§1События и операции над ними

§1События и операции над ними
Теория вероятностей – это раздел математики, в котором изучаются теоретические
модели опытов со случайными исходами. Эти опыты полностью характеризуются наборами всех возможных их исходов
1 ,  2 , ... ,  n . Понятие исхода опыта является
первичными и не определяется. Множество всех исходов данного опыта мы будем обозначать буквой  :   {1 , 2 , ... , n }.
Определение1. Любое подмножество множества  называется событием.
Само множество  при этом называется достоверным событием и его пустое подмножество  называется невозможным событием.
Если исход  принадлежи событию А, то мы будем говорить также, что исход
 благоприятствует событию А. Согласно данному определению все исходы  i являются
элементарными событиями, а все множество -  пространством элементарных событий.
Пример 1. При бросании монеты возможны 2 элементарных исходов (событий):
1 - выпадение орла
2 - выпадение решки,
т.е. пространство элементарных событий   {1 , 2 }
Пример 2. При бросании игральной кости возможны следующие элементарные исходы: 1 - выпадение 1 очка, 2 - выпадение 2 очков,  i - выпадение i-очков, 6 - выпадение 6 очков. Т.е. пространство элементарных событий   {1 ,  2 , ... , 6 } . Событие А,
состоящее в выпадении четного числа очков есть A  { 2 ,  4 , 6 } .
Определение 2. Событие А влечет за собой событие В, если всякий исход, принадлежащий событию А, принадлежит и событию В и пишут A  B .
Определение 3. Два события А и В называются равными, если они состоят из одних
и тех же исходов. А=В.
Определение 4. Событие A , состоящее из всех исходов  , не принадлежащих событию А, называется противоположным событию А.
Определение 5. Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее из исходов  принадлежащих либо событию А либо событию В, обозначается таким образом:
A B  A B.
Определение 6. Разностью двух событий А и В называется событие, состоящее из
всех исходов принадлежащих событию А и не принадлежащих событию В. A \ B = А – В.
Определение 7. Произведением двух событий А и В называется событие, состоящее
из исходов принадлежащих и событию А и событию В одновременно, обозначается таким
образом: A  B  AB .
Определение 8. Два события А и В называются несовместными, если они не имеют
общих исходов, т.е. A  B  
Введенные операции обладают следующими свойствами:
1. A  B  B  A - переместительный закон,
A B  B  A -
2.
 A  B  C  A  ( B  C)
 A  B  C  A  ( B  C)
3. A    A
A  
A\  A
A\ A  
4. А  А
А А  
А А  
\ А А
А А  А
А А  А
А  А
А  
А B  A B
A B  A B
5. A  B  C    A  B   A  C 
A  B  C    A  B   A  C 
Система событий H 1 , H 2 ,..., H n называется полной группой событий, если она осуществляет разбиение пространства  на попарно непересекающиеся события, удовлетворяющие следующим условиям:
1) H i  H j   при i  j ;
2) H 1  H 2  ...  H n   .
Пусть   {1 ,  2 , ... , 6 } - пространство элементарных событий, соответствующее
эксперименту с однократным подбрасыванием игральной кости. Тогда оно может быть
разбито, например, на следующие полные группы событий:
1) {1 , 3 ,  6 } {2 , 4 , 6 }
2) {1 , 5 } { 2 } {3 ,  4 , 6 }
§ 2. Определение вероятности
Определение 1. Числовая функция P( ) , определенная на пространстве элементарных событий   {1 , 2 , ... , n } называется вероятностью, если удовлетворяет следующим
условиям:
1) 0  P(i )  1 , для всех  i  
n
2)
 P( )  1.
i 1
i
Множество  с определенной на ней вероятностью P(i ) называется вероятностным пространством.
Определение 2. Вероятностью события A   называется число, равное сумме вероятностей всех исходов, принадлежащих событию А: P(A) =  P(i ) .
i A
§ 3. Классическое определение вероятности
В предыдущих примерах мы определяли вероятности событий, основываясь на интуитивном понятии равновозможности всех мыслимых исходов данного эксперимента.
Эту схему можно распространять на случай любого конечного пространства равновозможных элементарных событий.
Действительно, пусть имеется вероятностное пространство   {1 , 2 , ... , n }, состоящее из n равновозможных исходов  i :
p(1 )  p( 2 )  ...  p(n )  p .
n
Тогда в силу определения вероятности имеем
 p( )  np  1 , откуда получаем
i 1
i
p
1
.
n
Следовательно, вероятность события А, состоящего из m исходов, будет равна
P(A) =  P(i )  mp 
i A
m
.
n
(1)
т.е. вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому
событию, к общему числу исходов, если все исходы равновозможны.
Пример. В двух урнах находятся белые и черные шары, причем в одной из них находится
6 белых и 10 черных, а в другой – 12 белых и 6 черных шаров. Из обеих урн наугад извлекаются по одному шару. Найти вероятности следующих событий:
А={оба шара белые}; В={оба шара черные}; С={один шар белый, а другой черный}.
Пространство элементарных событий  , соответствующее данному эксперименту,
состоит из всевозможных пар (k, l), где k=1,....16, l=1,…18. Общее число таких пар равно
kl = 16∙18=288. Количество пар, благоприятствующих событиям А, В и С равны соответственно: mA=6∙12 = 72; mB=10∙6 = 60; mC = 6∙6+10∙12=156.
Следовательно, согласно формуле (1) получаем: P(A) =
P(С) =
72
60
; P(В) =
;
288
288
156
.
288
§ 4. Основные свойства вероятностей
n
1. Вероятность достоверного события равна 1. P ()   p ( i )  1 .
i 1
2. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.
P A  B  P A  PB.




В самом деле, пусть А   1 ,  2 , ...  k , B   1 ,  2 , . . .  t .


Так как А  B   (или A  B   ), то A  B   1 ,  2 , ...  k ,  1 ,  2 , . . .  t и, следовательно,
   
P  A   1  P A  .
 
   
 
P A  B   p  1  p  2  ...  p  k  p  1  p  2  . . .  p  t  P A  PB  .
3.
Действительно, т.к. A  A   и A  A   , то в силу предыдущего свойства

P   P A  P A  1 , откуда получаем требуемое.
4. Если
B  A , то вероятность разности
A  B равна разности вероятностей:
P A  B  P A  P(B)
Действительно, если B  A , то A  B   А  B , причем B   A  B   . Следовательно
по
теореме
сложения
вероятностей
имеем
P A  PB   А  B  PB  P A  B  P A  B   P A  PB  .
5. Для произвольных событий A и B имеет место формула P( A  B)  P( A)  P( A  B) .
Так как A   A  B   A  B и события  A B и  A B  не пересекаются, то в силу
теоремы
сложения
вероятностей
P A  P A  B  P A  B и,
следовательно,
P A  B  P A  P A  B .
6. Для любых событий A и B справедлива формула:
P A  B  P A  PB  P A  B .
(1)
Поскольку A  B  A  B  А и события A и B  А не пересекаются, то в силу
свойств 2 и 5 имеем P A  B  P A  B  А  P A  PB  P A  B.
7. Если B  A , то PB  P A .
Это неравенство непосредственно вытекает из свойства 4.
8. Для любых событий A и B имеет место неравенство P A  B  P A  PB
Данное соотношение сразу же следует из cвойства 6.
Заметим, что формула (1) обобщается на случай суммы любого конечного числа событий. Для простоты мы ограничимся лишь случаем суммы трех событий:
P A  B  С   P A  PВ  PC   P A  B  P A  C   P( B  C)  P A  B  C  (2).
Аналогичная формула имеет место и для вероятности произведения трех событий:
P A  B  С   P A  PВ  PC   P A  B  P A  C   P( B  C)  P A  B  C 
Пример1. Игральная кость подбрасывается три раза. Найти вероятность того, что хотя бы
в одном испытании выпадет четное число очков.
Обозначим через A , B и C соответственно события.
A ={в первом испытании выпадет четное число очков};
B ={во втором испытании выпадет четное число очков};
C ={в третьем испытании выпадет четное число очков}.
Требуется найти вероятность события A  B  С . Воспользуемся формулой (2). Так как
P A  PB   PC  
3  62 1
 ,
2
63
P  A  B   P  A  C   P B  C  
P A  B  C  
32  6 1
 ,
4
63
1
3 1 7
33 1
 , то P A  B  С    3    .
3
2
4 8 8
4
6
Пример 2. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени одним
стрелком равна 0,6, другим 0,7 и третьим – 0,8. Какова вероятность поражения мишени
тремя стрелками?
Обозначим H i  {i-й стрелок поразил мишень}, i=1, 2, 3.
Согласно формуле (2)
P H 1  H 2  H 3   P H 1   P H 2   P H 3   P H 1 H 2   P H 1 H 3   P H 2 H 3   P H 1 H 2 H 3  
 0,6  0,7  0,8  0,6  0,7  0,6  0,8  0,7  0,8  0,6  0,7  0,8.
§5 Условная вероятность события
Пусть , p  - вероятностное пространство (дискретное) и B произвольное событие из  ,
удовлетворяющее условию PB  0 . Определим на  функцию PB   следующим обра-
 p 
, если   B

зом: PB     P 
.

0, если   B

Легко убедиться, что функция PB   является вероятностью на пространстве  . Действительно, первое условие определение вероятности – условие неотрицательности, очевидно,
p 
1

  p   1 , то и второе условие
PB  B
B PB 
выполняется. Далее, поскольку  PB    

определения вероятности у нас выполняется.
Определение 1. Функция PB   называется условной вероятностью на  , индуцированной событием В.
Определение 2. Условной вероятностью события A   относительно события B  
называется число P A | B   PB  A   PB   .
A
Основные свойства условной вероятности:
1. PB  A  P A | B  
P AB 
.
P B 
Действительно, так как PB    0 при   B , то
P A | B    PB   
A
p 
 P     PB   PB    p   PB 

AB
B
AB
1
P( AB)
.
AB
2. PB | B  1 .
3. P A1  A2 | B  P A1 | B  P A2 | B  P A1  A2 | B .


4. P A | B  1  P A | B 
Предположим, что элементарные события i   равновозможны. Тогда в силу свойства1. P A | B  
P( AB) mAB mB mAB

:

. Отсюда следует, что условная вероятность
P B 
n
n
mB
P A | B представляет собой вероятность события A , вычисленную при дополнительном
предположении, что произойдет событие В.
Примет 1. Брошены две игральные кости. Требуется определить вероятность того,
что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие А), если известно, что эта сумма есть
четное число (событие В).
Число всех исходов равно 36. Число исходов, благоприятствующих событию А равно 5. Так как i+j=8 удовлетворяется при i=2, 3, 4, 5, 6 и j=6, 5, 4, 3, 2. Следовательно, вероятность события А равна P  A 
5
. Вычислим теперь вероятность P A | B . Так как чис36
ло исходов (i, j) с четной суммой i+j=18, то P  A | B  
5
.
18
Пример 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти вероятность
того, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.
Обозначим A1  {первоначально был вынут туз},
A2  {вторая карта является тузом}.
P A2 | A1  
3
.
35
Пример 3. Вероятность попасть в самолет равна 0,4, а вероятность его сбить равна
0,1. Найти вероятность того, что при попадении в самолет он будет сбит.
Обозначим A  {попадение в самолет},
B  {самолет сбит }.
Тогда,
P  B | A 
так
как
B  A,
то
A B  B.
Следовательно,
P( AB) P( B) 0,1 1


 .
P  A
P A 0,4 4
Теорема умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность произведения двух событий А и В равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность другого, при условии, что первое
произошло:
P AB  PBP A | B  P APB | A .
Эта теорема непосредственно вытекает из свойства 1 условной вероятности.
Определение 2. Событие А независимо от события В, если P A | B  P A .
Если А независимо от события В, то В независимо от А, и, следовательно, свойство
независимости событий взаимно. Действительно, А независимо от В. Тогда
P  B | A 
P( AB) P( B) P( A | B) P( B) P( A)


 P( B) , т.е. В независимо от А.
P  A
P  A
P  A
Пусть события А и В независимы, тогда в силу формулы (1) имеем.
P A  B  P A  PB , т.е. вероятность произведения двух независимых событий равна
произведению их вероятностей.
Свойства независимых событий
1º. Если события А и В независимы, то P A  B  P A  PB , обратно, если Если А и
В удовлетворяют условию P A  B  P A  PB и PB  0 , то А не зависит от В.
2º. Если А и В независимы, то независимы события A и В, B и Аи A и B .


3º. Если PB | A = P B | A , то А и В независимы и наоборот.
Определение
3.
События
А
и
В
называются
независимыми,
если
попарно
независимыми,
если
P A  B  P A  PB .
События
A1 , ..., Ak
(k≥2)
называются
PAi  B j   P Ai   PB j  , при i  j.
Определение 4. События A1 , A2 , ..., Ak (k≥2) называются независимыми в совокупности,
если
для
любой
последовательности
событий
имеет
место
равенство
P Ai1 , Ai 2 , ..., Aik   P Ai1  P Ai 2  ...P Aik .
Формула умножения вероятностей для нескольких событий
Для любой последовательности событий
A1 , A2 , ..., Ak
P A1 , A2 , ..., Ak   P A1  P A2 | A1  P A3 | A1 A2 ...P Ak | A1 A2 ... Ak 1 
справедлива формула
при
условии,
что
P A1 , A2 , ..., Ak 1  .
Пример. Из колоды карт последовательно без возвращения вытаскиваются 3 карты.
Какова вероятность того, что все три карты тузы.
Обозначим
А={первая карта туз},
B={вторая карта туз},
С={третья карта туз}.
Тогда P A  B  C   P A  PB | A  PC | AB  
4 3 2
1
 

.
36 35 34 1785
§6. Формула полной вероятности и формула Байеса
Теорема 1. Пусть H 1 , H 2 ,..., H n полная группа событий из  . Тогда для  события
A   имеет место формула, называемая формулой вероятности:
k
P  A   P H i   P  A | H i  .
i 1
A  AH1  AH 2  ...  AH k и события AH i и AH j не пере-
Доказательство. Так как
секаются при i  j , то
P A  P AH1  AH 2  ...  AH k   PH1 P A | H1   ...  PH k P A | H k  .
Пример 1. На продажу в магазин поступили однотипные изделия с двух заводов А и
В. С завода А поступило 200 изделий, с завода В 800 изделий. При этом 50% изделий, доставленных с завода А, изготовлены в одном из цехов этого завода, 30% в другом и 20 % в
третьем. Брак составляет соответственно 1,5%, 2% и 2,5%. Аналогично, 60% изделий, поступивших с завода В, изготовлено в одном цехе, а 40% - в другом. Брак составляет соответственно 1,5%, 2%. Какова вероятность того, что наугад выбранное изделие является
дефектным?
Решение:
Обозначим Аi  {выбранное изделие принадлежит i-му цеху завода В}, i=1, 2, 3.
B j  {выбранное изделие принадлежит j-му цеху завода В}, j=1, 2.
События А1 , А2 , А3 , B1 , B2 образуют полную группу.
3
2
i 1
j 1
Следовательно, P A   P( Ai )P( A | Ai )   P( B j )P( A | B j ) ,
где А ={выбранное изделие является дефектным}. Найдем вероятности, входящие в
данную формулу.
P( А1 ) 
0,5  200
0,3  200
0,2  200
 0,1 ; P( А2 ) 
 0,06 ; P( А3 ) 
 0,04 ;
1000
1000
1000
P ( B1 ) 
0,6  800
0,4  800
 0,48 ; P ( B1 ) 
 0,32 .
1000
1000
P( A | A1 ) 
1,5
2
2,5
 0,015 ; P( A | A2 ) 
 0,02 ; P ( A | A3 ) 
 0,025 ;
100
100
100
P( A | B1 ) 
1,5
2
 0,015 ; P( A | B2 ) 
 0,02 .
100
100
Следовательно
P A  0,1 0,015  0,06  0,02  0,04  0,025  0,48  0,015  0,32  0,02  0,0173 .
Пример 2. Из колоды карт последовательно без возвращения вытаскивается 3 карты. Какова вероятность того, что 3-я карта будет тузом, если известно, что первая карта
является тузом.
Обозначим H1  {вторая карта туз}, H 2  {вторая карта не туз}.
Тогда P A  PH1 P A | H1   PH 2 P A | H 2  .
P H 1  
3
32
2
3
; P H 2  
; P A | H 1  
; P A | H 2  
.
35
35
34
34
Следовательно,
P A  PH 1 P A | H 1   PH 2 P A | H 2  
3 2 32 3
3
3  34
3
 


(2  32) 

.
35 34 35 34 35  34
35  34 35
Теорема 2. Пусть H 1 , H 2 ,..., H n образуют полную группу событий из  . Тогда имеет
место формула Байеса:
P  H i | A 
P H i   P  A | H i 
k
 P H   P  A | H 
i 1
i
, i=1,..,k.
i
Пример 1. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному выстрелу по общей мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8, а для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что эта пробоина принадлежит первому стрелку?
Обозначим H1  {первый стрелок попадет в мишень }, H 2  {второй стрелок попадет в
мишень}, А={в мишени будет обнаружена одна пробоина}.
Имеем, PH 1 | A 
Так
P H 1   P  A | H 1 
.
P  A
как
A  H1  H 2  H 1 H 2 ,
то
P A  P( H 1  H 2 )  P( H 1 H 2 )  P( H 1 ) P(H 2 )  P( H 1 ) P( H 2 )  0,8  0,6  0,2  0,4  0,56
Следовательно с учетом того, что P( H1 )  0,8 и P( A | H 1 )  P( H 2 )  0,6 получаем
P  H 1 | A 
0,8  0,6
0,4  0,2
 0,857 ; PH 2 | A 
 0,143 .
0,56
0,56
Пример 2.
Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру равна 0,6, к 2-му – 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет призвана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым -0,98. Годная деталь при проверке была признана
стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим H1  {деталь проверил первый контролер}, H 2  { деталь проверил
второй контролер}, А={деталь признана стандартной}.
PH1 | A 
PH 1 P A | H 1 
0,6  0,94

 0,59 .
PH1 P A | H 1   PH 2 P A | H 2  0,6  0,94  0,4  0,98
§ 7. Геометрическая вероятность
Пусть  - некоторое множество на числовой прямой (на плоскости или в пространстве), имеющее конечную длину (площадь или объем)  ()  0 .
Рассмотрим все возможные подмножества S   , имеющие конечную длину (площадь или объем). Ясно, такие подмножества образуют алгебру событий. Введем на этой
алгебре вероятность по формуле P( S ) 
 (S )
. Эта вероятность носит название геометри ()
ческой вероятности и представляет собой вероятность попадания брошенной наугад точки
в фигуру S при условии, что эта точка обязательно попадет в  .
S
Ω
Пример. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода
обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если
время стоянки обоих пароходов – 2 часа.
Решение. Пусть х и y время прихода пароходов к причалу. Тогда встреча состоится
тогда и только тогда, когда x  y  2 .
T
24
Ω
S
2
2
24
 (S ) 24  24  (24  2) 2 24 2  22 2 23
P( S ) 



 0,16 .
 ()
24  24
144
24 2