Логарифмические уравнения и неравенства. Подготовка к ЕГЭ

Методическая разработка по теме
«Логарифмические уравнения и неравенства. Подготовка к ЕГЭ»
Маркина Л.В. учитель математики МОУ «СОШ № 49» г. Чебоксары
«Жизнь украшена двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием»
С. Пуассон
Многие знают, как, в принципе, следует решать задачи по математике. Для этого
надо, во-первых, получить саму задачу. Затем взять бумагу с ручкой и попробовать понять
ее условие. После этого можно начинать решение. Самое главное при этом – максимально
использовать то, чему тебя уже учили в школе и стараться не ошибаться. А уж если
ошибся или выбрал не тот путь, то не расстраиваться, а «подниматься» – и начинать все
сначала.
Введение
Анализ результатов выполнения заданий КИМ позволил описать состояние
алгебраической подготовки выпускников, продемонстрировавших различные уровни
математической подготовки.
Анализ результатов экзамена позволил выделить проблемы в обучении математике,
которые явно проявляются при сдаче ЕГЭ выпускниками, которые продемонстрировали
«удовлетворительный» уровень математической подготовки.
1. Выделяются разделы, темы, вопросы, усвоение которых вызывает серьезные
затруднения учащихся. Они допускают грубые ошибки при выполнении заданий базового
уровня сложности по следующим темам:
- преобразование логарифмических выражений;
- решение логарифмических неравенств с основанием 0 < a < 1.
2. Анализ ответов на задания базового уровня сложности выявил, что учащимися не
усвоены стандартные алгоритмы выполнения изученных преобразований, основных
методов решения уравнений и неравенств, элементарных методов исследования свойств
функций. Так, например, допускаются следующие ошибки в преобразовании разности
логарифмов в логарифм частного: до 25% участников - экзамена пишут в ответе логарифм
разности, до 10% - разность чисел, стоящих под знаком логарифма, до 15% - частное
чисел, стоящих под знаком логарифма уменьшаемого и вычитаемого.
При решении простейших логарифмических неравенств положение еще более
плачевное. Около трети учащихся не учитывают область определения логарифма, еще
треть учащихся не меняют знак неравенства на противоположный, когда основание
логарифма 0 < a < 1.
3. Очень небольшой процент участников экзамена, получивших оценку «З»,
справляется только с отдельными заданиями повышенного уровня сложности. Обычно
для решения таких задач нужно применить не одну формулу или одно свойство, а две
формулы или два свойства или применить изученные знания (формулы, свойства) в
несколько измененной ситуации.
С описанными заданиями повышенного уровня сложности справляются лишь около
половины выпускников, получившие оценку «4». Им оказывается под силу лишь те
задания, где требуется выполнить более сложные вычисления или преобразования, но
школьные, «хорошисты» испытывают затруднения в тех заданиях, где нужно изменить
стандартный алгоритм решения, согласуясь с данными задачи. Так, при нахождении
3
наибольшего и наименьшего значений сложной функции на заданном отрезке (например,
«Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции
y  log 0,1 (10  x 2 ) на отрезке [–З; 1]») условие задачи провоцирует выпускника на
применение стандартного алгоритма исследования функции с помощью производной.
Однако анализ условия показывает, что в силу монотонности логарифмической функции и
с учетом значений функции y  10  x 2 на отрезке [–3; 1] задачу можно решить
элементарными методами, найдя разность у(– 3) – у(0). Очевидно, что школьный
«хорошист» имеет теоретическую базу достаточную, чтобы справиться с этой ситуацией.
В ходе обучения необходимо ставить перед учениками такие проблемы, решение которых
выходило бы за рамки стандартных алгоритмов, но ученики могли бы с ними справиться,
применяя самостоятельно изученный ими материал.
Мною был проведен мониторинг по сдачи ЕГЭ выпускников 11 класса в 2006, 2007, 2008
годах по теме: «Логарифмические уравнения и неравенства» в нашей школе
(приложение).
Мониторинг показал, что, при решений заданий уровня А и В дела обстоят у нас не
плохо, дело в том что, по статистике простейшие логарифмические уравнения в Части А
решают около 65% выпускников по России, а для неравенств эта оценка уменьшается чуть
ли не вдвое. На выполнение заданий части C, следует обратить особое внимание. Задания
уровня C выходят за рамки стандартных алгоритмов, и поэтому необходимо как можно
больше решать задач повышенного уровня сложности, при этом заниматься тренингом, а
так же решать тесты, используя прием: «От простого к сложному». Поэтому в своей
методической разработке предлагаю Тренинг по уровню, Тесты по уровню, которые
помогут выпускнику систематизировать и углубить свои знания по теме, а также
самостоятельно подготовиться к ЕГЭ.
Примеры задач из демоверсий и материалов ЕГЭ предыдущих лет
Год
Базовый уровень сложности
Повышенный уровень сложности
(К) – краткий ответ
(Р) – развернутый ответ
2003 Укажите промежуток, которому (P) Решите уравнение
демо принадлежит корень уравнения
6 
2 

 3
2 log 12  x 
 log 12 


3
log 2 (x  1)  log 2 (3x)
x 5

 x  2 x  3
2003 Укажите промежуток, которому (P) Решите уравнение
ЕГЭ принадлежит корень уравнения
4
13 
 2 log 3 (3 x )
lg(5  x) - lg(l - x)  1g2
log x 3
2004 Какому
промежутку (P) Решите систему уравнений
Демо принадлежит корень уравнения
log 0,9 (2 y  3x  1)  0

log 2 ( x  8)  log 2 3  log 2 5 ?
0,5 log 2 (3 y  x  1,5)  log 4 (8 x)  0
Найдите область определения
функции
y  6 1  log 0, 7 x
2004
ЕГЭ
Какому
промежутку Решите уравнение
принадлежит корень уравнения
(9  30,5 x 7 ) log 2 (5  2 x)  0
log 5 (3x)  log 5 4  log 5 8 ?
Укажите область определения
функции
y  6 2  log 2 x
4
2005
демо
Укажите область определения (Р) Найдите нули функции
функции
y  ln 2 ( x 2  3x  9)  x 3  8 x  8
y  3  lg x
2005
ЕГЭ
(К) Решите уравнение
log 5 x  log 5 6  log 5 3.
Решите неравенство
1
log 1 ( x  10)  
2
4
Найдите наименьший корень уравнения
2 
 1
 3 6 x  log 2 (4  5 x)  0

 27

2006
демо
(К) Решите уравнение
log 1, 6 (5 x  8)  log 1, 6 3  log 1, 6 7
(Р) При каких значениях x соответственные
значения функций
f ( x)  log 2 x и g ( x)  log 2 (3  x)
будут отличаться меньше, чем на 1?
(К) Решите уравнение
ln( x  4)  ln( x  3)  ln 3
Решите неравенство
12 log1 2 ( x 5)  7
Укажите область определения
функции
y  6 2  log 5 5 x .
(К) Решите уравнение
8  6 log6 x  3 x  7
(Р) Найдите все значения x, при каждом из
которых расстояние между соответствующими
точками графиков функций
f ( x)  log 49 (8 x  9) и g ( x)  0,75
меньше, чем 0,25.
(Р) Решите уравнение
2007
демо
Решите неравенство
log 1 (7 x  21)  log 1 (6 x).
Найдите наименьший корень уравнения
log 3 ( x  1) 2  log 3 | x  1 | 6
2007
ЕГЭ
(К) Решите уравнение
7  5 log5 x  x  21
(К) Решите уравнение
log 2 (9x  18)  log 2 3  log 2 15
2008
демо
Решите неравенство
log 1 ( x  3)  1
2006
ЕГЭ
2
2
7
2008
ЕГЭ
log 62 x  log 6 x  14  ( 16  x 2 ) 2  x 2
(К) Решите уравнение
log 7 x  log 7 6  log 7 5.
(Р) Решите уравнение
log sin x ( 3 sin 2 x  2 sin 2 x  1)  0
(Р) Решите уравнение
1
log 3 4 x 2 (9  16 x 4 )  2 
log 2 (3  4 x 2 )
(Р) Найдите все значения x, при каждом из
которых выражения
6 x 2 log 1 4  3x  4 x log 3 (4  3x) и 4 x  3 x 2
3
принимают равные значения.
Общие сведения о решении логарифмических уравнений и неравенств в
заданиях ЕГЭ
Начиная с 2001 г., среди задач с выбором ответа были логарифмические уравнения,
и вопрос звучал как «Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения...».
Начиная с 2005 г., среди задач А1–А10 нет такой постановки вопроса, а логарифмических
уравнений среди задач А1–А10 нет уже четвертый год. Здесь остались только
неравенства. Наиболее типичные неравенства практически совпадают со многими
неравенствами, регулярно предлагавшимися на письменных аттестационных экзаменах в
5
традиционной форме. Это логарифмические неравенства вида loga(bx + c) > d, loga(bx + c)
≥ d, loga(bx + c)) < d, где d принимает значения ±1, ±2 и, значительно реже, значения ±3,
±0,5 и т.д. Случаи а > 1 и 0 < а < 1 встречаются почти в одинаковых пропорциях, но с
более частым употреблением а > 1 для основания. Как уже говорилось, пропуск условия
bx + x > 0 есть одна из наиболее типичных ошибок при решении этих неравенств. Второй,
весьма распространенный, тип неравенств – это неравенства вида
log a (bx  c)  log a (bx  e),
в которых, как правило, е = 0. Те же самые неравенства зачастую формулируются и как
задачи об отыскании области определения функций вида
y  d  log a (bx  c) и т.п.
Логарифмические уравнения среди В1–В3 довольно часто имеют вид loga (bx + c) ±
logad = loga n. Случаи различных оснований логарифмов тут не наблюдались. Весьма
популярна в КИМ запись линейных уравнений Ах + В = Сх + D с использованием
логарифмов в виде Аloga (ах) + В = Сх + D, или же в виде A  a loga x  B  Cx  D. Случаев
аналогичной трансформации квадратных уравнений пока не наблюдалось.
Как уже отмечалось, среди задач В4—В8 логарифмы чаще появляются в различного
рода комбинированных уравнениях. В первую очередь речь идет о комбинациях с
показательными выражениями. Например, «Укажите наименьший корень уравнения
2
7 xlog7 2  2 x 3 x  1 ». Подчеркнем, что постановка вопроса в виде «Укажите наименьший
корень уравнения», «Укажите наибольший из всех корней уравнения», «Укажите сумму
(произведение) корней уравнения», вместо школьного «Решите уравнение», весьма
типична для КИМ ЕГЭ.
Вот еще одна «егэшная» комбинация показательных и логарифмических уравнений:
«ЕГЭ-2004. Решите уравнение
(37 x 11  27) lg( 5  4 x)  0 ».
Сразу отметим весьма неприятную особенность заметного числа подобных
уравнений. Многие из них можно решить «не решая», т.е. не проводя всей процедуры
сведения к совокупностям систем и т.п., а самым нахальным образом подставляя
несколько простейших чисел. Например, ясно, что в последнем примере составители
КИМ имели в виду проверку условия равенства нулю произведения двух сомножителей,
решение совокупности систем и т.п. Однако, если «в тупую» подставить х = 1, то
получится верное числовое равенство. А раз ответ должен быть один, то всё!!! Задача
решена.
Остается надеяться, что по мере накопления опыта составления вариантов КИМ,
подобные казусы не будут повторяться. Например, даже простая переформулировка
«Укажите наименьший (наибольший) корень уравнения
(37 x 11  27) lg( 5  4 x)  0
уже заставит решать не только уравнение lg( 5  4 x)  0 , но и уравнение 37 x 11  27  0 .
Все же следует признать, что основной массив не самых простейших логарифмических
уравнений и неравенств сосредоточен, как правило, в задачах С1— С3, С5.
Вернемся к логарифмическим неравенствам из А1—А10 и кратко прокомментируем
возможности их решения «без решения». Например, «Укажите область определения
функции y  8 3  log 4 x . Варианты ответов:
1) (0; +∞); 2) (-∞; 64]; 3) (0; 1]; 4) (0; 64]».
Решение. Вариант 2) отпадает, так как х > 0. Вариант 1) отпадает, так как при
огромных х подкоренное выражение, очевидно, отрицательно. Вариант 3) отпадает, так
как число 64, очевидно, входит в область определения.
Ответ: 4.
Элегантность и простота этого решения – кажущиеся, так как в трех случаях
использованы три «очевидных» факта, очевидность которых не вызывает сомнений лишь
6
у достаточно подготовленного решающего. Для слабо подготовленного ученика все эти
«очевидности» не только не очевидны, но даже не очевиден самый факт их наличия. В то
же время, запись
3  log 4 x  0
log x  3
log x  log 4 64
 4
 4
 0  x  64

x  0
x  0
x  0
вызовет большее доверие у значительно большего числа учеников и, что не менее важно,
учителей. Дело в том, что надежной методики обучения решениям, подобных
приведенному «решению без решения», не существует и, скорее всего, надежность тут
может основываться лишь на уверенном знании базовых сведений о логарифмах. Но если
эти базовые знания для кого-то уже не являются секретом, то он без труда решит эту
задачу и традиционным способом, потратив примерно столько же времени, что и
«решением без решения» и при этом не расширит поле для возможных ошибок.
Так что решения «без решений» для простейших неравенств, чаще всего,
недоступны слабому ученику и не слишком значимы для сильных учеников. Попытки
переучивания тут вряд ли могут принести ощутимую пользу, а вот запутать кого-то
вполне могут.
Решение заданий « ЕГЭ 2008г.»
ЕГЭ 2008г.»
Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций y  log 5 x2 (6 x 2  9 x  7) и
y  log 5 x2 (2 x 2  5).
Решение:
1) Точки пересечения графиков функций имеют равные абсциссы и равные ординаты,
поэтому должно выполняться условие log 5 x 2 (6 x 2  9 x  7) = log 5 x 2 (2 x 2  5).
 x  2

4 x  9 x  2  0
 x  0,25


 | x | 5  x  0,25.
2) log 5 x 2 (6 x 2  9 x  7)  log 5 x 2 (2 x 2  5)  5  x 2  0
5  x 2  1
| x | 2




Ответ: –0,25.
2
Краткий справочник
Необходимые формулы
При решении логарифмических уравнений и неравенств надо вовремя и правильно
«избавиться» от логарифмов. В простейшем случае, log a x  b  x  a b по определению
логарифма. Для простейших логарифмических неравенств множества их решений
выглядят так.
log a x  b
log a x  b
b
0 < a <1
(0; a ) или
(ab; +∞) или
b
«знак неравенства меняется»
0<x<a
x>ab
a>1
(ab; +∞) или (0; ab) или
«знак неравенства сохраняется» x>ab
0 < x < ab
7
Если неравенство «<» меняется на нестрогое «≤» (или «>» – на «≥»), то в ответах
круглая скобка у конца аb промежутка заменяется на квадратную скобку. Если под знаком
loga стоят функции у = у(х), z = z(х) от х получается вот что:
y  z
1) log a y  log a z  y  z  0  
;
z  0
y  z
2) log a y  log a z  0  y  z  
при 0 < a < 1;
y  0
y  z
3) log a y  log a z  y  z  0  
при a > 1.
z  0
Аналогично и с другими неравенствами «≥, <, ≤». Способов «избавления от
логарифмов» в неравенствах с переменными основаниями слишком много, см., например:
z  y
 y 1  0

log y z  1   y  0
 z  0.


Случаи в А1–В8 переменных оснований у логарифмов почти не встречаются.
После того, как мы перечислили общие сведения и необходимые формулы, перейдем
непосредственно к тренингам.
Первым приводится Тренинг по уровню, состоящий из 20 задач, разбитых на четыре
Задания. После выполнения каждого задания следует проверить свои ответы и, в
зависимости от результата, переходить к новым заданиям Тренинга; соответствующие
указания даны после каждого задания. Непосредственно за Тренингом приведены
решения половины его задач и список ответов.
Особенностью всех заданий является указание времени их выполнения. Это время
всегда составляет (в зависимости от сложности задания) 15, 30 или 45 минут. Разумеется,
при повседневной подготовке к ЕГЭ кто-то может решать очередное задание не 15, как
указано, а 20 или 25 минут, или не 45 минут, а час и более. В таком случае этот самый
«кто-то» просто обманывает сам себя, и ничего более. Он упускает возможность
проверить реальную степень своей подготовленности к ЕГЭ.
Тренинг
Базовый уровень
Задание 1 (время выполнения -15 мин.)
1) Решите неравенство log 5 (1  x)  log 5 ( x) .
1) (–1; 0); 2) (–1; –0,5); 3) (–0,5; 0); 4) (–∞; 0).
2) Решите неравенство log 0,5 (2 x  5)  2 .
1) (–2,5; –0,5]; 2) (–∞; –0,5];
3) (–2,5; –1,5]; 4) (–1,5; –0,5].
3) Решите уравнение
lg( x 2  4 x  4)  lg 3  lg( x  2) .
4) Решите уравнение
log 7 (11x  18)  log 7 3  log 7 45 .
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – переходите к Заданию 4;
3 верных ответа – переходите к Заданию 2.
В остальных случаях – посмотрите решения, и переходите к Заданию 3.
8
Повышенный уровень
Задание 2(время выполнения -45 минут)
5) Решите уравнение 3log3 (1 x )  20  3x  x logx 5 .
6) Решите уравнение x 2 ( x  5)  6 x  lg( 2  x)  0 .
7) Найдите произведение корней уравнения
log 2 ( x  1) 4  6  log 2 | x  1 | .
8) Найдите произведение корней уравнения
| log 3 ( x  3)  1 | 2 .
1
 1.
lg x
10) Найдите отрицательное число а, при котором число х = 4 является корнем уравнения
log x (2 x 2  ax  (a  1) 2  2 .
Проверьте ответы, если у вас:
б верных ответов – тренинг закончен, Вы его успешно прошли;
5 или 4 верных ответа – переходите к Заданию 4;
3 или 2 верных ответа – то переходите к Заданию 3.
В остальных случаях – посмотрите решения и переходите к Заданию 3.
9) Найдите количество всех целых чисел, являющихся решениями неравенства
Базовый уровень
Задание 3 (время выполнения-30 минут)
11) Решите неравенство 3  log 5 ( x 3 ) .
1) (0; 5]; 2) (1; 5]; 3) (0; 3]; 4) (0; 3 3 ].
12) Решите неравенство lg x  1  1 .
1) (1; 1,1); 2) (1; 1,01); 3) (1; 11); 4) (1; + ∞).
13) Решите неравенство log 0, 2 (3 x  24)  log 1 x .
5
1) (8; 22); 2) (0; + ∞); 3) (12; +∞); 4) (8; 12).
lg( 2 x)
14) Решите неравенство
 1.
lg( 1  x)
1) (0; 2]; 2) (0; 1]; 3) (0; +∞); 4) [1; +∞).
15) Решите уравнение log 5 (5 x  5)  5 .
16) Решите уравнение log 2 (2 x 2  7 x  16)  log x ( x 4 ) .
Проверьте ответы, если у вас:
б или 5 верных ответов – переходите к Заданию 4;
4 или 3 верных ответа – переходите к Заданию 2;
В остальных случаях – тренинг закончен, но Вы не прошли его.
Базовый уровень
Задание 4 (время выполнения-30 мин)
17) Найдите произведение всех корней уравнения ( x  7) log7 ( x 7 )  7 .
18) Укажите количество всех целых чисел, которые являются решениями неравенства
log 2 ( x 2  7 x  18)  3 .
19) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются решениями неравенства
9
log 2 (5  x)  log 0,5 x  6 .
20) Найдите наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства
41x  4 x 2  100
 0.
log 100 ( x  3)
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – тренинг закончен, Вы его
успешно прошли;
3 или 2 верных ответа – переходите к Заданию 2;
В остальных случаях – Вы прошли тренинг только на базовом уровне.
Краткие решения и ответы
Задание 1
1) Так как основание логарифма 5 > 1, то (см. выше справочник необходимых формул)
1  x   x
 x  0,5
log 5 (1  x)  log 5 ( x)  

 0,5  x  0.
 x  0
x  0
Верный ответ – ответ № 3.
2)  2  log 0,5 4 ; log 0,5 (2 x  5)  log 0,5 4 . Так как основание логарифма 0 < 0,5 < 1, то
log 0,5 (2 x  5)  log 0,5 4  0  2 x  5  4  5  2 x  1  2,5  x  0,5 .
Верный ответ – ответ № 1.
Замечание. А можно перейти и к основанию 2:
log 0,5 (2 x  5)   log 2 (2 x  5)  2 .
3) lg( x 2  4 x  4)  lg 3  lg( x  2)  lg( x 2  4 x  4)  lg( 3  ( x  2))  x 2  7 x  10  0 
= х1 = 2, х2 = 5. 5 подходит, 2 не подходит.
Ответ: 5.
log (11x  18)  log 7 3  log 7 45  log 7 (3  (11x  18))  log 7 45  33x  54  45 
4) 7
.
 33x  99  x  3.
Подстановкой проверяем, что 3 – корень.
Ответ: 3.
Замечания. а) Если под знаком loga стоят функции у = у(х), z = z(х) от х, то уравнения
log a y  log a z  b , вообще говоря, не равносильны: области определения их левых частей
могут быть разными. б) В З) можно «схитрить» и сказать, что раз 2 не корень, то 5 –
корень. Внимание: при такой «хитрости» можно пропустить арифметическую ошибку. То
же и в 4): лучше проверить, что единственное полученное число – действительно корень.
Задание 2
5) 3
 1  x, x
 5 , получаем 1 + х + 20 = 3х + 5; х = 8. Подстановкой проверяем,
что 8 – корень уравнения.
Ответ: 8.
Замечание. При письменном решении надо было бы обязательно ссылаться на 1 + х > 0,
х > 0, х ≠ 1 и т.п.
б) lg( 2  x)  0  2  x  1  x  3 . Тогда x 2 ( x  5)  6 x  9  2  18  0 . Значит, –3
корень уравнения. Так как ответ должен быть один, то все.
Ответ: –3.
Замечание. Конечно, это решение, не допустимое на письменном экзамене, но, к
сожалению, вполне «рабочее» для задач с кратким ответом на решение уравнений.
7) Так как log 2 ( x  1) 4  4 log 2 | x  1 | , то получаем
log3 (1 x )
logx 5
10
4 log 2 | x  1 | 6  log 2 | x  1 | 3 log 2 | x  1 | 6  log 2 | x  1 | 2 | x  1 | 4 
.
x  1  4
x  3


 x  1  4
 x  5.
Оба числа – корни, их произведение равно –15.
Ответ: –15.
Замечание. Равенство log 2 (b 2 n )  2n log 2 b есть тождество только при b > 0. В общем
случае надо использовать формулу log 2 (b 2 n )  2n log 2 | b | .
 x  27  3
log 3 ( x  3)  1  2
log 3 ( x  3)  3


8) | log 3 ( x  3)  1 | 2  
 x  1  3.
log
(
x

3
)

1


2
log
(
x

3
)


1
 3
 3
3

1
10
30  3  30   100.
3
3
Ответ: 100.
Замечание. С модулями для учеников всегда много «закавык». Довольно часто вместо
всяких специальных приемов полезно вспомнить, что равенство |у(х)| = a по определению
означает, что или у(х) = а, или у(х) = –а.
1
9)
 1  0  lg x  1  0  lg x  1  lg 1  lg x  lg 10  1  x  10.
lg x
Целых решений здесь 9 штук – от 2 до 10.
Ответ: 9.
10) Подставим х = 4:
log 4 (2  4 2  4a  (a  1) 2 )  2  32  4a  (a  1) 2  16  a 2  2a  15  0 
a1  5, a 2  3.
Так как а < 0, то а = –5.
Ответ: –5.
Замечание. а = –5 лучше проверить и подстановкой log 4 (32  20  36)  log 4 16  2 –
меньше будет вероятность арифметической ошибки.
Ответы
1) № 3. 2) № 1. 3) 5. 4) 3. 5) 8. 6) –3. 7) –15. 8)100. 9) 9. 10) –5. 11) № 1. 12) № 2. 13) №
4. 14) № 2. 15) 624. 16) 3,5. 17) 100. 18) 4. 19) 10. 20) 7.
ТЕСТЫ
I ВАРИАНТ
Базовый уровень
Задание 1 (время выполнения – 15 мин)
1) Решите неравенство log 5 (5x  4)  1 .
1) (0,8; +∞); 2) (0,8; 1,8); 3) (0,8; 0,9); 4) (–∞; 1,8).
2) Решите неравенство log 8 x  log 8 ( x  7)  1 .
1) (7; 8]; 2) (7; +∞); 3) (0; 8]; 4) (0; +∞).
З) Решите уравнение lg 100  lg x  lg 1000  lg( x 2 ) .
4) Решите уравнение ln x  ln 5x  ln 10x  ln 15x  ln 20x .
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – переходите к Заданию 4;
11
3 верных ответа – переходите к Заданию 2;
в остальных случаях – переходите к Заданию 3.
Повышенный уровень
Задание 2(время выполнения – 45 мин)
log 2
5) Решите уравнение 21 log2 (1 x )  42  4 x  x x .
lg( 7 x  x 2  5)  lg( 11  2 x)
6) Решите уравнение
 0.
x 1
7) Найдите сумму всех корней уравнения
log 2 ( x 2  16 x  64)  log 3 (2 x  9)  log 4 ( x 2  10 x  25)  0.
8) Найдите произведение всех корней уравнения
log 02,5 x  7 log 2 | x | 12  0 .
9) Найдите количество всех целых чисел, являющихся решениями неравенства
2
 1.
log 3 x
10) Найдите отрицательное число а, при котором число х = 3 является корнем уравнения
log x ( x 2  ax  (a 2  4a  2))  2 .
Проверьте ответы, если у вас:
б верных ответов – Вы успешно прошли тест:
5 или 4 верных ответа – переходите к Заданию 4;
3 или 2 верных ответа – переходите к Заданию 3.
В остальных случаях – тест закончен, но Вы не смогли пройти его.
Базовый уровень
Задание 3(время выполнения – 30 мин)
11) Решите неравенство 1  log 7 ( x) .
 1 
1) (– ∞; 0); 2) [–7; 0); 3) [–7; +∞); 4)  ;0  .
 7 
12) Решите неравенство lg 3  x  1 .
1) (–103; 3); 2) (–97; 3); 3) (– ∞; 3); 4) (–17; 3).
13) Решите неравенство
log 2 ( x 2  16 x  64)  log 3 (2 x  9)  log 4 ( x 2  10 x  25)  0.
1) (0; 1); 2) (0; 1,5); 3) (0; + ∞); 4) (1; + ∞).
14) Решите неравенство log 2 (2  5x)  2 .
1) [–0,4; 0,4); 2) (– ∞; 0,4); 3) [0; 0,4); 4) [–0,4; + ∞).
15) Решите уравнение
log 6 ( x  7)  log 6 3  log 6 ( x  6) .
16) Решите уравнение log 2 (2 x )  3x  x logx 7 .
Проверьте ответы, если у вас:
6 или 5 верных ответов – переходите к Заданию 4;
4 или 3 верных ответа – переходите к Заданию 2;
В остальных случаях – тест закончен, но Вы не смогли его пройти.
12
Повышенный уровень
Задание 4(время выполнения – 30 мин)
lg( 9 x  x 2  13)  lg( 13  2 x)
 0.
x2
18) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения | lg | x | |=1.
19) Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства
log 3 ( x 2  2 x  12)  3 .
20) Найдите сумму всех целых решений неравенства log 13 (7  x)  log 0,31 ( x  1)  1.
17) Решите уравнение
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – тест закончен, Вы его успешно прошли;
З верных ответа – переходите к Заданию 2;
2 или 1 верный ответ – переходите к Заданию 4 варианта № 2 этого теста.
Нет верных ответов – Вы смогли пройти тест только на базовом уровне.
II вариант
Базовый уровень
Задание 1(время выполнения – 15 мин)
1) Решите неравенство log 2 (4x  5)  1 .
1) (0; 1); 2) (1,25; 1,75); 3) (– ∞; 1,75); 4) (1,25; + ∞).
2) Решите неравенство log 14 x  log 14 ( x  5)  1.
1) (5; +∞); 2) (5; 7]; 3) (0; +∞); 4) [–2; 7].
3) Решите уравнение lg 1  lg x  lg 1000  lg( x 4 ).
4) Решите уравнение
ln x  ln 3x  ln 4x  ln 10x  ln 6x.
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – переходите к Заданию 4.
3 верных ответа – переходите к Заданию 2.
В остальных случаях – переходите к Заданию 3.
Повышенный уровень
Задание 2(время выполнения – 45 мин)
5) Решите уравнение 21 log3 ( 2 x )  26  5 x  x logx 2 .
6) Решите уравнение
lg( 7 x  x 2  9)  lg( 9  2 x)
 0.
x2
7) Найдите сумму всех корней уравнения
lg( x 2  10 x  25)  log 11 (3x  5)  log 12 ( x 2  4 x  4)  0.
8) Найдите произведение всех корней уравнения log 21 x  5 log 3 | x | 6  0 .
3
9) Найдите количество всех целых чисел, являющихся решениями неравенства
4
1.
log 3 x
10) Найдите отрицательное число а, при котором число х = 4 является корнем уравнения
log x ( x 3  ax  (a 2  3a  12))  3 .
13
Проверьте ответы, если у вас:
6 верных ответов – Вы успешно прошли тест.
5 или 4 верных ответа – переходите к Заданию 4.
З или 2 верных ответа – переходите к Заданию З.
В остальных случаях – тест закончен, но Вы не смогли пройти его.
Базовый уровень
Задание 3 (время выполнения – 30 мин)
11) Решите неравенство 1  log 6 ( x).
 1 
1) [–6; 0); 2)   ;0  ; 3) (–∞; 0); 4) [–6; +∞).
 6 
12) Решите неравенство lg 5  x  1 .
1) (–95; 5); 2) (–∞; 5); 3) (–105; 5); 4) (–15; 5).
13) Решите неравенство
log 4 x  log 4 ( x  6)  log 4 ( x  2)  log 4 ( x  3) .
1) (0; 6); 2) (0; +∞); 3) (0; 5); 4) (6; +∞).
14) Решите неравенство log 3 (7  4 x)  2 .
1) [1,25; 1,75); 2) [–0,5; +∞); 3) [–0,5; 1,75); 4) (–∞; 1,75).
15) Решите уравнение
log 4 ( x  5)  log 4 3  log 4 ( x  2) .
16) Решите уравнение log 3 (3 x )  5 x  x logx 6 .
Проверьте ответы, если у вас:
6 или 5 верных ответов – переходите к Заданию 4.
4 или З верных ответа – переходите к Заданию 2.
В остальных случаях – тест закончен, но Вы не смогли его пройти.
Повышенный уровень.
Задание 4(время выполнения – ЗО мин)
17) Решите уравнение
lg( 8 x  x 2  14)  lg( 13  3x)
 0.
x3
18) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения | log 2 | x || 1.
19) Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства
log 2 ( x 2  5x  18)  5 .
20) Найдите сумму всех целых решений неравенства
log 25 (5  x)  log 0,52 ( x  1)  10 .
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – тест закончен, Вы его успешно прошли.
З верных ответа – переходите к Заданию 2.
2 или 1 верный ответ – переходите к Заданию 4 варианта № 3 этого теста.
Нет верных ответов – Вы смогли пройти тест только на базовом уровне.
14
III вариант
Базовый уровень
Задание 1(время выполнения – 15 мин)
1) Решите неравенство log 3 (10 x  6)  1 .
1) (0,6; 0,9); 2) (– ∞; 0,9); 3) (0; 1); 4) (0,6; +∞).
2) Решите неравенство log 5 x  log 5 ( x  4)  1.
3) Решите уравнение lg 10  lg x  lg 10000  lg( x 4 ) .
4) Решите уравнение ln x  ln 5x  ln 6x  ln 40x  ln 3x .
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – переходите к Заданию 4.
З верных ответа – переходите к Заданию 2.
В остальных случаях – переходите к Заданию З.
Повышенный уровень
Задание 2(время выполнения – 45 мин)
5) Решите уравнение 41log4 (1 x )  40  7 x  x logx 2 .
lg( 9 x  x 2  13)  lg( 7  2 x)
б) Решите уравнение
 0.
x2
7) Найдите сумму всех корней уравнения
log 4 ( x 2  12 x  36)  log 5 (3x  8)  log 6 ( x 2  6 x  9)  0.
8) Найдите произведение всех корней уравнения log 02, 25 x  4 log 4 | x | 3  0 .
9) Найдите количество всех целых чисел, являющихся решениями неравенства
1
 0,5 .
log 2 x
10) Найдите отрицательное число а, при котором число х = 5 является корнем уравнения
log x ( x 2  ax  (a 2  8a  4))  2 .
Проверьте ответы, если у вас:
6 верных ответов – Вы успешно прошли тест.
5 или 4 верных ответа – переходите к Заданию 4.
3 или 2 верных ответа – переходите к Заданию 3.
В остальных случаях – тест закончен, но Вы не смогли пройти его.
Базовый уровень
Задание 3(время выполнения – ЗО мин)
11) Решите неравенство 1  log 3 ( x).
 1 
1) (–∞; 0); 2) [–3; +∞); 3)   ;0  ; 4) [–3; 0).
 3 
12) Решите неравенство lg 2  x  1 .
1) (–18; 2); 2) (–∞; 2); 3) (–98; 2); 4) (–102; 2).
13) Решите неравенство
log 5 x  log 5 ( x  7)  log 5 ( x  2)  log 5 ( x  4) .
1) (0; +∞); 2) (0; 8); 3) (8; +∞); 4) (0; 6).
14) Решите неравенство log 2 (4  5x)  3 .
1) (–∞; 0,8); 2) [–1,25; 0,8); 3) [–0,8; 0,8); 4) [–0,8; +∞).
15
15) Решите уравнение log 5 ( x  8)  log 5 3  log 5 ( x  3) .
16) Решите уравнение log 8 (8 x )  6 x  x logx 2 .
Проверьте ответы, если у вас:
6 или 5 верных ответов – переходите к Заданию 4.
4 или 3 верных ответа – переходите к Заданию 2.
В остальных случаях – тест закончен, но Вы не смогли его пройти.
Повышенный уровень
Задание 4(время выполнения – ЗО мин)
17) Решите уравнение
lg( 5 x  x 2  3)  lg( 7  3x)
 0.
x 1
18) Найдите сумму квадратов всех корней уравнения | log 5 | x || 1.
19) Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства
log 3 ( x 2  x  69)  4 .
20) Найдите сумму всех целых решений неравенства log 19 (8  x)  log 0,91 ( x  2)  5 .
Проверьте ответы, если у вас:
4 верных ответа – тест закончен, Вы его успешно прошли.
3 верных ответа – переходите к Заданию 2.
2 или 1 верный ответ – переходите к Заданию 4 варианта № 1 этого теста.
Нет верных ответов – Вы смогли пройти тест только на базовом уровне.
Ответы
1 вариант
1) № 2. 2) № 1. 3)10. 4) 6. 5) 21. 6) 5. 7) 22. 8)128. 9) 80. 10) –2. 11) № 2. 12) № 2. 13) № 1.
14) № 1. 15) –5,5. 16) 3,5. 17) 6. 18) 200,02. 19) 6. 20) 20.
II вариант
1) № 2. 2) № 2. 3)10. 4)5. 5)15. 6)4. 7)13. 8)243. 9) 80. 10) –3. 11) № 1. 12) № 1. 13) № 1.
14) № 3. 15) –0,5. 16) 1,5. 17) 4. 18) 8,5. 19) 8. 20) 9.
III вариант
1) № 1. 2) № 3. 3)10. 4) 4. 5)14. 6)3. 7)16. 8)256. 9)15. 10) –4. 11) № 4. 12) № 3. 13) № 2.
14) № 3. 15) –0,5. 16) 0,4. 17) 2. 18) 50,08. 19) 5. 20) 25.
С 2009 года Единый государственный экзамен становится «штатной» формой сдачи
экзаменов после 11 класса. Уже сегодня с уверенностью можно сказать, что выпускникам
будущего года придется в обязательном порядке сдавать математику.
Другое дело, что сами тесты, скорее всего, будут выглядеть немного по-иному. Как
сказал ректор МИОО, Алексей Семенов: “Задачи в тестах будут построены так, что
позволят проверить весь спектр базовых математических знаний в соответствии с
требованиями стандартов, а также понять, умеет ли школьник применять математику в
жизненных ситуациях”.
ЕГЭ, по словам министра образования и науки России, Андрея Фурсенко, как
инструмент полностью себя оправдал. Он показал единую картину качества знаний по
России. Мы наконец-то увидели, где мы слабы и над чем, нам, учителям-предметникам,
предстоит еще поработать, чтобы поднять уровень сдачи ЕГЭ по математике.
16
ЛИТЕРАТУРА:
1. И. Г. Алексеев «Математика. Подготовка к ЕГЭ». Саратов, « Лицей», 2005
2. Ф.Ф. Лысенко « Математика ЕГЭ-2007. Вступительные экзамены». Ростов-наДону, «Легион», 2006
3. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов «Практикум по выполнению типовых тестовых заданий
ЕГЭ». Москва, «Экзамен», 2007
4. Газета «Математика». Издательский дом 1 сентября, № 7, №8, 2006
5. Газета «Математика». Издательский дом 1 сентября, №1, №3, 2007
6. Журнал «Математика для школьников». ООО «Школьная пресса», №3,2008
7. «Как нам подготовиться к ЕГЭ. Математика 2008». Выпуск 1-4, МЦНМО, 2008
8. К.Н. Лунгу «Тесты по математике для абитуриентов». М., «Айрис-пресс», 2004
17