Документ 325766

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
И.В. Гайдамак, Е.И. Шутова
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления
080100.62 (38.03.01) «Экономика»,
очная и заочная формы обучения
Тюменский государственный университет
2015
И.В. Гайдамак, Е.И. Шутова. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления
080100.62 (38.03.01) «Экономика», очная и заочная формы обучения. Тюмень, 2015, 32
стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Теория вероятностей
и
математическая
статистика
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk3.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории функций.
Утверждено директором института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР:
А.Г. Хохлов, канд.физ.-мат.наук, зав. кафедрой математического анализа и теории функций
© Тюменский государственный университет, 2015.
© И.В. Гайдамак, Е.И. Шутова, 2015.
1. Пояснительная записка.
1.1. Цели и задачи дисциплины
Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с основными понятиями и закономерностями теории вероятностей, методами математической статистики,
обретение навыков решения типовых задач. Задачи дисциплины: в рамках данной дисциплины студенты должны овладеть знаниями по таким разделам теории вероятностей, как
случайные события и случайные величины, закон больших чисел и предельные теоремы;
научиться применять методы математической статистики - анализировать и идентифицировать исследуемую прикладную задачу, выбирать адекватные методы ее решения, решать задачу, интерпретировать результаты в терминах прикладной области и прогнозировать поведение исследуемого процесса при изменении влияющих факторов. В процессе
обучения закрепляются такие общие профессиональные умения как классификация (типов
формализованных задач), оценивание (результатов расчета), моделирование и формализация процессов (как типовых, так и нестандартных видов).
1.2. Место дисциплины в структуре ОП специальности
Учебная дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в
базовую часть дисциплин естественнонаучного цикла; требования к входным знаниям и
умениям студента – знания, полученные в рамках школьного курса математики, и основы
математического анализа и линейной алгебры.
Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми
(последующими) дисциплинами
Очная форма обучения
Таблица 1
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Наименование обеспечиваемых (последующих)
дисциплин
Макроэкономика
Статистика
Эконометрика
Логистика
Математические методы
в экономике
Методы
оптимальных
решений
Информационные технологии в экономике
Финансовые измерения
Темы дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Заочная форма обучения
Таблица 2
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Наименование обеспечиваемых
(последующих) дисциплин
Макроэкономика
Статистика
Эконометрика
Логистика
Математические методы в экономике
Методы оптимальных решений
Информационные технологии в экономике
Финансовые измерения
Темы дисциплины, необходимые для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин
1
2
3
4
5
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1.3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной
образовательной программы
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
- способность понимать сущность и значение информации в развитии современного
информационного общества, осознание опасностей и угроз, возникающих в этом процессе, соблюдение основных требований информационной безопасности, в том числе защиты
государственной тайны (ОК-12);
- владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации; навыками работы с компьютером как средством управления информацией, способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК13).
1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю):
В результате освоения дисциплины студент должен:
иметь представление:
- об основных задачах теории вероятностей;
- об основных понятиях и условиях применения вероятностных методов для исследования
случайных явлений;
- об основных вероятностных моделях.
знать:
- аксиомы теории вероятностей;
- виды случайных событий и их возможные комбинации;
- способы вычисления вероятностей случайных событий;
- виды случайных величин, способы их задания;
- математические операции над случайными величинами и их числовые характеристики;
- основные законы распределений;
- важнейшие теоремы теории вероятностей.
уметь:
- определять количество элементов в конечных множествах;
- вычислять вероятности случайных событий;
- определять тип случайной величины и находить ее числовые характеристики;
- задавать распределение случайной величины;
- делать выводы после получения основных результатов;
- анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи;
- осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
иметь навыки:
- решения задачи и интерпретации результатов в терминах прикладной области;
- прогнозирования поведения исследуемого процесса при изменении влияющих факторов.
2. Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 4-й. Форма промежуточной аттестации – зачет (для обеих форм обучения), контрольная работа (для очной формы обучения). Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы, 108 часов.
Таблица 3
Вид учебной работы
Очная форма обучения
Заочная форма обучения
55,7
54
13,1
12
18
36
1,7
52,3
108
3
6
6
1,1
94,9
108
3
Контактная работа
Аудиторные занятия (всего)
В том числе:
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Иные виды работ
Самостоятельная работа (всего)
Общая трудоемкость
час.
зач. ед.
3. Тематический план.
Очная форма обучения
Таблица 4
Семинарские
(практические)
занятия
Иные виды работ
Самостоятельная
работа
Итого часов по теме
Из них в интерактивной
форме
Модуль 1.
1.1 Элементы теории множеств и комбинаторики
1.2 Основные понятия теории
вероятностей
1.3 Классическое, геометрическое статистическое
определения вероятности
1.4 Условная вероятность.
Теоремы сложения и
умножения вероятностей
1.5 Априорные и апостериорные вероятности
1.6 Повторные независимые
испытания
1.7 Дискретные случайные
величины
Всего
Модуль 2.
2.1 Непрерывные случайные
величины
2.2 Закон больших чисел и
предельные теоремы
Лекции
Тема
Итого
количество
баллов
1
1
2
0,1
2
5,1
1
0-2
2
1
2
0,1
4
7,1
-
0-2
3
1
2
0,1
2
5,1
1
0-10
4
1
2
0,1
2
5,1
-
0-3
5
1
2
0,1
4
7,1
-
0-3
6
1
2
0,1
4
7,1
2
0-5
7-8
2
4
0,1
8
14,1
2
0-15
8
16
0,7
26
50,7
6
0-40
9-10
2
6
0,2
7
15,2
4
0-18
11-12
2
2
0,1
4
8,1
-
0-5
Недели семестра
№
Виды учебной работы и
самостоятельная работа, в
час.
2.3 Основы выборочного метода
2.4 Статистические оценки
параметров распределения
2.5 Проверка статистических
гипотез
2.6 Корреляционнорегрессионный анализ
Всего
Зачет
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
13
1
1
0,1
2
4,1
2
0-2
14
1
2
0,1
3
6,1
-
0-5
15-16
2
6
0,1
8
16,1
2
0-10
17-18
2
3
0,2
2,3
7,5
2
0-20
10
20
26,3
0-60
36
57,1
0,2
108
10
18
0,8
0,2
1,7
16
0-100
4
12
52,3
16
Заочная форма обучения
Таблица 5
Из них в интерактивной
форме
4.
5.
Итого часов по теме
Случайные события
Случайные величины
Закон больших чисел и предельные
теоремы
Математическая статистика
Корреляционно-регрессионный анлиз
Зачет
Итого (часов, баллов):
Из них часов в интерактивной форме
Самостоятельная
работа
1.
2.
3.
Иные виды работ
Тема
Семинарские
(практические)
занятия
№
Лекции
Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.
1
1
1
1
0,2
0,2
22
22
24,2
24,2
1
2
1
1
0,2
12
14,2
-
2
1
2
1
20
18,9
6
3
24,2
21
0,2
108
1
-
6
1
0,2
0,1
0,2
1,1
94,9
4
4
4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля
Очная форма обучения
Таблица 6
№ темы
Модуль 1.
1.1 Элементы теории
множеств и комбинаторики
1.2 Основные понятия
теории вероятностей
Устный
опрос
Письменные
работы (Контрольная работа)
Информационные
системы и технологии (Электронный практикум)
Итого количество
баллов
0-2
0-2
0-2
0-2
1.3 Классическое, геометрическое и статистическое определение вероятности
1.4 Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей
1.5 Априорные и апостериорные вероятности
1.6 Повторные независимые испытания
1.7 Дискретные случайные величины
Всего
Модуль 2.
2.1 Непрерывные случайные величины
2.2 Закон больших чисел
и предельные теоремы
2.3 Основы выборочного
метода
2.4 Статистические
оценки параметров распределения
2.5 Проверка статистических гипотез
2.6 Корреляционнорегрессионный анализ
Всего
Итого
0-10
0-10
0-10
0-3
0-3
0-3
0-3
0-5
0-5
0-15
0-15
0-40
0-40
0-8
0-18
0-5
0-5
0-2
0-2
0-1
0-4
0-5
0-5
0-5
0-10
0-4
0-16
0-20
0-27
0-27
0-60
0-100
0-20
0-20
0-13
0-53
5. Содержание дисциплины.
Очная форма обучения.
Модуль 1.
1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение, разность множеств, сумма множеств, декартово произведение. Теорема о дополнении, теорема де Моргана. Элементы комбинаторики: правила сложения, умножения, вычитания, объединения. Перестановки, сочетания, размещения,
размещения с повторениями, перестановки с повторениями.
1.2. Основные понятия теории вероятностей. Опыт, эксперимент, элементарный исход, случайные события, совместные и несовместные события, равновозможные и единственно возможные события, полная группа событий, противоположные события. Относительная частота появления события. Свойство статистической устойчивости относительных частот.
1.3. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности. Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова. Комбинации случайных событий: сумма, произведение событий, их свойства, разность событий, свойства вероятности, теорема о сумме
вероятностей событий, образующих полную группу. Модель для экспериментов с конечным числом равновозможных исходов (классическая модель). Модель для экспериментов
с бесконечным числом равновозможных исходов (модель геометрических вероятностей).
Статистические идеи: уровень значимости, принцип практической уверенности.
1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые и зависимые случайные события, попарная независимость и независимость в совокупности. Вероятность появления хотя бы одного события.
1.5. Априорные и апостериорные вероятности. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Понятия априорной и апостериорной вероятности. Коэффициенты регрессии
и корреляции случайных событий. Измерители тесноты и направления связи случайных
событий.
1.6. Повторные независимые испытания. Понятие повторных независимых испытаний. Схема Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях. Асимптотические приближения формулы Бернулли: формула Пуассона, локальная
и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Повторные независимые испытания с различными вероятностями появления события в каждом испытании. Определение производящей функции. Применение производящей функции для подсчёта вероятностей в модели
Бернулли. Применение производящей функции для подсчёта вероятностей различных событий.
1.7. Дискретные случайные величины. Ряд распределения дискретной случайной величины. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства. Способы
задания: таблица распределения вероятностей, функция распределения и ее свойства,
многоугольник распределения, аналитическое задание (по формуле). Математические
операции над дискретными случайными величинами. Числовые характеристики дискретных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Свойства основных числовых характеристик. Основные законы распределения дискретных случайных величин: равномерный закон распределения на множестве, распределение Пуассона, геометрический закон распределения,
гипергеометрический закон распределения, биномиальный закон распределения.
Модуль 2.
2.1. Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной
случайной величины. Функция плотности распределения вероятностей и ее свойства.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание,
дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, квантили, центральные и
начальные моменты. Характеристики формы распределения: асимметрия и эксцесс. Основные законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный закон распределения на интервале, нормальный закон распределения, логарифмически-нормальный
закон распределения, экспоненциальный закон распределения, распределение Парето.
Распределения, близкие к нормальному: распределение Фишера, распределение Стьюдента, хи-квадрат распределение.
2.2. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенство Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Центральная предельная
теорема. Теорема Ляпунова.
2.3. Основы выборочного метода. Генеральная и выборочная совокупности. Основные числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения и плотности. Полигон и гистограмма относительных частот.
2.4. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки и требования к ним: несмещенность, состоятельность, эффективность. Интервальные оценки параметров: вероятности (генеральной доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения.
2.5. Проверка статистических гипотез. Виды гипотез: простые и сложные, параметрические и непараметрические, основная и альтернативная гипотезы. Статистический
критерий, область принятия гипотезы и критическая область, ошибки первого и второго
рода, уровень значимости, мощность критерия. Общая логическая схема проверки стати-
стических гипотез. Проверка гипотез о равенстве параметров генеральной совокупности
(доли, средней и дисперсии) заданным значениям (стандартам). Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
двух и нескольких нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормально распределенных генеральных
совокупностей. Проверка гипотезы о наличии грубых ошибок. Проверка гипотез о согласии эмпирического распределения и выбранной модели: критерии согласия хи-квадрат,
Колмогорова-Смирнова, Романовского.
2.6. Корреляционно-регрессионный анализ. Корреляционный анализ: выявление
факторных признаков, оказывающих существенное влияние на результативный признак;
оценка тесноты связи между признаками. Регрессионный анализ: получение аналитического выражения взаимосвязи; выбор наилучшей модели. Однофакторные модели: корреляционные поле; виды моделей; линеаризация модели; интерпретация полученных результатов.
Заочная форма обучения.
Модуль 1.
Тема 1. Случайные события. Элементы теории множеств и комбинаторики. Опыт, эксперимент, элементарный исход, случайные события, совместные и несовместные события,
равновозможные и единственно возможные события, полная группа событий, противоположные события. Относительная частота появления события. Свойство статистической
устойчивости относительных частот. Понятие об аксиоматике А.Н.Колмогорова. Комбинации случайных событий: сумма, произведение событий, их свойства, разность событий,
свойства вероятности, теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые и
зависимые случайные события. Вероятность появления хотя бы одного события. Формула
полной вероятности. Формула Байеса. Понятие повторных независимых испытаний. Схема Бернулли. Наивероятнейшее число появления события в независимых испытаниях.
Асимптотические приближения формулы Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Тема 2. Случайные величины. Ряд распределения дискретной случайной величины.
Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства. Способы задания:
таблица распределения вероятностей, функция распределения и ее свойства, многоугольник распределения, аналитическое задание (по формуле). Математические операции над
дискретными случайными величинами. Числовые характеристики дискретных случайных
величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Свойства основных числовых характеристик. Основные законы
распределения дискретных случайных величин: равномерный закон распределения на
множестве, распределение Пуассона, геометрический закон распределения, гипергеометрический закон распределения, биномиальный закон распределения. Непрерывные случайные величины. Функция распределения непрерывной случайной величины. Функция
плотности распределения вероятностей и ее свойства. Числовые характеристики непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, квантили, центральные и начальные моменты. Характеристики формы распределения: асимметрия и эксцесс. Основные законы распределения
непрерывных случайных величин: равномерный закон распределения на интервале, нормальный закон распределения, логарифмически-нормальный закон распределения, экспоненциальный закон распределения, распределение Парето. Распределения, близкие к нормальному: распределение Фишера, распределение Стьюдента, хи-квадрат распределение.
Тема 3. Закон больших чисел и предельные теоремы. Неравенство Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Теорема Пуассона. Центральная предельная
теорема. Теорема Ляпунова.
Тема 4. Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Основные числовые характеристики выборки. Оценка функции распределения и плотности. Полигон и гистограмма относительных частот. Статистические оценки параметров распределения. Точечные оценки и требования к ним: несмещенность, состоятельность, эффективность. Интервальные оценки параметров: вероятности (генеральной доли), математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Проверка статистических гипотез. Виды гипотез: простые и сложные, параметрические и непараметрические, основная и альтернативная гипотезы. Статистический критерий, область принятия
гипотезы и критическая область, ошибки первого и второго рода, уровень значимости,
мощность критерия. Общая логическая схема проверки статистических гипотез. Проверка
гипотез о равенстве параметров генеральной совокупности (доли, средней и дисперсии)
заданным значениям (стандартам). Проверка гипотезы о равенстве вероятностей (генеральных долей). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух и нескольких нормально
распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы о равенстве генеральных
средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей. Проверка гипотезы
о наличии грубых ошибок. Проверка гипотез о согласии эмпирического распределения и
выбранной модели: критерии согласия хи-квадрат, Колмогорова-Смирнова, Романовского.
Тема 5. Корреляционно-регрессионный анализ. Корреляционный анализ: выявление
факторных признаков, оказывающих существенное влияние на результативный признак;
оценка тесноты связи между признаками. Регрессионный анализ: получение аналитического выражения взаимосвязи; выбор наилучшей модели. Однофакторные модели: корреляционные поле; виды моделей; линеаризация модели; интерпретация полученных результатов.
6. Планы семинарских занятий.
Очная форма обучения
Модуль 1.
1.1. Элементы теории множеств и комбинаторики. Расчет мощности множеств.
Вычисление числа сочетаний, перестановок, размещений, размещений с повторениями,
перестановок с повторениями.
1.2. Основные понятия теории вероятностей. Операции со случайными событиями,
определение совместности случайных событий, представление сложного события через
элементарные.
1.3. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности.
Вычисление вероятности для случайных событий с конечным числом равновозможных
исходов. Вычисление вероятности для случайных событий с бесконечным числом равновозможных исходов.
1.4. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вычисление вероятностей независимых и зависимых событий, вероятности появления хотя
бы одного события.
1.5. Априорные и апостериорные вероятности. Вычисление вероятности для события, которое может наступить при осуществлении одной из гипотез, образующих полную
группу. Вычисление априорных и апостериорных вероятностей.
1.6. Повторные независимые испытания. Вычисление вероятности совмещения нескольких отдельных простых событий. Определение наивероятнейшего числа появления
события в независимых испытаниях. Вычисление вероятности по приближенным формулам для схемы Бернулли: по формуле Пуассона, с помощью локальной и интегральной
теорем Муавра-Лапласа.
1.7. Дискретные случайные величины. Задание закона распределения вероятностей,
построение многоугольника распределения. Вычисление функции распределения и построение ее графика. Нахождение числовых характеристик дискретных случайных величин: математического ожидания, дисперсии, ковариации, среднего квадратического от-
клонения, моды, медианы. Решение задач на распознавание моделей законов распределения: геометрическое, гипергеометрическое, биномиальное распределения, распределение
Пуассона.
Модуль 2.
2.1. Непрерывные случайные величины. Вычисление функции распределения и
плотности распределения вероятностей, построение их графиков. Решение задач на вычисление математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения,
моды, медианы, квантилей, центральных и начальных моментов, асимметрии, эксцесса
для различных законов распределения непрерывных случайных величин. Приобретение
навыков пользоваться специальными вероятностными таблицами.
2.2. Закон больших чисел и предельные теоремы. Решение задач с применением
неравенства Маркова, неравенства Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Ляпунова.
2.3. Основы выборочного метода. Составление статистических рядов. Графическое
изображение полученных данных: полигон и гистограмма частот или относительных частот, кумулята. Расчет основных числовых характеристик статистических распределений.
2.4. Статистические оценки параметров распределения. Вычисление точечных
оценок параметров распределений. Получение интервальных оценок параметров: вероятности (генеральной доли) биномиального распределения, математического ожидания,
дисперсии и среднего квадратического отклонения нормального распределения.
2.5. Проверка статистических гипотез. Классификация ошибок при проверке статистических гипотез. Построение критической области и области принятия гипотезы. Статистическая проверка гипотезы о параметрах распределений. Статистическая проверка гипотезы о законе распределения. Получение выводов на основании проведенного исследования.
2.6. Корреляционно-регрессионный анализ. Построение корреляционного поля.
Выдвижение статистической гипотезы о наличии или отсутствии взаимосвязи между случайными признаками, направлении зависимости. Вычисление коэффициента взаимосвязи,
оценка его значимости. Получение оценок параметров уравнения регрессии. Уравнения
линейной и нелинейной регрессий. Оценка качества построенной модели. Интерпретация
результатов в терминах прикладной области. Прогнозирование поведения исследуемого
процесса при изменении влияющих факторов.
Заочная форма обучения
Тема 1. Случайные события.
1. Элементы теории множеств и комбинаторики.
2. Расчет вероятностей по классической и геометрической формулам.
3. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
4. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли и ее асимптотические приближения.
Тема 2. Случайные величины
1. Дискретные случайные величины: закон распределения, числовые характеристики,
основные законы распределения.
2. Непрерывные случайные величины: закон распределения, числовые характеристики, основные законы распределения.
Тема 3. Закон больших чисел и предельные теоремы
1. Закон больших чисел и предельные теоремы.
2. Неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Ляпунова.
Тема 4. Математическая статистика
1. Расчет выборочных характеристик.
2. Графическое изображение выборки.
3. Точечные и интервальные оценки.
4. Статистическая проверка параметрических и непараметрических гипотез.
Тема 5. Корреляционно-регрессионный анализ
1. Корреляционно-регрессионный анализ.
2. Коэффициент корреляции.
3. Уравнение линейной регрессии. Оценка качества построенной модели.
4. Корреляционная таблица.
7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).
Не предусмотрены учебным планом ОП.
8. Примерная тематика курсовых работ
Не предусмотрены учебным планом ОП.
9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов.
Планирование самостоятельной работы студентов
Очная форма обучения
Таблица 7
№
Модули
и темы
Модуль 1.
1.1
Элементы теории
множеств и комбинаторики
1.2
Основные понятия
теории вероятностей
1.3
1.4
1.5
1.6
Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности
Условная
вероятность. Теоремы сложения и умножения
вероятностей
Априорные и апостериорные вероятности
Повторные независимые испытания
Дискретные случайные величины
Всего по модулю 1:
Модуль 2. Случайные величины
2.1
Непрерывные случайные величины
1.7
2.2
Закон больших чисел
Виды СРС
обязательные
дополнительные
Неделя
семестра
Объем
часов
Кол-во
баллов
1
2
0-2
2
4
0-2
3
2
0-10
ответы на вопросы для самопроверки;
выполнение домашних заданий
4
2
0-3
выполнение домашних заданий,
подготовка доклада
4-5
4
0-3
6
4
0-5
7-8
8
0-15
26
40
составление плана лекций;
выполнение домашних заданий
выполнение работы
в EXСEL
ответы на вопросы для самопроверки
составление задач или тестов с
последующим решением в
группе
подготовка к контрольной работе по модулю
вспомнить – вычисление площади криволинейной трапеции
составление структурно-логических
схем модуля, выполнение работы в
EXСEL
выполнение домашних заданий
работа с литературой, источниками
ответы на вопросы для самопроверки, подготовка к собеседованию
составление презентаций
выполнение работы
в EXСEL
9-10
7
0-18
подготовка к контрольной ра-
составление струк-
11-12
4
0-5
и предельные теоремы
2.3
2.4
2.5
2.6
Основы выборочного
метода
Статистические оценки параметров распределения
Проверка статистических гипотез
Корреляционнорегрессионный анализ
боте по модулю;
составление задач или тестов с
последующим решением в
группе
турно-логических
схем модуля
подготовка к опросу
выполнение работы
в EXСEL
13
2
0-2
ответы на вопросы для самопроверки
выполнение работы
в EXСEL
14
3
0-5
подготовка к собеседованию
выполнение работы
в EXСEL
15-16
8
0-10
выполнение индивидуального
задания, подготовка к собеседованию
отчет по индивидуальному заданию
17-18
2,3
0-20
26,3
52,3
0-60
0-100
Всего по модулю 3:
ИТОГО:
Заочная форма обучения
№
1
2
3
4
5
Темы
Случайные события
Случайные величины
Закон больших чисел и
предельные теоремы
Математическая статистика
Корреляционнорегрессионный анализ
Итого (часов)
Виды СРС
обязательные
дополнительные
составление задач
работа с пакетами
или тестов для взаиприкладных промопроверки
грамм (ППП)
составление задач
составление струкили тестов для взаитурно-логических
мопроверки
схем темы;
работа с ППП
ответы на вопросы
составление струкдля самопроверки
турно-логических
схем темы
подготовка к занятисоставление струкям, опросу; работа с
турно-логических
ППП
схем темы
работа с ППП, составление задач или
тестов для взаимопроверки
Таблица 8
Объем часов
22
22
12
20
18,9
94,9
Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.
Самостоятельная работа студента играет очень большую роль в получении им высшего образования, отражаясь напрямую на качестве подготовки будущего специалиста.
Именно эта часть работы развивает навыки самообразования, навыки самостоятельной
работы в разных жизненных аспектах, стремление к саморазвитию и познанию.
Закрепляя пройденный материал, в дополнение к конспектам лекционных и практических занятий рекомендуется использовать литературу и другие источники, указанные в
соответствующем разделе данной рабочей программы. Время, систематичность, прилежность при подготовке к учебным занятиям и контрольным мероприятиям различного характера напрямую влияют на достижения и успехи студента, которые в дальнейшем при
контроле знаний количественно выражаются в баллах и отметках.
Самостоятельная работа студентов организуется в двух формах:
- аудиторной – на лекционных и практических занятиях при решении поставленных
индивидуальных задач;
- внеаудиторной – проработка лекций, изучение рекомендованной литературы; подготовка к собеседованиям, устным опросам, контрольным работам, коллоквиуму; написание
рефератов, их аннотирование и рецензирование; составление структурно-логических
схем; подготовка презентаций в электронном варианте; выполнение индивидуальных заданий, в том числе с помощью пакетов прикладных программ и т.п.
Примерная тематика реферативных работ
Реферат - это самостоятельная научно-исследовательская работа студента, где автор
раскрывает суть исследуемой проблемы; приводит различные точки зрения, а также собственные взгляды на нее. Содержание материала должно быть логичным, изложение материала носит проблемно-поисковый характер. Следует отметить, что самостоятельный
выбор студентом темы реферата или направления исследования только приветствуется.
Прежде чем выбрать тему реферата, автору необходимо выяснить свой интерес, определить, над какой проблемой он хотел бы поработать, более глубоко ее изучить и получить
консультацию преподавателя.
Темы рефератов:
1. Зарождение, становление и развитие теории вероятностей.
2. Вклад российских математиков в развитие теории вероятностей и математической статистики.
3. Графическое представление выборки по конкретным статистическим данным.
4. Сравнение дискретных и непрерывных случайных величин.
5. Решение статистических задач с помощью пакета MathCAD.
6. Решение статистических задач с помощью пакета Statistica.
7. Основные показатели вариации значений в выборке.
8. Определение критической области при проверке статистических гипотез.
9. Коэффициенты корреляции и регрессии для случайных событий.
10. Корреляционная функция случайного процесса.
11. Стационарный белый шум.
12. Распределение Колмогорова и использование его в математической статистике.
13. Производящие функции для случайных величин
14. Разыгрывание дискретной случайной величины по методу Монте-Карло.
15. Разыгрывание противоположных событий и полной группы событий по методу Монте-Карло.
16. Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины по методу МонтеКарло.
Вопросы и задачи для самопроверки
1. В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Один за другим вынимаются все имеющиеся в нём
шары. Найти вероятность того, что последний шар будет чёрным.
2. В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий местного
производства. Товаровед наудачу выбирает 3 изделия. Какова вероятность того, что все 3
изделия окажутся: а) местного производства; б) не местного производства.
3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные органы, 30% другие банки, остальные - физические лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01, 0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного запроса
на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозвра-
те кредита, но в факсимильном сообщении имя клиента было неразборчиво. Какова вероятность, что данный кредит не возвращает какой-то банк?
4. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях игральной
кости?
5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженых семян: а) прорастёт ровно 700; б) число проросших не менее 790 и не превышает
830.
6. Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной ставкой i под
залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X - случайная величина с
М(Х)=a, a>i, D(X)≤72. Какова вероятность того, что инвестор не сможет вернуть долг и
лишится своей недвижимости? Указание: оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<i).
7. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с вероятностью
0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего месяца с вероятностью 0,4.
Предполагая, что ежемесячные изменения цены независимы, рассчитайте: а) вероятность
того, что за три месяца цена станет равной (1,01 )3 от первоначальной; б) вероятность того, что затри месяца цена станет равной 0,99 (1,01)2 от первоначальной.
8. На крупном промышленном предприятии при проведении курса технической подготовки, предназначенного для всех принятых работников рабочих специальностей, было
установлено, что имеется зависимость между возрастом работника и временем, необходимым для освоения определенных навыков и умений. В таблице приведен возраст 8 работников, выбранных произвольно, а также время, необходимое для выработки у них
навыков в определенной области.
Работник
A
Возраст (лет)
Время подготовки (часов)
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
18 19
20
21
22
23
29
38
4
4
6
5
8
6
7
3
а) с помощью метода регрессии определите продолжительность подготовки, необходимую
для нового работника в возрасте 30 лет; б) определите коэффициент корреляции и прокомментируйте точность вашей оценки в том, что касается части (а). Какие другие факторы могут повлиять на продолжительность подготовки, необходимой для каждого работника?
9. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в регионе А
составило 26∙104 ден. ед., в регионе В на 100 филиалов пришлось 18∙104 ден. ед. Стандартное отклонение величины страховых взносов в регионе А равна 39∙108 ден. ед., в регионе В – 25∙108 ден. ед. На уровне значимости α = 0,05 определите, существенно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на
1 филиал.
10. Компанию по прокату автомобилей интересует зависимость между пробегом автомобилей (Х) и стоимостью ежемесячного технического обслуживания (Y). Для выяснения
характера этой свяХ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 зи было отобрано
15
автомобилей.
Y 13 16 15 20 19 21 26 24 30 32 30 35 34 40 39
Постройте график
исходных данных и определите по нему характер зависимости. Рассчитайте выборочный
коэффициент линейной корреляции Пирсона, проверьте его значимость при α = 0,05. Постройте уравнение регрессии и дайте интерпретацию полученных результатов.
10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
освоения дисциплины (модуля).
10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы
В результате освоения ООП бакалавриата выпускник должен обладать следующими
компетенциями:
- способность понимать сущность и значение информации в развитии современного
информационного общества, осознание опасностей и угроз, возникающих в этом процессе, соблюдение основных требований информационной безопасности, в том числе защиты
государственной тайны (ОК-12);
- владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации; навыками работы с компьютером как средством управления информацией, способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК13).
Выдержка из матрицы соответствия компетенции и составных частей ООП представлена в
таблице 9.
10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:
Карта критериев оценивания компетенций приведена в таблице 10.
Циклы,
дисциплины
(модули)
учебного
плана
ОП
ОК-12
+
+
+ +
ОК-13
+
+
* - дисциплины базовой части
Индекс
компетенции
+
+
+
+
Бухгалтерская мысль и балансоведение
Кодекс бухгалтеров и аудиторов
+
+
+
+
+
+
+
+
Теория страхования
Методы оптимальных решений*
Финансовые измерения
Отчетность
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Страхование ответственности
Международные стандарты финансовой отчетности
4 семестр
Личное страхование
Бухгалтерская и финансовая отчетность
3 семестр
Имущественное страхование
Эконометрика*
+
Теория вероятностей и математическая статистика*
Реклама и PR
Страховая культура
Страховой рынок России
2 семестр
История страхования
+
Основы страхования
+
+
Мировая художественная культура
Линейная алгебра*
Социология*
Методы организации самостоятельной подготовки письменных работ и презентаций
1 семестр
Математический анализ*
История денег
Элементарная математика
Образовательная деятельность в формировании человеческого капитала
Математический анализ*
Выдержка из МАТРИЦЫ соответствия компетенции и составных частей ООП представлена в таблице 9.
Таблица 9
Б.1.-Б.3. Дисциплины (модули)
5 семестр
+
+
+
ОК-13
Индекс
компетенции
+
+
+
+
+
+
* - дисциплины базовой части
+
+
Страховой маркетинг
Предметно-ориентированные информационные системы
Налоговый учет и отчетность
+
+
+
+
+
+
+
+
Социальное страхование
Страхование внешнеэкономической деятельности
Страховое право
Банки и страховщики: аспекты сотрудничества
Банковское обслуживание страховых компаний
Международные валютно-кредитные и финансовые отношения
Международные стандарты аудита
Международные стандарты учета и отчетности
Анализ страховых операций
Страховой менеджмент
Администрирование в страховой сфере
Международный страховой рынок
6 семестр
7 семестр
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Производственная
Оценка собственности для целей страхования
Б.1.-Б.3. Дисциплины (модули)
Учебная
Инвестиционная политика страховщика
Управленческий учет
Управленческий анализ
Национальная страховая система
Финансовый анализ
Циклы, дисциплины
(модули)
учебного
плана ОП
Инвестиционный анализ
Экономико-математический практикум
+
Теория игр
ОК-12
Актуарные расчеты
Информационные технологии в экономике
Таблица 9 - продолжение
Б.5.
Практики
8 семестр
+
+
+
+
Таблица 10
Код
компете
нции
Карта критериев оценивания компетенций
1
ОК-12
Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП
пороговый
(удовл.)
61-75 баллов
2
Знает: общие сведения о
финансово-экономических
интерпретациях основных
математических понятий теории
вероятностей;
Умеет: выполнять основные
действия со случайными
событиями и случайными
величинами, вычислять
вероятности случайных событий,
основные числовые
характеристики случайных
величин;
проводить простейший анализ
статистических данных
Владеет: навыками создания
презентаций;
начальными навыками работы с
теоретическим и практическим
материалом курса
базовый (хор.)
76-90 баллов
3
Знает: основные вероятностные
модели случайных событий, способы
задания случайных величин, методы
решения математически
формализованных задач;
интерпретации полученных в ходе
решения результатов
Умеет: собирать необходимые для
анализа статистические данные и
представлять их в корректном для
дальнейшей обработки виде;
проводить анализ полученных данных,
применяя соответствующие методы
математической статистики
Владеет: методами обработки
информации, необходимой для
решения поставленных задач;
навыками обработки и защиты
полученной информации
повышенный
(отл.)
91-100 баллов
4
Знает: финансово-экономические
интерпретации математических
понятий теории вероятностей и
математической статистики;
интерпретации и теоретические
обоснования полученных в ходе
решения результатов
Умеет: теоретически обосновывать
применимость методов решения к
типовым задачам курса;
проводить самостоятельный поиск и
выбор необходимых для решения
задач формул, схем, алгоритмов;
применять нестандартный подход к
решению задач и обосновывать
ограничения области применения
такого подхода
Владеет: навыками выполнения
полноценного анализа финансовоэкономических явлений с помощью
вероятностных моделей и методов
математической статистики;
навыками представления полученных
результатов в виде презентаций и
докладов
Виды
занятий
Оценочные
средства
5
лекции,
семинары
6
опрос,
реферат,
презентации,
контрольные
работы
лекции,
семинары
опрос,
практические
задания,
контрольные
работы
лекции,
семинары
ситуации и
практические
задания,
презентации,
контрольные
работы
Таблица 10 - продолжение
1
ОК-13
2
3
4
Знает: основные понятия теории
вероятностей и математической
статистики, способы получения
статистических данных через
компьютерные сети; общие сведения о
возможностях употребления
математической символики для записи
текстовых задач в символьном виде
Умеет: на основе имеющихся
справочных материалов вычислять
вероятности случайных событий,
рассчитывать числовые характеристики
случайных величин,
определять тип случайной величины и
задавать её распределение различными
способами; находить оценки основных
числовых характеристик случайного
признака
Владеет: первоначальными
представлениями о возможности
решения задач с помощью
компьютерных технологий
Знает: алгоритмы, схемы и
рекомендации для решения
типовых математически
формализованных задач;
методы математической
статистики для анализа и прогноза
экономических показателей
Знает: теоретические обоснования
используемых в решении формул и
алгоритмов;
простейшие приемы составления
алгоритмов (структурных схем)
решения нестандартных задач теории
вероятностей
5
лекции,
семинары
6
опрос,
реферат,
презентации,
контрольные
работы
Умеет: систематизировать
основные знания о приемах и
методах решения типовых задач
курса с использованием
справочной литературы;
проводить анализ случайных
признаков с помощью методов
математической статистики и
соответствующих пакетов
прикладных программ
Владеет: навыками записи
текстовых задач в математической
форме,
критериями выбора пакетов
прикладных программ для
решения конкретных задач
Умеет: развернуто характеризовать
сущность и содержание приемов и
методов решения типовых задач курса;
проводить самостоятельный поиск
статистических данных и выбор
необходимых методов и пакетов
прикладных программ для анализа и
прогноза экономических взаимосвязей
лекции,
семинары
опрос,
практические
задания,
контрольные
работы
Владеет: представлениями об
ограничениях на решаемые с
помощью компьютерных технологий
задачи,
навыками обходить ограничения
компьютерных программ путем
разбиения задач на несколько
подзадач либо вариацией символьной
записи поставленной задачи
лекции,
семинары
ситуации и
практические
задания,
контрольные
работы
10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки
знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.
Содержание контрольных мероприятий семестра
«Случайные события»:
1. Студент знает 20 из 30 вопросов к зачету по теории вероятностей и математической
статистике. Оцените его шансы успешно сдать зачет, если для сдачи зачета необходимо
знать хотя бы один из двух вопросов билета.
2. Взят кредит на год. Время закупки и доставки товара оценивают от 3 до 5 месяцев, время реализации – от 4 до 8 месяцев. Какова вероятность несвоевременного возврата кредита?
3. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделие первого вида будет признано качественным равна
0,9; для изделия второго вида такая вероятность равна 0,7; для изделий третьего вида –
0,5. Изделий каждого вида одинаковое количество. Найти вероятность того, взятое наудачу изделие будет признано качественным.
4. Статистика показывает, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность.
5. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое
второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют
нарушения финансовой дисциплины: 1) 460; 2) более 460.
«Случайные величины»:
1. Вероятность заболевания гриппом равна 0,01 для человека, сделавшего прививку, а для
«непривитого» - 0,2. Составьте закон распределения числа заболевших среди четырех
случайно отобранных человек: а) «привитых»; б) «непривитых». Постройте многоугольник распределения. Определите среднее число заболевших (среди тех и других).
2. Пенсионер Иван Кузьмич решил инвестировать свои скромные сбережения. Фирма
«Ох!» обещает 50% годовых, но может разориться с вероятностью 0,2. Фирма «Ах!» обещает 40% годовых, для нее вероятность разорения оценивается как 0,1. Дядя Ваня отнес
10000 рублей в первую фирму и 20000 рублей – во вторую. Найдите среднюю сумму прибыли Ивана Кузьмича через год.
3. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения вероятностей: p(x)=0, если x<2 и x>4; p(x)=аx+2, если 2≤x≤4. Найдите: а) параметр а; б) функцию
распределения F(x), постройте ее график; в) М(X); г) D(X); д) P(1≤ X ≤3).
4. Непрерывная случайная величина X~N(10; 3). Найдите: а) P(12≤X≤15); б) случайная величина Y=X+1, вычислите P(Y≤8); в) P(Y=20).
5. В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона являются безработными. Оцените с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от
9% до 11%.
«Нормальный закон распределения»:
Ниже X ~ N a,   означает, что случайная величина X имеет нормальное распределение с математическим ожиданием a и стандартным отклонением σ. Будем рассматривать продукцию двух предприятий – цыплят, выращенных на птицефабриках Каскаринской и Боровской. Обозначим через X - вес цыпленка, «изготовленного» на Каскаринской
птицефабрике, через Y - вес цыпленка с Боровской птицефабрики. Предположим, что X ~
N 1,8;0,5 , Y ~ N 1,5;0,3 .
1. Для каждой птицефабрики найдите вероятности событий:
А – «вес цыпленка равен 1,7 кг.»; В – «вес цыпленка менее 1,7 кг.»;
С – «вес цыпленка более 2 кг.»; D – «вес цыпленка от 1 кг до 2 кг».
2. Считается, что идеальный вес цыпленка совпадает с ожидаемым средним a. Для каждой птицефабрики найдите вероятности того, что фактический вес отклонится по абсолютной величине от a: А – «более чем на 0,3 кг.»; В – «более чем на 0,7 кг.»;
С – «менее, чем на 0,2 кг.»; D – «менее, чем на 1 кг.».
3. Будем считать дефектными цыплят, вес которых менее 0,5 кг. Какова доля брака на
каждой птицефабрике? Как, не вычисляя долю брака, сравнить какое из двух распределений N a1,1  или N a2 , 2  «лучше» в указанном смысле?
4. Каждая птицефабрика приняла решение снизить долю брака до 1%. Как это сделать:
а) за счет математического ожидания a, сохраняя стандарт σ; б) за счет стандартного отклонения σ, сохраняя a?
5. Для повышения однородности продукции каждая птицефабрика приняла решение сортировать цыплят на три равные в среднем по численности группы: «маленькие» цыплята,
«средние», «большие». Определите правило сортировки для каждой птицефабрики.
6. Рассмотрим цыпленка №1 весом 0,5 кг и цыпленка №2 весом 3 кг. Определите для
каждой птицефабрики: а) является ли цыпленок №1 «недоростком»? б) является ли цыпленок №2 «переростком»? в) какой из двух цыплят более аномален для каждой птицефабрики и во сколько раз? г) какая из птицефабрик более аномальна для цыпленка №1 и
цыпленка №2 и во сколько раз?
7. Говорят, что цыплята Каскаринской птицефабрики крупнее цыплят с Боровской птицефабрики. На сколько процентов верно это утверждение?
8. Цыплят отгружают большими партиями. Дефектной считают продукцию весом менее
0,5 кг. От партии проверяют 5 цыплят и партию принимают, если среди них не более одного дефектного. Будем считать хорошей обычную продукцию, т. е. X ~ N 1,8; 0,5 , Y ~
N 1,5; 0,3 . Для плохой продукции математическое ожидание a уменьшено на 0,4 кг. Для
каждой птицефабрики определите вероятность α забраковать хорошую продукцию (риск
изготовителя) и вероятность β приемки плохой продукции (риск потребителя).
9. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько
нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение
числа вылупившихся цыплят от среднего ожидаемого их числа не превысит 50 (по абсолютной величине)? Решите задачу с помощью неравенства Чебышева и с помощью интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
«Статистическая обработка данных»:
1. В результате опроса 20-ти потенциальных потребителей некоторого товара о размере
максимально допустимой для них цены на этот товар были получены следующие данные:
40, 25, 30, 50, 35, 20, 50, 32, 15, 40, 20, 40, 45, 30, 50, 25, 35, 20, 35, 40 (цены в рублях). Получите оценку функции спроса. Пусть расходы на изготовление единицы товара равны 10
руб. По какой цене продавать этот товар (в предположении, что производитель товара –
монополист на рынке)?
2. Контрольную работу по теории вероятностей по индивидуальным вариантам выполняли студенты двух групп второго курса. В первой группе было предложено 105 задач, из
которых верно решено 60, во второй группе из 140 предложенных задач верно решено 69.
На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в
усвоении учебного материала студентами этих групп.
3. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в первой группе численностью n1  50 человек, где применялась новая технология, средняя выборочная выработка составила x  85 изделий, во второй группе численностью n2  70
человек выборочная средняя - y  78 изделий. Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно  X2  100 и  Y2  74 . На уровне значимости   0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.
4. В первой случайной репрезентативной выборке объема 400 положительный ответ дали
300 опрошенных, а во второй случайной репрезентативной выборке объема 600 положительный ответ дали 500 опрошенных. Укажите доверительные границы для долей (вероятностей положительного ответа в соответствующих генеральных совокупностях) с доверительной вероятностью 0,95.
5. Найдите доверительный интервал для оценки с надёжностью 0,95 неизвестного математического ожидания a нормально распределённого признака X генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение   5 , выборочная средняя
xв  14 и объём выборки n = 25.
Список вопросов для устного опроса на семинаре
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Случайная величина.
Функция распределения и ее свойства.
Абсолютно непрерывные распределения.
Равномерное распределение.
Нормальное распределение.
Показательное распределение.
Независимые случайные величины. Критерии независимости.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Дисперсия случайной величины и ее свойства.
Математическое ожидание и дисперсия типовых распределений.
Ковариация, коэффициент корреляции и их свойства.
Основные понятия математической статистики: выборочные моменты.
Теорема Фишера.
Точечные оценки и их свойства.
Основные методы статистического оценивания.
Точечная и интервальная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины.
Точечная и интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормально
распределенной случайной величины.
Статистический критерий.
Ошибки 1-го и 2-го рода.
20.
21.
22.
Мощность критерия.
Лемма Неймана-Пирсона.
Критерий согласия
Теоретические вопросы к зачету
23.
Вероятностное пространство. Аксиомы теории вероятностей.
24.
Следствия из аксиом вероятности.
25.
Классическая схема вероятностного пространства.
26.
Геометрическая схема вероятностного пространства.
27.
Условные вероятности. Независимые события.
28.
Формула полной вероятности. Формула Бейеса.
29.
Схема Бернулли. Полиномиальная схема.
30.
Случайная величина. Функция распределения и ее свойства.
31.
Абсолютно непрерывные и дискретные распределения.
32.
Типовые распределения: биномиальное, Пуассоновское, геометрическое, равномерное, показательное, нормальное, «хи-квадрат» - распределение, гамма-распределение,
распределение Стьюдента, распределение Коши.
33.
Независимые случайные величины. Критерии независимости.
34.
Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
35.
Дисперсия случайной величины и ее свойства.
36.
Математическое ожидание и дисперсия типовых распределений.
37.
Ковариация, коэффициент корреляции и их свойства.
38.
Неравенство Чебышева.
39.
Виды сходимости последовательности случайных величин.
40.
Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
41.
Центральная предельная теорема.
42.
Предельная теорема Пуассона.
43.
Предельные теоремы Муавра-Лапласа.
44.
Пуассоновские случайные процессы.
45.
Основные понятия математической статистики: выборки, вариационный ряд, эмпирическая функция распределения, выборочные моменты.
46.
Теорема Фишера.
47.
Точечные оценки и их свойства.
48.
Основные методы статистического оценивания. Методы максимального правдоподобия и моментов.
49.
Применение методов статистического оценивания к случаям нормального и биноминального распределения.
50.
Проверка статистических гипотез. Статистический критерий. Ошибки 1-го и 2-го
рода.
51.
Мощность критерия. Функция мощности. Лемма Неймана-Пирсона.
52.
Примеры применения леммы Неймана-Пирсона к случаям нормального, биномиального и полиномиального распределений.
53.
Критерий согласия. Теорема Пирсона о предельном распределении статистики.
Критерий Стьюдента.
Формулировки практических заданий, которые могут быть включены в зачетный билет (конкретные условия: функции, точки, векторы, значения - в билете могут отличаться от приведенных ниже)
1) Рассмотрим колоду из 36 карт. Выберем наудачу 3 карты. Какова вероятность того,
что это будут "шестерка", "семерка" и "пиковая дама"?
2) Игральная кость подбрасывается 10 раз. Требуется найти вероятность того, что
"двойка" выпадет не более одного раза.
3) Наудачу выбираются два числа: первое – из промежутка [-1;1], а второе – из [0;2].
Найти вероятность того, что хотя бы одно из чисел не превосходит ½ .
4) Задана функция распределения непрерывной случайной величины:
x  2,
0,

2
F ( x)  ( x  2) ,  2  x  1,
1,
x  1.

Требуется найти среднее квадратическое отклонение и вероятность попадания в интервал (-3; -1,4] для данной случайной величины. Построить кривую распределения.
5) Известны законы распределения двух независимых дискретных случайных величин
Х и Y:
xi
-1
0
1
yj
-1
0
1
2
pi
0,5
0,2
0,3
pj
0,1
0,2
0,6
0,1
Требуется найти M (2  2Y  3 X ) , D(2  2Y  3 X ) , центральный момент первого порядка случайной величины Х и начальный момент пятого порядка случайной величины Y.
6) Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Известно математическое ожидание, равное 7. Также известно, что P( X  6)  0,46 . Найти дисперсию
случайной величины Х.
7) Известно, что случайная величина Х распределена по показательному закону рас3 e 3 x , x  0
пределения. Ее плотность распределения имеет вид f ( x)  
. Требуется
 0
x0
найти среднее квадратическое отклонение данной случайной величины, а также вероятность P(0,1  X  0,2) .
8) Требуется по полученной выборке найти а) выборочное уравнение прямой линии
регрессии Y на X; б) определить выборочный коэффициент корреляции; в) по его значению сделать предварительный вывод о тесноте линейной связи между признаками;
г) проверить значимость выборочного коэффициента корреляции на 1%-ном уровне
значимости.
xi
0
1
4
6
7
yi
2
2
-1
-3
-4
9) Проводилось исследование потребительских предпочтений. Одной группе покупателей было предложено попробовать сыра А, а другой группе – сыр В. Если покупатель готов был купить попробованный сыр, то это записывалось как 1, а если нет – как
0.
Таким образом были получены следующие данные:
Сыр А: 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Сыр В: 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1
Требуется проверить гипотезу о том, что предпочтения разных групп покупателей по
сыру А и по сыру В одинаковы, т.е. что вероятности покупки обоих видов сыра равны: H 0 : p1  p2 при альтернативной гипотезе H1 : p1  p2 на 7%-ном уровне значи-
мости.
10) По данным выборки объема 50 из генеральной совокупности нормально распределенного количественного признака найдена выборочная дисперсия, равная 7. Найти
доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надёжностью 0,99.
10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования
компетенций.
Критерии успешности обучения
Количественная итоговая оценка определяется как суммарная характеристика фактического уровня знаний студента (в баллах) по совокупности всех форм контроля, предусмотренных по данной дисциплине (максимум – 100 баллов).
Студент, набравший в течение семестра не менее 61 балла, получает автоматически
зачет.
Если студент не набрал необходимого числа баллов (то есть суммарное количество
баллов 60 или меньше), то ему необходимо сдавать зачет в назначенное преподавателем и
утвержденное руководством института время.
Билеты к зачету формируются из вопросов и задач, список которых был приведен в
п.10.3 данной рабочей программы.
Критерии оценивания ответа на теоретический вопрос:
«Зачтено» ставится в случае, если:
- ответ содержит глубокое знание излагаемого материала;
- студент ответил на дополнительные или уточняющие вопросы по тематике, указанной в билете.
- ответ содержит в целом правильное, но не всегда точное и аргументированное изложение материала.
- недостаточно полно раскрыто содержание вопроса, и при этом в процессе беседы
студент не смог самостоятельно дать необходимые поправки и дополнения, или не обнаружил какое-либо из необходимых для раскрытия данного вопроса умение.
- в ответе допущены значительные ошибки, которые при наводящих вопросах экзаменатора были частично исправлены;
«Незачтено» ставится в случае, если:
- студент испытывает затруднения с использованием научно-понятийного аппарата и
терминологии дисциплины;
- в ответе не раскрыты некоторые существенные аспекты содержания.
- в ответе допущены значительные ошибки, которые студент не смог исправить даже с
помощью наводящих вопросов экзаменатора;
- студент путает термины и не владеет научно-понятийным аппаратом курса.
- все формулировки ответа не соответствуют поставленным вопросам.
Критерии оценивания решения задачи:
«Зачтено» ставится в случае, если решение содержит
- все необходимые этапы, каждый из которых не содержит ошибок;
- развернутые ответы и грамотные комментарии,
- правильно используется терминология и математические символы.
- решение содержит все необходимые этапы, некоторые из которых могут содержать
ошибки вычислительного характера, которые не оказали существенного влияния на дальнейшее решение;
- решение не содержит необходимых комментариев, обоснований выводов и переходов от одного этапа решения к другому;
- неверно используются символьный аппарат и терминология при правильном решении.
- в решении пропущены некоторые необходимые этапы без какого-либо комментария;
- в решении допущены ошибки в вычислениях, повлекшие за собой неверные выводы
и ответы, но при этом сами выводы сделаны верно с учетом данных ошибок.
- промежуточные этапы проведены верно, но при этом либо ответ не соответствует
постановке задачи, либо требуемое в постановке задачи вообще не найдено.
«Не зачтено» ставится в случае, если:
- студент показал знание алгоритма решения, провел решение по алгоритму, но этапы
решения содержали существенные ошибки.
- решение содержит менее трети необходимых этапов, но при этом хотя бы один из
этапов выполнен верно;
- студент показал знание алгоритма, проведя по нему решение, но при этом ни один из
этапов не был выполнен правильно;
11. Образовательные технологии.
При изучении дисциплины используются сочетания видов учебной работы с методами и формами активизации познавательной деятельности бакалавров для достижения запланированных результатов обучения и формирования заявленных компетенций.
Лекционные занятия проводятся с использованием наглядных пособий и раздаточных
материалов. Целью лекций является изложение теоретического материала и иллюстрация
его примерами и задачами. Основным теоретическим положениям сопутствуют пояснения
об их приложениях к другим разделам математики, а также экономике, физике, программированию.
При проведении практических занятий используются индивидуальные и групповые
формы работы; работа в малых группах; выполнение заданий в паре; взаимопроверка выполненных задач. Во время лекционных занятий ведется активный диалог со слушателями, используется проблемное изложение материала.
Принципами организации учебного процесса являются: активное участие слушателей
в учебном процессе; проведение практических занятий, определяющих приобретение
навыков решения практических задач; приведение примеров применения изучаемого теоретического материала к реальным практическим ситуациям.
В учебном процессе применяются активные и интерактивные формы обучения. Они
включают в себя методы, стимулирующие познавательную деятельность обучающихся и
вовлекающие каждого участника в мыслительную и поведенческую активность.
В таблицах 11-12 представлено распределение занятий в интерактивной форме:
Таблица 11
Для очной формы обучения
Тема
1.1. Элементы
теории множеств
и комбинаторики
1.3. Классическое,
геометрическое
статистическое
определения вероятности ц
1.6. Повторные
независимые испытания
Количество часов
Семинарские
Лекции (практические)
занятия
1
1.7. Дискретные
случайные величины
2
2.1. Непрерывные
случайные величины
2
Предлагается группе студентов изучить
(проработать) материал с последующим
изложением аудитории.
2
Составление студентами задач экономической направленности, сводимых к решению систем линейных уравнений, с
последующей защитой и оппонированием.
Дискуссия о выборе метода решения систем линейных алгебраических уравнений.
Лекция, построенная в виде ответов на
заранее подготовленные студентами вопросы. При этом целесообразно разделить слушателей на группы, а по окончании лекции провести взаимооценку
групп.
Лекция с запрограммированными ошибками.
Проведение устного опроса в виде взаимопроверки студентов
Защита рефератов с последующим оппонированием (рецензированием). Предварительно назначенный оппонент (рецензент) ознакомлен с содержанием реферата заранее.
Изучение темы и решение задач в малых
группах.
2
2
2.5. Проверка статистических гипотез
2.6. Корреляционно-регрессионный
анализ
2
2
4
Изучение темы и решение задач в малых
группах.
1
2.3. Основы выборочного метода
Итого
Форма проведения
12
Практическое задание можно предложить для домашнего разбора. А в аудитории, на следующем занятии, разобрать
пример еще раз, включив в обсуждение
всех студентов.
Таблица 12
Для заочной формы обучения
Количество часов
Тема
1. Случайные события
2. Случайные величины
Лекции
Семинарские
(практические)
занятия
1
1
1
4. Корреляционнорегрессионный
анализ
Итого
1
1
Форма проведения
Изучение темы и решение задач в малых
группах.
Лекция с запрограммированными ошибками.
Предлагается группе студентов изучить
(проработать) материал с последующим
изложением аудитории.
Предлагается группе студентов изучить
(проработать) материал с последующим
изложением аудитории.
3
12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).
12.1. Основная литература:
1. Балдин, К.В. Теория вероятностей и математическая статистика учебник [Электронный ресурс]/ К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. - 2-е изд. - М. : Дашков и
Ко,
2014.
473
с.
Режим
доступа:
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=253787 (дата обращения 08.10.2014).
2. Сборник задач по высшей математике для экономистов: аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование: учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр.
"Экономика" и эконом. спец./ Рос. эконом. академия им. Г. В. Плеханова; ред. В.
И. Ермаков. - 2-е изд., испр.. - Москва: ИНФРА-М, 2008. – 575 с.
12.2. Дополнительная литература:
1. Гмурман В. Е.. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие/ В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб.. - Москва: Высшее
образование, 2009. – 404 с.
2. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для студ. вузов, обуч. по эконом. спец./ В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. - 3-е изд., перераб. и доп..
- Москва: КноРус, 2009. - 384 с
3. Пыткеев Е.Г. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие/ Е.
Г. Пыткеев, А. Г. Хохлов; Тюм.гос. ун-т. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012. - 536 с.
4. Рублева Г.В., Шутова Е.И. Математика: теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-методический комплекс для студентов направления «Экономика». Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007 г. - 226 с
12.3. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1.
Методические рекомендации по написанию реферата [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.hse.spb.ru/edu/recommendations/method-referat-2005.phtml
2.
Реферат (выбор темы, структура). [Электронный ресурс]. Режим доступа:
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-24860/
3.
Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
4.
MathCAD. Встроенные функции, позволяющие проводить расчеты в матричной
форме.
13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного
обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).
ПАКЕТЫ ПРИКЛАДНЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫХ ПРОГРАММ (ПППП)
1. Microsoft Excel. Встроенные математические функции.
2. Microsoft Word. Встроенный редактор формул.
3. Microsoft PowerPoint.
В организации учебного процесса необходимыми являются средства, обеспечивающие аудиовизуальное восприятие учебного материала (специализированное демонстрационное оборудование):
 доска и мел (или более современные аналоги),
 слайдопроекторы или мультимедийные проекторы,
 компьютеры (для передачи, поиска, изучения материала, для контроля знаний и
др.).
 микрофон и соответствующие установки (для работы в больших аудиториях с многочисленными группами студентов).
14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).
Лекционные и практические занятия проводятся в специализированных аудиториях,
оснащённых мультимедийной техникой. Допускается использование интерактивной доски.
15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» изучается 1 семестр.
Для очной формы обучения каждый семестр разбивается на два модуля. Каждый модуль имеет определенную логическую завершенность по отношению к установленным
целям и результатам обучения.
При изучении дисциплины применяется рейтинговая технология обучения, которая
позволяет реализовать непрерывную и комплексную систему оценивания учебных достижений студентов. Непрерывность означает, что текущие оценки не усредняются, а непрерывно складываются на протяжении одного семестра. Комплексность означает учет всех
форм учебной и творческой работы студента в течение семестра.
Рейтинг направлен на повышение ритмичности и эффективности самостоятельной
работы студентов. Он основывается на заинтересованности каждого студента в получении
более высокой оценки знаний по дисциплине.
Принципы рейтинга: непрерывный контроль и получение более высокой оценки за
работу, выполненную в срок.
Рейтинг включает в себя три вида контроля: текущий, промежуточный и итоговый
по дисциплине. Текущий контроль – это опросы на семинарах по пройденным темам.
Промежуточный контроль – это проверка знаний студентов по разделу программы,
проводится в виде регулярных контрольных мероприятий. В разделе 10.3 данного УМК
приведены списки контрольных мероприятий обоих семестров вместе с примерными вариантами контрольных. Прорешивая указанные варианты, студент выявляет пробелы в
знаниях, которые имеет возможность восполнить, обращаясь с вопросами к преподавателю в консультационные часы. Образцовые решения основных задач контрольных мероприятий можно найти в учебных и методических изданиях раздела 12.2.
Помимо контрольных мероприятий студент имеет возможность написать один или
несколько рефератов, которые защищает на практических занятиях либо в консультационные часы. Темы рефератов и методические указания по их написанию можно найти в
разделе 9 данного УМК.
Итоговый контроль по дисциплине – это проверка уровня учебных достижений студентов по всей дисциплине за семестр. Форма контроля – итоговая работа, содержащая
задания по всем разделам семестра.
По всем трем формам контроля студент имеет возможность набрать до 100 баллов
включительно. Полученное суммарное количество баллов в конце каждого семестра переводится в оценку. Шкала перевода баллов и процедура проведения зачета приведены в
разделе 10.2.
Успешное освоение дисциплины невозможно без непрерывной самостоятельной работы. В течение семестра необходимо не только изучать лекционный материал и готовиться к контрольным мероприятиям и устным опросам, но и решать практические задания. Результаты решения задач, а также возникшие при решении трудности студент может
обсудить с преподавателем на практическом занятии либо в консультационные часы.