Министерство образования и науки Украины Сумский государственный университет К печати в свет

Министерство образования и науки Украины
Сумский государственный университет
К печати в свет
разрешаю на основании
“Единых правил”, п.2.6.14
Заместитель первого проректора – начальник
организационно – методического управления
В.Б. Юскаев
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению контрольной работы
по курсу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
для студентов экономических специальностей
заочной формы обучения
Все цитаты, цифровой и
фактический материал,
библиографические сведения
проверены, написание единиц
соответствует стандартам
Составители:
А.М. Назаренко,
О.А. Литвиненко,
А. А. Васильев,
О.А. Шовкопляс
Ответственный за выпуск
В.Д. Карпуша
Декан факультета
С.М. Верещака
Суми Изд-во СумГУ 2007
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению контрольной работы
по курсу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
для студентов экономических специальностей
заочной формы обучения
Сумы
Изд-во СумГУ
2007
4
Методические указания к выполнению контрольной работы по
курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» для
студентов экономических специальностей заочной формы обучения /Составители: А. М. Назаренко, О. А. Литвиненко, А. А. Васильев, О. А. Шовкопляс. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2007. – 111 с.
Кафедра моделирования сложных систем
5
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению контрольной работы
по курсу «Теория вероятностей
и математическая статистика»
для студентов экономических специальностей
заочной формы обучения
Составители:
доцент
А.М. Назаренко,
доцент
О.А. Литвиненко,
ассистент А.А. Васильев,
ассистент О.А. Шовкопляс
Ответственный за выпуск
Карпуша
зав. каф. МСС
Редакторы
Компьютерный набор
В.Д.
Т.Г. Чернышова
Подп. в печ.
поз.
Формат 60х84/16. Бумага офс. Печать офс.
Усл. печ. л.
Уч.–изд. л.
Тираж 400 экз.
Себестоимость изд.
Заказ №
Издательство СумГУ при Сумском государственном университете
40007, Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2
Свидетельство о внесении субъекта издательского дела в Государственный реестр
ДК № 2365 от 08.12.2005 г.
Напечатано в типографии СумГУ
40007, Сумы, ул. Р.-Корсакова, 2
6
Введение
Принятие оптимального решения в бизнесе, науке и управлении требует от квалифицированного специалиста глубоких
знаний математико-статистических методов, позволяющих изучать закономерности сложных массовых явлений и процессов.
Поэтому изучение курса «Теория вероятностей и математическая статистика» является важным элементом, необходимым для
профессиональной деятельности современного экономиста.
Данные методические указания охватывают основные разделы курса теории вероятности и математической статистики,
читаемого в Сумском государственном университете.
Материал методических указаний разбит на восемь тем.
В каждой теме имеются примеры решения типовых задач, снабженные формулами и пояснениями, необходимыми для успешного усвоения заданного материала. В конце каждой темы приведен перечень задач для отчета преподавателю, предназначенный для контроля знаний. Обобщая опыт работы многих преподавателей, задачи разбиты на три блока (Блок А, Блок В,
Блок С). Контрольные задания для студентов выдаются преподавателем в индивидуальном порядке. Они могут формироваться из задач любого блока.
В конце изучения курса проводится контроль знаний студентов, который может включать собеседование по контрольной
работе, собеседование по основным определениям, формулам и
принципам их применения, а также тестовый контроль знаний.
В данных методических указаниях приведен пример теста с
указанием правильных ответов. Его можно использовать для
самоконтроля знаний.
В конце приведен список рекомендуемой литературы и
приложения, в которых содержится справочный материал, необходимый при решении задач.
Данные методические указания предназначены для студентов
заочной и вечерней форм обучения экономических специальностей, однако они могут быть рекомендованы и всем желающим
самостоятельно изучать курс теории вероятностей и математической статистики.
7
Тема 1
Определение вероятности
Существуют различные определения вероятности случайного
события: статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое.
Классическое определение вероятности случайного события связано с испытанием, организованным следующим образом:
а) испытание содержит конечное число исходов;
б) все исходы испытания равновозможны и несовместны.
На основании логического анализа условия задачи следует
установить множество всех различных исходов испытания, проверить условие их равновозможности и несовместности, подсчитать общее число случаев n и число m случаев, благоприятствующих событию. Тогда вероятностью события A называется
число
m
P ( A)  .
n
При небольших n все случаи могут быть перечислены непосредственно и среди них несложно указать те, которые благоприятствуют событию A . Однако в большинстве задач не удается этого сделать. В подобных случаях используют правила и
формулы комбинаторики.
Элементы комбинаторики
Пусть дано множество из n различных элементов. Подмножества, содержащие m элементов этого множества (0  m  n) , могут различаться или хотя бы одним элементом, или порядком
следования элементов, или и тем и другим. По этим признакам
определяются такие виды подмножеств: размещения, перестановки, сочетания.
Размещениями из n элементов по m называют упорядоченные
подмножества n-элементного множества, состоящие из m элементов. Число всех размещений Anm из n элементов по m определяется по формуле
Anm  n  (n  1)  ...  (n  m  1) .
8
Из определения видно, что размещения различаются как самими элементами (хотя бы одним элементом), так и порядком
этих элементов.
Например, необходимо вычислить, сколькими способами
можно из бригады в 8 человек выбрать бригадира и мастера.
При решении этой задачи следует применять формулу числа
размещений, так как группы типа: Иванов – бригадир, Петров –
мастер и Иванов – мастер, Петров – бригадир – различны. Искомое количество способов равно A82 .
Размещения из n элементов по n называют перестановками
из n элементов. Очевидно, что различные перестановки отличаются между собой только порядком элементов. Число перестановок подсчитывается по формуле (по определению 0! 1)
Pn = n !
Если из всех размещений из n элементов по m отобрать только те, которые отличаются хотя бы одним элементом (порядок
неважен), то получатся подмножества, называемые сочетаниями. Число C nm сочетаний из n элементов по m вычисляется по
формулам
n!
Anm
m
, или Cnm 
.
Cn 
m! (n  m)!
Pm
Например, необходимо вычислить, сколькими способами
можно выбрать 5 чисел из 36 в карточке "Спортлото", чтобы
3 числа были "счастливыми". Из условия следует, что выбор
трех "счастливых" чисел должен быть из числа пяти "счастливых", и каждый такой набор должен сочетаться с двумя "несчастливыми", выбранными из оставшегося 31-го "несчастливого" числа. Таким образом, искомое количество способов равно
2
C 53  C 31
(по правилу произведения), так как очевидно, что порядок выбора чисел непринципиален.
Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из n элементов по m в каждой,
где некоторые элементы (или все) могут быть одинаковы. Число
Anm размещений с повторениями равно n m .
9
Например, необходимо вычислить, сколькими способами
можно распределить 7 пассажиров лифта по 4 этажам.
Очевидно, что на каждом из 4 этажей может выйти любое количество пассажиров, а общее число способов равно числу размещений с повторениями из 4 элементов по 7: A47  47 .
Пусть размещения с повторениями содержат n элементов и
при этом элемент a1 повторяется n1 раз; элемент a 2 – n2 раз; ...,
элемент a k – n k раз ( n1  n2    nk  n ). Такие упорядоченные
последовательности называют перестановками с повторениями.
Их число
n!
.
Pn (n1 , n2 ,..., nk ) =
n1!  n2!  ...  nk !
Если опыт состоит в выборе с возвращением m элементов
множества, содержащего n элементов, но без последующего
упорядочения, то различными исходами такого опыта будут
всевозможные m-элементные наборы, отличающиеся составом.
При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся
элементы. Получающиеся в результате данного опыта комбинации называют сочетаниями с повторениями. Их число
Cnm = C nm m 1 .
Например, в кондитерской имеется 7 видов пирожных.
Сколько различных наборов по 4 пирожных можно составить?
Очевидно, что в данном случае следует использовать формулу
числа сочетаний с повторениями C74  C107 .
Рассматривая задачу, необходимо выяснить, каким требованиям удовлетворяют комбинации элементов. Только после этого
можно использовать нужные вычислительные формулы, комбинируя их с правилами суммы и произведения.
Геометрическое определение вероятности. Число элементарных событий в данном испытании может быть бесконечным,
тогда классическое определение вероятности не применимо.
Одним из примеров бесконечного множества элементарных событий является случай, когда элементарные события непрерывно заполняют некоторую область (например, отрезок, часть
10
плоскости, некоторый объем в пространстве). В этих случаях
m( g )
пользуются геометрической вероятностью P( A) 
, где
m(G )
m(G ) – мера множества всех элементарных исходов, которое
занимает некоторую область G (например, длина всего отрезка,
площадь всей области, объем всего тела), m(g ) - мера части
множества, которая благоприятствует событию A .
Решение типовых задач
Задача 1. На 5 карточках разрезной азбуки написаны буквы
п, р, с, о, т. Перемешанные карточки вынимаются наудачу по
одной и располагаются в одну линию. Какова вероятность прочесть слово "спорт"?
Решение. Искомую вероятность события А (можно прочесть
m
слово "спорт") определим по формуле P ( A)  . Здесь общее
n
число всевозможных исходов n  5! – число перестановок из
5 элементов. Благоприятствующим исходам отвечает одно слово
1
1
"спорт", т. е. m  1. Таким образом, P( A)  
.
5! 120
Задача 2. Из 9 карточек, занумерованных разными цифрами,
выбираются наудачу 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает возрастание.
Решение. Трехзначные числа – упорядоченные тройки элементов из 9 цифр – есть размещения из 9 по 3, т.е. n  A 39  504 .
Число благоприятных исходов m  C93  84 . Следовательно, искомая вероятность P( A)  84 / 504  1 / 6 .
Задача 3. Среди 17 студентов группы, в которой 9 юношей,
производится розыгрыш 7 билетов лотереи, причем каждый студент может выбрать только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов будет 4 девушки?
Решение. Обозначим событие А – среди 7 обладателей билетов будет 4 девушки. Количество равновозможных способов
выбора по 7 человек из 17 равно n  C177  19448 .
11
Число благоприятных исходов, т. е. число выборок по 7, в которых 4 девушки сочетаются с 3 юношами, определяется по
правилу произведения m  C84  C93  70  84  5880 . Тогда иско5880
 0,302 .
мая вероятность P( A) 
19448
Задача 4. В секцию магазина поступило 10 велосипедов, из
которых 4 – с дефектами. Наудачу взяты 3. Найти вероятность
того, что среди взятых будут: а) все без дефектов; б) все одинакового качества.
Решение. а) Событие А – все 3 наудачу взятые из 10 велосипедов без дефектов. Число возможных исходов n  C103  120 .
Три велосипеда без дефектов можно выбрать из 6 имеющихся
m  C63  20
способами.
Искомая
вероятность
20 1
P( A) 
  0,167 .
120 6
б) Событие В – все 3 велосипеда одного качества, т.е. или
3 годные, или 3 с дефектами. Три годные из 6 можно выбрать
m1  C63  20 способами, а 3 с дефектами из 4 имеющихся
m2  C43  4 способами. Общее число способов выбора 3-х велосипедов одинакового качества по правилу суммы равно
m  m1  m2  20  4  24 . Следовательно, P( A)  24 / 120  0,2 .
Задача 5. Тонкую иглу (точку) бросают на отрезок a, b . Какая вероятность того, что она попадет на отрезок  ,   ?
Решение. По условию игла может упасть в любую точку указанного отрезка. В данном случае перечислить все точки отрезка
невозможно. Воспользуемся геометрическим определением и в
качестве меры выберем длину отрезка m(G )  b  a . Интересующему нас событию благоприятствует ситуация, когда игла
упадет в любую точку отрезка  ,   . Тогда m(g )     .
a


b
12
P( A) 
 
ba
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 1.1. На 6 карточках написаны буквы к, а, р, е, т, а. После того,
как их тщательно перемешают, берут наудачу по 1 карточке и кладут последовательно рядом. Какова вероятность того, что получится слово "ракета"?
А 1.2. Из разрезной азбуки выкладывается слово "статистика".
Затем все буквы этого слова перемешиваются и снова выкладываются в случайном порядке. Какова вероятность того, что снова получится слово "статистика"?
А 1.3. Из разрезной азбуки составлено слово "треугольник". Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем выбрал 4
из них и собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того,
что у него появятся слова: а) "руль"; б) "угол".
А 1.4. Телефонный номер состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что в нем: а) все цифры различны; б) все цифры нечетные; в) все цифры различны и четные?
А 1.5. По линии связи в случайном порядке передаются
30 знаков алфавита. Найти вероятность того, что на ленте появится
последовательность букв, образующих слово "режим".
А 1.6. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две
цифры и, помня лишь, что они различны, набрал эти цифры наудачу. Какова вероятность того, что набран нужный номер?
А 1.7. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли
3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на
любом из этажей, начиная со 2-го. Найти вероятность следующих
событий: а) все пассажиры выйдут на 4-м этаже; б) все пассажиры
выйдут одновременно (на одном и том же этаже); в) все пассажиры
выйдут на разных этажах.
А 1.8. В коробке содержится 4 одинаковых занумерованных кубика. Наудачу по одному извлекают все кубики из коробки. Найти
вероятность того, что номера извлеченных кубиков появятся в возрастающем порядке.
А 1.9. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: а) число одинаково читается как слева
13
направо, так и справа налево (например, 12321); б) число кратно 5;
в) число состоит из нечетных цифр.
А 1.10. На понедельник в институте запланировано 3 лекции по
различным предметам из 10 изучаемых на данном курсе. Какова
вероятность того, что студент, не успевший ознакомиться с расписанием, его угадает, если любое расписание из 3 предметов равновозможно?
А 1.11. Из полного набора домино (28 штук) наудачу выбирают
7 костей. Какова вероятность, что среди них окажется:
а) по крайней мере одна кость с 5 очками; б) по крайней мере одна
кость с 5 или 6 очками?
А 1.12. Из 10 первых букв русского алфавита наудачу составляется новый алфавит, состоящий из 5 букв. Определить вероятность
следующих событий: а) в состав нового алфавита входит буква "а";
б) в состав нового алфавита входят только согласные буквы.
А 1.13. Среди кандидатов в студсовет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава
наудачу выбирают 5 человек на конференцию. Найти вероятность
следующих событий: а) будут выбраны одни третьекурсники;
б) все первокурсники попадут на конференцию; в) не будет выбрано ни одного второкурсника.
А 1.14. Из колоды в 52 карты извлекаются наудачу 4 карты.
Найти вероятность следующих событий: а) выбраны все карты
трефовой масти; б) выбран хотя бы один король.
А 1.15. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу.
Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки
первого парохода – 1 час, а второго – 3 часа.
А 1.16. На отдельных карточках написаны 12 вариантов контрольной работы, которые распределяются случайным образом
среди 10 студентов, сидящих в одном ряду. Найти вероятность следующих событий: а) варианты с номерами 4 и 5 останутся неиспользованными; б) варианты 5 и 10 достанутся рядом сидящим
студентам; в) будут распределены последовательные номера вариантов.
14
А 1.17. Среди 10 студентов, случайным образом занимающих
очередь за учебниками в библиотеку, находятся 2 подруги. Какова
вероятность того, что в образовавшейся очереди между подругами
окажется 4 человека?
А 1.18. Из общего количества костей домино наудачу извлекли
1 кость. Оказалось, что это не дубль. Какова вероятность того, что
2-ю извлеченную кость домино можно будет приставить к 1-й?
А 1.19. В подъезде дома установлен замок с кодом. Дверь автоматически отпирается, если последовательно набрать 2 цифры из
имеющихся 10. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал пробовать различные комбинации, затрачивая на каждую попытку
10 секунд. Какова вероятность того, что вошедшему удастся открыть дверь: а) за 10 минут; б) за 15 минут; в) за 1 час?
А 1.20. В телефонной книге случайно выбирается номер телефона, состоящий из 7 цифр. Найти вероятность того, что: а) четыре
последние цифры телефонного номера одинаковы; б) все четыре
последние цифры различны.
А 1.21. В ящике имеется 15 деталей, 9 из которых окрашены.
Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что
извлеченные детали окрашены.
А 1.22. Группа из 8 юношей и 8 девушек делится случайно на
2 равные части. Найти вероятность того, что в каждой части юношей и девушек поровну.
А 1.23. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того,
что сумма выпавших очков будет равна 8, а разность – 4.
А 1.24. На 5 карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5. Две из них
одна за другой извлекаются. Найти вероятность того, что число на
2-й карточке будет больше, чем на 1-й.
А 1.25. Программа экзамена содержит 20 различных вопросов,
из которых студент знает только 10. Для успешной сдачи экзамена
достаточно ответить на 2 из 3 предложенных вопросов. Какова вероятность успешной сдачи экзамена?
А 1.26. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается
сданным, если студент ответит не менее чем на 3 из 4 вопросов билета.
Взглянув на 1-й вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?
15
А 1.27. В лотерее 100 билетов. Из них 25 выигрышных. Определить вероятность того, что 2 приобретенных билета окажутся выигрышными.
А 1.28. Регистр калькулятора содержит 8 разрядов. Считая, что
появление любого числа на регистре случайно, определить вероятность следующих событий: а) во всех разрядах стоят нули; б) во всех
разрядах стоят одни и те же цифры; в) регистр содержит только
2 одинаковые цифры; г) регистр содержит только 2 пары одинаковых
цифр; д) регистр содержит 3 одинаковые цифры.
А 1.29. Из 7 яблок, 3 апельсинов и 5 лимонов случайным образом в
пакет отбирают 5 фруктов. Найти вероятности следующих событий:
а) в пакете только 1 апельсин; б) пакет не содержит апельсинов;
в) пакет не содержит лимонов; г) пакет не содержит яблок.
А 1.30. Путем жеребьевки разыгрываются 6 подписных изданий
среди 12 участников, каждый из которых не может получить более
1 подписки. Найти вероятность того, что из списка получат подписку: а) первые 6 человек; б) первые 3 человека; в) 1-й человек;
г) 1-й и 3-й человек.
А 1.31. Подбрасывают наудачу 3 игральные кости. Вычислить
вероятности следующих событий: а) на 3 костях выпадут разные
грани; б) хотя бы на одной из костей выпадет шестерка.
А 1.32. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих карандашей. Наудачу вынимаются без возвращения 2 карандаша. Найти
вероятность того, что окажется не вынутым: а) синий карандаш;
б) зеленый карандаш; в) красный карандаш.
А 1.33. Студент знает 14 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Найти
вероятность того, что студент ответит хотя бы на один из них.
А 1.34. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в круг, окажется внутри квадрата.
А 1.35. На шахматной доске случайным образом поставлены
черная и белая ладьи. Какова вероятность того, что они не могут
бить друг друга?
А 1.36. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры
нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.
16
А 1.37. На карточках отдельно написаны буквы: А – на 3;
Е – на 1-й; И – на 1-й; К – на 1-й; М – на 2; Т – на 2 карточках.
Ребенок берет карточки в случайном порядке и прикладывает их
одну к другой. Найти вероятность того, что в результате получится
слово «МАТЕМАТИКА».
А 1.38. 10 солдат-новобранцев разного роста случайным образом становятся в строй. Какова вероятность того, что они расположатся в строю по росту?
А 1.39. Среди поступающих в ремонт часов 40% нуждаются в
общей чистке механизма. Какова вероятность того, что из 5 взятых
наугад часов все нуждаются в чистке механизма?
А 1.40. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для
аудиторской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность того, что хотя бы 2 из них окажутся в черте города?
Блок В
В 1.1. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три
детали размера, больше обозначенного на чертеже. У сборщика
пять деталей из оставшихся 12 большего размера. Найти вероятность: а) нормальной; б) ненормальной работы первого собранного
из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
В 1.2. В механизм входят три одинаковые детали. Работа механизма нарушается, если при его сборке будут поставлены все три
детали, большие или все три детали, меньшие обозначенного на
чертеже размера. У сборщика осталось 15 деталей, из которых
10 по размеру больше, а остальные - меньше требуемого. Найти
вероятность ненормальной работы первого собранного из этих деталей механизма, если сборщик берет детали наудачу.
В 1.3. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки - наличие брака в выборке не
более 2%. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий,
содержащая 5% брака, будет принята.
В 1.4. Слово «ИНТЕГРАЛ» состоит из букв разрезной азбуки.
Наудачу извлекают 4 карточки и выкладывают в ряд друг за другом в порядке появления. Какова вероятность того, что при этом
получится слово «ИГРА»?
17
В 1.5. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «А», «Г», «И»,
«Л», «М», «О», «Р», «Т», получится слово «АЛГОРИТМ»?
В 1.6. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых написаны буквы «О», «О», «О»,
«Л», «М», «Т», «К», получится слово «МОЛОТОК»?
В 1.7. Из пяти видов открыток наудачу выбираются 3 открытки. Какова вероятность того, что все три открытки будут разные?
В 1.8. На 5 одинаковых шарах написаны числа 1, 2, 3, 4, 5 – по
одному на каждом. Шары положены в урну и перемешаны. Какова
вероятность того, что, вынимая наудачу один за другим 3 шара,
(без возврата) получим все 3 шара нечетного номера?
В 1.9. В группе учится 12 человек, из них 10 юношей и 2 девушки. На субботник отбирают 5 человек. Какова вероятность того, что в субботнике будут участвовать обе девушки?
В 1.10. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого
наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5.
В 1.11. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=5, попадет во вписанный в
этот круг правильный треугольник.
В 1.12. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=6, попадет во вписанный в
этот круг квадрат.
В 1.13. Найти вероятность того, что точка, брошенная в произвольное место внутри круга радиуса R=2, попадет во вписанный в
этот круг прямоугольный равнобедренный треугольник.
В 1.14. В круг радиуса 10 см бросают точку. Найти вероятность
того, что расстояние от этой точки до центра круга не превышает
5 см.
В 1.15. В круг радиуса 20 см бросают точку. Найти вероятность
того, что расстояние от этой точки до центра круга больше 5 см.
В 1.16. В круг радиуса 12 см бросают точку. Найти вероятность
того, что расстояние от этой точки до центра круга заключено в
пределах от 2 до 5 см.
18
В 1.17. Стержень длиной l разломали на две части. Найти веро-
l
.
3
В 1.18. Стержень длиной l разломали на две части. Найти вероl
ятность того, что длина меньшей части превысит .
3
ятность того, что длина меньшей части не превысит
Блок С
С 1 Наудачу выбраны два положительных числа x и y , каждое
из которых не превышает a . Найти вероятность того, что их сумма
y
будет не больше b , а отношение
– не меньше c .
x
Номер
Исходные данные
Номер
Исходные данные
варианта
варианта
a
c
a
c
b
b
7
5
2
7
4
1/2
С 1.1
С 1.16
6
4
3
9
6
3
С 1.2
С 1.17
10
4
1/2
9
5
4
С 1.3
С 1.18
8
5
3
8
5
3/4
С 1.4
С 1.19
6
4
1/3
7
5
1/3
С 1.5
С 1.20
8
4
2
6
3
2
С 1.6
С 1.21
8
5
4
6
5
2
С 1.7
С 1.22
8
6
3
9
7
1
С 1.8
С 1.23
7
5
3
9
5
5
С 1.9
С 1.24
6
4
1/2
8
5
3
С 1.10
С 1.25
5
3
1/4
7
6
1/2
С 1.11
С 1.26
7
4
3
6
4
1/2
С 1.12
С 1.27
8
6
4
5
3
1/2
С 1.13
С 1.28
6
4
2
5
4
1
С 1.14
С 1.29
5
3
2
7
4
5
С 1.15
С 1.30
19
Тема 2
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Для использования теоремы сложения вероятностей важно
установить несовместность событий. Если события-слагаемые
совместны, то для нахождения вероятности их суммы иногда
целесообразно перейти к противоположному событию.
Теорема умножения требует предварительного анализа независимости или зависимости событий-сомножителей. В последнем случае для применения этой теоремы используются условные вероятности.
Запись события С в виде суммы С = A1  A2  ...  An или произведения С = A1  A2  ...  An событий становится более понятной, если пользоваться логическим определением этих алгебраических операций над событиями: событие A1  A2  ...  An
означает наступление или A1 , или A2 , или ..., или An ; событие
A1  A2  ...  An означает наступление и A1 , и A2 , и ..., и An (одновременно).
Решение типовых задач
Задача 1. Вероятность сдать каждый из 3 экзаменов сессии
на отлично для студента М равна соответственно 0,8, 0,7 и 0,75.
Найти вероятность того, что студент сдаст на отлично: а) все три
экзамена; б) два экзамена; в) хотя бы один.
Решение. Обозначим события:
A1 – студент сдаст 1-й экзамен на отлично;
A2 – студент сдаст 2-й экзамен на отлично;
A3 – студент сдаст 3-й экзамен на отлично.
Противоположные им события A1 , A2 , A3 соответственно.
По условию вероятности этих событий равны:
P( A1)  p1  0,8 ; P( A2 )  p2  0,7 ; P( A3 )  p3  0,75 ;
P( A1)  q1  0,2 ; P( A2 )  q2  0,3 ; P( A3 )  q3  0,25 .
а) Обозначим через А событие, состоящее в том, что студент
сдаст на отлично все 3 экзамена, т.е. и первый (событие A1 ), и
20
второй (событие A2 ), и третий (событие A3 ). Тогда A  A1 A2 A3 .
Вероятность события А найдем по теореме умножения для
независимых событий:
P( A)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  0,8  0,7  0,75  0,42 .
б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что студент
сдаст два из трех экзаменов на отлично. Событие В через события Ai и Ai (i  1, 2, 3) можно представить следующим образом:
B  A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 .
Применяя теорему сложения для несовместных событий, а
затем теорему умножения для независимых событий, находим
вероятность события В:
P( B)  P( A1 A2 A3  A1 A2 A3  A1 A2 A3 ) 
 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  P( A1) P( A2 ) P( A3 )  P( A1) P( A2 ) P( A3 ) 
 0,8  0,7  0,25  0,8  0,3  0,75  0,2  0,7  0,75  0,425 .
в) Обозначим через С событие, состоящее в том, что хотя бы
один экзамен из трех студент сдаст на отлично. Тогда противоположное ему событие C  A1 A2 A3 – ни один экзамен студент не
сдаст на отлично.
По следствию из теоремы сложения вероятностей получим
P(C )  1  P(C )  1  P( A1 A2 A3 )  1  P( A1 )  P( A2 )  P( A3 ) 
 1  0,2  0,3  0,25  1  0,015  0,985.
Задача 2. В ящике 50 кубиков, из которых 5 неокрашенных.
Наудачу последовательно извлекаются 3 кубика. Определить
вероятность того, что все извлеченные кубики окрашены.
Решение. Обозначим события:
A1 – 1-й извлеченный кубик окрашен;
A2 – 2-й извлеченный кубик окрашен;
A3 – 3-й извлеченный кубик окрашен.
Эти события зависимые, их вероятности находим по формулам:
45
44
43
P ( A1 ) 
, PA1 ( A2 ) 
, PA1 A 2 ( A3 ) 
.
49
48
50
21
Обозначим через D событие, состоящее в том, что все
3 кубика окрашены. Это событие можно представить в виде
D  A1 A2 A3 , тогда его вероятность найдем по теореме умножения вероятностей для зависимых событий:
P( D)  P( A1 A2 A3 )  P A1   PA1  A2   PA1 A2  A3  

45 44 43 1419
 

 0,724 .
50 49 48 1960
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 2.1. Из урны, содержащей 5 синих, 3 черных, 2 белых шара,
извлекаются одновременно 3 шара. Найти вероятность того, что
извлеченные шары будут разных цветов.
А 2.2. Вероятность того, что в электрической цепи напряжение
превысит номинальное значение, равна 0,1. При повышенном
напряжении вероятность аварии прибора потребителя электрического тока равна 0,08. Найти вероятность аварии прибора в случае
повышения напряжения.
А 2.3. Каждая буква слова "математика" написана на отдельной
карточке. Случайно извлекаются 4 карточки. Какова вероятность
получить при этом слово "тема"?
А 2.4. Номер серии выигрышного билета лотереи состоит из
5 цифр. Найти вероятности того, что 1-й номер выигравшей серии
будет состоять только из нечетных цифр.
А 2.5. Условиями приема допускается число бракованных деталей
не более 1 детали из 5. Найти вероятность того, что партия из 10 деталей, среди которых 3 бракованных, будет принята при испытании выбранной наудачу половины всей партии.
А 2.6. Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие
окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции
составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий
удовлетворяют требованиям 1-го сорта?
А 2.7. Вероятность только одного попадания в цель при одном
залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели 1-м орудием, если для 2-го эта вероятность равна 0,8.
22
А 2.8. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо
друг от друга. Вероятность того, что в течение часа 1-й станок не
потребует внимания рабочего, равна 0,9; для 2-го – 0,8; для третьего – 0,85. Какова вероятность того, что в течение часа потребуют
внимания рабочего: а) ни один станок; б) все три станка; в) какойнибудь один станок; г) хотя бы один станок?
А 2.9. Агрегат имеет 3 двигателя и способен функционировать,
если работают по крайней мере 2 из них. Вероятность выхода из
строя 1-го двигателя – 0,01; 2-го – 0,02; 3-го – 0,03. Какова вероятность выхода из строя агрегата?
А 2.10. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров,
наудачу и последовательно извлекают по 1 шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением;
б) без возвращения.
А 2.11. Студент может уехать в институт или автобусом, который ходит через каждые 20 минут, или троллейбусом, который
ходит через каждые 10 минут. Какова вероятность того, что студент, подошедший к остановке, уедет в течение: а) ближайших
5 минут; б) ближайших 10 минут?
А 2.12. Радист трижды вызывает корреспондентов. Вероятность того,
что корреспондент примет 1-й вызов, равна 0,2; 2-й – 0,3 и 3-й – 0,4. По
условиям приема события, состоящие в том, что i-й по счету вызов
(i = 1, 2, 3) услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент: а) услышит радиста; б) не услышит радиста.
А 2.13. В театральной кассе к некоторому моменту времени остались: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический театр и
3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель приобретает лишь один билет в любой из возможных театров. Два человека
из очереди последовательно приобрели билеты. Найти вероятность
того, что: а) куплены билеты в разные театры; б) куплены билеты в
один какой-нибудь театр; в) все билеты в театр эстрады распроданы;
г) билет в театр комедии куплен раньше, чем в театр эстрады.
А 2.14. Студенты выполняют контрольную работу в классе контролирующих машин. Работа состоит из 3 задач. Для получения
положительной оценки достаточно решить 2 задачи. Для каждой
задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых только один
23
правильный. Студент плохо знает материал и поэтому выбирает
ответы для каждой задачи наудачу. Какова вероятность того, что
он получит положительную оценку?
А 2.15. Наудачу подбрасывают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что: а) сумма выпавших очков четна; б) произведение
очков четно; в) на одной из костей число очков четно, а на другой
нечетно; г) ни на одной из костей не выпало 6 очков.
А 2.16. Вероятность улучшить свой прежний результат для данного
спортсмена равна р. Найти вероятность того, что на соревнованиях
спортсмен улучшит свой результат, если разрешается делать 2 попытки.
А 2.17. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона, поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему
придется звонить не более чем в 3 места. Как изменится вероятность, если он помнит, что эта цифра нечетная?
А 2.18. Технический контроль проверяет из партии готовой продукции не более 5 изделий последовательно друг за другом. При
обнаружении бракованного изделия бракуется вся партия. Найти
вероятность того, что вся партия будет забракована, если брак в
ней составляет 4%.
А 2.19. Вероятность попадания в цель при 1 выстреле равна 1/2.
Найти вероятность того, что с 2 выстрелов цель будет поражена.
А 2.20. В механизм входят 2 одинаковые детали. Механизм не
будет работать тогда, когда обе поставленные детали будут
уменьшенного размера. У сборщика 10 деталей, из них 3 меньше
стандарта. Найти вероятность того, что механизм будет работать,
если детали извлекаются случайно.
А 2.21. Вероятность того, что в страховую компанию в течение
года обратится с иском о возмещении ущерба 1-й клиент,
равна 0,15. Для 2-го клиента вероятность такого обращения – 0,05,
а для 3-го клиента – 0,02. Определить вероятность того, что в течение года обратится хотя бы 1 клиент, если обращение клиентов –
события независимые.
А 2.22. Стрелки А, В и С поражают мишень с вероятностями 0,8,
0,7 и 0,6 соответственно. Был сделан залп по мишени одновременно
каждым из стрелков, в результате чего 2 пули попали в цель. Найти
вероятность того, что стрелок С: а) попал в цель; б) не попал в цель.
24
А 2.23. Вероятность того, что проходящая мимо бензоколонки
машина подъедет к заправке, равна 0,4. При каком количестве проходящих мимо машин можно сделать вывод, что с вероятностью не
меньшей, чем 0,9, можно утверждать, что хотя бы одна из них потребует заправки?
А 2.24. Сколько раз нужно бросить 2 игральные кости, чтобы с
вероятностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма
очков, равная 12?
А 2.25. Саженец яблони приживается с вероятностью 0,6, груши – 0,5 и винограда – 0,4. Было посажено по 1 дереву каждого вида. Прижилось 2 саженца. Какое событие при этом более вероятно:
саженец винограда прижился или саженец винограда не прижился?
А 2.26. Производится подбрасывание игральной кости до появления 6 очков на верхней грани. Найти вероятность того, что придется сделать 5 подбрасываний.
А 2.27. Два стрелка производят стрельбу по мишени, вероятности попадания в которую для каждого стрелка одинаковы и
равны 0,8. Найти вероятность того, что при 3 выстрелах у 1 стрелка
будет больше попаданий, чем у 2-го.
А 2.28. На полке имеется 15 тетрадей, из которых 3 в линейку,
остальные в клетку. Найти вероятность того, что при случайном
изымании 3 тетрадей не более 2 из них будут в клетку.
А 2.29. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,9. Сколько следует произвести выстрелов, чтобы с вероятностью,
не меньшей 0,95, был хотя бы один промах?
А 2.30. Вероятность того, что студент ответит на теоретический
вопрос билета, равна 0,9, решит предложенную задачу – 0,8.
Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, состоящий из
одного теоретического вопроса и двух задач, если для этого необходимо обязательно ответить на теоретический вопрос и решить
хотя бы одну задачу?
А 2.31. Вероятность успешной сдачи экзамена по математической статистике равна 0,7, а при каждой следующей попытке увеличивается на 0,1. Какова вероятность того, что студент не будет отчислен из-за несдачи экзамена по математической статистике, если
пересдавать экзамен можно не более 2 раз?
25
А 2.32. Команда состоит из 2 стрелков, вероятность попадания в
цель 1-м из которых равна 0,8; 2-м – 0,9. Каждому разрешено
сделать в случае промаха еще 1 выстрел. Какова вероятность того,
что в мишени будет две пробоины?
А 2.33. В продаже имеется 50 альбомов по 50 коп., 30 альбомов
– по 70 коп. и 20 альбомов – по 1 грн. Какова вероятность того, что
стоимость двух купленных альбомов не превысит 1,5 грн?
А 2.34. Имеется 5 ключей, из которых только один подходит к
двери. Ключ подбирается наудачу. Какова вероятность того, что
для открывания двери придется сделать не более двух проб?
А 2.35. Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60%
владеют английским языком, 40% – французским и 10% – обоими
языками. Найти вероятность того, что наудачу взятый турист будет
нуждаться в переводчике.
А 2.36. На рекламной фирме 21% работников получают высокую
зарплату. Среди них отношение числа мужчин и женщин равно 14,6:6,4.
Известно также, что на фирме работают 40% женщин. Выяснить, существует ли на фирме дискриминация женщин в оплате труда.
А 2.37. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться
спросом на рынке, если конкурент не выпустит в продажу аналогичный продукт, равна 0,75, а при наличии конкурирующего товара равна 0,25. Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,35.
Найти вероятность того, что товар будет иметь успех.
А 2.38. В течение года две фирмы имеют возможность, независимо
друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.
А 2.39. На предприятии установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал появляется с вероятностью 0,95. Однако сигнал может возникнуть без
аварийной ситуации с вероятностью 0,001. Реальная вероятность
аварийной ситуации равна 0,005. Чему равна вероятность аварийной ситуации, если сигнализация сработала?
А 2.40. Из
ящика,
содержащего
20
стандартных
и
10 бракованных изделий, поочередно извлекаются 2 изделия (без
возвращения). Какова вероятность при первом и втором извлечениях получить стандартные изделия?
26
Блок В
В 2.1. На предприятии брак составляет в среднем 2% общего
выпуска изделий. Среди годных изделия первого сорта составляют
95%. Какова вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется первого сорта, если изделие взято: а) из числа прошедших проверку; б) из общей массы изготовленной продукции?
В 2.2. Пусть вероятность того, что покупателю необходима
обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять
первых покупателей потребуют обувь 41-го размера.
В 2.3. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что
в течение смены потребует его внимания первый станок, равна 0,7,
второй - 0,75, третий - 0,8. Найти вероятность того, что в течение
смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка.
В 2.4. Среди вырабатываемых рабочим деталей в среднем 4%
брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание
пяти деталей не найдется ни одной бракованной?
В 2.5. Для сообщения об аварии установлены два независимо
работающие сигнализатора-автомата. Вероятность того, что при
аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9.
Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя
бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.
В 2.6. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7.
Какова вероятность того, что обладатель пяти билетов лотереи выиграет: а) по всем пяти; б) ни по одному; в) хотя бы по одному билету?
В 2.7. В шестиламповом радиоприемнике (все лампы различные) перегорела одна лампа. С целью устранения неисправности
наудачу выбранную лампу заменяют исправной из запасного комплекта, после чего сразу проверяют работу приемника. Если приемник заработал – проверку прекращают. Если нет – одну из
оставшихся ламп снова заменяют исправной и т.д. Какова вероятность того, что приемник будет нормально работать после замены:
а) одной; б) двух; в) трех; г) четырех; д) пяти; е) шести ламп?
В 2.8. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того, что в
течение часа первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,3,
второй - 0,4, третий - 0,7, четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что в
течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего.
27
В 2.9. Среди 60 электрических лампочек три нестандартные.
Найти вероятность того, что две взятые одновременно электролампочки окажутся нестандартными.
В 2.10. В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а
остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые
наудачу две нити будут: а) одного цвета; б) разных цветов.
В 2.11. В связке имеются пять различных ключей, из которых
только одним можно открыть дверь. Наудачу выбирается ключ и
делается попытка открыть им дверь. Ключ, оказавшийся неподходящим, больше не используется. Найти вероятность того, что:
а) дверь будет открыта первым ключом; б) для открывания двери
будет использовано не более двух ключей.
В 2.12. Радист может трижды вызвать корреспондента. Вероятность того, что будет услышан первый вызов, равна 0,2,
второй - 0,3, третий - 0,4. События, состоящие в том, что данный
вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что
корреспондент услышит вызов радиста.
В 2.13. Два стрелка производят в цель по одному выстрелу.
Пусть вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, для
второго - 0,8. Найти вероятность того, что попадут в цель: а) оба;
б) только один; в) ни один.
В 2.14. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность
того, что она окажется бракованной после первой операции, равна
0,02, после второй - 0,03, третьей - 0,02. Найти вероятность того, что
деталь будет небракованной после трех операций, предполагая, что
появление брака на отдельных операциях - независимые события.
В 2.15. Рабочий обслуживает четыре станка. Вероятность того,
что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего,
равна 0,7, второй - 0,4, третий - 0,4, четвертый - 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один станок в течение часа не потребует
внимания рабочего.
В 2.16. Четыре охотника договорились сделать по одному выстрелу по дичи. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае
промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из
охотников одинаковые и равны по 0,8. Найти вероятность того, что
будет произведено: а) один, б) два, в) три, г) четыре выстрела.
28
В 2.17. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятности того, что студент ответит на первый, второй вопросы, равны
по 0,9, на третий - 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст
экзамен, если для этого необходимо ответить: а) на все вопросы;
б) по крайней мере на два вопроса билета.
В 2.18. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5%, причем среди забракованной по признаку А продукции в
10% случаев встречается дефект В, а в продукции, свободной от
дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти вероятность
того, что дефект В не встретится во всей продукции.
В 2.19. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 4%, а вследствие дефекта В - 3,5%. Годная продукция завода составляет 95%. Найти вероятность того, что: а) среди продукции, не
обладающей дефектом А, встретится дефект В; б) среди забракованной по признаку А продукции встретится дефект В.
В 2.20. Пусть вероятность попадания в движущуюся цель при
одном выстреле постоянна и равна 0,05. Сколько необходимо сделать выстрелов для того, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,75,
иметь хотя бы одно попадание?
В 2.21. Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на
первой базе равна 0,9, на второй - 0,95, на третьей - 0,8, на четвертой - 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.
Блок С
С 2а Вероятность попадания в цель первым охотником равна
p1 , вторым – p2 . Найти вероятность того, что:
а) оба попадут;
б) ни один не попадет;
в) хотя бы один попадет;
г) только один попадет в цель?
Номер
Исходные данные
Номер
Исходные данные
варианта
варианта
p2
p2
p1
p1
С 2.1
0,7
0,6
С 2.6
0,55
0,6
С 2.2
0,7
0,8
С 2.7
0,65
0,8
С 2.3
0,75
0,55
С 2.8
0,7
0,9
С 2.4
0,65
0,8
С 2.9
0,75
0,8
С 2.5
0,9
0,75
С 2.10
0,9
0,65
29
С 2б Диспетчер обслуживает три линии. Вероятность того, что
на протяжении часа обратятся по первой линии, составляет p1 , по
второй – p2 , по третьей – p3 . Какая вероятность того, что на протяжении часа диспетчер получит вызовы:
а) с одной линии;
б) хотя бы с одной линии;
в) не меньше чем с двух линий?
Номер
варианта
С 2.11
С 2.12
С 2.13
С 2.14
С 2.15
Исходные данные
p3
p2
p1
0,2
0,3
0,2
0,4
0,1
0,4
0,15
0,18
0,35
0,2
Номер
варианта
С 2.16
С 2.17
С 2.18
С 2.19
С 2.20
0,3
0,2
0,16
0,18
0,25
Исходные данные
p3
p2
p1
0,3
0,5
0,1
0,2
0,3
0,25
0,1
0,25
0,15
0,18
0,18
0,15
0,18
0,3
0,35
С 2в Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна p1 , на
второй – p2 , на третий – p3 . Найти вероятность того, что студент
сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить:
а) на все вопросы;
б) хотя бы на два вопроса билета?
Номер
варианта
С 2.21
С 2.22
С 2.23
С 2.24
С 2.25
Исходные данные
p3
p2
p1
0,7
0,8
0,6
0,7
0,8
0,6
0,65
0,75
0,85
0,9
Номер
варианта
С 2.26
С 2.27
С 2.28
С 2.29
С 2.30
0,8
0,9
0,7
0,9
0,65
30
Исходные данные
p3
p2
p1
0,6
0,7
0,8
0,6
0,5
0,85
0,9
0,58
0,78
0,9
0,9
0,85
0,9
0,85
0,8
Тема 3
Формула полной вероятности. Формула Байеса
Необходимо ввести и точно определить гипотезы Bi и итоговое событие A , указать вероятности гипотез P( Bi ) и условные вероятности события A при наступлении каждой гипотезы
PB i (A) . При этом совокупность гипотез должна образовывать
полную группу событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1:
n
 P( B )  1 .
i 1
i
Решение типовых задач
Задача 1. На сборку поступают детали с 3 станков-автоматов, производительности которых относятся как 2:3:5. Брак в их
продукции составляет 2%, 1%, 3% соответственно. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная.
Решение. Пусть событие A состоит в том, что наудачу взятая деталь из общей продукции автоматов стандартная. Это событие происходит совместно с одной из гипотез Bi (i  1, 2, 3) ,
состоящих в том, что деталь с i-го автомата. Вероятности этих
гипотез:
2
3
5
P ( B1 ) 
 0,2 ; P ( B2 ) 
 0,3 ; P ( B3 ) 
 0,5 .
10
10
10
Гипотезы образуют полную группу событий, сумма их вероятностей равна 1.
Условные вероятности интересующего нас события A равны:
PB 1 ( A)  0,98 ; PB 2 ( A)  0,99 ; PB 3 ( A)  0,97 .
Искомую вероятность события A найдем по формуле полной
вероятности, которая в нашем случае запишется так:
P( A)  P( B1 ) PB1 ( A)  P( B2 ) PB2 ( A)  P( B3 ) PB3 ( A) .
Получаем окончательно
P( A)  0,2  0,98  0,3  0,99  0,5  0,97  0,978 .
31
Задача 2. Наборщик типографии использует 2 набора шрифтов одинакового объема, при этом в 1-м из них 80%, а во 2 –
70% высококачественного шрифта. Наудачу извлеченная литера
из наудачу взятого набора оказалась высококачественной.
Найти вероятность того, что эта литера взята из 2-го набора.
Решение. Событие A – наудачу взятая литера высококачественная. Как и в предыдущей задаче, оно происходит совместно с одной из гипотез Bi (i  1, 2) – литера с i-го набора – вероятности которых P( B1 )  P( B2 )  0,5 . Гипотезы B1 и B2 образуют полную группу событий.
По условию PB 1 ( A)  0,8 , PB 2 ( A)  0,9 . Требуется найти вероятность PA ( B2 ) , т.е. переоценить вероятность гипотезы B2 при
условии, что событие A уже наступило. Используем формулу
Байеса
P( Bi )  PB i ( A)
,
PA ( Bi ) 
P( A)
n
где P( A)   P( Bi ) PB i ( A) – формула полной вероятности.
i 1
В данном случае PA ( B2 ) 
0,5  0,9
9

 0,529 .
0,5  0,8  0,5  0,9 17
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 3.1. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1,
10 изготовлено на станке № 2, остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96,
на станке № 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной
детали на станке № 3, если вероятность при случайном отборе получить стандартную деталь из указанных 20 равна 0,98.
А 3.2. На сборку поступают детали с 4 автоматов. Второй дает 40%,
а третий – 30% продукции, поступающей на сборку. Первый автомат
выпускает 0,125% брака, а второй, третий и четвертый – по 0,25%.
Сколько процентов продукции идет на сборку с 4-го автомата, если вероятность поступления на сборку бракованных деталей равна 0,00225?
32
А 3.3. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,6;
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
А 3.4. Три партии деталей содержат соответственно по 1/2, 2/3 и
1/2 бракованных. Из каждой партии взято по 1 детали, причем
обнаружено 2 бракованных. Определить вероятность того, что
доброкачественная деталь принадлежит 3-й партии.
А 3.5. Из партии в 4 детали наудачу взята одна, оказавшаяся
доброкачественной. Количество доброкачественных деталей равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных
деталей наиболее вероятно и какова его вероятность?
А 3.6. Число бракованных среди 6 изделий заранее неизвестно и
все предположения о количестве бракованных изделий равновероятны. Взятое наудачу изделие оказалось бракованным. Найти
вероятность того, что: а) число бракованных изделий равно 6;
б) взятое бракованное изделие единственно.
А 3.7. В 2-х ящиках содержатся по 20 деталей, из которых в 1-м
ящике – 12, а во 2-м – 15 стандартных. Из 1-го ящика перекладывается
во 2-й одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из 2-го ящика будет стандартной.
А 3.8. В магазин поступили электролампы, произведенные двумя заводами. Среди них 70% изготовлены 1-м заводом, а остальные – 2-м. Известно, что 3% ламп 1-го завода и 5% ламп 2-го завода не удовлетворяют стандарту. Какова вероятность, что взятая
наудачу лампа будет стандартной?
А 3.9. Из 20 стрелков 7 попадают в цель с вероятностью 0,9;
8 – с вероятностью 0,5 и 5 – с вероятностью 0,6. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из
групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
А 3.10. Через остановку возле вокзала проходят автобусы маршрутов № 2, № 3, № 10 и № 29. Пассажир ждет автобус № 2 или № 10.
Среди 50 курсирующих автобусов имеется 6 автобусов № 2 и 9 –
№ 10. Найти вероятность того, что 1-й, подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута, если появление на остановке любого автобуса предполагается равновероятным.
33
А 3.11. Имеется 2 ящика изделий, причем в 1 ящике все
изделия доброкачественны, а во 2 – только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалось доброкачественным.
На сколько отличаются вероятности того, что изделие принадлежит 1-му и 2-му ящику, если количество изделий в ящиках
одинаково?
А 3.12. Из контейнера, содержащего одинаковое количество
деталей 4-х предприятий, взяли на проверку одну деталь. Какова
вероятность обнаружения бракованной продукции, если продукция
2 предприятий содержит по 3/4 бракованных деталей, а вся
продукция остальных предприятий доброкачественна?
А 3.13. В 2 ящиках содержится по 20 деталей, из которых в
1-м ящике – 16, а во 2-м – 10 стандартных. Из 1-го ящика извлекаются и перекладываются во 2-й ящик 2 детали. Определить
вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь из
2-го ящика будет стандартной.
А 3.14. Известно, что 5% всех мужчин и 25% всех женщин –
дальтоники. На обследование прибыло одинаковое число мужчин
и женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником.
Какова вероятность, что это мужчина?
А 3.15. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень c вероятностью 0,8;
7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6; 2 – c вероятностью 0,5.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал.
К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
А 3.16. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет
стандартам. Упрощенная схема контроля признает пригодной
стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а нестандартную – с
вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, прошедшее
упрощенный контроль, удовлетворяет стандартам.
А 3.17. Прибор может собираться из высококачественных
деталей и из деталей обычного качества. 40% приборов собираются из высококачественных деталей. Если прибор собран из высококачественных деталей, то его надежность (вероятность безотказной работы за время t) равна 0,95; если из деталей обычного
качества, то 0,7. Прибор испытывался в течение времени t и
работал безотказно. Найти вероятность того, что он собран из высококачественных деталей.
34
А 3.18. Вероятности того, что во время работы ЭВМ возникнет
сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в
остальных устройствах относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, оперативной памяти и в
остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
А 3.19. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по
теории вероятностей и взявших билеты, 2 знают 20 билетов из 30,
1 успел повторить только 15 билетов, остальные студенты знают
все 30 билетов. По прошествии отведенного на подготовку времени экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов.
Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание
билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при
незнании билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1?
А 3.20. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен по
теории вероятностей, имеется 5 отличников, 12 подготовленных
хорошо, 5 – удовлетворительно и 3 человека плохо подготовлены.
Отличники знают все 30 вопросов программы, хорошо подготовленные – 25, подготовленные удовлетворительно – 15, плохо подготовленные знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент
ответил на два заданных вопроса. Найти вероятности событий: а)
студент подготовлен отлично или хорошо; б) студент подготовлен
удовлетворительно; в) студент подготовлен плохо.
А 3.21. В продажу поступают телевизоры 3 видов. Продукция
1-го завода содержит 20% телевизоров со скрытым дефектом,
2-го – 10% и 3-го – 5%. Какова вероятность приобрести исправный
телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с 1-го завода, 20% – со 2-го и 50% – с 3-го?
А 3.22. При переливании крови надо учитывать группу крови
донора и больного. Человеку, имеющему 4-ю группу крови, можно
переливать кровь любой группы; человеку со 2-й или 3-й группой
крови можно перелить кровь либо той же группы, либо 1-й;
человеку с 1-й группой крови можно перелить только кровь 1-й
группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% – вторую,
20,9% – третью и 7,9% – четвертую группы крови. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь
случайно взятого донора.
35
А 3.23. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе
15 новых и 5 играных. Для игры наудачу выбирают 2 мяча и после
игры возвращают обратно. Затем для второй игры также наудачу
извлекают еще 2 мяча. Какова вероятность того, что 2-я игра будет
проводиться новыми мячами?
А 3.24. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров, причем 70%
всех кинескопов предназначены для цветных телевизоров и 30% – для
черно-белых. Известно, что 50% всей продукции отправляется на экспорт, причем из общего числа кинескопов, предназначенных для цветных телевизоров, 40% отправляется на экспорт. Найти вероятность того,
что наудачу взятый для контроля кинескоп, предназначенный для чернобелого телевизора, будет отправлен на экспорт.
А 3.25. Имеется 25 партий однотипных изделий: 10 партий по
10 изделий, из которых 8 стандартных, 2 – нестандартных;
5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных;
5 партий по 8 изделий, из них 6 стандартных, 2 – нестандартных;
5 партий по 5 изделий, из которых 4 стандартных, 1 нестандартно.
Из наудачу выбранной партии изымается одна деталь. Какова вероятность того, что она нестандартна?
А 3.26. Три машинистки перепечатывали рукопись. 1-я напечатала 1/3 всей рукописи, 2-я – 1/4, остальное – 3-я. Вероятность того, что 1-я машинистка сделает ошибку, равна 0,15, 2-я – 0,1, 3-я –
0,1. При проверке была обнаружена ошибка. Найти вероятность
того, что ошибка допущена 1-й машинисткой.
А 3.27. Вероятность изготовления детали с дефектом равна 0,05.
Вероятность обнаружения дефекта равна 0,95, а вероятность того,
что годная деталь будет забракована, равна 0,02. Найти вероятность того, что: а) деталь будет принята; б) принятая деталь окажется с дефектом; в) непринятая деталь не будет иметь дефекта.
А 3.28. Априорно установлено, что число дефектных деталей не
превышает 3 на 100 и все значения (0, 1, 2, 3) числа дефектных
деталей равновозможны. Какова вероятность того, что среди имеющихся 1000 изготовленных деталей нет дефектных, если из взятых на проверку 100 деталей дефектных не оказалось?
А 3.29. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком
случае шанс сдать экзамен выше: когда он подходит тянуть билет
первым или не первым?
36
А 3.30. В урне лежит шар неизвестного цвета – с равной вероятностью белый или черный. В урну опускается 1 белый шар, и после тщательного перемешивания наудачу извлекается 1 шар.
Он оказался белым. Какова вероятность того, что в урне остался
белый шар?
А 3.31. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в
отношении 2:5:8, причем вероятности брака для этих заводов
соответственно равны 0,05, 0,03, 0,02. Приобретенный прибор оказался бракованным. Какова вероятность того, что он изготовлен
1-м заводом?
А 3.32. Семьдесят процентов кинескопов, имеющихся на складе
телеателье, изготовлены заводом №1, остальные – заводом №2.
Вероятность того, что кинескоп завода №1 выдержит гарантийный
срок службы, равна 0,9, для завода № 2 эта вероятность равна 0,8.
Найти вероятность того, что наудачу взятый кинескоп выдержит
гарантийный срок службы.
А 3.33. В двух ящиках содержится по 20 деталей, из которых в
первом ящике – 16, а во втором – 10 стандартных. Из первого ящика извлекается и перекладывается во второй одна деталь. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная после этого деталь
из второго ящика будет стандартной?
А 3.34. Из 20 отобранных деталей 5 изготовлено на станке № 1,
10 – на станке № 2, а остальные – на станке № 3. Вероятность изготовления стандартной детали на станке № 1 равна 0,96, на станке
№ 2 – 0,98. Найти вероятность изготовления стандартной детали на
третьем станке, если вероятность при случайном отборе получить
стандартную деталь из указанных 20 равна 0,97.
А 3.35. Оператор радиолокационной станции фиксирует самолет
противника с вероятностью 0,8 и принимает помеху за самолет с
вероятностью 0,1. В 15% случаев на экран оператора попадает
помеха. Оператор принял решение о наличии в воздушном
пространстве самолета противника. Определить вероятность того,
что сигнал получен действительно от самолета.
А 3.36. Из 20 стрелков семь попадают в цель с вероятностью
0,6; восемь – с вероятностью 0,5 и пять – с вероятностью 0,7.
Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель.
К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
37
А 3.37. На строительство объекта поступают железобетонные
плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук
соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении
плит брак (несоответствие ГОСТу), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад
взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТа?
А 3.38. Экономист считает, что вероятность роста стоимости
акции компании в следующем году составит 0,75, если экономика
страны будет на подъеме, и 0,30, если экономика не будет успешно
развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического
подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании
поднимутся в следующем году.
А 3.39. Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1, однако есть возможность банкротства
фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой
фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства
фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?
А 3.40. В ремесленном цехе трудятся 3 мастера и 6 их учеников.
Мастер допускает брак при изготовлении изделия с вероятностью
0,05; ученик – с вероятностью 0,15. Поступившее из цеха изделие
оказалось бракованным. Какова вероятность, что его изготовил
мастер?
Блок В
В 3.1. Среди поступающих на сборку деталей с первого станка
0,1% бракованных, со второго - 0,2%, с третьего - 0,25%, с четвертого - 0,5%. Производительности их относятся как 4 : 3 : 2 : 1 соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти
вероятность того, что она изготовлена: а) на первом; б) на втором;
в) на третьем; г) на четвертом станке. Как проверить правильность
вычислений этих вероятностей?
В 3.2. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй - шесть, из третьей - пять студентов. Вероятности того, что
38
отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадет в
сборную института, равны соответственно 0,5, 0,4 и 0,3. Наудачу
выбранный участник соревнований попал в сборную. К какой из
этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?
В 3.3. Имеется пять винтовок, из которых три с оптическим
прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из
винтовки с оптическим прицелом составляет для данного стрелка
0,95, без оптического прицела - 0,8. Найти вероятность попадания
в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.
В 3.4. С первого станка на сборку поступает 40%, со второго 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго - 0,2%, третьего 0,25%, четвертого - 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
В 3.5. Радиолампы производятся на двух заводах, причем первый из них поставляет 70% всей продукции, а второй – 30%. Из
каждых 100 ламп первого завода 80 стандартных, а из 100 ламп
второго завода – лишь 60 стандартных. Найти вероятности следующих событий: а) заказчик получил стандартную лампу; б) лампа
произведена первым заводом, если известно, что она оказалась
стандартной.
В 3.6. В некоторой отрасли 30% продукции производится на
первой фабрике, 25% – на второй, остальное – на третьей. На первой фабрике брак составляет 1% от общего объема произведенной
продукции, на второй – 1,5%, на третьей – 2%. Купленная покупателем продукция оказалась бракованной. Какова вероятность того,
что она была произведена на первой фабрике?
В 3.7. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 3 белых
и 4 черных шара, во второй – 5 белых и 7 черных, в третьей – только белые шары. Наугад из одной урны извлекают один шар. Найти
вероятность того, что он белый.
В 3.8. Три стрелка одновременно выстрелили в мишень, в результате чего в ней оказалась одна пробоина. Вероятность попадания первого стрелка равна 0,3, второго – 0,5, третьего – 0,8. Найти
вероятность того, что в мишень попал второй стрелок.
39
В 3.9. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой 4 белых
и 6 черных шаров, во второй – все белые, в третьей – все черные
шары. Из выбранной наугад урны извлекают один шар. Найти вероятность того, что: а) шар черный; б) шар был извлечен из первой
урны, если он оказался белым.
В 3.10. Студент знает ответы на 25 билетов из 30. Один билет
уже вытащили до него. Какова вероятность того, что студент знает
попавшийся ему билет?
В 3.11. В группе учатся 20 девочек и 10 мальчиков. Домашнее
задание не выполнили 4 девочки и 3 мальчика. Наугад вызванный
студент оказался не подготовлен. Какова вероятность того, что это
мальчик?
Блок С
С 3а Инспекторы налоговой службы производят проверку деятельности предприятий: первый обслуживает n предприятий, среди которых k % не имеют задолженностей, второй m предприятий, из них l % без задолженностей. Какая вероятность того, что:
а) наудачу выбранное предприятие не имеет задолженностей;
б) предприятие, которое не имеет задолженностей, проверял
первый инспектор?
Номер
варианта
С 3.1
С 3.2
С 3.3
С 3.4
С 3.5
Исходные данные
Номер
Исходные данные
n k % m l % варианта n k % m l %
50 15 70 20
55 20 75 40
С 3.6
70 25 80 30
85 35 95 15
С 3.7
65 20 75 40
90 25 70 30
С 3.8
80 25 100 40
80 20 55 45
С 3.9
70 30 90 20 С 3.10 60 30 90 50
40
С 3б Тираж популярной газеты печатается в двух типографиях.
Мощности типографий соотносятся как s : r , причем первая дает
u % брака, а вторая v % брака. Какая вероятность того, что:
а) наудачу выбранный экземпляр газеты будет бракованным;
б) бракованный экземпляр газеты напечатан во второй типографии?
Номер
варианта
С 3.11
С 3.12
С 3.13
С 3.14
С 3.15
Исходные данные
Номер
варианта
s
r u % v %
3
4
2
1,5 С 3.16
2
5
3,5
2
С 3.17
4
3
2,5
3
С 3.18
5
2
2,5
3,5 С 3.19
4
5
4
2,5 С 3.20
Исходные данные
s
r u % v %
3
5
3
2,5
3
1
2
2,5
1
4
2
3
3
7
4
3
5
4
3,5
3
С 3в В кассу предприятия поступили банкноты в пачках от двух
банков: a пачек от первого и b – от второго. Ошибка кассиров
первого банка составляет t %, а второго – f %. Какая вероятность
того, что:
а) наудачу выбранная пачка сформирована без ошибок;
б) пачка без ошибок сформирована кассирами второго банка?
Номер
варианта
С
С
С
С
С
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
Исходные данные
Номер
Исходные данные
a
t % f %.
b t % f %. варианта a
b
50 80 0,15
60 90 0,3
60 80 0,25
70 100 0,25
90 70 0,3
0,2
0,2
0,3
0,15
0,15
41
С
С
С
С
С
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
65
95
80
90
70
85
70
60
70
50
0,2
0,15
0,3
0,25
0,15
0,35
0,25
0,25
0,35
0,3
Тема 4
Повторные независимые испытания
Здесь рассматриваются n последовательных независимых
испытаний, в каждом из которых событие A может как произойти с постоянной вероятностью P( A)  p , так и не произойти с вероятностью P( A )  1  p  q . Результат испытаний –
появление события A m раз ( m  n ).
Решение типовых задач
Задача 1. После года хранения на складе в среднем
10% аккумуляторов выходит из строя. Определить вероятность
того, что после года хранения из 12 аккумуляторов окажутся
годными: а) 10; б) больше половины.
Решение. Интересующее нас событие A – наудачу взятый
аккумулятор после года хранения оказался годным, противоположное ему событие A – аккумулятор после года хранения вышел из строя. По условию P( A )  q  0,1 , тогда P( A)  p  1  q  0,9 .
а) Определим вероятность того, что из n  12 аккумуляторов
после года хранения на складе окажется годных m  10 . Применим формулу Бернулли Pn (m)  Cnm  p m  qn  m .
10
 0,910  0,12  0,2301 .
Получаем P12 10  C12
б) n  12 ; m может принять любое значение, большее
12 / 2  6 , т. е. m   7, 8, 9,10,11,12.
Искомая вероятность P12 (m  6) найдется по теореме сложения и формуле Бернулли P12 (m  6)  P12 (7)  P12 (8)  P12 (9) 
7
8
 0,97  0,15  C12
 0,98  0,14 
 P12 (10)  P12 (11)  P12 (12)  C12
9
10
11
12
 C12
 0,99  0,13  C12
 0,910  0,12  C12
 0,911  0,1  C12
 0,912  (0,1)0 
 0,0038  0,0173  0,0852  0,2301  0,3766  0,2824  0,9954 .
Задача 2. Бракованные изделия, выпускаемые некоторым заводом, составляют в среднем 1,5%. Какое наивероятнейшее количество бракованных изделий будет в партии из 220 штук?
Сколько нужно закупить изделий, чтобы наивероятнейшее число годных было равно 250?
42
Решение. Наивероятнейшее число успехов m0 в серии из n
испытаний при условии, что вероятность наступления интересующего нас события в каждом испытании постоянна и равна p,
удовлетворяет следующему неравенству:
np  q  m0  np  p .
1,5%
 0,015 (вероИмеем n  220 (общее число изделий); p 
100%
ятность брака); q  1  p  0,985 (вероятность годного изделия).
Получим: 220  0,015  0,985  m0  220  0,015  0,015
2,315  m0  3,315 .
Так как наивероятнейшее число бракованных изделий не может
быть дробным числом, то единственным ответом будет m0  3 .
Определим, сколько нужно закупить изделий n , чтобы
наивероятнейшее число годных было равно m0  250 . Здесь вероятность интересующего нас события (годного изделия)
p  0,985 , тогда q  1  p  0,015 :
n  0,985  0,015  250  n  0,985  0,985 ,
n  0,985  0,015  250
n  253,8
или 
;
.

n  0,985  0,985  250
n  252,8
Данной системе удовлетворяет единственное целое число n = 253.
Задача 3. Вероятность изготовления бракованной отливки равна 0,002. Определить вероятность того, что из выпущенных
500 отливок количество бракованных составит: а) 2; б) более двух.
Решение. В этой задаче значение n = 500 велико, вероятность
p = 0,002 мала, произведение   np  1 .
а) m  2 . Найти вероятность P500 (2) можно по формуле Бернулли, но это нецелесообразно ввиду громоздкости вычислений.
Воспользуемся формулой Пуассона
m  
Pn (m)  P(m) 
e , (  10) .
m!
Вероятность можно найти, воспользовавшись таблицей значений функции Пуассона (приложение В): P500(2)=0,1839.
43
б) m  2 , т.е. m = 3, 4, …, 500. Необходимо найти
P500 (m  2) .
Удобнее перейти к противоположному событию {m  2} , тогда P500 (m  2)  1  P500 (m  2)  1  P500 (0)  P500 (1)  P500 (2) .


Для вычисления каждого слагаемого Pn (m) используем формулу Пуассона при   1 и m 0,1, 2.
Получаем, пользуясь таблицей приложения В:
P500 (m  2)  1  (0,3679  0,379  0,1839)  0,0803 .
Задача 4. Вероятность своевременного выполнения заказа
цехами службы быта равна 0,75. Найти вероятность того, что из
160 заказов своевременно выполнят: а) 120; б) не менее 110.
Решение. Вероятность выполнения каждого заказа p  0,75 ;
вероятность невыполнения q  0,25 .
а) n  160 велико, m  120 ; nрq ≥ 10. Для вычисления вероятности P160 (120) воспользуемся локальной формулой МуавраЛапласа
Pn (m) 
 ( x)
npq
, x
m  np
.
npq
x2
1 2
e
Значения функции Гаусса  ( x) 
находим по таб2
лице (приложение А), учитывая ее четность  ( x)   ( x) .
120  160  0,75 120  120
0


 0.
Имеем x 
5,477
160  0,75  0,25
30
Тогда  (0)  0,3989 . Искомая вероятность
P160 (120)  0,3989 / 5,477  0,0728 .
б) m  110 , т.е. надо найти вероятность P160(110  m  160) .
Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа
Pn (m1  m  m2 )  ( x2 )  ( x1 ) ,
t2

1
m  np
m  np
e 2 dt – функция
где x1  1
, x2  2
, а  ( x) 

npq
npq
2 0
Лапласа (нечетная), значения которой приведены в приложении Б.
x
44
110  120
160  120
 1,83 ; x2 
 7,3 .
5,477
5,477
По таблице находим
( x1 )  (1,83)  (1,83)  0,4664 ; ( x2 )  (7,3)  0,5 .
Следовательно, искомая вероятность
P160 (110  m  160)  (7,3)  (1,83)  0,5  0,4664  0,9664 .
Задача 5. При обработке линз в среднем 3 из 100 имеют брак.
Сколько линз следует обработать, чтобы с вероятностью
0,95 можно было ожидать, что отклонение доли брака от его вероятности не превысит 0,01 (по абсолютной величине)?
Решение. Здесь p = 0,03 – вероятность линзе быть бракованной, тогда q = 1 – p = 0,97. Требуется найти число n при заданной надежности   2( x)  0,95 . Воспользуемся следствием из
интегральной теоремы Муавра-Лапласа, которое выражается
формулой

m

n 
,
Pn   p     2 

pq
 n



m
где
– частота (доля) появления события А в независимых исn

n 
  0,475 . По
пытаниях. По условию задачи   0,01 ,  
pq 

таблице значений функции Лапласа, зная x   0,475 , находим
Вычисляем: x1 
x  1,96 . Тогда 1,96  
n
, отсюда
pq
n
1,96  p  q

,
1,962  p  q (1,96) 2  0,03  0,97

 1117,3 .
2
(0,01) 2
Следовательно, нужно обработать n  1118 линз, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что отклонение доли
появления бракованной линзы от вероятности линзе быть бракованной (равной 0,03) не превосходит 0,01 (по абсолютной величине).
n
45
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 4.1. При установившемся технологическом процессе автомат
производит 75% числа деталей 1-го сорта и 25% – 2-го сорта.
Установить, что является более вероятным – получить
3 первосортных детали среди 5 наудачу отобранных или
4 первосортных среди 6 наудачу отобранных?
А 4.2. Сколько раз надо подбрасывать монету, чтобы вероятность того, что герб выпадет 3 раза, равнялась 0,25?
А 4.3. Вероятность выигрыша по билету равна 0,2. Сколько
нужно приобрести билетов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9
среди них был хотя бы один выигрышный?
А 4.4. Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем
бывает 90% изделий 1-го сорта. Какова вероятность того, что среди
5 наудачу выбранных изделий будет не менее 4 изделий 1-го сорта?
А 4.5. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный
хлопок. Какова вероятность среди 8 случайно отобранных волокон
смеси обнаружить менее 4 окрашенных?
А 4.6. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника не
менее 3 партий из 4 или не менее 5 из 8?
А 4.7. Среди изделий, изготовленных вручную, бывает в среднем 4% брака. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу
5 изделий будет 40% бракованных?
А 4.8. Каждый из 4 станков в течение 6 часов работы останавливается несколько раз и всего в сумме простаивает 1 ч., причем остановка его в любой момент времени равновероятна. Найти вероятность
того, что в данный момент времени будут работать два станка.
А 4.9. При сборке в среднем 2% механизмов оказываются с дефектами. Контроллер проверяет взятые наудачу 6 механизмов.
Определить вероятность того, что среди них с дефектами окажется
не более 1 механизма.
А 4.10. В автобусном парке ежедневно выходит на линию
100 автобусов. Вероятность выхода из строя двигателя у одного
автобуса равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение
дня выйдут из строя не более чем 2 двигателя.
46
А 4.11. Вероятность прорастания зерна равна 0,8. Определить
наивероятнейшее число зерен, которые прорастут из 400 зерен, и
вероятность этого события.
А 4.12. При данном технологическом процессе 80% всей продукции оказывается продукцией высшего сорта. Определить
наивероятнейшее число изделий высшего сорта в партии из
200 изделий и его вероятность.
А 4.13. В результате проверки качества приготовленного для
посева зерна было установлено, что 80% зерен всхожие.
Определить вероятность того, что среди отобранных и высаженных 100 зерен прорастет не менее 70.
А 4.14. Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7. Определить
вероятность того, что среди 2100 пар, поступающих на контроль,
число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и
не более 1500.
А 4.15. Наиболее вероятная частота появления события при независимых испытаниях равна 50, а дисперсия – 25. Оценить абсолютную величину отклонения частоты появления события от вероятности её появления с вероятностью 0,9973.
А 4.16. Вероятность рождения мальчика р = 0,515. Какова вероятность того, что из 1000 родившихся детей мальчиков будет 520?
А 4.17. В ОТК с конвейера для проверки поступила партия изделий в количестве 600 штук. Какова вероятность того, что среди этих
изделий имеется 500 изделий 1-го сорта, если известно, что с конвейера в среднем поступает 85% продукции 1-го сорта?
А 4.18. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Оценить вероятность того, что на случайно выбранной странице будет не менее 3 опечаток.
А 4.19. Вероятность изготовления бракованного изделия равна
0,001. Вычислить вероятность того, что в партии из 200 изделий
число бракованных более 2.
А 4.20. Вероятность изготовления консервной банки с недостаточной герметизацией равна 0,02. Среди скольких банок, отобранных случайным образом, можно с вероятностью 0,9 ожидать отсутствия бракованных?
47
А 4.21. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%.
Какова вероятность того, что из 100 семян взойдет не менее 80?
А 4.22. Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,8. Найти вероятность
того, что среди 1800 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1400 и не более 1460.
А 4.23. Коэффициент простоя станка в среднем равен 0,1.
В цехе имеется 12 таких станков. Какова вероятность того, что в
некоторый момент времени при нормальном процессе производства 8 из 12 станков будут работать?
А 4.24. Каждый житель некоторого поселка 5 раз в месяц выезжает в город. Считая, что выбор дня для поездки случаен, определить, сколько вагонов должно быть в электричке, чтобы она переполнялась не чаще 1 раза в 100 дней. Число мест в одном вагоне
принять равным 60, а число жителей поселка 3600.
А 4.25. Автоматическая штамповка клемм для предохранителей
дает 10% отклонений от принятого стандарта. Сколько клемм
необходимо взять наудачу, чтобы вероятность того, что среди них
число стандартных отличается от среднего значения такого числа
(по модулю) меньше чем на 10, была равна 0,9586?
А 4.26. По данным длительной проверки качества выпускаемых
запчастей определенного вида брак составляет 13%. Найти вероятность того, что в непроверенной партии из 150 запчастей пригодных будет 128 штук.
А 4.27. Подлежат исследованию 400 проб руды. Вероятность
того, что промышленное содержание железа в каждой пробе выше
50%, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди них число проб
руды с промышленным содержанием свыше 50% не менее 300.
А 4.28. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется
пригодным без доводки, равна 0,9. Сколько изделий нужно
отобрать, чтобы с вероятностью 0,9545 можно было утверждать,
что доля пригодных без доводки изделий среди них отклонится по
абсолютной величине от 0,9 не более чем на 0,05?
А 4.29. Производятся 5 выстрелов по мишени с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,3. Для поражения мишени достаточно 3
попаданий. Найти вероятность того, что мишень будет поражена.
48
А 4.30. При обработке некоторой детали наблюдается в среднем
5% нарушений норм ее установленных размеров. Установить необходимое количество деталей, подлежащих обработке, чтобы ожидать с
вероятностью 0,9 отклонение частости появления неточных деталей
от вероятности этого события не более чем на 0,02.
А 4.31. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти
вероятность того, что из 5 выстрелов будет хотя бы 1 попадание.
А 4.32. Вероятность сбора 45 ц хлопка с 1 га равна 0,7. Вычислить
вероятность сбора хлопка по 45 ц с га не менее чем с 4 га.
А 4.33. Среди студентов 60% учатся на "хорошо" и "отлично".
Найти вероятность того, что среди 400 случайно опрошенных студентов не менее 350 учатся на "хорошо" и "отлично".
А 4.34. Процент всхожести семян кукурузы равен 95%. Найти
вероятность того, что из 2000 посеянных семян число не взошедших будет от 80 до 120 (включительно).
А 4.35. На склад поступает продукция с 3 фабрик, доля которых
составляет соответственно 30%, 32%, 38%. В продукции 1-й фабрики
60% изделий высшего сорта, второй – 50%, третьей – 40%. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу взятых изделий число изделий
высшего сорта заключено между 150 и 200.
А 4.36. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна
0,005. С какой вероятностью можно ожидать не менее
5 поврежденных изделий среди 1000 отправленных?
А 4.37. Вероятность банкротства одной из 6 фирм к концу года
равна р = 0,2. Какова вероятность того, что к концу года обанкротится не более двух фирм?
А 4.38. В порту каждые сутки может появиться одно большегрузное судно с вероятностью р  1 / 6 . Вероятность появления более
одного судна в течение суток пренебрежимо мала. Какова вероятность того, что за месяц (30 дней) порт посетят не более 4 судов?
А 4.39. Телефонная станция обслуживает 600 абонентов. Вероятность любого из них позвонить в течение часа равна 0,005. Найти
наиболее вероятное число звонков в течение часа и его вероятность.
А 4.40. При наборе слова оператор делает ошибку с вероятностью 0,002. Какова вероятность, что в набранной статье, состоящей
из 3000 слов, будет не более 4 ошибок?
49
Блок В
В 4.1. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна
1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть билетов:
а) выиграет по двум билетам; б) выиграет по трем билетам; в) не
выиграет по двум билетам?
В 4.2. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки
одинаковыми, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных шесть окажутся мальчиками.
В 4.3. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода
на линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной
работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо
иметь на линии не менее восьми автомашин.
В 4.4. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%.
Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут:
а) восемь; б) по крайней мере восемь; в) не менее трех?
В 4.5. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых
наудачу пяти деталей не более двух окажутся нестандартными.
В 4.6. Пусть вероятность того, что покупателю необходима
обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из
пяти первых покупателей обувь этого размера будет необходима:
а) одному; б) по крайней мере одному.
В 4.7. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из шести телевизоров: а) не
более одного потребует ремонта; б) хотя бы один потребует
ремонта.
В 4.8. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9.
Какова вероятность того, что среди 10 деталей окажется не более
одной нестандартной?
В 4.9. Вероятность производства бракованной детали равна
0,008. Найти наивероятнейшее число бракованных среди
1000 деталей и вероятность такого количества их в партии.
В 4.10. Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,02. Найти наиболее вероятное число
опоздавших из 855 пассажиров.
50
В 4.11. Пусть вероятность того, что денежный автомат при
опускании одной монеты сработает неправильно, равна 0,03.
Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если будет опущено 150 монет.
В 4.12. Оптовая база обслуживает 12 магазинов. От каждого из
них заявка на товары на следующий день может поступить с вероятностью 0,3. Найти наивероятнейшее число заявок на следующий
день и вероятность получения базой такого числа заявок.
В 4.13. Вероятность того, что денежный автомат при опускании
одной монеты сработает правильно, равна 0,97. Сколько нужно
опустить монет, чтобы наивероятнейшее число случаев
правильной работы автомата было равно 100?
В 4.14. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее
число годных было равно 50, если вероятность того, что наудачу
взятая деталь будет бракованной, равна 0,1?
В 4.15. Пусть вероятность нарушения герметичности банки
консервов равна 0,0005. Найти вероятность того, что среди
2000 банок две окажутся с нарушением герметичности.
В 4.16. Вероятность попадания в цель при одном выстреле
равна 0,4. Найти вероятность 100 попаданий из 320 выстрелов.
В 4.17. Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не
взойдет 130, если всхожесть семян оценивается вероятностью 0,75.
В 4.18. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Какова вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет 480 девочек?
В 4.19. Вероятность наступления события в каждом испытании
равна 0,8. Найти наибольшее отклонение частости этого события
от вероятности его наступления, которое можно ожидать с вероятностью 0,9127 при 4900 испытаниях.
В 4.20. Мастерская по гарантийному ремонту телевизоров обслуживает 2000 абонентов. Вероятность того, что купленный телевизор потребует гарантийного ремонта, равна 0,3. Предполагая, что
событие, вероятность которого 0,9973, достоверно, найти границы
числа телевизоров, которые потребуют гарантийного ремонта.
В 4.21. На прядильной фабрике работница обслуживает 750 веретен. При вращении веретена пряжа рвется в случайные моменты
времени из-за неравномерности натяжения, неровности и других
51
причин. Считая, что вероятность обрыва пряжи на каждом из веретен в течение некоторого промежутка времени t равна 0,008, найти
вероятность того, что за это время произойдет не более 10 обрывов.
В 4.22. При штамповке металлических клемм получается в
среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900
клемм будет от 790 до 820 (включительно) годных.
В 4.23. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти
вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430
(включительно) точных.
В 4.24. Всхожесть семян данного растения составляет 90%.
Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдет не
менее 700.
В 4.25. Пусть вероятность того, что покупателю необходима
обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что из 750
покупателей не более 120 потребуют обувь этого размера.
В 4.26. Предприятие имеет 2400 агрегатов. В каждый агрегат
входит некоторая деталь, вероятность выхода из строя которой за
время t равна 1/6. Исходя из этого отдел снабжения заготовил на
время t 400 запасных деталей этого типа. Найти вероятность того,
что это количество запасных деталей обеспечит бесперебойную
работу всех агрегатов в течение времени t.
В 4.27. Вероятность поражения мишени при одном выстреле
равна 0,6. Найти: а) границы числа попаданий в мишень при 600
выстрелах, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна
0,993; б) такое число выстрелов по мишени, при котором с вероятностью 0,993 можно ожидать, что отклонение частости попаданий
от вероятности 0,6 не превзойдет 0,03 (по абсолютной величине).
В 4.28. Вероятность того, что покупателю необходима мужская
обувь 41-го размера, равна 0,2. Если будет 10 000 покупателей, то:
а) какова вероятность того, что доля тех, кому необходима обувь
этого размера, отклонится от вероятности 0,2 не более чем на 0,005
(по абсолютной величине); б) какое с вероятностью 0,9973 можно
ожидать наибольшее отклонение от вероятности 0,2 доли тех покупателей, которым необходима обувь 41-го размера?
В 4.29. Вероятность промышленного содержания металла в
каждой пробе руды равна 0,4. Принимая, что событие, вероятность
52
которого 0,997, достоверно, найти границы числа проб с промышленным содержанием металла среди 1000 проб.
В 4.30. Сколько нужно проверить деталей, чтобы с вероятностью: а) 0,9; б) 0,99; в) 0,999 можно было ожидать, что абсолютная
величина отклонения частости годных деталей от вероятности 0,9
того, что деталь будет годной, не превысит 0,01 (по абсолютной
величине)?
Блок С
С 4а Импортер поставляет жалюзи для окон, причем из них
c % горизонтальных. Какая вероятность того, что среди n отобранных жалюзи будет: а) m горизонтальных; б) от m1 до m2 горизонтальных; в) не меньше m3 горизонтальных; г) меньше m4 горизонтальных?
Номер
Исходные данные
варианта
n
m
c%
m3
(m1 ; m2 )
m4
С 4.1
С 4.2
С 4.3
С 4.4
С 4.5
С 4.6
С 4.7
С 4.8
С 4.9
С 4.10
С 4.11
С 4.12
С 4.13
С 4.14
С 4.15
С 4.16
С 4.17
С 4.18
С 4.19
70
60
80
70
75
65
80
70
85
70
60
75
80
70
75
80
65
70
80
5
6
5
6
5
6
5
6
5
5
5
6
6
5
5
6
5
5
6
–
–
4
–
–
5
–
4
–
3
–
–
4
–
–
–
–
–
–
53
–
3; 5
–
–
3; 4
–
–
–
–
–
–
2; 4
–
–
–
2; 5
2; 3
3; 4
3; 4
4
–
–
–
–
–
3
–
–
–
4
–
–
3
–
–
–
–
–
–
–
–
4
–
–
–
–
4
–
–
–
–
–
3
–
–
–
–
Номер
варианта
С 4.20
С 4.21
С 4.22
С 4.23
С 4.24
С 4.25
С 4.26
С 4.27
С 4.28
С 4.29
С 4.30
n
c%
85
60
65
70
75
80
80
70
65
60
70
6
4
4
6
6
5
6
5
6
5
6
Исходные данные
m
(m1 ; m2 )
4
–
–
–
–
–
5
–
–
3; 4
–
–
4
–
–
–
–
3; 4
3
–
–
–
m3
–
–
2
–
–
–
–
3
–
–
–
m4
–
2
–
–
–
3
–
–
–
–
4
С 5а Вероятность того, что покупатель закажет товар фирмы
"Faberlic", равна p . Найти вероятность того, что среди n покупателей таких будет: а) k; б) не меньше k1; в) от k2 до k3; г) меньше k4.
Номер
варианта
n
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1900
2500
2300
2000
2200
2100
2500
2300
2000
2100
2200
2500
2400
2400
0,3
0,2
0,3
0,4
0,25
0,35
0,25
0,3
0,25
0,3
0,3
0,3
0,2
0,4
Исходные данные
k
k 2 ; k3
k1
k4
–
–
680
820
–
–
–
700
480
–
–
800
–
–
550
–
–
–
–
700
–
–
–
650
–
–
500
–
600
520
700
800
580
750
610
650
500
590
700
760
480
1000
54
–
500; 600
–
–
400; 550
–
550; 650
–
–
–
650; 750
–
–
900; 950
С 5б Вероятность того, что покупатель закажет товар фирмы
"Oriflame", равна p . Найти вероятность того, что среди n покупателей отклонение доли покупателей, которые желают заказать
продукцию, от вероятности p не превышает  .
Номер
варианта
15
16
17
18
19
20
21
22
n
1500
1700
2000
1800
1500
1600
1800
1900
Исходные данные
p

0,35
0,4
0,4
0,3
0,4
0,3
0,4
0,45
0,03
0,02
0,03
0,01
0,02
0,03
0,02
0,01
С 5в Вероятность того, что каждому из n покупателей необходим товар фирмы "Avon", равна p . Найти границы, в которых с
вероятностью P будет находиться доля покупателей, которые желают заказать продукцию фирмы.
Номер
варианта
23
24
25
26
27
28
29
30
n
1000
900
800
1100
1200
1000
900
1100
Исходные данные
p
0,3
0,4
0,4
0,3
0,3
0,4
0,3
0,4
55
P
0,9729
0,9606
0,9791
0,9556
0,9807
0,9616
0,9774
0,9596
С 6 Найти вероятность того, что среди изготовленных n деталей окажется m деталей с дефектом, если вероятность изготовления детали с дефектом равна p .
Номер
варианта
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Исходные данные
p
n
m
1200 0,005
12
1000 0,003
11
500 0,004
9
800 0,0005
3
1500 0,0004
5
1400 0,005
8
2000 0,0005
6
800 0,005
2
250 0,004
0
1000 0,0003
4
1800 0,005
11
4000 0,0001
4
2500 0,0002
3
9000 0,0001
4
1000 0,006
15
Номер
варианта
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
56
Исходные данные
p
n
m
1200 0,005
4
800 0,001
5
2500 0,0002
5
7000 0,001
13
700 0,001
6
600 0,001
4
1200 0,0005
5
500 0,0006
1
1000 0,0008
4
2000 0,002
10
3000 0,003
12
4000 0,0002
6
2000 0,004
9
500 0,0004
0
6000 0,0001
2
Тема 5
Дискретная случайная величина
Понятие дискретной случайной величины тесно связано с
понятием случайного события, являясь в некотором смысле его
обобщением. Здесь также первичным служит испытание,
результат которого характеризуется не альтернативным исходом
(появляется или нет событие), а некоторым числом (число m
появлений события А в n повторных независимых испытаниях:
число очков, выбиваемых стрелком; размер вклада на случайно
выбранном в сбербанке счете и т.д.).
Связь со случайным событием заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения
(т.е. выполнение равенства X  xi ) есть случайное событие,
характеризуемое вероятностью P( X  xi )  pi .
Решение типовых задач
Задача 1. Среди 8 часов, поступивших в ремонт, 2 – с поломками оси. Наудачу взяты 3 часов. Составить закон распределения числа часов с поломками оси среди взятых 3.
Решение. Случайная величина Х – число часов с поломками
оси среди 3 наудачу взятых из 8, может принимать следующие
числовые значения: x1  0 , x2  1 , x3  2 .
Вероятности каждого из этих значений найдем, используя
m
классическое определение вероятности: P ( A)  . Тогда
n
3
C
5
C 3  C 2 15
p1  P( X  0)  63  , p2  P( X  1)  6 3 6 
,
C8 14
C8
28
p3  P( X  2) 
C22  C61 3

.
C83
28
Закон распределения имеет вид
хi
0
1
2
pi
15/28
3/28
5 / 14
Правильность составления закона подтверждается равенством p1 + p2 + p3 = 1.
57
Задача 2. Вероятность всхожести семян некоторого растения
равна 0,8. Составить закон распределения числа взошедших семян из 3 посеянных. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Случайная величина X, выражающая число взошедших семян из 3 посеянных, может принимать значения:
x1  0 , x2  1 , x3  2 , x4  3 . Так как вероятность всхожести для
каждого семени одинакова и равна p  0,8 , то вероятности
всхожести определенного количества семян pi  P( X  xi )
определим по формуле Бернулли Pn (m)  Cnm  p m  q n  m ( m  xi ):
p1  C30  0,80  0,23  0,008 ; p2  C31  0,8  0,22  0,096 ;
p3  C32  0,82  0,2  0,384 ; p 4  C 33  0,8 3  0,2 0  0,512 .
Искомый закон распределения запишется в виде таблицы
хi
0
1
2
3
pi
0,008
0,096
0,384
0,512
Случайная величина X имеет биномиальное распределение.
Находим математическое ожидание M ( X )  np  3  0,8  2,4
и ее дисперсию D( X )  npq  3  0,8  0,2  0,48 .
Задача 3. Вероятность совершить покупку равна 0,3 для 1-го
покупателя; 0,5 – для 2-го; 0,6 – для 3-го. Определить закон распределения величины Х – числа покупателей, совершивших покупку.
Найти числовые характеристики этой случайной величины.
Решение. Возможные значения случайной величины Х таковы: x1  0 , x2  1 , x3  2 , x4  3 . Обозначим события: Ai – i-й
покупатель совершил покупку (i = 1, 2, 3).
Находим вероятность pi  P( X  xi ) , i = 1, 2, 3, 4, применяя
теоремы сложения и умножения вероятностей:
p1  P( X  0)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )  0,7  0,5  0,4  0,14 ;
p2  P( X  1)  P( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 ) 
P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  0,3  0,5  0,4  0,7  0,5  0,4  0,7  0,5  0,6  0,41 ;
p3  P( X  2)  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  P( A1 A2 A3 )  0,3  0,5  0,4 
 0,3  0,5  0,6  0,7  0,5  0,6  0,36;
58
p4  P( X  3)  P( A1 A2 A3 )  0,3  0,5  0,6  0,09 .
Закон распределения случайной величины X имеет вид
xi
0
1
2
3
рi
0,14
0,41
0,36
0,09
4
 pi  0,14  0,41  0,36  0,09  1.
i 1
Находим числовые характеристики случайной величины:
1 Математическое ожидание M ( X )  x1 p1  x2 p2  x3 p3  x4 p4 ;
M ( X )    0  0.14  1  0,41  2  0,36  3  0,09  1,40 .
2 Дисперсия D( X )  ( x1  )2 p1  ( x2  )2 p2  ( x3  )2 p3  ( x4  )2 p4 ;
D( X )  (0  1,4) 2  0,14  (1  1,4) 2  0,41  (2  1,4) 2  0,36  (3  1,4) 2  0,09  0,70 .
3 Среднее квадратическое (стандартное) отклонение
 ( X )  D( X )  0,70  0,84 .
Задача 4. Случайная величина Х задана законом распределения
хi
0
1
?
рi
0,5
0,3
?
Найти третье значение случайной величины и соответствующую ему вероятность, если известно, что ее математическое
ожидание равно 2.
Решение. Так как p1  p2  p3  1 , то p3  1  0,5  0,3  0,2 .
Далее, так как математическое ожидание случайной величины
M ( X )  x1 p1  x2 p2  x3 p3 , т.е. 2  0  0,5  2  0,3  x3  0,2 , то от-
сюда x3  7 .
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 5.1. Стрелок, имея 4 патрона, стреляет по удаляющейся цели
до 1-го попадания или до израсходования всех патронов. Составить
закон распределения числа произведенных выстрелов, если вероятность попадания при 1-м выстреле равна 0,8, а при каждом следующем уменьшается на 0,1.
59
А 5.2. Проверкой установлено, что из каждых десяти деталей, поступающих на сборку двигателя самолета, 2 нуждаются в доводке.
Составить закон распределения числа точно изготовленных среди
наудачу взятых 3 деталей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
А 5.3. Завод отправил на базу 100 000 доброкачественных керамических плиток. Вероятность того, что плитка в пути разобьется,
равна 0,00007. Составить закон распределения числа поврежденных
плиток, указав первые 4 его члена. Найти математическое ожидание
и дисперсию этой случайной величины.
А 5.4. Каждый из 2 стрелков делает по 2 выстрела по мишени,
вероятность попадания в которую для 1-го стрелка равна 0,8, для
2-го – 0,9. Составить закон распределения общего числа попаданий.
А 5.5. На пути движения автомашины 3 светофора, каждый из
которых может быть открыт с вероятностью 0,5. Составить закон
распределения числа светофоров, пройденных автомашиной: а) до
1-й остановки; б) без остановки. Найти математическое ожидание
каждой из этих случайных величин.
А 5.6. При наборе телефонного номера абонент забыл последнюю цифру, но помнит, что она нечетная. Составить закон распределения числа попыток, сделанных абонентом для правильного
набора номера.
А 5.7. Часовщик, желая найти требующие ремонта часы, проверяет их до обнаружения 1-х неисправных. Составить закон распределения числа просмотренных часов, если известно, что среди
имеющихся 10 часов 6 – неисправны.
А 5.8. В коробке имеются 6 однотипных деталей, из которых 2 –
с дефектами. Для сборки прибора требуются 2 детали, которые
слесарь-сборщик извлекает из коробки. Составить закон распределения числа опробованных для сборки прибора деталей. Найти
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
этой случайной величины.
А 5.9. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению
поезда, равна 0,005. Составить первые 3 члена закона распределения
числа опоздавших среди 1000 пассажиров некоторого поезда. Найти
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
60
А 5.10. Среди 20 электроприборов имеются 2 неисправных. Составить закон распределения числа неисправных приборов среди 4 одновременно взятых приборов. Найти математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение этой случайной величины.
А 5.11. Рабочий обслуживает 3 станка, вероятности выхода из
строя каждого из которых в течение часа соответственно равны 0,2;
0,15; 0,1. Составить закон распределения числа станков, не требующих ремонта в течение часа. Найти математическое ожидание и
дисперсию этой случайной величины.
А 5.12. В городе имеются 4 библиотеки. Вероятность наличия в
данный момент нужной книги в каждой из библиотек равна 0,2.
Составить закон распределения и найти среднее квадратическое
отклонение числа посещенных студентом библиотек для получения нужной книги.
А 5.13. Два баскетболиста делают по 2 броска. Вероятность
попадания мяча в корзину при любом броске для 1-го баскетболиста равна 0,8, для 2-го – 0,9. Составить закон распределения общего числа попаданий.
А 5.14. Вероятность того, что саженец груши приживется, равна
0,8, яблони – 0,9. Куплено 2 саженца груши и 1 – яблони. Составить закон распределения числа прижившихся среди них.
А 5.15. Среди 10 приборов у 2 имеются отклонения, выходящие
за пределы допуска. Составить закон распределения числа
приборов, не имеющих отклонений от допуска, среди 4 наудачу
взятых приборов.
А 5.16. Число очков, выбиваемых стрелком при каждом выстреле, имеет следующий закон распределения:
хi
0
1
2
3
рi
0,1
0,2
0,3
0,4
Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выбиваемых стрелком, если он сделал 5 выстрелов.
А 5.17. По условиям спортивной игры стрельба по мишени ведется
стрелком до 2 попаданий или до израсходования имеющихся
4 патронов. Составить закон распределения и найти математическое
ожидание числа попаданий, если вероятность попасть при первом
выстреле равна 0,6, а при каждом следующем увеличивается на 0,1.
61
А 5.18. Вероятность успешно сдать экзамен по теории вероятности равна 0,8, а при каждой пересдаче увеличивается на 10%. Составить закон распределения числа попыток сдать экзамен, если студент
может пересдавать экзамен не более 2 раз.
А 5.19. Продано 100 билетов лотереи. Установлены следующие выигрыши: 1 выигрыш – 15 тыс. грн, 2 выигрыша – по 10 тыс. грн,
и 5 выигрышей – по 5 тыс. грн. Составить закон распределения и найти
математическое ожидание выигрыша для лица, купившего 1 билет.
А 5.20. При некотором технологическом процессе брак составляет
в среднем 3%. Составить закон распределения числа стандартных изделий среди взятых наудачу 5 изделий этого производства.
А 5.21. Вероятность безотказной работы каждого станка в течение
промежутка времени t равна 0,75. Найти вероятность того, что из
12 станков, обслуживаемых рабочим, внимания потребуют 4 станка.
А 5.22. Случайная величина Х задана законом распределения
хi
1
2
?
рi
0,2
0,4
?
Найти х3 и р3, если известно, что среднее значение случайной величины равно 2,4.
А 5.23. Торговая база получила 5000 электроламп. Вероятность
повреждения электроламп в пути равна 0,001. Написать первые
5 членов закона распределения числа поврежденных электроламп.
А 5.24. Случайная величина Х принимает целые положительные
значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Найти знаменатель этой прогрессии, если известно, что математическое ожидание этой случайной величины равно 10,
а вероятность того, что она принимает значение 3, равна 0,081.
А 5.25. Вероятность того, что абонент позвонит по телефону в
течении часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает
1000 абонентов. Написать первые 3 члена закона распределения
случайной величины – числа позвонивших абонентов в течение
часа. Найти ее среднее значение.
А 5.26. Билет в партер стоит 4 грн, в бельэтаж – 3 грн и на балкон
– 2 грн. Приобретения любого билета события равновозможные.
Составить закон распределения стоимости 2 купленных билетов.
62
А 5.27. Команда состоит из 2 биатлонистов, вероятность попадания в цель 1-м из которых равна 0,8, а 2-м – 0,9. По условию
соревнований – 1-й может сделать 1 выстрел, 2-му же, в случае
промаха, разрешено сделать еще один выстрел. Составить закон
распределения общего числа попаданий.
А 5.28. Из коробки, содержащей 7 окрашенных и 3 неокрашенных
шара, извлекаются по 1 шару. Составить закон распределения числа
неокрашенных шаров, извлеченных до появления 1-го окрашенного
шара, и найти их среднее число. Рассмотреть 2 схемы опыта – извлеченный неокрашенный шар в коробку: а) не возвращается; б) возвращается перед новым извлечением.
А 5.29. Три цеха стекольного завода изготовляют продукцию в
соотношении 9:8:3. Среди продукции 1-го цеха – 70% термостойкой, среди продукции 2-го цеха – 80%, среди продукции
3-го цеха – 90%. Найти среднее значение числа термостойких изделий среди наудачу взятых 10 изделий.
А 5.30. В ящике лежат 10 теннисных мячей, среди которых
6 новых и 4 играных. Из ящика извлекаются наугад 2 мяча для
игры, после чего возвращаются в ящик. После этого из ящика
вновь извлекаются 2 мяча для следующей игры. Составить закон
распределения числа новых среди взятых во второй раз мячей.
А 5.31. Длительной проверкой установлено, что из каждых
10 двигателей один нуждается в дополнительной регулировке. Составить закон распределения числа нуждающихся в дополнительной регулировке двигателей среди 3 взятых наудачу.
А 5.32. В автобусе 4 пассажира. Считается, что каждый из
пассажиров с равной вероятностью может сойти на любой из
оставшихся 3 остановок. Пусть Х означает число пассажиров,
сошедших на 1-й остановке. Написать закон распределения
случайной величины Х и найти ее числовые характеристики.
А 5.33. За некоторый промежуток времени амеба может погибнуть с вероятностью 1/4, выжить – с 1/4 и разделиться на две –
с 1/2. В следующий такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее "происхождения" происходит то же самое.
Сколько амеб и с какими вероятностями может существовать к
концу 2-го промежутка времени?
63
А 5.34. Всхожесть семян данного растения определяется вероятностью 0,6. Пусть X – число появившихся растений из 5 семян.
Найти закон распределения X.
А 5.35. Случайная величина X принимает два значения: х1 = 4,
х2 = 5, причем M(X) = 4,6. Найти закон распределения X.
А 5.36. Случайная величина X имеет закон распределения, определяемый таблицей
xk
0,1
0,2
0,3
0,4
pk
0,2
0,4
0,3
0,1
Найти закон распределения случайной величины Y = 5Х - 1.
А 5.37. Пусть X – сумма очков при двух бросаниях игральной
кости. Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
А 5.38. Случайная величина X принимает значения х1 и х2 с
вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(Х) = 0,16. Найти значения
случайной величины Х.
А 5.39. В магазине имеются 10 телевизоров, из которых
4 дефектные. Пусть X – число исправных телевизоров среди трех
выбранных. Найти закон распределения X, М(Х) и D(Х).
А 5.40. В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа
купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой. Найти
математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение этой величины.
Блок В
В 5.1. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,5, вторым –
0,4. Составить закон распределения числа попаданий в мишень.
В 5.2. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из
орудия равна 0,4. Производится шесть выстрелов. Составить закон
распределения числа: а) попаданий; б) непопаданий в цель.
В 5.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения
числа библиотек, которые посетит студент, если в городе четыре
библиотеки.
64
В 5.4. Обрыв связи произошел на одном из пяти звеньев телефонного кабеля. Монтер последовательно проверяет звенья для обнаружения места обрыва. Составить закон распределения количества обследованных звеньев, если вероятность обрыва связи одинакова для всех звеньев.
В 5.5. Вероятность того, что денежный автомат при опускании
монеты сработает правильно, равна 0,97. Составить закон распределения числа опусканий монет в автомат до первого правильного
срабатывания автомата.
В 5.6. Имеется пять различных ключей, из которых только
один подходит к замку. Составить закон распределения числа
опробований при открывании замка, если испробованный ключ в
последующих попытках открыть замок: а) не участвует; б) участвует.
В 5.7. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но
успевает сделать не более четырех выстрелов. Составить закон
распределения числа промахов, если вероятность попадания в цель
при одном выстреле равна 0,7. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
В 5.8. В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимость которых 210 и 60 грн. Составить закон распределения суммы
выигрыша для лица, имеющего: а) один билет; б) два билета. Стоимость билета 3 грн. Убедиться в справедливости свойства математического ожидания для суммы зависимых случайных величин.
В 5.9. Составить закон распределения случайной величины, выражающей число попаданий в мишень при четырех выстрелах, если
вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,3. Вычислить ее
математическое ожидание и дисперсию, пользуясь только их определениями, а результаты проверить по формулам этих характеристик
для случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
В 5.10. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Известны законы распределения числа бракованных
изделий, производимых в течение смены на каждом из станков:
а) для первого станка:
Количество бракованных изделий
0
1
2
3
Вероятность
0,1 0,6 0,2 0,1
65
б) для второго станка:
Количество бракованных изделий
0
1
2
Вероятность
0,5 0,3 0,2
Составить закон распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены двумя станками вместе. На этом примере проверить выполнение свойств математических ожиданий и
дисперсий: M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
В 5.11. Дан закон распределения случайной величины Х:
Значение
–2
0
1
3
Вероятность
0,1
0,5
0,3
0,1
Составить законы распределения случайных величин Х2 и 3Х.
В 5.12. Два баскетболиста по очереди забрасывают мяч в корзину с вероятностью попадания при каждом броске для первого 0,8,
для второго – 0,7. Всего производится пять бросков. Составить законы распределения числа попаданий для каждого игрока, если
начинает бросать первый баскетболист, а также закон распределения общего числа попаданий.
В 5.13. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Значение (Х) 2
4 6
8
Значение (Y) 0
1
2
Вероятность 0,4 0,2 0,1 0,3
Вероятность 0,5 0,25 0,25
Составить закон распределения их разности, а затем проверить выполнение следующих свойств математических ожиданий и дисперсий: M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) ; D( X  Y )  D( X )  D(Y ) .
В 5.14. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
Значение (Х) – 4
0
4
Значение (Y)
2
4
Вероятность 0,25 0,5 0,25
Вероятность
0,5
0,5
Составить закон распределения их средней арифметической.
В 5.15. Даны законы распределения двух независимых случайных величин
Значение (Х) -1 0
1
Значение (Y) 0
1
3
Вероятность 0,2 0,3
0,5
Вероятность 0,1 0,3 0,6
Составить закон распределения их произведения. Проверить
выполнение следующего свойства математических ожиданий:
66
M ( XY )  M ( X )  M (Y ) .
67
Тема 6
Функция распределения случайной величины.
Непрерывная случайная величина.
Плотность вероятности
Функция распределения случайной величины Х выражает
вероятность того, что Х примет значение, меньше х:
F ( x)  P( X  x) .
Свойства функции распределения: F ()  0 , F ()  1 ,
0  F ( x)  1 ; если x2  x1 , то F ( x2 )  F ( x1) .
Вероятность попадания случайной величины Х в промежуток
[a, b] определяется формулой
P(a  X  b)  F (b)  F (a) .
Если функция F (x) непрерывна и имеет всюду (кроме, возможно,
конечного числа точек) непрерывную производную, то случайную
величину Х называют непрерывной, а функцию f ( x)  F ( x) называют плотностью вероятностей случайной величины X.
Имеют место формулы:
f ( x)  0 , F ( x) 
x

b


a
 f (t ) dt ,  f ( x) dx  1 , P(a  X  b)   f ( x) dx .
Решение типовых задач
Задача 1. Закон распределения величины Х задан таблицей
хi
-1
0
2
рi
0,2
0,5
0,3
Найти функцию распределения этой случайной величины и построить ее график.
Решение.
Известно,
что
функция
распределения
F ( x)  P( X  x) . Если x  1 , то F ( x)  0 , так как случайная
величина не принимает ни одного значения, меньшего -1.
Если  1  x  0 , то в промежуток (; x ) попадает 1 значение
случайной величины x  1 с вероятностью 0,2, следовательно,
F ( x)  P( X  1)  0,2 . Если 0  x  2 , то в промежуток (; x)
попадают 2 значения случайной величины, т.е. она может принять значения x  1 или x  0 , следовательно,
68
F ( x)  P( X  1)  P( X  0)  0,2  0,5  0,7 .
Если 2  x   , то в промежуток (; x) попадают все значения случайной величины, поэтому
F ( x)  P( X  1)  P( X  0)  P( X  2)  1 .
Итак, получаем функцию распределения
0, если x  1,
0,2, если  1  x  0,

F ( x)  
0,7, если 0  x  2,
1, если x  2.
Строим график этой функции
F (x) 1
0,7
0,2
-1
0
1
2
x
Задача 2. Даны независимые случайные величины X и Y
xi
2
4
yj
-1
0
2
pi
0,7
0,3
pj
0,4
0,1
0,5
Составить закон распределения суммы X  Y и проверить выполнение свойства M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) .
Решение. Вспомогательная таблица расчетов
№
xi
yj
pi
pj
xi + yj
Вероятность pi∙pj
1
2
-1 0,7 0,4
1
0,28
2
2
0
0,7 0,1
2
0,07
3
2
2
0,7 0,5
4
0,35
4
4
-1 0,3 0,4
3
0,12
5
4
0
0,3 0,1
4
0,03
6
4
2
0,3 0,5
6
0,15
1,00
Обозначим X  Y  Z – новая случайная величина, ее закон
распределения будет иметь вид
Z=X+Y
1
2
3
4
6
p
0,28
0,07
0,12
0,35+0,03
0,15
69
или окончательно
Z=X+Y
1
2
3
4
6
p
0,28
0,07
0,12
0,38
0,15
Рассчитаем математические ожидания исходных случайных величин:
M ( X )  2  0,7  4  0,3  2,6 ; M (Y )  1  0,4  0  0,1  2  0,5  0,6 ;
M ( X )  M (Y )  2,6  0,6  3,2 .
По закону распределения Z  X  Y находим
M ( Z )  M ( X  Y )  1  0,28  2  0,07  3  0,12  4  0,38  6  0,15  3,2 .
Следовательно, свойство M ( X  Y )  M ( X )  M (Y ) справедливо.
Задача 3. Задана функция распределения случайной величины X:
0, при x  0,

F ( x)   x / 2, при 0  x  2,
1, при x  2.

Определить вероятность того, что в результате испытаний случайная величина примет значение от 1 до 2. Найти плотность
вероятности случайной величины и дисперсию.
Решение. Вероятность того, что 1  X  2 , найдем по формуле P(a  X  b)  F (b)  F (a) . Тогда
P(1  X  2)  F (2)  F (1)  1  0,5  0,5 .
Плотность вероятности f (x) по определению есть F (x) ,т.е.
0, при x  0,

f ( x)  1 / 4, при 0  x  4,
0, при x  4.


4
4
1
x2
 2.
Математическое ожидание M ( X )   x f ( x) dx   x  dx 
4
8 0

0
Рассчитаем дисперсию по определению
4

4
1
2
2
2 1
D( X )   ( x  M ( X ))  f ( x) dx   ( x  2)  dx   ( x  4 x  4) dx 
4
4
0

0

1  x3
   2 x 2  4 x 
4 3

4
0
1  64
 1 16 4
   32  16     ,
4 3
 4 3 3
70
или по формуле
D( X )  M ( X 2 )  M 2 ( Х ) 

3 4
1 x
1
  x  f ( x) dx  M ( Х )   x  dx  2 2  
4 3
4

0
4
2
2
2
0
4
16
4
4 .
3
3
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 6.1. Случайная величина Х задана законом распределения
xi
-3
-1
0
1
3
pi
0,1
0,2
0,2
0,4
0,1
Найти функцию распределения этой случайной величины и
построить график. Определить аналитически и показать на графике
P X  1 и P X  1 .
А 6.2. Снайпер стреляет до 1-го попадания. Вероятность промаха при одном выстреле равна р. Найти функцию распределения
числа промахов.
А 6.3. Составить функцию распределения случайной величины,
распределенной по биномиальному закону.
А 6.4. Среди поступающих в ОТК приборов 20% имеют отклонения от номинала. Найти функцию распределения числа точно
собранных приборов среди 4, поступивших на контроль. Определить вероятность того, что число неточно собранных приборов
будет меньше 3.
А 6.5. Время ожидания троллейбуса распределено равномерно в
интервале (0;5). Найти плотность вероятности времени ожидания,
функцию распределения, среднее время ожидания и вероятность
того, что пассажир будет ждать троллейбус не более 3 мин.
А 6.6. Плотность распределения случайной величины Х задана
формулой
  x
f ( x)   e , если x  0,
если x  0.
 0,
Построить график f (x) . Найти: а) функцию распределения;
б) вероятность того, что случайная величина Х попадет в интервал
(-1; 2); в) математическое ожидание этой случайной величины.
71
А 6.7. Найти плотность вероятности и функцию распределения
времени ожидания поезда метрополитена, зная, что оно равномерно
распределено в интервале (0; 2). Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
В задачах А 6.8 – А 6.12 непрерывная случайная величина задана интегральной функцией F (x ) . Требуется найти: а) значение
параметра a ; б) дифференциальную функцию f (x ) ; в) математическое ожидание и дисперсию случайной величины X; г) построить
графики функций F (x ) и f (x ) ; д) вероятность того, что случайная
величина Х попадет в интервал (-1; 4).
0 при x  3,
А 6.8. F ( x)  a  ( x  3) при 3  x  8,
1 при x  8.
0 при x  0,
А 6.9. F ( x)  a x при 0  x  8,
1 при x  8.
0 при x  2,
А 6.10. F ( x)  a  ( x  2) при  2  x  4,
1 при x  4.
0 при x  3,
А 6.11. F ( x)  a  ( x  3) при  3  x  5,
1 при x  5.

0 при x  2,
А 6.12. F ( x)  a  ( x  2) при 2  x  10,

1 при x  10.
В задачах А 6.13 – А 6.20 величина Х задана функцией
 0, при x  0,

f ( x)  a x 2 , при 0  x  b,
 0, при x  b.
Требуется найти: а) значение параметра a ; б) интегральную функцию
F (x) ; в) M ( X ) и D ( X ) ; г) вероятность того, что 0 < Х < 1/3. Построить графики функций F (x) и f (x) . Принять b равным:
А 6.13. 1/2.
А 6.17. 6/7.
А 6.14. 2/3.
А 6.18. 7/8.
72
А 6.15. 3/2.
А 6.19. 9/10.
А 6.16. 5/6.
А 6.20. 10/11.
А 6.21. Брошены одновременно 2 игральные кости. Случайная
величина Х принимает значение 1, если хотя бы на 1 игральной кости выпадает цифра 6; значение 2, если хотя бы на 1 из граней появилась четная цифра, но не 6; значение 0 – в остальных случаях.
Написать функцию распределения этой случайной величины и
найти ее математическое ожидание.
А 6.22. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, случайным
образом и без возвращения извлекают 3 шара. Составить функцию распределения случайной величины – числа черных шаров среди взятых.
Найти математическое ожидание этой случайной величины.
А 6.23. Для сборки прибора требуется 4 однотипных деталей. Всего имеется 6 деталей, из которых только 5 доброкачественных. Составить функцию распределения случайной величины – числа доброкачественных деталей среди отобранных 4 деталей. Указать вероятность того, что можно будет произвести сборку прибора.
А 6.24. Случайная величина Х распределена по закону равнобедренного треугольника в интервале (-3; 3). Ее плотность вероятностей имеет вид, изображенный на рисунке. Найти F(x).
А 6.25. В театральной кассе осталось: 3 билета в драматический
театр, 5 билетов в театр комедии, 1 билет в оперный театр и 1 билет в театр эстрады. Приобретение покупателем билета в любой из
театров равновозможно. Составить закон распределения и найти
функцию распределения числа билетов в драматический театр среди четырех билетов, купленных первыми.
А 6.26. Функция распределения величины Х имеет вид
 0, если x  1,

F ( x)  0,2, если 1  x  2,
0,5, если 2  x  3,
 1, если x  3.

Найти закон распределения случайной величины X, M(X) и D(X).
73
А 6.27. Случайная величина Х непрерывного типа может принимать ненулевые значения только на отрезке [-1; 1], причем
функция распределения вероятностей имеет на этом отрезке зависимость ax 2  bx . Написать выражения функции распределения и
плотности вероятностей на этом отрезке.
А 6.28. Случайная величина Х подчиняется закону распределения Парето с параметрами a  0 и x0  0 , если она есть случайная величина непрерывного типа и ее функция распределения
вероятностей имеет вид
 0, если x  x0 ,
F ( x)  
a
1   x0 / x  , если x  x0 .
Выяснить, при каких значениях параметра a для данного распределения существуют математическое ожидание и дисперсия, и
вычислить их.
А 6.29. Случайная величина Х задана законом распределения
xi
0
1
2
3
pi
0,2
0,3
0,4
?
Найти: а) вероятность P ( X  3) ; б) функцию распределения этой
случайной величины. Построить график функции распределения.
Определить аналитически и показать на графике P(1  X  3) .
А 6.30. Стрелок стреляет по движущейся цели до первого попадания
или до израсходования имеющихся 4 патронов. Составить функцию
распределения числа израсходованных патронов, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.
А 6.31. Среди отобранных часов 30% имеют отклонения в точности
хода. Составить функцию распределения числа часов, не имеющих отклонений в точности хода среди трех наудачу взятых часов. Определить
вероятность того, что количество таких часов не превышает 2.
А 6.32. Пусть случайная величина Х имеет f (x)  1 /  при
x    / 2;  / 2 и f ( x)  0 при x    / 2;  / 2 . Найти
плотность случайной величины Y = sin X.
А 6.33. Плотность случайной величины Х f ( x)  0,75(1  x 2 )
при х  [-1;1] и f (х) = 0 при х  [-1;1]. Найти M(X) и D(X).
74
А 6.34. Функция распределения случайной величины Х
 0, x  0,

F ( x)   x 3 , 0  x  1,
 1, x  1.

Найти М(Х) и D(X).
А 6.35. Случайная величина X имеет функцию распределения
 0, x  0,

F ( x)   x 4 , 0  x  1,
 1, x  1.
Найти математическое ожидание величины Y  1 /( X  1).
А 6.36. Показать, что функция
 0, x  0,

F ( x)  ( x3  3x 2  3x) / 2, 0  x  2,
 1, x  2,
является функцией распределения некоторой случайной величины X.
Найти вероятность Р(Х > 1) и M(X).
А 6.37. Плотность случайной величины X задана формулой
0,
x  0,

f ( x)  
3
c (1  x) , x  0.
Найти константу с и М(Х).
А 6.38. Пусть F(х) – функция распределения случайной величины X. Найти функцию распределения случайной величины
Y = аХ + b, а > 0.
А 6.39. Пусть величина Х имеет функцию распределения
F(x) = c1 arctg x + c2. Определить с1 и с2, найти P ( X  1) .
А 6.40. Пусть случайная величина Х имеет плотность
p( x)  c /(1  x 2 ) . Определить константу с и найти P (|X| < 1).
Блок В
В 6.1. Найти функцию распределения числа попаданий в цель,
если стрелком произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией,
75
вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но менее пяти раз.
В 6.2. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения
и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, большее 1.
Значение
–2
0
1
3
Вероятность
0,1
0,5
0,3
0,1
В 6.3. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения
и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, меньшее 5.
Значение
2
4
6
8
Вероятность
0,4
0,2
0,1
0,3
В 6.4. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения
и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, не меньшее 1.
Значение
0
1
2
Вероятность
0,5
0,25
0,25
В 6.5. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения
и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, большее 0.
Значение
–4
0
4
Вероятность
0,25
0,5
0,25
В 6.6. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения
и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, не большее 2.
Значение
-1
0
3
Вероятность
0,2
0,3
0,5
В 6.7. Дан закон распределения случайной величины Х. Составить ее функцию распределения. С помощью закона распределения
и функции распределения рассчитать вероятность того, что случайная величина примет какое-нибудь значение, меньшее 2.
76
Значение
0
1
3
Вероятность
0,1
0,3
0,6
В 6.8. Случайная величина Х равномерно распределена. Ее
плотность вероятности  ( x)  A , если a  x  b и  ( x )  0 , если
x  a и x  b . Определить коэффициент А.
В 6.9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности  x  0 при
A
, если 1  x   .
   x  1 и  x  
x4
В 6.10. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной плотностью вероятности  x  0 , если
  x  0
3  x   .
и
x2
,
 x  
9
если
0  x  3;
 x  0 , если
В 6.11. Найти математическое ожидание и дисперсию случай2a  x
ной величины, заданной плотностью вероятности   x  
2a 2
при 0  x  2a и  x  0 при x  0 и x  2a .
В 6.12. Случайная величина Х равномерно распределена. Плотность вероятности ее  x   a при 1  x  10 и  x  0 при x  1
и x  10 . Определить ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
A
В 6.13. Функция  x  0 при    x  1 и   x  
, если
x4
1  x   . Найти: а) значение А, при котором эта функция будет
плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях она ни разу не попадет в интервал (1; 2).
3
В 6.14. Функция  x  0 при    x  1 и   x   4 , если
x
1  x   . Найти: а) функцию распределения этой случайной ве-
77
личины; б) вероятность того, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение из интервала (2; 4).
A
В 6.15. Функция  x  0 , если  1  x  1 и   x  
, если
x4
x  1 . Найти: а) значение А, при котором эта функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины; б) вероятность того, что эта случайная величина примет какое-нибудь значение, большее двух.
x2
, если
9
0  x  3 ;  x  0 , если 3  x   . Может ли эта функция быть
плотностью вероятности некоторой случайной величины? Если да,
то найти вероятность того, что эта случайная величина: а) примет
значение из интервала (1; 2); б) в трех независимых испытаниях
два раза окажется в интервале (1; 2).
В 6.17. Плотность вероятности случайной величины Х
2a  x
при 0  x  2a и  x  0 при x  0 и x  2a .
 x  
2a 2
Найти ее функцию распределения, построить графики  x и
функции распределения.
В 6.18. Случайная величина задана функцией распределения:
В 6.16. Функция  x  0 , если    x  0 и   x  
0

F ( x)   х 2
1

при
x  0,
при 0  x  1,
при х  1.
Найти вероятность того, что в результате четырех независимых испытаний случайная величина Х ровно три раза примет значение из
интервала (0,25; 0,75).
В 6.19. Случайная величина Х задана плотностью вероятности
f ( x )  c( x 2  2 x ) в интервале (0; 1), за пределами этого интервала
f ( x )  0 . Найти: а) параметр с; б) математическое ожидание величины Х.
78
Блок С
С 7 Задан закон распределения случайной величины X в виде таблицы. Необходимо:
а) построить многоугольник распределения вероятностей;
б) найти аналитическое выражение для функции распределения
и построить ее график;
в) найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
С 7.1
X -2 0
2
P 0,2 0,1 0,3
4
6
0,3 0,1
С 7.2
X -1 0 2 4 5
P 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2
С 7.3
X 1 3
4
P 0,1 0,2 0,1
5
7
0,4 0,2
С 7.4
X -2 0 2 3 4
P 0,1 0,2 0,4 0,2 0,1
С 7.5
X 4 8 12 16 20
P 0,1 0,3 0,1 0,4 0,1
С 7.6
X -3 0 2 4 5
P 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2
С 7.7
X 5 6 7 8 10
P 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
С 7.8
X 2 3 4 6 10
P 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
С 7.9
X 10 12 14 16 20
P 0,1 0,3 0,1 0,4 0,1
С 7.10
X -2 0 2 4 6
P 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
С 7.11
X 4 6 10 12 15
P 0,2 0,1 0,3 0,2 0,2
С 7.12
X -3 -1 0 1 4
P 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3
С 7.13
X -3 0 2 5 7
P 0,2 0,1 0,4 0,2 0,1
С 7.14
X 2 5 8 10 15
P 0,3 0,1 0,4 0,1 0,1
С 7.15
X 5 8 10 12 15
P 0,1 0,3 0,4 0,1 0,1
С 7.16
X -4 -1 0 3 5
P 0,2 0,1 0,3 0,1 0,3
С 7.17
X -5 0 5 10 15
P 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2
С 7.18
X 2 4 6 8 10
P 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2
79
С 7.19
X 3 6 9 12 15
P 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
С 7.20
X -5 -2 0 2 5
P 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
С 7.21
X -3 0 3 6 9
P 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
С 7.22
X 1 3 5 10 12
P 0,3 0,1 0,2 0,1 0,3
С 7.23
X 3 5 8 10 15
P 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2
С 7.24
X -2 0 2 4 6
P 0,2 0,1 0,3 0,3 0,1
С 7.25
X -3 0 2 6 8
P 0,1 0,3 0,2 0,3 0,1
С 7.26
X 3 5 8 10 12
P 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2
С 7.27
X -6 -3 0 3 6
P 0,2 0,3 0,1 0,2 0,2
С 7.28
X -3 0 3 6 10
P 0,2 0,1 0,4 0,1 0,2
С 7.29
X 2 4 6 8 10
P 0,2 0,2 0,1 0,2 0,3
С 7.30
X -4 -1 0 1 2
P 0,3 0,1 0,1 0,3 0,2
80
С 8 Непрерывная случайная величина задана функцией распределения F (x) . Необходимо найти:
а) вероятность попадания случайной величины в интервал
( ;  ) ;
б) плотность распределения случайной величины f (x) ;
в) математическое ожидание М (x) , дисперсию D(x) и среднее
квадратическое отклонение  ( X ) .
Построить графики функций F (x) и f (x) .
x  1;
0,
1
2

 1
С 8.1 F  x     x  1 ,  1  x  1;
 0; 
 2
4
x  1.
1,
x  0;
0,
 2
x
С 8.2 F  x    , 0  x  5;
 25
x  5.
1,
x  0;
0,
1
3

С 8.3 F  x    x 2  x, 0  x  1;
4
4
x  1.
1,
x  0;
0,
 2
x
С 8.4 F  x    , 0  x  2;
4
x  2.
1,
x  0;
0,
1
6

С 8.5 F  x    x 2  x, 0  x  1;
7
7
x  1.
1,
81
 2; 4 
1 
 ;1 
2 
 3
1; 
 2
1 3 
 ; 
4 4 
x  0;
0,
 2
x
С 8.6 F  x    , 0  x  4;
16
x  4.
1,
x  1;
0,
1
2

С 8.7 F  x     x  1 ,  1  x  2;
9
x  2.
1,
x  0;
0,
 2
x
С 8.8 F  x    , 0  x  3;
9
x  3.
1,
x  0;
0,
 2
x
x
С 8.9 F  x     , 0  x  1;
2 2
x  1.
1,
x  0;
0,
 2
x
С 8.10 F  x    , 0  x  6;
 36
x  6.
1,
x  0;
0,
 2
x 2
С 8.11 F  x     x, 0  x  1;
3 3
x  1.
1,
x  0;
0,
 2
С 8.12 F  x    x , 0  x  1;
1,
x  1.

82
 2;3
 0;1 
1 
 ;2
3 
1 1 
 ; 
4 2 
 2;3
1 2 
 ; 
3 3 
1 3
 ; 
2 4
x  0;
0,
 2
x 4
С 8.13 F  x     x, 0  x  1;
5 5
x  1.
1,
x  0;
0,
 2
x
С 8.14 F  x    , 0  x  8;
 64
x  8.
1,
x  1;
0,
 x 1

, 1  x  3;
С 8.15 F  x   
 2
x  3.
1,
x  0;
0,
 2
x
С 8.16 F  x    , 0  x  9;
 81
x  9.
1,
x  3;
0,

2
  x  3
,  3  x  0;
С 8.17 F  x   
 9
x  0.
1,

x  0;
0,
 2
x
С 8.18 F  x    , 0  x  10;
10
1,
x  10.
83
1 3 
 ; 
5 5 
 5;7 
3 
 ;2 
2 
 4;6 
 2 2
 ; 
 3 3
1; 2
x  0;
0,

x2

С 8.19 F  x    x  , 0  x  2;
4

x  2.
1,
x  1;
0,

2
 ( x  1)
С 8.20 F  x   
,  1  x  4;
 25
x  4.
1,
x  2;
0,

 ( x  2) 2
С 8.21 F  x   
,  2  x  5;
49

x  5.
1,
1

x ;
0,
4

2

1 1
5
С 8.22 F  x    x   ,  x  ;
4 4
4


5
x .
1,
4

1

0
,
x

;

5

2

1
1
6
x ;
С 8.23 F  x    x   ,
5
5
5


6
x .
1,
5

x  1;
0,
1

С 8.24 F  x     x 2  x  , 1  x  2;
2
x  2.
1,
84
1 
 ;1 
2 
 0;2 
 1;2 
1 
 ;1 
2 
2 4 
 ; 
5 5 
3 
 ;2 
2 

0,
x  1;

3
1
3
С 8.25 F  x    x  ,  1  x  ;
4
3
4
1

x .
1,
3
x  2;
0,

2
С 8.26 F  x    x  2  , 2  x  3;
1,
x  3.


0,
x  0;

1

0 x ;
С 8.27 F  x   8 x 3 ,
2

1

x .
1,
2
x  0;
0,
 3
x
С 8.28 F  x    ,
0  x  2;
8
x  2.
1,
x  0;
0,
 2
 x  2x
С 8.29 F  x   
,
0  x  2;
8

x  2.
1,
x  2;
0,
 3x  6

,
 2  x  3;
С 8.30 F  x   
 15
x  3.
1,
85
 0;5 
 5
 2; 
 2
 1
 0; 
 3
1; 4 
 1;1 
 0;2 
Тема 7
Нормальный закон распределения
Случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность f (х) имеет вид
f ( x)  1 e
 2

( x  a )2
2 2
.
Здесь M ( X )  a, D( X )   2 . В этом случае пишут X ~ N (a, ) ,
где  – среднее квадратическое отклонение.
Решение типовых задач
Задача 1. При сортировке случайные значения веса зерна распределены нормально со средним значением 0,15 г и средним
квадратическим отклонением 0,03 г. Нормальные всходы дают
зерна, вес которых более 0,10 г. Определить: а) процент семян, от
которых следует ожидать нормальные всходы; б) величину, которую не превзойдет вес отдельного зерна с вероятностью 0,99.
Решение. Обозначим Х – случайный вес зерна. По условию
a  M ( Χ )  0,15 ,  ( Χ )  0,03.
а) Процент семян, дающих нормальные всходы – это вероятность того, что взятое наугад зерно нормально взойдет. По условию нормальные всходы дают зерна, удовлетворяющие условию
Х > 0,10.
Вероятность этого события найдем по формуле
1
  a 
Ρ ( X   )  1  Ρ ( X   )   
.
2
  
Подставляя числовые значения, получаем
 0,10  0,15 
  5
Р( X  0,10)  0,5  
  0,5  

 3 
 0,03 
 0,5  (1,67)  0,5  0,452  0,952,
т. е. от 95,2% семян следует ожидать нормальных всходов.
б) Обозначим искомую величину веса через  . Воспользу1
 a
емся для ее нахождения формулой Ρ( X   )   
.
2
  
Находим из условия Ρ( X  )  0,99 или
86
   0,15 

  0,49 .
 0,03 
  0,15
По таблице значений функции (x) находим
 2,33 ,
0,03
откуда   0,22 . Таким образом, вес взятого наугад зерна не будет превышать 0,22 г с вероятностью 0,99.
Задача 2. Случайные отклонения диаметра детали, выпускаемой цехом, от номинала распределены нормально. Математическое ожидание диаметра детали равно 20 мм, а дисперсия 0,36
мм. Найти:
1) вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали:
а) имеет размеры от 19 до 22 мм; б) отличается от математического значения не более чем на 1 мм (по абсолютной величине);
2) границы, в которых следует ожидать величину диаметра
детали, чтобы вероятность невыхода за эти границы была равна
0,9876.
Решение. Обозначим Х – величина диаметра детали. По
условию a  M ( X )  20 , D( X )  0,36 , тогда   0,36  0,6 .
1.а) Найдем вероятность P(19  X  22) , для чего воспользуемся формулой
 a
  a 
P(  X   )  
  
.
  
  
 22  20 
 19  20 
Получаем P(19  X  22)  
  

 0,6 
 0,6 
  (3,33)   (1,67)  0,4996  0,4525  0,9571 .
   0,15 
0,5  
  0,99 ;
 0,03 
1.б) Найдем вероятность P( x  20  1) . Имеем
 1 
 
P( X  a   )  2  или P( X  20  1)  2   2(1,67)  0,9051 .
 
 0,6 
2) По условию P( X  a   )  0,9876 . По таблице значений
(x) находим 2 /    0,9876 значит,  /   2,5 , отсюда
  2,5    2,5  0,6  1,5 .
87
Диаметр детали X удовлетворяет неравенству X  20  1,5 .
Отсюда находим  1,5  X  20  1,5 или 18,5  X  21,5 , т.е.
x  (18,5;21,5) с вероятностью 0,9876.
Задача 3. Результат взвешивания химреактива распределен
по нормальному закону со средним квадратическим отклонением веса   0,02 г. Какое отклонение массы реактива можно гарантировать с вероятностью 0,2?
Решение. В условии задачи дано, что   0,02 ,
P( X  a   )  0,2 , где a  М ( X ) . Нужно найти  .
 
Воспользуемся формулой P( X  a   )  2  .
 
Согласно условию задачи 2 /    0,2 . По таблице значений функции Лапласа (x) имеем 2(0,1585)  0,2 .
Значит,  /   0,1585 , откуда   0,1585    0,1585  0,02  0,0032 .
Итак, с вероятностью 0,2 можно ожидать отклонения массы реактива, равного 0,0032 г.
Задачи для отчета преподавателю
Блок А
А 7.1. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали,
которая распределена нормально с математическим ожиданием
(проектная длина), равным 50 мм. Среднее квадратическое отклонение равно 3,6 мм. Найти вероятность того, что: а) длина наудачу
взятой детали заключена в границах от 40 до 55 мм; б) отклонение
длины изготовленной детали проектной по абсолютной величине
не превзойдет 5 мм.
А 7.2. Производится измерение расстояния между 2 пунктами.
Случайные ошибки подчинены нормальному закону. Найти вероятность того, что измерение расстояния будет произведено с ошибкой не более 60 мм, если  = 50 мм.
А 7.3. Автомат изготовляет шарики для подшипников. Шарик
считается годным, если отклонение его диаметра от проектного не
превосходит 0,6 мм. Считая, что диаметр изготовленного шарика
есть нормально распределенная величина, среднее квадратическое
88
отклонение которой равно 0,3 мм, найти, сколько годных шариков
будет среди 100 изготовленных.
А 7.4. Диаметр валика – случайная нормально распределенная
величина, среднее квадратическое отклонение которой равно  =
= 5 мм. Найти длину интервала, симметричного относительно
математического ожидания, в который с вероятностью 0,9545 попадет длина диаметра валика.
А 7.5. Ведется стрельба по цели из орудия. Средняя дальность
полета снаряда – 1000 м. Найти долю выпускаемых снарядов, дающих перелет до 60 м, если среднее квадратическое отклонение
дальности полета снаряда равно 30 м.
А 7.6. Известно, что вес клубня картофеля подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 125 г и  = 15 г.
Найти вероятность того, что вес наудачу взятого плода будет: а) не
менее 200 г; б) не более 300 г.
А 7.7. Ошибка измерительного прибора – случайная величина,
распределенная по нормальному закону. Ее среднее квадратическое
отклонение 4 мм. Найти вероятность того, что в 6 независимых измерениях ошибка (по модулю): а) превзойдет 3 мм менее 4 раз; б) хотя
бы 1 раз окажется в интервале от 0,6 до 2,0 мм.
А 7.8. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм.
Точность изготовления детали характеризуется  = 5 мм. Считая, что
отклонение размера детали от номинала есть нормально распределенная случайная величина, найти долю годных деталей, изготовляемых
автоматом. Какой должна быть точность изготовления, чтобы процент
годных деталей повысился до 98%?
А 7.9. Измеряемая величина Х подчиняется закону N (10; 5). Найти
симметричный относительно математического ожидания интервал, в
который с вероятностью p попадет измеренное значение. Провести
расчеты для: а) p = 0,9973; б) p = 0,9545; в) p = 0,6827.
А 7.10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону N (25; 0,45). В какой интервал попадут ее значения с вероятностью 0,9545?
А 7.11. Деталь изготавливается на станке. Ее размер Х представляет
собой случайную величину, распределенную по нормальному закону
89
со средним значением 20 см и дисперсией 0,2 см2. Какую относительную точность изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95?
А 7.12. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 12 и 40% значений Х больше 16,2. Найти среднее
значение и дисперсию этого распределения.
А 7.13. Коробки с шоколадом упаковываются автоматически. Их
средняя масса равна 1,06 кг. Известно, что 5% коробок имеют массу,
меньшую 1 кг. В предположении нормальности определить, каков
процент коробок, масса которых превышает 940 г.
А 7.14. Химический завод изготовляет серную кислоту плотности
1,84 г/см3. В результате статистических испытаний обнаружено, что
практически 99,9% всех выпускаемых реактивов имеют плотность в интервале (1,82; 1,86). Предполагается, что плотность серной кислоты имеет нормальное распределение. Найти вероятность того, что кислота удовлетворяет стандарту, если для этого достаточно, чтобы ее плотность не
отклонялась от номинала более чем на 0,01 г/см3.
А 7.15. Случайная величина X распределена по нормальному закону N (1; 0,3). Найти вероятности следующих событий: X  1,5 и
0,5  X  1,5 .
А 7.16. Ошибка высотомера распределена нормально с параметрами a = 20 мм,  = 10 мм. Найти вероятность того, что отклонение ошибки от ее среднего значения не превзойдет 5 мм по абсолютной величине.
А 7.17. Случайная величина Х подчиняется закону N (1;  ). Известно, что Р(X < 2) = 0,99. Вычислить М(Х 2) и Р(Х 2 >2).
А 7.18. Случайная величина Х распределена по закону N ( a ,  ).
Найти вероятность того, что отклонение величины Х от ее математического ожидания не превзойдет величины 2  .
А 7.19. В нормально распределенной совокупности 15% значений Х меньше 15 и 40% значений Х больше 18,2. Найти a и  этого распределения.
А 7.20. Диаметр электродвигателя есть нормально распределенная случайная величина с параметрами a = 100 мм и  =1,6 мм.
Найти вероятность того, что диаметр случайно взятого электродвигателя находится в интервале (98; 101).
90
А 7.21. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка
подчинена нормальному закону с a = 20 м и  = 10 м. Определить вероятность того, что измеренное расстояние отклоняется от действительного в ту или иную сторону не более чем на 15 м.
А 7.22. Средний размер детали 8 см, а дисперсия равна
0,0004 см2. В предположении о нормальном распределении определить максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой
детали от среднего размера, которое можно гарантировать
с вероятностью не менее чем 0,9973.
А 7.23. Изделия, выпускаемые цехом, по своим линейным размерам
распределяются по нормальному закону с математическим ожиданием,
равным 6 см. Известна вероятность, равная 0,9758, что наудачу взятое
изделие будет иметь размеры в границах от 5,95 до 6,05 см.
Найти дисперсию этой случайной величины.
А 7.24. Длина изготовляемой детали есть случайная величина,
распределенная по нормальному закону с a = 10 см и  = 0,2 см.
Найти вероятность брака, если допустимые размеры детали должны
быть 10  0,3 см. Какую точность длины изготовленной детали
можно гарантировать с вероятностью 0,9758?
А 7.25. На автомате изготавливают заклепки. Диаметр их головок представляет собой случайную величину X, распределенную по
нормальному закону с параметрами a = 2 мм и  2 = 0,01 мм2.
Найти вероятность брака, если допустимые размеры головок
2  0,05 мм. Какие размеры диаметра головок заклепки можно
гарантировать с вероятностью 0,9545?
А 7.26. Вероятность найти белый гриб среди прочих равна 0,25.
Какова вероятность того, что среди 80 грибов белых будет 20?
А 7.27. Для поступления в некоторый университет необходимо
успешно сдать вступительные экзамены. В среднем их выдерживают
25% абитуриентов. Предположим, что в приемную комиссию поступило 1800 заявлений. Чему равна вероятность того, что хотя бы 450
поступающих успешно сдадут экзамены?
А 7.28. Кандидата в высший орган республики поддерживают
80% населения. В каких пределах с вероятностью 0,95 находится
число проголосовавших «за» на выборах кандидата, если число избирателей равно 36 000 000?
91
А 7.29. Сколько нужно произвести бросаний монеты, чтобы с
вероятностью 0,99 можно было бы утверждать, что частость выпадения герба отличается от 0,5 не более чем на  = 0,01?
А 7.30. Известно, что из 100 семей 80 имеют холодильник. Найти
вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильник.
А 7.31. В партии из 768 арбузов каждый арбуз оказывается неспелым с вероятностью 1/4. Найти вероятность того, что количество
спелых арбузов будет находиться в пределах от 564 до 600.
А 7.32. Найти минимальный объем выборки, чтобы с надежностью 0,9109 точность оценки математического ожидания диаметров
изготовляемых валиков по выборочной средней будет равна 0,4 мм.
Известно, что диаметр валиков в генеральной совокупности есть
нормальная случайная величина с  = 3,2 мм.
А 7.33. Определить вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента
выполнения месячного плана рабочими цеха не превысит 2%, если
было обследовано 25 рабочих и известно, что процент выполнения
плана любым рабочим есть нормально распределенная случайная
величина с  = 8%.
А 7.34. По данным испытаний 16 ламп определено  = 20 ч.
Считая, что срок службы ламп распределен нормально, определить
с надежностью 0,95 верхнюю границу доверительного интервала
для генеральной дисперсии.
А 7.35. По результатам 9 измерений средняя высота исследуемой
детали оказалась равной х = 50 мм, а выборочное среднее квадратическое отклонение равно 0,8 мм. В предположении о нормальном
распределении определить вероятность того, что генеральная средняя будет внутри интервала (0,98 х; 1,02 х).
А 7.36. На основании измерения 12 деталей вычислено  = 10 мм.
В предположении, что ошибка изготовления распределена нормально,
определить вероятность того, что истинное значение генерального
среднего квадратического отклонения будет находиться в интервале
(0,89  ; 1,11  ).
А 7.37. На основе данных, полученных с 26 выбранных участков
района размером 1 га, оказалось, что средняя урожайность пшеницы
составила х = 30 ц/га, выборочное среднее квадратическое отклонение
92
– 3 ц/га. Найти надежность доверительного интервала с границами
0,95х и 1,055х, считая, что х распределена нормально.
А 7.38. Для определения доли дефектных штанг из партии взята
случайная выборка объемом в 400 штук. Среди отобранных штанг
оказалось 25 дефектных. Определить с вероятностью 0,9281 максимальную долю дефектных изделий во всей партии.
А 7.39. Из большой партии электромагнитных реле было отобрано
и подвергнуто контрольной проверке 600 шт. Среди них 18 штук оказались дефектными. Определить вероятность того, что в партии доля
бракованных реле окажется не меньше 0,01 и не более 0,05.
А 7.40. Случайная величина X распределена нормально со средним a = 10, а вероятность ее попадания в интервал (5, 15) равна
0,8. Найти вероятность попадания X в интервал (9, 10).
Блок В
В 7.1. Рост взрослого мужчины является случайной величиной,
распределенной по нормальному закону. Пусть ее математическое
ожидание равно 170 см, а дисперсия – 36. Вычислить вероятность
того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин будет иметь рост от 168 до 172 см.
В 7.2. Размер диаметра детали, выпускаемой цехом, распределяется по нормальному закону с параметрами: а = 5 см;  2 = 0,81.
Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали: а) составит от 4 до 7 см; б) отличается от математического ожидания не
более чем на 2 см.
В 7.3. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены нормальному закону с параметрами:
а = 16 км;  = 100 м. Найти вероятность того, что расстояние
между этими пунктами: а) не меньше 15,8 км; б) не более 16,25 км;
в) от 15,75 до 16,3 км.
В 7.4. Диаметр детали, изготовленной цехом, является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Дисперсия ее равна 0,0001, а математическое ожидание – 2,5 см. Найти
границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключен диаметр
наудачу взятой детали.
93
В 7.5. Пусть вес пойманной рыбы подчиняется нормальному
закону с параметрами а = 375 г,  = 25 г. Найти вероятность того,
что вес одной пойманной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) не более 450 г; в) больше 300 г.
В 7.6. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу
(10; 50).
В 7.7. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате
испытания случайная величина Х примет значение из интервала
(12; 14).
В 7.8. Пусть диаметр изготовленной в цеху детали является
случайной величиной, распределенной по нормальному закону с
параметрами: а = 4,5 см и  = 0,05 см. Найти вероятность того, что
размер диаметра взятой наугад детали отличается от математического ожидания не более чем на 1 мм.
В 7.9. Случайная величина Х нормально распределена. Ее математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны соответственно 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине будет меньше 3.
В 7.10. Среднее квадратическое отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 стоит ожидать значение случайной величины.
94
Тема 8
Оценивание параметров и проверка статистических гипотез
в случае выборок малого объема
Решение типового примера
С целью сравнения качественных и количественных показателей двух однотипных производственных процессов A и B проведены выборки (x1, x2, …, xn) и (y1, y2, …, yn) объемов
nx и ny соответственно.
1. Для каждой выборки оценить математическое ожидание a
и дисперсию  2 путем: а) вычисления выборочных средних x и
y , исправленных выборочных дисперсий s x2 и s y2 ; б) построения
доверительных интервалов для математических ожиданий ax и aу и
дисперсий 2x и 2y с надежностью γ = 0,95.
2. Допуская, что выборки (x1, x2, … , xn) и (y1, y2, … , yn) осуществлены из нормально распределенных генеральных совокупностей X и Y с параметрами (ax, σx) и (ay, σy) соответственно,
при уровне значимости α = 0,05: а) пользуясь критерием Фишера, проверить гипотезу 2x = 2y и установить, является ли один
из производственных процессов эффективнее другого;
б) пользуясь критерием Стьюдента, проверить гипотезу ax = aу и
установить, можно ли считать распределение между средними
x и y случайным, или оно является существенным и связано с
различием производственных процессов.
В таблице приведены показатели производительности труда
рабочего, изготавливающего на станке детали до (режим работы A) и после (режим работы B) усовершенствования обработки
деталей.
Режим
Количество деталей за смену
работы
А
42 43 38 40 43 38 40 41 39 42
В
42 43 44 42 44 43 40 42 41
Проведем количественное и качественное сравнение производительности труда рабочего для режимов работы А и В.
95
1 Оценивание неизвестных математических ожиданий и
дисперсий
Точечной оценкой математического ожидания а генеральной
совокупности является выборочная средняя. Выборочные средние x и y вычисляются по формулам:
n
n
1 y
y   yj .
n y j 1
1 x
x   xi ,
nx i 1
Часто удобно пользоваться формулами
n
n
1 y
y  ymin   ( yi  ymin ) .
n y i 1
1 x
x  xmin   ( xi  xmin ),
nx i 1
В данном случае имеем
x  38  (4  5  0  2  5  0  2  3  1  4) / 10  40,60,
y  40  (2  3  4  2  4  3  0  2  1) / 9  42,33.
Несмещенной оценкой дисперсии σ2 генеральной совокупности является исправленная выборочная дисперсия s2. Значения
s x2 и s 2y будем находить по формулам:
sx2 
1
nx  1
 x
2
i

 nx x 2 ,
s 2y 
1
ny  1
 y
2
j

 ny y 2 .
Поскольку при уменьшении всех данных выборки на одно и
то же число значение дисперсии не изменяется, то уменьшая
данные первой выборки на 38, а второй выборки
на 40, находим
1
s x2  42  52  02  2 2  52  0 2  22  32  12  42  10  2,602  3,600,
9
1
s 2y  22  32  42  22  42  32  02  22  12  9  2,332  1,752.
8
Выборочное среднее квадратическое отклонение равно
sx  3,600  1,897 , s y  1,752  1,323 .
Для нахождения доверительного интервала математического
ожидания а генеральной совокупности необходимо представить
а в виде
a  aˆ   ,




96
где â – точечная оценка а (среднее выборки); δ – точность
оценки. Если выборка малого объема n, то точность оценки δ
определяется формулой
s

tкр .
n
Здесь s – выборочное среднее квадратическое отклонение;
t кр – квантиль распределения Стьюдента (приложение Г), вычисленный при уровне значимости α = 1 – γ и k = n – 1 степеней свободы.
Для старого режима работы А имеем:
x  40,60 ,
sx  1,897 ,
tкр  2,262 (  0,05, k  9) ,  x 
nx  10 ,
1,897
 2,262  1,36 .
10
Для нового режима работы В:
y  42,33 ,
tкр
s y  1,323 , n y  9 ,
1,323
 2,306 (  0,05, k  8) ,  y 
 2,306  1,02 .
9
Следовательно, с надежностью γ = 0,95
ax  40,60  1,36 , a y  42,33  1,02 ,
т.е. доверительные интервалы для неизвестных математических
ожиданий имеют вид a x  39,24 ; 41,96 , a y  41,31; 43,35.
Это означает, что с надежностью 95% при старом режиме обработки деталей рабочий мог изготавливать 40 или 41 деталей за
смену. При новом режиме обработки деталей с надежностью 95%
он может изготавливать уже 42 или 43 детали за смену. Видим, что
произошло качественное изменение производительности труда.
Найдем теперь доверительные интервалы для генеральных
дисперсий 2x и 2y . Для дисперсии σ2, генеральной совокупности доверительный интервал имеет вид
(n  1) s 2
(n  1) s 2 .
2



12 
2
Здесь n – объем выборки; s2 – оценка дисперсии σ2; 12 и 2 –
квантили распределения Пирсона (приложение Д), вычисленные
при уровне значимости α и числе степеней свободы k = n – 1.
97
Для старого режима работы А:
nx  10 , sx2  3,600 , 02,95  16,92 , 02,05  3,33 (  0,05, k  9),
9  3,600
9  3,600
  x2 
, т. е. 1,91   x2  9,37 .
16,92
3,33
Для нового режима работы В:
ny  9 , s y2  1,752 ,  02,95  15,51 ,  02,05  2,73 (  0,05, k  8),
8  1,752
8  1,752
  y2 
, т. е. 0,90   y2  5,13.
15,51
2,73
Как видим, доверительные интервалы для генеральных дисперсий  x2 и  y2 пересекаются. Поэтому с надежностью 95% у
нас нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве дисперсий
(  x2 =  y2 ). Это означает, что усовершенствование обработки
деталей не приводит к повышению эффективности обработки.
2 Проверка статистических гипотез о равенстве математических ожиданий и дисперсий
Эффективность производственного процесса зависит от порождаемой им дисперсии, характеризующей разброс в данных.
Таким образом, для определения эффективности нового режима
работы, связанного с усовершенствованием обработки деталей,
необходимо сравнить генеральные дисперсии  x2 и  y2 по данным выборок производительности труда.
При сравнении двух дисперсий  x2 и  y2 выдвигают нулевую
гипотезу Н0:  x2 =  y2 ; при конкурирующей Н1:  x2 ≠  y2 . Если,
по смыслу задачи, большей выборочной дисперсии ( sx2  s y2 ) заведомо не может соответствовать меньшая генеральная дисперсия, т.е. неравенство  x2 <  y2 заведомо невозможно, то конкурирующая гипотеза приобретает вид Н1:  x2 >  y2 . В этом случае
для проверки альтернативной гипотезы Н1 используется односторонний критерий Фишера
98
s x2
 Fкр
s y2
( s x2  s y2 ) .
Здесь Fкр – критическое значение распределения Фишера (приложение Е), вычисленное при уровне значимости  и числах
степеней свободы k1 = nx–1 и k2 = ny–1. Если указанное неравенство выполняется, мы склоняемся в пользу гипотезы
Н1: 2x > 2y , в противном случае, у нас нет основания отвергнуть нулевую гипотезу Н0: 2x = 2y .
sx2 3,600
В данном случае
 3,600,  1,752, 2 
 2,06 . Из
s y 1,752
приложения Е при α = 0,05, k1 = 9 и k2 = 8 находим Fкр = 3,39.
Так как 2,06 < 3,39, то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу и считаем равными генеральные дисперсии 2x и 2y . Это
означает, что усовершенствование обработки деталей, в данном
случае, не является эффективным.
При сравнении двух математических ожиданий ax и aу выдвигают нулевую гипотезу Н0 : ax = aу, при конкурирующей гипотезе Н1 : ax ≠ aу. Методика проверки альтернативной гипотезы
Н1 зависит от соотношения генеральных дисперсий 2x и 2y .
sx2
s 2y
Ранее при сравнении двух дисперсий 2x и 2y нами было
установлено, что 2x = 2y = 2 . В этом случае оценкой дисперсии σ2 является средневзвешенная выборочная дисперсия
(nx  1) sx2  (ny  1) s y2 9  3,600  8  1,752
2
ˆ 

 2,730 .
nx  ny  2
17
Если заранее известно, что большему выборочному среднему
( x  y ), не может соответствовать меньшее математическое
ожидание (aу ≥ ax), то альтернативная гипотеза принимает вид
Н1 : aу > ax. В этом случае для проверки альтернативной гипотезы Н1 используется односторонний критерий Стьюдента
99
1
1
y  x    ˆ 2 tкр .
n n 
y 
 x
Здесь tкр – критическое значение распределения Стьюдента
(приложение Г), вычисленное при уровне значимости α и числе
степеней свободы k = nx+ny–2. Если указанное неравенство
выполняется, то гипотеза Н1 : aу > ax верна, в противном случае
мы признаем справедливость нулевой гипотезы Н0 : ax = aу.
В данном случае y  x =42,33–40,60=1,73. Из приложения Г
при α = 0,05 и k = 17 находим tкр = 2,11, тогда
1

  1 ˆ 2 tкр   1  1   2,730  2,11  1,60 .
n n 
 10 9 
y 
 x
Так как 1,60 < 1,73, то мы склоняемся в пользу альтернативной
гипотезы Н1 : aу > ax. Следовательно, расхождение между выборочными средними x и y неслучайно, при 5% уровне значимости оно является существенным и приводит к значимому повышению производительности труда после усовершенствования
обработки деталей.
Отметим, что если при сравнении двух дисперсий 2x и 2y
было установлено, что 2x > 2y ( sx2  s 2y ), то для проверки гипотезы Н1 : aу > ax следует использовать односторонний критерий
Стьюдента вида
 t  t
y  x  11 2 2 ,
1   2
2
s2
где 1  s x ;  2  y ; t1 и t2 – квантили распределения Стьюден-
nx
ny
та (приложение Г), вычисленные при уровне значимости α и
числах степеней свободы k1 = nx–1 и k2 = ny–1 соответственно.
100
Задачи для отчета преподавателю
Таблица 8.1 – Производительности двух различных режимов
Номер Режим
Количество деталей за смену
по пор.
А
58
60
59
62
61
59 57 60
1
В
60
60
59
62
62
62 61 62
А
43
46
46
45
45
48 46 46
2
В
44
46
47
45
47
48 48 47
А
36
34
38
37
36
35 38 39
3
В
39
38
38
37
37
37 38 39
А
52
54
50
51
54
51 50 50
4
В
52
54
52
51
54
53 54 53
А
71
74
70
75
75
73 72 72
5
В
72
74
72
75
75
73 72 73
А
64
69
63
64
70
68 70 67
6
В
70
72
73
71
70
70 70 71
А
56
56
57
55
54
56 56 55
7
В
59
57
57
58
57
58 56 56
А
49
50
47
50
50
49 50 47
8
В
50
50
49
51
50
51 51 49
А
80
83
82
80
83
79 73 76
9
В
82
83
82
83
83
82 84
А
71
69
69
70
67
65 66
10
В
71
69
69
70
69
69 70 70
58
60
48
48
37
38
52
52
70
71
66
35
39
58
Таблица 8.2 – Средние заработные платы работников двух предприятий
Номер ПредСредняя заработная плата за месяц (грн)
по пор. приятие
А
675 685 675 675 680 674 678 683 670
11
В
675 685 680 675 680 680 680 684 681
А
590 592 620 625 612 630 615 624 622
12
В
620 615 620 625 621 630 620 626 628
А
780 800 804 796 737 778 790 792 795
13
В
780 800 804 796 810 814 816 810 820
А
662 654 670 672 624 615 639 660 662
14
В
662 654 670 672 680 678 682 660 688
А
854 812 842 858 840 834 874 828 835
15
В
854 855 842 858 865 870 874 865 868
А
702 704 707 705 684 690 710 698 690
16
В
705 704 708 705 710 715 713 715
А
812 820 815 850 845 852 840 848
17
В
834 838 835 850 848 852 840 848 850
А
735 742 748 735 700 680 690 702
18
В
735 742 748 735 740 745 736 735
А
832 810 800 810 820 812 815
19
В
832 820 800 810 828 822 815 820
А
908 920 892 922 928 905 928 910
20
В
922 920 915 922 928 925 928
101
61
46
620
620
800
820
625
690
Таблица 8.3 – Средние удои молока на двух фермах от одной коровы за день
Номер Ферма
Средний удой молока от одной коровы за день (л)
по пор.
А
22,4 21,2 23,8 24,8 20,0 19,6 22,3 20,1 20,4 24,0
21
В
22,4 21,2 23,8 24,8 23,6 24,8 23,5 23,8 23,4 24,0
А
19,8 21,2 20,8 20,2 20,6 19,6 19,4 20,8 20,4 19,8
22
В
21,4 21,2 20,8 20,2 21,4 21,0 21,3 20,8 21,4
А
26,0 27,4 25,8 24,8 25,6 26,4 25,4 27,2 27,4
23
В
26,2 27,4 26,8 27,4 25,6 27,5 25,4 27,0 27,2 26,0
А
22,4 22,9 20,4 22,8 20,6 20,0 22,2 22,1 21,0
24
В
22,4 22,9 22,0 22,8 22,6 22,3 22,2 22,8
А
24,3 24,1 25,2 25,8 25,0 25,6 25,4 25,5
25
В
24,3 24,1 23,0 22,2 25,0 25,6 22,4 22,0 22,6
А
28,4 28,0 28,2 28,4 28,5 28,5 28,3 28,4 28,3
26
В
28,4 28,2 26,4 25,6 25,8 28,6 26,2 28,4 28,3
А
30,2 29,4 28,6 30,0 29,8 29,4 29,7 29,5 30,0
27
В
26,4 29,4 28,6 28,4 29,8 27,8 29,7 27,2 27,5
А
21,0 21,5 21,2 21,8 21,4 21,5 21,3 21,2
28
В
21,0 20,1 21,2 21,8 21,4 20,0 21,3 20,8
А
24,3 24,2 24,0 24,2 23,9 23,9 24,1
29
В
23,0 23,8 22,1 24,2 23,9 22,9 24,1 22,0
А
26,0 26,4 26,8 26,2 25,8 26,2 26,4 25,8
30
В
25,0 25,6 24,0 24,3 25,8 24,3 26,4
Таблица 8.4 – Средние урожайности пшеницы в двух хозяйствах области
Номер ХозяйСредняя урожайность пшеницы в год (ц/га)
по пор.
ство
А
39,8 39,0 38,4 40,8 41,7 39,2 40,7 41,1 42,2
31
В
40,8 41,4 40,8 42,4 41,7 42,0 40,7 41,1 42,4 42,6
А
41,4 41,8 40,4 41,0 40,8 41,6 41,5 41,7 41,8 40,6
32
В
41,4 39,4 39,7 41,0 40,6 39,2 41,5 39,8 41,8
А
46,4 46,8 48,3 47,5 45,2 47,6 48,5 46,4 45,5 45,8
33
В
48,6 47,8 48,3 47,5 47,8 47,6 48,5 48,2 47,8 47,9
А
49,4 50,1 49,6 50,1 50,2 50,4 50,0 50,4 50,0 49,6
34
В
49,4 48,4 49,6 49,2 50,2 48,2 49,0 50,4 48,8 48,1
А
42,0 40,4 39,8 39,0 38,4 38,9 40,9 41,0 41,5
35
В
42,0 41,4 41,6 41,2 41,5 41,9 40,9 41,2 41,5
А
48,4 49,3 48,8 48,5 48,5 48,6 49,2 48,8
36
В
48,4 49,3 47,0 47,2 47,9 48,6 47,2 48,0 49,5
А
40,2 42,4 41,3 43,1 42,0 39,8 43,5 43,0 42,6
37
В
42,3 42,4 42,2 43,1 42,5 42,8 43,5 43,0
А
52,8 53,1 53,5 53,1 52,2 52,9 52,9 53,5
38
В
51,9 52,8 53,5 50,2 50,0 52,9 50,7 53,5
А
56,8 56,2 56,4 57,0 56,5 56,8 56,7 56,5
39
В
56,8 55,8 53,5 56,5 54,2 55,8 56,7
А
47,1 48,0 47,4 47,8 47,3 48,2 47,4
40
В
45,1 48,0 47,4 46,4 45,2 48,2 45,0 47,4
102
Таблица 8.5 –Дневные выручки двух продовольственных магазинов
Номер Мага
Дневная выручка магазина (грн)
по пор.
зин
А
5023 4970 4985 4974 5048 4996 5016 4978 4918
41
В
4676 4970 4985 4638 4720 4816 4935 4917 4918
А
3718 3812 3716 3875 3788 3852 3794 3790 3802
42
В
3516 3728 3716 3792 3788 3746 3794 3775 3802
А
3112 2874 3095 3158 2818 3175 3114 2955 3118
43
В
3184 3214 3184 3158 3125 3175 3114 3192 3118
А
2926 3078 3012 3074 2996 3098 3076 3104 3098
44
В
2926 3072 2584 3074 2812 3098 2702 3104 2616
А
4018 3993 4078 4053 3972 3978 3926 4012
45
В
4018 3702 3718 4053 3604 3808 3926 3698 3874
А
2872 3094 3118 3173 2916 3102 2713 3090 2816
46
В
3056 3094 3172 3173 3107 3155 3101 3090
А
6212 6176 6014 5936 5973 6088 6113 5902
47
В
6212 6202 6173 6114 6154 6088 6113
А
4099 4174 4101 4008 4155 4092 4150
48
В
4099 3812 3879 3914 4155 3972 3715 4150
А
2712 2930 3093 2614 2912 2516 3001
49
В
2918 2930 3093 2903 2912 2920 3001 2910
А
5026 4816 5073 4890 4818 4792 5098 5012
50
В
5026 5092 5073 5014 5090 5017 5098 5012
5028
5028
3755
3195
Таблица 8.6 – Расход бензина на 1000 км пробега двух легковых автомобилей
Номер АвтомоРасход бензина на 1000 км пробега (л)
по пор.
биль
А
80
78
79
75
80 78 81 77 79 80
51
В
80
78
79
79
80 78 81 79 79 80
А
90
90
89
89
91 91 90 89 91 90
52
В
86
89
88
86
85 86 87 88 90
А
77
79
81
78
81 79 80 79 78
53
В
80
79
81
81
81 80 80 80 80 81
А
60
58
59
61
59 58 61 59 59
54
В
60
61
61
61
60 59 61 60 59
А
88
87
87
88
86 87 87 88 83
55
В
84
87
85
86
86 85 83 87
А
72
70
69
69
71 72 70 71
70
56
В
72
70
71
72
72 72 71 71
А
70
71
70
70
69 70 70 71
57
В
70
70
68
69
67 70 70 68
А
64
65
65
65
63 64 63 65
58
В
64
61
64
65
62 61 63 65
А
78
74
77
72
76 77 73 76
59
В
78
76
77
75
76 77 76
А
90
93
93
92
91 91 92
92
60
В
90
91
93
92
91 89 90
103
Таблица 8.7 – Рост ВВП в двух странах региона
Номер
Рост ВВП в двух странах региона
по пор. Страна
(в % к предыдущему году)
А
5,7 5,5 5,7 5,6 5,6 5,7 5,6 5,7 5,6
61
В
5,7 5,5 5,4 5,5 5,4 5,7 5,3 5,7 5,2
А
7,1 7,0 7,0 6,9 7,1 7,0 7,0 7,2 7,0
62
В
7,0 7,0 6,6 6,8 7,1 7,0 6,6 7,1 7,0
А
3,5 3,7 3,7 3,5 3,4 3,5 3,7 3,6 3,7
63
В
3,5 3,0 3,0 3,5 3,4 3,5 3,6 3,6 3,4
А
3,2 3,7 3,3 3,4 3,4 3,6 3,2 3,1 3,5
64
В
3,5 3,7 3,5 3,4 3,4 3,6 3,4 3,6 3,6
А
2,8 3,0 3,0 3,1 2,7 2,7 3,2 2,9 3,0
65
В
3,3 3,0 3,0 3,1 3,2 3,3 3,2 3,1
А
9,1 9,3 9,0 9,3 8,9 8,9 9,2 9,1 9,0
66
В
9,5 9,3 9,4 9,3 9,2 9,3 9,2 9,3
А
16,0 15,8 15,6 15,3 15,5 15,2 15,8 15,3
67
В
16,0 15,8 15,9 15,8 15,7 15,8 15,8 16,0
А
2,3 2,4 2,4 2,0 2,0 1,9 2,0 2,2
68
В
2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,2 2,3
А
9,8 10,0 9,5 10,2 9,8 9,6 10,0
69
В
10,2 10,0 10,2 10,2 10,2 9,9 10,0 10,3
А
12,1 12,3 12,5 12,2 12,6 12,5 12,3
70
В
12,1 11,3 12,0 11,4 12,6 12,2 11,8 11,5
5,5
5,5
7,0
3,5
Таблица 8.8 – Рост объемов основных фондов на двух предприятиях
Номер
ПредРост объемов основных фондов на предприятии
по пор. приятие
(в % к предыдущему году)
А
2,1 1,9 1,8 2,1 1,8 2,0 2,0 2,0 2,1 1,8
71
В
2,1 1,9 1,8 1,7 1,8 1,5 1,7 2,0 1,6 1,7
А
2,2 2,2 2,4 1,9 2,3 2,2 2,0 1,9 1,8 2,4
72
В
2,2 2,4 2,5 2,2 2,3 2,4 2,2 2,3 2,3
А
2,4 2,5 2,7 2,6 2,4 2,7 2,6 2,6 2,5 2,4
73
В
2,4 2,1 2,7 2,6 2,2 2,7 2,5 2,6 2,4
А
4,2 4,0 3,9 3,9 4,2 4,1 3,8 3,9 4,0 3,9
74
В
4,2 3,5 3,7 3,9 4,0 4,1 3,4 3,3 4,0
А
2,5 2,3 2,3 2,5 2,4 2,5 2,3 2,5 2,5
75
В
2,2 2,3 2,1 2,3 2,4 2,5 2,3 1,9 2,2
А
3,4 3,4 3,5 3,3 3,3 3,5 3,5 3,4 3,6
76
В
3,0 3,4 3,3 3,3 3,3 3,5 3,1 3,0
А
3,0 3,2 3,2 2,8 3,4 3,0 3,1 3,5
77
В
3,0 3,2 3,4 3,3 3,4 3,2 3,4 3,5 3,3
А
3,4 3,2 3,3 3,2 3,5 3,4 3,4 3,5
78
В
3,0 3,2 3,3 3,0 3,5 3,1 3,4 3,5
А
3,8 3,8 3,9 3,6 3,8 3,6 3,7 3,5
79
В
3,5 3,6 3,9 3,6 3,5 3,3 3,4
А
7,4 7,7 7,5 7,3 7,5 7,6 7,4 7,7
80
В
7,1 7,7 7,5 7,3 7,5 7,1 7,4
104
Таблица 8.9 – Рост прибыли двух однотипных фирм
Номер
Рост прибыли фирмы
по пор. Фирма
(в % к предыдущему месяцу)
А
3,2 3,8 3,8 3,5 3,3 3,5 3,2 3,1
81
В
3,5 3,8 3,8 3,5 3,7 3,6 3,9 3,5
А
13,3 12,8 12,9 12,9 13,2 12,7 13,3 12,9
82
В
13,1 12,8 12,3 12,2 13,2 12,7 13,1 12,2
А
8,2 8,5 8,6 8,2 8,3 8,2 8,1 8,3
83
В
8,2 7,4 8,6 7,2 8,3 8,2 8,0 7,6
А
9,3 8,7 8,9 9,2 9,5 8,4 9,2 8,7
84
В
9,4 9,4 8,9 9,2 9,5 9,4 9,2 9,3
А
3,5 3,4 3,3 3,2 3,3 3,7 3,5 3,7
85
В
3,5 3,2 3,0 3,2 3,3 3,7 3,2 3,3
А
4,5 4,8 4,4 4,0 4,8 4,6 4,7 4,1
86
В
5,0 4,8 4,6 4,7 4,8 4,6 4,9 4,6
А
3,8 3,2 3,9 4,1 4,2 3,2 3,5 4,1
87
В
3,8 3,9 4,2 4,1 4,2 3,9 3,9 4,1
А
11,1 11,3 11,0 11,3 10,9 10,8 11,0 11,0
88
В
11,1 10,2 10,2 11,3 10,9 10,8 11,0 10,1
А
3,0 3,4 3,4 3,2 3,1 3,4 3,1 3,3
89
В
3,0 2,7 2,8 2,9 2,6 2,9 3,1
А
5,4 6,2 5,7 5,8 5,2 5,5 5,2
90
В
6,0 6,2 5,7 5,8 5,7 5,7 5,8 5,6
3,0
3,4
13,1
12,4
8,6
8,6
9,2
9,2
3,6
3,3
3,7
13,0
8,5
4,8
3,9
Таблица 8.10 – Лучшие результаты прыжков в длину двух легкоатлетов
Номер
Лучший результат прыжков в длину (см)
по пор. Атлет
А
795 795 796 797 803 789 804 790 783 804
91
В
804 795 796 797 803 799 804 799 800 804
А
833 830 832 837 834 832 835 836 835 833
92
В
833 830 815 822 827 832 835 836 825
А
773 787 792 779 784 790 773 784 788 788
93
В
788 793 792 785 784 791 789 784 788 792
А
760 760 765 748 754 761 755 761 759
94
В
765 760 765 762 764 761 766 761 767
А
801 805 799 789 804 802 799 800 798
95
В
805 805 799 804 804 805 799 808
А
810 812 814 815 801 808 802 815
96
В
812 812 814 815 811 715 816 815 814
А
830 827 832 830 832 830 831 835
97
В
820 827 832 827 822 830 817 825
А
793 798 802 801 808 791 788 803
98
В
798 805 808 801 808 800 799 803
А
823 827 829 825 822 824 827
99
В
823 817 818 825 822 810 817 819
А
831 829 830 832 829 836 832 835
100
В
832 829 835 832 830 836 832
105
Пример тестового контроля знаний
Чему равна вероятность того, что при одном броске игрального кубика на верхней грани окажется число 4:
а) 1 / 2 ;
б) 1 / 6 ;
в) 1 / 3 ;
г) 1 / 4 ;
д) 1;
е) 0;
ж) нет правильного ответа, свой вариант?
Правильный ответ: б) 1 / 6 .
2. В урне находятся 5 шаров, из которых 3 белых, остальные – черные.
Из урны достают два шара. Какова вероятность того, что первый шар
окажется белым, а второй – черным:
а) 3 / 10 ;
б) 3 / 7 ;
в) 2 / 9 ;
г) 7 / 15 ;
д) 3 / 5 ;
е) 1 / 3 ; ж) нет правильного ответа, свой вариант?
Правильный ответ: а) 3 / 10 .
3. Два охотника делают по одному выстрелу по мишени. Вероятность
попадания для первого равна 0,7, для второго – 0,4. Какова вероятность того, что попадет только первый:
а) 0,28;
б) 0,18;
в) 0,7;
г) 0,4;
д) 0,1;
е) 1;
ж) нет правильного ответа, свой вариант?
1.
Правильный ответ: ж) правильный ответ 0,42.
4.
Спортсмен делает 5 выстрелов по мишени. Вероятность попадания
при одном выстреле равна 0,4. Как рассчитать вероятность того, что
он попадет ровно 4 раза:
а) C52 (0, 4)2 (0,6)3 ;
б) 1  (0,6)5 ;
в) C54 (0, 4)4 (0,6) ;
г) нет правильного ответа, свой вариант?
Правильный ответ: в) C54 (0, 4)4 (0,6) .
Случайная величина Х задана законом расX
–4
0
2
пределения в виде таблицы.
р
0,1
0,5
0,4
Чему равно ее математическое ожидание:
а) 0,9;
б) 1,2;
в) 2,3;
г) 0,4;
д) 1,7;
е) –2; ж) нет правильного ответа, свой вариант?
Правильный ответ: г) 0,4.
6. Продукция завода содержит 10% брака. Какова вероятность того, что
в партии из 100 изделий окажется ровно 20 бракованных?
Какую формулу нужно использовать для решения задачи:
5.
а) формулу полной вероятности; г) формулу Пуассона;
б) формулу Байеса;
д) локальную формулу Муавра-Лапласа;
в) формулу Бернулли;
е) интегральную формулу Муавра-Лапласа?
Правильный ответ: д) локальную формулу Муавра-Лапласа.
106
Список литературы
1. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,
1975.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. - 9-е изд., стер. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.
3. Карасев А.И. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для экон. специальностей вузов.- М.: Статистика,
1977.
4. Иванова В. М., Калинина В. Н. и др. Математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1981.
5. Колемаев В. А., Староверов О. В., Турундаевский В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
6. Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. –
М.: Высшая школа, 1994.
7. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие для втузов. – 2-е изд., перераб. и
доп. – М.: Высш. шк., 1988.
8. Назаренко А.М., Шовкопляс О.А., Литвиненко О.А. Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу
“Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов
экономических и математических специальностей. Часть 1.
“Основные задачи математической статистики и контрольные задания”. - Сумы: Изд-во СумГУ, 2004.
9. Назаренко А.М., Шовкопляс О.А., Литвиненко О.А. Методические указания к выполнению контрольной работы по курсу
“Теория вероятностей и математическая статистика” для студентов
экономических и математических специальностей. Часть 2
«Примеры решения задач контрольной работы». - Сумы: Изд-во
СумГУ, 2004.
10. Літвіненко О.А. Збірник задач з теорій ймовірностей (для
студентів економічних спеціальностей денної форми навчання):
Навчальний посібник. – Суми: Вид-во СумДУ, 2004.
107
ПРИЛОЖЕНИЕ А
(обязательное)
2
1  x2
e
2
Значения локальной функции Муавра-Лапласа  ( x) 
(x)
x
0
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
0,3989
0,3970
0,3910
0,3814
0,3683
0,3521
0,3332
0,3123
0,2897
0,2661
0,2420
0,2179
0,1942
0,1714
0,1497
0.1295
0,1109
0,3989
0,3965
0,3902
0,3802
0,3668
0,3503
0,3312
0,3101
0,2874
0,2637
0,2396
0,2155
0,1919
0,1691
0,1476
0,1276
0,1092
0,3989
0,3961
0,3894
0,3790
0,3653
0,3485
0,3292
0,3079
0,2850
0,2613
0,2371
0,2131
0,1895
0,1669
0,1456
0,1257
0,1074
Сотые доли
3
4
0,3988 0,3986
0,3956 0,3951
0,3885 0,3876
0,3778 0,3765
0,3637 0,3621
0,3467 0,3448
0,3271 0,3251
0,3056 0,3034
0,2827 0,2803
0,2589 0,2565
0,2347 0,2323
0,2107 0,2083
0,1872 0,1849
0,1647 0,1626
0,1435 0,1415
0,1238 0,1219
0,1057 0,1040
108
5
х
6
0,3984 0,3982
0,3945 0,3939
0,3867 0,3857
0,3752 0,3739
0,3605 0,3589
0,3429 0,3410
0,3230 0,3209
0,3011 0,2989
0,2780 0,2756
0,2541 0,2516
0,2299 0,2275
0,2059 0,2036
0,1826 0,1804
0,1604 0,1582
0,1394 0,1374
0,1200 0,1182
0,1023 0,1006
7
0,3980
0,3932
0,3847
0,3726
0,3572
0,3391
0,3187
0,2966
0,2732
0,2492
0,2251
0,2012
0,1781
0,1561
0,1354
0,1163
0,0989
8
9
0,3977 0,3973
0,3925 0,3918
0,3836 0,3825
0,3712 0,3697
0,3555 0,3538
0,3372 0,3352
0,3166 0,3144
0,2943 0,2920
0,2709 0,2685
0,2468 0,2444
0,2227 0,2203
0,1989 0,1965
0,1758 0,1736
0,1539 0,1518
0,1334 0,1315
0,1145 0,1127
0,0973 0,0957
Продолжение приложения А
Целые и
десятые
доли х
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,5
5,0
Сотые доли
0
1
0,0940 0,0925
0,0790 0,0775
0,0656 0,0644
0,0540 0,0529
0,0440 0,0431
0,0355 0,0347
0,0283 0,0277
0,0224 0,0219
0,0175 0,0171
0,0136 0,0132
0,0104 0,0101
0,0079 0,0077
0,0060 0,0058
0,0044 0,0043
0,0033 0,0032
0,0024 0,0023
0,0017 0,0017
0,0012 0,0012
0,0009 0,0008
0,0006 0,0006
0,0004 0,0004
0,0003 0,0003
0,0002 0,0002
0,0001 0,0001
0,0001338
0,0000160
0,0000015
2
0,0909
0,0761
0,0632
0,0519
0,0422
0,0339
0,0270
0,0213
0,0167
0,0129
0,0099
0,0075
0,0056
0,0042
0,0031
0,0022
0,0016
0,0012
0,0008
0,0006
0,0004
0,0003
0,0002
0,0001
3
4
0,0893 0,0878
0,0748 0,0734
0,0620 0,0608
0,0508 0,0498
0,0413 0,0404
0,0332 0,0325
0,0264 0,0258
0,0208 0,0203
0,0163 0,0158
0,0126 0,0122
0,0096 0,0093
0,0073 0,0071
0,0055 0,0053
0,0041 0,0039
0,0030 0,0029
0,0022 0,0021
0,0016 0,0015
0,0011 0,0011
0,0008 0,0008
0,0005 0,0005
0,0004 0,0004
0,0003 0,0003
0,0002 0,0002
0,0001 0,0001
109
5
х
6
0,0863 0,0848
0,0721 0,0707
0,0596 0,0584
0,0488 0,0478
0,0396 0,0387
0,0317 0,0310
0,0252 0,0246
0,0198 0,0194
0,0154 0,0151
0,0119 0,0116
0,0091 0,0088
0,0069 0,0067
0,0051 0,0050
0,0038 0,0037
0,0028 0,0027
0,0020 0,0020
0,0015 0,0014
0,0010 0,0010
0,0007 0,0007
0,0005 0,0005
0,0004 0,0003
0,0002 0,0002
0,0002 0,0002
0,0001 0,0001
7
0,0833
0,0694
0,0573
0,0468
0,0379
0,0303
0,0241
0,0189
0,0147
0,0113
0,0086
0,0065
0,0048
0,0036
0,0026
0,0019
0,0014
0,0010
0,0007
0,0005
0,0003
0,0002
0,0002
0,0001
8
9
0,0818 0,0804
0,0681 0,0669
0,0562 0,0551
0,0459 0,0449
0,0371 0,0363
0,0297 0,0290
0,0235 0,0229
0,0184 0,0180
0,0143 0,0139
0,0110 0,0107
0,0084 0,0081
0,0063 0,0061
0,0047 0,0046
0,0035 0,0034
0,0025 0,0025
0,0018 0,0018
0,0013 0,0013
0,0009 0,0009
0,0007 0,0006
0,0005 0,0004
0,0003 0,0003
0,0002 0,0002
0,0001 0,0001
0,0001 0,0001
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(обязательное)
Значения интегральной функции Муавра-Лапласа
2
x
t
1
2
( x) 
e dt
2 0
(х)
Ф(х)
x
0
x
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,1950
0,2291
0,2611
0,2910
0,3186
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4756
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,2190
0,2517
0,2823
0,3106
0,3365
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3621
0,3830
0,4015
0,4177
0,4319
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
Сотые доли х
110
Продолжение приложения Б
Целые и
десятые
доли х
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4987
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4987
0,4991
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4982
0,4987
0,4991
0,4994
0,4995
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4988
0,4991
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4988
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4994
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4989
0,4992
0,4995
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4996
0,4997
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
0,4817
0,4857
0,4890
0,4916
0,4936
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
0,4990
0,4993
0,4995
0,4997
0,4998
0,4998
0,4999
0,4999
0,4999
0,5000
0,5000
Сотые доли х
111
ПРИЛОЖЕНИЕ В
(обязательное)
Значения функции Пуассона: P( X  m) 
λ
m
0
1
2
3
4
5
6
7
λ
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
m
m!
e
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
0,9048
0,0905
0,0045
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,8187
0,1637
0,0164
0,0011
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,7408
0,2223
0,0333
0,0033
0,0003
0,0000
0,0000
0,0000
0,6703
0,2681
0,0536
0,0072
0,0007
0,0001
0,0000
0,0000
0,6065
0,3033
0,0758
0,0126
0,0016
0,0002
0,0000
0,0000
0,5488
0,3293
0,0988
0,0198
0,0030
0,0003
0,0000
0,0000
0,4966
0,3476
0,1216
0,0284
0,0050
0,0007
0,0001
0,0000
0,4493
0,3595
0,1438
0,0383
0,0077
0,0012
0,0002
0,0000
0,4066
0,3659
0,1647
0,0494
0,0111
0,0020
0,0003
0,0000
0,3679
0,3679
0,1839
0,0613
0,0153
0,0031
0,0005
0,0001
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0,1353
0,2707
0,2707
0,1805
0,0902
0,0361
0,0120
0,0034
0,0009
0,0002
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0498
0,1494
0,2240
0,2240
0,1681
0,1008
0,0504
0,0216
0,0081
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0183
0,0733
0,1465
0,1954
0,1954
0,1563
0,1042
0,0595
0,0298
0,0132
0,0053
0,0019
0,0006
0,0002
0,0001
0,0000
0,0000
0,0067
0,0337
0,0842
0,1404
0,1755
0,1755
0,1462
0,1045
0,0653
0,0363
0,0181
0,0082
0,0034
0,0013
0,0005
0,0002
0,0000
0,0025
0,0149
0,0446
0,0892
0,1339
0,1606
0,1606
0,1377
0,1033
0,0689
0,0413
0,0225
0,0113
0,0052
0,0022
0,0009
0,0003
0,0009
0,0064
0,0223
0,0521
0,0912
0,1277
0,1490
0,1490
0,1304
0,1014
0,0710
0,0452
0,0264
0,0142
0,0071
0,0033
0,0015
0,0003
0,0027
0,0107
0,0286
0,0572
0,0916
0,1221
0,1396
0,1396
0,1241
0,0993
0,0722
0,0481
0,0296
0,0169
0,0090
0,0045
0,0001
0,0011
0,0050
0,0150
0,0337
0,0607
0,0911
0,1171
0,1318
0,1318
0,1186
0,0970
0,0728
0,0504
0,0324
0,0194
0,0109
0,0001
0,0005
0,0023
0,0076
0,0189
0,0378
0,0631
0,0901
0,1126
0,1251
0,1251
0,1137
0,0948
0,0729
0,0521
0,0347
0,0217
112
ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(обязательное)
Двусторонние квантили распределения Стьюдента t1  :
2
P(t  t1  )  1 
2

2
P( t  t1 )   .
,
2
f(t)

2

2
 t1 

k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
t1 
0
2
2
0,5
0,2
0,1
0,05
0,02
0,01
1,00
0,816
0,765
0,741
0,727
0,718
0,711
0,706
0,703
0,700
0,697
0,695
0,694
0,692
0,691
0,690
0,689
0,688
3,078
1,886
1,638
1,533
1,476
1,440
1,415
1,397
1,383
1,372
1,363
1,356
1,350
1,345
1,341
1,337
1,333
1,330
6,314
2,920
2,353
2,132
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,796
1,782
1,771
1,761
1,753
1,746
1,740
1,734
12,706
4,303
3,182
2,776
2,571
2,447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,201
2,179
2,160
2,145
2,131
2,120
2,110
2,101
31,821
6,965
4,541
3,747
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,718
2,681
2,650
2,624
2,602
2,583
2,567
2,552
63,657
9,925
5,841
4,604
4,032
3,707
3,499
3,355
3,250
3,169
3,106
3,055
3,012
2,977
2,947
2,921
2,898
2,878
113
t
0,002
0,001
318,3 636,619
22,33 31,598
10,210 12,941
1,173
8,610
5,893
6,869
5,208
5,959
4,785
5,408
4,501
5,041
4,297
4,781
4,144
4,587
4,025
4,437
3,93
4,318
3,852
4,221
3,787
4,140
3,733
4,073
3,686
4,015
3,646
3,965
3,610
3,922
ПРИЛОЖЕНИЕ Д
(обязательное)
Квантили распределения Пирсона  12 :
P(  2  12 )  1   ,
P(  2  12 )   .
f( 2)


0

k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
1

2
0,99
0,95
0,90
0,10
0,05
0,01
0,0002
0,02
0,12
0,30
0,55
0,87
1,24
1,65
2,09
2,56
3,05
3,57
0,004
0,10
0,35
0,71
1,15
1,64
2,17
2,73
3,33
3,94
4,58
5,23
0,02
0,21
0,58
1,06
1,61
2,20
2,83
3,49
4,17
4,87
5,58
6,30
2,71
4,61
6,25
7,78
9,24
10,65
12,02
13,36
14,68
15,99
17,28
18,55
3,84
5,99
7,82
9,49
11,07
12,59
14,06
15,51
16,92
18,31
19,68
21,03
6,64
9,21
11,34
13,28
15,09
16,81
18,48
20,09
21,67
23,21
24,72
26,22
114
ПРИЛОЖЕНИЕ Е
(обязательное)
Квантили распределения Фишера F1-(k1, k2):
P( F  F1 )  1   ,
P( F  F1 )   .
f(F)

0
F1-
F
95% квантили ( = 0,05) распределения Фишера F(k1,k2)
k1
k2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
162
18,5
10,1
7,71
6,61
5,99
5,59
5,32
5,12
4,96
4,84
4,75
200
19,0
9,55
6,94
579
5,14
4,74
4,46
4,26
4,10
3,98
3,89
216
19,2
9,28
6,59
5,41
4,76
4,35
4,07
3,68
3,71
3,59
3,49
225
19,2
9,20
6,39
5,19
4,53
4,12
3,84
3,63
3,48
3,36
3,26
230
19,3
9,01
6,26
5,05
4,39
3,97
3,69
3,46
3,33
3,20
3,11
234
19,3
8,94
6,16
4,95
4,28
3,87
3,58
3,37
3,22
3,09
3,00
237
19,4
8,89
6,09
4,88
4,21
3,79
3,50
3,29
3,14
3,01
2,91
239
19,4
8,85
6,04
4,82
4,15
3,73
3,44
3,23
3,07
2,95
2,85
241
19,4
8,81
6,00
4,77
4,10
3,68
3,39
3,18
3,02
2,90
2,60
242
19,4
8,79
5,86
4,74
4,06
3,64
3,35
3,14
2,98
2,85
2,75
243
19,4
8,76
5,94
4,70
4,03
3,60
3,31
3,10
2,94
2,82
2,72
244
19,4
8,74
5,91
4,68
4,00
3,57
3,28
3,07
2,91
2,79
2,69
115