Глава 2 Расчет надежности невосстанавливаемых систем
реклама
Глава 1. Основы теории надежности 1.1. Основные понятия и определения Надежность определяется как «свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих его способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки» (см. ГОСТ 27.002–95 «Надежность в технике. Основные понятия, термины и определения»). Элемент и система в теории надежности. В теории надежности обычно используется двухпозиционная структура объекта: «элемент» и «система». При этом под системой понимается совокупность взаимосвязанных и совместно действующих объектов, предназначенных для выполнения заданных функций. Объекты, образующие систему и имеющие самостоятельную характеристику надежности, называются элементами. Деление системы на элементы – процедура условная и производится обычно на том уровне, на котором удобнее ее рассматривать для решения поставленной задачи. Для различных задач один и тот же объект может рассматриваться и как система, и как элемент. Например, если исследуется надежность электрической станции, то станция представляется системой, а генераторы и другое оборудование станции – элементами системы. Если же исследуется надежность генератора станции, то уже генератор представляется системой, а отдельные его части, имеющие самостоятельную характеристику надежности – статор, возбудитель и др., - элементами системы. Элементы и системы (при отсутствии в системе структурного резервирования) в каждый конкретный момент времени могут находиться либо в работоспособном (рабочем), либо в неработоспособном (нерабочем) состоянии. Работоспособное (рабочее) состояние – это состояние элемента 8 или системы, при котором они способны выполнять все заданные функции в полном объеме. В неработоспособном (нерабочем) состоянии элемент или система не способны выполнять ни одной заданной функции. Понятие и классификация отказов. Событие, заключающееся в полной или частичной утрате работоспособности элемента или системы, называется отказом. По характеру возникновения отказы делятся на внезапные и постепенные. Внезапный (структурный) отказ характеризуется внезапным снижением уровня работоспособности т.е. резким скачкообразным изменением основных параметров элемента или системы. Постепенный (параметрический) отказ характеризуется постепенным снижением уровня работоспособности т.е. плавным изменением основных параметров элемента или системы. Для большинства элементов систем электроснабжения постепенное изменение их характеристик обычно происходит незамеченным и перерыв в электроснабжении потребителей наступает только тогда, когда элемент не в состоянии выполнять своих функций, т.е. при внезапном отказе. Поэтому любой отказ, который приводит к перерыву электроснабжения, можно рассматривать как внезапный. Отказ элемента является независимым, если его возникновение не связано с отказами других элементов системы. Отказ элемента является зависимым, если его возникновение обусловлено отказами других элементов системы. В электроэнергетических системах имеют место как независимые, так и зависимые отказы. Отказы могут быть устойчивыми, если для их устранения требуется ремонт элемента или его замена новым (элемент не подлежит ремонту), или неустойчивыми, если они могут самоустраняться. Например, схлестывание проводов воздушных линий при порывах ветра может привести к возникновению короткого замыкания (КЗ). Этот отказ относится к самоустраняющимся, так как ликвидируется при помощи автоматического повторного включения (АПВ) без вмешательства обслуживающего персонала. Кратковременные 9 самоустраняющиеся отказы обычно называют сбоями. Многократно возникающие сбои одного и того же характера принято называть перемежающимися отказами. Причинами отказов элементов электроэнергетических систем являются повреждения или неисправности. Под повреждениями обычно понимают разрушение оборудования систем, нарушение целостности электрических и магнитных цепей, порчу изоляции. К неисправностям относят разрегулировку механизмов и защитных устройств без их разрушения, порчи и т. п. При этом, в зависимости от причины возникновения повреждений и неисправностей, различают конструкционные, производственные и эксплуатационные отказы. К конструкционным относят отказы, возникающие из– за ошибок, связанных с нарушением установленных норм и правил конструирования элемента. Производственные отказы возникают вследствие нарушения технологического процесса изготовления или ремонта элемента. Эксплуатационные отказы возникают из–за нарушения установленных правил и условий эксплуатации элемента. Невосстанавливаемые и восстанавливаемые элементы. По характеру исполнения и функционирования элементы могут быть восстанавливаемые и невосстанавливаемые. Если при возникновении отказа работоспособность элемента может быть восстановлена путем проведения ремонта, то такой элемент является восстанавливаемым. Если же при возникновении отказа элемент либо не подлежит, либо не поддается восстановлению (ремонту) в процессе эксплуатации, то он является невосстанавливаемым. Иногда элемент признается невосстанавливаемым, если затраты на его восстановление приближаются к стоимости нового элемента. Свойства элемента и системы в теории надежности. Согласно ГОСТ 27.002–89 надежность элемента – это сложное свойство, которое включает в себя: безотказность – свойство элемента непрерывно сохранять работоспособность в течение заданного времени, т.е. способность выполнять заданные функции, сохраняя при этом все заданные эксплуатационные параметры; 10 долговечность – свойство элемента длительно сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонтов. Предельным считается такое состояние элемента, при котором его дальнейшее применение по назначению недопустимо, а восстановление невозможно или нецелесообразно; ремонтопригодность – свойство элемента, характеризующее его приспособленность к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, а также устранению их последствий путем проведения технического обслуживания и ремонтов; сохраняемость – свойство элемента сохранять безотказность, долговечность и ремонтопригодность в течение и после хранения и (или) транспортировки; безопасность – способность элемента не допускать ситуаций, опасных для жизни людей и окружающей среды. Надежность систем электроснабжения также является сложным (комплексным) свойством, включающим в себя, наряду с безотказностью, долговечностью, ремонтопригодностью, сохраняемостью и безопасностью – устойчивоспособность, режимную управляемость и живучесть: устойчивоспособность – свойство системы непрерывно сохранять устойчивость в течение заданного интервала времени; режимная управляемость – свойство системы обеспечивать включение, отключение и изменение режима работы элементов по заданному алгоритму функционирования; живучесть – свойство системы противостоять возмущениям, не допуская их каскадного развития с массовым нарушением работоспособности потребителей. Обеспечение требуемой надежности. Требуемая надежность элементов и систем электроснабжения обеспечивается совокупностью различных средств, которые принципиально можно подразделить на техническое обслуживание, ремонт и структурное резервирование. Техническое обслуживание – это обеспечение надежности путем выполнения комплекса работ, направленных на поддержание работоспособности элементов и систем. Этот комплекс 11 включает в себя систематическое диагностирование состояния элементов и систем, поддержание режимов работы, наиболее благоприятных для надежности, обеспечение соответствующих условий содержания элементов и систем и т.д. Ремонт – это обеспечение надежности путем выполнения комплекса работ для поддержания и восстановления работоспособности элементов и систем. Система ремонтов включает в себя предупредительные (текущие, капитальные) и аварийновосстановительные ремонты. Структурное резервирование – это повышение надежности систем введением в них дополнительных элементов сверх минимально необходимых для выполнения заданных функций. Математический аппарат теории надежности. Надежность элементов и систем зависит от множества факторов, большинство из которых являются случайными. Поэтому при расчете надежности элементов и систем, в том числе и систем электроснабжения, используют количественные характеристики надежности, получаемые методами теории вероятностей и математической статистики. 1.2. Основные положения теории вероятностей 1.2.1. событие, вероятность события, частота события Событием называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Событие – это один из возможных исходов опыта над случайным явлением. Вероятностью события, например события , называется число , характеризующее объективную степень возможности появления этого события в данном опыте. Событие U, которое в результате опыта всегда имеет место, носит название достоверного события. Вероятность достоверного события . Другим крайним случаем является невозможное событие , которое в результате опыта не может произойти. Вероятность невозможного события 12 . Другие события возможные, но не достоверные, будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы: 0 . При одновременном изучении двух или нескольких событий различают равновозможные и неравновозможные, совместные и несовместные события. Равновозможными событиями называются такие, для которых по условиям симметрии опыта нельзя считать, что одно из них является объективно более возможным, чем другое. И, наоборот, события, для которых по условиям симметрии опыта можно считать, что одно из них является объективно более возможным, чем другое, называются неравновозможными. События называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе и, наоборот, события называются совместными, если они могут появиться одновременно. Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта обязательно должно произойти хотя бы одно из них. События, обладающие тремя свойствами – равновозможные, несовместные и составляющие полную группу, называются случаями. Если опыт сводится к схеме случаев, т.е. обладает симметрией возможных исходов, то вероятность появления события в этом опыте равна: где – число случаев, благоприятных событию ; – общее число случаев (исходов) опыта. Так как число случаев, благоприятных событию , всегда заключено между 0 и (0 – для невозможного и – для достоверного события), то и . Формула (1.1) называется классической. Она пригодна для непосредственного подсчета вероятностей только тогда, когда 13 опыт обладает симметрией возможных исходов, т.е. сводится к схеме случаев. В связи с этим на практике широко используется статистическое определение вероятности событий путем массового эксперимента (многократного повторения одного и того же опыта). Такую вероятность называют частотой события или статистической вероятностью. Частотой события называется отношение числа опытов , в которых появилось событие , к общему числу проведенных опытов : При достаточно большом числе опытов частота события может служить мерой вероятности этого события. Этот факт для событий, сводящихся к схеме случаев, впервые был доказан Я. Бернулли и вошел в теорию вероятностей под названием теоремы Бернулли: при достаточно большом числе независимых опытов частота появления события в этих опытах, т.е. , сходится по вероятности к вероятности этого события, т.е. к . Практически это означает, что при и при большом полагать, что можно Многочисленными опытами подтверждено, что выражение (1.3) справедливо и для событий, не сводящихся к схеме случаев (не обладающих симметрией опытов). Например, если статистические данные, полученные при анализе суточных графиков нагрузки, показывают, что 14 длительность максимальной нагрузки в течение суток может быть принята равной 6 часам, то вероятность возникновения максимальной нагрузки (события А) в течение суток, как случайного события, может быть принята равной . 1.2.2. зависимые и независимые события, условная вероятность Два события и называются независимыми, если вероятность события не изменяется от того, произошло или не произошло событие . Если же возможность появления одного события зависит от того, произошло или не произошло другое событие, то такие события называются зависимыми. Для зависимых событий, вероятность которых зависит от вероятности других событий, вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью события называется вероятность этого события, вычисленная при условии, что событие произошло. Условные вероятности обозначаются: вероятность события условии, что событие произошло; , вычисленная при вероятность события условии, что событие произошло. , вычисленная при 15 Если , то события события, если события. – события и независимые и зависимые 1.2.3. сумма и произведение событий Для сложных событий способы определения вероятностей непосредственным подсчетом (см. 1.1) или экспериментально по частоте (см. 1.2) не всегда приемлемы из–за громоздкости подсчетов и большой стоимости экспериментов. Поэтому для определения вероятности сложного события применяются косвенные методы, позволяющие по известным вероятностям одних, более простых, событий определять вероятности других, с ними связанных, более сложных событий. Косвенные методы базируются на понятиях суммы и произведения событий и теоремах сложения и умножения вероятностей. Суммой n событий называется сложное событие, состоящее в появлении хотя бы одного события из n. Произведением n событий называется сложное событие, состоящее в совместном проявлении всех n событий. 1.2.4. теорема сложения вероятностей Вероятность суммы n независимых и несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий Например, ремонт разъединителя при его отказах в течение года (событие ) производится с вероятностью , а его плановый ремонт (событие ) с вероятностью . Эти события (аварийно– 16 восстановительный и плановый ремонт) являются независимыми и несовместными событиями. Следовательно, вероятность ремонта разъединителя в течение года равна Следствие 1. Сумма вероятностей двух противоположных событий и равна единице Противоположными событиями называются два независимых и несовместных события, образующих полную группу случайных событий. Например, противоположными событиями являются событие безотказной работы трансформатора и событие его отказа. Следовательно, если вероятность безотказной работы трансформатора , то вероятность отказа трансформатора Следствие 2. Вероятность суммы двух независимых и совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного наступления, т.е. (см. 1.9): Например, турбогенератор в течение года может отключиться из–за отказов оборудования его тепловой части (событие ) с вероятностью и из-за отказов оборудования его электрической части (событие )с вероятностью . Эти события являются независимыми и совместными (отказы оборудования тепловой части и оборудования электрической части могут наступить и 17 одновременно), поэтому вероятность турбогенератора в течение года равна отключения 1.2.5. теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло Следствие 1. Условная вероятность события по отношению к событию или, иначе, вероятность события , вычисленная при условии, что событие произошло, равна Например, линия электропередачи подключена к РУ посредством выключателя. Вероятность КЗ на линии (событие ) Вероятность отказа выключателя (событие ) при автоматическом отключении КЗ на линии Следовательно, условная вероятность отказа выключателя при автоматическом отключении КЗ на линии 18 Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых и совместных событий равна произведению вероятностей этих событий Например, вероятность возникновения максимальной нагрузки в системе (событие ) Вероятность отказа трансформатора (событие ) Эти события независимы и совместны. Следовательно, вероятность возникновения максимальной нагрузки при отказе трансформатора, равна Следствие 3. Вероятность произведения n событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие события произошли (1.10) Следствие 4. Вероятность произведения независимых и совместных событий равна произведению вероятностей этих событий: 19 1.2.6. формула полной вероятности Следствием двух теорем – теоремы сложения вероятностей и теоремы умножения вероятностей – является формула полной вероятности. Пусть требуется определить вероятность некоторого события , которое может произойти вместе с одним из событий , образующих полную группу несовместных событий. События называются гипотезами. В этом случае Формула (1.12) – формула полной вероятности, которая позволяет определить вероятность события (полную вероятность события), если известны вероятности гипотез и условные вероятности события при наступлении каждой гипотезы. 1.2.7. случайная величина Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайная величина характеризует количественный результат опыта (испытания). Конкретное значение случайной величины, полученное в результате опыта, является величиной неслучайной и ее принято называть реализацией случайной величины. Поскольку любое явление, в том числе и случайное, может определяться несколькими факторами и иметь несколько 20 характеристик, то с одним случайным явлением может быть связано несколько случайных величин. Случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и вероятности их появления. В зависимости от характера возможных значений различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные. 1.2.8. закон распределения случайной величины Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой величины и вероятностями их появления. Если случайная дискретная величина, например , имеет конечную совокупность возможных значений , то закон распределения случайной величины может быть задан в виде ряда распределения, в котором значениям случайной величины , расположенным в порядке возрастания, поставлены в соответствие вероятности их появления (табл. 1.1): В выражении (1.13) означает событие, состоящее в том, что случайная величина принимает возможное значение, равное . Таблица 1.1. Ряд распределения случайной дискретной величины ... ... 21 Ряд распределения (см. табл. 1.1) является простейшей формой задания закона распределения случайной дискретной величины Х. Иногда, для наглядности, ряд распределения может задаваться в виде графика (рис. 1.1). Такой график полностью характеризует случайную дискретную величину Х и называется многоугольником распределения. Рис. 1.1. Многоугольник распределения случайной дискретной величины 1.2.9. функция распределения случайной величины Для случайной непрерывной величины возможные значения заполняют «несчетное множество» и составить таблицу (ряд распределения), в которой были бы перечислены все возможные значения, невозможно. Кроме того, каждое отдельное значение случайной непрерывной величины обычно имеет вероятность появления, равную нулю (см. 1.15). Однако 22 различные области возможных значений случайной непрерывной величины все же не являются равновероятными. Поэтому для случайной непрерывной величины Т пользуются не вероятностью события , а вероятностью события , где некоторая текущая переменная. Зависимость вероятности от называется функцией распределения случайной непрерывной величины и обозначается : Функцию распределения называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения, как и всякая вероятность, безразмерна. Основные свойства функции распределения таковы: вероятность того, что случайная величина принимает значения в промежутке , равна разности значений функции распределения на концах этого промежутка, т.е. функция распределения функцией своего аргумента, т.е. является неубывающей значения функции распределения границах , поскольку заключены в Функция распределения случайной непрерывной величины является непрерывной во всех точках. График функции 23 распределения случайной непрерывной величины имеет вид, изображенный на рис. 1.2, . Функция распределения – это самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует как для случайных непрерывных, так и для случайных дискретных величин. Зная ряд распределения случайной дискретной величины , можно легко построить функцию распределения (рис. 1.2,б). Рис. 1.2. Функция распределения случайной величины: а) непрерывной; б) дискретной Действительно, для случайной дискретной величины 24 где под знаком суммы указывает на то, что суммируются все те вероятности, для которых . График функции распределения случайной дискретной величины является «ступенчатой» линией, меняющейся скачком и непрерывной слева в каждой точке (рис.1.2,б). 1.2.10. плотность распределения случайной величины Для случайной непрерывной величины предельное равенство справедливо (1.15) т.е. вероятность того, что случайная непрерывная величина примет какое-либо определенное значение (в выражении 1.15 ), равна нулю. Поэтому случайную непрерывную величину удобнее характеризовать функцией Функцию называют плотностью распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей называют также дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения случайной величины. График функции (рис. 1.3) называется кривой распределения случайной непрерывной величины . 25 Рис. 1.3. Кривая распределения непрерывной случайной величины Плотность распределения , как и функция распределения , является одной из форм закона распределения. Но существует она лишь для случайных непрерывных величин. Вероятность попадания случайной непрерывной величины на участок , примыкающий к точке (см. рис. 1.3), с точностью до малых высшего порядка равна . Величина называется элементом вероятности. Поэтому вероятность попадания случайной непрерывной величины на промежуток через плотность распределения определяется по формуле Функция распределения определяется выражением через плотность распределения 26 Поэтому геометрически есть не что иное, как площадь под кривой распределения, лежащая левее точки (см. рис. 1.3). Плотность распределения имеет размерность, обратную размерности случайной величины . 1.2.11. основные числовые характеристики случайной величины Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Математическим ожиданием (средним значением) случайной дискретной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности : Например, данные многолетних наблюдений показывают, что в течение суток с 6 до 13 часов нагрузка может принимать значение 100% с вероятностью 0,7, значение 90% с вероятностью 0,2 и значение 80% с вероятностью 0,1. Следовательно, математическое ожидание нагрузки на интервале с 6 до 13 часов . Дисперсией случайной дискретной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: 27 Дисперсия представляет собой характеристику (разбросанности) случайной величины около ее ческого ожидания и имеет размерность квадрата величины. Среднее квадратическое отклонение дискретной величины квадратный из дисперсии: представляет рассеяния математислучайной случайной собой корень Среднее квадратическое отклонение имеет размерность случайной величины и по сравнению с дисперсией имеет большую наглядность как характеристика рассеяния случайной величины. Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной непрерывной величины определяются по аналогии с (1.19), (1.20) и (1.21) следующими соотношениями: где плотность распределения случайной непрерывной величины . К случайным дискретным величинам в теории надежности относятся: число отказов, число ремонтов оборудования и т.п.; к случайным непрерывным величинам время безотказной работы, время восстановления оборудования и т.п. 28 1.2.12. простейший поток событий Под потоком событий, в общем случае, понимается последовательность событий, происходящих одно за другим во времени или пространстве. Рассмотрим поток однородных событий, распределенных во времени. Такой поток событий можно изобразить как последовательность точек на числовой оси (рис.1.4), соответствующих моментам появления событий. Поток событий называется регулярным, если события следуют друг за другом через строго определенные промежутки времени. Если эти промежутки времени носят случайный характер, то и события образуют случайный поток. Рис. 1.4. Поток однородных событий во времени Случайный поток событий может быть описан одной из двух случайных величин: числом событий в заданном (единичном) интервале времени (случайная величина , характеризующая поток в этом случае, является дискретной); величиной интервала времени между двумя соседними событиями (случайная величина , характеризующая поток в этом случае, является непрерывной). Основными характеристиками случайного потока событий являются мгновенная интенсивность потока 29 и мгновенная частота потока (1.26) где – вероятность появления на промежутке не менее k событий; – среднее число событий на промежутке . Если случайный поток событий обладает следующими свойствами: 1) свойством стационарности вероятность появления некоторого числа событий в данном промежутке времени зависит только от длины этого промежутка, а не от его положения на временной оси; 2) свойством ординарности события в достаточно малом практически невозможно; появление более одного промежутке времени 3) свойством отсутствия последействия вероят-ность появления данного числа событий на фиксированном промежутке времени не зависит от числа событий, появляющихся в другие промежутки времени, то такой поток называется простейшим потоком событий. 30 Для потока событий, обладающего свойством стационарности, интенсивность потока и частота потока не зависят от времени t. В этом случае Если поток событий к тому же является и ординарным, то . Ординарные потоки без последействия называются пуассоновскими потоками. Такое наименование потока событий связано с применением формулы Пуассона для вычисления вероятности появления ровно событий потока за время . 1.2.13. закон распределения Пуассона Считая, что поток событий является простейшим (удовлетворяющим перечисленным выше трем свойствам), опишем его числом событий в достаточно малом промежутке времени на числовой оси (см. рис. 1.4). На основании свойства 2 событие может появиться на этом промежутке времени один раз или совсем не появиться. Обозначим вероятность появления события через На основании свойства 3 эта вероятность постоянна для любого промежутка времени , а на основании свойства 1 она зависит только от величины . Вероятность не появления события на этом промежутке времени, как вероятность противоположного события, равна: . Так как в промежутке времени может появиться или 0, или одно событие, то математическое ожидание числа появлений события в промежутке времени будет равно: . Следовательно, интенсивность потока событий, представляющая собой математическое ожидание числа появлений событий в единицу времени на промежутке , будет равна: . 31 Рассмотрим теперь конечный отрезок времени и разделим его на равных промежутков времени : . Появления событий в каждом из этих промежутков времени на основании свойства 2 независимы. Определим вероятность того, что в конечном отрезке времени при постоянной интенсивности потока событие появится раз. Так как событие может в каждом из промежутков времени появиться не более чем 1 раз (свойство ординарности), то для появления его раз на отрезке времени длительностью оно должно появиться в любых промежутках из общего числа . Всего таких комбинаций будет , а вероятность каждой равна . Следовательно, по теореме сложения вероятностей (см. 1.4) для искомой вероятности, т.е. вероятности того, что в отрезке времени при постоянной интенсивности потока событие появится раз, получим Равенство (1.27) является приближенным, так как исходной посылкой при его выводе служило свойство ординарности, выполняемое тем точнее, чем меньше . Для получения точного равенства в (1.27) необходимо перейти к пределу при , или, что то же, при . После замены в (1.27) получим и , (1.28) 32 Введем новый параметр параметр потока событий , означающий среднее число событий в интервале времени . Тогда Учитывая, что окончательно найдем, что где Таким образом, вероятность того, что в данном интервале времени длительностью появится ровно событий из простейшего потока событий с постоянной интенсивностью , определяется равенством (1.29). Выражение (1.29) получило название формулы Пуассона. В свою очередь, распределение вероятностей случайной дискретной величины , принимающей значения с вероятностями 33 называется законом распределения Пуассона. Формула Пуассона охватывает и случай , если учесть, что (см. табл. 1.2). Таблица 1.2. Закон распределения Пуассона 0 1 2 … m … 1 Распределение Пуассона используется для вычисления вероятностей появления данного числа относительно редких, т.е. характеризуемых малой вероятностью, событий в данном интервале времени. При выводе закона распределения Пуассона существенным было предположение о постоянной интенсивности потока событий, т.е. о стационарности потока событий. Однако формула Пуассона может быть использована и при нарушении этого условия. Так, например, при описании нестационарного потока событий, обладающего свойствами ординарности и отсутствия последействия (нестационарного пуассоновского потока), для которого , можно воспользоваться формулой (1.29), определяя параметр потока событий из выражения 1.2.14. показательный закон распределения Введем теперь для описания простейшего потока событий с постоянной интенсивностью случайную непрерывную величину промежуток времени между соседними 34 событиями. Функция распределения случайной величины определяется соотношением . Вероятность есть вероятность события, эквивалентного появлению в интервале времени одного и более событий. Вероятность противоположного события равна вероятности того, что в промежутке времени не наступит ни одно событие потока, т.е. (см. табл.1.2) Следовательно, вероятность искомого события, как события противоположного, будет равна Закон распределения случайной непрерывной величины , заданный функцией распределения (см. 1.32), получил название показательного закона распределения. Дифференциальная функция для этого распределения или, иначе, плотность вероятности распределения, определяется по общему правилу (см. 1.16): Следовательно (см. 1.32), плотность вероятности распределения случайной непрерывной величины равна: или при 35 Графики функции распределения и плотности вероятности распределения при показательном законе распределения случайной величины изображены на рис.1.5. Рис. 1.5. Графики функции и плотности показательного распределения Показательное распределение, как и распределение Пуассона, зависит только от одного параметра – интенсивности потока событий . 1.2.15. применение показательного закона распределения для исследования надежности систем электроснабжения Интервал времени эксплуатации элементов технических систем, в том числе и систем электроснабжения, можно разбить на три периода (см. подразд. 1.3): период приработки, период нормальной работы и период старения элементов. Для исследования надежности элементов в пределах периода приработки применяется закон распределения Вейбула (см. 36 приложение 1); в пределах периода старения – нормальный закон распределения (см. приложение 2). В пределах периода нормальной эксплуатации отказы элементов обуславливаются в основном случайными причинами, не находящимися в зависимости от предыдущего срока работы, т.е. являются внезапными с постоянной интенсивностью потока отказов . Поэтому для исследования надежности систем электроснабжения в пределах периода нормальной работы широко применяется показательный закон распределения случайной величины . По сравнению с нормальным законом распределения и распределением Вейбула, показательный закон распределения является наиболее простым, поскольку: 1) показательный закон распределения определяется одним параметром – интенсивностью потока отказов ,и 2) для показательного закона распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны между собой Это свойство показательного закона ( ) часто используется на практике для проверки гипотезы об однородности статистических данных об отказах элементов, собранных в различных электроэнергетических системах (см. гл.1, п. 1.7). 37 Случайное время наступления внезапных отказов основных элементов электроэнергетических систем , строго говоря, не всегда подчиняется показательному закону распределения. Тем не менее, в основу инженерных методов анализа и расчета надежности систем электроснабжения положен показательный закон распределения. Объясняется это тем, что вероятностные характеристики и показатели надежности элементов, основанные на показательном законе распределения, в этих методах используются для сравнительной оценки надежности систем электроснабжения и, следовательно, привлечение показательного закона распределения, как наиболее простого, в этом случае наиболее оправдано. 1.3. Вероятностные характеристики надежности элементов Все элементы технических систем, в том числе и систем электроснабжения, можно разделить на невосстанавливаемые элементы (элементы однократного использования) и восстанавливаемые элементы (элементы многократного использования). Невосстанавливаемые элементы после отказа заменяются новыми, восстанавливаемые элементы после отказа ремонтируются, их работоспособность восстанавливается. Замену невосстанавливаемых элементов после отказа также можно рассматривать как восстановление, но с нулевым временем восстановления. Отказ и восстановление элемента это два противоположных случайных события. Отказы и восстановления, происходящие одно за другим во времени, образуют случайные потоки отказов и восстановлений. Графически потоки отказов и восстановлений можно представить либо в виде бесконечно коротких импульсов при нулевом времени восстановлений для невосстанавливаемых элементов (см. рис.1.6,а), либо в виде прямоугольных импульсов при конечном времени восстановлений – для восстанавливаемых элементов (см. рис. 1.6,б). 38 Рис. 1.6. Случайные потоки отказов и восстановлений невосстанавливаемых ( ) и восстанавливаемых (б) элементов Вероятностными характеристиками, полностью описывающими надежность элементов до первого отказа, являются: вероятность безотказной работы; вероятность отказа; плотность вероятности отказа. В дальнейшем эти характеристики будем обозначать , и f(t), соответственно. Вероятность безотказной работы это вероятность того, что в пределах заданной наработки t отказа не произойдет. Вероятность отказа может быть определена либо (см. 1.5) как вероятность противоположного события либо (см. 1.14) как функция распределения случайной величины времени безотказной работы элемента (времени наработки до отказа – для невосстанавливаемых элементов, или времени наработки на отказ – для восстанавливаемых элементов) Плотность вероятности отказа (см. 1.16) 39 1.3.1. вероятностные характеристики надежности невосстанавливаемых элементов Для невосстанавливаемых элементов вероятностные харак- теристики надежности можно связать (см. рис. 1.6, ) либо со случайной непрерывной величиной – временем наработки элемента до отказа, либо со случайной дискретной величиной – числом отказов за рассматриваемый промежуток времени. При количественном определении вероятностных характеристик невосстанавливаемых элементов полагают, что поток отказов таких элементов является простейшим с постоянной интенсивностью отказов При этом обосновывают это положение следующими соображениями. На рис. 1.7 показана типовая кривая изменения интенсивности отказов невосстанавливаемых элементов в течение всего времени эксплуатации. Весь интервал времени эксплуатации невосстанавливаемых элементов разбит на три периода. На первом из них интенсивность отказов имеет повышенные значения. Это связано с тем, что всегда имеются элементы со скрытыми дефектами, которые проявляются вскоре после начала эксплуатации. По этой причине первый период эксплуатации элементов называют периодом приработки. 40 Рис. 1.7. Типовая кривая интенсивности отказов невосстанавливаемых элементов Второй период называют периодом нормальной работы. Он характеризуется постоянным или приблизительно постоянным значением интенсивности отказов: . Третий период называют периодом старения элементов. В этот период интенсивность отказов элементов возрастает. Однако для многих невосстанавливаемых элементов контроль, осуществляемый перед вводом их в эксплуатацию, отсеивает практически все дефектные элементы. Если при этом ограничиться рассмотрением работы невосстанавливаемого элемента до предельного состояния (до периода старения), то можно принять, что в течение всего времени эксплуатации и считать поток отказов невосстанавливаемых элементов простейшим. Следовательно, можно принять, что в течение всего времени эксплуатации вероятность безотказной работы и вероятность отказа невосстанавливаемых элементов подчиняются закону распределения Пуассона и вытекающему из него показательному закону распределения. Закон Пуассона (1.27) дает выражение для вероятности появления ровно событий из простейшего потока событий с постоянной интенсивностью за время : 41 откуда вероятность безотказной ливаемого элемента (см. табл. 1.1 при работы невосстанав) будет равна Следовательно, вероятность отказа невосстанавливаемого элемента (см. 1.35) а плотность вероятности отказа (см. 1.36) Закон распределения времени безотказной работы, выраженный формулой (1.38), является показательным. Примерный вид функций и показан на рис. 1.8. Рис. 1.8. Примерный вид функций и Для показательного закона распределения существенно следующее: вероятность безотказной работы элемента на данном интервале времени не зависит от времени его предшествующей работы, а зависит только от длины этого интервала времени 42 Иными словами, если известно, что в данный момент времени элемент исправен, то будущее его поведение не зависит от прошлого. Таким образом, главной особенностью показательного закона распределения является независимость потока отказов от времени эксплуатации элемента. 1.3.2. вероятностные характеристики надежности восстанавливаемых элементов Процесс функционирования восстанавливаемого элемента в течение длительного промежутка времени (см. рис. 1.6,б) распадается на отдельные циклы (периоды): работа и восстановление (ремонт). Каждый цикл характеризуется двумя интервалами времени: – время до отказа и – время восстановления. На каждом –ом цикле от начала работы до отказа восстанавливаемый элемент характеризуется вероятностью безотказной работы за время от начала цикла. В общем случае каждому циклу соответствует своя интенсивность отказов и, следовательно, после каждого ремонта восстанавливаемый элемент имеет различную вероятность безотказной работы . Типовая кривая изменения интенсивности потока отказов восстанавливаемых элементов в течение всего времени эксплуатации показана на рис. 1.9. Практически, после некоторого периода приработки (1) и до периода старения (3) на каждом –ом интервале периода нормальной работы, можно полагать, что интенсивности потока отказов и вероятности безотказной работы от не зависят и одинаковы для каждого цикла работы восстанавливаемого элемента. Если при этом исключить из рассмотрения время восстановления элемента на каждом k–ом цикле, то процесс функционирования восстанавливаемого элемента в течение 43 длительного времени эксплуатации можно представить только потоком отказов. ремонт ремонт Рис. 1.9. Типовая кривая интенсивности потока отказов восстанавливаемых элементов Поток отказов одного восстанавливаемого элемента (см. рис. 1.9) всегда является ординарным, поскольку второй отказ может произойти только после восстановления элемента после первого отказа. Кроме того, для восстанавливаемых элементов, в том числе и элементов систем электроснабжения, характерна стационарность потока отказов, а также отсутствие последействия. Иными словами, потоки отказов восстанавливаемых элементов также можно рассматривать как простейшие с интенсивностью потока отказов , а случайные величины, описывающие эти потоки число отказов k и время безотказной работы , подчиняющимися соответственно закону распределения Пуассона и показательному закону распределения. Чтобы не смешивать понятия «интенсивность отказов» и «интенсивность потока отказов», для характеристики потока отказов восстанавливаемых элементов пользуются не 44 интенсивностью потока отказов , а частотой отказов В этом случае в законе распределения Пуассона (1.27) параметр потока отказов и вероятностные характеристики восстанавливаемого элемента принимают вид: вероятность безотказной работы вероятность отказа плотность вероятности отказа Время восстановления восстанавливаемого элемента (см. рис. 1.6,б) слагается из времени обнаружения места повреждения и времени устранения неисправности (времени аварийно-восстановительного ремонта). Обе эти составляющие времени восстановления зависят от многих случайных факторов, например, характера повреждения, места элемента в системе, времени суток, погодных условий, глубины повреждения и т.п. Эти и другие случайные факторы и определяют случайный характер величины времени восстановления . Восстанавливаемый элемент в процессе функционирования может отказать много раз. После отказа такой элемент каждый раз восстанавливается и, следовательно, наряду с потоком отказов он может быть описан и потоком восстановлений. По 45 аналогии с потоком отказов поток восстановлений восстанавливаемого элемента может быть охарактеризован: вероятностью не восстановления за время вероятностью восстановления за время плотностью вероятности восстановления в момент времени интенсивностью восстановления в времени , отсчитываемого от начала восстановления. В частном случае, когда т.е. поток восстановлений элемента простейший, распределения времени восстановления показательный: момент закон Этот частный случай имеет наибольшее практическое значение, поскольку реальный закон распределения времени восстановления многих восстанавливаемых элементов, в том числе и элементов систем электроснабжения, близок к показательному закону. В тех случаях, когда этот закон не показательный, замена его показательным с таким же средним временем восстановления незначительно искажает конечные результаты расчета. Вероятностные характеристики безотказности и восстанавливаемости обычно независимы, поскольку один элемент системы электроснабжения может обладать высокой безотказностью, но быть относительно длительно 46 восстанавливаемым, а другой элемент легко восстанавливается, но обладает низкой безотказностью (см. гл.3, табл. 3.1-3.5). 1.4. Единичные показатели надежности элементов В практических расчетах надежности пользуются не только вероятностными характеристиками надежности элементов, но и показателями надежности. Показатели надежности представляют собой количественную характеристику свойств элементов, определяющих их надежность. Если показатель надежности характеризует одно из свойств, определяющих надежность элемента, то такой показатель называется единичным. Из единичных показателей надежности для элементов систем электроснабжения наибольшее применение в расчетах надежности нашли показатели, характеризующие либо свойство безотказности, либо свойство ремонтопригодности элементов. 1.4.1. единичные показатели надежности невосстанавливаемых элементов Единичными показателями, характеризующими свойство безотказности невосстанавливаемых элементов, являются интенсивность отказов и среднее время безотказной работы. Интенсивность отказов представляет собой условную плотность вероятности возникновения отказа, определяемую для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента времени отказ не произошел При показательном законе распределения времени безотказной работы, когда , интенсивность отказов по своей информативности эквивалентна вероятности 47 безотказной работы элемента, поскольку в этом случае . Среднее время безотказной работы или, иначе, математическое ожидание времени наработки до отказа (см. рис. 1.6, ), определяется через плотность вероятности отказов f (t ) (см. 1.22): Это выражение, путем интегрирования по частям, может быть преобразовано к виду поскольку . Учитывая, что при окончательно получим и 48 , Из (1.46) следует, что среднее время безотказной работы геометрически представляет собой площадь, ограниченную осями координат и кривой (см. рис. 1.8). Величина дает представление о том, вокруг какой величины (см. рис. 1.6, ) группируются возможные значения времени безотказной работы. При показательном законе распределения времени безотказной работы (см. 1.37) а дисперсия, характеризующая степень разбросанности случайной величины около ее среднего значения (см. подразд. 1.2.15), равна 1.4.2. единичные показатели надежности восстанавливаемых элементов Для восстанавливаемых элементов систем электроснабжения наряду с единичными показателями, характеризующими свойство безотказности, различают единичные показатели, характеризующие свойство их ремонтопригодности. Единичными показателями, характеризующими свойство безотказности восстанавливаемых элементов, являются частота отказов и среднее время безотказной работы ; единичными показателями, характеризующими свойство ремонтопригодности элементов – интенсивность восстановления , среднее время восстановления , частота плановых ремонтов и средняя продолжительность планового ремонта . 49 Частота отказов восстанавливаемого элемента (собственная частота) представляет собой отношение математического ожидания количества отказов за рассматриваемый интервал времени к длине этого интервала где и среднее количество отказов за время и , соответственно. При показательном законе распределения времени безотказной работы, когда , частота отказов по своей информативности эквивалентна вероятности безотказной работы восстанавливаемого элемента, поскольку . Среднее время безотказной работы или, иначе, математическое ожидание времени наработки на отказ , определяется выражением (см. 1.46) При показательном законе распределения времени безотказной работы (см. 1.40), когда , среднее время безотказной работы есть величина, обратная частоте отказов: а дисперсия времени безотказной работы равна Интенсивность восстановления восстанавливаемого элемента, по аналогии с интенсивностью отказов, представляет собой условную плотность вероятности восстановления 50 работоспособности элемента, определяемую для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента времени восстановление работоспособности не произошло: В том случае, когда закон распределения времени восстановления элемента показательный. В этом случае по своей информативности интенсивность восстановления эквивалентна вероятности восстановления элемента . Среднее время восстановления или, иначе, математическое ожидание времени восстановления элемента , определяется через плотность вероятности восстановления (см. 1.44) выражением: При показательном законе распределения времени восстановления (см. 1.45), когда среднее время восстановления есть величина, обратная интенсивности восстановления: Наряду с аварийно – восстановительными ремонтами для восстанавливаемых элементов предусматриваются предупредительные (или плановые) ремонты. Плановые ремонты имеют разновидности: текущие, капитальные и другие ремонты, занимающие промежуточные положения между двумя первыми (расширенные, средние и т.п.). Момент вывода элемента в один из видов планового ремонта не является случайным, а намечается с определенной заблаговременностью. Однако считать характеристики плановых ремонтов элементов систем 51 электроснабжения строго детерминированными нельзя, поскольку и момент вывода в ремонт, и его длительность может изменяться в зависимости от многих случайных факторов. Частота плановых ремонтов восстанавливаемого элемента определяется как сумма собственных частот каждого i–го вида предупредительного ремонта для данного элемента Средняя продолжительность планового ремонта определяется временем наиболее сложного предупредительного ремонта для данного элемента. Наряду с единичными показателями, характеризующими свойство безотказности и свойство ремонтопригодности, в теории надежности используются единичные показатели, характеризующие свойства долговечности, сохраняемости и управляемости элементов и систем. Основными показателями, характеризующими долговечность элементов, являются ресурс и срок службы. Они указываются в эксплуатационной документации. При этом ресурс (срок службы) может быть доремонтный, межремонтный и послеремонтный (до списания). Доремонтный ресурс исчисляют до первого капитального ремонта, межремонтный – между ремонтами, послеремонтный – после последнего капитального ремонта. Полный ресурс отсчитывают от начала эксплуатации объекта до его перехода в предельное состояние, соответствующее окончательному прекращению эксплуатации. При исследовании надежности восстанавливаемых и невосстанавливаемых элементов обычно оперируют средним сроком службы (средним ресурсом) и гамма – процентным сроком службы (ресурсом). Средний срок службы – это математическое ожидание календарной продолжительности 52 эксплуатации элемента от ее начала до наступления предельного состояния. Средний ресурс представляет собой среднюю наработку элемента от начала эксплуатации до наступления предельного состояния. Для невосстанавливаемых элементов эти показатели совпадают и представляют собой среднюю продолжительность работы до отказа (до наступления предельного состояния). Статистическая оценка среднего срока службы может быть определена по выражению где – срок службы i–го элемента; N – число элементов. Гамма – процентный срок службы – это календарная продолжительность эксплуатации, в течение которой элемент не достигнет предельного состояния с вероятностью , выраженной в процентах. Сохраняемость определяет способность элемента в условиях длительного хранения противостоять естественным физико-химическим процессам, вызывающим его старение. В качестве единичных показателей сохраняемости используются средний срок сохраняемости и гамма–процентный срок сохраняемости. Основными показателями, характеризующими свойство управляемости электроэнергетических систем, являются среднее время восстановления электроснабжения потребителей, среднее время локализации отказа и среднее время оперативных переключений . 1.5. Комплексные показатели надежности элементов Если показатель надежности одновременно характеризует два и более свойств надежности элемента, то такой показатель называется комплексным. Из всего многообразия комплексных показателей в практических расчетах надежности систем электроснабжения широкое применение нашли показатели, характеризующие одновременно свойство безотказности и 53 свойство ремонтопригодности восстанавливаемых элементов. К ним относятся: вероятность состояния отказа ; вероятность планового ремонта ; коэффициент готовности ; коэффициент вынужденного простоя ; коэффициент технического использования и коэффициент оперативной готовности . Вероятность состояния отказа элемента определяется как произведение частоты отказов на среднее время восстановления элемента и является безразмерной величиной: Вероятность планового ремонта элемента определяется как произведение частоты плановых ремонтов на среднюю продолжительность планового ремонта и также является безразмерной величиной: Вероятность состояния отказа элемента можно рассматривать как относительную длительность нахождения этого элемента в состоянии аварийно–восстановительного ремонта после его отказа. Аналогично, вероятность планового ремонта элемента можно рассматривать как относительную длительность нахождения этого элемента в состоянии планового ремонта. Коэффициент готовности представляет собой вероятность того, что элемент окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени , кроме планируемых периодов, в течение которых применение элемента по назначению не предусмотрено. Пользуясь формулой полной вероятности (см. 1.12) можно показать, что при показательных законах распределения времени безотказной 54 работы и времени восстановления , коэффициент готовности элемента определяется следующим выражением: Докажем выражение (1.55). Исключим из рассмотрения периоды простоя элемента в плановых ремонтах, положив их равными нулю, и проанализируем изменение состояния элемента на небольшом интервале времени от до . На концах этого интервала времени элемент может находиться в двух состояниях: работоспособном соответственно с вероятностью и , и неработоспособном (в состоянии аварийно-восстановительного ремонта) соответственно с вероятностью и . За время элемент из первого состояния может перейти во второе, если за интервал он откажет, или остаться в первом состоянии, если за интервал он не откажет. Вероятность первого перехода равна вероятности отказа элемента за интервал , а вероятность второго перехода равна вероятности безотказной работы элемента за тот же интервал времени . Аналогично, из второго состояния в момент времени элемент может перейти в первое состояние, если за время работоспособность его будет восстановлена, и остаться во втором состоянии, если за время работоспособность его не будет восстановлена. Вероятность первого перехода будет равна , а вероятность второго перехода . Таким образом, в момент времени элемент может оказаться в работоспособном состоянии, попав в него либо из первого состояния в момент времени , если он не отказал за время , либо из второго состояния, если за время его работоспособность будет восстановлена. При этом в соответствии с формулой полной вероятности (см. 1.12) 55 коэффициент готовности элемента будет определяться соотношением Для малого интервала времени соответственно вероятность безотказной работы и вероятность первого перехода равны: Следовательно, с учетом малого интервала времени . Разделив обе части полученного равенства на и переходя к пределу при , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка решением которого является выражение (1.55). Стационарное значение коэффициента готовности элемента , т.е. его значение в относительно удаленный от начала работы элемента момент времени, определяется выражением: 56 Учитывая, что для показательных законов распределения и , коэффициент готовности обычно определяют как относительную длительность пребывания элемента в работоспособном состоянии, т.е. как Коэффициент вынужденного простоя представляет собой вероятность того, что в произвольно выбранный момент времени элемент будет находиться в неработоспособном состоянии. Как событие, противоположное коэффициенту готовности, . Стационарное простоя значение коэффициента вынужденного можно рассматривать как относительную длительность нахождения восстанавливаемого элемента в неработоспособном состоянии. Для восстанавливаемых элементов, у которых , коэффициент вынужденного простоя элемента может быть принят равным вероятности состояния отказа этого элемента: 57 Коэффициент технического использования , как и коэффициент готовности , характеризует безотказность и ремонтопригодность восстанавливаемых элементов, но учитывает дополнительно и плановые ремонты. Этот коэффициент представляет собой отношение математического ожидания времени пребывания элемента в работоспособном состоянии за некоторый период эксплуатации , к сумме математических ожиданий времени пребывания элемента в работоспособном состоянии состоянии аварийно , времени пребывания в восстановительных ремонтов времени пребывания в плановых ремонтах и за тот же период эксплуатации . Если в эксплуатации находится N однотипных элементов, то Коэффициент оперативной готовности также характеризует свойства безотказности и ремонтопригодности восстанавливаемых элементов и представляет собой вероятность того, что элемент, находясь в режиме ожидания, окажется работоспособным в произвольный момент времени и, начиная с этого момента времени, работает безотказно в течение заданного интервала времени . При показательных законах распределения периодов работы и восстановления 58 Восстанавливаемые элементы характеризуется довольно большим количеством различных показателей надежности. В инженерной практике при расчетах надежности восстанавливаемых систем обычно используют следующие: частоту отказов ; среднее время восстановления ; частоту плановых ремонтов ; среднюю продолжительность планового ремонта ; вероятность состояния отказа или коэффициент готовности . Для систем электроснабжения дополнительно к ним используется среднее время оперативных переключений . 1.6. Экспериментальное определение единичных показателей надежности элементов Для получения количественных оценок единичных показателей надежности экспериментальным путем на заводах– изготовителях или в специальных испытательных центрах проводятся испытания элементов на надежность. Испытания организуются в соответствии с планом испытаний, установленным для данного элемента. Для обозначения планов испытаний используется символика с тремя позициями, каждая из которых содержит указание по проведению испытаний: 1) число элементов, подлежащих испытаниям, – ; 2) способ замены отказавших элементов: отказавшие элементы не заменяются до конца испытаний – ; отказавшие элементы заменяются немедленно после отказа – ; отказавшие элементы восстанавливаются в ходе испытаний – ; 3) правило окончания испытаний: испытания должны продолжаться в течение заданного времени – ; испытания должны быть прекращены в момент времени после 59 наступления –го отказа – ; испытания должны быть прекращены в момент времени , если , или в момент , если . Возможны следующие планы испытаний: [NUN], [NUT], [NUr], [NU(rT)], [NRT], [NRr], [NR(rT)], [NMT], [NMr], [NM(rT)] и др. Например, план испытаний [NR(rT)] означает следующее: 1) испытаниям должны подвергнуться элементов; 2) отказавшие элементы немедленно должны заменяться новыми; 3) испытания должны быть прекращены в момент наступления -го отказа, если , либо продолжаться заданное время Т, если . Испытания на надежность сводятся к тому, что некоторое число однотипных элементов включаются в работу в реальных условиях эксплуатации или в условиях, максимально к ним приближенных. За работающими элементами ведется наблюдение, в процессе которого фиксируется первичная статистика – время работы, моменты появления отказов, время восстановления после отказов и др. Эта первичная статистика является исходным материалом для получения количественных оценок показателей надежности. Оценкой показателя надежности называется формальная зависимость, устанавливающая связь статистических данных, полученных в процессе испытаний элементов на надежность, со значением оцениваемого показателя надежности. В зависимости от целей, которые ставятся перед испытаниями элементов на надежность, испытания подразделяются на определи-тельные и контрольные. Определительные испытания проводятся с целью оценки фактической надежности испытываемых элементов. В результате определительных испытаний могут быть получены либо точечные, либо интервальные оценки показателей надежности. 1.6.1. получение точечных оценок показателей надежности Наиболее распространенным методом получения точечных оценок является метод максимального правдоподобия. В основе 60 этого метода лежит утверждение о том, что если для выборки размером n в опыте наблюдались какие-то значения случайной величины, то именно эти значения и являются наиболее вероятными для всей генеральной совокупности случайных величин. Исходя из этого утверждения, для фиксированного результата опыта составляется функция правдоподобия, суть которой заключается в следующем: пусть, например, генеральная совокупность случайных величин зависит от одного случайного параметра и задается плотностью распределения . Тогда плотность распределения вероятностей выборки размером может быть задана функцией в которой – переменные, а – данное значение случайного параметра. Если теперь поставить вопрос – какова вероятность получить эту выборку с фиксированными значениями при различных значениях параметра , то плотность распределения этой вероятности следует рассматривать уже при постоянных и переменной . При таком рассмотрении функция называется функцией правдоподобия. Идея метода максимального правдоподобия заключается в том, что в качестве оценки неизвестного случайного параметра может быть принято то его значение, при котором данная выборка наиболее вероятна (правдоподобна), т.е. при котором функция правдоподобия (1.60) достигает максимума. Предположим, что для оценки средней наработки на отказ проведены испытания N невосстанавливаемых элементов, т.е. проведены испытания выборки размером N. При этом 61 испытания проводились до отказа всех N элементов и в результате испытаний получены N реализаций случайной величины – времени наработки на отказ. Для получения формулы, связывающей оценку средней наработки на отказ с полученными значениями случайной величины ( ), воспользуемся методом максимального правдоподобия. Будем считать, что время наработки на отказ при испытании N элементов распределено по показательному закону распределения вероятности отказа с плотностью , где . В этом случае функция правдоподобия выборки размером N может быть записана в виде (см. 1.60): При практической реализации метода максимального правдоподобия от функции правдоподобия переходят к ее логарифму, условия максимизации которого остаются теми же. Прологарифмируем полученную функцию правдоподобия 62 и найдем ее производную по : Из полученного выражения определим значение , при котором функция правдоподобия будет иметь максимум: откуда Оценку (см. 1.61) называют выборочным средним времени наработки на отказ , определенную при плане испытаний [NUN] – одном из самых простых планов испытаний невосстанавливаемых элементов (до отказа всех элементов в выборке). В качестве примера в таблице 1.3 приведены формулы для оценки интенсивности и частоты отказов для некоторых планов испытаний при условии, что время наработки на отказ (невосстанавливаемые элементы) или до отказа (восстанавливаемые элементы) распределено по показательному закону. Таблица 1.3. Точечные оценки показателей надежности при показательном законе распределения времени безотказной работы План испытаний Оценка показателя надежности 63 Условные обозначения число отказавших элементов за время ; [NUT] суммарная ботка в момент нара- число отказов за время ; [NUr] суммарная ботка в момент нара- Окончание таблицы 1.3 [NU(rT)] 64 число отказов за время число отказавших элементов за время ; [NMT] суммарная наработка в момент r число отказов за время [NMr] суммарная ботка в момент нара- суммарная ботка в момент нара- [NM(rT)] суммарная наработка в момент ; r число отказов за время 65 С помощью метода максимального правдоподобия получены формулы для точечных оценок различных показателей надежности для всех имеющихся планов испытаний при всех возможных законах распределения времени наработки на отказ или до отказа. 1.6.2. получение интервальных оценок показателей надежности Точечная оценка обладает недостатком в том смысле, что она сама представляет собой лишь частное значение случайной величины. Поэтому в теории надежности, наряду с точечными оценками, получили распространение интервальные оценки, когда по результатам испытаний рассчитываются нижняя и верхняя доверительные границы определяемого показателя надежности . Интервал, заключенный между этими границами, называется доверительным интервалом: где доверительная вероятность, представляющая собой меру достоверности доверительного интервала и показывающая, с какой вероятностью можно утверждать, что доверительный интервал «накрывает» истинное значение искомого показателя надежности . Чем выше выбранное значение доверительной вероятности , тем большим, при прочих равных условиях, получается доверительный интервал. Обычно доверительная вероятность выбирается из ряда чисел 0,9; 0,95; 0,99. При этом в качестве меры достоверности доверительного интервала – доверительной вероятности – принимается величина , называемая уровнем значимости. Уровень значимости и доверительная вероятность – вероятности противоположных событий, поэтому 66 При показательном законе распределения случайной величины для определения доверительных границ показателей надежности и для невосстанавливаемых элементов, и для восстанавливаемых элементов пользуются тем фактом, что случайные величины где и распределены суммарные наработки (см. табл. 1.3), которые по закону хи-квадрат с плотностью распределения с числом степеней свободы , где число отказов. Примерный вид кривой плотности распределения показан на рис. 1.10. По плотности распределения хи-квадрат с степенями свободы можно определить вероятность попадания случайной величины, например, величины опущены) на интервал с верхней границами. (индексы у и нижней Рис. 1.10. Кривая плотности распределения 67 Если этот интервал будет соответствовать доверительному интервалу, то и вероятность будет доверительной вероятностью. Таким образом, для нижней и верхней можно записать, что где хи-квадрат границ доверительного интервала площадь под кривой плотности распределения от начала координат до значения ; площадь под кривой плотности распределения хиквадрат от начала координат до значения . Длина доверительного интервала при заданном значении доверительной вероятности будет наименьшей, если величина а величина т.е. когда заштрихованные на рис. 1.10 области равны по площади. В выражениях (1.62) и (1.63) 68 и – квантили – распределения с числом степеней свободы и с вероятностями и , соответственно. Квантилем случайной величины, например , называют такое значение этой случайной величины, для которого с вероятностью можно утверждать, что полученное значение этой случайной величины попадет в интервал . Таким образом откуда следует, что при заданном значении справедливо неравенство Тогда нижняя и верхняя границы доверительного интервала будут равны Формулы для расчета доверительных границ для различных планов испытаний при всех возможных законах распределения времени наработки на отказ или до отказа приводятся в литературе по надежности. В качестве примера в таблице 1.4 приведены формулы для определения доверительных границ для некоторых планов испытаний при условии, что время наработки на отказ или до отказа распределено по показательному закону. Таблица 1.4. Интервальные оценки показателей при показательном законе распределения времени безотказной работы 69 План испытаний Показатели надежности оценка нижняя верхняя граница граница [NUT] [NUr] Окончание таблицы 1.4 [NU(rT)] [NMT] [NMr] 70 [NM(rT)] Значения квантили по вероятности для нижней доверительной границы и по вероятности для верхней доверительной границы с уровнем значимости определяют по таблицам распределения с степенями свободы (см. приложение 3). Контрольные испытания на надежность проводятся с целью проверки соответствия фактического уровня надежности испытываемых элементов заданным требованиям. Контроль надежности, как правило, осуществляется с использованием выборочного метода, при котором заключение о надежности партии элементов, изготовленных за определенное время, делается по результатам испытаний сравнительно небольшой выборки элементов из этой партии. Одна из возможных процедур выборочных контрольных испытаний на надежность сводится к следующему: выборка 71 размером элементов из партии размером элементов ставится на испытания продолжительностью часов. Фиксируется число появившихся отказов за время испытаний и это число отказов сравнивается с заранее назначенным допустимым или приемочным числом отказов . В результате сравнения делается один из двух возможных выводов: 1) проверяемый показатель надежности соответствует заданным требованиям и партия элементов размером принимается (при ) и 2) проверяемый показатель надежности не соответствует заданным требованиям и партия элементов размером бракуется (при ). Испытания на надежность связаны с трудностями имитации внешних условий, с большой стоимостью и длительностью этих испытаний, а для некоторых элементов систем электроснабжения – с невозможностью их проведения по этим причинам. 1.7. Определение показателей надежности элементов в условиях эксплуатации Наряду с испытаниями на надежность, статистические данные об отказах элементов можно получить по результатам наблюдений за их работоспособностью в ходе опытной (подконтрольной) или нормальной эксплуатации. Наиболее доступным является получение статистических данных о 72 работоспособности элементов в ходе нормальной эксплуатации систем электроснабжения. Основные трудности этого метода состоят в проверке гипотезы об однородности статистических данных об отказах однотипных элементов, собранных в различных системах электроснабжения, для их последующего объединения, а также в проверке гипотезы о законе распределения объединенных статистических данных. 1.7.1. проверка гипотезы об однородности статистических данных Проверка гипотезы об однородности статистических данных необходима для объединения статистических данных с целью более точного определения показателей надежности. При этом основная (нулевая) гипотеза , подлежащая статистической проверке, заключается в предположении, что выборки (статистические данные об отказах однотипных элементов, собранные в различных системах электроснабжения) извлечены из одной и той же генеральной совокупности. В качестве критерия однородности , руководствуясь которым отклоняют или не отклоняют проверяемую гипотезу , обычно принимают некоторую статистическую характеристику, определяемую по выборкам. Критическую область , попадание в которую критерия приводит к отклонению гипотезы об однородности статистических данных, определяют, исходя из принципа практической невозможности маловероятных событий: где уровень значимости. Иными словами, событие, состоящее в том, что критерий однородности примет значение, принадлежащее критической области , имея вероятность, равную , следует рассматривать как маловероятное событие. В большинстве случаев при проверке гипотезы об однородности статистических данных об отказах 73 элементов электроэнергетических систем принимают уровень значимости , равный 0,05; 0,02 или 0,01. Различают параметрические и непараметрические методы проверки гипотез об однородности двух выборок. Параметрические методы основываются на предположении об известном законе распределения генеральной совокупности. Непараметрические методы могут применяться при неизвестном законе распределения генеральной совокупности. Непараметрические методы обладают еще одним достоинством – относительной простотой вычисления критерия однородности. В качестве непараметрического критерия однородности может рассматриваться условная вероятность которая должна быть больше принятого уровня значимости . Условная вероятность определяется с помощью таблицы сопряженных признаков (табл. 1.5). При этом в качестве нулевой гипотезы – – рассматривается гипотеза, что нет значимого различия между частотами отказов элементов в выборках, т.е. это различие случайно. Таблица 1.5. Таблица сопряженных признаков Номер выборки отказавших, Количество элементов исправных, 74 всего, 1 2 Всего Если , считают, что элементы выборки не могут быть подвергнуты совместной обработке, расхождения между ними не случайны, что говорит о существенных различиях в условиях или режимах эксплуатации систем электроснабжения. При больших значениях величин, входящих в выражении (1.64) обычно переходят к десятичным логарифмам факториалов. Пример 1.7.1. В двух системах электроснабжения проводились наблюдения за однотипными генераторами. В течение года в одной из них (1) из 5 отказали 3 генератора, а в другой (2) из 15 отказали 6 генераторов. Можно ли считать, что различие статистических данных об отказах генераторов в этих системах случайно, и они могут быть подвергнуты совместной обработке? Проверку однородности статистических данных выполнить с уровнем значимости Решение. Сведем исходные данные в таблицу сопряженных признаков (табл. 1.6). Из таблицы следует, что искомая условная вероятность составляет(см. 1.64): 75 Таблица 1.6. Таблица сопряженных признаков к примеру 1.7.1 Номер выборки 1 2 Всего отказавших 3 6 9 Количество линий исправных 2 9 11 всего 5 15 20 Поскольку , то можно совместно рассматривать эти выборки, считая расхождения между ними случайными. Считая, что поток отказов генераторов является показательным и первичная статистика об отказах генераторов соответствует плану испытаний NMT, получим точечную оценку частоты отказов генераторов (см. табл. 1.3): Принимая в качестве доверительной вероятности уровнем значимости найдем, что (см. табл. 1.4) где значения квантили и при взяты из таблицы П.3.1 (см. приложение 3). 76 и с В ряде случаев вид закона распределения статистических данных об отказах элементов известен заранее. Например, потоки отказов силовых элементов систем электроснабжения подчиняются показательному закону распределения времени безотказной работы. В этом случае после проверки однородности статистических данных, собранных в различных системах, эти данные могут быть объединены без проверки гипотезы о законе их распределения. 1.7.2. проверка гипотезы о законе распределения исходных данных Если закон распределения статистических данных об отказах однотипных элементов, собранных в различных системах электроснабжения, неизвестен, то после проверки однородности статистических данных и их объединении, его определение выполняют обычно в следующей последовательности: представляют статистические данные об отказах в виде группированного статистического ряда и выполняют построение гистограммы статистической плотности вероятности или статистической функции распределения случайной величины; по виду гистограммы выдвигают гипотезу о типе теоретического закона распределения случайной величины, выравнивающего статистические данные об отказах; выполняют проверку допустимости предполагаемого теоретического закона распределения случайной величины. Построение гистограммы. При построении гистограммы статистической плотности вероятности отказа или статистической плотности вероятности восстановления по оси абсцисс откладываются длины (интервалы) разрядов группированного статистического ряда и на них, как на основании, строятся прямоугольники, площадь которых 77 пропорциональна статистической частоте данного разряда. Если , то площадь гистограммы составляет где число разрядов группированного статистического ряда. Пример 1.7.2. Проведено обследование, после внезапных отключений, длительности восстановления воздушных линий района электрических сетей. Поток восстановлений воздушных линий приведен в таблице 1.7. Общее число восстановлений равно 176. По данным таблицы 1.7 построить гистограмму статистической плотности восстановления воздушных линий. Таблица 1.7. Поток восстановлений воздушных линий к примеру 1.7.2 Длительность восстановления, ч Количество восстановленных линий, n 1 2 3 4 5 6 7 8 66 41 30 18 9 6 4 2 Решение. При построении гистограммы весь диапазон длительности восстановления (0 8 ч) делим на разрядов и в качестве длины разряда принимаем интервал ч. Исходя из числа восстановлений, приходящихся на каждый интервал, определяем статистическую частоту восстановления воздушных линий, соответствующую данному разряду. Для каждого го разряда ( ) вычисление статистической частоты выполняем по формуле 78 где число восстановлений в данном разряде, а общее число восстановлений (см. табл. 1.7). Статистические данные о потоке восстановлений в виде группированного статистического ряда сводим в таблицу 1.8. Таблица 1.8. Статистические данные для построения гистограммы плотности восстановления Номер разряда, Частота разряда Номер разряда, Частота разряда 1 2 3 4 0,37 0,24 0,17 0,102 5 6 7 8 0,051 0,034 0,023 0,011 По данным табл. 1.8 строим гистограмму статистической плотности вероятности восстановления воздушных линий (см. рис. 1.11). Соединив отрезками прямой вершины ординат, восстановленные из середин интервалов и равные статистической частоте соответствующего разряда, на гистограмму наносим график статистической плотности вероятности восстановления воздушных линий. 79 Рис. 1.11. Гистограмма статистической плотности вероятности восстановления воздушных линий Построение гистограммы статистической функции распределения случайной величины отличается от построения гистограммы или тем, что теперь над интервалами разрядов группированного статистического ряда строятся прямоугольники с высотой, равной накопленным к данному разряду статистическим частотам. Пример 1.7.3. По данным таблицы 1.7 построить гистограмму статистической функции распределения времени восстановления воздушных линий. Решение. Статистические данные о потоке восстановлений в виде группированного статистического ряда сводим в таблицу 1.9 и определяем статистические частоты , накопленные к i–му разряду. Таблица 1.9. Статистические данные для построения гистограммы статистической функции распределения 80 номер разряда, частота разряда, накопленная частота разряда, 1 0,37 2 0,24 3 0,17 4 0,101 0,37 0,61 0,78 0,881 номер разряда, частота разряда накопленная частота разряда, 5 0,051 6 0,034 7 0,023 8 0,011 0,932 0,96 0,989 1 По данным табл. 1.9 строим гистограмму (рис. 1.12). Статистическую функцию распределения обычно строят по точкам, обозначающим границы разрядов группированного статистического ряда: Рис. 1.12. Гистограмма статистической функции распределения времени восстановления воздушных линий 81 ; ... Соединив отрезками прямой вершины ординат на границе разрядов, равные накопленным к концу разряда статистическим частотам, на гистограмму наносят график статистической функции распределения времени восстановления воздушных линий. По определению , где число событий из , при которых. Поэтому при график будет приближаться к функции распределения случайной величины Т (для потока отказов – к вероятности отказа ; для потока восстановлений – к вероятности восстановления , см. подразд. 1.3). При тех же условиях статистическая плотность вероятности отказа будет приближаться к плотности вероятности отказа ; статистическая плотность вероятности восстановления – к плотности вероятности восстановления . По виду статистической плотности вероятности или статистической функции распределения случайной величины выдвигают гипотезу о типе выравнивающего их теоретического закона распределения. Проверку предполагаемого закона распределения обычно осуществляют с помощью критерия согласия Пирсона. Критерий согласия Пирсона наиболее часто применяется для проверки гипотезы о типе выравнивающего статистические данные теоретического закона распределения, поскольку при его использовании параметры теоретического закона распределения случайной величины могут приниматься равными их статистическим оценкам. Например, считая теоретический закон распределения, выравнивающий 82 статистические данные о случайном потоке событий, показательным, в качестве среднего времени безотказной работы может быть принята его статистическая оценка ; в качестве среднего времени восстановления Значение критерия Пирсона вычисляется по формуле: где число разрядов (интервалов), на которое разбиты статистические данные о случайном потоке отказов (восстановлений); общее число событий; число событий, приходящихся на статистическая частота ый интервал; – го разряда; или – теоретическая частота го разряда, где и границы разряда, а или теоретическая плотность вероятности с параметрами, замененными их статистическими оценками. Статистика подчиняется распределению с числом степеней свободы , где число параметров теоретического закона распределения, а единицей обозначено независимое условие, наложенное на частоту Для показательного закона распределения 83 : . Обычно статистические и теоретические частоты не совпадают, т.е. . При этом критерий Пирсона позволяет выяснить случайный (незначимый) или неслучайный (значимый) характер этих несовпадений. С этой целью статистические данные о случайном потоке событий в виде группированного статистического ряда заносятся в табл. 1.10. По данным таблицы вычисляется значение критерия (см. 1.65). и число степеней свободы . Затем по найденному значению и числу степеней свободы с помощью таблицы распределения с степенями свободы находится вероятность того, что переменная, имеющая распределение с степенями свободы, превзойдет вычисленное значение критерия . Если вероятность весьма мала, гипотеза о типе выравнивающего теоретического закона распределения должна быть признана противоречащей статистическим данным. Если эта вероятность сравнительно велика, то гипотезу о типе выравнивающего теоретического закона распределения можно принять не противоречащей статистическим данным. Малость или достаточность вероятности – доверительной вероятности – определяют уровнем значимости . Пример 1.7.4. Для потока восстановления воздушных линий (см. пример 1.8) с помощью критерия 2 Пирсона проверить гипотезу о показательном законе распределения времени восстановления, для которого теоретический закон распределения имеет вид: , где . Уровень значимости Решение. Показательный закон распределения, в данном случае времени восстановления воздушных линий, зависит от одного параметра В качестве оценки этого параметра принимаем значение, определяемое по 84 статистическим данным о потоке восстановлений воздушных линий (см. табл. 1.10): Следовательно Заменяя значение его статистической оценкой , получаем теоретическое распределение с плотностью вероятности восстановления Значения теоретических частот разрядов потока восстановлений воздушных линий рассчитываем по формуле: и эти значения заносим в табл. 1.10. Далее, пользуясь формулой (1.65), вычисляем значение критерия 2 Пирсона (см. табл. 1.10): По таблице распределения с степенями свободы находим вероятность , при которой . При (см. приложение П2) 85 и вероятность . Следовательно, гипотеза о показательном законе распределения времени восстановления воздушных линий не отвергается, поскольку при уровне значимости имеем . Таблица 1.10. Статистические данные для вычисления критерия Номер разряда Границы разряда Середина разряда Число восстановлений Пирсона 1 2 3 4 0-1 1-2 2-3 3-4 0,5 1,5 2,5 3,5 66 41 30 18 Продолжение таблицы 1.10 Статистическая частота разряда Теоретическая частота разряда 0,375 0,234 0,17 0,102 0,3995 0,2399 0,1441 0,0865 70,312 42,2224 25,3616 15,224 18,5933 1,4943 21,5148 7,7062 86 Номер разряда Границы разряда Середина разряда Число восстановлений Статистическая частота разряда Теоретическая частота разряда 0,2882 5 0,0592 6 0,8721 7 0,53 8 4-5 5-6 6-7 7-8 4,5 5,5 6,5 7,5 9 6 4 2 0,051 0,034 0,023 0,011 0,052 0,0312 0,0186 0,0087 9,152 5,4912 3,2736 1,5312 Окончание таблицы 1.10 0,0231 0,2588 0,5277 0,2198 0,0263 0,0709 0,185 0,1873 87