Программа курса Комбинаторная геометрия

Программа курса Комбинаторная геометрия
1. Проблема Борсука. Основные определения: диаметр, тело, тело
постоянной ширины, числа Борсука f(Omega), f(n), универсальные
покрышки и покрывающие системы, опорные прямые и плоскости.
2. Число Борсука на прямой. Число Борсука на плоскости: треугольник,
круг, квадрат как покрышка, шестиугольник как покрышка (можно не
доказывать непрерывность), усеченные шестиугольники как упс,
обобщение задачи Борсука, графы диаметров, число ребер в них,
решение проблемы Борсука для конечных множеств.
3. Тривиальная верхняя оценка числа Борсука в растущей размерности.
Нижняя оценка. Гипотеза Борсука. Оценки в размерности 3. Задача о
диаметрах частей в разбиении шара на 4 части, аналогичная задача в
растущей размерности.
4. Теоремы Радона, Хелли и Юнга. Оценка f(n) \le 2^n. Уточнение Лассака.
5. Контрпримеры в размерностях 946, 561, 560. Задача о числе
независимости графа с вершинами в (-1,1)-векторах и ребрами между
парами векторов со скалярным произведением 0 по модулю степени
простого числа.
6. Асимптотическая нижняя оценка числа Борсука. Ее уточнение за счет 1-0-1. Трудность с дальнейшими уточнениями: пример с одной минус
единицей, а также с размерностью 8.
7. Теорема Эрдеша о хроматическом числе и обхвате графа.
8. Теоремы Купавского—Райгородского о существовании контрпримеров
на сферах малого радиуса: доказательство для постоянного радиуса и
«пафос» результата (клики и циклы).
9. Хроматическое число евклидова пространства. Размерность 1. Оценки
4 и 7 на плоскости. Графы расстояний (дистанционные графы). Теорема
Эрдеша—де Брёйна (б/д). Дистанционные графы с большим
хроматическим числом и обхватом на плоскости (Уормалд, ОДоннелл и
Хохберг, б/д).
10. Тривиальная верхняя оценка хроматического числа в растущей
размерности. Измеримое хроматическое число, оценка на плоскости
(б/д). Оценки в размерностях 3 и 4 (б/д).
11. Оценки хроматического числа евклидова пространства в растущей
размерности:
Ларман—Роджерс,
Ларман,
Франкл—Уилсон,
Райгородский. Верхняя оценка Лармана—Роджерса (б/д).
12. Хроматическое число метрического простанства. Рациональное
пространство в малых размерностях: два доказательства в размерности
2 и результаты в размерностях 3 и 4. Пояснение, почему в бОльших
размерностях эти идеи не работают (несколько слов о проблеме
Варинга).
13. Нижние оценки хроматического числа рационального пространства в
асимптотике: в чем проблема и как ее преодолеть.
14. Верхние оценки хроматического числа вещественного пространства с
метрикой l_p (Канг—Фюреди и Купавский). Нижняя оценка за счет
линейной алгебры: общий случай, и отдельно метрика l_1. Решение
задачи в экстремальной метрике.
15. Сумма хроматического числа и числа Борсука (альтернирование).
16. Хроматические числа пространств с несколькими запретами:
тривиальная верхняя оценка; нижняя оценка с двумя запретами;
нижняя оценка с произвольным числом запретов (общая канва).
17. Теорема о существовании последовательности дистанционных графов
с экспоненциально растущими хроматическими числами и без
треугольников. 1 путь обобщения: связь с теорией кодирования и
матрицы Адамара как препятствие к получению оценок, лучших, чем
(1.139…+о(1))^n. Вероятностные методы, дающие оценки, у которых
константа в основании экспоненты стремится к 1.239… Разница между
случаем полного и случаем неполного дистанционного графа, когда
речь идет об обхвате.
18. Теорема Шрамма о верхней оценке числа Борсука.