Альтернатива для ряда Стирлинга и чисел Бернулли В.М. Калинин, СПбГПУ Числа Бернулли были введены в математику как значения в нуле полиномов Бернулли Bn = Bn(0). Позднее Эйлер ввел полиномы En(x), получившие его имя. Числа Эйлера были определены как En = 2nEn(1/2). Бросается в глаза разница в способах введения чисел Эйлера и Бернулли. Можно думать, что многие формулы упростятся, если вместо чисел Бернулли использовать числа An=2nBn(1/2). Формулы этой статьи подтверждают это предположение. Так, интеграл от аналитической функции на конечном промежутке b a m h 2n f ( 2 j 1) (b) f ( 2 j 1) (a) h ba f ( x)dx f (a (2k 1)h / 4) A2 j . ,h 2 k 1 (2 j )! n 4 j 1 2j Справа первая сумма дает грубое приближенное значение для интеграла. Вторая сумма представляет собой асимптотический ряд, позволяющий как угодно точно вычислить интеграл при правильном выборе параметров n и m. Для Аn получено: An 1 n 1 n 1 1 n 1 k 1 nk n C A 2 , n 1 , 2 ... A ( 1 2 m ) (1) r 1 C nr1 . ; n 1 k n n 1 k 0 r m 1 r m Числа An выражаются через числа Бернулли: An=(2-2n)Bn. Через них выражаются значения полиномов Бернулли: Bn (t ) 1 2n n C k 0 k n (2t 1) k An k ; B2k(1/2)=A2k2-2k ; B2k(1/4)=A2k2-4k. Числа с нечетными номерами равны нулю: A2n-1=0, n=1,2,... Асимптотика чисел с четными номерами A2n : A2 n ~ (1) n 2 n 2(2n)! при n . Связь с суммой отрицательных степеней натурального ряда: A2 n (1) n 2(2n)! 2n (1) k 1 k 1 1 ; k 2n (1) k 1 k 1 n 2n 1 2 n (1) . A 2(2n)! k 2n Постоянная Эйлера - Маскерони также выражается через числа A2n: m A2 j 1 1 C ln( n ) ; 2j 2 k 1 k j 1 2 j ( 2n 1) 2n при n=1000 и m=100 получим 389 верных десятичных знаков числа С. Для /2 получена формула: (1) j 1 A4 j 2 2n 16n 1 m , 2 k 1 16n 2 (2k 1) 2 16 j 0 n 4 j 2 (2 j 1)210 j 1 при n=1500 и m=250 дающая 1863 верных знаков. 1 m ( 2 2 j 1) A 2 2j ln 2 2 j 6 j 1 , n 2 k 1 4n 2k 1 j 1 2n Для ln2 получена формула: дающая 1237 верных знака при n=2000 и m=300. По формуле Эйлера - Маклорена с произвольным параметром n n f (k ) f ( x)dx (1) k 1 j 1 j B j () j! f ( j 1) (n ) f ( j 1) () для O(1) получим асимптотический ряд для производной пси-функции: / (1 x) j 0 B j () ( x ) j 1 для O(1), x . В частности, при параметре, равном 1/2, получим / (1 x) 2 A2 j (2 x 1) j 0 2 j 1 . Асимптотический ряд для ψ(1+x) с произвольным параметром θ: n B j ( ) 1 . ψ(1 x) lim ln n ln( x ) j n k 1 x k j 1 j ( x ) При θ=1/2 это дает: ψ(1 x) ln x A2 j 1 . 2 j 1 2 j (2 x 1) 2 j Асимптотический ряд для гамма-функции с произвольным параметром θ=O(1): B j 1 ( ) 1 ln Γ(1 x) ln 2 x ln( x ) ( x ) . j 2 j 1 j ( j 1)( x ) Альтернативную формулу для ряда Стирлинга получим при θ =1/2 : A2 j 1 1 1 ln Γ(1 x) ln 2 x ln x x . 2 2 2 j 1 4 j (2 j 1)( 2 x 1) 2 j 1 В некоторых случаях удобнее выбрать другую альтернативу для чисел Бернулли: k 22 k (22 k 1) B2 k d , k=1,2, ...; D2 k E2 j C 22kj1 ; D2 k (1) k (1 t 2 ) (1 t 2 ) . t 0 dt 2k j 0 2k D2 k 2 Приближения для /2: 2 m D2 j 4 1 ; при n=1000 и m=300 эта 4n 1 j 0 (4n 1) 2 j 2 k 1 ( 4k 3)( 4k 1) n формула дает 875 верных цифр. Для ln2: ln 2 2n (1) k 1 k 1 2 m D2 j 1 1 2 . 2 j 2 k 4n j 0 ( j 1)( 4n) 2 k 1 1 k A2 k z , (1) sin z k 0 (2k )! Ряды Лорана и Маклорена для тригонометрических функций: 2k 2k B2 k z 2 k 1 1 k E2 k z k 2 , ctg z (1) , (1) cos z k 0 (2k )! (2k )! k 0 D2 k z 2 k 1 . Если в этих tg z (1) (2k 1)! k 0 k разложениях убрать множитель (-1)k, то получим ряды для 1/shz, cthz, 1/chz и thz . Разложения в произведения. Для гамма-функции классическая и улучшенная формулы: x n n m B 1 x 1 x k j 1 B j 1 ( x ) ( j 1) xB j Cx e Cx 1 e k exp . e 1 e ; Γ(1 x) k j ( j 1)n j Γ(1 x) k j 1 k 1 k 1 x Для x=1,5 точное значение 0,7522527780636750492… . При n=10 первая формула дает 0,832…, а вторая при m=20 дает 18 верных знаков: 0,7522527780636750494… Аналогично: cos n 1 m x2 j , где коэффициенты в поправочном множи 1 exp 2 2 j 1 2 (2k 1) j 1 n k 0 x B2 j ( x / 2) B2 j теле равны: j j (2 j 1) B2 j ( x) B2 j j (2 j 1)22 j 1 . Для x=2/3 при n=5 произведение дает 0.511… с ошибкой уже во втором знаке. С учетом поправочного множителя при m=20 имеем 14 верных знаков: 0,500000000000006…. m B B ( x) x n 1 x2 2j . sin x x(1 ) (1 2 ) exp 2 j 2 j 1 n k 1 k j 1 j (2 j 1) n Для x=1/2 , n=10 и m=20 результат отличается от единицы в 27 знаке после запятой, тогда как формула без поправочного множителя дает 0,975… Приведем еще два примера. При n=10 и m=20 формулы: m m (1 2 2 j ) B2 j E2 j (2n)!! 1 (2n)!! 1 ; exp exp 2 j 1 2j 2 (2n 1)!! 2n 4 (2n 1)!! 4n 1 j 1 j ( 2 j 1)( 2n) j 1 2 j ( 4n 1) 2 2 дают 24 верных знака, а без поправки - только один знак. Эти формулы можно также записать в виде: (2n)!! 2 (2n 1)!! 2 2 (2n)!! 4 (2n 1)!! m j ( 2n) j 0 m j 1 j , где 0 1, j (4n 1) j 0 1 j j 1 2 2 k 1 , где 0 1, j 2 j 1 1 2 k D2 k 2 j 2 k 1 ; 1 j E2 k j k . 2 j k 1 При n=50 и m=30 первая формула дает 44 знака точности, вторая – 71 знак. 3 (2n)!! 2 (2n 1)!! 2 j 1 j ; где 1 , Ek ( ) j k , O(1), n . 0 j j 1 j k 1 j 0 ( 2n ) m В заключение дадим две формулы для комбинаторных чисел: m m D2 j D2 j (2n)!! 2 2n n ; . n exp C exp 2 n 2 j 1 2 j 1 (2n 1)!! n j 0 ( 4 j 2)( 4n) j 0 ( 4 j 2)( 4n) Все вычисления в статье выполнили В.И. Сушков (СПбГПУ) и С.В. Ганцевич (ФТИ им. Иоффе), за что выражаю им свою искреннюю благодарность. Итоги Наиболее важная формула этой статьи – первая – позволяет с желаемой точностью вычислить значение интеграла по конечному промежутку от любой аналитической функции. Первообразной не требуется, интегрирование заменено дифференцированием. Эта формула – пример асимптотических двухпараметрических приближений. Первый параметр – n, – задает количество слагаемых в первой сумме, известной из классики и сходящейся медленно к искомому числу при возрастании n. Вторая сумма – часть асимптотического ряда для остатка. Второй параметр – m, – задает количество слагаемых в ней. Эти слагаемые содержат параметр n в знаменателях, поначалу убывают по величине. Во всех формулах знаки этих слагаемых чередуются. Обрывание ряда вносит ошибку, не превышающую по величине первого отброшенного слагаемого и имеющую одинаковый с ним знак. Добавление второй суммы резко уменьшает погрешность. Еще одна особенность – наличие в формулах произвольного параметра θ, изменение величины которого не нарушает равенств, но позволяет на их основе получать эффективные приближенные формулы. Литература 1. В.М.Калинин. Мои формулы. – СПб.: Изд.СПбГТУ, 1997, 106 с. 2. В.М.Калинин. Новые формулы квадратур на базе формул Эйлера-Маклорена с произвольным параметром.- СПб.: Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2004, 4. Эти же материалы см. Математика в ВУЗе: http:/www.spbstu.ru/public/m_v/index.html 4