1-2Случайные события 3-71

ВВЕДЕНИЕ
Настоящее учебное пособие достаточно полно освещает основные
положения теории вероятностей в соответствии с программой
дисциплины «Теория вероятностей» и Государственного стандарта по
специальности «Математические методы в экономике». Оно может
быть использовано при изучении раздела «Теория вероятностей»
дисциплины «Высшая математика» студентами всех специальностей
вуза. Поэтому большинство примеров и задач
имеют социальноэкономическую направленность. С этой же целью в пособии излагается
материал, показывающий связь теории вероятностей и математической
статистики с конкретными экономическими приложениями.
Изложение ведется от частного к общему, от простого к сложному.
Это создает возможности для ведения индивидуального преподавания, а
также позволяет использовать основной материал для разных
экономических специальностей, а более сложный — для студентов
специальности «Математические методы в экономике». Каждый
преподаватель, основываясь на программе конкретной специальности,
определяет, какой материал следует давать более подробно, а какой —
менее подробно, или вообще опустить, или рекомендовать к
самостоятельному изучению.
Пособие включает в себя основы теории вероятностей: случайные
события и их вероятности; случайные величины, их распределения и
числовые характеристики; важнейшие предельные теоремы теории вероятностей; введение в теорию случайных процессов.
Теория вероятностей изучает свойства массовых случайных
событий, способных многократно повторяться при воспроизведении
определенного комплекса условий. Основное свойство любого
случайного события, независимо от его природы,— мера, или
вероятность его осуществления.
Теория вероятностей — математическая наука. Из первоначально
заданной системы аксиом вытекают другие ее положения и теоремы.
Впервые законченную систему аксиом сформулировал в 1936 г.
советский математик академик А. Н. Колмогоров в своей книге
«Основные понятия теории вероятностей».
Теория вероятностей вначале развивалась как прикладная
дисциплина. В связи с этим ее понятия и выводы имели окраску тех
областей знаний, в которых они были получены. Лишь постепенно
выкристаллизовалось то общее, что присуще вероятностным схемам,
независимо от области их приложения: массовые случайные события,
действия над ними и их вероятности, случайные величины и их
числовые характеристики. Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли русские и советские ученые.
3
Приложения способствовали зарождению теории вероятностей, они
же питают ее развитие как науки, приводя; к появлению все новых ее
ветвей и разделов. На теорию вероятностей опирается математическая
статистика, задача которой состоит в том, чтобы по ограниченным
данным (выборке) восстановить
с определенной степенью
достоверности характеристики, присущие генеральной совокупности, т.
е. всему мыслимому набору данных, описывающему изучаемое явление.
За несколько последних десятилетий от теории вероятностей
«отпочковались» такие отрасли науки, как теория случайных процессов,
теория
массового
обслуживания,
теория
информации,
эконометрическое моделирование и др. Этот процесс продолжается и
теперь.
Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей
является экономика. В настоящее время трудно себе представить
исследование и прогнозирование экономических явлений без
использования эконометрического моделирования, регрессионного
анализа, трендовых и сглаживающей моделей и других методов,
опирающихся на теорию вероятностей.
С развитием общества народное хозяйство все более усложняется;
следовательно, по законам развития динамических систем должен
усиливаться статистический характер
законов,
описывающих
социально-экономические явления.
Все это предопределяет необходимость овладения методами теории
вероятностей
как инструментом статистического анализа и
прогнозирования экономических явлений и процессов.
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
1.1. Основные понятия комбинаторики
Для успешного решения задач с использованием классического
определения вероятности необходимо знать основные правила и
формулы комбинаторики.
Комбинаторикой называют раздел математики, в котором
изучаются
задачи
следующего
типа:
сколько
комбинаций,
удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из
элементов данного множества.
1.1.1. Правила суммы и произведения
A  a1 ,..., am  состоит из m элементов, а
множество B  b1 ,..., bn  – из n элементов. Рассмотрим множество,
состоящее из всевозможных упорядоченных пар a, b  , где элемент a
принадлежит множеству A , а элемент b принадлежит множеству B
4
Пусть множество
( такое множество называется декартовым произведением множеств A
и B и обозначается A B ).
Правило произведения. Множество A B содержит m  n
элементов.
Вообще, множество A1  A2  ...  Ap состоит из n1  n2  ...  n p
элементов, где n1 – число элементов в A1 , n2 – в A2 и т.д.
Для решения задач комбинаторики удобна следующая
формулировка правила произведения.
Пусть объект a1 можно выбрать n1 различными способами, после
каждого выбора объекта a1 объект a 2 можно выбрать n2 различными
способами, …, после каждого выбора объектов a1 , a2 ,..., a p1 объект a p
можно выбрать n p различными способами. Тогда количество способов,
которыми можно выбрать a1 , a 2 ,..., a p равно n1  n2  ...  n p .
Пример. Сколько четырехбуквенных слов можно составить из
карточек «в», «е», «ч», «н», «о», «с», «т», «ь»?
Решение. Пусть a k – k -я буква слова k  1,2,3,4 . Тогда n1  8 ,
n2  7 , n3  6 , n4  5 и по правилу произведения сразу получим ответ:
8  7  6  5  1680 .
Пример. Сколькими способами можно поставить на шахматную
доску белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга?
Решение. Выбор объекта a1 – поля для белой ладьи – может быть
сделан n1  64 способами. Независимо от выбора этого поля белая
ладья бьет 15 полей, поэтому для черной ладьи остается 64 – 15 = 49
полей: n2  49 .
Пример. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи
которых есть хотя бы одна четная цифра?
Решение. Все четырехзначные числа, а их 9999 – 999 = 9000,
делятся на две группы: те, в записи которых все цифры нечетные, и те, в
записи которых есть хотя бы одна четная цифра.
Всего нечетных цифр – пять, поэтому выбор k -й цифры числа
может быть сделан nk  5 способами k  1,2,3,4 , а количество
четырехзначных чисел, у которых все цифры нечетные, равно
5  5  5  5  625 .
Следовательно, количество чисел, в записи которых есть хотя бы
одна четная цифра, равно 9000 – 625 = 8375.
Замечание. Обратите внимание на идею, которую мы использовали
– переход к дополнению изучаемого множества. Это пример
применения второго общего правила комбинаторики – правила суммы.
5
Правило суммы. Если объект a можно выбрать m различными
способами, а объект b можно выбрать n различными способами,
причем результаты выборов объектов a и b никогда не совпадают, то
выбор «либо a , либо b » можно осуществить m  n различными
способами.
Часто в задачах приходится применять сразу оба правила
комбинаторики.
Пример. Сколько различных слов можно получить, переставляя
буквы слова «комбинаторика»?
Решение. В слове «комбинаторика» 13 букв и если бы все они были
различными, то, переставляя их, можно было бы получить 13! слов. Но
в нашем случае буквы « к, о, и.а » встречаются по два раза. Обозначим
их через к1 , к2 , о1 , о2 , и1 , и2 , а1 , а2 . Ясно, что слова, отличающиеся друг от
друга перестановкой букв к1 и к 2 одинаковые, так что 13! разбиваются
на пары одинаковых слов. Каждая такая группа из 13! / 2 слов тоже
разбивается на пары одинаковых с точки зрения буквы о слов и т.д.
Следовательно, различных слов, переставляя буквы слова
«комбинаторика», можно получить
13!
13!

.
2  2  2  2 16
1.1.2. Упорядоченные и неупорядоченные
последовательности
Если из множества, содержащего n элементов, каким-то способом
выбирают k элементов k  n , то говорят, что из этого множества
произведена выборка объема k (все элементы множества считаются
различными).
Определение. Всякая упорядоченная выборка объема k из
множества, состоящего из n элементов, называются размещением из n
элементов по k элементов, и обозначается через Ank .
Ank  n  n  1  ...  n  k  1 ,
где 1  k  n .
Определение. Размещение из n элементов по n называется
перестановкой из n элементов и обозначается Pn .
Pn  n! , 0!  1 .
6
Определение. Всякая неупорядоченная выборка объекта k из
множества, состоящего из n элементов k  n , называется сочетанием
из n элементов по k элементов и обозначается через C nk .
C nk 
n  n  1  ...  n  k  1
n!

.
k!
k!n  k !
Пример. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и
10 нападающих. Сколькими способами тренер может образовать
стартовую шестерку, состоящую из вратаря, двух защитников и трех
нападающих?
Решение. Вратаря можно выбрать С 21  2 способами, защитников –
76
10  9  8
 120 способами.
 21 способом, нападающих – С103 
3 2
2
Всего, по правилу произведения, существует 2  21  120  5040 способов
выбора стартовой шестерки.
С точки зрения теории множеств C nk – это число всех подмножеств
из k элементов, которые можно выбрать из множества, состоящего из
n элементов. Поэтому равенство C n0  1 означает, что всякое пустое
С72 
подмножество только одно; C n1  n – что число одноэлементных
подмножеств равно n и т.д.
Этот взгляд на числа C nk позволяет найти комбинаторный смысл
следующих арифметических свойств чисел C nk :
а ) C nk  C nnk , если 0  k  n ;
б ) C nk11  C nk 1  C nk , если 0  k  n  1 ;
в) Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn  2 n .
Все числа C nk можно расположить на плоскости в виде бесконечной
таблицы, которая называется треугольником Паскаля:
7
С 00  1
С10  1
С 20  1
С 30  1
С11  1
С 21  2
С 31  3
С 22  1
С 32  3
С 33  1
…
В этой таблице в строке с номером n n  0,1,...  каждое число
(кроме двух крайних) равно сумме двух «соседних» с ним чисел строки
с номером n  1 .
Справедлива следующая формула:
a  bn  C
a n  C n1 a n 1 b  ...  C nk a n  k b k  ...  C nn b n ,
которая называется биномом Ньютона.
0
n
1.2. Случайные события и предмет теории
вероятностей
На практике встречаются такие ситуации, когда исход проводимого
опыта нельзя предсказать заранее, например, какая сторона выпадет при
бросании монеты, факторы, влияющие на исход опыта – начальное
положение монеты, начальная скорость, сопротивление воздуха и так
далее. В таких ситуациях мы считаем результат опыта зависящим от
случая, то есть, рассматриваем его как случайное событие.
Определение. Под опытом G понимается воспроизведение какоголибо комплекса условий для наблюдения исследуемого явления
(события). Обычно считается, что явление (событие) случайно в
опыте G , если при неоднократном воспроизведении этого опыта оно
иногда происходит, а иногда – нет, причем однозначно предсказать
возможный исход (событие) этого опыта заранее нельзя.
Определение. Событие называется случайным по отношению к
данному опыту, если при осуществлении этого опыта оно может
наступить или не наступить.
События обозначаются: A, B, C...
Замечание. Из определения следует, что событие считается
случайным, если его наступление в результате опыта представляет
собой лишь одну из возможностей.
8
Нас интересуют только те опыты, которые можно повторять
неограниченное число раз. Любое случайное событие, наступление
которого возможно в такого рода опытах, называется массовым или
статистическим.
Определение. Теория вероятностей занимается изучением
закономерностей, присущих массовым случайным событиям.
1.2.1. Пространство элементарных событий
 опыта G называются
Определение. Возможные исходы
элементарными
событиями,
если
они
являются
взаимно
исключающими, и в результате опыта одно из них происходит
обязательно.
Определение. Совокупность  всех элементарных событий в
опыте G называется пространством элементарных событий.
Определение. Пусть фиксирована некоторая непустая совокупность
подмножеств S множества  . Эти подмножества назовем событиями,
если они удовлетворяют следующим требованиям:
- если подмножества А1 ,..., Аn суть события, то их объединение
тоже является событием: Аi  S 
A S ,
i
- если подмножество A является событием, то его дополнение (до
 ) тоже является событием: А  S  А  S .
Из этих требований следует, что  - событие.
Определение. Событие называется невозможным в опыте G , если
при повторении опыта оно никогда не происходит. Ему соответствует
пустое подмножество в  , которое обозначается .
Определение. Событие называется достоверным в опыте G , если
при повторении опыта оно происходит всегда. Ему соответствует само
пространство  .
Определение. Говорят, что в опыте G событие A влечет за собой
появление события B , если из осуществления события A следует
наступление события B  A  B  .
1.2.2. Алгебра событий
Определение. События A и B называются равными: A  B , если
A  B , B  A.
Определение. Суммой событий A и B называется событие A  B ,
состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий.
Определение. Произведением событий A и B называется событие
AB , состоящее в одновременном появлении этих событий.
9
Определение. Разностью событий A и B называется событие
A \ B , состоящее в том, что событие A произойдет, а событие B нет.
Определение. Событие А называется противоположным событию
A , если оно считается наступившим тогда и только тогда, когда A не
наступает.
А   \ A , А дополняет А до  и А  A   .
Графически соотношения демонстрируют диаграммы Венна:

АА
А

А В

A B
А В
AB

А В
A\ B
Определение. События A и B называются несовместными, если
они не могут произойти одновременно в опыте, то есть AB  .
Замечание. Все законы алгебры высказываний будут верны и для
событий, например: А  АВ  АВ ,
 Аi   Ai ,  Ai   Ai .
1.3. Вероятность события
1.3.1. Частотное определение вероятности и его свойства
Определение. Пусть при n -кратном повторении опыта G событие
A произошло k A раз. Частотой Wn  A события A называется
отношение
k
Wn ( A)  A .
n
Замечание 1. Частота Wn  A является случайной, т.е. предсказать
точное ее значение до проведения серии из n опытов нельзя. Однако
природа случайных событий такова, что на практике наблюдается
эффект устойчивости частоты, т.е. при увеличении числа n опытов
значение частоты практически перестает быть случайным и
стабилизируется около некоторого неслучайного числа P A ,
соответствующего данному конкретному событию A в опыте G . Это
число P A называется вероятностью события A в опыте G .
Замечание 2. Введенное определение указывает на то, что
вероятность P A характеризует частоту появления события A при
многократном повторении опыта G .
10
Замечание 3. Частота Wn  A события A обладает следующими
свойствами:
1) Wn  A  0 , так как k A  n , n  0 ;
2) Wn  A  1 , так как k A  n ;
3) если события A и B несовместны и при повторении опыта n
раз событие A появилось k A раз, а событие B – k B раз, то
k A  kB k A kB


 Wn ( A)  Wn ( B).
n
n
n
Замечание 4. Частотное определение вероятности неудобно по двум
причинам:
-стремление частоты события A к вероятности происходит не в
общепринятом смысле, а в вероятностном;
-вычисление предела P A , к которому стремится частота, может
быть невозможным вследствие значительных трудностей при
проведении большого числа опытов.
Замечание 5. Кроме частотного определения вероятности
используют также аксиоматическое. С этой целью введем понятие
 -алгебры.
Определение. Класс S подмножеств пространства  , являющийся
алгеброй и включающий в себя результаты сложения и умножения
счетного числа своих элементов, называется  - алгеброй.
Элементы  - алгебры S (т.е. подмножества  ) называются также
событиями.
Wn ( A  B) 
1.3.2. Аксиоматическое определение вероятности события
Определение (по Колмогорову). Вероятностью события
A
называется функция P A , удовлетворяющая следующим аксиомам
теории вероятностей:
Аксиома 1 (неотрицательность вероятности). Каждому событию
A  S ставится в соответствие неотрицательное число P A , т.е. для
любого A  S P( A)  0.
Аксиома 2 (нормировка вероятности). Вероятность достоверного
события равна единице, т.е. P( )  1. .
Аксиома 3 (конечная аддитивность вероятности). Для любых
несовместных событий A и B ( AB   ) справедливо равенство
P( A  B)  P( A)  P( B) .
11
Аксиома 4 (непрерывность вероятности). Для любой убывающей
последовательности A1  A2  ...  An  ... событий из S такой, что

A
n
  , имеет место равенство lim P( An )  0 .
n 
n 1
Замечание 7. Аксиомы 1-3 тесно связаны со свойствами частоты из
замечания 3. Эта связь обосновывает также и частотное определение
вероятности.
Определение. Тройка ( , S, P ), где  - произвольное множество,
S - совокупность подмножеств множества  , на котором определены
операции +,  , , А , \, p  p A вероятность, удовлетворяющая
перечисленным
выше
условиям,
называется
вероятностным
пространством.
1.3.3. Простейшие свойства вероятности
1. P( А)  1 .
Доказательство. Пространство элементарных событий можно
представить в виде   А  А , А - подмножество, А - дополнение к А
до  . Они несовместны.
Следовательно, 1  P  P( А  А)  P A  P( A) . Так как P(А) и
P(A) неотрицательны, то P( А)  1
2. P()  0 .
Доказательство.
Так
как
 S ,
то
\   ,
P(  )      P()  P()  1  Р() .Следовательно, P()  0
А  В , то P( А)  P( В) (монотонность вероятности).
Доказательство. Событие B представим в виде В  А  В \ А . По
построению AB \ A  , т.е. события A и B \ A не совместны, тогда
P( В)  P( А)  Р( В \ А)  P( А) .
4. P( А  В)  P( А)  P( В)  P( АВ) ,
для
любых
A , BS .
3. Если
Доказательство. Событие A представим в виде А  АВ  АВ из
аксиомы 3 и А  В  А \ В получаем, что P( А)  P( А \ В)  P( АВ) .
Так как А  В  В  А  В , то P( А  В)  P( В)  P( А \ В) и тогда
р( А  В)  р( В)  р( А)  р( АВ)
5. P( А  В)  P( А)  P( В) , так как P( АВ)  0
6. Определение. События А1 ,..., Аn в опыте G образуют полную
группу событий, если они попарно несовместны и в результате опыта
12
G
произойдет одно и только одно из событий
Аi , то есть
А1  ...  Аn   .
Теорема. Если Аi , i  1, n , образуют полную группу событий, то
P( А1 )  ...  P( Аn )  1
Доказательство. Так как А1  ...  Аn   и события А1 ,..., Аn
образуют полную группу событий, то
1  P()  P( А1  ...  Аn )  P( A1 )  ...  P( An ) .
7. Теорема. P( A)  1  P( A)
Доказательство. По определению А   \ А,
А  А   , то есть А
и А - полная группа событий. Следовательно, P( А  А)  1 и А А   ,
 
тогда по аксиоме 3 P( А)  P( А)  1 , откуда P( А)  1  P A
8. Определение. Если опыт G имеет конечное число возможных
исходов   1 ,...n  , где  i элементарные события, образующие
полную группу попарно несовместных событий, и появление которых
равновероятно, то есть P(i )  р , то такие события  i называют
случайными и говорят, что опыт G сводится к схеме случаев.
1
Теорема. Если опыт G сводится к схеме случаев, то P ( i )   р .
n
Доказательство. Элементарные события 1 ,..., n попарно
несовместны, тогда 1  P()  P(1 ,..., n )  P(1 )  ...  P(n )  np .
1
.
n
9. Определение. Если в опыте G произвольное событие A можно
представить в виде суммы k несовместных случаев, то есть
А  i1  ... ik , при k  n , то слагаемые i1 ,...,ik называют
Отсюда следует, что р 
благоприятствующими событию A случаями.
Теорема. Если событие A представимо в виде суммы k
благоприятствующих случаев из n возможных, то вероятность такого
k
события равна :
n
k
P( А)  P( i1  ...   ik )  P( i1 )  ...  P( ik )  .
n
k
P ( A) 
Определение. Формулу
называют классической
n
формулой вычисления вероятности.
13
1.3.4. “Геометрические” вероятности
Рассмотрим “геометрические” вероятности: это пример опыта с
непрерывным пространством элементарных событий. В случае опыта с
равновероятными исходами вероятность P A определяется как “доля”
тех исходов, которые приводят к наступлению события A . Аналогично
считают P A , если имеется бесконечное число равновероятных
исходов:
mg
,
P( A) 
mG
где mg - мера тех исходов, которые приводят к наступлению A ;
mG - мера бесконечного числа исходов.
Для отрезка – это длина отрезка, для плоскости – площадь фигуры,
для тела – объем тела.
1.3.5. Условная вероятность.
Зависимые и независимые события
Определение.
Условной
относительно события
осуществления события
произошло.
B
A
P A / B  события
A
PB   0 называется вероятность
при условии, что событие B уже
вероятностью
P( АВ )
.
P( В)
Рассмотрим формулу для опыта, сводящегося к схеме случаев:
Пусть событиям A , B и AB благоприятствуют k A , k B , k AB случаев
соответственно из всех n возможных и равновозможных случаев.
Допустим, что событие B уже произошло. Это значит, что из всех
возможных n случаев реально могут появиться только k B , причем из
них только k AB случаев благоприятствуют событию A . Применяя
классическое определение вероятности, получим
k
k
P( AB)
n
P( А / В)  AB  AB

.
kB
n kB
P( B)
По определению PB ( A)  P( А / В) 
Теорема. P( AB)  P( B) P( A / B)  P( A) P( B / A)
Доказательство. Так как
P( АВ )
P( А / В) 
, то P( AB)  P( B) P( A / B) .
P( В)
Учитывая, что AB  BA (свойство умножения событий), получим
P( AB)  P( BА)  P( A) P( B / A) .
14
P( А) P( А)

 P( А) .
P ( )
P ( )
Определение. События A и B называются независимыми, если
P( АВ)  P( А)  P( В) , то есть, P A  P A / B  – условная вероятность
события A равна безусловной вероятности.
Определение. Формула P( АВ)  P( А)  P( В) называется правилом
умножения вероятностей.
Теорема. В определении условной вероятности мы требовали,
чтобы PB   0 , но
в некоторых случаях такое ограничение
представляется ненужным.
Пусть PB   0 , тогда равенство P( АВ)  P( В)  P( А) выполняется
автоматически.
Доказательство. Представим событие B в виде В  ВА  В А , тогда
P( В)  P( ВА)  P( В А) . Так как P( В)  0 , то P( ВА)  P( В А)  0 . Но, так
Следствие. P( А / ) 
как P( ВА)  0 и P( В А)  0 , то P( В А)  0 и P( АВ)  0 .
Так как AB  BA , то P( ВА)  P( В)  P( А) . Это значит, что если A
не зависит от B , то и B не зависит от A .
Теорема. Если событие A и B независимы, то независимы также и
события А и B .
Доказательство. Так как A и B независимы, то
P( ВА)  P( В)  P( А) , тогда P( В)  P( АВ)  P( В)  P( А)  P( В) и из того,
что P( В)  P( ВА)  P( АВ) , следует, что
P( ВА)  P( АВ)  P( АВ)  P( В)  (1  P( А)) , P( АВ)  P( В)  P( А) , а это
значит, что А и B независимы.
Теорема. Если A и B независимы, то и независимы А и В
Доказать самостоятельно.
Определение. События А1 ,..., Аn называются независимыми (в
совокупности), если вероятность появления любого из них Аi не
меняется при наступлении какого угодно числа событий А j , i  j , из
этой же совокупности.
Определение. Если любые два события из А1 ,..., Аn независимы, то
А1 ,..., Аn называются попарно независимыми.
Теорема. Если события А1 ,..., Аn независимы, то вероятность
произведения событий равна произведению вероятностей этих событий.
15
Доказательство.
Если
события
независимы, то
А1 ,..., Аn
и так
далее.
Тогда
P( А3 / А1 А2 )  P( А3 )
P( А2 / А1 )  P( А2 ) ,
P( А1  А2  ...  Аn )  P( А1 )  P( A2 )  ...  P( An ) .
Последнее равенство является необходимым и достаточным
условием независимости событий.
Замечание. На практике правило умножения вероятностей
применяется вместе с правилом сложения вероятностей.
1.3.6. Формула полной вероятности
Определение. Предположим, что событие A в опыте G может
наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных
событий Н1 ,..., Н n , образующих полную группу. Условимся называть
эти события (по отношению к A ) гипотезами.
Теорема. Пусть с опытом G связаны гипотезы Н1 ,..., Н n , тогда
вероятность события A равна сумме парных произведений
вероятностей гипотез на условные вероятности события A ,
вычисленные при условии, что гипотеза происходит:
n
P ( А)   P ( H i )  P ( A / H i ) .
i 1
Доказательство. По условию событие A может произойти только
вместе с одной из n гипотез: А  АH1  ...  AH n , так как Н i , i  1, n ,
попарно несовместны, то и события AН i , i  1, n , попарно несовместны,
следовательно, по аксиоме 3 из определения вероятности события
P( А)  P( АH 1 )  ...  P( AH n ) и по теореме о вероятности произведения
событий получаем
P( A)  P( H1 ) P( А / Н1 )  ...  P( Н n ) P( A / H n ) .
Данная формула используется в опытах, не сводящихся к схеме
случаев.
1.3.7. Формулы Байеса
Теорема. Пусть с опытом G связаны гипотезы Н1 ,..., Н n , при
проведении опыта произошло событие A , P A  0 . До опыта были
известны вероятности гипотез
P( Н i ), i  1, n и соответствующие
условные вероятности P( A / Н i ), i  1, n . В этом случае условная
вероятность гипотезы при условии, что событие A произошло,
вычисляется по формуле:
16
P( Н i / А) 
P( Н i ) P( A / H i )
.
P( A)
Доказательство. P( Н i A)  P( H i )  P( A / H i ) и
P( AH i )  P( A)  P( H i / A) .
Так как P( H i A)  P( AH i ) , то P( H i ) P( A / H i )  P( A) P( H i / A) .
Откуда
P( Н i ) P( A / H i )
P( Н i / А) 
.
P( A)
Замечание. Формулы Байеса предназначены для вычисления после
проведения опыта вероятностей гипотез при условии, что событие A
уже произошло.
1.4. Решение типовых задач
Пример 1. На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции.
Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти вероятность
того, что, среди пяти выбранных для контрольного вскрытия вагонов
окажутся вагоны с номерами 2 и 5?
Решение. Событие A - среди пяти выбранных для контрольного
вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5.
k
Воспользуемся формулой P ( A)  .
n
Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия
5
равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. C1 0 . Число исходов,
благоприятствующих данному событию, будет равно числу таких
комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут
составлять сочетания, число которых равно
вероятность будет равна
C 83 . Тогда искомая
8!
C83
2
P( A)  5  3!5! 
10
!
C10
9
5!5!
Пример 2. Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются
банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова
вероятность того, что среди купленных акций две окажутся акциями
банкротов?
Решение. Событие A - среди купленных акций две окажутся
акциями банкротов.
17
k
.
n
Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20
Воспользуемся формулой
P ( A) 
6
по 6, т.е. C 2 0 . Число благоприятствующих исходов определяется как
произведение C 4  С1 6 , где первый сомножитель указывает число
комбинаций выбора АО-банкротов из четырех. Но с каждой такой
комбинацией могут встретиться АО, не являющиеся банкротами. Число
2
4
комбинаций таких АО будет С1 6 . Тогда искомая вероятность будет
равна
4
P( A) 
C 42  C164
, т.е. P( A)  0,28 .
C 206
Пример 3. На полке находится 10 книг, расставленных в
произвольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей, три
— по математическому анализу и четыре — по линейной алгебре.
Студент случайным образом достает одну книгу. Какова вероятность
того, что он возьмет книгу по теории вероятностей или по линейной
алгебре?
Решение. Событие A - студент взял книгу по теории вероятностей,
событие B - студент взял книгу по линейной алгебре.
Вероятности того, что студент взял книгу по теории вероятностей и
по линейной алгебра, соответственно таковы:
P A 
4
3
, P B  
.
10
10
События A и B несовместны. Поэтому искомая вероятность
находится как сумма вероятностей:
P A  B   0,3  0,4  0,7 .
Пример 4. Контролер проверяет изделия на соответствие
стандарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту изделий
равна 0,9.
Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий оба будут
стандартными, если события появления стандартных изделий
независимы? Какова вероятность того, что из двух проверенных изделий только одно стандартное?
Решение. а) учитывая то, что события A1 (первое изделие
стандартное) и A2
используем формулу
(второе
изделие
стандартное)
независимы,
P A1 A2   P A1 P A2  , т.е. P A1 A2   0,9  0,9  0,81 .
18
б) пусть B1 — событие, состоящее в том, что только первое
изделие стандартное;
B2 — только второе изделие стандартное.
Событие B1 можно рассматривать как произведение двух событий
B1  A1 A2 , т.е. появилось первое событие и не появилось второе.
Аналогично B2  A1 A2 . События B1 и B2 несовместные, поэтому
   
PB1  B2   PB1   PB2   P A1 P A2  P A1 P A2  .
Если обозначить вероятность появления стандартного изделия
через p , а вероятность противоположного события через q  1  p , то
получим
PB1  B2   pq  qp  2 pq .
В данном случае
PB1  B2   2  0,9  0,1  0,18 .
Пример 5. В районе 100 поселков. В пяти из них находятся пункты
проката сельхозтехники. Случайным образом отобраны два поселка.
Какова вероятность того, что в них окажутся пункты проката?
Решение. Пусть A — событие, состоящее в том, что в первом
выбранном поселке находится пункт проката; B — событие, состоящее
в том, что во втором выбранном поселке находится пункт проката.
Вероятность события A
P  A 
5
 0,05 .
100
Рассмотрим событие B при условии, что событие A произошло.
Найдем условную вероятность
P B / A 
4
.
99
Искомая вероятность найдется как вероятность произведения
зависимых двух событий
P  AB  
5 4
1


.
100 99 495
Пример 6. На автозавод поступили двигатели от трех моторных
заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от второго — 6 и
от третьего — 4 двигателя. Вероятности безотказной работы этих
двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8;
0,7. Какова вероятность того, что:
а) установленный на машине двигатель будет работать без
дефектов в течение гарантийного срока;
19
б) проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом
заводе, на втором заводе?
Решение. Обозначим через A1 , A2 , A3 события установки на
автомашину двигателей, изготовленных соответственно на первом,
втором или третьем моторных заводах. Вероятности этих событий
таковы:
P A1   0,5 ; P A2   0,3 ; P A3   0,2 .
а) вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без
дефектов, найдем по формуле полной вероятности:
PB   P A1 PB / A1   P A2 PB / A2   P A3 PB / A3  
 0,5  0,9  0,3  0,8  0,2  0,7  0,83;
б) если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то
вероятности того, что оно изготовлен на первом, на втором заводах,
найдем по формуле Байеса:
P A1 PB / A1  0,5  0,9 0,45


 0,54 ;
PB 
0,83
0,83
P A2 PB / A2  0,3  0,8 0,24
P A2 / B  


 0,29 .
PB 
0,83
0,83
P A1 / B  
1.5.Задачи для самостоятельного решения
1. Некто, набирая номер телефона, забыл две последние цифры
номера телефона абонента, но помнит, что последняя цифра меньше
предпоследней. Какова вероятность того, что при однократном
пользовании телефоном-автоматом, некто наберет нужный номер
телефона.
2. Для студенческой лотереи были пронумерованы 500 билетов
номерами от 1 до 500. Организаторы лотереи сделали ее
беспроигрышной. Все выигрыши разделили на три вида: а) «самый
большой выигрыш» - том стихов Пушкина, приходится на билеты,
номера которых содержат три одинаковых цифры; б) «средний
выигрыш» - набор фломастеров – приходится на билеты, номера
которых содержат две одинаковых цифры. Определить вероятность
того, что: а) взятый наудачу билет окажется выигрышным; б) на взятый
билет выиграют «средний выигрыш»; в) на взятый билет выиграют
«большой выигрыш».
3. Имеется 50 экзаменационных билетов, каждый из которых
содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100
вопросов, а только на 60. Определить вероятность того, что экзамен
будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса из своего
20
билета, или на один вопрос из своего билета, или на один (по выбору
преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
4. При стрельбе была получена частота попадания 0,6. Сколько
было сделано выстрелов, если получено 12 промахов?
5. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой
выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова
вероятность, что получится слово «ДВА»?
6. В коробке 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того,
что вынутые наугад два окажутся черными?
7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошло 4 человека.
Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из
этажей, начиная со второго. Найти вероятность того, что 1) все
пассажиры выйдут на четвертом этаже; 2) все пассажиры выйдут на
одновременно; 3)все пассажиры выйдут на разных этажах.
8. Стержень длины L сломали на три части, выбирая наудачу
места разлома. Найти вероятность того, что из получившихся трех
частей можно составить треугольник.
9. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами
телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того,
что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии?
10. Считается равновероятным попадание снаряда в любую точку
площади в 10000 м 2 . Определить вероятность попадания снаряда в
мост, находящийся на этой площади, если длина 200 м и ширина 10 м.
11. На плоскости начерчены две концентрические окружности,
радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что
точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает также и в кольцо,
образованное построенными окружностями. Предполагается, что
попадание точки на плоскость большого круга равновозможно для
любой части его.
12.Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность
1
падения на ребро была бы ?
3
13. Общество из n человек садится за круглый стол. Найти
вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом.
14. Два охотника стреляют в волка, причем каждый делает по
одному выстрелу. Для первого охотника вероятность попадания в цель
0,7, для второго – 0,8. Какова вероятность попадания в волка (хотя бы
пи одном выстреле)? Как изменится результат, если охотники сделают
по два выстрела?
15. В коробке пять одинаковых изделий, причем, три из них
окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что
21
среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное
изделие; б) два окрашенных изделия.
16. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки
были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди
отобранных деталей две окажутся бракованными?
17. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлено отлично, 4 — хорошо, 2 — посредственно и 1 — плохо. В
экзаменационных
билетах
имеется
20
вопросов.
Отлично
подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо
подготовленный — на 16, посредственно — на 10, плохо — на 5.
Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных
вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен: а) отлично;
б) плохо.
18.В продажу поступили 1000 пальто с трех фабрик. С первой
фабрики поступили 300 пальто, среди них 10 второсортных, со второй
фабрики поступили 450 пальто, среди них 12 второсортных. С третьей
фабрики поступили 250 пальто, среди них 8 второсортных. Покупателю
подали для примерки пальто первого сорта. На какой фабрике вероятнее
всего пошито это пальто?
19. Вероятность появления брака на первом станке равна 0,02, на
втором – 0,01 и на третьем – 0,03. Производительность первого станка
вдвое больше третьего, а производительность второго станка в 4 раза
больше производительности первого станка. Детали, изготовленные на
трех станках, хранятся на одном складе. Кладовщик взял наудачу одну
деталь, она оказалась стандартной. На каком из станков вероятнее всего
была изготовлена эта деталь.
20. Некоторый механизм состоит из 3 деталей типа А, пяти деталей
типа Б, двух деталей типа В, шести деталей типа Г и четырех деталей
типа Д. Вероятность повреждения детали тапа А равна 0,02, типа Б –
0,05, типа В – 0,10, типа Г – 0,03, типа Д – 0,09. Механизм вышел из
строя. Какого типа деталь вероятнее всего повреждена?
21. В первой коробке 35 радиоламп, среди них 4 нестандартных. Во
второй коробке 20 радиоламп, среди них 1 нестандартная. В третьей
коробке 45 радиоламп, среди них 5 нестандартных. Из третьей коробки
взяли наудачу 1 радиолампу и переложили во вторую коробку. Затем из
второй коробки была наудачу взята радиолампа и переложена в первую
коробку. После этого из первой коробки наудачу извлекли радиолампу.
Какова вероятность того, что эта лампа стандартная?
22. В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления.
Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго
пункта— 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из третьего пункта.
23. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2
белых и 1 черный шар, во втором -1белый и 4 черных шара. Наудачу
22
выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что
вынутый шар окажется белым?
24. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки A , 6 марки B и
4 марки C . Вероятность того, что качество детали окажется отличным,
для этих станков соответственно равна: 0,9; 0,8 и 0,7. Какой процент
деталей отличного качества выпускает цех в целом?
25. Имеются два ящика: в первом 3 белых шара и 2 черных; во
втором 4 белых и 4 черных. Из первого ящика во второй
перекладывают, не глядя, два шара. После этого из второго ящика берут
один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
26. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин
дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова
вероятность того, что это мужчина? Считать, что мужчин и женщин
одинаковое число.
27. На фабрике, изготовляющих болты, первая машина производит
25%, вторая - 35%, третья - 40% всех изделий. В их продукции брак
составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Какова вероятность того, что
случайно выбранный болт дефектный? Случайно выбранный из
продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он
был произведен первой, второй, третьей машиной?
1.6. Индивидуальное домашнее задание
по теме "Случайные события"
Вариант 1
1. Из полного набора костей берут наугад 5 костей домино. Найти
вероятность того, что среди них хотя бы одна будет с шестёркой.
2. Партии из 15 деталей имеется 10 стандартных. Наудачу
отобраны 7 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных
деталей 5 стандартных.
3. Буквы, составляющие слово "Одесса" написаны по одной на 6
карточках. Карточки смешиваются. Затем по одной вынимаются.
Определить вероятность того, что, записывая подряд слева направо,
получим слово "Сад".
4. У рыбака есть 3 излюбленных места для ловли рыбы, которые
он посещает с равной вероятностью каждое. Если он ловит на первом
месте, рыба клюёт с вероятностью 0,3; на втором - 0,4; на третьем - 0,3.
Известно, что рыбак, выйдя на ловлю, три раза закинул удочку, а рыба
клюнула только один раз. Найти вероятность того, что он удил рыбу на
первом месте.
5. Электролампы изготовляются на трёх заводах. Первый завод
производит 45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп,
23
второго - 80%, третьего - 81%. В магазин поступает продукция всех трёх
заводов. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется
стандартной.
6. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень.
Вероятность попадания первого стрелка равна 0,9; а вторым - 0,8. Найти
вероятность того, что мишень поразит только один стрелок.
7. Четыре пловца взяли старт на соревнованиях по плаванию.
Вероятность уложиться в рекордное время у первого пловца равна 0,95,
у второго – 0,92, у третьего – 0,9 и у четвертого – 0,88. Найти
вероятности того, что а) все пловцы станут рекордсменами; б) только
два пловца станут рекордсменами.
Вариант 2
1. В студенческой группе 10 дружинников. Среди них трое в
возрасте 18-19 лет, пятеро от 20 до 22 лет, двое - от 23 до 24. Путём
жеребьёвки из дружинников должен быть выбран один человек на
дежурство. Какова вероятность того, что его возраст окажется от 18 до
22 лет.
2. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,3,
второго - 0,1. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность
того, что один из них попадает в цель, другой не попадает.
3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков.
Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность
того, что один из взятых валиков конусный, а второй эллиптический с
точностью до 0,01.
4. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3
подготовились отлично, 4-хорошо, 2 - посредственно, 1 - плохо. Всего
20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на 20
вопросов, хорошо - на 16, посредственно – на 10, плохо - на
5.Вызванный наудачу студент ответил на 3 произвольно заданных
вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: 1)
отлично, 2) плохо.
5. Стрельба производится по 5 мишеням типа А ,по 3 - типа В, по
2 - типа С. Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4; В равна
0,1; С равна 0,15. Найти вероятность поражения мишени.
6. Из полной колоды карт (52) вынимают сразу 4 карты. Найти
вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей.
7. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень первым стрелком равна 0,2, а вторым 0,6. Найти
вероятность того, что хотя бы один из стрелков попал в мишень.
24
Вариант 3
1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что
выпадает чётное число очков.
2. В партии готовой продукции из 20 лампочек 5 повышенного
качества. В выборку берут 7 лампочек. Какова вероятность того, что 3
лампочки в выборке будут повышенного качества?
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух
орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном
выстреле первым из орудий, если известно, что для второго эта
вероятность равна 0,8(с точностью до 0,1).
4. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с
вероятностями p1 =0,25, p 2 =0,5, p 3 =0,25. Вероятность того, что лампа
проработает заданное число часов равны для этих партий
соответственно 0,1, 0,2, 0,4. Определить вероятность того, что лампа
проработает заданное число часов.
5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность безотказной работы в течение часа первого элемента равна
0,95, второго – 0,98 и третьего – 0,9. Найти вероятность того, сто в
течение часа будут работать: а) два элемента; б) один элемент; в) все
три элемента.
6. Из колоды карт 36 вынимаются сразу 4 карты. Найти
вероятность того, что все эти 4 карты будут разных мастей.
7. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень первым стрелком равна 0.7, вторым-0.6. Найти
вероятность того, что хотя бы один из стрелков попали в мишень.
Вариант 4
1. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что
выпадает чётное число очков.
2. В партии готовой продукции из 20 лампочек 5 повышенного
качества. В выборку берут 7 лампочек. Какова вероятность того, что 3
лампочки в выборке будут повышенного качества?
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух
орудий равна 0.38. Найти
вероятность поражения цели при одном
залпе первым из орудий, если известно, что для 2го орудия эта
вероятность=0.8 с точностью до 0.1.
4. Радиолампа может принадлежать к одной из трёх партий с
вероятностями p1 =0,25, p 2 =0,5, p3 =0,25. Вероятность того, что лампа
проработает заданное число часов равны для этих партий
соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что лампа
проработает заданное число часов.
25
5. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в
цель равна 0.85. Найти число попаданий, если всего было произведено
120 выстрелов
6. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность
того, что деталь, произведённая на первом станке, будет стандартная
равна 0.8, а на втором - 0.9. Производитель второго станка, втрое
больше производительности первого. Найти вероятность того, что
деталь, взятая наудачу с транспортёра, на котором сбрасываются
детали, будет стандартная.
7. Вероятности своевременного выполнения задания тремя
независимо работающими предприятиями соответственно равны 0,5;
0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного выполнения задания хотя
бы одним предприятием.
Вариант 5
1. На четырех карточках написаны буквы с, м, о, р. Какова
вероятность того, что получи слово "морс"?
2. В группе из 17 студентов 8 девушек: среди них разыгрываются
лотерея в 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей
билетов 4 девушки?
3. Для практики на 30 студентов предоставлено 15 мест в Минске,
8 в Москве, 7 в Ростове. Какова вероятность того, что два определённых
студента попадут в один город.
4. Имеется 2 партии деталей, причём в первой партии все детали
удовлетворяют техническим требованиям, а во второй три четверти
деталей недоброкачественные. Деталь, взятая наудачу выбранной
партии, оказалась доброкачественной. Найти вероятность того, что эта
деталь взята из партии с недоброкачественными деталями.
5. В тире находятся 5 ружей, вероятности попадания из которых
соответственно равны 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить вероятность
попадания, если стрелок берёт одно из ружей наудачу.
6. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. Найти
вероятность того, что среди отобранных 6 студентов 5 отличников.
7. Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при
безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность
отказа в поставке продукции от первого из смежников равна 0,05, от
второго — 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.
Вариант 6
1. В группе 25 студентов. Во время занятий вызывается 3
студента. Вызов производится случайно. Определить вероятность того,
что будут вызваны 3 студента в определённом порядке.
26
2. Имеется 5 билетов по 1 рублю, 3 билета по 3 рубля, 2 билета по
5 рублей. Определить вероятность того, что хотя бы два билета имеют
одинаковую стоимость?
3. Бросают 2 игральные кости. Какова вероятность того, что
сумма очков на них окажется равной не менее 68.
4. Имеется 2 партии изделий по 12 и 10 штук, причём в каждой
партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из 1ой
партии, переложено во второю партию. После этого из второй партии
наудачу берут одно изделие. Найти вероятность извлечения
бракованного изделия из второй партии.
5. В урне 2 белых и 3 чёрных шара. Из урны наудачу вынимают
один шар. Определить вероятность того, что этот шар будет белым.
6. Три баскетболиста должны произвести по одному броску мяча.
Вероятности попадания мяча в корзину первым, вторым, третьим
баскетболистами соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность
того, что удачно произведёт бросок только один баскетболист.
7. Радиолампа может принадлежать к одной из двух партий с
вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятность того, что лампа проработает
заданное число часов, равны для этих партий соответственно 0,7 и 0,8.
Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число
часов.
Вариант 7
1. Абонент набирает номер телефона, забыл последние две цифры
и поэтому набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны
нужные цифры.
2. В партии 7 стандартных и 3 бракованных детали. Найти
вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей, 4 стандартных.
3. Есть два независимо работающих сигнализатора. Вероятность
того, что при аварии первый сигнализатор сработает, равна 0.95, для
второго-0.9. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы
один сигнализатор.
4. Имеется 5 ружей, вероятность попадания равны соответственно
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания при одном выстреле,
если ружьё берётся наудачу.
5. Электролампы изготовляются на трёх заводах. Первый завод
производит 45% общего количества электроламп, второй - 40%, третий15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп,
второго-80%, третьего-81 %. В магазин поступает продукция всех трёх
заводов. Какова вероятность, что купленная в магазине лампа окажется
стандартной.
27
6. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность
попадания первым стрелком равна 0,9, вторым равна 0,8. Найти
вероятность того, что мишень поразит только один стрелок.
7. В
городе
находятся
15
продовольственных
и
5
непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что все эти
магазины непродовольственные.
Вариант 8
1. Студент может ответить на 20 вопросов из 25. Ему задали
случайно 3 выбранные вопроса. Какова вероятность того, что он ответит
на все 3 вопроса (с точностью до 0.01).
2. Вероятность перевыполнения обязательств заводом-0,9,
другим-0,95. Какова вероятность того, что хотя бы один из заводов
перевыполнит свои обязательства, если они реализуют свою продукцию
независимо один от другого.
3. В пруду 800 окуней и 500 карпов. Какова вероятность того, что
2 подряд выловленные рыбы окажутся окунями.
4. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков
4 3 2
равна соответственно
, ,
. При одновременном выстреле всех
5 4 3
трех стрелков имелось два попадания. Найти вероятность того, что
промахнулся третий стрелок.
5. Имеется 5 ружей, вероятность попадания равны соответственно
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания, если стрелок берёт
одно из ружей наудачу.
6. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. Наудачу
отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных
студентов 5 отличников.
7. В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа
качества отобрали три шубы случайным образом. Определить
вероятность того, что среди отобранных шуб окажутся: а) только
женские шубы; б) только мужские или только женские шубы.
Вариант 9
1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вынимается
один шар. Он не возвращается, затем вынимают второй шар. Найти
вероятность того, что оба шара окажутся цветными.
2. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что
в результате этих выстрелов будет только одно попадание.
28
3. Лотерея выпушена на общую сумму 100 рублей, цена одного
билета 1 рубль. Ценные выигрыши выпадают на 5 билетов. Определить
вероятность данного выигрыша.
4. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из
трёх касс. Вероятность обращения в одну из трёх касс зависит от их
местонахождения и равны соответственно 0,3; 0,4; 0,3. Вероятности
того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты
будут разобраны, равны соответственно 0,2; 0,1; 0,5. Пассажир пойдёт в
другую кассу и купит билет. Найти вероятность того, что это была
первая касса.
5. На предприятие поступают заявки от нескольких торговых
пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов A и B равны
соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от
пункта A или от пункта B , считая события поступления заявок от
этих пунктов независимыми, но совместными.
6. Изделие производится на стандартность одним из двух
товароведов. Вероятности того, что изделие попадёт к первому
товароведу равна 0,55, а ко второму - 0,45. Вероятности того, что
изделие будет признано стандартным первым товароведом равна 0,95, а
вторым-0,98. При проверке изделие признано стандартным. Найти
вероятность того, что проверил второй товаровед.
7. В урне находятся 12 шаров, третья часть которых - красные.
Наугад взяли 6 шаров, Найти вероятность того, что 4 из них будут
красные.
Вариант 10
1. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно
необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность
безотказной работы в течение времени t) первого узла равна 0,8, второго
— 0,9. Прибор испытывался в течение времени, в результате чего
обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того,
что отказал только первый узел, а второй исправен.
2. Имеется 50 экзаменационных билетов, каждый из которых
содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100
вопросов, а только на 60. Определить вероятность того, что экзамен
будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса из своего
билета, или на один вопрос из своего билета, или на один (по выбору
преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
3. Два баскетболиста делают по 3 броска мячом в корзину.
Вероятности попадания мяча в корзину при каждом броске равны
соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятность того, что: а) у обоих будет
одинаковое количество попаданий; б) у первого баскетболиста будет
больше попаданий, чем у второго.
29
4. Агрегат состоит из трех параллельных цепей, каждая из
которых включает в себя 4 последовательно соединенных элемента. Две
цепи являются резервными. Надежность элементов в основной цепи
0,97, в резервных -0,92. Определить надежность агрегата.
5. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех
производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак доставляет
соответственно 5, 4 и 2%. а) Найти вероятность того, что случайно
выбранный замок является дефектным. б) Случайно выбранный замок
является дефектным. Какова вероятность того, что он был изготовлен в
первом, втором, третьем цехе?
6. Изделие производится на стандартность одним из двух
товароведов. Вероятности того, что изделие попадёт к первому
товароведу равна 0,55, а ко второму-0,45 Вероятности того, что изделие
будет признано стандартным первым товароведом равна 0,95, а вторым0,98. При проверке изделие признано стандартным. Найти вероятность
того, что проверил второй товаровед.
7. В урне находятся 12 шаров, третья часть которых - красные.
Наугад взяли 6 шаров. Найти вероятность того, что 4 из них будут
красные.
Вариант 11
1. На клумбе 5 красных, 6 синих, 4 пёстрых и 10 белых астр.
Какова вероятность того, что наугад сорванная в темноте астра
окажется не белой.
2. В коробке находится 4 красных карандаша б зелёных. Из
коробки случайно выпали 3 карандаша. Какова вероятность того, что
два из них красных, а один зелёный.
3. В студенческой группе 10 дружинников. Среди них 3 девушки
и 7 юношей. Требуется путём жеребьёвки избрать на дежурство 3х
дружинников. Чему равна вероятность того, что окажутся избранными 3
юноши с точностью до 0.1.
4. Из партии 5 изделий наудачу взято, одно оказалось
бракованным. Количество бракованных равно возможно любое. Найти
вероятность того, что в партии было 2 бракованных изделия.
5. Библиотека состоит из 10 различных книг, причём 5 книг стоят
4 рубля каждая, 3 книги по 1 рублю, 2 по 3 рубля. Найти вероятность
того, что взятые наудачу 2 книги стоят 5 рублей.
6. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8,
вторым 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена только
одним стрелком.
7. Из полного набора 28 костей домино наудачу извлечена кость.
Найти вероятность того, что вторую извлеченную кость можно
приставить к первой.
30
Вариант 12
1. В ящике 5 одинаковых кубиков, на всех гранях которого
написана одна из букв: «о», «п», «р», «с», «т». Найти вероятность того,
что на вынутом по одному и расположенных в ряд кубиков можно
прочесть слово "спорт".
2. В цехе работало 7 мужчин и 3 женщины. Найти вероятность
того, что среди отобранных по табельным номерам трех человек нет ни
одной женщины.
3. Вероятность попадания в цель одним выстрелом 0,6, вторым
0,7. Найти вероятность попадания в цель только одного выстрела.
4. Из 3х партий деталей взята одна деталь. Какова вероятность
обнаружения бракованной детали, если в одной партии 2/3 деталей
бракованных, а в других все бракованны.
5. Имеется три партии деталей: в первой 25% бракованных, во
второй и третей все детали годные. Наудачу извлечена одна деталь из
наудачу взятой партии. Найти вероятность того, что извлечена
бракованная деталь.
6. Имеется 3 курицы, 4 утки, 2 гуся. Наудачу выбрано 5 птиц.
Найти вероятность того, что среди них было 2 курицы, 2 утки, 1 гусь.
7. Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Первый
рабочий изготовил 40 изделий, второй — 35, третий — 25. Вероятность
брака у первого рабочего 0,03, у второго — 0,02, у третьего — 0,01.
Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Определить вероятность
того, что это изделие сделал второй рабочий.
Вариант 13
1. Производится 5 выстрелов. При этом вероятность перелёта
равна 0,5 и вероятность недолёта равна 0,5 (стрельба по узкой цели).
Найти вероятность того, что не все выстрелы будут перелетать (с
точностью до 0,01).
2. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 чёрных. Вынули 2 шара. Найти
вероятность того, что оба шара белые.
3. На складе имеется 15 кинескопов. Причём 10 кинескопов
изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди
наудачу взятых пяти кинескопов окажется три кинескопа Львовского
завода.
4. Прибор может работать в двух режимах. Нормальный режим
наблюдается в 80% всех случаев работы прибора, ненормальный в 20%
Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме
равна 0,1, ненормальном режиме 0,7. Найти вероятность выхода
прибора из строя за время t .
31
5. Студент знает 45 из 50 вопросов программы. Найти вероятность
того, что студент знает предложенные ему экзаменатором 3 вопроса.
6. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при
двух выстрелах равна 0,75. Найти вероятность попадания при одном
выстреле. Попадания первого и второго равновозможно.
7. Сборщик получил 3 коробки деталей изготовленных заводом
№1 и 2 коробки деталей заводом №2. Вероятность того, что деталь
завода №1 стандартная равна 0,8, а заводом №2 0,9. Сборщик наудачу
извлёк деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что
деталь стандартная.
Вариант 14
1. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара, во втором 2 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по 1
шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?
2. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо
друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует
внимания рабочего первый станок, равна 0,92, второй - 0,9, третий 0,85, четвертый - 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа не
потребует внимания рабочего хотя бы один станок.
3. Для сдачи коллоквиума студенту достаточно ответить на один
из двух предложенных вопросов. Какова вероятность того, что студент
сдаст коллоквиум, если он не знает ответов на 8 вопросов из 40,
которые могут быть предложены?
4. Три стрелка, вероятности попадания для которых при одном
выстреле в мишень соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,6, делают по
одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишени окажется
ровно две пробоины?
5. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что
выпадает чётное число очков.
6. На предприятии работают две бригады рабочих: первая
производит в среднем 3/4 продукции с процентом брака 4%, вторая —
1/4 продукции с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что
взятое наугад изделие: а) окажется бракованным; б) изготовлено второй
бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.
7. Сборщик получил 3 коробки деталей изготовленных заводом
№1 и 2 коробки деталей заводом №2. Вероятность того, что деталь
завода №1 стандартная равна 0,8, а заводом №2- 0,9. Сборщик наудачу
извлёк деталь из неудач взятой коробки. Найти вероятность того, что
деталь стандартная.
32
Вариант 15
1. В студенческой группе 10 дружинников. Среди них трое в
возрасте 18-19 лет, пятеро от 20-22 лет. Путем жеребьевки из
дружинников должен быть выбран один человек на дежурство. Какова
вероятность того, что его возраст окажется от 18 до22.
2. Вероятность попадания в цель первым стрелком paвна 0,3,
вторым - равна 0,1. Стрелки выстрелили одновременно. Найти
вероятность того, что один из них попадает в цель, а другой не попадет.
3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков.
Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность
того, что первый взятых валиков конусный, а второй - эллиптический.
4. В группе 10 студентов пришедших на экзамен, 3 подготовлено
отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1- плохо. В экзаменационных
билетах 20 вопросов, отлично подготовивший студент может ответить
на все 20 вопросов, хорошо подготовленный на 16, посредственно на 10,
плохо на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно
заданных вопроса. Найти вероятность, того что этот студент
подготовлен: 1) отлично; 2) плохо.
5. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в
цель оказалась равной 0,85. Найти число попаданий, если всего было
произведено 120 выстрелов.
6. Для некоторой местности среднее число ясных дней в июле
равно 25. Найти вероятноcть того, что первые 2 дня июля будут ясными.
7. На двух станках производят одинаковые детали. Вероятность
того, что деталь произведенная на первом будет стандартная равная 0,8,
а втором равная 0,9. Производительность второго станка втрое больше
производительности первого. Найти вероятность того, что будет
стандартная деталь, взятая наудачу с транспортера, на который
сбрасывают детали.
Вариант 16
1. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент
знает 50. Какова вероятность того, что вытянутый билет, содержащий 2
вопроса, студент знает, с точностью до 0,01.
2. Бросили
два
одинаковых
кубика,
грани
которого
перенумерованы числами 1,2,3,4,5,6. Найти вероятность того, что цифра
6 появится хотя бы на одной грани.
3. Два студента ищут нужную книгу. Вероятность того, что ее
найдет первый студент, равна 0,6, а для второго равна 0,7. Найти
вероятность того, что только один из них найдет нужную книгу.
4. На склад поступает продукция трех фабрик, причем продукция
первой фабрики составляет 20%, второй 40%, третьей 34%. Средний
33
процент нестандартных изделий для первой составляет 3%, для второй 2%, для третьей - 1%. Найти вероятность того, что наудачу взятое
изделие произведено на первой фабрике, если оно оказалось
нестандартным.
5. Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном
порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке
справа налево, или слева направо.
6. Батарея из трех орудий производит залп по цели. Вероятности
попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно
равны 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятности следующих событий: обнаружено
1) три попадания в цель; 2) только два попадания; 3) ни одного
попадания; 4) хотя бы одно попадание.
7. В каждой из двух урн содержатся 4 черных и 6 белых шаров.
Из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в первую урну,
после чего из первой урны извлечен шар. Найти вероятность того, что
шар, извлеченный из первой урны, окажется белым.
Вариант 17
1. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых
складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с
четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова
вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?
2. В цехе работает 7 мужчин и 3 женщины. По табельным
номерам отобрано 3 человека. Найти вероятность того, что все
отобранные будут мужчины.
3. Вероятность попадания в цель одним стрелком 0,6, вторым 0,7.
Найти поражение цели только одним стрелком.
4. С тех партий детали взята одна деталь. Какова вероятность
обнаружения бракованной детали, если в одной партии две трети детали
бракованных, а в других все доброкачественные.
5. На каждой из пяти одинаковых карточках напечатана одна из
следующих букв «А», «М», «Р», «Т», «Ю». Найти вероятность того, что
на 4 вынутых по одной карточке можно прочесть слово «ЮРТА».
6. Вероятность попадания мишени при одном выстреле первым
стрелком 0,8, а вторым 0,9. Найти вероятность того, что оба выстрела
поразят мишень.
7. На складе телеателье имеется 70% кинескопов, изготовленных
заводом №1, остальные кинескопы изготовлены заводом №2.
Вероятность того, что кинескоп выйдет из строя в течении гарантийного
срока службы равна 0,8 для завода №1 и 0,7 для завода №2. Найти
вероятность того, что наудачу вытянутый кинескоп выдержит
гарантийный срок службы.
34
Вариант 18
1. Участники жеребьевки тянут жетоны с номерами от 1 до 100.
Найти вероятность того, что номер второго наудачу извлеченного
жетона не содержит цифру 5.
2. Десять человек садятся на скамейку. Найти вероятность того
что три определенных лица окажутся рядом.
3. Два студента ищут нужную книгу. Вероятность того, что ее
найдет первый студент, равна 0,7, а для второго равная 0,8. Найти
вероятность того что книгу найдет хотя бы один студент.
4. Имеются 10 одинаковых урн, из которых в 9 находится по 2
черных и 2 белых шара, а в одной 5 белых и 1 черный. Из урны взятой
наудачу извлечен белый шар. Какова вероятность того, что шар,
извлеченный из урны содержащий 5 шаров.
5. В урне 2 белых и 4 черных из урны вынимают 4 шара. Найти
вероятность того, что среди вытянутых шаров 3 черных.
6. Из автовокзала отправилось 2 автобуса в аэропорт. Вероятность
при6ытия вовремя для каждого равна 0.9. Найти вероятность того, что
а) о6а прибудут вовремя; б) оба опоздают; в) только один прибудет;
г) хотя бы один прибудет вовремя.
7. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту
перфокарт. Вероятность ошибки для первой перфораторщицы равно 0.1,
для второй 0.2. При сверки перфокарт обнаружена ошибка. Найти
вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.
Вариант 19
1. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма выпавших очков будет четной.
2. В партии готовой продукции из 20 лампочек, 5 повышенного
качества. В выборку берут 7 лампочек. Какова вероятность того, что 3
лампочки выборки будут повышенного качества.
3. Вероятность одного попадания в цель при одном залпе из двух
орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном
выстреле из первого орудия, если известно, что для второго орудия эта
вероятность равна 0,8.
4. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с
вероятностями 0,25; 0,05; 0,7. Вероятности того, что лампа проработает
заданное число очков, равны для этих партий соответственно 0,1; 0,2;
0,4. Определить вероятность того, что случайно выбранная лампа
проработает заданное число часов.
5. В партии из 200 деталей ОТК обнаружены 8 нестандартных
деталей. Чему равна относительная частота появлению нестандартной
детали.
35
6. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения
цели первым стрелком равна 0,8; вторым 0,9; третьим 0,6. Найти
вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в цель;
б) только два стрелка поразят цель; в) все три поразят цель.
7. Трое охотников одновременно выстрелили по медведю,
который был убит одной пулей. Определить вероятность того, что
медведь был убит первым охотником, если вероятности попадания для
них равны соответственно 0,3; 0,4; 0,5.
Вариант 20
1. Абонент набрал номер телефона, забыл 2 последние цифры, но
помня что они различные, набрал их на удачу. Найти вероятность того,
что набраны нужные цифры.
2. В партии из 10 деталей: 7 стандартные и 3 бракованные. Найти
вероятность того, что среди 6 взятых на удачу деталей 4 стандартные.
3. Установлены 2 независимо работающих сигнализатора.
Вероятность того что при аварии один сигнализатор сработает, равна
0,95, для второго 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает
только один сигнализатор.
4. В тире имеется 5 ружей. Вероятность попадания, которых
равны, 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания при первом
вы стреле, если стреляющий берет одно из ружей на удачу.
5. В урне содержится 10 красных, 15 синих, и 5 белых шаров. Из
урны наугад вынимается один шар. Требуется найти вероятность того,
что этот шар будет красным или белым.
6. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения
цели первым стрелком равна 0,7; вторым 0,8; третьим 0,9. Найти
вероятность того, что а) только один из стрелков попадет в цель;
б) только два стрелка поразят цель ; в) все три поразят цель.
7. В цехе 3 типа станков производят одни и те же детали.
Производят их одинаково, качество работы различно. Известно, что
станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества,
второго 0,9, третьего 0,85. Все произведенные в цехе детали в
нерассортированном виде сложены на складе. Определить вероятность
того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если
станков первого типа 5 штук, второго типа - 3, третьего - 2.
Вариант 21
1. Студент может ответить на 20 вопросов из 25. Какова
вероятность того, что он ответит на все 3 вопроса.
2. Вероятность перевыполнения обязательств одним заводом 0,9,
другим 0,95. Какова вероятность перевыполнения обязательств хотя бы
36
одним заводом. Если они реализуют свою продукцию независимо один
от другого.
3. В пруду 800 окуней и 500 карпов. Какова вероятность того, что
2 подряд выловленные окажутся окунями.
4. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для проверки
были отобраны пять деталей. Какова вероятность того, что среди
отобранных деталей две окажутся бракованными?
5. Телефонный номер состоит из 5 цифр. Найти вероятность того,
что цифры различны.
6. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени.
Вероятность поражения мишени каждым из стрелков равна 0,9. Найти
вероятность того, что: а) оба стрелка поразят мишень; б) оба стрелка
промахнутся; в) только один стрелок поразит мишень; г) хотя бы один
из стрелков поразит мишень.
7. В двух ящиках находятся однотипные изделия: в первом 10
изделия, из них 3 нестандартных; во втором 15 изделий, из них 5
нестандартных. Наудачу выбирается одно изделие, и оно оказалось
нестандартным. Определить вероятность того, что взятое изделие
принадлежало второму ящику.
Вариант 22
1. В студенческой группе 10 дружинников. Среди них трое в
возрасте 18- 19 лет, пятеро от 20 до 22 лет. Путем жеребьевки из
дружинников должен быть выбран один человек на дежурство. Какова
вероятность того, что его возраст окажется от 18 до 22.
2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,3,
вторым равна 0,1. Стрелки выстрелили одновременно. Найти
вероятность того, что один из них попадает в цель, а другой не попадет.
3. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков.
Сборщик наудачу взял один валик, а затем второй. Найти вероятность
того, что первым из взятых валиков конусный, а второй эллиптический.
4. В группе 10 студентов пришедших на экзамен, 3 подготовлено
отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1- плохо. В экзаменационных
билетах 20 вопросов, отлично подготовившийся студент может ответить
на все 20 вопросов, хорошо подготовленный на 16, посредственно на
10, плохо на 5 Вызванный наугад студент ответил на три произвольно
заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент
подготовлен: 1) отлично; 2) плохо.
5. Абонент набрал номер телефона, забыл 3 последние цифры, но,
помня, что они различные, набрал их на удачу. Найти вероятность того,
что набраны нужные цифры.
6. С первoгo автомата на сборку поступает 40% , со второго 30%,
с третьего, с четвертого 10% деталей. Среди деталей первого автомата
37
0,1% бракованных, второго 0,2%, третьего 0,25%, с четвертого 0,5%.
Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь будет
бракованная.
7. В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в
соотношении 2:3. Вероятность качественного ремонта для сапог равна
0,9, а для туфель — 0,85. Проведена проверка качества одной пары
обуви. Оказалось, что эта пара обуви отремонтирована качественно.
Какова вероятность того, что это а) сапоги, б) туфли?
Вариант 23
1. Абонент набрал номер телефона, забыл 2 последние цифры, но
помня, что они различные, набрал их на удачу. Найти вероятность того,
что набраны нужные цифры.
2. В партии 7 стандартные и 5 нестандартных деталей. Найти
вероятность, того, что среди 6 взятых на удачу деталей 4 стандартных.
3. Установлены 2 независимо работающих сигнализатора.
Вероятность того, что при аварии один сигнализатор сработает, равна
0,95, для второго 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает
хотя бы один сигнализатор.
4. В тире имеется 5 ружей. Вероятность попадания, которых
равны, 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания при одном
выстреле, если ружье берется наугад.
5. Три стрелка произвели по одному выстрелу по мишени.
Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,9; вторым
0,8; третьим 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена
а) всеми стрелками; б) только один из стрелков; в) только двумя
стрелками
6. На складе имеется 10% пальто размера 44; 20% размера 46; 25%
размера 50 и остальные выше 50 размера. Какова вероятность того, что
наугад взято пальто окажется а) не более 48 размера; б) не менее 48
размера; в) размера 46 или 48;
7. В каждой из двух урн содержится 2 черных и 8 белых шаров.
Из первой урны наугад извлечен один шар и переложен во вторую урну,
после чего из второй урны извлечен шар. Найти вероятность того, что
шар, извлеченный из второй урны, окажется белым.
Вариант 24
1. На клумбе 5 синих, 6 красных, 4 пестрых, 10 белых астр.
Какова вероятность того, что наугад сорванная в темноте астра
окажется белой?
2. В коробке 4 красных карандаша и 6 зеленных. Берут 3
карандаша, какова вероятность того, что 2 из них окажутся красными, а
один зеленый.
38
3. В студенческой группе 10 дружинников. Среди них 3 девушки
и 7 юношей. Требуется путем жеребьевки избрать на дежурство трех
дружинников. Чему равна вероятность того, что окажутся избранными 3
юноши.
4. Из партии в 5 изделий наудачу взято одно, оказавшееся
бракованным. Количество бракованных изделий равновозможной
любое. Какова вероятность того, что в партии было два бракованных
изделия?
5. Наборщик пользуется двумя кассами. В первой кассе 90%, во
второй 80% отличного шрифта. Найти вероятность того, что из наудачу
взятой кассы, шрифт отличного качества.
6. Из урны, содержащей 5 шаров, 5 раз наугад вынимается по
одному шару с возращением каждый раз шара обратно. Найти
вероятность того, что в руке перебывают все шары.
7. Студент сдает экзамен по политэкономии. Из-за болезни он
повторил 50 вопросов из 60 вопросов программы. Билет
экзаменационный состоит из 2-х вопросов. Найти вероятность того, что
студент ответит на оба вопроса билета.
Вариант 25
1. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих, и 15 белых шаров. Из
урны наугад вынимают один шар. Он не возвращается, затем
вынимается второй шар. Требуется найти вероятность того, что оба
шара окажутся цветными.
2. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность
попадания при одном выстреле равно 0,5. Найти вероятность того, что в
результате этих выстрелов будет только одно попадание.
3. Лотерея выпущена на общую сумму 100 руб., цена одного
билета 1 руб. Ценные выигрыши выпадают на пять билетов. Купили
один билет. Определить вероятность выигрыша.
4. Пассажир может обратиться за полученным билетом в одну из
трех касс. Вероятности обращения в одну из трех касс зависит то их
местонахождения и равны соответственно 0,3; 0,4; 0,3. Вероятности
того, что к моменту прихода пассажира, билеты в кассе будут
разобраны, равны соответственно 0,2; 0,1; 0,5. Пассажир направился в
одну из касс и купил билет. Какова вероятность того, что была первая
касса.
5. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что
выпадает четное число очков.
6. Из полной колоды карт (52 карты) выбирают шесть карт; одну
из них смотрят; она оказывается тузом, после чего ее смешивают с
остальными выбранными картами. Найти вероятность того, что при
втором извлечении карты из этих шести мы снова получим туз.
39
7. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом
№1 и 2 коробки деталей, изготовлено заводом №2. Вероятность того,
что деталь завода №1 стандартная равна 0,8, а завод №2 равна 0,9.
Сборщик наудачу извлек деталь из взятой коробки. Найти вероятность
того, что она стандартная.
Вариант 26
1. В команде из 20 стрелков 15 человек выполняют первое
стрелковое упражнение на «отлично», а второе – на «хорошо»;
остальные 5 человек: первое упражнение – на «хорошо», а второе - на
«отлично». Для участия в соревнованиях судья, не зная способностей
стрелков, выделяет 10 человек. Найти вероятность того, что команда
займет первое место, если для этого необходимо выполнить на
«отлично» не менее 7 первых упражнений и 3 вторых.
2. Для сдачи коллоквиума студенту достаточно ответить на один
из двух предложенных вопросов. Какова вероятность того, что студент
сдаст коллоквиум, если он не знает ответов на 8 вопросов из 40,
которые могут быть предложены?
3. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с
вероятностями 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что лампа проработает
заданное количество часов для этих партий равны соответственно 0,1;
0,2 и 0,4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное
количество часов.
4. В группе стрелков: 6 отличных, 9 хороших, 8 посредственных и
2 плохих. Вероятности попадания в цель для них соответственно равны:
0,9; 0,8; 0,5; 0,1. Наугад из группы вызывается один стрелок. Найти
вероятность того, что он попадет в цель.
5. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно
вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что
выиграет первый игрок.
6. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что
сумма очков на них окажется равной: а) пяти; б) шести; в) двенадцати;
г) четырнадцати; д) не менее семи?
7. Три покупателя посетили магазин. Вероятности того, что они
совершат покупку, соответственно для них таковы: 0,9; 0,7; 0,8. Найти
вероятности того, что: а) все трое сделают покупку; б) все трое ничего
не купят; в) только один из них совершит покупку; г) хотя бы один из
них совершит покупку.
Вариант 27
1. В квадрат со стороной a вписана окружность, в которую, в
свою очередь, вписан правильный треугольник. Найти вероятность того,
40
что наугад брошенная в квадрат точка окажется внутри круга, но вне
треугольника, если все положения точки в квадрате равновозможны.
2. При приемке партии изделий проверке подвергается половина
партии. Условие приемки - наличие брака в выборке не выше 2%. Найти
вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5% брака,
будет принята.
3. В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция
первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом,
второго - 10 и третьего - 5%. Какова вероятность приобрести исправный
телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода,
20% - со второго и 50% - с третьего?
4. В первой урне 4 белых и 2 черных шара; во второй 2 белых и 3
черных; в третьей 4 белых и 4 черных. Из первой и второй урн не глядя
перекладывают по одному шару в третью урну. Шары в третьей урне
перемешивают и из нее берут наугад один шар. Найти вероятность того,
что этот шар белый.
5. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков
одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти
вероятность того, что извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а)
одну; б) две; в) три.
6. В группе студентов из 25 человек, пришедших сдавать экзамен,
10 подготовлены отлично, 7 - хорошо, 5 - удовлетворительно и 3 -плохо.
Подготовленные отлично знают ответы на все 25 вопросов программы;
хорошо - 'на 20; удовлетворительно - на 15; плохо - на 10 вопросов.
Вызванный наудачу студент ответил на два заданных вопроса. Найти
вероятность того, что этот студент плохо подготовлен к экзамену.
7. В цехе 3 типа автоматических станков производят одни и те же
детали. Производительность их одинакова, но качество работы
различно. Известно, что станки первого типа производят 90 % деталей
отличного качества, второго – 80% и третьего – 80%. Все
произведенные в цехе детали в нерассортированном виде сложены на
складе. Определить вероятность того, что взятая наудачу со склада
деталь отличного качества, если станков первого типа – 10 штук,
второго – 8 штук и третьего – 2 станка.
Вариант 28
1. Два поезда, двигаясь навстречу друг другу, должны пройти по
железнодорожному мосту между 10 и 11 часами. Время движения
каждого поезда по мосту равно 10 мин. Найти вероятность встречи
поездов на мосту, если проход каждого поезда в течение указанного
часа может произойти в любое время.
2. Рабочий обслуживает четыре станка, работающих независимо
друг от друга. Вероятность того, что в течение часа не потребует
41
внимания рабочего первый станок, равна 0,92, второй - 0,9, третий 0,85, четвертый - 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа не
потребует внимания рабочего хотя бы один станок.
3. В ящике лежат 20 теннисных мячей, в том числе 15 новых и 5
игранных. Для игры наудачу выбирают два мяча и после игры
возвращают обратно. Затем для второй игры наудачу извлекаются еще
два мяча. Какова вероятность того, что вторая игре будет проводиться
новыми мячами?
4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4
бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника
- 0,9; для велосипедиста – 0,8; для бегуна – 0,75. Найти вероятность
того, что спортсмен, выбранный на удачу, выполнит норму.
5. Студент разыскивает нужную ему формулу в четырех
справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом,
втором, третьем и четвертом справочниках соответственно равны: 0,6;
0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятности того, что формула содержится: а)
только в одном справочнике; б) во всех справочниках; в) только в трех
справочниках.
6. В трех ящиках содержится по 20 деталей, прием в первом – 15
стандартных деталей, во втором – 18 стандартных деталей и в третьем –
16 стандартных деталей. Из первого ящика наудачу извлечена одна
деталь и переложена во второй ящик, затем из второго ящика наудачу
извлечена одна деталь и переложена в третий ящик, после этого из
третьего ящика наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того,
что из третьего ящика извлечена стандартная деталь.
7. Студент рассматриваемого вуза по уровню подготовленности с
вероятностью 0,3 является «слабым», с вероятностью 0,5 — «средним»,
с вероятностью 0,2 — «сильным». Какова вероятность того, что из
наудачу выбранных 6 студентов вуза: а) число «слабых», «средних» и
«сильных» окажется одинаковым; б) число «слабых» и «сильных»
окажется одинаковым?
Вариант 29
1. Артиллерийский снаряд с радиусом поражения 2 м попал на
двухколейное железнодорожное полотно шириною 12 м. Ширина колеи
равна 1,5 м, ширина междупутья 6 м. Определись вероятность
поражения железнодорожных путей.
2. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара, во втором 2 белых, 6 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по 1
шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?
3. Три стрелка, вероятности попадания для которых при одном
выстреле в мишень соответственно равны 0,8; 0,7 и 0,6, делают по
42
одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишени окажется
ровно две пробоины?
4. Пластине из изолятора длиной 100 мм прикрывает две
проводящие полосы, идущие перпендикулярно ее длине и идущие от
края пластины границы на расстояниях 20 и 40 мм и соответственно 65
и 90 мм. С центром в точке, положение которой равновозможно в
любом месте пластины, просверлено отверстие диаметром 10 мм.
Определить вероятность получения электрического контакта с любой из
полос, если проводящий контакт приложен сверху к произвольной
точке, расположенной на том же расстоянии от основания пластины,
что и центр отверстия.
5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырех
выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность двух промахов при трех
выстрелах, если при каждом выстреле вероятность поражения цели одна
и та же.
6. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо друг
от друга. Вероятность того, что в течение часа первый станок потребует
внимания рабочего, равна 0,02, для второго станка такая вероятность
равна 0,1, а для третьего – 0,15. Какова вероятность, что в течение
одного часа: а) ни один из станков не потребует внимание рабочего; б)
все три станка потребуют внимание рабочего; в) какой-нибудь один
станок потребует внимание рабочего?
7. Считается равновероятным попадание снаряда в любую точку
площади в 10000 м . Определить вероятность попадания снаряда в
мост, находящийся на этой площади, если длина 200 м и ширина 10 м.
2
Вариант 30
1. Агрегат состоит из трех параллельных цепей, каждая из
которых включает в себя 4 последовательно соединенных элемента. Две
цепи являются резервными. Надежность элементов в основной цепи
0,97, в резервных 0,92. Определить надежность агрегата.
2. Производится стрельба по мишени. Вероятность попадания при
одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что по мишени будет
произведено не менее трех выстрелов, если после первого же попадания
стрельба прекращается.
3. В первой урне 6 белых и 4 черных шара, во второй - 3 белых и 2
черных шара. Из первой урны наудачу извлекают три шара, и шары того
цвета, которые окажутся в большинстве, опускают во вторую урну и
тщательно перемешивают. После этого из второй урны наудачу
извлекают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
4. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых
наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число
испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.
43
5. В коробке находится шесть одинаковых по форме и близких по
диаметру сверл. Случайным образом сверла извлекаются из коробки.
Какова вероятность того, что сверла извлекутся в порядке возрастания
их диаметра?
6. На вход радиолокационного устройства с вероятностью 0,8
поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 0,2 –
только помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то
устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью 0,7;
если только помеха – то с вероятностью 0,3. Известно, что устройство
зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти вероятность того,
что в его составе есть полезный сигнал.
7. В магазин поступило 30 холодильников, пять из них имеют
заводской дефект. Случайным образом выбирается один холодильник.
Какова вероятность того, что он будет без дефекта?
2. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ
2.1. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли
Предположим, что производится n
независимых испытаний,
каждое из которых может иметь два исхода: «успех» с вероятностью
p и «неудачу» с вероятностью q  1  p . Такая схема называется схемой
Бернулли. Термины «успех» и «неудача» употребляются лишь в силу
традиции. Важно лишь наличие двух различных исходов испытания.
n независимых
Теорема. Пусть в опыте G производится
испытаний в одних и тех же условиях, причем некоторое событие A в
каждом опыте появляется с одной и той же вероятностью p . Тогда
вероятность Pn k  события Bk , состоящего в том, что в n опытах
событие
A произойдет ровно k раз, вычисляется по формуле
Бернулли:
Pn (k )  P( Bk )  C k p k (1  p ) n  k .
Доказательство. Данная формула доказывается следующим
образом. Рассмотрим события Ai и Ai , которые заключаются в том, что
событие A соответственно произойдет или не произойдет в i -м
испытании, i  1, n . Тогда, очевидно:
Bk  A1 A2 ...Ak Ak 1 ...An  ...  A1 A2 ...An k An k 1 ...An  B1  ...  BL
где L  C nk . Все события Bi , i  1, L , несовместны по построению.
Следовательно, получаем
P( Bk )  P( A1 ...Ak Ak 1 ...An )  ... P( A1 ...An  k An  k 1 ...An ) 
44
 P( A1 )... P( Ak ) P( Ak 1 )... P( An )  ...  P( A1 )... P( An  k ) P( An  k 1 )... P( An ) 

P( Ai )  p
 p k q n  k  ...  p k q n  k  C nk p k q n  k .
P( Ai )  q  1  p
Следствия:
1) если n  10, то используют формулу Бернулли;
2) P(k1  k  k 2 )  Pn (k1 )  Pn (k1  1)  ....  Pn (k 2  1)  Pn (k 2 ) .
2.2. Предельное поведение вероятностей
Pn (k ) при больших n
Несмотря на элементарность формулы Pn (k ) = C nk p k q nk , при
больших n непосредственное вычисление по ней связано с большой
вычислительной работой, в особенности, если требуется не просто
вычислить Pn (k ) при конкретных значениях n и k , а решить какуюлибо экстремальную задачу. Поэтому широкое применение нашли
приближенные формулы, которые и будут приведены далее.
2.2.1. Формула Пуассона
Теорема Пуассона. Если вероятность p наступления события A в
каждом испытании стремится к нулю  p  0 при неограниченном
n испытаний n   , причем произведение
увеличении числа
np стремится к постоянному числу  np    , то вероятность того, что
событие A появится k раз в
удовлетворяет предельному равенству
n
lim Pn (k )  Pk   
независимых
испытаниях,
k e  
.
k!
Доказательство. Воспользуемся формулой Бернулли:
n 
Pn (k )  C nk p k q n  k 
nn  1n  2...n  k  1 k
n
p 1  p  1  p  k .
k!
Учитывая, что, lim np   , т.е. при достаточно больших n p 
n
k  
n
k
1  2   k  1       
1 1  1  ...1 
 1   1   .
k!   n  n  
n   n   n 
 1
 2
 k 1
Так как lim 1    lim 1    ...  lim 1 
  1,
n  n n 
n 
n
n
45
Тогда Pn (k ) 

n
.
n
n
 

 
  

lim 1    lim 1  
n
n 
n 
n 



lim Pn (k ) 
 e  и
 
lim 1  
n
m 
k
 1, то
k
e  .
k!
Строго говоря, условие теоремы Пуассона p  0 при n   , так
что np   , противоречит исходной предпосылке схемы испытаний
Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом
испытании p  const . Однако, если вероятность p - постоянна и мала,
число испытаний n - велико и число   np - незначительно (будем
полагать, что   np  10 ), то приближенная формула Пуассона верна.
При больших n и относительно малых p ошибка приближения не
n 
k2
 k (k  1)

 0,0196 
 0,01  , то относительная
n
 2n

погрешность составляет 1%.
превышает np 2 . Если
2.2.2. Простейший поток событий
Во многих практических ситуациях приходится выяснять
закономерности появления определенного типа событий: прибытие
судов в порт, отказов в работе устройств и т.д.
Расчет
многих
предприятий,
например,
количество
парикмахерских, количество касс в магазине, число коек в больнице,
число шлюзов на реке и т.д. связано с так называемым потоком
событий.
Определение. Поток событий называется простейшим, если он
обладает следующими свойствами:
- свойством стационарности - для любой группы конечного числа
непересекающихся интервалов времени появление в них соответственно
k1 , k 2 ,..., k n событий зависит только от этих чисел и от длин
промежутков времени;
- свойством отсутствия последействия - вероятность поступления k
событий в некоторый промежуток времени не зависит от того, сколько
событий и как поступило до этого промежутка времени;
- свойством ординарности - невозможность появления двух и более
событий за очень маленький промежуток времени.
Обозначим через t промежуток времени, который нас интересует,
через v интенсивность потока, т.е. количество событий за единицу
времени.
46
Можно доказать, что вероятность того, что за время t
ровно k событий, вычисляется по формуле:
(vt ) k e  vt
Pk (t )  Pt (k ) 
,
k!
где vt – среднее число появления события за t .
поступит
2.2.3. Наивероятнейшее число появления события A в
n независимых испытаниях
Если n - фиксировано, то Pn (k ) некоторая функция от аргумента
k , принимающего значения 0,1,2,... n . Выясним, при каком значении
аргумента эта функция достигает максимума, проще говоря, какое из
чисел Pn (0), Pn (1), Pn (2),...., Pn (n) является наибольшим?
Рассмотрим два соседних числа: Pn (k ) и Pn (k  1) .
Между ними имеет место одно из трех соотношений:
Pn (k )  Pn (k  1) , Pn (k )  Pn (k  1) , Pn (k )  Pn (k  1).
Рассмотрим первое соотношение, т.е. Pn (k )  Pn (k  1) . Преобразуем
его к виду
Pn (k )
 1 , т.к. Pn (k  1)  0 .
Pn (k  1)
Воспользуемся формулой Бернулли Pn (k )  C nk p k q nk ;
Pn (k  1)  Cnk 1 p k 1q n  k 1 и учитывая, что C nk 1  C nk
nk
, получим
k 1
Pn (k )
k 1 q

  1 или (k  1)q  p(n  k ) .
Pn (k  1) n  k p
Раскроем скобки и соберем слагаемые с k :
kq  pk  pn  q , так как p  q  1 , то k  np  q . Пусть np  q   и
тогда k   . Аналогично рассматривая соотношения Pn (k )  Pn (k  1) и
Pn (k )  Pn (k  1) , получим k   и k   .
Итак, если
k   , то Pn (k )  Pn (k  1) ;
k   , то Pn (k )  Pn (k  1) , (если  - целое);
k   , то Pn (k )  Pn (k  1) .
Т.е при k   функция Pn (k ) - возрастает, а при k   функция
Pn (k ) - убывает. Следовательно, если число  - не целое, то функция
имеет максимум и он достигается при ближайшем к  справа целом
47
значении, т.е. при таком целом k 0 , которое заключено между  и
  1 :   k 0    1 или np  q  k 0  np  q .
Если  - целое число, то два равных собой максимума достигаются
при k   и k    1 .
Теорема о вероятности наивероятнейшего числа успехов.
Для расчета вероятности наивероятнейшего числа успехов
используется формула, дающая приближенный результат. Точность
формулы зависит от числа испытаний и по мере увеличения их числа
возрастает:
1
0,3989
.
Pn (k 0 ) 

2npq
npq
2.2.4. Локальная теорема Муавра-Лапласа
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn (k ) того, что
событие A произойдет k раз в n независимых испытаниях при
достаточно большом числе n , вычисляется по формуле
2
1  x2
k  np
1
e , x
Pn k  
 ( x), где  x  
2

npq
npq
или Pn (k ) 
1
2npq
e
x2
 1
2 npq
, x1  k  np .
Доказательство.
Рассмотрим
функцию
y k  Pk  Pn (k ) .
Воспользуемся
определением
производной
функции:
yk приблизительно равна отношению конечного приращения Pk 1  Pk к
приращению аргумента (k  1)  k :
y'k 
Pk 1  Pk
 P k 1  Pk
(k  1)  k
Составим отношение
y k Pk 1  Pk Pk 1


 1.
yk
Pk
Pk
48
n!
 p k 1  q n  k 1
y k
(k  1)!(n  k  1)!
k! (n  k )!
p

1 
 1 
n
!
yk
(k  1)!(n  k  1)! q
 p k  q nk
k! (n  k )!
np  kp  qk  q np  k ( p  q)  q np  k  q
nk p

 1 


.
k 1 q
q  (k  1)
q (k  1)
kq  q
Так как x  k  np , то
 q
 x1  
 x
.

x
1 
npq  1 
 
 np np 
Полагая n - величиной очень большой, а p и q правильными
дробями, заметно отличающимися от нуля, можно сказать, что
q x 1
стремятся к 0 и ими можно пренебречь.
, ,
x np np
y k
x

Тогда выражение
является
дифференциальным
y k npq
уравнением, решение которого имеет вид
x2
ln y k  
C .
2npq
y k
xq
xq



y k q( x  np)  q xq  npq  q
Откуда y k  e

x2
C
2npq
или y k  e C  e

x2
2 npq
2
, и y k  C1  e
 2xnpq
 Pn (k ) .
Постоянную C1 найдем из начальных условий y (0)  y 0 , где
1
, т.к. при больших n np  k 0
x1  0 , т.е. k  np , y0  P(k0 ) 
2npq
наивероятнейшему числу появления события в n независимых
испытания, тогда
y k  Pn (k ) 
1
2npq
e

x2
2 npq
.
Чем больше n , тем точнее приближенная формула Pn ( k ) 
называемая
локальной
формулой
применяется при npq  9 , но при
погрешность.
49
 x 
,
npq
Муавра-Лапласа.
Формула
npq  20 дает незначительную
Если
менее 1%.
1
1

 0,1 , то относительная погрешность составляет
k nk
2.2.5. Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Теорема. Если вероятность p наступления события A в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число
k наступления события A в n независимых испытаниях заключено в
пределах от k 1 до k 2 (включительно), при достаточно большом числе
n приближенно равна
Pn (k1  k  k 2 )  Фx2   Фx1 ,
где Фx  
1
x 
t2
2
 e dt - интегральная функция Лапласа;
2 0
k  np
k  np
x1  1
, x2  2
.
npq
npq
Pn (k1  k  k 2 )
Доказательство. Вероятность
k k2
формуле Pn (k1  k  k 2 )   Pn (k ) .
Но
k  k1
при
можно найти по
больших
k1
и
k 2 нецелесообразно использовать эту формулу, т.к. она содержит
 x 
большое количество слагаемых вида Pn ( k ) 
, поэтому сумму
npq
заменим интегралом:
x2
0
x2
x1
0
Pn (k1  k  k 2 )    ( x)dx    ( x)dx    ( x)dx 
x1
x1
x2
    ( x)dx    ( x)dx
0
0
x
Условимся обозначать ( x)    (t )dt 
1
x

t2
 e 2 dt , тогда
2 0
Pn (k1  k  k 2 )  ( x2 )  ( x1 ) ,
0
где x2 
k 2  np
npq
; x1 
k1  np
.
npq
50
Формула Pn (k1  k  k 2 )  Фx2   Фx1 , называется интегральной
формулой Муавра-Лапласа. Чем больше n , тем точнее эта формула.
При выполнении условия npq  20 интегральная формула МуавраЛапласа, так же как и локальная, дает незначительную погрешность
вычисления вероятностей.
Значения функции Фx  сведены в таблицу. Для применения
таблицы нужно знать свойства функции Фx  :
- функция Фx  нечетная, т.е. Ф x   Фx  ;
-функция Фx  монотонно возрастающая, причем при x  
Фx   0,5 . Практически можно считать, что уже при x  4, Фx   0,5.
Следствие. Если вероятность p наступления события A в каждом
испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом
числе n независимых испытаний вероятность того, что:
а) число k наступления события A отличается от произведения
np не более чем на величину   0 (по абсолютной величине),
вычисляется по формуле
  
.
Pn  k  np     2Ф
 npq 


Неравенство k  np   равносильно двойному неравенству
np    k  np   . Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа
получим:
 np    np 


  Ф np    np  
Pn  k  np     Pn np    k  np     Ф


npq 
npq 


  








  Ф     Ф    Ф    2Ф  .
 Ф
 npq 
 npq 
 npq 
 npq 
 npq 










k
события A заключена в пределах от  до 
n
(включительно) с вероятностью
k


Pn        Фz 2   Фz1 ,
n


p
p
где
z1 
, z2 
.
pq / n
pq / n
б) частота
51
Неравенство  
a  n и b  n .
k
  равносильно неравенству
n
a  k  b при
Заменяя в формулах Pn (a  k  b)  Фx2   Фx1 ,
x1 
a  np
npq
, x2 
b  np
npq
величины a и
b выражениями
a  n и
b  n , получим
k
p
p


Pn        Фz 2   Фz1 , z1 
, z2 
.
n


pq / n
pq / n
k
события A от вероятности
n
события в единичном испытании p не более чем на величину   0 (по
абсолютной величине) вычисляется по формуле
в) вероятность отклонения частоты
 n 
k

.
Pn   p     2Ф
 pq 
n



Неравенство
k
 p   равносильно неравенству k  np    n .
n
  
 ,     n , получим
Заменяя в формуле Pn  k  np     2Ф
 npq 


 n 
k

.
доказываемую формулу, т.е. Pn   p     2Ф
 pq 
n



2.3. Решение типовых задач
Пример 1. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость,
чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?
1
Р е ш е н и е . В данном случае p  . Согласно неравенству
6
1 5
1 1
n  5  60  n  1 , т.е. необходимо
или
n    10  n  
6 6
6 6
подбросить кость от 59 до 65 раз (включительно).
Пример 2. Вероятность изготовления на автоматическом станке
стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности возможного числа
появления бракованных деталей среди 5 отобранных.
52
Р е ш е н и е . Вероятность изготовления бракованной детали.
Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:
P5 (0)  C50  0,2 0  0,85  0,32768 ; P5 (3)  C53  0,2 3  0,8 2  0,0512 ;
P5 (1)  C51  0,21  0,8 4  0,4096
P5 (4)  C54  0,2 4  0,81  0,0064 ;
P5 (2)  C52  0,2 2  0,83  0,2048 ; P5 (5)  C55  0,2 5  0,80  0,00032 ;
Пример 3. В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются
по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9
пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене:
1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2 пакетов;
б) не более 2; в) хотя бы 2 пакета; г) наивероятнейшее число пакетов.
Р е ш е н и е . Вероятность того, что пакет акций не будет продан по
первоначально заявленной цене, равна p =1—0,2=0,8.
1) по формуле Бернулли найдем вероятность того, что не будут
проданы 5 пакетов: P9 (5)  С 95  0,8 5  0,2 4  0,0660 ;
2) а) будет продано менее 2 пакетов: по условию p = 0,2.
P9 (k  2)  P9 (0)  P9 (1)  С 90  0,2 0  0,8 9  С 91  0,2  0,88  0,436 ;
б) будет продано не более двух пакетов:
P9 (k  2)  P9 (0)  P9 (1)  P9 (2)  С 90  0,2 0  0,8 9  С 91  0,2  0,88 
 C 92 0,2 2 0,8 7  0,738 ;
в) будет продано хотя бы два пакета
P9 (k  2)  P9 (2)  P9 (3)  ...  P9 (9) .
Указанную вероятность можно найти проще, если перейти к
противоположному событию, т.е.
P9 (k  2)  1  P9 (k  2)  1  ( P9 (0)  P9 (1))  1  0,436  0,564 .
г) наивероятнейшее число проданных акций по первоначально
заявленной цене определится из условия np  q  k0  np  q , т.е.
9  0,2  0,8  k 0  9  0,2  0,2 или 1  k 0  2 т.е. наивероятнейших чисел
два: k 0  1 и k 0  2 .
Пример 4. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова
вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно
четырех студентов факультета?
Р е ш е н и е . Вероятность того, что день рождения студента 1
1
1
сентября, равна p 
. Так как p 
— мала, p  1825 — велико
365
365
1
 5  10 , , то применяем формулу Пуассона:
и   np  1825 
365
53
e 5  5 4
 0,1755 . Значение вероятности при k  4 и
4!
  5 нашли по таблице Приложения В.
Пример 5. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий.
Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке,
составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1)
будет повреждено: а) три изделия; б) по крайней мере три изделия; 2) не
будет повреждено: а) 9997; б) хотя бы 9997.
Р е ш е н и е . Вероятность того, что изделие будет повреждено при
транспортировке, равна p = 0,0002.
Получим P1825(4) 
1) а) так как p -мала, n =10000-велико
и   np  10000 0,0002  2  10, следует применить формулу Пуассона:
23 е 2
.
3!
Это значение вероятности нашли по таблице Приложения В:
Р10000(3)  0,1804 . ;
Р1 00 0 0(3) 
б) вероятность Р10000(k  3) может быть вычислена как сумма
большого количества слагаемых:
Р10000(k  3)  Р10000(3)  Р10000(4)  ...  Р10000(10000 ) .
Но, разумеется, проще ее найти, перейдя к противоположному
событию:
Р10000(k  3)  1  Р10000(k  3)  1  ( Р10000(0)  Р10000(1)  Р10000(2)) 
 1  (0,1353  0,2707  0,2707 )  0,3233 .
Следует
отметить,
что
для
вычисления
вероятности
применить
интегральную
Р10000(k  3) = Р10000(3  k  10000 ) нельзя
формулу Муавра—Лапласа, так как не выполнено условие ее
применимости, ибо npq  2  9 ;
2) а) в данном случае p = 1 — 0,0002 = 0,9998 и надо найти
Р10000(9997 ) для непосредственного вычисления которой нельзя
применить ни формулу Пуассона ( p велика), ни локальную формулу
Муавра—Лапласа ( npq  2  9 ). Однако событие «не будет повреждено
9997 из 10 000» равносильно событию «будет повреждено 3 из 10 000»,
вероятность которого, равная 0,1804, получена в п.1(а);
6) событие «не будет повреждено хотя бы 9997 из 10 000»
равносильно событию «будет повреждено не более 3 из 10 000», для
которого p = 0,0002 и
Р10000(k  3)  Р10000(0)  Р10000(1)  Р10000(2)  Р10000(3) 
54
 0,1353  0,2707  0,2707  0,1805  0,8572 .
Пример 6. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют
холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют
холодильники.
Р е ш е н и е . Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна
80
p
 0,8 . Т. к. n  100 достаточно велико (условие
100
npq  100  0,8(1  0,8)  64  9 выполнено), то применяем локальную
формулу Муавра—Лапласа.
Вначале определим x 
300  400  0.8
400  0,8  0,2
 2,50 .
Тогда по локальной формуле Муавра-Лапласа
 (2,50)
 (2,50) 0,0175

 0,0022 (значение
P400 (300 ) 

8
100  0,8  0,2
64
 (2,50) найдено по таблице Приложения А). Весьма малое значение
вероятности P400(300 ) не должно вызывать сомнения, так как кроме
события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще
400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими
вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а
значит, сумма их вероятностей равна единице.
Пример 7. Но данным предыдущего примера 6 вычислить
вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют
холодильники.
Р е ш е н и е . Применяем интегральную теорему Муавра— Лапласа
(npq  64  9) . Вначале определим x1 и x 2 :
x1 
300  400  0,8
400  0,8  0,2
 2,50 , x2 
360  400  0,8
400  0,8  0,2
 5,0.
Теперь, учитывая свойства Ф(x), получим
P400(300  k  360 )  Ф(5,0)  Ф(2,50)  Ф(5,0)  Ф(2,50) 
 0,5  0,4938  0,9938 .
По таблице Приложения Б: Ф(2,50 )  0,4876 , Ф(5,0)  0,5 .
Пример 8. По данным примера 6 вычислить вероятность того,
что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.
Р е ш е н и е . Вычислить вероятность P400(280  k  360 ) можно
аналогично примеру 7 по интегральной формуле Муавра-Лапласа. Но
проще это сделать, если заметить, что границы интервала 280 и 360
55
симметричны относительно величины
np  0,9876 = 320. Тогда
получим
P400(280  k  360)  P400(40  k  320  40)  P400( k  320  40) 


40
  2Ф(5,0)  1.
 2Ф
 400  0,8  0,2 


Пример 9. По статистическим данным в среднем 87%
новорожденных доживают до 50 лет. 1. Найти вероятность того, что из
1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет: а) заключена в
пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого
события не более чем на 0,04 (по абсолютной величине). 2. При каком
числе новорожденных с надежностью 0,95 доля доживших до 50 лет
будет заключена в границах от 0,86 до 0,88?
Р е ш е н и е . 1. а) вероятность p того, что новорожденный доживет
до 50 лет, равна 0,87. Так как n = 1000 велико (условие
npq  1000 0,87  0,13  113,1  9 выполнено), то используем следствие
интегральной теоремы Муавра—Лапласа. Вначале определим x1 и x 2 :
z1 
0,9  0,87
0,13
0,87 
1000
 2,82, z 2 
0,95  0,87
 7,52 .
0,13
0,87 
1000
Теперь
P400(0,9  k  0,95)  Ф(7,52)  Ф(2,82)  0,5  0,4976  0,0024
б) по формуле
 0,04  1000
k

P1000  0,87  0,04   2Ф
 0,87  0,13
n


Так как неравенство

  2Ф(3,76 )  0,9998 .


k
 0,87  0,04 равносильно неравенству
n
k
 0,91, полученный результат означает, что практически
n
достоверно, что от 0,83 до 0,91 числа новорожденных из 1000 доживут
до 50 лет.
k
2. По условию Pn (0,86   0,88)  0,95, или
0,83 
n
Pn (0,01 
k

k
 0,87  0,01)  Pn   0,87  0,01   0,95,
n
n

56
 n 
  0,95 .
По формуле при   0,01, 2Ф
 pq 


0,95
По таблице 2 приложений Ф(t ) 
при t  1,96 , следовательно,
2
 n
 t получим
из формулы
pq
t 2 pq 1,96 2  0,87  0,13

 4345 ,
2
0,01 2
т.е. условие может быть гарантировано при существенном увеличении
числа рассматриваемых новорожденных до 4345.
Пример 10. По результатам проверок налоговыми инспекциями
установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона
имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того,
что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют
нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б)
наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.
Р е ш е н и е . а) по условию p = 0,5. Так n = 1000 достаточно
велико (условие npq  10000  0,5(1  0,5)  250  9 выполнено), то
применяем локальную формулу Муавра—Лапласа. Вначале определим
480  1000  0,5
x
 1,265 , чтобы вычислить значения  (1,265 )
1000  0,5  0,5
используем линейную интерполяцию (таблица Приложения А):
 (1,26)   (1,27 ) 1
 (1,265 ) 
 (0,1804  0,1781 )  0,1792 .
2
2
 (1,265 )
 (1,265 ) 0,1792
Тогда Р10000(480 ) 


 0,0113 ;
1000  0,5  0,5
250
250
n
б) наивероятнейшее число найдем из двойного неравенства
1000  0,5  0,5  k0  1000  0,5  0,5 , т.е. 499 ,5  k 0  500 ,5 и целое
k0  500 .
Теперь определим
 (0) 0,3989
500  1000  0,5

 0,0252 ;
x
 0 и Р1000(500 ) 
1000  0,5  0,5
250
250
в)
необходимо
найти
Р1000(k  480 )  Р1000(480  k  1000 ) .
Применяем интегральную формулу Муавра—Лапласа, предварительно
найдя по формуле
57
x1 
480  1000  0,5
1000  0,5  0,5
 1,265 , x2 
1000  1000  0,5
1000  0,5  0,5
 31,6.
Получаем
P1000(480  k  1000 )  Ф(31,6)  Ф(1,265 )  Ф(31,6)  Ф(1,265 ) 
 0,5  0,397  0,897 ,
где значение Ф(1,265 ) вычисляем используя линейную интерполяцию
(таблица Приложения Б):
Ф(1,26 )  Ф(1,27 ) 1
 (0,3962  0,3979 )  0,39705 .
2
2
г) вероятность Р1000(480  k  520 ) можно было найти по той же
Ф(1,265 ) 
интегральной формуле Муавра—Лапласа. Но проще это сделать,
используя следствие, заметив, что границы интервала 480 и 520
симметричны относительно значения np  1000  0,5  500 :
 20 
 
Р1000(480  k  520 )  Р1000( k  500  20 )  2Ф
 250 
 2Ф(1,265 )  0,794 .
Пример 11. В страховой компании 10 тыс. клиентов. Страховой
взнос каждого клиента составляет 500 руб. При
наступлении
страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и
оценкам экспертов можно считать равной p = 0,005, страховая
компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50
тыс. руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с
надежностью 0,95?
Р е ш е н и е . Размер прибыли компании составляет разность между
суммарным взносом всех клиентов и суммарной страховой суммой,
выплаченной п 0 клиентам при наступлении страхового случая, т.е.
П  500 10  50 п0  50(100  п0 ) тыс. руб.
Для определения п0 применим интегральную формулу Муавра—
Лапласа (требование npq  10000 0,05  0,995  49,75  9 выполнено).
По условию задачи
Р1000(0  k  п0 )  Ф(x 2 ) - Ф(x 1 )  0,95,
x1 
0  np
npq

n  np
np
10000  0,005

 7,09 , x2  0
,
q
0,995
npq
откуда
58
n0  np  x2 npq  10000  0,005  x2 49,75  50  x2 49,75 .
Ф( x2 )  0,95  Ф( x1 )  0,95  Ф(7,09)  0,95  (0,5)  0,9.
По таблице Приложения Б Ф( x2 )  0,9 при х2  1,645 .
Теперь n0  50  1,645 49,75  61,6 и П  50(100  61,6)  1920 , ,
т.е. с надежностью 0,95 ожидаемая прибыль составит 1,92 млн. руб.
2.4.Задачи для самостоятельного решения
1. Что вероятнее выиграть у равносильного противника (ничейный
исход партий исключен)6 три партии из четырех или пять из восьми?
2. Вероятность получения удачного результата при производстве
сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число
удачных опытов, если общее их количество равно 7.
3. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия
равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы
наивероятнейшее число попаданий было равно 20?
4. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число
годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу
взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?
5. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с
вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти
посеянных семян взойдут не менее четырех?
6. Для проверки качества партии изготовленных изделий наудачу
отбирается пять изделий. Если среди них окажется два или более
нестандартных изделия, то вся партия подлежит сплошному контролю.
Вероятность изготовления стандартного изделия равна 0,9. Определить
вероятность того, что партия будет подвергнута сплошному контролю.
Определить наиболее вероятное число стандартных изделий и
вычислить соответствующую ему вероятность.
6. Вероятность того, что команда выйдет в финал игры, равна 0,6.
Оценить вероятность того, что число команд, прошедших в финал игры,
будет заключено в пределах от 7 до 11, если в играх участвует 15
команд.
7. Прядильщица обслуживает 1000веретен. Вероятность обрыва
нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0,004. Найти
вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на
пяти веретенах.
8. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001.
Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число
выстрелов равно 5000.
9. Вероятность того, что любой абонент позвонит на телефонную
станцию в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает
59
800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5
абонентов?
10. Вероятность сбоя компьютерной системы составляет 0,009.
Оценить вероятность того, что из 70 000 компьютеров выйдет из строя
от 300 до 960.
11. В первые классы должно быть принято 200 детей. Определить
вероятность того, что среди них окажется 100 девочек, если вероятность
рождения мальчика равна 0,515.
12. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад
отобранных монет число монет, расположенных «гербом» вверх, будет
от 45 до 55?
13. Вероятность того, что безработный найдет работу, обратившись
в службу занятости, равна 0,6. Оценить вероятность того, что среди 700
человек, обратившихся в службу занятости, работу получат от 340 до
500 человек.
14. Вероятность получения зачета равна 0,6. Оценить вероятность
того, что из 25 студентов зачет получат от 10 до 20 студентов.
15. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти
вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет
заключено между 790 и 830.
16. Каков должен быть объем контрольной партии взятых наудачу
для проверки изделий, чтобы с вероятностью 0,99 можно было
утверждать, что процент изделий определенного сорта, найденный по
контрольной партии, отличается не более чем на 3% от установленной
нормы выпуска изделий этого сорта, равной 10%?
17. Швейная фабрика, выпускающая массовую продукцию,
производит изделий первого сорта 75% от общего числа изделий.
Оценить вероятность того, что доля изделий первого сорта среди 20000
изготовленных будет отличаться от вероятности изготовления изделий
первого сорта не более, чем на 1% в ту или другую сторону.
18. Вероятность изготовления нестандартной радиолампы 0,02.
Какое наименьшее количество радиоламп следует отобрать, чтобы с
вероятностью, большей 0,8, можно было утверждать, что среди них
доля нестандартных радиоламп отличается от вероятности изготовления
нестандартной лампы по абсолютной величине не более, чем на 0,005?
19. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами,
продает их, равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы
можно было утверждать с вероятностью 0,996. что доля проданных
среди них отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной
величине)?
20. Среднее число заявок, поступивших на АТС в 1 мин., равно 2.
Найти вероятность того, что за 4 мин. поступит: а) три вызова; б) менее
трех вызовов; в) не менее трех вызовов.
60
2.5. Индивидуальное домашнее задание
по теме «Повторные независимые испытания»
Вариант 1
1.Вероятность правильного оформления накладной при передаче
продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из восьми накладных
только две оформлены правильно.
2.Найти приближенно вероятность того, что при 400 независимых
испытаниях событие наступит 104 раза, если вероятность его появления
в каждом испытании равна 0,2.
3.Процент выхода поголовья цыплят равен 80. Сколько нужно
заложить яиц в инкубатор, чтобы с вероятностью 0,95 можно ожидать
отклонение процента выхода поголовья от его вероятности не более чем
на 2%?
Вариант 2
1.Вероятность правильного оформления счета на предприятии
составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты шесть
счетов. Какова вероятность того, что только один из них оформлен
правильно?
2.Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле
равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах стрелок
поразит мишень ровно 75 раз.
3.Каков должен быть объем контрольной партии взятых наудачу
для проверки изделий, чтобы с вероятностью 0,99 можно было
утверждать, что процент изделий определенного сорта, найденный по
контрольной партии, отличается не более чем на 3% от установленной
нормы выпуска изделий этого сорта, равной 10%?
Вариант 3
1.На швейной фабрике пять цехов, вероятность выполнения плана
за месяц у каждого цеха равна 0,88. Найти вероятность того, что:
а) только один цех не выполнит план; б) два цеха не выполнят план;
в) все пять цехов не выполнят план.
2.Вероятность появления события А в каждом отдельном
испытании равна 0,75. Вычислить вероятность того, что при 48
независимых испытаниях событие А наступит ровно 30 раз.
3.Швейная фабрика, выпускающая массовую продукцию,
производит изделий первого сорта 75% от общего числа изделий.
Оценить вероятность того, что доля изделий первого сорта среди 20000
изготовленных будет отличаться от вероятности изготовления изделий
первого сорта не более, чем на 1% в ту или другую сторону.
61
Вариант 4
1.Вероятность того, что любой студент сдаст зачет по
математическому программированию, равна 0,8. Три студента пришли
сдавать зачет. Определить вероятность того, что а) два студента только
сдадут зачет; б) все три студента сдадут зачет; в) хотя бы один студент
сдаст зачет.
2.Какова вероятность выиграть у равносильного противника 24
партии из 40?
3.Из 5000 швейных однотипных изделий, поступивших на
торговую базу с фабрики, было обследовано товароведом 500 штук,
отобранных случайным образом. Среди них оказалось 10 бракованных
(третьего сорта). Приняв долю бракованных изделий среди отобранных
за вероятность пошива бракованного изделия, оценить вероятность
того, что во всей партии бракованных изделий не более 4%.
Вариант 5
1.Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность
того, что каждому из этих покупателей потребуется холодильник марки
«А», равна 0,4. Найти вероятность того, что холодильник потребуется:
а) не менее чем двум покупателям; б) не более чем трем покупателям; в)
всем четырем покупателям.
2.Найти приближенно вероятность того, что при 100 независимых
испытаниях событие наступит ровно 12 раз, если вероятность появления
в каждом испытании равна 0,2.
3.ОТК проверяет качество швейных изделий, вероятность пошива
изделия нестандартного (третьего) сорта равна 0,02. Контролер взял для
проверки 20 изделий наудачу. Каково наиболее вероятное число
стандартных изделий среди проверяемых? Какова вероятность того, что
среди проверяемых 19 изделий стандартных? Какова вероятность того,
что среди проверяемых не менее 10 стандартных изделий?
Вариант 6
1.В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей
некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей
имеют некомплектность: а) три автомобиля; б) менее трех.
2.Вероятность брака при производстве деталей равна 0,02. Найти
вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракованными
от 7 до 10 деталей.
3.Вероятность изготовления нестандартной радиолампы 0,02.
Какое наименьшее количество радиоламп следует отобрать, чтобы с
вероятностью, большей 0,8, можно было утверждать, что среди них
62
доля нестандартных радиоламп отличается от вероятности изготовления
нестандартной лампы по абсолютной величине не более, чем на 0,005?
Вариант 7
1. Производится залп из шести орудий по некоторому объекту.
Вероятность попадания в объект из каждого орудия равна 0,6. Найти
вероятность ликвидации объекта, если для этого необходимо не менее
четырех попаданий.
2. Вероятность попадания в цель равна 0,5. Какова вероятность
того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между
115 и 150.
3. Вероятность того, что дилер, торгующий ценными бумагами,
пролает их равна 0,7. Сколько должно быть ценных бумаг, чтобы можно
было утверждать с вероятностью 0,996. что доля проданных среди них
отклонится от 0,7 не более чем на 0,04 (по абсолютной величине)?
Вариант 8
1. В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает
страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров с
наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой
суммы: а) три договора; б) менее двух договоров.
2. Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0,02. Определить вероятность того, что среди взятых 1000 штук деталей окажутся
бракованными не более 25.
3. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число
годных деталей было равно 50, если вероятность того, что наудачу
взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?
Вариант 9
1. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых
предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова
вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в
течение года прекратят свою деятельность?
2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,75.
Какова вероятность того, что при 100 выстрелах число попаданий будет
не менее 70?
3. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда,
равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800
пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
63
Вариант 10
1. В семье десять детей. Считая вероятности рождения мальчика и
девочки равными между собой, определить вероятность того, что в
данной семье: а) не менее трех мальчиков; 6) не более трех мальчиков.
2. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна
0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных
деталей непроверенными окажутся от 70 до 100.
3. Вероятность того, что деталь стандартна, равна p = 0,9. Найти:
а) с вероятностью 0,9545 границы (симметричные относительно p ), в
которых заключена доля стандартных среди проверенных 900 деталей;
б) вероятность того, что доля нестандартных деталей среди них
заключена в пределах от 0,08 до 0,11.
Вариант 11
1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что более
вероятно: а) выиграть 2 партии из 4 или 3 партии из 6; б) не менее 2
партий из 6 или не менее 3 партий из 6? (Ничьи в расчет не
принимаются.)
2. Вероятность промышленного содержания металла в руде равна
0,7. Отобрано 100 проб. Определить вероятность того, что число проб с
промышленным содержанием металла в руде находится в пределах от
55 до 80; каково наиболее вероятное число проб с промышленным
содержанием металла в руде и какова вероятность этого числа?
3. Статистическая вероятность рождения мальчика 0,515. Оценить
вероятность того, что число мальчиков среди 4000 новорожденных
будет отличаться от математического ожидания этого числа по
абсолютной величине не более чем на 56 человек.
Вариант 12
1. Работают четыре магазина по продаже стиральных машин.
Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что
ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от
других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ в
двух, в трех и в четырех магазинах.
2. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го
размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 покупателей
обувь 41-го размера потребуют 35 человек.
3. В результате проверки качества приготовленных для посева
семян гороха установлено, что в среднем 90% всхожи. Сколько нужно
посеять семян, чтобы с вероятностью 0,991 можно было ожидать, что
доля взошедших семян отклонится от вероятности взойти каждому
семени не более чем на 0,03 (по абсолютной величине)?
64
Вариант 13
1. Известно, что в среднем 60% всею числа изготовляемых заводом
телефонных аппаратов является продукцией первого сорта. Чему равна
вероятность того, что в изготовленной партии окажется: а) 6 аппаратов
первого сорта, если партия содержит 10 аппаратов; б) 120 аппаратов
первого сорта, если партия содержит 200 аппаратов?
2. Вероятность попадания в цель равна 0,5. Какова вероятность
того, что при 250 выстрелах число попаданий будет заключено между
115 и 150.
3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,004.
Найти вероятность поражения цели не менее чем 2 снарядами, при
залпе из 250 орудий.
Вариант 14
1. Вероятность того, что перфокарта набита оператором неверно,
равна 0,1. Найти вероятность того, что: a) из 200 перфокарт правильно
набитых будет не меньше 180; б) у того же оператора из десяти
перфокарт будет неверно набитых не более двух.
2. Из полной колоды карт (52 карты) выбирают шесть карт; одну из
них смотрят; она оказывается тузом, после чего ее смешивают с
остальными выбранными картами. Найти вероятность того, что при
втором извлечении карты из этих шести мы снова получим туз.
3. Для студенческой лотереи были пронумерованы 500 билетов
номерами от 1 до 500. Организаторы лотереи сделали ее
беспроигрышной. Все выигрыши разделили на три вида: а) «самый
большой выигрыш» - том стихов Пушкина, приходится на билеты,
номера которых содержат три одинаковых цифры; б) «средний
выигрыш» - набор фломастеров – приходится на билеты, номера
которых содержат две одинаковых цифры. Определить вероятность
того, что: а) взятый наудачу билет окажется выигрышным; б) на взятый
билет выиграют «средний выигрыш»; в) на взятый билет выиграют
«большой выигрыш».
Вариант 15
1. Первый прибор состоит из 10 узлов, второй из 8 узлов. За время t
каждый из узлов первого прибора выхолит из строя, независимо от
других, с вероятностью 0,1. второго — с вероятностью 0,2. Найти
вероятность того, что за время t в первом приборе выйдет из строя хотя
бы один узел, а во втором — но крайней мере два узла.
2. Имеется 50 экзаменационных билетов, каждый из которых
содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ не на все 100
вопросов, а только на 60. Определить вероятность того, что экзамен
65
будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса из своего
билета, или на один вопрос из своего билета, или на один (по выбору
преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
3. В коробке пять одинаковых изделий, причем, три из них
окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что
среди двух извлеченных изделий окажутся: а) одно окрашенное
изделие; б) два окрашенных изделия.
Вариант 16
1. Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероятность того, что
из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?
2. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно
вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше полупи белый шар. Найти вероятность того, что
выиграет первый игрок.
3. Бросают две игральные кости. Какова вероятность того, что
сумма очков на них окажется равной: а) пяти; б) шести; в) двенадцати;
г) четырнадцати; д) не менее семи?
Вариант 17
1. В цехе имеется 6 моторов, для каждого мотора вероятность того,
что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того,
что в данный момент выключено менее 5 моторов.
2. Вероятность брака при изготовлении деталей равна 0,02. Определить вероятность того, что среди взятых 1000 штук деталей окажутся
бракованными не более 25.
3. Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероятность
повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что
при транспортировке будет повреждено: а) ровно три изделия; б) более
трех изделий.
Вариант 18
1. 30% изделий предприятия - продукция высшего сорта.
Покупатель приобрел 5 изделий. Найти вероятность того, что не менее
двух, изделий высшего сорта.
2. Вероятность появления события А в каждом отдельном
испытании равна 0,75. Вычислить вероятность того, что при 48
независимых испытаниях событие А наступит ровно 30 раз.
3. На станциях отправления поездов находится 1000 автоматов для
продажи билетов. Вероятность выхода из строя одного автомата в
течение часа равна 0,004. Какова вероятность того, что в течение часа из
строя выйдут два, три и пять автоматов?
66
Вариант 19
1. В студии 3 телевизионных камер. Для каждой камеры
вероятность того, что в данный момент включена, равна 0,6. Найти
вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
2. Какова вероятность выиграть у равносильного противника 24
партии из 40?
3. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в
магазин будет возвращена бракованная пара равна 0,01. найти
вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено а)
ровно 4 пары, б) ровно 5 пар.
Вариант 20
1. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t
равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий за
время t сохранятся: а) два; б) более двух.
2. Вероятность того, что ячейка камеры хранения будет свободна в
течение суток, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в течение 24
часов число свободных ячеек будет заключено в пределах от 140 до 180,
если всего на вокзале 800 ячеек.
3. В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность
того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число
денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при
проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных
пакета; б) не более трех пакетов.
Вариант 21
1. Вероятность попадания при одном выстреле равно 0,6.
Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет иметь
место хотя бы одно попадание.
2. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних
коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам.
Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном
случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при
размещении 100 тыс. листков число заказов будет. а) равно 48; б)
находиться в границах от 45 до 55.
3. У страховой компании имеются 10 000 клиентов. Каждый из них,
страхуясь от несчастного случая, вносит 500 руб. Вероятность
несчастного случая 0,0055. а страховая сумма, выплачиваемая
пострадавшему, составляет 50 000 руб. Какова вероятность того, что: а)
страховая компания потерпит убыток: б) на выплату страховых сумм
уйдет более половины всех средств, поступивших от клиентов?
67
Вариант 22
1. Отдел технического контроля проверяет изделия на
стандартность. Вероятность того, что изделия не стандартно равно 0,1.
Найти вероятность того, что а) из трех проверенных изделий только
одно окажется нестандартным; б) нестандартным окажется только
четвертое по порядку проверенное изделие.
2. Вероятность того, что предприниматель отправится в Москву на
самолете, равна 0,8. Оценить вероятность того, что среди 1 000
предпринимателей, число человек, выбравших самолет, будет находится
от 665 до 935.
3. В вузе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, что лень
рождения студента приходится на определенный лень гола, равна 1/365.
Найти: а) наиболее вероятное число студентов, родившихся 1 мая, и
вероятность такого события: б) вероятность того, что, по крайней мере,
3 студента имеют один и тот же лень рождения.
Вариант 23
1. В студии 5 телевизионных камеры. Для каждой вероятность того,
что она включены в данный момент равна 0.6. Найти вероятность того,
что в данный момент включена хотя бы одна камера.
2. Вероятность поездки на Канары среднеобеспеченной
американской семьи 0,1. Оценить вероятность того, что из 1 000 семей
поедут отдыхать от 50 до 150 семей.
3. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того,
что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001.
Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 5 бракованных книг; б)
по крайней мере, 9998 книг сброшюрованы правильно.
Вариант 24
1. Событие В появится в случае, если событие А появится не менее
двух раз. Найти вероятность того, что наступит событие B, если будет
произведено 6 независимых испытаний, в каждом их которых
вероятность появления события А равно 0.4.
2. Вероятность того что заработная плата выплачивается без
задержек, равна 0,4. Оценить вероятность того, что из 500 служащих
различных предприятий заработную плату получат вовремя от 147 до
253 человек.
3. В течение некоторого промежутка времени происходит обрыв
пряжи в среднем на трех из 1000 веретен. 1) Определить вероятность
того, что за тот же промежуток времени произойдет пять обрывов. 2)
Определить наиболее вероятное число обрывов при обслуживании 1500
веретен и вычислить соответствующую вероятность.
68
Вариант 25
1. Производится 3 независимых испытаний в каждом из которых
вероятность не появления события А равна 0.1. Найти вероятность того,
что событие А появится хотя бы два раза.
2. Вероятность того что ребенок в детском саду сможет выучить
английский язык, равна 0,09. Оценить вероятность того, что среди 540
детей, английский язык смогут выучить от 30 до 68 детей.
3. Автомат обрабатывает деталь за 1,5 мин. Среди обработанных за
смену (продолжительность смены 8 часов) деталей оказалось 16
бракованных. Контролер проверяет 20 деталей. Определить вероятность
того, что среди них оказалось: а) одна бракованная деталь; б) не менее
двух бракованных деталей.
Вариант 26
1. Производится 3 независимых испытаний в каждом из которых
вероятность не появления события А равна 0.1. Найти вероятность того,
что событие А появится хотя бы два раза.
2. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,12. Оценить
вероятность того, что в партии из 5 500 изделий число поврежденных в
пути будет составлять от 500 до 820 штук.
3. При массовом пошиве костюмов вероятность брака 0,01. Какова
вероятность того, что в партии из 1000 костюмов бракованных окажется
не более 15 штук?
Вариант 27
1. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти
независимых испытаниях не менее 2х раз, если в каждом испытании
вероятность появления события А равна 0.3.
2. Аудиторную работу по теории вероятностей с первого рапа
успешно выполняют 50% студентов. Найти вероятность того, что из 400
студентов работу успешно выполнят: а) 180 студентов, б) не менее 180
студентов.
3. Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество продуктов
в двух из 30 магазинов, среди которых находятся и два известных вам
магазина. Какова вероятность того, что в течение месяца они оба будут
проверены?
Вариант 28
1. Найти вероятность того, что событие А появится в 5
независимых испытаниях не менее 2х раз, если в каждом испытании
вероятность появления события А равно 0.3.
69
2. При обследовании уставных фондов банков установлено, что
пятая часть банков имеют уставный фонд свыше 100 млн. руб. Найти
вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставный фонд свыше
100 млн. руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
3. Коммутатор обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в
течение 1 минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Найти
вероятность того, что в течение 1 минуты на коммутатор позвонят не
менее 2 абонентов.
Вариант 29
1. Про изводится 5 независимых испытаний в каждом из которых
вероятность не появления события А равна 0.1. Найти вероятность того,
что событие А появится: 1) 2 раза, 2) не менее 4х раз.
2. Вероятность промышленного содержания металла в руде равна
0,7. Отобрано 100 проб. Определить вероятность того, что число проб с
промышленным содержанием металла в руде находится в пределах от
55 до 80; каково наиболее вероятное число проб с промышленным
содержанием металла в руде и какова вероятность этого числа?
3. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва
нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет не более, чем на 3
веретенах.
Вариант 30
1. Мотету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что надпись
выпадает: а) не мене трёх раз? б) менее трёх раз?
2. Вероятность того, что покупателю потребуется обувь 41-го
размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 100 покупателей
обувь 41-го размера потребуют 35 человек.
3. Вероятность брака при производстве деталей равна 0,02. Найти
вероятность того, что в партии из 400 деталей окажутся бракованными
от 7 до 10 деталей.
2.6. Контрольные вопросы для самостоятельной оценки
качества освоения темы « Случайные события»
1. Какое событие называется случайным?
2. Какое событие называется достоверным?
3. Какое событие называется невозможным?
4. Что называется суммой событий?
5. Что называется произведением событий?
6. Что называется противоположным событием?
7. Что такое относительная частота события и в чем ее отличие от
вероятности?
70
8. Сформулировать классическое определение вероятности?
9. Сформулировать аксиоматическое определение вероятности?
10. Сформулировать геометрическое определение вероятности?
11. Какие события называются совместными?
12. Какие события называются несовместными?
13. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
12. Чему равна вероятность суммы несовместных событий?
13. Чему равна вероятность суммы совместных событий?
14. Какие события называются зависимыми?
15. Какие события называются независимыми?
16. Как определяется условная зависимость?
17. Чему равна вероятность произведения независимых событий?
18. Чему равна вероятность произведения зависимых событий?
11. В каком случае используют формулу полной вероятности?
12. В каком случае используют формулу Байеса?
13. Как записывается и при каких условиях справедлива формула
Бернулли?
14. В каком случае используют формулу Пуассона?
15. Что такое среднее число успехов?
16. В каком случае используют локальную формулу МуавраЛапласа?
17. В каком случае используют интегральную формулу МуавраЛапласа?
18. Как определяется простейший, стационарный (Пуассоновский)
поток событий?
71