КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
ВАРИАНТ N
Для получения «3» необходимо набрать 7-9,5 баллов, «4» - 10-12 баллов, «5» - 12,5-14 баллов.
1. Сколькими способами можно выбрать 3 различных краски из пяти? Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из материи пяти различных цветов? (1б.)
2. Сформулируйте теорему о произведении событий (для случая зависимых и независимых событий).
Определите вероятность того, что при последовательном извлечении двух шаров из коробки, содержащей 8
белых и 12 черных шаров, будут вытащены черные шары.(1,5б)
3. Два стрелка, для которых вероятности попадания в мишень равны 0,7 и 0,9 соответственно, выполнили
по два выстрела. Какова вероятность того, что в мишени будут: а)три пробоины; б)хотя бы три пробоины? (2б.)
4. Телевизоры, изготовленные на трех заводах, поступают в магазин (с первого завода- 40%, со второго
25%, с третьего 35%). Вероятность наличия скрытого дефекта в продукции первого завода равна 0,15; второго
0,08; третьего 0,05. Какова вероятность, что покупателю достался бракованный телевизор. Какова вероятность,
что он был выпущен на втором заводе? (2б)
5. Игральная кость брошена 7 раз подряд. Найти вероятность того, что число «5» выпадет: а) 5раз; б) не
менее 1 раза. (1,5 б.).
6. Найти вероятность того, что событие А наступит 600 раз в 700 испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании равна 7/8. Какова вероятность, что это событие наступит не менее 600 раз в 700 испытаниях? (2б.)
7 Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки. (2б)
8. При производстве прибора вероятность брака составляет 0,2. В этом случае предприятие терпит убыток в 5 000 рублей. При изготовлении стандартного прибора прибыль предприятия равно 12 000 рублей. За
день изготавливаются два изделия. Составить закон распределения случайной величины - дневной прибыли
предприятия. (2б).
ВАРИАНТ N
Для получения «3» необходимо набрать 7-9,5 баллов, «4» - 10-12 баллов, «5» - 12,5-14 баллов.
1. Дайте определения классической вероятности, перечислите свойства. Брошены две игральных кости.
Какова вероятность того, что суммарное число выпавших очков не превосходит 4? (1,5 б.)
2.На 10 карточках написаны буквы А, А, А, Б, В, О, К, Н, Т, С, С. После тщательного перемешивания берут по одной карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что из 6 открытых карточек
получится слово «СТАКАН»? (1б.)
3. На автомобиле установлены три прибора охранной сигнализации. Вероятности их срабатывания равны, соответственно, 0,65, 0,8, 0,75. Какова вероятность того, что при попытке угона сработал один из приборов? Хотя бы один из приборов? (2б.)
4. В одном ящике лежат 6 зеленых и 4 белых шара, в другом 8 зеленых и 3 белых, в третьем 9 зеленых и 3
белых. Из произвольной урны извлекается один шар. Определить вероятность того, что он зеленый. Из какой
урны он, вероятнее всего, извлечен? (2б)
5. Вероятность угадать ответ на вопрос теста равна 1/4. В тесте 15 вопросов. Какова вероятность, что вы
ответили правильно на 10 из них? Не менее чем на 1 из них? (1,5 б)
6. Найти вероятность того, что событие А наступит 74 раза в 100 испытаниях, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,9. Более 74 раз? (2 б.)
7. Вероятность появления события в одном испытании 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при
котором с вероятностью 0,95 можно утверждать, что относительная частота появления события отклонится от
его вероятности по модулю не более чем на 0,04. (2 б)
8. В партии из 6 деталей 4 стандартных. Наудачу отобраны 2 детали. Составить закон распределения
случайной величины X – числа стандартных деталей из выбранных. (2 б)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ
1. Дискретные случайные величины: построение многоугольника распределения, нахождение функции распределения, вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения (по
заданному закону распределения).
2. Непрерывные случайные величины: нахождение плотности распределения вероятности по функции распределения и функции распределения по плотности распределения вероятности, построение их графиков; применение основного свойства плотности вероятности (определение ее числового параметра); вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения; определение вероятности попадания
значения случайной величины в заданный интервал.
3. Применение свойств математического ожидания и дисперсии дискр. и непрерывных случайных величин.
4. Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия, вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал
– знать и уметь применять).
5. Экспоненциальное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения,
математическое ожидание и дисперсия, вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал – знать и уметь применять).
6. Нормальное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия, – знать и уметь применять).
7. Вероятность попадания нормально распределенной НСВ в числовой интервал, вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ по модулю меньше заданного числа
8. Применение неравенства Чебышева и вспомогательных неравенства, оценка вероятности того, что
случайная величина отклонится от своего ожидания менее чем на заданную положительную величину и не
менее чем на заданную положительную величину, проверка условий теоремы Чебышева, применение теоремы Бернулли.
9. Уметь формулировать основные результаты: свойства плотности распределения и функции распределения, математического ожидания и дисперсии, правило трех сигм, неравенство Чебышева, теорема Чебышева (с замечаниями и вспомогательными неравенствами), теорема Бернулли, центральная предельная
теорема
Вариант № 1
Оценка «3» - 5,5-8 баллов, «4» - 8,5-10,5 баллов, «5» - 11-12 баллов
1. Дискретная случайная величина задана табличным законом распределения. Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение (2 балла)
2. Непрерывные (независимые) случайные величины X и Y заданы своими функциями распределения. Найти плотности распределений, математические ожидания и M(2X-XY+Y). (2 балла)
X
P
-1
0,3
1
0,5
3
4
0,1
 0, y  0
 0, x  0


F ( x)   x / 4, 0  x  4 , G ( y )   y 2 / 4, 0  y  2
 1, y  2
 1, x  4


3. Плотность распределения вероятности непрерывной случайной величины X имеет p( x)  C sin 2 x в интервале (0,/2 ) и равна нулю вне этого интервала. Найдите постоянный параметр C и вероятность того, что
выполняется неравенство /6<Х</3 (2 балла)
4. Цена деления шкалы амперметра равна 0,2(А). Показания округляют до ближайшего целого деления. Записать плотность и функцию распределения равномерно распределенной случайной величины Х – возможной
ошибки округления. Найти среднее значение возможной ошибки и вероятность того, что будет сделана ошибка, большая, чем 0, 05.(2 балла)
5. Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием 20 и средним квадратическим отклонением 5. Записать плотность распределения, найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9872 попадают значения X (2 балла)
6. Сформулируйте теорему Чебышёва. Выполняются ли ее условия для последовательности независимых случайных величин X1,
Xn
1
-1
P n/(2n+1) (n+1)/(2n+1)
X2,…Xn, …, заданных законом распределения (2 балла)
Вариант № 2
Оценка «3» - 5,5-8 баллов, «4» - 8,5-10,5 баллов, «5» - 11-12 баллов
1. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. (2,5 балла)
 0, x  0

f ( x)  3 x 2 , 0  x  1
 0, x  1

2. Независимые дискретные случайные величины X и Y заданы табличными законами распределения. Найти
их дисперсии и D( 3X-4Y). (2 балла)
X
P
1
0,3
2
0,2
3
0,5
Y
Q
-1
0,4
0
0,3
2
0,3
0, x  0

3 2
3. Непрерывная случайная величина задана функцией распределения F ( x)   ( x  2 x), x  (0,1) . Опр
4
1, x  1

еделите значение параметра C и найдите вероятность того, что значения случайной величины лежат в интервале (1 / 3, 1 / 2) . (2 балла)
4. Плотность вероятности экспоненциально распределенной случайной величины X f ( x)  2e x ( x  0) .
Выписать значение параметра , математическое ожидание и дисперсию X. Какова вероятность того, что X
отклонится от своего среднего значения меньше, чем на 1/2 по абсолютной величине? (2 балла)
5. Случайная величина X – длина детали – распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (проектная длина) 5см. Фактически все изготовленные детали имеют длину от 3,2 до 6, 8 см. Определите
среднее квадратическое отклонение, запишите плотность распределения и найдите вероятность того, что длина
произвольно взятой детали больше 5,5 см. (2 балла)
6. Вероятность изготовления бракованной детали 0,04. Воспользовавшись следствием теоремы Бернулли,
определите, сколько деталей надо взять для проверки, чтобы с вероятностью 0,88 можно было утверждать, что
относительная частота бракованных деталей среди них будет отличаться от вероятности изготовления брака на
величину, по модулю не превосходящую 0,02. (1,5 балла)
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Вариант № 1
Оценка «3», если набрано от 4,5 до 6,5 баллов, оценка «4» от 7 до 8,5 баллов, оценка «5» -от 9 до 10 баллов.
1. Для интервального вариационного ряда найдите выборочное среднее
и постройте гистограмму частот (1,5 балла)
xi 1-5
ni 8
2. Случайная величина X подчинена равномерному закону распределения
на [a,b]. Оцените параметры распределения по данной выборке и запишите плотность распределения f(x) (2,5 балла)
xi
1
2
5
6
ni
15
7
5
3
5-9
10
9-13
15
13-17
7
3. Найдите с надежностью 0,8 доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально
распределенной случайной величины Х, если известна дисперсия D(X)=25, а для выборки объема 25 выборочное среднее равно 20. При каком минимальном объеме проверенной партии и той же надежности доверительный интервал будет иметь вид (19,21)? (2 балла)
4. Средний диаметр подшипников должен составлять 35 мм. Но для выборки из 82 подшипников он составил
35,3 мм при выборочной дисперсии 0,098мм. При 1%-м уровне значимости проверьте гипотезу о том, что станок, на котором изготавливают подшипники, не требует подналадки. (2 балла)
5. Найдите среднее выборочное для заданного вариационного
xi 3140 3150 3180
ряда (2 балла)
ni
12
6
12
Вариант № 2
Оценка «3», если набрано от 4,5 до 6,5 баллов, оценка «4» от 7 до 8,5 баллов, оценка «5» -от 9 до 10 баллов.
1. Для предложенной выборки найдите среднее выборочное и
выборочную дисперсию, постройте полигон частот (2 балла)
xi
ni
1
12
3
5
6
3
10
10
2 Случайная величина X подчинена закону распределения Пуассона. Оцените параметр распределения по данной выборке и запишите закон распределения (2 балла)
xi
1
4
6
8
ni
10
3
2
5
3. По данным 16 независимых измерений длины детали найдены среднее арифметическое результатов измерения (42,8 см) и выборочная дисперсия (7,5 см). Оцените длину детали с надежностью 0,999. При каком минимальном количестве проверенных деталей и той же надежности доверительный интервал будет иметь вид (40;
45,61)?
(2,5 балла)
4. Средний вес таблетки должен быть равен 0,5 мг. Выборочная проверка 121 таблетки показала, что средний
вес таблеток в этой партии 0,53мг. Опытным путем доказано, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением 0,11мг. При уровне значимости 0,01 проверьте гипотезу о правильном среднем весе таблетки (для альтернативной учтите результаты проверки).(1,5 балла)
5. Найдите среднее выборочное и выборочную дисперсию для
заданного вариационного ряда (2 балла)
xi
ni
0,1
16
0,5
11
0,7
11
0,9
2