Основные теоретические сведения

Основные теоретические сведения
СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТЬ
Под испытанием (опытом, экспериментом) понимается выполнение
определенного комплекса условий S, в которых наблюдается то или иное
явление.
Событие – исход испытания. События обозначаются большими
латинскими буквами А, В, С, …
Достоверное событие () – обязательно должно произойти в результате
испытания.
Невозможное событие () – не может произойти в результате
испытания.
События называются несовместными, если наступление одного из них
исключает появление любого другого. В противном случае события
называются совместными.
События называются равновозможными, если в результате испытания
по условиям симметрии ни одно из них не является объективно более
возможным.
Несколько событий называются единственно возможными, если в
результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них.
Несколько событий образуют полную группу событий, если они
являются единственно возможными и несовместными исходами испытания.
Два события А и А , образующих полную группу называются
противоположными событиями.
Элементарными исходами (случаями, шансами) называются исходы
некоторого испытания, если они образуют полную группу и являются
равновозможными.
Классическое определение вероятности события
Вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов,
благоприятствующих появлению события А к общему числу элементарных
исходов:
P( A) 
m
.
n
Свойства вероятности события:
1) 0  P( A)  1 .
2) P()  1 .
3) P()  0 .
Практически невозможным называется такое событие, вероятность
которого очень мала (близка к нулю).
Практически достоверным называется такое событие, вероятность
которого достаточно большая (близка к единице).
Статистической вероятностью события А называется относительная
частота появления этого события в n произведенных испытаниях:
W ( A) 
m
,
n
где m – число испытаний, в которых появилось событие А.
Геометрическое определение вероятности
Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу
поставлена точка. Вероятность попадания точки на отрезок l определяется
равенством:
P ( A) 
длина l
длина L
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру
G наудачу брошена точка. Вероятность попадания этой точки на фигуру g
определяется равенством:
P ( A) 
площадь g
площадь G
Суммой событий А и В называется такое событие С = А + В, которое
означает наступление или А, или В, т.е. хотя бы одного из них.
Произведением событий А и В называется событие С = А  В, состоящее
в совместном наступлении события А и события В.
Разностью событий А и В называется событие С = А – В, состоящее в
наступлении события А и не наступлении события В.
Число размещений из n элементов по m равно:
Число перестановок из n элементов равно:
Число сочетаний из n элементов по m равно:
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Теорема сложения вероятностей событий
Для несовместных событий:
Для произвольных событий:
Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную
группу, равна единице.
Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице.
Вероятность события В, найденная при условии, что событие А
произошло, называется условной вероятностью события В.
Два события А и В называются независимыми, если появление одного
из них не меняет вероятности появления другого:
Теорема умножения вероятностей событий
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению
вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие уже наступило:
Формула полной вероятности
Если событие А может произойти только при появлении одного из
событий (гипотез) Н1, Н2, …, Hn образующих полную группу, то
Формула Байеса
Если произошло событие А, которое может появиться только с одной из
гипотез Н1, Н2, …, Hn образующих полную группу событий, то условные
вероятности гипотез определяются по формуле:
ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ
Повторные испытания – это последовательное проведение n раз
одного и того же опыта или одновременное проведение n одинаковых
опытов.
Последовательностью независимых испытаний (схемой Бернулли)
называют повторные испытания, удовлетворяющие следующим условиям:
1) в каждом испытании может появится только два исхода: наступит
некоторое событие А (успех), либо наступит его дополнение (неудача);
2) испытания являются независимыми, т.е. вероятность успеха в m-м
испытании не зависит от исходов всех испытаний до m-го;
3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна
(вероятность неудачи в каждом испытании обозначают q:
.
При рассмотрении схемы испытаний Бернулли основной задачей
является нахождение вероятности
– вероятность того, что в n
независимых испытаниях событие А наступит точно m раз (0 ≤ m ≤ n).
Формула Бернулли
,
где
,
.
Число
наступления события А в n независимых испытаниях
называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого
события
, по крайней мере, не меньше вероятности других событий
при любом m:
Формула Пуассона
Если число испытаний неограниченно увеличивается (
),
вероятность p наступления события А в каждом испытании неограниченно
уменьшается (
), но так, что их произведение np является постоянной
величиной (
– const), то:
На практике используется приближенное равенство:
,
когда вероятность
успеха мала, т.е. успех является редким
событием, а количество испытаний n – велико:
и
.
В тех случаях, когда число испытаний n – велико, а вероятность успеха
p – не близка к нулю (
), для вычисления
используют
теоремы Муавра-Лапласа.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Если вероятность p наступления события А в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний
достаточно велико (
,
,
), то имеет место
приближенное равенство:
– функция Гаусса (плотность стандартного нормального
распределения).
Приближенное равенство тем точнее, чем больше n. На практике
проверяется условие:
Свойства функции Гаусса:
1)
– функция четная:
;
2) при
,
– монотонно убывает;
3) при
,
(на практике считают, что при
,
).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Если вероятность p наступления события А в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний
достаточно велико (
,
,
), то имеет место
приближенное равенство:
где
– вероятность того, что событие А в n независимых
испытаниях наступит не менее  раз и не более  раз;
– функция Лапласа.
Приближенное равенство тем точнее, чем больше n. При
дает удовлетворительное приближение.
Свойства функции Лапласа
1)
– нечетная функция:
;
2)
– монотонно возрастающая функция;
3)
(на практике можно считать, что при
).
оно
,
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Под случайной величиной понимается переменная, которая в
результате испытания в зависимости от случая принимает одно из
возможного множества своих значений.
Случайная величина называется дискретной, если ее множество
значений конечное, или бесконечное, но счетное.
Случайная величина называется непрерывной, если она может
принимать любые значения из некоторого промежутка.
Законом распределения случайной величины называется всякое
соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями
случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Закон распределения для дискретной случайной величины может быть
задан в виде ряда распределения случайной величины – таблицы, в первой
строке которой в порядке возрастания указаны возможные значения
случайной величины, а во второй строке – соответствующие вероятности.
Х
P
…
…
При этом
– вероятность события
. Коротко закон
распределения дискретной случайной величины будет записывать в виде
.
Все события
образуют полную группу событий поэтому
Математические операции над случайными величинами
Две случайные величины X и Y называются независимыми, если
события
и
независимы для всех значения и .
Пусть закон распределения случайной величины Х имеет вид:
а закон распределения случайной величины Y имеет вид:
Произведением случайной величины Х на постоянную величину k
называется случайная величина Z, которая принимает значения
, i = 1,..,n с
теми же вероятностями :
m-й степенью случайной величины Х называется случайная величина
, которая принимает значения
с теми же вероятностями , i = 1,..,n:
Суммой случайных величин Х и Y называется случайная величина
Z = X + Y, принимающая все значения вида
с вероятностями
pij  P(( X  xi )  (Y  y j )) .
Разностью случайных величин Х и Y называется случайная величина
Z = X – Y, принимающая все значения вида
с вероятностями
pij  P(( X  xi )  (Y  y j )) .
Произведением случайных величин Х и Y называется случайная
величина Z = X  Y, принимающая все значения вида
с
вероятностями pij  P(( X  xi )  (Y  y j )) .
Если Х и Y – независимы, то pij  pi  q j .
Числовые характеристики дискретных случайных величин
Математическим ожиданием дискретной случайной величины
называется сумма произведений всех ее возможных значений на
соответствующие им вероятности:
Свойства математического ожидания:
1)
2)
3)
4)
если Х, Y – независимы.
5)
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание
квадрата ее отклонений от математического ожидания:
Дисперсия может быть рассчитана по формуле:
Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением)
случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:
Свойства дисперсии:
1)
2)
3)
если Х, Y – независимы.
Модой дискретной случайной величины называется возможное
значение
случайной
величины,
которое
имеет
наибольшую
соответствующую вероятность.
Медианой дискретной случайной величины называется возможное
значение случайной величины, слева и справа от которого в ряде
распределения случайной величины одинаковое число значений случайной
величины.
Интегральная и дифференциальная функции распределения
случайной величины
Функцией распределения случайной величины (интегральной)
называют функцию, определяющую для каждого значения х вероятность
того, что случайная величина Х примет значение меньшее, чем х:
Свойства функции распределения
1)
2)
– монотонно не убывает: если
, то
.
3)
4)
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция
распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме,
может быть отдельных точек.
Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной
величины равна нулю:
Для непрерывной случайной величины справедливо равенство:
Плотностью
вероятности
(дифференциальной
функцией
распределения) непрерывной случайной величины называется производная
ее функции распределения:
Для непрерывной случайной величины справедливо равенство:
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть
выражена через плотность вероятности по формуле:
Свойства дифференциальной функции распределения:
1)
2)
Числовые характеристики непрерывных случайных величин:
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Равномерный закон распределения
Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон
распределения на отрезке [a; b], если ее плотность вероятности (х)
постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его.
Плотность вероятности и функция распределения
распределенной случайной величины имеют вид:
0, x  a
 1

 ( x)  
,a xb
b

a

0, x  b
Числовые
величины:
характеристики
равномерно
0, x  a
x a

F ( x)  
,a xb
b

a

1, x  b
равномерно-распределенной
случайной
Случайная величина Х равномерно распределенная на отрезке [0; 1]
называется случайным числом от 0 до 1.
Нормальный закон распределения
Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон
распределения, с параметрами a и , если ее плотность вероятности имеет
вид:
Обозначение:
Если
, то
Функция распределения
величины имеет вид:
.
нормально
распределенной
Нормальное распределение с параметрами
стандартным:
.
Если
, то
случайной
называется
.
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины
на заданный участок: