произведения через координаты векторов?
16. Назвать нахождение угла между двумя векторами.
3.4. Тесты по теме «Элементы векторной алгебры»
№
1
2
3
4
5
Задание

Даны векторы a (1; 2; 0) ,


b (3;1;1) , c (2; 0;1) . Вычислить
координату
x
вектора
 
 c
d  a  2b 
3
На оси ординат найти точку
М , равноудаленную от точек
А(1;4; 7) и В(5; 6;5)

a (2; 3; 0) ,
Даны
векторы


b (0;3;2) , c (1;1;1) .
Вычислить координаты век 

тора a  (1 / 2)b  c
Даны точки А (3;4;1) и
В (1; 2;3) . Найти длину AB
Варианты ответов
1)  17 3 ; 2)  19 3 ;
3)  15 3 ; 4)  18 3 ;
5) правильный ответ не указан
1) М (0;1; 0) ; 2) М (0; 5;0) ;
3) М (0; 4;0) ; 4) М (0; 2;0) ;
5) правильный ответ не указан
1) (3;10 2; 0) ; 2) (4;18 2; 0) ;
3) (3,5;15 2;0) ; 4) (3;11 2;0) ;
5) правильный ответ не указан
1) 56 ; 2) 26 ; 3) 8; 4) 13;
5) правильный ответ не указан
Даны
три
вершины 1) D(10;5; 4) ; 2) D(9;5; 6) ;
А(3;  4; 7) ,
В(5; 3;  2) , 3) D(9;5; 3) ; 4) D(10;5; 6) ;
С (1; 2;  3)
паралле- 5) правильный ответ не указан
лограмма. Вычислить координаты четвертой вершины
D
53
№
6
7
8
9
10
Задание
Параллелограмм построен на
 

векторах a = i  j и

 
b =  3 j  k . Найти длину его
диагоналей
Даны вершины треугольника А(3;  1; 5) , В(4; 2;  5)
и С (4; 2; 3) . Найти длину
медианы, проведенной из
вершины A

  
Дан вектор а  i  j  2k .
Найти его единичный вектор

а0 того же направления
Даны векторы

 

  
а  i  j  2k и
b = 6i  2 j .
Найти скалярное
произве 
дение a  b

Даны векторы a (4;2;4) ,

b (6;3; 2) . Вычислить скалярное
произведение
 


(2a  3b ) (a  2b )
1)
Варианты ответов
6 ; 3 2 ; 2) 6; 3 ;
3) 3; 3 2 ; 4) 6 ; 5 ;
5) правильный ответ не указан
1) 13 ; 2) 6; 3) 3; 4) 7;
5) правильный ответ не указан

1) а0 = (1; 2; 5) ;
1 1 2

2) а0 = ( ; ; ) ;
2 2 2

3) а0 = (1; 2;1) ;
3 1 2

);
4) а0 = ( ; ;
2 2 2
5) правильный ответ не указан
 
1) a  b  0;

2) a  b  5;

3) a  b  – 4;

4) a  b  –1;
5) правильный ответ не указан
1)  100 ; 2)  150 ;
3)  250 ; 4)  200 ;
5) правильный ответ не указан
3.5. Задачи для самостоятельной работы

1. Заданы координаты вектора AB = (4; 5; –3). Написать разложение вектора по единичным ортам.
2. Даны точки А(1; 2; 3) и В(3;  4 ; 6) . Найти проекции вектора
AB на оси координат; определить длину вектора.

  
3. Задан вектор AC  6  j  12 k . Найти единичный вектор того
же направления.


4. Найти скалярное произведение векторов a (2; 4; 1) и b (3; 5; 7) .
54


5. При каком значении x векторы a (х ; 3; 4) и b (5; 6; 3) перпендикулярны?
6. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на


 
векторах ОА  2i  j ; ОВ = 2 j  3k .


7. Найти угол между векторами 2а и b / 2 , если a (4; 2; 4) и

b (2;  2; 0) .

 

8. Найти угол в градусах между векторами a  2i  5 j  k ;

  
b = i  j  3k .
9. Определить углы треугольника АВС с вершинами А(2;  1; 3) ,
В(1; 1; 1) и С (0; 0; 5) .
10. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенно 
 
го на векторах OA  2i  j ; OB =  2 j  k .
11. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на

 


 
векторах a  2m  n ; b = m  2n , где m , n – единичные векторы с углом
между ними 60.
12. Определить длины диагоналей
параллелограмма, построенно  

 


го на векторах a   5m  n ; b = 3m  2n , где m , n – единичные векторы с углом между ними 30 .


 
Зная, что а  2 , b  5 и что векторы a и b образуют угол равный



2
, вычислить при каком значении  векторы p   a  17b
3
 

и q  3a  b перпендикулярны?




2
13. Векторы a и b образуют угол равный
и а  3, b  5.
3
 
Найти a  b .



 

14. Даны векторы a и b , а  13 , b  19 , а  b  24 . Найти
 
а b .
15. Прямая, проходящая через точку О, – центроид куба
ABCDA1B1C1D1 – параллельно прямой AD пересекает сферу, описанную
около этого куба, в точках P и Q , причем точка P и вершина A лежат
по разные стороны от плоскости BDD1 . Найдем следующие углы:
а) между прямыми AР и B1 D ;
б) между прямой AР и плоскостью BDD1 ;
в) между плоскостями APB и BDD1 .
55
3.6. Варианты проверочной работы по теме
«Элементы векторной алгебры»
Вариант 1
1. Пусть О – точка пересечения медиан треугольника
АВС

 
и AO  а , AC  b . Разложить AB и BC по векторам а и b .




2. При каких значениях z длина вектора а = 2i  9 j  z k равна 11?
В ответе записать произведение всех найденных значений z.
Вариант 2
1. Пусть К и М – средины сторон ВС и СД параллелограмма

 
АВСД и AK  а , AM  b . Выразить вектор BD и AD через а и b .


2. Найти косинус угла между векторами a ( 2 ;1;  1) и b (1; 0; 0) .
Вариант 3
1. Точка М – средина стороны АВ треугольника АВС. Выразите
CM через векторы AB и BC .


2. Найти косинус угла между векторами a (2;  4; 4) и b (3; 2; 6) .
Вариант 4
1. Дан правильный шестиугольник ABCDEF, O – его центр,


OA  a , OB  b . Найдите OC, OD, OE и OF .
 


2. Даны векторы a и b , a (4;  2;  4) и b (6 ;  3; 2) . Вычислить
 


(2a  3b )( a  2b ) .
Вариант 5


1. В треугольнике АВС векторы AB  с , AC  b и медиана





AD  р . Разложить (выразить) вектор р по векторам с и b , вектор b


по векторам с и р .
 


2. Даны векторы a и b , a (4;  2;  4) и b (6 ;  3; 2) . Вычислить:

 
1) ab ; 2) (a  b ) 2 .
Вариант 6
   
1. Дана прямая треугольная призма АВСА1В1С1 ; ВВ1  а ВС  b и
 
ВА  с ; О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложить
  
А1О по векторам a , b , с .
  

 

b
а

b

24
а
2. Даны векторы a и ,
,  b  22 и а  13 . Найти
 
bа.
56
3.6. Ответы по теме «Элементы векторной алгебры»
Тесты
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ 2
1
4
1
2
1
4
2
5
4
Задачи для самостоятельной работы




1. AB  4i  5 j  3k .

2. x AB  2; y AB  6; z AB  3 , AB  7 .
 6 1
12 
 .
3. a0   ; ; 
7
7
7


 
4. a  b = 33.
5. х  6 .
6. OC  14 ; AB  22 .
7. 1350 .
8. 900.
9. B  С  45 .
10. 900.
11. d1  7 ; d 2  13 .
12. d1  13  6 3 ; d 2  65  8 3 .
13. 40.
14. 7.
15. (рис. 3.10) 22.
Рис. 3.10
16. а) arccos
3 1
18  6 3
; б) arcsin
2 3
3 1
; в) arccos
.
2 4 3
2 3 3
57
Варианты проверочной работы


  

1. АВ  3a  b ; BC  2b  3a .
2. –36.
 

 4 2
3. ВD  2(b  a ) ; AD  b  a .
3
3
4. 1 2 .



5. СМ =  0,5  АВ  ВС .
6. 5 21 .

  
  



7. OC  b  a , OD  а , OE   b , OF  a  b .
8. –200.

 1  
 
b
9. р = (b  с ) ; = 2 р  с .
2
10. 22; 41.

 1 2
А
О
11. 1 =  a  b  c .
3
3
12. 6.
58
4. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
И БИНОМ НЬЮТОНА
4.1. Теоретические основы занятия
и решение типовых задач
4.1.1. Комбинаторика
Комбинаторика (комбинаторный анализ) – раздел математики, основное внимание в котором сконцентрировано на задаче размещения
объектов в соответствии со специальными правилами и нахождении
числа способов, которыми это может быть сделано. С комбинаторными
вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику при рассмотрении различных возможных
типов связи атомов в молекулах, биологу при изучении различных возможных последовательностей чередования аминокислот в белковых соединениях, конструктору, инженеру, диспетчеру при составлении графика движения и др.
Комбинаторные вычисления лежат в основе решения многих задач теории вероятностей – важнейшего раздела современной математики, посвященного случайным величинам.
Сформулируем основное правило комбинаторики (правило умножения).
Пусть требуется выполнить одно за другим k действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, третье действие n3 способами и так до k-го действия, которое
можно выполнить nk способами, то всю последовательность из k действий вместе можно выполнить N способами, где
N = n1 · n2 · n3 · ... · nk .
(4.1)
Пример 1. Сколькими способами N можно собрать слово «мама»,
имея в азбуке пять букв «а» и три буквы «м» ?
Решение. Первую букву слова можно выбрать тремя способами
и на каждый вариант первой буквы имеется пять способов выбрать вторую букву. Значит, способов собрать «ма»: 3 5 =15. Для каждого из них
третья буква может быть получена двумя способами (остается только
две буквы «м»), а последняя буква – четырьмя способами:
N = 3  5  2  4 = 120.
Ответ: N = 120.
Остановимся на некоторых понятиях, которые рассмотрены ниже.
59
Под множеством понимают совокупность элементов произвольной природы, рассматриваемую как единое целое. Обычно в комбинаторике используют понятие «генеральная совокупность объема n». Это
понятие можно связывать с понятием множества, содержащего n элементов. Например, множество учеников в классе, множество цифр
в конкретной системе исчисления. Из множества можно образовывать
части (подмножества).
Подмножество, состоящее из k элементов n-множества называют k-подмножеством n-множества или соединением из n элементов
по k. Это подмножество k из n множества называют еще и выборкой
объема k из генеральной совокупности объема n.
В зависимости от правил выбора соединения делят на три типа:
перестановки, размещения и сочетания.
Формула для числа перестановок
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних
и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их
расположения. Число таких различных комбинаций (перестановок)
определяется формулой
Рn = n!,
(4.2)
которая непосредственно следует из основного правила комбинаторики.
Замечание: символ n! (читается как факториал) есть сокращенное обозначение произведения 1  2  3…(n – 1)  n. Принимается, что
1!=1, 0!=1.
Пример 2. Сколько существует способов расстановки на полке
6 разных книг?
Решение. На первое место можно поставить любую из 6-ти книг,
для каждого варианта первой книги на второе место может быть поставлена любая из оставшихся 5 книг. Для любой пары первых книг
(а всего таких пар 6  5 = 30) на третьем месте может быть одна из 4
книг. Значит, разных троек всего 6  5  4= = 120 и так далее. Итак, число перестановок N из 6 книг равно:
N= 6! = 6  5  4  3  2  1= 720.
Ответ: N = 720.
Пример 3. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?
Решение. Ясно, что в этом случае на каждой горизонтали и каждой вертикали шахматной доски может быть расположено только по
одной ладье. Число возможных позиций N – число перестановок из 8
элементов:
Р8  8! 8  7  6  5  4  3  2  1  40320 .
Ответ: N=40320.
60
Формула для числа размещений из n элементов по k
Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом
элементов, либо их порядком.
Если из n разных объектов выбирается по k разных объектов, то
с учетом порядка следования полное число разных выборок будет определять формула числа размещений без повторений.
n!
Ank =
(4.3)
 n (n – 1) ... (n – k + 1…).
(n  k ) !
Из основного правила комбинаторики эта формула получается на
основе следующих рассуждений. На первом месте может быть любой из
n объектов, на втором – любой из (n – 1) неиспользованных объектов
(так как объекты не должны повторяться) и так далее, а на последнем,
k-ом месте, – любой из неиспользованных (n – k + 1) объектов.
Заметим, что
Ann = Рn.
(4.4)
Пример 4. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр
1, 2, 3, 4, 5? И сколько из них с неповторяющимися цифрами?
Решение. Если цифры могут повторяться, то на любом месте
в числе могут быть любые из пяти цифр. Значит, всего трехзначных чисел получается 5  5  5 = 53 = 125. Если же цифры не повторяются, то
таких чисел
n!
5!
A53 =

 5  4  3 = 60.
(n  k ) ! (5  3) !
Ответ: Всего трехзначных чисел получается 125. Если же цифры
не повторяются, то таких чисел 60.
Пример 5. В театре 10 актеров и 8 актрис. Сколькими способами
можно распределить роли в спектакле, в котором 6 мужских и 3 женские роли?
Решение. Рассуждаем следующим образом: распределяем мужчин
6
на мужские роли (первое действие). Тогда n1 = А10
(важно не только
выбрать актеров, но и распределить между ними роли). После этого
производим второе действие – распределяем женские роли. Это можно
осуществить n2 = А83 способами. Поэтому по принципу произведения:
6
N = n1  n2 = А10
 А83 .
6
Ответ: N = А10
 А83 .
61
Формула для числа сочетаний из n элементов по k
Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним
элементом.
По определению, если в выборках из n объектов по k объектов порядок их следования по условию задачи не имеет значения, то размещения, отличающиеся лишь порядком следования, становятся одинаковыми. Число таких одинаковых выборок по k разных объектов, которые
получаются друг из друга перестановкой, равно k! Поэтому число выборок из n по k без учета порядка следования определяется формулой числа сочетаний без повторений.
n!
n(n  1)...(n  k  1)
C kn = Ank /k! =
(4.5)

k !( n  k ) !
k!
Из этой формулы
Cn0  1.
(4.6)
Пример 6. Сколькими способами из 7 человек можно выбрать
комиссию, состоящую из трех человек?
Решение. Чтобы рассмотреть все возможные комиссии, отличающиеся только составом, нужно рассмотреть все возможные 3 – элементные подмножества множества, состоящего из 7 человек. Искомое число
способов равно:
765
C 37 =
 35.
1 2  3
Ответ: C 37 =35.
Пример 7. Найти число N всевозможных заполнений карточки
спортлото «6» из «49».
Решение. Генеральная совокупность – числа карточки спортлото
(n = 49). Выборка – это зачеркнутые 6 чисел. Порядок, в котором вычеркиваются номера, не существенен. Повторов быть не может (в карточке любой номер есть только один раз). Поэтому
N = C 649 = 13 983 816.
Ответ: N = 13 983 816.
Пример 8. В шахматном турнире двое из участников выбыли,
сыграв по три партии каждый, и поэтому на турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было участников первоначально?
Решение. Пусть искомое число участников турнира было х. Полностью сыграли друг с другом по партии лишь х – 2 участников (двое
выбыли) и число этих партий N находится как число сочетаний из х – 2
элементов по 2:
62
( х  2)  ( х  3)
.
1 2
Чтобы найти общее количество сыгранных партий (а их 84), необходимо к числу N добавить 6 сыгранных партий двумя выбывшими
участниками. Получаем уравнение
( х  2)( х  3)
 6  84.
2
Решаем его: х 2  5 х  150  0, х  15 (отрицательный корень опускаем).
Ответ: первоначально было 15 участников.
N= С х2 2 
Пример 9. Найти число диагоналей выпуклого десятиугольника.
Решение. Вершины десятиугольника образуют множество 10 точек плоскости, из которых любые три не лежат на одной прямой. Соединяя всякую пару этих точек отрезком прямой, получаем
10  9
2
С10

 45 отрезков, 10 из которых являются сторонами много1 2
угольника, а другие 35 – его диагоналями.
2
 45.
Ответ: С10
Сочетания используются, если важен только состав элементов
в выборке. Рассмотрим свойства сочетаний.
Свойство 1. Имеет место соотношение
Cnk  Cnn  k .
(4.7)
Свойство 2. Справедлива формула
Cnk1  Сnk11  Cnk .
(4.8)
Дадим определение размещений через сочетания. Пусть из множества, содержащего n элементов, составлены все сочетания по k элементов. Если в каждом сочетании произвести все перестановки, то все
множество образовавшихся комбинаций называется размещениями из
n элементов по k:
n!
Ank = Cnk  n!
(4.9)
.
( n  k )!
Пример 10. Решить уравнение Aх2  C хх 1  48.
Решение. По формуле (4.9)
х!
1 2  3( х  3)( х  2)( х  1) х
Aх2 

 ( х  1) х  х 2  х,
( х  2)!
1 2  3( х  3)( х  2)
а по формуле (4.5)
х!
х!
1  2  3( х  1) х
Cхх 1 


 х.
( х  1)!( х  х  1) ( х  1)!1! 1  2  3( х  1)
63
Таким
образом,
( х  х) х  48  х 3  х 2  48.
2
данное
уравнение
принимает
вид
Преобразуем
последнее
выражение
х 3  64  64  х 2  48  0  ( х 3  64)  ( х 2  16)  0.
Раскладываем на множители выражение в каждой скобочке и выносим общий множитель:
( х  4)( х 2  4 х  16)  ( х  4)( х  4)  0 
 ( х  4)( х 2  3х  12)  0.
Решая последнее уравнение, имеем х1  4; х 2  3х  12  0. ( D  0) .
Ответ: х  4 .
4.1.2. Бином Ньютона
Биномом Ньютона называют формулу, представляющую выражение (a  b) n при целом положительном n в виде многочлена.
При изучении формул сокращенного умножения были рассмотрены правила возведения двучлена в степень с натуральным показателем
и приведены формулы для (a  b) n при n =1, 2, 3. Общая формула
(a  b) n имеет вид
(a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  Cnk a n  k b k  ...  Cnnb n .
(4.10)
Коэффициенты Cnk , равные числу сочетаний из n элементов по k,
называются биномиальными коэффициентами.
Для вычислений удобнее всего формула
n(n  1) n  2 2
(a  b) n  a n  nan 1b 
a b 
1 2
(4.11)
n
n(n  1)  (n  k  1) n  k k

a b  ...  b .
k!
Пример 11. Вычислить (1  х)5 .
Решение. (а  х)5  а 5  С54 а 4 х  С53а 3 х 2  С52 а 2 х3  С51ах 4  х 5 .
Ответ: (1  х)6  а 5  5а 4 х  10а 3 х 2  10а 2 х3  5ах 4  х5
Рассмотрим свойства биномиальных коэффициентов.
Свойство 1. Коэффициенты членов, равноотстоящих от начала
и конца бинома, равны между собой (так как Cnk  Cnn  k ).
Свойство 2. Число биномиальных коэффициентов (следовательно, и число слагаемых в разложении степени бинома) равно n+1.
Свойство 3. Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n.
64
Свойство 4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на четных местах.
Свойство 5. Используя общую формулу общего члена разложения, запишем выражение для Tk 1 и Tk  2 :
n  k k n  k 1 k 1
Tk 1  Cnk a n  k b k ;
Tk  2 
Cn a
b .
k 1
Таким образом, для нахождения биномиального коэффициента
следующего члена разложения надо коэффициент данного члена умножить на показатель переменной a в этом члене и разделить на число
членов, предшествующих определяемому.
Натуральная степень разности двух величин вычисляется по формуле
(a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  ...  (1) k Cnk a n  k b k  ...  (1) n Cnnb n . (4.12)
Пример 12. Каков наибольший коэффициент разложения (a  b) n ,
если сумма всех коэффициентов равна 4096?
Решение. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2n, где
n – показатель бинома. По условию задачи 2n = 4096. Представим 4096
как 212. Тогда 2n = 212, отсюда n = 12 и (a  b) n = ( a  b)12 . Далее рассуждаем таким образом: так как показатель бинома 12 – четное число,
то наибольшим биномиальным коэффициентом является коэффициент
при среднем члене разложения, т. е.
12!
12! 12  11  10  9  8  7
6
Cnk  С12



 924.
6!(12  6)! 6!6!
6  5  4  3  2 1
6
 924.
Ответ: С12
Пример 13. Определить An2 , если пятое слагаемое разложения
n
1
3
 х   не зависит от х.
х

n
1

Решение. Пятое слагаемое разложения  3 х   имеет вид
х

1
Cn4  
 x
4
 x
3
n4
 Cn4 x  4
x
( n  4) / 3
 Cn4
( n 16 )
x 3 .
( n 16 )
x 3
Так как это слагаемое не зависит от х, то
= х 0  n  16 . Тогда
2
 16  (16  (2  1))  16  15  240 .
An2 = A16
2
 240 .
Ответ: A16
65
Пример 14. Многочлен 1  х 2  3 х 3  х 4 представить в виде разложения по убывающим степеням х+1.
Решение. Заменяя х на ( х  1)  1 , получаем
1  х 2  3х3  х 4  ( х  1)  14  3( х  1)  13 
 ( х  1)  12  1.
Раскрываем по формуле бинома Ньютона выражение ( х  1)  1k ,
где k =2, 3, 4, рассматривая х + 1 как один член. Далее приводим подобные и получаем
( x  1) 4  7( х  1)3  16( х  1) 2  15( х  1)  6.
Ответ: 1  х 2  3 х 3  х 4 = ( x  1) 4  7( х  1)3  16( х  1) 2  15( х  1)  6.
Пример 15. Найти коэффициент при х3 в выражении
х  13  х  14  1  х 5    1  х 15 .
Решение. Данное выражение является геометрической прогрессией с первым членом ( х  1)3 , и знаменателем, равным х + 1. Поэтому
имеем
х  13  х  14  1  х 5    1  х 15 

 

(1  х)3 (1  х)13  1 1
 (1  х)16  (1  х)3 .
1 х 1
х
Поскольку нас интересует член с х 3 , а в последнем выражении
происходит деление на х , значит будем искать в числителе член, содержащий х 4 . Такой член есть только в разложении (1  х)16 и коэф16  15  14  13
4
фициент при нем C 16
=
 1820 является искомым.
1 2  3  4
4
Ответ: коэффициент при х3 есть C 16
= 1820 .




20
Пример 16. Найти наибольшее слагаемое разложения 5  2 .
Решение. По условию задачи имеем Tm 1  Tm и Tm 1  Tm  2 , т. е.
m
C20
Или
 
 5
20  m

 2 m  C20m1   5 20 m1   2 m1 .
 5   2 
 5  2 ,
20!
(m  1)!(20  m  1)!  5 
2
 5
 5 20  2 m 
 5 19 2  2 m ,
20!
20!
m!(20  m)!  5 m
(m  1)!(20  m  1)!  5 m
20!

m!(20  m)!
Это дает
66
20
21
m
m
m
m
20 2  5
21 2
, 7,1 < m < 8,1.
m
5 2
5 2
Так как m натуральное число, получаем m = 8. Тогда
12
8
12
8
20!
8
Tm 1  T9  C20
 5  2 
 5
2  314925 105 .
8!2!
5
Ответ: 314925 10 ; 9-е слагаемое.
   
  
4.2. Вопросы и задания для самоподготовки
1. Чем занимается комбинаторный анализ?
2. Что такое генеральная совокупность объема n (n-множество)?
3. Сформулировать принцип произведения в комбинаторике
(основное правило комбинаторики).
4. Что такое перестановки из n по k? Привести примеры.
5. Что такое размещения из n по k? Привести примеры.
6. Что такое сочетания из n по k? Привести примеры.
7. В чем разница между размещениями и сочетаниями?
8. Что такое биномиальные коэффициенты?
9. Перечислить свойства биномиальных коэффициентов.
10. Записать формулу Бинома Ньютона при n =2, 3, 4.
4.3. Тесты по теме
«Элементы комбинаторики и бином Ньютона»
№
1
Задание
97
Вычислить С 100
2
По какой формуле находят
комбинации, составленные
из n различных элементов по
k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком
3
По какой формуле находят
комбинации, составленные
из n различных элементов по
k элементов, которые отличаются только составом
элементов
Варианты ответов
1) 161700; 2) 151700;
3) 132700; 4)123700;
5) правильный ответ не указан
1) N = n1 · n2 · n3 · ... · nk
n!
2) Рn = n!; 3) Ank =
;
(n  k )!
n!
4) С kn =
;
k !(n  k )!
5) правильный ответ не указан
1) N = n1 · n2 · n3 · ... · nk;
n!
2) Рn = n!; 3) Ank =
;
(n  k )!
n!
4) С kn =
;
k !(n  k )!
5) правильный ответ не указан
67
№
4
5
6
7
8
9
10
Задание
Варианты ответов
По какой формуле находят 1) (a  b) n ; 2) Рn= n!;
комбинации, составленные
n!
k
;
из n элементов, которые от- 3) An =
(
n

k
)
!
личаются только их порядn!
ком
4) С kn =
;
k !(n  k )!
5) правильный ответ не указан
Сколько можно составить 1) 13 ; 2) 10 ; 3) 30 ;
сигналов из 6 флажков раз- 4) 20 ;
личного цвета, взятых по 2?
5) правильный ответ не указан
Сколько трехзначных чисел 1) 10 ; 2) 12 ;
можно составить из цифр 1, 3) 6 ; 4) 14 ;
2, 3, если каждая цифра вхо- 5) правильный ответ не указан
дит в изображение числа
только один раз?
Сколькими способами могут 1) 30240 ; 2) 340;
быть распределены уроки в 3) 12340; 4) 540;
день из 10 учебных предме- 5) правильный ответ не указан
тов и 5 разных уроков в
день?
Сколькими способами мож- 1) 15; 2) 25; 3) 20;
но выбрать три различные 4) 10; 5) правильный ответ не
краски из имеющихся пяти? указан
Сколько различных слов 1) 120; 2) 130;
можно составить из букв 3) 150; 4) 110;
слова «ЛОДКА»?
5) правильный ответ не указан
Чему равно число слагаемых 1) n + 1; 2) n  1 ;
в разложении степени бино- 3) n ; 4) 2 n;
ма равно?
5) правильный ответ не указан
4.4. Задачи для самостоятельной работы
1. Сколько разных пятизначных чисел можно составить из цифр 1,
2, 3, 4 и 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?
2. Игрок сначала бросает белую игральную кость, потом черную.
Сколько может быть случаев, когда число очков, появившихся на белой
кости, больше числа очков, появившихся на черной кости?
3. В одной арабской сказке речь идет о такой задаче. Вокруг костра сидят 12 разбойников. Каждый из них смертельно ненавидит двух
ближайших соседей. С целью спрятать награбленное необходимо выде68
лить 5 разбойников. Сколькими способами атаман может назначить пятерых так, чтобы между ними не было распрей?
4. В колоде 32 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть
случаев появления одного туза среди розданных карт?
5. Студенты разделились на две равные группы для розыска заблудившегося товарища. Среди них есть только 4 человека, знакомые
с местностью. Каким числом способов они могут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека, знающих местность, если всего
их 16 человек?
6. Двенадцати ученикам выданы два варианта контрольной работы (всего по шесть одинаковых билетов каждого варианта) Сколькими
способами можно посадить учеников в два ряда, чтобы у сидящих рядом не было одинаковых билетов, а у сидящих друг за другом был один
и тот же вариант?
7. Лифт, в котором находятся 9 пассажиров, может останавливаться на десяти этажах. Пассажиры выходят группами по два, три и четыре
человека. Сколькими способами это может произойти?
8. Найти k и n, если C nk 2 : Сnk21 : Cnk22  0,6 : 1 : 1.
9. Решить уравнение Axx  3  xPx  2 .
10. Доказать тождество Pn  (n  1)( Pn 1  Pn  2 ) .
P
11. Решить уравнение 5 x  3  720 .
Ax  Px 5
12. Решить уравнение
Axy11  Px  y
Px 1
 72.
x
yx

 Ay : Px 1  C y  126,
13. Решить систему уравнений 

Px 1  270 .
 Axy  3C xy  90,
14. Решить систему уравнений 
 Axy  2C xy  40 .
15. При каких значениях х наибольшим слагаемым разложения
5  3х 10 является четвертое?
16. При каком значении х четвертое слагаемое разложения
2
x 1

m
 2  x в 20 раз больше m , если биномиальный коэффициент
четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5:1?
3
69
n
1 

17. В разложении  х х  4  биномиальный коэффициент третьех 

го члена на 44 больше коэффициента второго. Найти свободный член.
18. Разность между некоторыми членами Tm1 и Tm разложе12
ния  6 х  х 1  равна 30. Определить, при каких значениях х это


возможно, если Tm 1 содержит х в степени, вдвое меньшей, чем
член Tm .
19. Найти коэффициент при х 9 в многочлене
х  19  1  х 10    1  х 14 ,
не раскрывая скобок.
20. Найти k-й коэффициент разложения

3 2
 , если известm
но, что Tk  2 : Tk 1 : Tk  28 : 8 6 : 9 .
4.5. Варианты проверочной работы
Вариант 1
1. Имеется 8 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну на
правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
8
A20
12
2. Проверить равенство C20 
.
P8
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов разложения
3n
1 

 2nх 
 равна 64. Определить слагаемое, не содержащее х.
2nх 2 

Вариант 2
1. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько может
быть образовано тренером разных стартовых пятерок?
Ann  6
6
.
2. Проверить равенство Cn 
Pn  6
3. Сумма всех биномиальных коэффициентов с нечетными номеn
1

 

рами в разложении ах  х 4  равна 512. Определить слагаемое, не со



держащее х.
70
Вариант 3
1. В классе 10 учебных предметов и 5 уроков в день. Сколькими
способами могут быть распределены уроки в день?
4
3
4
 С15
 С16
/ 2.
2. Проверить равенство С15
3. При каких значениях х четвертое слагаемое разложения
5  2 х 16 больше двух соседних с ним слагаемых?
Вариант 4
1. В кружке юных математиков 25 членов. Необходимо избрать
председателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секретаря. Сколькими способами можно образовать эту руководящую четверку,
если одно лицо может занимать только один пост?
С xy  C xy  2 ,
2. Решить систему уравнений 
C x2  66 .
3. В какую натуральную степень следует возвести бином
 1

 3  , чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к треть
 2

ему было равно 3 2 ?
Вариант 5
1. На плоскости расположено 10 точек так, что из них ни какие
три, за исключением одной тройки точек, не лежат на одной прямой 0.
Сколько разных прямых можно провести через эти точки?
Сnk  Cnk  2 ,
2. Решить систему уравнений 
Cn2  153 .
n
1 

3. Третье слагаемое разложения  2 х  2  не содержит х. При
х 

каких значениях х это слагаемое равно второму слагаемому разложения
1  х 
3 30
?
Вариант 6
1. Сколько возможных способов для образования дозора из трех
солдат и одного офицера, если есть 80 солдат и 3 офицера?
Сnk  Cnk 1 ,
2. Решить систему уравнений 
 An2  20 .
71
3. Найти наибольший биномиальный коэффициент разложения
n
1

 n   , если произведение четвертого от начала и четвертого от конца
n

слагаемых равно 14400.
4.6. Ответы по теме
«Элементы комбинаторики и бином Ньютона»
Тесты
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
1
3
4
2
3
3
1
4
1
1
Задачи для самостоятельной работы
1. 120.
2. 15.
3. 36.
4. 1512.
5. 2772.
6. 2(6).
10!
7.
.
4
8. n=5, k=2.
9. х = 7.
10.
11. x = 7.
12. х = 8; у =0,1,2,3,…,7.
13. х = 5, у = 7.
14. (5; 3).
5
20
15.  x 
.
8
21
16. х = 4.
3
 165 .
17. C 11
18. 16. х1 
19. 3003.
20. 7290.
72
2
, х2  5 5.
4
Варианты проверочной работы
1. 56.
2. 240, 3-е слагаемое.
5
 792 .
3. С12
8 2
a  45a 2 .
4. C10
5
 30240 .
5. А10
15
10
6.
x .
28
13
3
7. А10
 С92  С73  С44 
10!
.
4
8. (12; 5).
9. n =5.
10. 43.
11. (18; 8).
12. х=2.
13. 246480.
14. (5; 2).
15. 252.
73
ЛИТЕРАТУРА
1. Сканави М. И. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. Группа повышенной сложности. – М., 1999. – 622 с.
2. Звавич Л. И., Аверьянов Д. И., Смирнова И. К. Экзаменационные задачи по алгебре для школьников и абитуриентов. – М., 1996. –
205 с.
3. Самусенко А. В., Казаченок В. В. Математика и типичные
ошибки абитуриентов. – Минск, 1991. – 192 с.
4. Ершов И. И., Скороход А. В., Ядренко М. И. Элементы комбинаторики. – М., 1977. – 80 с.
5. Скопец З. А. Дополнительные главы по курсу математики. Факультативный курс. – М., 1974. – 255 с.
6. Шахно К. У. Пособие по математике для поступающих в высшие учебные заведения. – М., 1964. – 246 с.
7. Соминский И. С. Элементарная алгебра. Дополнительный курс.
– М., 1964. – 200 с.
8. Давыдов А. К. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. – М., 1955. – 248 с.
74
Владимир Петрович Арефьев
Любовь Ивановна Лазарева
ИЗБРАННЫЕ
ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ
Часть I
Учебное пособие
Научный редактор:
доктор физико-математических наук, профеcсор К. П. Арефьев
Редактор: А. А. Цыганкова
Подписано к печати
Формат 60х84/16. Бумага офсетная.
Плоская печать. Усл. печ. л. 4,36. Уч. изд. л. 3,95.
Тираж
экз. Заказ
. Цена свободная.
Издательство ТПУ. 634050, Томск, пр. Ленина, 30.
75