Нестандартные задачи по теории

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ
по теории вероятностей
для студентов экономических специальностей
Учебное пособие для вузов
Дружининская И.М.
Матвеев В.Ф.
Мышкис П.А.
МАКС Пресс
2006
Учебное издание
Дружининская Ирина Михайловна
Матвеев Виктор Федорович
Мышкис Петр Анатольевич
Нестандартные задачи по теории вероятностей
для студентов экономических специальностей
Выпуск 1
Учебное
пособие
по
курсу
"Теория
вероятностей"
покрывает основные разделы стандартной программы курса для
студентов
экономических
специальностей.
При
решении
включенных в пособие задач предполагается использование
комбинации
нескольких
методов
и
приемов,
излагаемых
в
учебном курсе. Формулировки задач наполнены экономическим
содержанием.
Для
студентов
экономических
специаль ностей
и
преподавателей курсов теории вероятностей.
Пожелания и критические замечания по поводу данного издания можно
направлять по адресам:
Дружининская Ирина Михайловна ([email protected]);
Матвеев Виктор Федорович ([email protected]).
2
Вв е де ни е
Настоящее методическое пособие содержит задачи, которые не
требуют знаний выходящих за рамки стандартного курса теории
вероятностей. Однако при решении этих задач, зачастую, приходится в
рамках одной задачи применять методы и формулы из разных разделов
курса – это требует свободного владения курсом теории вероятностей.
Подобные задачи предлагались для решения студентам первого и второго
курсов факультета Менеджмента в экзаменационных контрольных работах
для продвинутых студентов. Решение этих задач, помимо остальных
простых задач, гарантирует студенту очень высокую оценку за экзамен.
3
Задачи на вычисление вероятностей событий
непосредственно и с применением формул
комбинаторики
1.
Профессор Аристарх Аркадьевич был оштрафован десять раз за
незаконную ночную стоянку автомобиля. Все десять штрафов налагались
только в понедельник или в пятницу. (Профессор предполагает, что
проверки парковок должны проводиться случайно в любой день недели).
Найти вероятность случившегося события.
Можно ли предположить, что милиция действовала по заранее
продуманной схеме?
2.
Студент факультета экономики Петя Васечкин ставит три ящика пива
против одного, на то, что, выучив 12 билетов из 30, он сдаст зачет, по
крайней мере, со второго раза.
Стоит ли его приятелю заключать пари?
3.
Студентка Лисичкина Лиза пригласила на свой день рождения Дашу,
Мишу, Сережу и Сашу. Ей очень нравятся Саша и Миша.
Какова вероятность того, что, если все собравшиеся усаживаются
за праздничный стол случайным образом, то Лиза будет сидеть
одновременно рядом с Сашей и Мишей?
4.
В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при
бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10.
Найти вероятности: а) выпадения 11 очков;
б) выигрыша.
4
5.
В кошельке лежат две монеты достоинством по 5 рублей и четыре монеты
по 2 рубля. Наудачу берется одна монета, а затем извлекается вторая
монета, оказавшаяся монетой в 2 рубля.
Определите вероятность того, что и первая извлеченная монета
имеет достоинство в 2 рубля.
6.
Сколько раз необходимо бросить игральную кость, чтобы с вероятностью
0,9 хотя бы один раз выпало не менее четырех очков?
7.
Том Сойер ставит свою дохлую крысу на веревочке против сломанного
будильника приятеля, на то, что при подбрасывании 6 монет выпадет 3
орла. Том считает, что шансы получить или же не получить загаданный
результат равны.
Прав ли он?
8.
В первой урне 6 шаров черного и 4 белого цвета, во второй 3 черных и 7
белых шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар.
Какова вероятность того, что вынуты:
а) 2 белых шара:
б) хотя бы один черный шар;
в) белый и черный в любой последовательности.
9.
Английский вице-адмирал и пират Френсис Дрейк топил каждое третье
встреченное им судно. За месяц он встретил 7 судов.
а) Найдите вероятность того, что ни одно встреченное им судно не
пострадало.
б) Найдите вероятность того, что за месяц он потопил
наивероятнейшее количество судов.
5
10. Для производственной практики на 30 студентов, в числе которых Петров
и Васечкин, предоставлено 15 мест в Рязани, 8 – в Тамбове и 7 – в
Воронеже.
Какова вероятность того, при случайном распределении мест для
практики Петров и Васечкин попадут в один город?
11. На фирму поступила партия иностранной видеотехники из 20 изделий,
причем 10 изделий из них – «белый импорт», 6 – «серый импорт» и 4 –
«черный импорт». Случайным образом выбрали для продажи 8 изделий.
Какова вероятность того, что:
а) в партии для продажи будут два изделия «черного импорта » и
одно - «белого импорта»;
б) в партии для продажи будут лишь легально ввезенные товары?
12. Счетная палата изучает деятельность 10 крупных коммерческих банков.
Из предыдущего опыта известно, что примерно 3 коммерческих банка из
12 имеют нарушения в своей деятельности.
Какова вероятность того, что:
а) ни один из этих 10 банков не имеет нарушений?;
б) количество банков, имеющих нарушения, колеблется
от двух до трех?
6
13. Восемь коммерческих банков активно занимаются игрой на финансовом
рынке. Практика показала, что вероятность удачи примерно одинакова
для всех банков и равна 0.55.
а) Найдите вероятность того, что хотя бы один банк будет иметь
успех на этом поприще.
б) Найдите наивероятнейшее число успехов для этой ситуации и
соответствующую этому числу вероятность.
14. Партия изделий содержит 1% брака.
Каков должен быть объем контрольной выборки, чтобы
вероятность обнаружить в ней хотя бы одно бракованное изделие
была не меньше 0.95?
15. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 20. Пусть Х число натуральных делителей выбранного числа.
Найдите закон распределения случайной величины Х.
(Единица и само число рассматриваются в качестве делителей).
7
Зависимые и независимые случайные величины
16. Сотрудник фирмы, отвечающий на телефонные звонки, получает много
обращений по разным вопросам. В 75% случаев лишь запрашивается
информация, в то время как 15% звонков связаны с реальными заказами.
Кроме того, в 10% случаев запрашивается информация и делается заказ.
а) Являются ли события –«запрашивается информация» и
«делается заказ» – зависимыми?
б) Найдите условную вероятность того, что некоторый звонок не
связан с обращением за информацией при условии, что в
результате делается заказ.
17.
Для типичного посетителя данной торговой точки вероятность покупки
бензина составляет 0.23, вероятность покупки бакалейных товаров равна
0.23, а вероятность покупки бакалейных товаров при условии покупки
бензина равна 0.85.
а) Являются ли независимыми события покупки бензина и
покупки бакалейных товаров?
б) Какова вероятность того, что посетитель купит и бензин и
бакалейные товары?
18. Для типичного иностранного туриста, приехавшего в Париж, вероятность
посетить Диснейленд равна 0.5; вероятность посетить Лувр равна 0.9, а
вероятность посетить и то и другое равна 0.4.
Найдите условную вероятность посетить Диснейленд при условии
посещения Лувра.
Зависимы или независимы события – посещение Лувра и
посещение Диснейленда?
8
19. Фирма отслеживает реакцию людей, получивших по почте каталог.
Установлено, что 5% людей, получивших каталог, заказали лыжи и 7%
заказали спортивные костюмы. При условии заказа лыж 60% заказали
еще и спортивные костюмы.
а) Какой процент тех, кто заказал по каталогу оба предмета?;
б) Какой процент людей, получивших каталог и не заказавших
ничего?;
в) Чему равен среди получивших каталог процент тех, кто
отказался от лыж, но заказал спортивный костюм?
г) Можно ли считать события «заказ лыж» и « заказ спортивного
костюма» независимыми? Почему?
9
Задачи на полную вероятность и формулу Байеса
20. Туристическая фирма зафрахтовала судно для организации морских
круизов в летний сезон. Эксперт по туризму предсказывает, что
вероятность того, что билеты на судно будут полностью раскуплены,
равна 0.9, если «евро» заметно не подорожает по отношению к рублю, и с
вероятностью 0.7, если «евро» станет существенно дороже. По оценкам
экономистов вероятность заметного подорожания «евро» равна 0.4.
а) Чему равна вероятность того, что все билеты будут проданы?
б) Известно, что все билеты на круизы летнего сезона проданы.
Какова вероятность того, что заметного подорожания «евро» не
произошло?
21. Брошены две игральные карты.
Найдите условную вероятность того, что выпали две пятерки, если
известно, что сумма выпавших очков делится на 5
22. Прибор может работать в двух режимах – нормальном (показывает
правильные
неправильные
значения
значения
параметров)
и
параметров).
ненормальном
Нормальный
(показывает
режим
работы
наблюдается в 80% случаев работы прибора; ненормальный – в 20%.
Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме
равна 0.1, в ненормальном – 0.7. Известно, что прибор вышел из строя.
Какова вероятность того, что он до поломки показал
правильное значение параметров?
10
23. Экзамен у студента состоит из двух туров. В первом туре ему
предлагается решить 4 задачи из 10. Студент в состоянии решить 7 из 10
и, если он решает хотя бы 3 задачи, то допускается ко второму туру
(устное собеседование). Вероятность пройти второй тур для студента
составляет 0.7.
Чему равна вероятность успешного прохождения студентом обоих
туров
24. В понедельник, после двух выходных, токарь Григорий вытачивает
левовинтовые шурупы вместо обычных правовинтовых с вероятностью
0.5. Во вторник этот показатель снижается до среднецехового - 0.2. В
остальные дни недели Григорий ударно трудится, и процент брака среди
изготавливаемых им шурупов составляет 10%. При проверке недельной
партии шурупов, выточенных Григорием, случайно выбранный шуруп
оказался дефектным.
Какова вероятность того, что шуруп изготовлен в понедельник?
25. Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом
предприятии - 0.1, на втором - 0.2, на третьем – 0.25.
Определите вероятность того, что акционер, имеющий акции всех
предприятий, получит высокие дивиденды:
а) на всех предприятиях;
б) только на одном предприятии;
в) хотя бы на одном предприятии.
11
26. Страховая компания разделяет своих клиентов по группам риска: первая
группа – малый риск; вторая группа – средний риск; третья группа –
большой риск. Известно, что среди клиентов компании 45% могут быть
отнесены к первой группе; 35% ко второй; 20% к третьей. Вероятности
страховых
выплат
для
первой
группы
0.02;
для
второй
0.04;
для третьей 0.09.
Какова вероятность того, что:
а) клиент получит денежную компенсацию от фирмы за период
страхования;
б) получивший денежную компенсацию клиент относится к
группе малого риска.
27. На фирме необходимо принять решение относительно того, какой товар
производить. Средств имеется для производства только одного товара.
Затраты на производство товара А составят $ 10 000, а для товара Б они
равны $ 15 000. Другие расходы, включая издержки по содержанию
персонала и стоимость материалов, аналогичны. Для прогноза вероятных
объемов продаж каждого из товаров использовались результаты
маркетингового исследования. Вероятности прогнозной валовой прибыли
без учета затрат на наладку приведены в таблице:
Валовая прибыль
Высокая ($ 50000)
Низкая ($ 20000)
Товар А
0.7
0.3
Товар Б
0.8
0.2
С помощью дерева решений определите, какой товар вы начнете
производить с целью максимизации ожидаемой прибыли.
12
28. При решении вопроса о строительстве нового ресторана рассматриваются
две возможности его размещения – в южной и северной частях города.
Реально только одно из этих двух мест будет доступно для застройки.
Если ресторан будет построен в северной части, вероятность его
успешного функционирования в течение первого года равна 90%. Если же
построить ресторан в южной части, вероятность успешной работы в
первый год будет составлять только 65%. Вероятность того, ресторан
можно построить в северной части, равна 40%.
а) Постойте дерево вероятностей для данной ситуации, проведя
первую ветвь для события «размещение»;
б) Найдите вероятность того, что работа ресторана в первый год
будет успешной;
в) Найдите вероятность того, что ресторан будет построен в
южной части города и его работа будет успешной;
г) Найдите вероятность того, что ресторан будет построен в
южной части города при условии, что его работа будет успешной;
д) Найдите вероятность отсутствия успеха в работе ресторана при
условии того, что он построен в северной части города.
29. Три охотника стреляют в медведя. Первый из них попадает в медведя с
вероятностью 0.7, второй оказалось
0.8, третий – 0.6. Медведь убит, в нём
2 пули.
Найти вероятность того, что второй охотник не попал.
13
30. Представьте себе, что вы работаете в отделе кредитов крупного банка.
Известно, что один из заемщиков испытывает финансовые затруднения и,
возможно, не сможет произвести текущий платеж, срок которого
наступает на следующей неделе. Вы считаете, что с вероятностью 60% он
внесет всю подлежащую выплате сумму в $ 50 000, с вероятностью 30%
внесет только половину, а с вероятностью 10% не внесет ничего.
Найдите ожидаемую кредитную выплату.
Найдите уровень риска для данной ситуации.
31. Инвестор имеет $ 100 000, которые он может вложить либо в два пакета
акций одного предприятия, либо в два пакета акций двух разных
предприятий (один пакет стоит $ 50 000). Каждое предприятие с равными
вероятностями может добиться успеха (и тогда нынешнее вложение у
него учетверится), либо потерпеть неудачу (и тогда нынешнее вложение у
него пропадет).
Постройте математические модели дохода инвестора (в виде
дискретных случайных величин) при выборе им каждой из двух
возможных стратегий.
Найдите математические ожидания и дисперсии доходов.
Найдите коэффициенты корреляции между доходами пакетов
акций при первой стратегии (покупка пакетов акций одного
предприятия), при второй стратегии (покупка пакетов акций двух
разных предприятий).
14
Задачи на непрерывные законы
распределения
32. Азимутальный лимб имеет цену деления 1 градус.
Какова вероятность при считывании значения азимутального угла
сделать ошибку в пределах 10 минут, если отсчет округляется до
ближайшего целого числа градусов?
(в одном градусе 60 минут: 10  60 / ).
33. Цена деления измерительного прибора равна 0.5. Показания прибора
округляются до ближайшего деления шкалы. Полагая, что при отсчете
ошибка округления распределена по равномерному закону,
найдите: а) математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение этой случайной величины;
б) вероятность того, что ошибка округления окажется меньше 0.1;
больше 0.07.
34. Десятичные дроби, полученные в результате вычисления некоторых
параметров
и содержащие одну значащую цифру после запятой,
округляются до ближайшего целого значения.
Какому закону распределения подчиняется ошибка округления?
Приведите график плотности распределения случайной величины
– ошибки округления.
Найдите вероятность того, что для случайно выбранного числа при
округлении будет сделана ошибка более 0.4.
15
35. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце
каждой минуты.
Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут
время, которое отличается от истинного более чем на 20 секунд.
36. На отрезок АВ длиной 3 м наудачу бросается точка С.
Найдите вероятность того, что меньший из отрезков АС или СВ
будет иметь длину, превосходящую четверть метра.
37. Опыт состоит в делении заданного отрезка случайным образом на три
части. Предположим, что производится 6 независимых опытов такого
рода.
Какова вероятность того, что в двух опытах из полученных частей
можно составить треугольник?
38. При
производстве
определенное
безалкогольных
количество
пива
в
напитков
аппарат
стандартную
разливает
бутылку.
Число
наливаемых миллилитров (мл) пива подчиняется нормальному закону с
математическим
ожиданием,
зависящим
от
настройки
аппарата.
Количество мл пива, разлитых аппаратом, имеет среднее квадратическое
отклонение в 15 мл. Заполняются бутылки пива емкостью 500 мл.
Сколько мл пива должен в среднем разливать аппарат, чтобы не
более 7% бутылок оказались переполненными?
16
39. Ежедневная прибыль швейной фабрики «Платье короля» распределена по
нормальному закону с таким значением параметра в некоторых условных
единицах:
m  222 . Известно, что вероятность того, в понедельник
прибыль компании будет лежать в диапазоне от 200 до 244 условных
единиц, равна 0.7.
Найти значение среднего квадратического отклонения.
Построить график плотности заданного нормального
распределения и
указать на нем фигуру, соответствующую указанной вероятности.
40. Одна фирма владеет четырьмя магазинами, причем годовая прибыль
каждого магазина подчиняется нормальному закону распределения и не
зависит от работы других магазинов. Первый магазин имеет средний
годовой доход, равный 20 (в у.е.) и дисперсию 5, у второго магазина эти
характеристики такие: 15 и 3, у третьего – такие же, как у первого, а у
четвертого: 25 и 10.
Какова вероятность того, что совокупная годовая прибыль всех
магазинов окажется более 70 у.е.?
41. Известно, что вес одного изделия является нормально распределенной
случайной величиной со средним значением 29 и дисперсией 16, а вес
другого изделия также является нормально распределенной случайной
величиной со средним значением 50 и дисперсией 36. В контейнер
уложили 5 изделий первого типа и 3 изделия второго типа.
Найти вероятность того, что полный вес загруженного контейнера
превзойдет 310, если известно, вес контейнера также распределен
нормально со средним значением 10 и дисперсией 4 (вес задан в
некоторых условных единицах).
17
42. Автомат заполняет банки кофе. Масса кофе и масса банки являются
независимыми
случайными
величинами,
имеющими
нормальное
распределение со средними значениями соответственно 250 г и 40 г и
средними квадратическими отклонениями 8 г и 6 г.
Какова вероятность того, что вес готовой к продаже продукции
будет менее 280 г?
43. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения вида
C  x 2 ,1  x  2
f ( x)  
 0, x  1, x  2 .
Найдите неизвестный параметр распределения.
Найдите плотность распределения случайной величины Y 
1
.
X2
Вычислите M Y , DY , Y , P3 / 4  X  2.
44. Независимые случайные величины X и Y имеют следующие плотности
e  x , x  0
e  y , y  0
f 1 ( x)  
, f 2 ( y)  
0
,
x

0

 0, y  0 .
распределений:
Найдите плотность распределения случайной величины Z  X  Y и
вероятность попадания случайной величины Z
в промежуток от 0 до 2.
Найдите математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
18
45. Данный прибор состоит из двух устройств. Функция распределения
случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет для
первого
устройства
вид F (t )  1  e 2t ,
а
для
второго
устройства
вид F (t )  1  e 3t .
Найти вероятность того, что за время T прибор будет работать,
если он функционирует при условии работы хотя бы одного
устройства.
46. Для надежности схемы устанавливается n параллельно соединенных и
независимо работающих элементов, причем промежутки времени работы
каждого элемента до отказа распределены по показательному закону с
интенсивностью потока событий 0.05 отказа за час.
Сколько нужно поставить таких элементов (найти n), чтобы с
вероятностью 0.99 схема безотказно работала в течение 10 часов?
19
Задачи на неравенство Чебышева
47. В транспортном отделе компании работает автомобиль, который с
завидным постоянством характеризуется такими параметрами работы в
течение любых тридцати рабочих дней: 6 дней он по утрам не заводится;
10 дней, проехав
15 метров,
полностью останавливается, и лишь в
остальные 14 дней исправно перемещается по городу. Если автомобиль
не заводится, то тратит 0 литров бензина, если проезжает 15 метров, то
тратит 1 литр бензина, если исправно работает, то тратит 20 литров
бензина за день.
С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что
отклонение количества израсходованных литров бензина от
математического ожидания израсходованных литров бензина (за
день) будет меньше 15 литров.
Вычислить точное значение этой вероятности.
Сравнить результаты оценки с точным значением вероятности.
48. При помощи неравенства Чебышева определить вероятность отклонения
случайной величины от математического ожидания не менее чем на 1.1
среднего квадратического отклонения.
Сравнить с точным значением вероятности такого отклонения для
случайной величины, равномерно распределённой
на отрезке [0, 1].
Сравнить оценку вероятности с ее точным значением.
Сделать выводы.
20
49. Ежедневная прибыль гипермаркета «Перепутье» является случайной
величиной
с
функцией
плотности
распределения
вида
f (t )  ax, x  9;22, f (t )  0, x  9;22 , где t - время.
Найти значение параметра a , математическое ожидание и
дисперсию прибыли.
Показать на графике плотности значение математического
ожидания и среднего квадратического отклонения прибыли.
50. В условиях предыдущей задачи с помощью неравенства Чебышева
оценить вероятность того, что прибыль отклониться от математического
ожидания не более чем на 5.
Вычислить точное значение этой вероятности.
Сравнить полученные величины.
Сделать выводы.
51. Пусть X – число очков при бросании игральной кости.
При
помощи
неравенства
Чебышева
оценить
вероятность
отклонения случайной величины X от своего математического
ожидания не менее чем на 2 очка.
Найти точное значение этой вероятности.
Сравнить результаты.
52. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что при
подбрасывании восьми игральных костей суммарное количество очков
отклонится от математического ожидания меньше, чем на 10 очков.
21
53. Вероятность наступления события A в каждом из 1600 испытаний
равна 0.2.
При помощи неравенства Чебышева оценить вероятность того, что
отклонение числа наступивших событий от математического
ожидания будет не менее 40.
Найти эту же вероятность, используя теорему Муавра-Лапласа.
Сравнить результаты
54. Фирма,
занимающаяся
Вероятность
безотказной
перевозками,
работы
имеет
каждого
100
из
них
автомобилей.
в
течение
определенного периода времени составляет 0,95.
С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что
отклонение числа безотказно работающих автомобилей от
математического ожидания числа безотказно работающих
автомобилей за определенный период не превзойдет семи.
55. При помощи неравенства Чебышева оценить вероятность отклонения
случайной величины X от своего математического ожидания менее чем
на 2σ(X).
Найти точное значение этой вероятности для нормально
распределенной случайной величины X.
Сравнить результаты.
22
56. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
 0, x  (0,1)
f ( x)  
2 x, x  (0,1)
а) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,
1
3
что X  EX  .
1
3
б) Вычислить вероятность того, что X  EX  .
Сравнить полученные значения вероятностей и сделать выводы.
57. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
X
-1
0
2
Р
0,6
0,1
?
Дополнить таблицу.
а) Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того,
что X  EX  3 ;
б) Вычислить вероятность того, что X  EX  3 .
Сравнить полученные значения вероятностей и сделать выводы.
58. Плотность распределения случайной величины имеет вид
 0.2 x  b, x   1;0

.
f ( x)  
b, x  0;2

0, x   1;2

Найти константу b .
Нарисовать график плотности.
Вычислить математическое ожидание,
среднее квадратическое отклонение.
Показать эти величины на графике.
23
59. Для данных предыдущей задачи оценить с помощью неравенства
Чебышева вероятность попадания X в промежуток, удовлетворяющий
условию X  M (X )   , где   3 ( X ) .
Затем точно вычислить эту вероятность и
показать их на графике плотности предыдущей задачи.
Сравнить оценку вероятности и ее точное значение,
сделать выводы.
60. Плотность распределения случайной величины имеет вид
f ( x) 
3x 2  2 x
, x  (1,4); f ( x )  0, x  (1,4)
a
.
Найти неизвестный параметр распределения.
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и
среднее квадратическое отклонение.
Показать на графике плотности значения математического
ожидания и среднего квадратического отклонения.
Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность
попадания случайной величины в интервал ( 2;3) .
Точно вычислить эту вероятность.
Изобразить ее на графике плотности распределения.
Сделать выводы по полученным значениям вероятностей
24
Задачи на теоремы Муавра-Лапласа и
центральную предельную теорему
61. Вероятность того, что компакт-диски, подготовленные для записи
информации, имеют дефекты равна 0.01. Для записи взяты 1700 дисков.
а) Найдите вероятность того, что менее 12 дисков будут
бракованными.
б) Найдите наивероятнейшее количество бракованных дисков и
вероятность того, что именно это наивероятнейшее количество
дисков будет иметь дефекты.
62. Процент всхожести семян 90%.
Оценить вероятность того, что из тысячи посеянных семян взойдет
от 850 до 950 включительно.
Найти наивероятнейшее число взошедших семян.
63. В корпорации работают 1200 сотрудников. Вероятность увольнения
сотрудника за год равна 0.02.
Найти вероятность того, что за год будет уволено:
а) более 24 человек;
б) наивероятнейшее число уволенных.
25
64. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть
банков имеет уставной капитал свыше 200 млн.руб.
Найдите вероятность того, что среди 80 банков имеют
уставной фонд свыше 200 млн. руб.:
а) менее 20 банков;
б) от 10 до 20 банков включительно.
в) Найдите наивероятнейшее число банков, имеющих такой
уставной фонд,
и соответствующую этому числу вероятность.
65. Из предшествующей работы фирмы известно, что при обзвоне 150
предприятий лишь 15 из них присылают своих представителей на фирму.
Найти вероятность того, что при обзвоне 80 предприятий на
фирму придут представители от 6 предприятий.
Найти наивероятнейшее число приехавших представителей и
соответствующую этому числу вероятность.
66. У страховой компании имеются 10 000 клиентов. Каждый из них,
страхуясь от несчастного случая, вносит 500 рублей. Вероятность
несчастного
случая
0.0055,
а
страховая
сумма,
выплачиваемая
пострадавшему, составляет 50 000 рублей.
Какова вероятность того, что:
а) страховая компания потерпит убыток;
б) на выплату страховых сумм уйдет более половины всех средств,
поступивших от клиентов?
26
67. Согласно статистике трудоспособный мужчина, проживающий в в
московском регионе, с вероятностью 0.45 работает на государственном
предприятии (при этом его средний месячный доход равен 1 в условных
единицах), с вероятностью 0.4 работает на частной фирме (его средний
месячный доход равен 1.5 у.е., с вероятностью 0.1 он
сам является
предпринимателем (его средний месячный доход равен 3 у.е.), с
вероятностью 0.05 он нигде не работает (его средний месячный доход
равен 0).
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение для среднего месячного дохода такого мужчины.
Какова вероятность того, что при случайном выборе 150 таких
мужчин их суммарный месячный доход будет находиться в
пределах от 170 до 200 условных единиц?
68. Длительные наблюдения над данным месторождением показали, что в
среднем нефтедобывающая буровая вышка в течение всего рабочего дня
работает на полную мощность с вероятностью 70%, работает с
половинной мощностью с вероятностью 20% и не работает из-за поломок
с вероятностью 10%. (полная мощность принимается равной единице в
некоторых условных единицах).
Найти математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение для мощности работы одной такой буровой вышки
за день.
Компания владеет 97 буровыми вышками, которые функционируют в таком же режиме и работают независимо одна от другой.
Какова вероятность того, что в течение рабочего дня суммарная
мощность всех буровых вышек превысит 80 условных единиц?
27
69. Количество возможных покупателей у магазина телевизоров равно
10000. Каждый из них заходит в магазин в среднем раз в 100 дней,
причем каждый зашедший покупает телевизор в одном случае из
четырех. На складе находится 35 телевизоров, готовых к продаже.
Найти вероятность того, что магазин сможет в течение дня
обслужить всех покупателей.
Ответ. P  0.9773 ( P  0.5  (2.0025) ).
70. В условиях предыдущей задачи найти количество телевизоров на складе,
необходимое для обслуживания всех покупателей с вероятностью 0.99.
Ответ. Не менее 37. (m ≥ 36.635 ≈ 25 + 2.33∙4.994).
71. У компании Капнефть две нефтяные вышки, на каждой из которых
аварии происходят не чаще раза в месяц, причем на одной из вышек
авария может произойти с вероятностью 0.3, а на второй – с
вероятностью 0.2 (независимо от первой вышки). Случайная величина
X - количество аварий на вышках Капнефти в течение месяца.
а) Получить ряд распределений случайной величины X ;
б) Найти для этой случайной величины математической ожидание
и дисперсию.
72. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что за 7 лет на
вышках компании Капнефть возникнет более сорока аварий.
28
73. Менеджер ресторана по своему опыту знает, что только 75% людей,
сделавших днем предварительный заказ на вечер, придут в ресторан
поужинать. Менеджер задумал повысить заполняемость ресторана и в
один из дней решил принять 200 заказов, хотя ресторан имеет лишь 160
столиков.
Какова вероятность возникновения проблем у менеджера (придет
более 160 человек)?
Каково наивероятнейшее число посетителей ресторана?
Вычислите вероятность того, что придет именно наивероятнейшее
количество посетителей.
74. Вероятность того, что компакт-диски, подготовленные для записи
информации, имеют дефекты, равна 0.01. Для записи взяты 1700 дисков.
а) Найдите вероятность того, что менее 12 дисков будут
бракованными.
б) Найдите наивероятнейшее количество бракованных дисков и
вероятность того, что именно это наивероятнейшее количество
дисков будет иметь дефекты.
75. В городе Мокве в пьяной драке двоих человек один из них оказывается
травмированным с вероятностью 0.3, а оба с вероятность 0.1. В Мокве за
год происходит 4 500 драк двоих собутыльников.
Найти вероятность того, что число травмированных при этом
будет менее 2 205 человек.
29
76. Количество возможных покупателей у магазина телевизоров равно
10000. Каждый из них заходит в магазин в среднем раз в 100 дней,
причем каждый зашедший покупает телевизор в одном случае из
четырех. На складе находится 35 телевизоров, готовых к продаже.
Найти вероятность того, что магазин сможет в течение дня
обслужить всех покупателей.
77. В условиях предыдущей задачи найти количество телевизоров на складе,
необходимое для обслуживания всех покупателей с вероятностью 0.99.
78. У компании Чистотел два магазина, каждый из них работники
санэпидстанции посещают не чаще 1 раза в месяц, причем визит в 1-й
магазин происходит с вероятностью 0.2, а во 2-й (независимо от первого)
с вероятностью 0.5.
Найти вероятность того, что за 5 лет число указанных посещений
магазинов компании Чистотел будет от 37 до 47 раз.
79. Каждый магазин компании Центик 1 раз за год посещают инспекторы
санэпидстанции, пожарного надзора и налоговой инспекции. Все они
независимо друг от друга уходят полностью удовлетворенные визитом с
вероятностью 0.8.
С какой вероятностью число удовлетворенных визитом за год
окажется от 708 до 744, если у компании Центик 300 магазинов.
30
80. Менеджер Удачливый заключает за рабочий день 1 контракт на поставку
лекарств с вероятностью 0.7. По каждому контракту с вероятностью 0.9
лекарства приходят качественные и фирма получает прибыль в 10 тыс.
руб., в противном случае убыток фирмы составляет 30 тыс. руб.
Найти вероятность того, что прибыль фирмы от деятельности
Удачливого за 92 рабочих дня будет не менее 586 тыс. руб.
Ответ. P  0.0228 ( P  0.5  (2) ).
81. При 10 000 бросаниях монеты «герб» выпал 6400 раз.
Следует ли считать, что монета не симметрична?
31
Задачи на свойства математического ожидания,
дисперсии и ковариации
82. Дискретная
случайная
величина
X
имеет
следующий
закон
распределения
X
-2
-1
x3
x4
P
0.1
0.3
p3
p4
причем p4 = p3 , математическое ожидание E(X) = 0.1 и
дисперсия D(X) = 1.89.
Найти все неизвестные параметры закона распределения.
Ответ.
83. Дискретная
X
-2
-1
0
2
P
0.1
0.3
0.3
0.3
величина
X
случайная
имеет
следующий
закон
распределения
X
-1
0
1
P
p1
0.4
p3
Найти область возможных значений математического ожидания
E(X) и дисперсии D(X).
Ответ: E ( X ) (0.6, 0.6), D( X ) (0.24, 0.6] .
Указание. Так как сумма вероятностей равна единице, то вероятность p3 =
0.6 – p1, причем p1 (0, 0.6) .
Дальше надо учесть, что математическое
ожидание E(X) зависит от параметра p1 линейно, а дисперсия D(X) –
квадратично.
32
84. Менеджер Работящий заключает за рабочий день 1 контракт на поставку
лекарств с вероятностью 0.5 и два контракта – с вероятностью 0.4. По
каждому контракту с вероятностью 0.8 лекарства приходят качественные
и фирма получает прибыль в 10 тыс. руб., в противном случае убыток
фирмы составляет 30 тыс. руб.
Найти закон распределения, интегральную функцию
распределения, математическое ожидание и дисперсию прибыли
фирмы от деятельности Работящего.
85. Докажите, что для зависимых случайных величин X и Y выполняется
D( X  Y )  D( X )  D(Y )  2 cov( X , Y ) и решите следующую задачу. Пусть
случайная величина X - затраты фирмы на связь с общественностью; Y затраты фирмы на прямую рассылку информации, причем известно, что
  X   2, Y   3,   X , Y   0.7 .
Найдите, чему равно  Z  , где Z  X  Y .
86. Пусть X , Y ,U ,V - случайные величины, которые равны:
X - количество
экзаменов, сданных студенткой Лизой Лисичкиной за год; Y - количество
часов, затраченных на подготовку к этим экзаменам; U - количество
посещений
дискотек
за
этот
период; V -
количество
выяснений
отношений со своим молодым человеком в течение этого времени.
Известно, что U  60  2 X ,V  2  3Y ,  ( X , Y )  0.9 .
Найдите  (U ,V ) и сделайте выводы.
33
87. Пусть X , Y , Z - случайные величины (за период всего учебного года),
которые означают следующее: X - количество рефератов, написанных
Лизой Лисичкиной; Y - количество новых знакомых; Z - количество ссор
с лучшей подругой. Случайные величины
независимыми.
Известно,
что
X
и Y
принимаются
Z  4  2 X  3Y ,
причем
EX  5, DX  2; EY  7, DY  6 .
Найдите EZ , Z .
88. Если известно, что две случайные величины независимы, причем одна из
них подчинена нормальному закону распределения N (4;32 ) , а другая
распределена равномерно на промежутке от 6 до 7, то:
Как будет выглядеть плотность их совместного распределения?
Вычислите математическое ожидание и дисперсию случайной
величины, равной сумме двух исходных случайных величин.
89. Пусть X , Y ,U ,V - случайные величины, которые моделируют:
X - количество заседаний Государственной Думы за год;
Y - количество законов, принятых Думой за год;
U - количество публичных ссор народных избранников за этот период;
V - количество пресс-конференций депутатов в течение этого времени.
Предполагается, что U  10  0.4 X ,V  180  2Y ,  ( X , Y )  0.6 .
Найдите  (U ,V ) и сделайте выводы.
Чему равно  (V ) , если  (Y )  10 ?
34
90. Коэффициент корреляции между случайными величинами X и Y равен
 XY  0.5 .
Найдите коэффициент корреляции UV между случайными
величинами U  2 X  1 и V  8Y  7 .
91. Докажите, что если Y  aX  b , то |  ( X , Y ) | 1 .
В каких случаях   1 , и
в каких случаях   1 ?
35
Задачи на распределение Пуассона и
пуассоновский поток событий
92. В пчелиной семье 5 000 пчел. Вероятность заболевания в течение дня
равна 0.001 для каждой пчелы.
Найти вероятность того, что в течение дня заболеет
более чем одна пчела.
Заболеют от 2 до 3 пчел.
Найти наивероятнейшее число заболевших пчел и
соответствующую этому вероятность.
93. В среднем на предприятии-прачечной «Чисто-Тайд» возникает 2 засора в
месяц. Вычислите вероятность того, что:
а) на предприятии в течение месяца не будет проблем с засором;
б) будет три засора за квартал.
94. На телетайп поступают сообщения о соотношениях курсов валют разных
стран. Телетайп проигнорирует оба сообщения, если разность между
моментами поступления сообщений будет менее 5 минут. Поступление
сообщений в любые моменты в течение часа равновозможно.
Определить вероятность того, что сообщения не будут приняты.
95. Замечено, что число попыток юношей
познакомится со студенткой
Лизой Лисичкиной, образует пуассоновский поток. Подсчитано, что в
среднем происходит две попытки за месяц.
Найти вероятность того, что за две недели не произойдет ни одной
попытки знакомства.
Найти вероятность того, что за два месяца таких попыток будет
более трех.
36
96. Среднее число аварий на данном участке дороги – три аварии в месяц.
Пятого числа случилась авария, затем пять дней аварий не было.
Какова вероятность того, что с одиннадцатого по двадцатое число
месяца аварий не будет?
97. В Бронксе ограбления и мелкие кражи происходят в среднем каждые
полчаса. Найти вероятность того,
что в течение двух часов ограблений не будет.
Вероятность того, что за час произойдет 4 ограбления.
98. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что промежуток
времени между двумя последовательными ограблениями будет меньше
трех часов. Известно, что до десяти часов утра ограблений
не было.
Сейчас 11 часов утра.
Какова вероятность того, что в последующие десять минут
произойдет ограбление?
99. На
новогодней
елочке
висит
гирлянда
из
10
последовательно
соединенных разноцветных лампочек. Промежутки времени до отказа
каждой из них являются независимыми, показательно распределенными
случайными величинами с одинаковой интенсивностью потока событий
 =0.01, при этом время измеряется в часах.
Найти среднее время безотказной работы гирлянды.
Решение: Модель отказов в работе каждой лампочки: простейший
пуассоновский поток событий с параметром  . Среднее время безотказной
работы
одной
лампочки
1/ 
(в
нашем
примере,
100
часов)
При параллельном соединении лампочек потоки событий объединяются.
10 лампочек перегорают в среднем в 10 раз чаще, чем одна.
Поэтому интенсивность потока отказов всей гирлянды равна 10  0.1 и
среднее время работы гирлянды равно 10 час.
37
Задачи на комбинации дискретных и
непрерывных распределений
100. Имеется инвестиционный портфель, который стоит из трех видов
ценных бумаг. Доли вложения капитала в эти ценные бумаги относятся
как 1 :  2 :  3  2 : 3 : 5 , причем  1  2   3  1 . Предполагается, что нормы
прибыли
по
каждому
виду
ценных
бумаг
есть
нормально
распределенные случайные величины, причем их можно считать
независимыми. Средние нормы прибыли по каждому виду ценных бумаг
таковы (в процентах): 10, 8, 12; их уровни риска оценок (средние
квадратические отклонения) таковы (в процентах): 3, 1, 4.
Найдите среднюю норму прибыли всего портфеля и его уровень
риска.
Найдите вероятность того, что норма прибыли по всему портфелю
окажется более 12%.
101. Количество первокурсников в институте относится к количеству
старшекурсников как 1:3. Число опозданий на занятия за год и у тех и у
других – случайные величины, которые можно считать распределенными
по нормальному закону: для первокурсников с параметрами a1=200,
σ1=20, а для старшекурсников с параметрами a2=240, σ2=40.
Найти интегральную функцию распределения,
плотность распределения вероятностей,
математическое ожидание и
дисперсию числа опозданий.
Найти вероятность того, что число опозданий у случайно взятого
студента будет от 200 до 240.
38
Решение: Обозначим через H1 событие : случайно взятый студент
оказался первокурсником. Через H2 аналогичное событие для
старшекурсника.
По условию, вероятности этих событий таковы: p(H1)= 1 4 , p(H2)= 3 4 .
Обозначим также через A(x1, x2) событие: число опозданий у случайно
взятого студента оказалось в интервале (x1, x2). Если студент первокурсник,
 x2  a1 
 x a 
   1 1  , если же он
 1 
 1 
то условная вероятность p(A(x1, x2)/H1) = 
 x  a2 
 x  a2 
   1
 .

2



старшекурсник, то вероятность p(A(x1, x2)/H2) =  2
 2
Но тогда по формуле полной вероятности:
p(A(x1, x2)) = p(A(x1, x2)/H1) p(H1) + p(A(x1, x2)/H2) p(H2) =
или
  x2  a1 
  x  a2 
 x  a 
 x  a 
 
   1 1    p( H1 )    2
    1 2    p ( H2 ) .
  1 
  2 
  1 
  2 
Для получения
интегральной
функции
распределения
F(x) найдем
вероятность p( A(, x)) = p(A(0, x)) + 0.5 при x > 0:
  x  a1 
  x  a2 
 0  a1  
 0  a2  
F ( x )   
  
   p( H1 )   
  
   p ( H2 ) 
  1 
  2 
  1 
  2 
  x  240 

  x  200 
 1  

 x  200  1
 x  240  3

  
  10  4    40   6  3 4  
  4  
   0.5.




 40  4


20
20
 




Плотность распределения вероятностей f(x) ищется как производная
функции распределения:
f ( x )  F ( x ) 
где  1 ( x )
1  x  200  1
1  x  240  3

  1 ( x)  14   2 ( x)  3 4 ,
  4  

20  20 
40  40  4
и  2 ( x)
– плотности вероятностей соответствующих
нормальных распределений при x>0. Отметим, что плотности вероятностей
39
 1 ( x ) и  2 ( x ) равны нулю при x<0, однако при x<0 плотности вероятностей
соответствующих нормальных распределений столь малы, что при
дальнейших расчетах можно считать, что  1 ( x ) и  2 ( x ) совпадают с
плотностями вероятностей соответствующих нормальных распределений
при всех x!
Математическое ожидание числа опозданий E(X) равно:
E( X ) 






 xf ( x)dx  14   x 1 ( x)dx  3 4   x 2 ( x)dx  14  a1  3 4  a2 .
Для нахождения дисперсии D(X) найдем, сначала, E(X2):








E ( X )   x f ( x)dx  14   x 2 1 ( x)dx  3 4   x 2 2 ( x)dx  14   12  a12  3 4   22  a22
2
2


Следовательно,



 

2
D( X )  E ( X 2 )   E ( X )  1 4   12  a12  3 4   22  a22  14  a1  3 4  a2 .
2
Теперь можно легко найти, вероятность P того, что число опозданий у
случайно взятого студента будет от 200 до 240: P  1 4 (2)  3 4 (1)  0.4432 .
Замечание: Предыдущая задача решается аналогично.
102. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что
указанный студент будет первокурсником.
Ответ: P  0.1925 ( P 
1  (2)
4
).
1  (2)  3 (1)
4
4
40
С пи со к лите р а ту ры
1. Шведов А.С.
Теория вероятностей и математическая статистика:
учебное пособие для вызов – 2-е издание, переработанное и
дополненное – М: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. – 254 с.
2. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с
элементами теории вероятностей в задачах с решениями. Учебное
пособие. – Москва-Ростов-на-Дону: Март,2005.
3. Белько И.В., Свирид Г.П. Теория вероятностей и математическая
статистика: Примеры и задачи. Учебное пособие. – Минск: Новое
знание, 2004.
4. Прохоров Ю.В., Пономаренко Л.С. Лекции по теории вероятностей и
математической статистике: Учебное пособие. – М: Изд. ВМиК МГУ,
2004. – 196 с.
5. Ватутин В.А. и др. Теория вероятностей и математическая
статистика в задачах. – М.: Агар, 2003.
6. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика. Учебник, второе издание. – М.: ЮНИТИ, 2003.
7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. «Задачи и упражнения по теории
вероятностей. – М.: Высшая школа, 2002.
8. Горелова Г.В., Кацко И.А. Теория вероятностей и математическая
статистика в примерах и задачах с применением EXEL. Учебное
пособие для ВУЗов. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.
9. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика. Четвертое издание.Москва-Санкт-Петербург-Киев: Вильямс, 2002.
41
10.Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учебник для ВУЗов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.
11.Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами
по теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения
задач. – Ростов-на-Дону, Феникс,1999.
12.Бородин
А.Н.
Элементарный
курс
теории
вероятностей
и
математической статистики. – Санкт-Петербург, 1999.
13.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций. Под ред. Свешникова А.А. – Москва:
Наука, 1970.
14.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учебное пособие для ВУЗов. –
М.:
Высшая школа,1999.
15.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учебное пособие для ВУЗов. – М.: Высшая школа, 1999.
42