УДК 519.872 Килюшева Екатерина Дмитриевна Лебедев Павел Дмитриевич студенты группы АС-1-08
реклама
УДК 519.872 Килюшева Екатерина Дмитриевна Лебедев Павел Дмитриевич студенты группы АС-1-08 Научный руководитель: Шек Валерий Михайлович проф., д.т.н. Московский государственный горный университет МАССОВОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ В МАРШРУТИЗИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВАХ QUEUING SYSTEMS IN ROUTERS Постановка проблемы Технический прогресс в наши дни идёт неумолимо, пару десятков лет назад человечество не могло представить, какими информационными ресурсами оно будет обладать. На сегодняшний день самой перспективной ветвью развития в сетевых ИТ являются беспроводные сети. Беспроводные сети, работающие на 4G технологиях, покрыли уже все районы Москвы, что свидетельствует об актуальности данных технологий и проблем, связанных с ними. В данной статья мы предлагаем вам рассмотреть работу Wi Fi маршрутизаторов, которые стали не менее популярны в современном обществе и применяются как в частном секторе, так и в компаниях. От работы данного устройства часто зависит производительность труда как частных лиц компаний, так и целых управлений. Данная статья призвана помочь IT-специалистам в выборе маршрутизатора и расчетах его надёжности и производительности. Обоснование актуальности В современном мире беспроводные сети становятся наиболее популярными. Они начинают завоевывать сердца даже частных пользователей, не говоря уж о больших современных компаниях и тем более кафе, в которых не иметь беспроводной доступ в интернет считается уже просто неприличным. Во много такое бурное развитие беспроводных сетей связанно с тем, что при разумной цене они обеспечивают достаточную для большинства приложений скорость передачи данных, а так же это просто удобно. Основным преимуществом беспроводных сетей является отсутствие кабельной инфраструктуры, что позволяет реализовать сетевой проект в короткие сроки и уменьшить затраты на построение системы. Современные коммутационные системы развиваются семимильными шагами, вследствие чего часто возникает путаница с выбором того или 32 иного устройства. Возможность расчётов производительности маршрутизатора упростит жизнь любому IT специалисту, а так же облегчит анализ работы узлов связи в случае отказа системы. Выбор и обоснование методов решения проблемы Для успешного решения поставленной задачи необходимо разделить работу маршрутизатора на две части: До обработки пакета; После обработки пакета; Рис 1. Упрощенная модель маршрутизатора. Для моделирования и анализа первой части будет удобно использовать метод Монте-Карло вследствие того, что размер приходящих пакетов на маршрутизатор является случайным и влияет на скорость обработки конкретно взятого пакета, метод Монте-Карло позволил нам наиболее приближенно моделировать и анализировать работу маршрутизатора на данном этапе. Для имитации работы первой части маршрутизатора выбрана система имитационного моделирования GPSS World, которая позволяет копировать поведение реальной системы. Основой имитационного моделирования является метод Монте-Карло. Он базируется на генерации случайных чисел, распределенных по определенному вероятностному закону. Этот метод наиболее эффективен при исследовании сложных систем, на функционирование которых оказывают влияние случайные факторы. Для моделирования второй части разумнее всего будет применить аналитический метод расчета параметров систем массового обслуживания, который позволяет наиболее точно определить работу маршрутизатора на данном этапе. После обработки пакет попадает в буфер маршрутизатора, в случае, если маршрутизатор отправляет в сеть какой-то другой пакет или идет в сеть на прямую, это место является «узким горлышком» маршрутизатора или «лимитирующим фактором» в скорости передачи 33 данных, вследствие чего была выбрана одноканальная система массового обслуживания с очередью. Решение проблемы выбранным методом Маршрутизаторы wi-fi имеют на сегодняшний день стандартную скорость передачи данных 54мб/с. Однако скорость передачи данных определяется еще и пропускной способностью среды, подключенной к маршрутизатору. Возможны 3 случая: 1) Скорость передачи данных на выходе маршрутизатора превышает скорость обработки пакетов внутри него, в этом случае переполнение буферного пула при выходе возможно лишь при очень высокой интенсивности входного потока. 2) Интенсивности потока, выходящего из маршрутизатора, и поступающего в очередь на выход равны 3) Проблема «узкого горла» возникает при переполнении буферного пула на выходе из маршрутизатора, причиной этого является увеличение интенсивности входного потока и разница в скоростях обработки пакета и передачи его на выход из маршрутизатора. Для наглядности применения метода рассмотрим практическую задачу, совместно с теоретической частью. Общую задачу можно поставить так: имеем 13 канальный wi-fi маршрутизатор, к которому подключаются пользователи (поступает пуасоновский поток) с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность µ (это величина, обратная среднему времени обслуживания tоб). Промоделировать работу системы при различных нагрузках. Найти вероятности состояний СМО, а так же характеристики ее эффективности: ротк – вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной; среднее число занятых каналов; количество заявок поступающих в буфер за время передачи одной заявки; вероятность простоя выходного канала; число заявок находящихся на выходе системы; среднее число заявок в очереди на выход; среднее время пребывания заявки в очереди на выход. На первом этапе промоделируем работу входных каналов маршрутизатора. На данном этапе имеем 13-канальную систему массового обслуживания с очередью. 34 Предположим, что поток заявок, требующий обслуживания, является пуассоновским, то есть промежуток времени между двумя заявками есть случайная величина, распределенная с плотностью , где λ – плотность потока заявок. Промежуток времени τ между двумя заявками вычисляется по формуле , где γ равномерно распределена в интервале (0, 1) и выбирается встроенным генератором случайных чисел. Заявка поступает в очередь на обслуживание и либо немедленно идет на обработку либо ожидает освобождения одного из каналов. После обработки заявка поступает в очередь на выход из маршрутизатора. Для вычисления указанных выше характеристик воспользуемся аналитическим методом. Часть маршрутизатора, занимающаяся отправкой пакетов после их обработки – это одноканальная СМО с очередью. На эту систему поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживания имеет интенсивность μ. Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности: ρ - количество заявок поступающих в буфер за время передачи одной заявки; Р0 - вероятность простоя выходного канала; Lсист - число заявок находящихся на выходе системы; Lоч - среднее число заявок в очереди на выход; Wоч - среднее время пребывания заявки в очереди на выход. Рзан - степень загрузки канала Отобразим состояния системы с помощью графа (рис.2): Рис. 2. Схема гибели и размножения. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО: S0 — канал свободен, S1— канал занят (обслуживает заявку), очереди нет, S2— канал занят, одна заявка стоит в очереди, Sk — канал занят, к — 1 заявок стоят в очереди, 35 По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью Япереводит систему слева направо, а справа налево — поток обслуживании с интенсивностью μ. Можно доказать, что если р строго меньше единицы ( р < 1), то финальные вероятности существуют, а при р > 1 очередь при t—>00 растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при р = 1. Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле — не так. При р = 1 СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот — регулярен, и время обслуживания — тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживании стать хотя бы чуточку случайными — и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» — абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями Получим выражения для Р0 (финальных вероятностей) [1] Ряд в формуле представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при р < 1 ряд сходится — это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем р. При р > 1 ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний p0, p1, pk ... существуют только при р<1). Теперь предположим, что это условие выполнено, и р<1. Суммируя прогрессию, имеем откуда Вероятности р0, p 1 . . . , р n ... найдутся по формулам, откуда найдем окончательно: Дальнейший вывод формул в данной статье приводиться не будет, любознательный читатель может обратиться к книге Е.С. Вентцель [1]. Приведем только перечень формул, необходимых для непосредственного расчета характеристик. 36 1) Рассмотрим первый случай. Он возможен, если к маршрутизатору подключена среда со скоростью передачи данных выше 54мб/с, на практике скорость будет составлять от 100мб/с и выше. Интенсивность выходного потока составляет 156 пакетов в секунду. Промоделируем работу маршрутизатора при интенсивности входящего потока заявок λ=125 (заявок в секунду) FACILITY ENTRIES UTIL. CAN1 42411 0.556 CAN2 23199 0.318 CAN3 15132 0.178 CAN4 7360 0.118 CAN5 4549 0.063 CAN6 2500 0.038 CAN7 1725 0.029 CAN8 1581 0.012 CAN9 979 0.008 CAN10 389 0.004 CAN11 180 0.000 STORAGE NAK AVE. TIME 0.010 0.010 0.009 0.012 0.010 0.011 0.012 0.006 0.006 0.008 0.000 CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVE.C. UTIL. DELAY 15 15 0 1 100005 0.000 0.000 0 37 Рис.3. Загрузка входных каналов при плотности потока 125 пакетов/с. Время моделирования 735 секунд. Интенсивность исходящего потока 136 пакетов/с, что меньше скорости передачи данных на выходе маршрутизатора. Следовательно, переполнение выходного буфера невозможно. При данной нагрузке число занятых каналов не превышает 11, причем в среднем задействовано 4 канала. Вероятность отказа пренебрежимо мала. Теперь рассчитаем аналитическим путём выходные характеристики системы Найдём количество заявок поступающих в буфер за время передачи одной заявки: Найдём вероятность простоя канала: Найдём среднее число заявок находящихся в системе: Найдём среднее число заявок в очереди: Найдём среднее время пребывания заявки в очереди: 38 2) Увеличим плотность потока а до 143 пакетов в секунду. Получим следующие результаты: FACILITY ENTRIES UTIL. CAN1 41109 0.593 CAN2 22733 0.346 CAN3 14228 0.191 CAN4 7149 0.127 CAN5 4911 0.085 CAN6 3362 0.057 CAN7 2754 0.041 CAN8 1417 0.023 CAN9 896 0.015 CAN10 466 0.009 CAN11 674 0.006 CAN12 87 0.005 CAN13 214 0.003 AVE. TIME 0.010 0.010 0.009 0.012 0.011 0.011 0.010 0.011 0.011 0.013 0.006 0.034 0.009 STORAGE CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVE.C. UTIL. DELAY NAK 15 15 0 15 100000 0.023 0.00 0 Рис. 4. Загрузка входных каналов при плотности потока 143 пакета/с. Время моделирования 661 секунда. Интенсивность исходящего потока 151 пакет в секунду, что приближается к скорости передачи данных на 39 выходе. При данной нагрузке задействованы все каналы системы, но в среднем число занятых каналов равно 4. Теперь рассчитаем аналитическим путём выходные характеристики системы Найдём количество заявок поступающих в буфер за время передачи одной заявки: Найдём вероятность простоя канала: Найдём среднее число заявок находящихся в системе: Найдём среднее число заявок в очереди: Найдём среднее время пребывания заявки в очереди: 3) За критическую нагрузку примем плотность потока, равную 200 пакетам в секунду: FACILITY ENTRIES UTIL. CAN1 33919 0.678 CAN2 22213 0.461 CAN3 13395 0.309 CAN4 10176 0.232 CAN5 6681 0.158 CAN6 5444 0.094 CAN7 3681 0.076 CAN8 2023 0.037 CAN9 1016 0.023 CAN10 830 0.010 CAN11 265 0.006 CAN12 329 0.002 CAN13 30 0.002 AVE. TIME 0.010 0.010 0.011 0.011 0.012 0.008 0.010 0.009 0.011 0.006 0.011 0.003 0.033 40 Рис.5. Загрузка водных каналов при плотности потока 200 пакетов/с. Данная нагрузка вызвала переполнение выходного буфера, вследствие чего часть заявок, поступившая на вход, была отклонена. Задействованы все каналы, но в среднем число занятых каналов равно 6. Однако отказ в обслуживании вызван не перегрузкой каналов обработки, а переполнением буфера выходных данных. В данном случае интенсивность выходного потока при неограниченной пропускной способности маршрутизатора на выходе составила бы 500 пакетов/с, но такая интенсивность заведомо превышает возможности выходного канала (Fast Ethernet 100 мб/с). Промоделируем ситуацию переполнения буфера для определения времени его переполнения. STORAGE CAP. MIN. MAX. ENTRIES AVE.C. UTIL. DELAY NAK2 10000 0 10000 56000 5649.312 0.565 1075 Время моделирования составило 4,5 минут, за это время буфер переполнился, и 1075 заявок было отклонено. Вероятность отказа составила: Теперь рассчитаем аналитическим путём выходные характеристики системы Теоретически, длина очереди данной системы ничем не ограничена. Граф состояний будет иметь вид (рис.6) 41 Рис.6. Схема гибели и размножения. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью λ переводит систему слева направо, а справа налево – поток обслуживаний с интенсивностью μ. В данном случае следует решить, будет ли существовать финальная вероятность. Стоит отметить, что при t→∞ очередь может неограниченно возрастать. Следовательно, выходной буфер через короткий промежуток времени переполняется, заявки ждут передачи на выходной канал, за это время заявки, поступающие на вход, получают отказ, если интенсивность входного потока не уменьшается, система деградирует. Выводы В результате проделанной работы мы выявили зависимость между интенсивностью входного потока и вероятностью отказа маршрутизатора. Также следует отметить важность объема выходного буфера, служащего хранилищем для заявок при высокой интенсивности входного потока. «Узким горлом» маршрутизатора является выходной канал. При высокой интенсивности входного потока входные каналы успешно справляются с нагрузкой, однако полученные данные «застревают» при попытке встать в очередь на выход. Буфер переполняется за относительно короткий промежуток времени, система способна восстановить работу за счет снижения плотности входного потока либо за счет увеличения размера буфера. Литература 1. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. 2. Кудрявцев Е.М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. 3. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. Аннотация В данной статье рассмотрена работа маршрутизирующего устройства при различных интенсивностях входного потока. Выявлено «узкое место» устройства, влияющее на вероятность отказа, и условия, при которых происходит отказ. In this article the work of a routing device is examined at different intensities of the input stream. A "bottleneck" of the device, which affects the 42 probability of failure, and conditions under which the failure occurs, are revealed. Ключевые слова система массового обслуживания, маршрутизатор queuing system, Monte-Carlo method, router метод Монте-Карло, 43