КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "УТВЕРЖДАЮ" Проректор по учебной работе

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
"УТВЕРЖДАЮ"
Проректор по учебной работе
_____________________ проф. Н.К.Замов
ПРОГРАММА ДЛЯ ВЫБОРА ТЕМ ЛЕКЦИЙ ДЛЯ СЛУШАТЕЛЕЙ
ФПК
"ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
СТАТИСТИКИ"
Цикл _________________ОПД________________________________________
ГСЭ - общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины; ЕН - общие математические и естественнонаучные дисциплины; ОПД - общепрофессиональные
дисциплины; ДС - дисциплины специализации; ФТД - факультативы.
Принята на заседании кафедры математического анализа
(протокол №___ от " "
2003 г.)
Заведующий кафедрой
С.Р.Насыров
Утверждена Учебно-методической комиссией механико-математического факультета КГУ
(протокол №___ от "__"__________200__ г.)
Председатель комиссии
А.В.Оже гова
Рабочая программа дисциплины " ИЗБРАННЫЕ РАЗДЕЛЫ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ"
Для слушателей ФПК
АВТОР:
Муштари Д.Х.
Лекции предназначены главным образом для преподавателей кафедр высшей
математики вузов, преподающих теорию вероятностей и математическую статистику, но
не проводивших исследования в этой области.
В курсе высшей математики в технических вузах освещается большое число
областей математики. Известно, что вероятностные и статистические разделы вызывают
наибольшие трудности лекторов и преподавателей практики технических вузов. Цель
курса теории вероятности и математической статистики на ФПК – уменьшить эти
трудности.
Предполагается, что слушатели сами преподавали нужные для усвоения курса
разделы математического анализа (теория пределов, дифференцирование и
интегрирование функций одной переменной, замена переменных в кратных интегралах,
преобразование Фурье), алгебры (ортогональные матрицы, преобразование квадратичных
форм), теории дифференциальных уравнений (решение простейших дифференциальных
уравнений с разделяющимися переменными) и комплексного анализа (независимость
интеграла от пути для голоморфной функции). Желательно, чтобы они были знакомы с
основами теории меры,
Программа курса зависит от состава слушателей, ниже представлен максимальный
вариант. Жирным шрифтом выделены разделы, которые предполагается читать подробно
и по мнению автора программы представляющие наибольший интерес для слушателей.
Многие общие вещи предполагается пройти достаточно кратко, технические элементы
доказательств и многие выкладки опускаются.
По желанию слушателей могут быть прочитаны специальные курсы по
математической статистике или теории случайных процессов. Возможны и другие темы,
входящие в специальные курсы: вероятностные меры в банаховых пространствах,
элементы теории стационарных случайных процессов, стохастический интеграл Ито,
свойства траекторий случайных процессов и др. Возможны также лекции по теории меры
и по основаниям теории вероятностей.
2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах) 34.
Форма обучения очная
Количество семестров ___1_____
Форма контроля:
зачет
3. Содержание дисциплины.
кс
Наименование дисциплины и ее основные разделы
ОПД
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И
Ф13 Ф14 Ф15 ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
Теория вероятностей
ОПД Ф13
Вероятность. Пространство исходов; операции над событиями:
Алгебра и сигма-алгебра элементарных событий; измеримое пространство; алгебра
борелевских множеств; аксиоматика А.Н. Колмогорова; свойства вероятности.
Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента; теорема об эквивалентности аксиом счетной аддитивности и непрерывности вероятности; дискретное вероятностное пространство; классическое определение вероятности; функция распределения вероятностной меры; ее свойства; теорема о продолжении меры с алгебры интервалов на сигму-алгебру борелевских множеств; взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами на числовой
прямой - и функциями распределения; непрерывные и дискретные распределения;
примеры вероятностных пространств.
Условная вероятность; формула полной вероятности; формула Байеса, примеры.
Задача о разорении игрока; задача о распаде атома, задача о письме в столе, прямое произведение вероятностных пространств; схема Бернулли; предельные теоре-мы
для схемы Бернулли.
Случайные величины и векторы; функции распределения случайных величин и векторов; функции от случайных величин; дискретные и непрерывные распределения;
сигма алгебры.
Независимые случайные величины. Теорема о монотонных классах. Применение
к функциям независимых случайных величин.
Математическое ожидание; интеграл Лебега; математическое ожидание случайной
величины; пример эффективного применения этого понятия, дисперсия; теоремы о
математическом ожидании и дисперсии; вычисление математического ожидания и
дисперсии для некоторых распределений; ковариация; коэффициент корреляции;
неравенство Чебышева; закон больших чисел.
Задача регрессии и условное математическое ожидание.
Предельные теоремы; характеристическая функция; многомерное нормальное
распределение; виды сходимости по вероятности: с вероятностью 1, по распределению; прямая и обратная теоремы для характеристических функций; центральная
предельная теорема; формула обращения для характеристических функций;
неравенство Колмогорова; усиленный закон больших чисел.
Математическая статистика
ОПД Ф14
Статистические модели и основные задачи статистического анализа; примеры; методы
оценивания; неравенство информации; наилучшие несмещенные оценки;
доверительные интервалы; проверка статистических гипотез; основные понятия;
лемма Неймана-Пирсона; равномерно наиболее мощные критерии; примеры; проверка
линейных гипотез в линейных моделях; критерий Пирсона “хи-квадрат”; оценки
наибольшего правдоподобия; проверки на независимость и нормальность. Метод
последовательного анализа.
Теория случайных процессов
ОПД Ф15
Определение случайного процесса; конечномерные распределения; траектории.
Классы случайных процессов: гауссовские, марковские, стационарные, точечные с
независимыми приращениями; примеры соотношения между классами. Винеровский
процесс. Теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством
конечномерных распределений (без доказательства). Оценка параметров винеровского
процесса.
Пуассоновский процесс. Цепи Маркова.
Случайное блуждание.
Задача о
пересечении уровня. Задача о везении, распределение арксинуса. Задача о
возвращении в начало пьяного гуляки. Процессы гибели и размножения; связь с
теорией массового обслуживания.
Всего
часов
34
18
10
6
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. А.А. Боровков. Теория вероятностей. Наука, 1976.
2. Ю.А. Розанов. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая
статистика. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
3. А.Н. Ширяев. Вероятность. Наука, 1980.
4. Г. Крамер. Математические методы статистики. Мир, 1976.
5. А.А. Боровков. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка
гипотез. Наука, 1984.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. А.Д. Вентцель. Курс теории случайных процессов. Наука, 1975.
2. А.В. Булинский, А.Н. Ширяев. Теория случайных процессов. Физматлит, 2003.
ТЕСТ