условные вероятности и независимые события

Урок 5
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ И НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
Условные вероятности
Если вероятность P(B)>0, то условной вероятностью P(A|B) события А
при условии В называется отношение
P( A | B) 
P( A  B)
.
P( B)
Если обычная вероятность показывает, какую "долю" событие А
составляет от достоверного события  , то условная вероятность показывает,
какую "долю" событие А (точнее общая часть А и В ) составляет от события
В.
Условная вероятность обладает теми же свойствами, что и обычная
вероятность, только для Р(А|В) роль достоверного события играет событие В.
Таким образом условная вероятность соответствует ситуации, когда событие
В уже произошло.
Задача
1. Один раз подбрасывается игральная
кость. Найти
вероятность того, что выпало число 2 при условии, что выпало четное число.
Решение. Пусть A = {выпало число 2}, B = {выпало четное число}.
I способ. A  B = {выпало число 2}. Очевидно, P(B) = 3/6 = 1/2, P( A  B ) = 1/6.
Следовательно,
P( A | B) 
P( A  B) 1 / 6 1

 .
P( B)
1/ 2 3
II способ. Так как событие B произошло, то множество равновероятных
элементарных исходов Ω = {число 2, число 4, число 6}, а {число 2} – исход,
благоприятный событию A|B. Поэтому, P(A|B) = 1/3.
Ответ. 1/3.
Независимость событий
События А и В называются независимыми, если
P A  B  P( A)  P( B).
Для независимых событий Р(A|B) = Р(A), то есть условная вероятность
равна обычной (безусловной) вероятности. Это равенство отражает наше
обыденное представление о независимости событий.
Можно показать, что если события A и B независимы, то независимы
события A и B, A и B , A и B .
Задача 2. При изготовлении изделия необходимо выполнить две
операции. Вероятность появления брака при первой равна 0,01, а при второй
– 0,02, причем появление брака при каждой из операции – независимые
события. Найти вероятность того, что в итоге будет получено качественное
изделие.
Решение. Рассмотрим события:
А = {брак не появился при первой операции}, Р(А) = 0,99;
В = {брак не появился при второй операции}, Р(В) = 0,98.
Изделие будет качественным, если брак не произойдет при обеих операциях ,
то есть при пересечении событий А и В:
A  B = {получено качественное изделие}.
Так как событий А и В независимые, то
P A  B  P( A)  P( B)  0,99  0,98  0,9702.
Ответ. 0,9702.
Система событий А1, А2,.., Аn называется независимой, если для любой
ее подсистемы Ai1 , Ai2 ,..., Aik выполняется равенство:
P( Ai1  Ai2  ...  Aik )  P( Ai1 )  P( Ai2 )  ...  P( Aik ) .
Так, например, система трех элементов А, В, С называется независимой,
если выполняются четыре равенства:
P( A  B)  P( A)  P( B),
P( B  C )  P( B)  P(C ),
P( A  C )  P( A)  P(C ),
P( A  B  C )  P( A)  P( B)  P(C ).
Следует отметить, что попарная независимость событий не влечет
независимости всей системы. Это можно проиллюстрировать на следующем
примере.
Задача 3. Из четырех студентов студент S1 владеет английским языком,
студент S2 – немецким, S3 – французским, а S4 – всеми этими тремя языками
(полиглот). События: А = {выбранный наудачу студент владеет английским
языком}, В = {выбранный наудачу студент владеет немецким языком}, С =
{выбранный наудачу студент владеет французским языком}. Выяснить,
зависимы или нет события А и В, A и С, B и C, события
А, В, С в
совокупности.
Решение. Число возможных равновероятных исходов при выборе
студента 4: S1, S2, S3, S4. Имеем следующие благоприятные исходы для
событий:
А={S1,
В={S2,
S4},
S4},
С={S3,
S4},
A  B  A  C  B  C  A  B  C ={S4}.
Следовательно, события А, В, С попарно независимы, так как
1

4
1
P( A  C )  
4
1
P( B  C )  
4
P( A  B) 
2 2
  P( A)  P( B),
4 4
2 2
  P( A)  P(C ),
4 4
2 2
  P( B)  P(C ),
4 4
но вся система А, В, С не является независимой, так как
P( A  B  C ) 
1 2 2 2
    P ( A)  P( B)  P(C ).
4 4 4 4
Ответ. События А, В, С попарно независимы но вся система А, В, С не
является независимой.
Задача 4. Релейная схема состоит из трех
последовательно
соединенных элементов. Выразить событие A = {отказ схемы} через события
Ai = {отказ i-ого элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероятность события A при
условии, что отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа
элемента с номером i равна pi.
1
2
3
Решение. Так как событие Ai – отказ элемента с номером i, то Ai –
противоположное событие, состоящее в том, что элемент с номером i
работает. Заметим, что схема не работает при условии, что не работает хотя
бы один элемент, и работает при условии, что работают все три элемента,
поэтому A  A1 A2 A3  A1 A2 A3 . Так как система событий Ai независимая,
то P( A)  P( A1 A2 A3 )  1  P( A1 A2 A3 )  1  (1  p1 )(1  p2 )(1  p3 ) .
Ответ. A  A1  A2  A3 , P(A) = 1 – (1 – p1) (1 – p2) (1 – p3).
Задача 5. Релейная схема состоит из трех параллельно соединенных
элементов. Выразить событие A = {отказ схемы} через события Ai = {отказ iого элемента} (i = 1, 2, 3) и найти вероятность события A при условии, что
отказы отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с
номером i равна pi.
1
2
3
Решение. Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в
предыдущей задаче. Заметим, что схема. не работает при условии, что не
работают все элементы, и работает при условии, что работает хотя бы один
элемент, поэтому A  A1 A2 A3 . Так как система событий Ai независимая, то
P( A)  P( A1
A2
A3 )  P( A1) P( A2 ) P( A3 )  p1 p2 p3 .
Ответ. A  A1 A2 A3 , P(A) = p1p2p3.
Задача 6. Релейная схема состоит из пяти элементов. Найти
вероятность события В = {схема работает}, при условии, что отказы
отдельных элементов независимы, а вероятность отказа элемента с номером i
равна pi .
1
3
4
_
2
5
Решение. Разобьем нашу схему на блоки I1, I2, I3 .
I1
I2
1
2
3
__
I3
__
4
5
Введем обозначения: событие Bj = {блок Ij работает} (j = 1, 2, 3), qi = 1
– pi – вероятность работы элемента с номером i. Так как блоки I1 и I2
соединены последовательно, то схема работает, если работают оба блока, то
есть на языке событий: B  B1 B2 . В силу независимости отказов отдельных
элементов события В1 и В2 также независимы, поэтому P(B) = P(B1)∙P(B2). В
блоке I1 элементы 1 и 2 соединены параллельно, поэтому блок I1 откажет,
если откажут оба элемента 1 и 2, то есть P(B1) = 1 – p1p2. аналогично, блок I2
откажет, если откажут блок I3 и элемент 5, то есть P( B2 )  1  P( B3 ) p5 ; в свою
очередь I3 откажет, если откажет хотя бы один из элементов 3 или 4, то есть
P( B3 )  1  q3q4 . Следовательно, P(B) = (1 – p1p2)(1 – (1 – q3q4)p5).
Ответ. P(B) = (1 – p1p2)(1 – (1 – q3q4)p5).