Практикумы по теме: Элементы комбинаторики, статистики, теории вероятностей Разработано учителем математики школы №1 г. Радужный Комовой И.П. 2003 Практикум по теме «Комбинаторика». Ī вариант ĪĪ вариант 1. Вычислите 6 а) C8 P2 ; 7 а) C10 P20 A 520 б) 15 5 ; A 20 C 20 3 2 2 1 в) C5 C 4 C 4 C3 ; P3 ; 4 P14 A14 б) 10 4 ; A14 C14 4 3 3 2 в) C 6 C5 C5 C 4 ; 2. Решите задачу. Сколькими способами из 7 членов президиума собрания можно выбрать председателя , его заместителя и секретаря? Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков? 3. Решите задачу. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно составить стартовую шестерку? Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте? 4. Решите уравнение. 12 C xx 13 55 A2x 1 A5x 336 Cxx52 5. Решите задачу. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник ? 6. Решите задачу. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 6,7,8,9,0 (цифры в одном числе не должны повторяться)? 7. Решите задачу. Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «комбинаторика» ? Сколько диагоналей имеет выпуклый восьмиугольник ? Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4, если цифры в одном числе не повторяются? Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «абракадабра»? Решение задач по теме «Комбинаторика». I вариант. II вариант. №1 8! 2! 7 8 56 ; 6!2! 20! 5 P20 A 20 20!5! 15! 5 20 ! 20 ! A15 C 20 б) 20 5!15! 5!15! 5! 0; 15! 5! 4! C 35 C 24 C 24 C13 3!2! 2!2! 4! 3! 4 5 3 4 3 4 3 в) 2!2! 1!2! 22 2 60 18 78; 6 а) C 8 P2 P3 7 а) C10 10! 3! 8 9 10 720; 7!3! 4 P14 A14 14!4! 14!4!10! 4 б) A10 14 ! 10 ! 14 ! C 14 14 4!4! 0; 6! 5! 4!2! 3!2! 5! 4! 5 6 4 5 4 5 3 4 в) 3!2! 2!2! 4 4 150 60 90; C 64 C 35 C 35 C 24 №2 A 37 6 C10 7! 5 6 7 210; 4! 10! 7 8 9 10 210 6!4! 1 2 3 4 A 96 №3 C 425 9! 4 5 6 7 8 9 60480. 3! 25! 22 23 24 25 12650 4!21! 1 2 3 4 №4 A 336 C 5 x x 0 x 2 0 x N x 5 0 x 5 x 2 12 C xx 13 55 A 2x 1 x 3 0 x 1 0 x 1 0 x N x! 336 ( x 2)! ; ( x 5)! ( x 5)!( x 2 x 5)! x! 336 ( x 2)! ; ( x 5)! ( x 5)!3! ( x 1) x 56; 12 ( x 3)! 55 ( x 1)! ; ( x 1)!( x 3 x 1)! ( x 1 2)! ( x 3)! 55 ( x 1)!; 2 ( x 2) ( x 3) 110; x 2 x 56 0; x 1 7 x 2 5x 104 0; x 1 8 x2 8 х1=-7 не подходит Ответ: 8. x 2 13 х2=-13 не подходит Ответ: 8. №5 C 7 14. C82 8 20. 2 7 №6 1 способ :1 цифра выбирается 4 способами, а остальные : 4 способами;3 способами; 2 способами;1 способом. 1 способ : 4 4 3 2 1 96 2 способ : 2 способ: 4 4 3 48 4 A 24 4 4! 4 3 4 48 2! 4 A34 4 4! 96. №7 Всего букв – 13. «о»- два раза «к»- два раза «и»- два раза «а»- два раза. 13! 389188800 2!2!2!2! Всего букв – 11. «а»- 5 раз «б» - 2 раза «р» - 2 раза. 11! 83160 5!2!2! Практикум по теме «Бином Ньютона». I вариант. а) (х + 2 )6 ; б) (2 3 + 6 )5 . II вариант. 1. Раскройте скобки и упростите выражение. а) (х - 3 )5 ; б) ( 6 - 3 2 )4 . 2. Найдите показатель степени бинома (7 х + 1 n ) , если второй член х 1 ( 3 разложения не зависит от х. х 2 + х)n , если третий член разложения не зависит от х. 3. Найдите член разложения бинома 1 х+ ( 3 х 2 )n , содержащий х в первой ( 1 х+ 3 степени, если сумма всех биномиальных биномиальных коэффициентов равна 512. х )n , содержащий х в первой степени, если сумма всех коэффициентов равна 128. 4. В разложении бинома ( х + 3 х )n третий биномиальный 1 ( х+ 3 коэффициент в 4 раза больше второго. Найдите член разложения , содержащий х 4 х 2 )n коэффициенты третьего и пятого членов относятся как 2:7. Найдите 1 член разложения , содержащий х . Решение задач практикума по теме «Бином Ньютона». a )( x 2 ) 6 x 6 6x 5 2 15x 4 a )( x 3 ) 5 x 5 5x 4 3 10x 3 ( 2 ) 2 20x 3 ( 2 ) 3 15x 2 ( 2 ) 4 ( 3 ) 2 10x 2 ( 3 ) 3 5x ( 3 ) 4 6x ( 2 ) 5 ( 2 ) 6 x 6 6x 5 2 ( 3 ) 5 x 5 5x 4 3 30x 3 30x 4 40x 3 2 60x 2 24x 30x 2 3 45x 9 3. 2 8. б)(2 3 6 ) 5 (2 3 2 3 ) 5 б)( 6 3 2 ) 4 ( 6 ) 4 4( 6 ) 4 3 ( 2 3 ) 5 ( 2 1) 5 ( 6 ) 5 2 6( 6 ) 2 (3 2 ) 2 4 6 (3 (( 2 ) 5 5( 2 ) 4 10( 2 ) 3 10 2 ) 3 (3 2 ) 4 36 24 6 3 2 ( 2 ) 2 5 2 1) 36 6 (4 2 36 18 4 6 27 2 2 324 36 20 20 2 20 5 2 1) 36 6 72 2 3 648 216 2 3 324 (41 29 2 ) 36 41 6 36 29 1008 576 3. 12 36 41 6 72 29 3 1476 6 2088 3. №2 8 1 7 8 7 1 x 1 ( 7 x ) 7( 7 x ) x x 5 5 4 1 1 1 5 x x 3 3 3 2 2 2 x x x 8 3 5 1 1 ... (7 x ) 8 7 ... 8 . 10 1 x 2 ... x 5 1 x 3 2 3 2 x несодер.-х x x Ответ : n 8. x 1 5 10 2 х 2 ... x 5 . 3 x 8 х несодер.-х Ответ : n 5. №3 128 = 27 ; n = 7. 512 2 9 ; n 9 7 1 7 6 x 3 ( x) 7( x) x 9 1 2 x ( x ) 9 9( x ) 8 1 3 2 5 1 x 7 21( x ) 3 2 1 36 ( x ) 7 3 2 2 x x 1 3 x x 3 1 35 ( x ) 3 ... x 4 содержит хв первой степени 35 x 2 3 1 ... 84( x ) 6 3 2 x содержит х 1 84 x x2 Ответ : 84х. 84 x 3 1 35x.Ответ : 35х x №4 n 9 9 n 9 ( x 3 x ) 9 ( x ) 9 9( x ) 8 3 x 1 x ( x ) 9 9( x ) 8 3 x2 2 1 36 ( x ) ( x ) 84( x ) ( x ) ... 36 ( x ) 3 3 2 2 x x содержит х в 4 степени 3 84x 3 x 84x 4 . 6 1 ... 84( x ) 3 2 Ответ : 84х 4 x 7 3 2 6 3 3 1 7 содержит х 1 84 x 2 x Ответ : 84х. 84 x 3 Практикум по теме « Условная и полная вероятность» I вариант II вариант 1. Используя понятие условной и полной вероятности, формулу Бейеса , решите задачи : а) В ящике лежат 12 белых , 8 черных и 10 красных шаров. Какова вероятность того , что наугад выбранный шар : будет красным , если известно , что он не черный ? будет черным , если известно, что он не белый ? б) На заводе 50% деталей типа А1 производит рабочий Уткин , 30% - рабочий Чайкин и 20% - рабочий Воронин. Вероятность брака у этих рабочих составляет 5%, 3%, и 2% соответственно. Из партии деталей наугад выбирается одна. Найдите вероятность того , что эта деталь: 1) качественная; 2) бракованная и изготовлена Уткиным ? 1) бракованная; 2) качественная и изготовлена Чайкиным? в) В цехе 10 станков марки А , 6 – марки В и 4 – марки С. Вероятность выпуска качественной продукции для каждого станка составляет 0,9 ; 0,8 и 0,7 соответственно. Какой процент качественной бракованной продукции выпускает цех в целом ? 2. Используя понятие геометрической вероятности , решите задачи: а) После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того , что обрыв провода произошел между: 50-м и 55-м километрами ? 60-м и 66-м километрами ? б) В круг случайным образом бросают две точки. Найдите вероятность того , что обе точки окажутся внутри вписанного в этот круг правильного шестиугольника ? треугольника ? Решение задач практикума по теме « Условная и полная вероятность» 1 вариант 2 вариант №1 а) Всего белых и красных – 22 шара. Не черный – белый или красный. P а) Всего черных и красных – 18 шаров. Не белый – черный или красный. 10 5 . 22 11 P 8 4 . 18 9 брак качеств. б) Уткин 0,5 0,05 0,95 Чайкин 0,3 0,03 0,97 Воронин 0,2 0,02 0,98 1)P(A) 0,5 0,95 0,3 0,97 1)P( A ) 1 0,962 0,2 0,98 0,962 0,038 0,5 0,05 25 0,038 38 в) А – 10 станков 0,5 В – 6 станков 0,3 С – 4 станка 0,2 P(A) 0,5 0,9 0,3 0,8 0,3 0,97 291 0,962 962 в) А – 10 станков 0,9 В – 6 станков 0,8 С – 4 станка 0,7 P(A) 1 0,83 0,17 2) P 2) 0,2 0,7 0,83 83%. 17%. №2 55 50 5 1 ; 70 40 30 6 б)R a а) P a 2 3 3a 2 3 Sшестиуг. 6 4 2 а) P 66 60 6 1 ; 70 40 30 5 б)R a 3 ; 3 3a 2 Sкр . R 9 a 2 . 3 2 3a 2 3 3 3 P1 : a 2 2 2 для двух точек 2 3 3 . P 2 a 2 3 a 2 3 3 P1 : 4 3 4 для двух точек 2 3 3 . P 4 Практикум по теме «Классическая вероятность» I вариант II вариант 1. Бросают две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что выпадут: «орел» и «решка» ? равна 6 или 8 ? 30 – го числа ? « лиса » ? два «орла» ? 2. Из 28 костей домино наугад выбирают одну. Что вероятнее, что сумма цифр на ней будет: равна 3 или 4 ? 3. Какова вероятность того , что ваш будущий ребенок родится: 31- го числа ? ( год не является високосным). 4. Из букв слова « апельсин » последовательно выбирают 4 буквы. Найдите вероятность того , что выбранные буквы в порядке их выбора образуют слово: « плен » ? 5. Каждый из трех стрелков стреляет по мишени один раз , причем вероятность попадания 1-го стрелка составляет 90%, 2-го – 80 % ,3-го–70 %. Найдите вероятность того, что : а) все три стрелка поразят а) все три стрелка мишень ? б) двое из трех стрелков промахнутся ? промахнутся ? б) двое из трех стрелков поразят мишень ? Решение задач практикума по теме «Классическая вероятность» 1 вариант 2 вариант №1 Варианты: ОО РР ОР РО P 2 1 . 4 2 60 6 1 5 4 33 2 Варианты: ОО РР ОР РО №2 1 P . 4 30 3 1 2 4 варианта 2 варианта 86 2 5 3 4 4 40 4 1 2 2 3 3варианта 3варианта 4 3 ;Р2 ; 28 28 4 3 28 28 P1 P1 2 3 ; P2 . 28 28 Ответ: вероятнее 6. Ответ: вероятнее 4. №3 P 11 ; 365 P №4 7 ; 365 1 1 4! 1 A 84 8! 8! 5 6 7 8 4! 1 . 1680 P P P1 0,9; P2 0,8; P3 0,7 a )P 0,9 0,8 0,7 0,504; №5 1 1 . A 84 1680 P1 0,9; P2 0,8; P3 0,7 a )P 0,1 0,2 0,3 0,006; б)Р 0,9 0,2 0,3 0,1 0,8 0,3 б)Р 0,9 0,8 0,3 0,9 0,2 0,7 0,7 0,1 0,2 0,092. 0,1 0,8 0,7 0,398. Практикум по математической статистике Выборка: 2 0 7 3 3 1 4 4 2 4 6 2 4 6 2 4 3 4 2 3 4 4 3 4 1 4 1 7 3 2 2 3 3 1 4 3 2 3 2 3 4 1 3 3 2 4 5 5 3 2 3 3 1 1 3 0 1 3 3 1 4 6 3 1 1 1 2 По данной выборке составить: вариационный ряд; вычислить относительные и накопленные частости; построить полигон и гистограмму; составить эмпирическую функцию распределения; построить график эмпирической функции распределения; вычислить числовые характеристики вариационного ряда: - выборочное среднее; - выборочную дисперсию; - среднеквадратическое отклонение; - моду; - медиану. Пример выполнения: значение случайной величины частота относительная накопленная появления частость частость 0 1 2 3 4 5 6 7 4 13 14 24 16 3 3 2 0,0506 0,1646 0,1772 0,3038 0,2025 0,0380 0,0380 0,0253 сумма 79 1,0000 0,0506 0,2152 0,3924 0,6962 0,8987 0,9367 0,9747 1,0000 1 3 4 0 2 4 2 3 3 0 3 5 Гистограмма распределения значений случайной величины 30 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 значения График функции распределения 1,2000 1,0000 накопленная частость частота 25 1,0000 0,9747 0,9367 0,8987 0,8000 0,6962 0,6000 0,4000 0,3924 0,2152 0,2000 0,0506 0,0000 0 2 4 6 значения 8 10 8 Задачи для домашних заданий. 1.В студенческой группе 15 девушек и 10т юношей. случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что это будет юноша . Ответ: 10 2 . 25 5 2. Найти вероятность того , что брошенная в квадрат точка окажется внутри вписанного в этот квадрат круга , если её любое положение в квадрате равновозможно. Ответ: . 4 3.Вероятность успешной сдачи экзамена по первому ,второму и третьему предметам у данного студента соответственно равны: 0,6 ; 0,7 и 0,75. Найти вероятность того , что студент а) сдаст хотя бы один экзамен ; б) сдаст только один экзамен ; в) сдаст все три экзамена ; г) не сдаст ни одного экзамена. Решение : а) 1 0,4 0,3 0,25 0,97; б) 0,6 0,3 0,25 0,4 0,7 0,25 0,4 0,3 0,75 0,205; в) 0,6 0,7 0,75 0,315; г) 0,4 0,3 0,25 0,03. 4.Два охотника увидели волка и одновремённо в него выстрелили. Каждый охотник попадает в цель с вероятностью 0,6 . Найдите вероятность того , что а) волк будет подстрелен ; б) в волка попадет только один охотник . Решение : а) 0,6 0,6 0,6 0,4 0,4 0,6 0,84; б) 0,6 0,4 0,4 0,6 0,48. 5.Студент пришел сдавать зачет , зная из 30 вопросов программы только 24. Чему равна вероятность сдать зачет, если для этого нужно ответить на случайно доставшейся ему вопрос ,а в случае неудачи ответ на дополнительный вопрос , предложенный ему преподавателем случайным образом ? Решение : P 24 6 24 4 1 24 28 . 30 30 29 5 5 29 29 6.В ящике лежит 15 шаров , из которых 5 – черных. Какова вероятность того , что при выборе из ящика трех шаров : а) один окажется черным ? б) два окажутся черными ? Решение: задача «контроля качества» а) 3 N C15 15! 13 7 15 3!12! 31 1 2 1 M C15 5 C 5 C10 C 5 M 25 9 45 . N 13 7 15 91 15! 3 N C15 13 7 15 3!12! 10! 5! 9 10 5 25 9 2!8! 1!4! 2 P б) 3 2 2 1 2 M C15 5 C 5 C10 C 5 10 P 5! 10 4 5 100 2!3! 1 2 M 100 20 . N 13 7 15 91 7. Монету бросают шесть раз подряд. Найти вероятность того ,что а) «решка» будет выпадать чаще ,чем «орел»; б) «орел» будет выпадать не реже чем , «решка». Решение: 1 1 p ;q 1 p 2 2 а) Р – 4 Р – 5 Р – 6 0–2 0–1 0–0 Применим схему Бернули. 4 2 1 1 1 P C C56 4 2 2 4 6 б) Р – 4 Р – 5 Р – 6 0–2 0–1 0–0 5 6 0 22 11 1 1 1 C66 2 2 2 64 32 Р-3 0–3 11 11 6! 1 11 4 5 6 1 11 10 21 1 1 P C36 . 32 2 2 32 3 ! 3 ! 64 32 1 2 3 64 32 32 31 3 3 Самостоятельная работа (15 мин.) 1. На сборку поступают одинаковые детали с трех предприятий, причем первое поставляет 50% , второе 30% и третье остальное количество. Вероятность появление брака для 1-го ,2го и 3-го поставщиков, соответственно равны 0,05 ; 0,1 и 0,15 . Выборочный контроль обнаружил брак. Какова вероятность того , что брак произошёл по вине второго предприятия ? Решение: 0,1 0,3 0,03 30 6 . 0,05 0,5 0,1 0,3 0,15 0,2 0,085 85 17 2. При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру и набрал её наугад , помня только что эта цифра нечетная . Найти вероятность того, что номер набран правильно. Ответ: 1 . 5 3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятность того , что при возгорании датчик сработает, для 1-го и 2-го датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того , что при пожаре сработает хотябы один датчик. Решение: 1 0,1 0,95 0,995. Контрольная работа (1 урок). I вариант II вариант 1. В игральной колоде 36 карт .Какова вероятность того , что взятая наугад карта окажется : а) валетом; а) тузом; б) бубновой ? б) пиковой? 2. Стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,05 , в девятку – 0,1 , в восьмерку – 0,2 , в семёрку – 0,4. Найдите вероятность выбить с одного выстрела : больше 7 очков. больше 8 очков. 3. Найдите вероятность того, что наугад взятое двузначное число а) делится на 5; а) делится на 10; б) содержит в записи цифру 0. б) содержит в записи цифру 9. 4. Вероятность встретить на улице мужчину – блондина составляет – 0,4.Какова вероятность того ,что среди четырех прохожих мужчин встретится не менее двух блондинов ? не более двух блондинов ? 5. Даны числа 1,2,3,4,6,8. Найдите вероятность того ,что а) произведение любых двух из них будет а) сумма любых двух из них будет нечетным; нечетной; б) любые три наугад взятые числа могут б) Любые четыре наугад взятых числа быть длинами сторон треугольника. могут быть членами пропорции. Решения задач контрольной работы. I вариант II вариант №1 1 9 1 б) P 4 а) 1 9 1 б) P 4 P а) P 0,05 0,1 0,2 0,35. №2 P P 0,05 0,1 0,15. №3 а) всего двузначных чисел – 90 делится на 5 – 18 а) 18 1 90 5 9 0,1 б) P 90 P P 9 0,1 90 б) в первых 8 десятках – 8 чисел , в последнем – 10 чисел . P 8 10 1 . 90 5 №4 P C 24 0,4 2 0,6 2 C34 0,43 0,61 P C 04 0,4 0 0,6 4 C14 0,41 C 44 0,4 4 0,60 0,5248. 0,63 C 24 0,4 2 0,6 2 0,8208. №5 а)всего произведений: а) нечетные суммы : 1 2; 1 4; 1 8; 1 6; C 62 15 3 2; 3 4; 3 8; 3 6; 8 P 15 2 4 1 2 ; ; б) 3 6 3 6 1 2 1 3 1 4 ; ; 4 8 2 6 2 8 нечетное произведение: 1 3, т.е. 1 вариант P б) 1 15 стороны треугольника : 3;6;8; 2;3;4 4;6;8; 3;4;6 всего исходов C36 20 5 вариантов . 4 1 P . 20 5 всего исходов P 5 1 . 15 3 C 64 15