L19-4
реклама
Равновесие тел в жидкости. В жидкости, находящейся в состоянии равновесия, мысленно выделим замкнутую поверхность (рис. 19.6). Заключенная в ней жидкость также находится в состоянии равновесия. Следовательно, сила тяжести в рассматриваемом объеме уравновешена равнодействующей сил, действующих на ограничивающую этот объем поверхность со стороны окружающей жидкости: F Q . Благодаря уравновешенности рассматриваемого объема жидкости, суммарный момент этих сил также должен быть нулевым. Отсюда следует, что равнодействующая сила приложена в центре инерции С этого объема жидкости. Центр инерции однородной жидкости совпадает с его геометрическим центром A (рис. 19.6). Рис.19.6 Предположим, что выделенный объем жидкости заменен твердым телом той же геометрической формы. Окружающая жидкость создаст на поверхности твердого тела то же самое распределение сил давления. Следовательно, однородная жидкость действует на погруженное в нее тело с силой, направленной вертикально вверх и приложенной в геометрическом центре этого тела, по величине равной весу вытесненной телом жидкости. Эта выталкивающая сила называется Архимедовой силой. Если масса тела распределена неравномерно, то его центр инерции С не совпадает с его геометрическим центром А. Для равновесия подобного тела в жидкости (при полном или частичном погружении) необходимо, чтобы: - вес тела был равен весу объема жидкости, равному объему погруженной части тела, - центр инерции С тела и его геометрический центр А находились на одной вертикали. Однако для устойчивого равновесия необходимо осуществление дополнительного условия. Сначала рассмотрим устойчивость равновесия тела, полностью погруженного в жидкость. При погружении тела, изображенного на рис. 19.7, в жидкость в произвольном положении, в конце концов, оно принимает положение а, в котором центр инерции тела C лежит ниже геометрического центра А. Любое смещение из этого положения приводит к появлению пары сил (положение б), момент которой заставляет тело вернуться к положению а. Рис.19.7 рис.19.8 И так, равновесие полностью погруженного тела устойчиво, если его центр инерции лежит ниже геометрического центра. Равновесие плавающего тела, частично погруженного в жидкость, устойчиво, когда точка C расположена выше точки А. Причем, это есть необходимое, но недостаточное условие устойчивости равновесия. На рис. 19.8 изображены два различных положения равновесия деревянного бруска. Очевидно, что в обоих случаях центр инерции погруженной части расположен выше геометрического центра. Однако опыт показывает, что равновесие бруска наиболее устойчиво в положении a рис. 19.8. Стационарные течения. Уравнение Бернулли. 1.Если скалярные поля плотности и давления в произвольный момент времени характеризуются поверхностями постоянной плотности и давления, то поле скоростей в данный момент времени характеризуется линиями тока. Это линии, касательная к которым в любой их точке совпадает по направлению со скоростью частицы жидкости в этой точке (рис. 19.9). Если поле скоростей в жидкости не зависит от времени, то есть линии тока в ней не меняются с течением времени, то течение жидкости называется стационарным. В любой точке стационарного течения физические характеристики жидкости независимы от времени, то есть их локальные производные по времени равны нулю. Рис.19.9 В стационарном течении жидкости линии тока – это траектории частиц жидкости. Это следует из самого определения линий тока. Из однозначности поля скоростей следует, что линии тока не могут пересекаться друг с другом. Уравнение Эйлера для стационарных течений дает интеграл Бернулли. Предполагая, что линия тока известна, можем воспользоваться естественным методом описания движения материальной точки. Введя вектор ˆ , касательный линии тока, спроектируем на него уравнение Эйлера, то есть скалярно умножим уравнение Эйлера на вектор ˆ (рис. 19.9): ˆ dv ˆP ˆ g . dt (19.40) По причине движения частицы жидкости по линии тока ее скорость будет зависеть v ˆv t . Так что, воспользовавшись a ˆa nˆ an (лекция 1) и учитывая, что ˆ ˆ 1,ˆnˆ 0 , получим от дуговой координаты : dv dv v2 dv d v 2 ˆ nˆˆ v . dt dt R d d 2 формулой (19.41) Воспользовавшись также соотношениями ˆ p dp dz , ˆ g g cos g d d . (19.42) где dz – проекция перемещения ˆd на вертикальную ось z (рис. 19.9), и предполагая ρ=const, уравнение (19.40) представим следующим образом: d d v2 P gz 2 0 . (19.33) Из полученного уравнения следует, что выражение в скобках по линии тока остается неизменным: P gz v2 2 B где постоянная B (19.44) различна для разных линий тока. Уравнение (19.44) – это уравнение Бернулли для стационарного движения однородной жидкости. Значит, хотя величины , z, v могут меняться вдоль линии тока, величина (19.44) остается неизменной. В уравнении Бернулли все слагаемые имеют размерность давления. Причем, P – называется статическим давлением жидкости, динамическим давлением, а gz v2 / 2 – – весовым давлением. Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии частицы жидкости, движущейся по линии тока. 2. Для стационарных течений уравнение неразрывности также приводится к простому виду. Для его получения введем понятие «трубки тока». Выделим в жидкости произвольный замкнутый контур С и проведем линии тока, проходящие через него в данный момент времени (рис 19.10). В результате получим трубку тока. Поскольку пересечение линий тока исключается, то частицы, находящиеся в трубке тока, не могут ее покинуть. Точно также частицы, находящиеся вне трубки тока, не могут в нее проникнуть. Приняв трубку тока достаточно тонкой, можно считать, что во всех точках ее продольных сечений частицы жидкости имеют одинаковые скорости и плотность. В этом случае полный поток жидкости через замкнутую поверхность трубки тока, изображенного на рис. 19.10, будет равен Q vd vd vd 1 2 vd бок бок 1v1 cos 1 2 v2 cos 2 1v1 2 v2 v . (19.45) Рис.19.10 Здесь учтено, что 1 , 2 0 и что поток через боковую поверхность трубки тока отсутствует (Рис.19.10). Неразрывность стационарного течения требует, чтобы v const , или 1v11 2 v2 2 Q 0 , откуда . (19.46) Это и есть уравнение неразрывности для стационарного течения жидкости.