Глава 6. Двумерные случайные величины.

Глава 6. Двумерные случайные величины.
6.1. Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения.
Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами:
X 1 , X 2 ,..., X n . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно
охарактеризовать следующими случайными величинами: Х1 – температура, Х2 –
давление, Х3 – влажность воздуха, Х4 – скорость ветра.
В этом случае говорят о многомерной случайной величине X   X 1 , X 2 ,..., X n 
или о системе случайных величин X 1 , X 2 ,..., X n .
Рассмотрим двумерную случайную величину
 X ,Y  ,
возможные значения
которой есть пары чисел  x, y  . Геометрически двумерную случайную величину можно
истолковать как случайную точку на плоскости OXY .
 X ,Y 
– непрерывные, то  X , Y 
Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то
дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y
-
непрерывная двумерная случайная величина.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют
соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть
задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где Pij  P  X  xi , Y  y j  вероятность того, что составляющая Х
значение yj.
Таблица 6.1.1.
Y
y1 y2
X
x1
p11 p12
x2
p21 p22
…
… …
xi
pi1 pi2
…
… …
xn
pn1 pn2
Так как события
приняла значение xi, а составляющая Y –
…
yj
…
ym
…
…
…
…
…
…
p1j
p2j
…
pij
…
pnj
…
…
…
…
…
…
p1m
p2m
…
pim
…
pnm
 X  x Y  y  , i  1, n, j  1, m
i
j
, составляют полную
группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.
m
n
  pij  1 .
j 1 i 1
(6.1.1)
Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих
Х и Y.
Пример 6.1.1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано
распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.
1
Таблица 6.1.2.
Y
2
X
-1
3
4
5
7
0,11 0,13 0,23
0,1 0,12 0,09
0,11 0,08 0,03
Решение. Так как
P  X  1  P  X  1, Y  2  P  X  1, Y  5  P  X  1, Y  7  
 0,11  0,13  0, 23  0, 47 , то проводя суммирование по строкам таблицы 6.1.2 получим
распределение Х:
-1
3
4
0,47 0,31 0,22
Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:
2
5
7
0,32 0,33 0,35
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например Y  y j , то
полученное распределение величины Х называется условным распределением.
Аналогично определяется условное распределение Y.
Пример 6.1.2. По распределению двумерной случайной величины, заданной
табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии
Y  5 ; б) условный закон распределения Y при условии, что X  4 .
Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам


P xi y j 
pij
p Y  y j 
,


P y j xi 
pij
p  X  xi

.
(6.1.2)
Тогда
а) P  X  1 Y  5 
0,13
 0,394 ,
0,33
P  X  3 Y  5 
0,12
 0,364 ,
0,33
P  X  4 Y  5 
0, 08
 0, 242 .
0,33
Условный закон распределения Х при условии Y  5 имеет вид
-1
3
4
0,394 0,364 0,242
Контроль: 0,394  0,364  0, 242  1 .
б) Аналогично находим условный закон Y при условии X  4 .
2
5
7
0,5 0,364 0,136
Контроль: 0,5  0,364  0,136  1 .
2
Закон распределения двумерной случайной величины
 X , Y  можно
задать в
виде функции распределения F  x, y  , определяющей для каждой пары чисел
 x, y 
вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение,
меньшее y:
F  x, y   P  X  x, Y  y  .
(6.1.3)
Геометрически функция F  x, y  означает вероятность попадания случайной
точки  X , Y  в бесконечный квадрат с вершиной в точке M  x, y  (рис. 6.1.1).
y
M  x, y 
x
-
Рис. 6.1.1.
Отметим свойства F  x, y  .
1. Область значений функции F  x, y  - 0;1 , т.е. 0  F  x, y   1 .
2. Функция F  x, y  - неубывающая функция по каждому аргументу.
3. Имеют место предельные соотношения:
F  , y   0 ; F  x,    0 ; F  ,    0 ; F  ,    1
.
При y   функция распределения системы становится равной функции
распределения составляющей Х, т.е.
F  x,    F1  x  .
Аналогично, F  , y   F2  y  .
Зная F  x, y  , можно найти вероятность попадания случайной точки
 X ,Y  в
пределы прямоугольника ABCD (рис. 6.1.2).
y
B(x1,y2)
C(x2,y2)
A(x1,y1)
D(x2,y1)
x
Рис. 6.1.2.
3
А именно,
(6.1.3)
P  x1  X  x2  y1  Y  y2  = F  x2 , y2   F  x1 , y2   F  x2 , y1   F  x1 , y1  .
Пример 6.1.3. Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей
распределения
Y
X
-1
1
0
1
3
0,17 0,11 0,09
0,27 0,10 0,26
Найти функцию распределения F  x, y  .
Решение. Значение F  x, y  в случае дискретных составляющих Х и Y находится
суммированием всех вероятностей pij с индексами i и j, для которых xi  x , y j  y .
Тогда, если x  1 и y  0 , то F  x, y   0 (события  X  x и Y  y - невозможны).
Аналогично получаем:
если x  1 и y  0 , то F  x, y   0 ;
если 1  x  1 и y  0 , то F  x, y   0 ;
если 1  x  1 и 0  y  1 , то F  x, y   P  X  1, Y  0  0,17 ;
если 1  x  1 и 1  y  3 , то F  x, y   0,17  0,11  0, 28 ;
если 1  x  1 и y  3 , то F  x, y   0,17  0,11  0,09  0,37 ;
если x  1 и y  0 , то F  x, y   0 ;
если x  1 и 0  y  1 , то F  x, y   0,17  0, 27  0, 44 ;
если x  1 и 1  y  3 , то F  x, y   0,17  0,11  0, 27  0,10  0,65 ;
если x  1 и y  3 , то F  x, y   0,17  0,11  0,09  0, 27  0,10  0, 26  1 .
Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений F  x, y  :
при
y0
0  y 1
1 y  3
y3
x  1
1  x  1
x 1
0
0
0
0
0,17
0,44
0
0,28
0,65
0
0,37
1
Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности
вероятности
2 F
  x, y  
 F ''xy  x, y  .
xy
(6.1.4)
Геометрическая плотность вероятности   x, y  представляет собой поверхность
распределения в пространстве OXYZ (рис. 6.1.3).
4
Рис. 6.1.3
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
1.   x, y   0
2.




    x, y   1
3. Функция распределения F  x, y  может быть выражена через   x, y  по
формуле
F  x, y  
x
y
    x, y  dxdy .

(6.1.5)

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины  X , Y  в область D
равна
P   X , Y   D      x, y  dxdy .
(6.1.6)
D
5. В соответствии со свойством (4) функции F  x, y  имеют место формулы:
F1  x  
F2  y  
x




y


    x, y  dxdy
(6.1.7)
    x, y  dxdy
(6.1.7)

dF1
    x, y  dy
dx 
(6.1.8)
dF2 
2  y  
    x, y  dx
dy

(6.1.9)
1  x  
Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины
x
4 y

1  e 1  e  при x  0, y  0
F  x, y   
.

0 при x  0 или y  0
5
Найти: 1) двумерную плотность вероятности  X , Y  ; 2) вероятность попадания
случайной величины
 X ,Y 
в прямоугольник, ограниченный прямыми x  0 , x  4 ,
y  0 , y  1.
Решение. 1) Так как   x, y   Fxy , то дифференцируя F  x, y  сначала по x :
F 'x  e  x 1  e 4 y  , а затем по y : F ''xy  4e x e4 y , получим
4e x e4 y при x  0, y  0
.
 ( x, y)  
0 при x  0 или y  0
2)
Используя
формулу
(6.1.3)
и
рис.
6.1.4,

P  0  X  4  0  Y  1   F  4,1  F  0,1  F  4,0  F  0,0  1  e

4 2
получим
0  0 0 
 1  e4   0,964 .
2
y
(0,1)
(4,1)
(0,0)
(4,0)
Рис. 6.1.4.
По
аналогии
с
условными
вероятностями
х
вводятся
условные
распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины
законы
 X ,Y  , а
именно
  x y 
  x, y 
2  y 
(6.1.10)
условная плотность распределения Х при заданном значении Y  y ;
  y x 
  x, y 
1  x 
(6.1.11)
условная плотность распределения Y при заданном значении X  x .
Если случайные величины X и Y независимые, т.е. закон распределения каждой
из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина, то условные и
безусловные законы Х и Y совпадают. В частности,   x y   1  x  и   y x   2  y  .
Таким образом, для независимых составляющих Х и Y двумерная плотность
вероятности находится следующим образом
  x, y   1  x 2  y 
(6.1.12) и функция распределения F  x, y  имеет вид
F  x, y   F1  x  F2  y  .
(6.1.13)
6
Заметим, что если имеют место соотношения (6.1.12) или (6.1.13), то
составляющие Х и Y – независимые случайные величины.
Если составляющие Х и Y дискретной случайной величины – независимые
случайные величины, то
P  X  xi , Y  y j   Pi  Pj ,
(6.1.14) где Pi  P  X  xi  , Pj  P Y  y j  , i  1, n , j  1, m .
Пример 6.1.5. Законы плотности распределения независимых составляющих Х и
Y:
2 xe  x при x  0,

1  x   

0 при x  0
2 ye  y при y  0,

2  y   

0 при y  0
2
2
Найти: 1) плотность совместного распределения; 2) функцию распределения
системы  X , Y  .
Решение. 1) В силу независимости составляющих Х и Y плотность совместного
распределения
  x, y   1  x   2  y   2 xe  x  2 ye  y  4 xye  x
2
2
2
 y2
при x  0, y  0 и
  x, y   0 при x  0 или y  0 .
2) Найдем F1  x  и F2  y  .
x
F1  x  
x
x
x
 1  x  dx   2 xe dx  e
2

2
x
0
0
 1  e x .
2
Аналогично F2  y   1  e  y .
2

Тогда F  x, y   F1  x  F2  y   1  e x
2
1  e  при x  0 , y  0 ,
 y2
F  x, y   0 при x  0 или y  0 .
6.2. Числовые характеристики двумерной случайной величины.
При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые
характеристики составляющих:
M  X  , M Y  , D  X  , D Y  , где
m
n
M X  
 x
M Y  
m
j 1 i 1
i
pij  ax
j
pij  a y
n
 y
j 1 i 1
(6.2.1)
m n
D X  
 x
 ax  pij
D Y  
m n
 a y  pij
j 1 i 1
  y
j 1 i 1
i
2
2
j
для дискретных составляющих X и Y и
7
M X  
 
  x    x, y dxdy  a
x
 
M Y  
 
  y    x, y dxdy  a
y
 
(6.2.2)
D X  
 
  x  a 
2
x
   x, y dxdy
 
D Y  
 
  y a 
2
y
   x, y dxdy
 
в случае непрерывных составляющих.
 a , a  называют математическим
двумерной случайной величины, а  D , D  - ее дисперсия.
Упорядоченную пару чисел
x
y
x
Отмеченные
выше
ожиданием
y
числовые
характеристики
не
определяют
степень
зависимости составляющих X и Y. Эту роль выполняют корреляционный момент K xy
(иначе: ковариация cov  X , Y  ), который определяется следующим образом:
K xy  M
 x  a    y  a  .
x
y
(6.2.3)
Для дискретных случайных величин
K xy 
m n
  x
i
j 1 i 1
 ax  y j  a y  pij
(6.2.4)
Для непрерывных случайных величин
 
K xy 
   x  a  y  a   x, y  dxdy
x
y
(6.2.5)
 
Корреляционный момент можно вычислить по формуле (6.2.6)
K xy  M  X  Y   M  X   Y  .
(6.2.6)
Если Х и Y независимы, то K xy  0 . Если K xy  0 , то Х и Y зависимые случайные
величины.
В случае K xy  0 случайные величины X и Y называют некоррелированными,
при этом она могут быть как зависимыми, так и независимыми.
Ковариация X и Y характеризует не только степень зависимости случайных
величин, но и их рассеяние вокруг точки
a , a  .
x
y
Кроме того, K xy - размерная
величина, что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости для
различных случайных величин.
Для оценки зависимости вводится коэффициент корреляции
8
rxy 
K xy
,
 x y
(6.2.7) где  x и  y - среднеквадратические отклонения X и Y.
Коэффициент
корреляции
rxy
-
безразмерная
величина,
обладающая
следующими свойствами:
1. rxy - ограниченная величина, а именно 1  rxy  1.
2. Если X и Y – независимые случайные величины, то rxy  0 .
3. Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью Y  AX  B , то
rxy  1 и наоборот.
Из последнего свойства можно сделать вывод: коэффициент корреляции
характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y.
Пример 6.2.1. В урне содержится 4 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают 2
шара без возвращения. Пусть X – число извлеченных белых шаров, Y – число
извлеченных черных шаров. Составить закон совместного распределения двумерной
случайной величины  X , Y  и найти коэффициент корреляции rxy .
Решение. Как Х, так и Y могут принимать значения 0; 1; 2. Вычислим
соответствующие вероятности.
Pij  P  X  xi , Y  y j  , i  1, 2,3 , j  1, 2,3 .
X
1
2
0
0
0,4
1
0
8
15
0
2
1
15
0
0
Y
0
0
Очевидно, что P  X  0, Y  0  0 , P  X  1, Y  1  0
4 3
  0, 4 , P  X  0, Y  1  0
6 5
8
P  X  1, Y  1 
, P  X  2, Y  1  0
15
2 1 1
P  X  0, Y  2    
, P  X  1, Y  2  0
6 5 15
P  X  2, Y  0  
P  X  2, Y  2  0 .
Составим распределения X и Y.
X
0
1
2
pi
1
15
8
15
0,4
9
Y
0
pj 0,4
Найдем M  X   1 
Вычислим
1
2
8
15
1
15
8
4
 2  0, 04  ,
15
3
K xy 
3 3
  x
i
j 1 i 1
M Y   1 
8
1 2
 2  .
15
15 3
4 
2

 4
 ax  y j  a y   pij   2    0    0, 4  1   
3 
3
 3

4 
2 1
16
 2 8 
 1      0   2      .
3 
3  15
45
 3  15 
Вычислим D x и Dy .
Dx  M  X 2   M 2  X   1 
8
16 16
 4  0, 4 

15
9 45
8
1 4 16
Dy  M  Y 2   M 2  Y   1   4   
.
15
15 9 45
16

K xy
 15  1 .
Вычислим rxy 
16
Dx Dy
15
Следовательно, Х и Y связаны линейной зависимостью.
Пример 6.2.2. Плотность совместного распределения случайных величин Х и Y
задана формулой
3

c 1  xy  ,
  x, y   
 1  x  1,
1  y  1

0 в остальных случаях
.
Найти: 1) коэффициент с; 2) безусловные и условные плотности распределения
Х и Y; 3) M  X  , M Y  ; 4) ковариацию Х и Y.
1 1
3
  c 1  xy  dxdy  1 , то вычислив
Решение. Так как
1 1
1

y4 
 yx 
4 
1 
1
1
1
x
x

dx   1   1   dx = 2 x
4
4
1 
1 1
  1  xy  dydx 
3
1 1
1
 4 , получим 4c  1 и c  0, 25 .
1

xy 4 
0,
25
y

Найдем 1  x    0, 25 1  xy  dy 


4 

1
1
1
 0,5 и
3

x2 y3 
2  y    0, 25 1  xy  dx  0, 25  x 

2 

1
1
1
1
 0,5 .
3
1
Условный закон распределения Х
  x, y  0, 25 1  xy
  x y 

0,5
1  y 
3
  1 1  xy .


2
3
Аналогично,
10
  y x 
1
1  xy 3  .

2
Вычислим M  X  и M Y  .

1
1
M  X    x  1  x  dx   x  0,5dx  x 2
4

1
1
 0.
1
Аналогично M Y   0 .
1
1 1
1
1
1  xy 2 x 2 y 5 
Вычислим K xy    xy  1  xy 3  dxdy   

 dx  0, 2 .
4 1 1
4 1  2
5 
1
11