Лекция 2 Принятие решений на основе метода анализа иерархий (МАИ)

Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений
Лекция 2
Принятие решений на основе метода анализа иерархий (МАИ)
Иерархическое представление проблемы.
Важным требованием, обеспечивающим обоснованность применения
метода, является квалифицированность экспертов, принимающих участие в
создании структуры модели принятия решения, подготовке данных и в
интерпретации результатов, т.е. их способность давать правильную
непротиворечивую информацию. Во многом обоснованность решения,
принятого с помощью иерархического анализа проблемы, связана:
1) с полнотой учета факторов, определяющих рейтинг решений,
2) с полнотой учета связей между целью рейтингования, факторами и
возможными решениями,
3) адекватностью формулировок критериев для парных сравнений тем
целям, которые преследуются для построения модели.
Модели, основанные на строгом иерархическом принципе, являются
полилинейными и предполагают использование взвешенного суммирования
для вычисления приоритетов альтернатив. При этом взаимная зависимость
однотипных факторов, от которых зависят приоритеты решений, друг от друга
выясняется или путем парных сравнений или не учитывается вовсе (т.е.
факторы в модели считаются независимыми). Таким образом, если
учитываются сильно коррелирующие факторы, то соответствующая модель
должна как минимум иметь обратные связи. Учет обратных связей позволяет
установить опосредованные связи между однотипными факторами (через
факторы других типов). Если в реальной ситуации имеются существенно
нелинейные взаимодействия между компонентами задачи, то аддитивный
принцип расчета рейтинга, принятый в методе анализа иерархий может
приводить к ошибкам.
Метод наиболее подходит для тех случаев, когда основная часть данных
основана на предпочтениях лица, принимающего решения.
Результаты, полученные с помощью иерархических моделей (без
обратных связей), являются статичными. Метод не приспособлен для
моделирования произвольных динамических процессов. В частности, в рамках
метода нет явных средств для моделирования «запаздывания», при котором
действия разных факторов распространяются с разными скоростями.
Сбор данных и минимизация содержащихся в них противоречий может
подчас производиться долго. При этом может оказаться, что в наборе данных
неявно учитывается их разброс по времени. Это обстоятельство может вести к
искажению результатов при моделировании быстро меняющихся ситуаций.
Метод дает более реалистичные результаты при моделировании медленно
меняющихся ситуаций, для принятия стратегических решений.
Рейтинг возможных решений должен иметь малую чувствительность к
несущественным изменениям данных или структуры модели.
Синтез приоритетов на иерархии и оценка ее однородности.
Иерархический синтез
Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений
Иерархический синтез используется для взвешивания собственных
векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов),
имеющихся в иерархии, а также для вычисления суммы по всем
соответствующим
взвешенным
компонентам
собственных
векторов
нижележащего уровня иерархии.
Ш а г 1. Определяются векторы приоритетов альтернатив
Wj(Eij)
относительно элементов Eij предпоследнего уровня иерархии (i = S). Здесь
через Eij обозначены элементы иерархии, причем верхний индекс i указывает
уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне.
Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив относительно
уровня иерархии S осуществляется по итерационному алгоритму. В результате
определяется множество векторов WSj .
Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных
сравнений собственно элементов Eij. Данные матрицы построены таким
образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного
иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с
которыми они непосредственно связаны.
Шаг
3.
Осуществляется
собственно
иерархический
синтез,
заключающийся в последовательном определении векторов приоритетов
альтернатив относительно элементов Еij находящихся на всех иерархических
уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы ЕSj. Вычисление
векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним
с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным
уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих
векторов и матриц.
Симплекс-метод.
Пусть задана целевая функция Z  2x1  x2  max . , удовл. огр.:
 x1  2 x2  3,

3x1  x2  3,
 x , x  0.
 1 2
Требуется найти оптимальное решение.
Введем дополнительные переменные в левые части неравенства x3 и x4.
Запишем ограничения в виде:
 x1  2 x2  x3  3,

3x1  x2  x4  3.
Целевая функция Z для приведения задачи к стандартному виду
запишется так:
Z  2x1  x2  0.
Построение первой симплекс-таблицы.
Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений
Симплекс-таблица составляется из коэффициентов при x1, x2, x3, x4 и
чисел, стоящих в правых частях уравнений-ограничений задачи: в первой
строке записываются элементы первого уравнения, во второй – второго. В
последней строке симплекс-таблицы записываются коэффициенты и правая
часть целевой функции. Таким образом, симплекс-таблица содержит две строки
коэффициентов (по числу ограничений задачи) и строку коэффициентов
целевой функции. В табл. 1 приведена первая симплекс-таблица. Число
столбцов в ней равно числу переменных задачи плюс один столбец правых
частей (b):
Таблица 1
x1
x2
x3
x4
b
1
2
1
0
3
3
1
0
1
3
-2
-1
0
0
0
Переменные, для которых столбцы коэффициентов состоят из одной
единицы и нулей, называются базисными. В приведенном примере x3 и x4 базисные переменные. Число базисных переменных равно числу ограничений
задачи и не меняется при симплекс-преобразовании. Остальные переменные
называются свободными (x1 и x2).
Симплекс-таблица определяет частное решение системы уравненийограничений:
 x1  2 x2  x3  3,

3x1  x2  x4  3,
при котором свободные переменные равны нулю (x 1=0, x2=0), а базисные
переменные равны правым частям соответствующих строк (x3=3, x4=3).
Значение целевой функции Z всегда равно числу, стоящему в правом
нижнем углу таблицы (Z=2*0+1*0=0). Первая симплекс-таблица соответствует
начальному решению задачи (х1=0, х2=0, x3=3, x4=3, Z=0).
В качестве разрешающего столбца берутся столбцы, у которых
коэффициенты в строке целевой функции являются отрицательными и среди
них выбирается минимальное значение. Если в данной симплекс-таблице
строка целевой функции не содержат отрицательных коэффициентов, то
решение задачи закончено и симплекс-таблица определяет решение задачи, при
котором целевая функция Z принимает максимальное значение.
Разрешающая строка определяется по отношениям коэффициентов
столбца b к соответствующим коэффициентам разрешающего столбца.
Разрешающей будет строка, для которой это отношение минимально. При, этом
Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений
для нулевых и отрицательных коэффициентов разрешающего столбца
отношения не вычисляются.
Для первой симплекс-таблицы разрешающим столбцом является первый
столбец (свободная переменная x1 будет преобразована в базисную). Среди
отношений коэффициентов столбца b к коэффициентам разрешающего
столбца: 3/1 и 3/3 минимальным будет отношение 3/3: разрешающей строкой
будет вторая строка (базисная переменная x4 будет преобразована в
свободную). На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки
находится разрешающий элемент. В табл. 2 разрешающий элемент –
заштрихован.
Таблица 2
x1
x2
x3
x4
b
1
2
1
0
3
3
1
0
1
3
-2
-1
0
0
0
Задача симплекс преобразования состоит в том, чтобы на месте
разрешающего элемента получить единицу, а все остальные элементы
разрешающего столбца сделать нулевыми.
При этом допускается выполнение только двух операций со строками
симплекс-таблицы:
а) разрешающую строку можно делить (умножать) на любое число;
б) из любой строки можно вычитать элементы разрешающей строки или к
любой строке можно прибавлять элементы разрешающей строки.
Выполним преобразование первой симплекс-таблицы.
1) Делим элементы разрешающей строки на 3. Результат преобразования
представлен в табл. 4.
Таблица 3
x1
x2
x3
x4
b
1
2
1
0
3
1
1/3
0
1/3
1
-2
-1
0
0
0
2) Из элементов первый строки вычитаем
(разрешающей) строки. Результат представлен в табл. 5.
x1
0
x2
5/3
x3
1
x4
-1/3
элементы
второй
Таблица 4
b
2
Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений
1
-2
1/3
-1
0
0
1/3
0
1
0
3) К элементам третьей строки прибавляем элементы разрешающей
строки, предварительно умножив их на два. Получим вторую симплекстаблицу, которая представлена в табл. 6.
Таблица 5
x1
x2
x3
x4
b
0
5/3
1
-1/3
2
1
1/3
0
1/3
1
0
-1/3
0
2/3
2
Преобразование закончено. Полученной симплекс-таблице соответствует
следующее решение:
 базисные переменные: x1=1, x3=2;
 свободные переменные: x2=0, x4=0.
Так как в строке коэффициентов целевой функции есть отрицательный
коэффициент (-1/3 во втором столбце), то преобразование продолжается.
Второй столбец является разрешающим (свободная переменная x2 переводится
2
6

в базисную), минимальным среди отношений: 5 / 3 5
1
3
и 1/ 3
является
первое число. Следовательно, разрешающей строкой является первая строка
(базисная переменная x3 переводится в свободную). В табл. 7 приведен
полученный разрешающий элемент для второй симплекс-таблицы.
Таблица 6
x1
0
1
0
x2
5/3
1/3
-1/3
x3
1
0
0
x4
-1/3
1/3
2/3
b
2
1
2
Выполнив симплекс-преобразование, получим следующую симплекстаблицу – табл. 8.
Таблица 7
x1
0
1
x2
1
0
x3
3/5
0
x4
-1/5
1/3
b
6/5
3/5
Математические и инструментальные методы поддержки принятия решений
0
0
1/5
3/5
12/5
Так как в строке коэффициентов целевой функции нет отрицательных,
решение задачи закончено.
Оптимальное решение имеет вид:
 базисные переменные: x1*=3/5=0,6; x2*=6/5=1,2;
 свободные переменные: x3*=0; x4*=0.
Точка с координатами x1*=0,6 и x2*=1,2.
Максимальное значение дохода (целевой функции):
Z = 12/5 = 2.4.