Министерство культуры Российской Федерации Алтайский филиал федерального государственного образовательного

Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность:080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»
Барнаул 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
АННОТАЦИЯ ......................................................................................................................... 3
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА .................................................................................................... 4
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА .............................................. 9
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ........................................................................ 16
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ ........................................................................ 30
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ ............................................................... 32
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ (ЗАЧЕТНЫЙ) ТЕСТ.............................................................. 35
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ
ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ .......................................................................................................... 39
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 41
2
АННОТАЦИЯ
1. Минимальные требования к содержанию дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика: вероятности, случайные
процессы, статистическое оценивание и проверка гипотез, статистические методы
обработки экспериментальных данных.
Особенности статистического анализа количественных и качественных
показателей. Методы шкалирования при обработке качественных признаков. Проблема
размерности в многомерных методах исследования. Многомерные методы оценивания
и статистического сравнения.
Многомерный статистический анализ. Множественный корреляционнорегрессионный анализ. Компонентный анализ. Факторный анализ. Кластер-анализ.
Классификация без обучения. Дискриминантный анализ. Классификация с обучением.
Канонические корреляции. Множественный ковариационный анализ.
Современные пакеты прикладных программ многомерного статистического
анализа. Применение многомерных статистических методов в социальноэкономических исследованиях.
2. Взаимосвязь дисциплины с другими дисциплинами учебного плана
специальности (сетов в ГОС ВПО).
Курс теории вероятностей и математической статистики тесно взаимосвязан с
вузовскими курсами: математический анализ, алгебра.
3. Перечень элементов учебно-методического комплекса:
 Нормативный блок: аннотация, рабочая учебная программа дисциплины.
 Теоретический блок: содержание лекций.
 Практический блок: планы и структура практических занятий.
 Блок оценочно-диагностических средств и контрольно-измерительных
материалов: вопросы и задания для самостоятельной работы, перечень вопросов
к экзамену, образец экзаменационного билета, образец практического задания к
экзамену/зачету, образец контрольной работы с методикой решения и ответами.
 Методический блок: методические рекомендации по дисциплине для
преподавателей, методические рекомендации по дисциплине для студентов.
4. Список авторов элементов УМК: Холодков А.В., к.ф.-м..н., доцент
5. Нормативные документы,
разработке УМК дисциплины:
- ГОС ВПО по специальности.
требования
которых
учитывались
при
3
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность:080801.65- «Прикладная информатика (в менеджменте)»
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
Курс обучения
II
Семестр
3/4
Всего часов по учебному плану:
В том числе по формам обучения:
- лекции
- практика
- самостоятельная работа
Формы итогового контроля знаний:
- экзамен
112
очная – 112
36
36
40
IV сем.
Барнаул 2010
4
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс теории вероятностей и математической статистики входит в цикл
фундаментальных дисциплин, изучение которых является обязательным для студентов
высших учебных заведений.
Содержание дисциплины направлено на повышение уровня математической
подготовки студентов и развитие исследовательской компетенции будущих
специалистов.
Методы математико-статистического анализа, имитационного моделирования,
теории выбора и принятия решения находят применение при решении разнообразных
прикладных проблем.
Широко внедряется вычислительная техника, благодаря которой существенно
расширяются возможности успешного применения теории вероятностей и
математической статистики при решении конкретных задач.
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Основной целью является продолжение фундаментальной математической
подготовки как основы будущей профессиональной деятельности; формирование и
развитие личности будущего специалиста, повышение его интеллектуального
потенциала.
Задачи:
-повышение уровня фундаментальной математической подготовки студентов;
-усиление прикладной направленности курса теории вероятностей и
математической статистики;
-развитие алгоритмического и логического мышления,
-формирование умений самостоятельно расширять и углублять математические
знания;
- овладение студентами основными понятиями, составляющими базу
стохастической подготовки учащихся;
- овладение студентами методами обработки экспериментальных данных.
Данная программа составлена в полном соответствии с государственным
стандартом и согласована с комплексом других программ для данной специальности.
Она имеет типовую структуру. Кроме того, приведен примерный список контрольных
вопросов для проведения экзаменов.
Обучение студентов математике по данной программе организуется в форме
лекционных и практических занятий. Самостоятельная работа студентов заключается в
изучении соответствующих учебных пособий и выполнении индивидуальных заданий с
последующим контролем преподавателя. Предполагается, что некоторые задания
студенты могут выполнять на персональных компьютерах.
2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины
1. Требования к исходному уровню подготовки: для усвоения материала
курса необходимо, чтобы студенты имели базовые знания по высшей математике в
объеме вузовского курса.
2. Требования к знаниям, умениям и навыкам, приобретенным в результате
изучения дисциплины:
В результате изучения курса теории вероятностей студент должен знать
основные понятия и теоремы теории вероятностей и применять их при решении задач;
овладеть основными методами обработки и анализа статистических данных; иметь
5
представление о применении теории вероятностей в различных областях знания;
уметь применять эти понятия для моделирования простейших производственных
ситуаций.
3. Требования к
дисциплины.
обязательному
объему
учебных
часов
на
Вид учебной работы
Всего
часов
Общая трудоемкость дисциплины
Аудиторные занятия
Лекции
Практические занятия (ПЗ)
Семинары (С)
Лабораторные занятия (ЛЗ)
Самостоятельная работа
Вид итогового контроля (зачет, экзамен)
112
72
Семестры
III
IV
72
72
72
72
36
36
36
36
40
20
изучение
20
Экз.
4. Содержание дисциплины.
4.1. Разделы дисциплины и виды занятий
№ n/n
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Раздел дисциплины
2
Раздел 1.Теория вероятностей
Различные определения вероятности
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Формула полной вероятности, формула Байеса
Повторные независимые испытания
Случайные величины и их характеристики
Свойства математического ожидания и дисперсии
Основные законы распределения
Многомерные случайные величины
Закон больших чисел
Всего за семестр
Раздел 2. Математическая статистика
Вариационные ряды и их характеристики
Основы выборочного метода
Проверка статистических гипотез
Дисперсионный анализ
Корреляционный анализ
Регрессионный анализ
Всего за семестр
Всего за курс
Лекции
3
ПЗ
4
4
2
2
2
4
2
2
2
2
22
4
2
2
2
4
2
2
2
2
22
2
2
4
2
2
2
14
36
2
2
4
2
2
2
14
36
6
4.2. Содержание разделов дисциплины
1. Теория вероятностей
1. Различные определения вероятности.
Классификация
событий,
Классическое
определение
вероятности,
Статистическое определение вероятности, Геометрическое определение вероятности,
Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над
событиями.
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения
вероятностей. Независимые события.
3. Формула полной вероятности, формула Байеса.
4. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра–
Лапласа.
5. Случайные величины и их характеристики.
Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание
дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины.
Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин.
Асимметрия и эксцесс.
6. Свойства математического ожидания и дисперсии.
7. Основные законы распределения.
Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Геометрическое
распределение.
Равномерный
закон
распределения.
Показательный
(экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения.
Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных
величин.
8. Многомерные случайные величины.
Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция
распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной
случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики
двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные
величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Двумерный нормальный закон
распределения. Функция случайных величин. Композиция законов распределения.
9. Закон больших чисел. Неравенство Маркова (лемма Чебышева). Неравенство
Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема.
2. Математическая статистика
10. Вариационные ряды и их характеристики.
Средние величины. Показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней
арифметической и дисперсии. Начальные н центральные моменты вариационного ряда.
11. Основы выборочного метода.
Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Оценка
параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. Понятие
интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки.
Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.
12. Проверка статистических гипотез.
7
Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее
проверки. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей.
Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. Проверка
гипотез о числовых значениях параметров. Построение теоретического закона
распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения.
Проверка гипотез об однородности выборок.
13. Дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном
анализе.
14. Корреляционный анализ.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная
регрессия. Коэффициент корреляции. Основные положения корреляционного анализа.
Двумерная модель. Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи.
Корреляционное отношение и индекс корреляции. Понятие о многомерном
корреляционном анализе.
15. Регрессионный анализ.
Основные положения регрессионного анализа. Парная регрессионная модель.
Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Нелинейная
регрессия. Множественный регрессионный анализ. Проверка значимости уравнения
множественной регрессии.
5.1. Рекомендуемая литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие
для студентов вузов. – М.: Высш. шк., 2001. – 470 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. Учеб. пособие для студентов вузов. – М.: Высш. шк.,
2002. – 400 с.
3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник для
вузов. – М. ЮНИТИ-ДАНА. – 2001. – 543 с.
6. Материально-техническое обеспечение дисциплины.
1. Компьютерные классы.
8. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.
Контрольные работы – одна в семестр.
Экзамены.
Программа составлена в соответствии с Государственным образовательным
стандартом высшего профессионального образования по направлению подготовки
080807.65 – «Прикладная информатика».
Программу составили:
Холодков А. В., к.ф.-м.н, доцент
Программа одобрена и утверждена на заседании кафедры прикладной информатики
Протокол № 7 от 2010 г.
Заведующий кафедрой: ____________ Ю.И. Колюжов
8
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)».
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КУРСА
Ведущий лектор
Холодков А.В., к.ф.-м. н., доцент
Барнаул 2010
9
СТРУКТУРА КОНСПЕКТА ЛЕКЦИЙ
Тема 1. Различные определения вероятности.
Классификация
событий,
Классическое
определение
вероятности,
Статистическое определение вероятности, Геометрическое определение вероятности,
Элементы комбинаторики. Непосредственное вычисление вероятностей. Действия над
событиями.
Тема 2. Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность события. Теорема умножения
вероятностей. Независимые события.
Тема 3. Формула полной вероятности, формула Байеса.
Тема 4. Повторные независимые испытания.
Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра–
Лапласа.
Тема 5. Случайные величины и их характеристики.
Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
Математические операции над случайными величинами. Математическое ожидание
дискретной случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины.
Функция распределения случайной величины. Непрерывные случайные величины.
Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин.
Асимметрия и эксцесс.
Тема 6. Свойства математического ожидания и дисперсии.
Тема 7. Основные законы распределения.
Биномиальный закон распределения. Закон распределения Пуассона. Геометрическое
распределение.
Равномерный
закон
распределения.
Показательный
(экспоненциальный) закон распределения. Нормальный закон распределения.
Распределение некоторых случайных величин, представляющих функции нормальных
величин.
Тема 8. Многомерные случайные величины.
Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция
распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной
случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики
двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные
величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Двумерный нормальный закон
распределения. Функция случайных величин. Композиция законов распределения.
Тема 9. Закон больших чисел. Неравенство Маркова (лемма Чебышева).
Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная
предельная теорема.
2. Математическая статистика
Тема 10. Вариационные ряды и их характеристики.
Средние величины. Показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней
арифметической и дисперсии. Начальные н центральные моменты вариационного ряда.
Тема 11. Основы выборочного метода.
Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Оценка
параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. Понятие
интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки.
Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке.
10
Тема 12. Проверка статистических гипотез.
Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее
проверки. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей.
Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. Проверка
гипотез о числовых значениях параметров. Построение теоретического закона
распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения.
Проверка гипотез об однородности выборок.
Тема 13. Дисперсионный анализ.
Однофакторный дисперсионный анализ. Понятие о двухфакторном дисперсионном
анализе.
Тема 14. Корреляционный анализ.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Линейная парная
регрессия. Коэффициент корреляции. Основные положения корреляционного анализа.
Двумерная модель. Проверка значимости и интервальная оценка параметров связи.
Корреляционное отношение и индекс корреляции. Понятие о многомерном
корреляционном анализе.
Тема 15. Регрессионный анализ.
Основные положения регрессионного анализа. Парная регрессионная модель.
Интервальная оценка и проверка значимости уравнения регрессии. Нелинейная
регрессия. Множественный регрессионный анализ. Проверка значимости уравнения
множественной регрессии.
11
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)».
ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ
Барнаул 2010
16
2 курс, 3 семестр
Контрольная работа № 1
Теория вероятностей
Вариант 1.
1. Три стрелка стреляют в цель независимо друг от друга. Первый стрелок попадает в
цель с вероятностью 0,6, второй – с вероятностью 0,7, а третий – с вероятностью 0,75.
Найти вероятность хотя бы одного попадания в цель, если каждый стрелок сделает по
одному выстрелу.
2. Ожидается прибытие трех судов с фруктами. Статистика показывает, что 1% судов
привозит товар, непригодный к пользованию. Найти вероятность того, что
а) хотя бы два судна привезут качественный товар;
б) ни одно судно не привезет качественный товар.
3. В среднем 5% студентов финансово-кредитного факультета сдают экзамен по
высшей математике на «отлично». Найти вероятность того, что из 100 наудачу выбранных
студентов этого факультета сдадут экзамен по математике на «отлично»:
а) два студента;
б) не менее пяти студентов.
4. Законы распределения случайных величин X и Y заданы таблицами:
Х:
xi
pi
0
?
1
0,4
Y:
yi
pi
-1
0,3
2
?
3
0,5
Найти:
а) вероятности P(X = 0) и P(Y = 2);
б) закон распределения случайной величины Z = X – Y;
в) дисперсию D(Z).
5. Объем продаж в течение месяца – это случайная величина, подчиненная
нормальному закону распределения с параметрами а = 500 и  = 120. Найти вероятность
того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от 480 до 600.
Вариант 2.
1. Среди 20 одинаковых по внешнему виду тетрадей 16 в клетку. Наудачу взяли 4
тетради. Найти вероятность того, что из них
а) две тетради в клетку;
б) хотя бы одна тетрадь в клетку.
2. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий
необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,997 отклонение доли изделий первого сорта
среди отобранных от 0,85 не превосходило 0,01 (по абсолютной величине).
17
3. Из поступивших в магазин телефонов третья часть белого цвета, однако,
определить цвет можно только после вскрытия упаковки. Найти вероятность того, что из
шести распакованных телефонов
а) два аппарата белого цвета;
б) хотя бы один аппарат белого цвета.
4. Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:
xi
pi
-4
0,1
-1
0,2
1
0,1
3
0,1
4
0,4
6
0,1
Необходимо:
а) составить законы распределения случайных величин Y = 2X и Z = X2 ;
б) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y;
в) построить график функции распределения случайной величины Z.
5. Суточный расход воды в населенном пункте является случайной величиной,
среднее квадратическое отклонение которой равно 10000 л. Оценить вероятность того, что
расход воды в этом пункте в течение дня отклонится от математического ожидания не более
чем на 25000 л (по абсолютной величине).
Образец выполнения контрольной работы №1
Вариант 1.
1. Решение.
Событие Аi – «i – й стрелок попал в цель», противоположное событие Ai – «i – й
стрелок не попал в цель», i = 1, 2, 3. Вероятности этих событий
Р(А1) = 0,6, Р( A1 ) = 1 - Р(А1) = 1 - 0,6 = 0,4;
Р(А2) = 0,7, Р( A2 ) = 1 - Р(А2) = 1 - 0,7 = 0,3;
Р(А3) = 0,75, Р( A3 ) = 1 - Р(А3) = 1 - 0,75 = 0,25.
Событие А - «хотя бы один стрелок попал в цель», противоположное событие A –
«ни один стрелок не попал в цель».
Событие A можно записать так A  A1  A2  A3 . Результаты выстрела любого из
стрелков не зависят от результатов выстрелов других стрелков. Поэтому вероятность
события A равна Р( A ) = Р( A1  A2  A3 ) = P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  0,4 ∙ 0,3 ∙ 0,25 = 0,03.
Искомая вероятность события А равна Р(А) = 1 - Р( A ) = 1 - 0,03 = 0,97.
Ответ: Вероятность хотя бы одного попадания в цель равна 0,97.
2. Решение.
Событие А – «судно привезет качественный товар» – происходит с вероятностью р =
Р(А) = (100 – 1)/100 = 0,99; вероятность противоположного события A – «судно не привезет
качественный товар» q = Р( A ) = 0,01. Число испытаний n = 3.
Применим формулу Бернулли: Pn (k )  C kn p k q n k .
а) Событие В - «хотя бы два судна привезут качественный товар» означает, что либо
два судна из трех привезут качественный товар либо все три судна привезут качественный
товар. Вероятность события В равна Р(В) = Р3(k  2) = Р3(2) + Р3(3).
P3 (2)  C 32 p 2 q1  3∙ 0,992∙ 0,011 = 0,029403;
18
P3 (3)  C 33 p 3 q 0  1∙ 0,993∙ 0,010 = 0,970299;
Р(В) = Р3(k  2) = 0,029403 + 0,970299 = 0,999702.
б) Событие С - «ни одно судно не привезет качественный товар». Вероятность
события С равна Р(С) = Р3(0)
Р(С) = P3 (0)  C 03 p 0 q 3  1∙ 0,990∙ 0,013 = 0,000001.
Ответ:
а) вероятность того, что хотя бы два судна привезут качественный товар, равна
0,999702;
б) вероятность того, что ни одно судно не привезет качественный товар, равна
0,000001.
3. Решение.
Событие А – «студент сдаст экзамен по математике на «отлично»» – происходит с
вероятностью р = Р(А) = 0,05; q = 1 - р = 1- 0,05 = 0,95. Число испытаний n = 100.
Так как вероятность р события А мала, число испытаний n достаточно велико и
np = 100 ∙ 0,05 = 5 < 10, то можно применить асимптотическую формулу Пуассона:
k
Pn (k )  e  ,
k!
-
-5
где  = np = 5; e = e  0,00674.
а) Событие В – «из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по математике
на «отлично» два студента». Его вероятность
2
52
Р(В) = Р100(2) = e   = e 5  12,50,00674  0,0842.
2!
2
б) Событие С – «из 100 студентов сдадут экзамен по математике на «отлично» не
менее пяти студентов». Его вероятность равна
Р(С) = Р100(k  5) = 1 – Р100(k  4) = 1 – (Р100(0) + Р100(1) + Р100(2) + Р100(3) + Р100(4)).
5 0
51
52
53
54 
Р(С)  1   e 5  e 5  e 5  e 5  e 5   1 – e -5  (1 + 5 + 12,5 + 20,8333 + 26,0417) 
1!
2!
3!
4! 
 0!
 1 – 0,0067465,375  0,5594.
Ответ:
а) вероятность того, что из 100 наудачу выбранных студентов сдадут экзамен по
математике на «отлично» два студента, приближенно равна 0,0842;
б) вероятность того, что из 100 студентов сдадут экзамен по математике на
«отлично» не менее пяти студентов, приближенно равна 0,5594.
4. Решение.
а) Так как для случайной величины X должно выполняться условие p1 + p2 = 1, то
p1 = P(X = 0) = 1 – p2 = 1 – 0,4 = 0,6.
Так как для случайной величины Y должно выполняться условие p1 + p2 + p3 = 1, то
p2 = P(Y = 2) = 1 – (p1+ p3) = 1 – (0,3 + 0,5) = 0,2.
Получаем законы распределения случайной величины X и случайной величины Y:
Х:
xi
pi
0
0,6
1
0,4
Y:
yi
pi
-1
0,3
2
0,2
3
0,5
б) Найдем значения случайной величины Z.
19
Z = -3 при X = 0 и Y = 3
P(Z = -3) = P(X = 0)  P(Y = 3) = 0,60,5 = 0,3.
Z = -2 при (X = 0 и Y = 2) или (X = 1 и Y = 3)
P(Z = -2) = P(X = 0)  P(Y = 2) + P(X = 1)  P(Y = 3) = 0,60,2 + 0,40,5 = 0,32.
Z = -1 при (X = 1 и Y = 2)
P(Z = -2) = P(X = 1)  P(Y = 2) = 0,40,2 = 0,08.
Z = 1 при (X = 0 и Y = -1)
P(Z = 1) = P(X = 0)  P(Y = -1) = 0,60,3 = 0,18.
Z = 2 при (X = 1 и Y = -1)
P(Z = 2) = P(X = 1)  P(Y = -1) = 0,40,3 = 0,12.
Проверим условие p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1
0,3 + 0,32 + 0,08 + 0,18 + 0,12 = 1.
Получаем закон распределения случайной величины Z:
zi
pi
-3
0,30
-2
0,32
-1
0,08
1
0,18
2
0,12
Проверим условие p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1
0,30 + 0,32 + 0,08 + 0,18 + 0,12 = 1.
в) Математическое ожидание
М(Z) = z1р1 + z2р2 + z3р3 + z4р4 + z5р5 =
= - 30,3 – 20,32 – 10,08 + 10,18 + 20,12 = -1,2;
дисперсия D(Z) = М(Z2) – М2(Z) =
= (- 3) 20,3 + (-2) 20,32 + (-1) 20,08 + 120,18 + 220,12 – (-1,2) 2 = 3,28.
5. Решение.
Вероятность того, случайная величина Х, подчиненная нормальному закону
распределения, примет значения, принадлежащие интервалу [х1; х2], найдем по формуле
1 x a
 x  a 
P (x1  X  x2)  Ф 2
  Ф 1
 .
2   
  
1   600  500 
 480  500 
Ф
  Ф
  0,5  (Ф(0,83) – Ф(-0,17)) 

2   120 
 120 
 0,5  (Ф(0,83) + Ф(0,17))  0,5  (0,5935 + 0,1350))  0,3643.
x
2
2
По таблице значений функции Лапласа Ф( x ) 
e z / 2dz находим значения

2 0
Ф(0,83)  0,5935; Ф(0,17))  0,1350.
Ответ: вероятность того, что объем товара в данном месяце заключен в границах от
480 до 600, приближенно равна 0,3643.
P (480  X  600) 
20
2 курс, 4 семестр
Контрольная работа № 2
«Математическая статистика»
Вариант 1
1. С целью определения средней суммы вкладов в сберегательном банке, имеющем
2000 вкладчиков, по схеме собственно-случайной бесповторной выборки проведено
обследование 100 вкладов. Результаты обследования представлены в таблице:
Сумма вклада,
тыс. руб.
50 - 150
150 - 250
250 - 350
350 - 450
450 - 550
Итого
Число вкладов
14
24
35
20
7
100
Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,9488 находится средняя сумма всех вкладов
в сберегательном банке; б) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для
средней суммы вкладов в сберегательном банке (см. п. а)) можно гарантировать с
вероятностью 0,9; в) вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада
больше 250 тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1
(по абсолютной величине).
2. По данным задачи 1, используя критерий 2 - Пирсона, при уровне значимости α =
0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – сумма вклада – распределена по
нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического
распределения и соответствующую нормальную кривую.
3. Распределение 250 пар, вступивших в брак, по возрасту мужчин Х (лет) и женщин
Y (лет) представлено в таблице:
y
x
15 - 25
25 - 35
35 - 45
45 - 55
55 - 65
65 - 75
Итого:
15 - 25
25 - 35
35 - 45
45 - 55
7
52
1
3
110
14
1
13
23
4
1
2
6
3
128
40
12
60
55 - 65
Итого:
1
6
3
10
10
176
40
12
9
3
250
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние x j è yi , построить эмпирические линии регрессии.
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная
корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики
на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать содержательную
интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне
значимости α = 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить
средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет.
21
Образец выполнения контрольной работы №2
Вариант 1.
1. Решение.
От интервального распределения перейдем к дискретному, взяв в качестве представителя
интервала его середину ~
xi .
Для расчета выборочной средней и выборочной дисперсии составим таблицу.
Сумма
вклада,
тыс. руб.
Количество
вкладов, ni
Середина,
50 - 150
14
150 - 250
2
xi  C
k
100
-200
-2
-28
56
24
200
-100
-1
-24
24
250 - 350
35
300
0
0
0
0
350 - 450
20
400
100
1
20
20
450 - 550
7
500
200
2
14
28
Суммы
100
-18
128
хi
xi  C
 ni
k
 xi  C 

  ni
 k 
хi - C
С = 300 - середина интервала с наибольшей частотой;
k = 100 - величина интервала.
m
xi  C
 ni

k
i 1
Выборочное среднее найдем по формуле x 
k C
n
 18
xâ 
 100  300  282 тыс. руб.
100
Выборочная дисперсия
2
m
 xi  C 

  ni

k 
2
2
i 1 
 
 k 2  x  C  ,
n
128
2 
 100 2  ( 282  300) 2  12476.
100
Выборочное среднее квадратическое отклонение
 â   â2  12476  111,696.
а) Средняя квадратическая ошибка среднего значения признака для бесповторной выборки
 в2 
n
 1   .
n  N
Число всех вкладов N = 2000, объем выборки n = 100
 xв 
12476 
100 
 1 
  118,5520  10,8868.
100  2000 
Вероятности β = 0,9488 соответствует t = 1,95, так как Ф(1,95) = 0,9488.
Предельная ошибка   t   xâ  1,95  10,8868  21,2270.
 xâ 
Нижняя граница xв    282 - 21,227 = 260,773,
верхняя граница xв    282 + 21,227 = 303,227.
С вероятностью 0,9488 средняя сумма всех вкладов в сберегательном банке
заключена в границах от 260,773 до 303,227 тыс. руб.
22
б) Вероятности Р = 0,9 соответствует t = 1,64, так как Ф(1,64) = 0,9.
Число вкладчиков, которых надо обследовать для повторной выборки
t 2 2 1,64 2  12476
nx  2 â 
 74,912.

21,227 2
Для бесповторной выборки
n N
74,912  2000
n x  x

 72,207. Округляем до большего целого 73.
n x  N 74,912  2000
Чтобы с вероятностью 0,9 гарантировать те же границы для средней суммы всех
вкладов в сберегательном банке, что и в п. а) объем бесповторной выборки должен быть
равным 73 вкладам.
в) Выборочная доля вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250 тыс. руб., равна
35  20  7

 0,62.
100
Средняя квадратическая ошибка доли для бесповторной выборки
 (1   ) 
0,62  (1  0,62) 
100 
n
 1   
 1 
  0,002238  0,0473  0,047.
n
N
100

 2000 

Предельная ошибка Δ = 0,1. t 
 0,1 / 0,0473  2,11.
 xв
 ' 
Находим требуемую вероятность P = Ф(tβ) = Ф(2,11) = 0,9651
Вероятность того, что доля всех вкладчиков, у которых сумма вклада больше 250
тыс. руб., отличается от доли таких вкладчиков в выборке не более чем на 0,1(по
абсолютной величине), приближенно равна 0,9651.
2. Решение.
Проверяется гипотеза Н0: случайная величина Х – сумма вклада – распределена по
нормальному закону. Функция плотности вероятности и функция распределения имеют вид
( x a )2

1 1  xa
1
2
н ( x) 
e 2 , Fн ( x )     
 , где а,  - параметры распределения.
2 2   
 2
В качестве оценок этих параметров возьмем выборочное среднее значение и дисперсию.
a  x  282;  =  â   â2  12476  111,696.
( x  282) 2

1
1 1  x  282 
e 2 12476 и Fí ( x )     
Тогда  í ( x ) 
.
2 2  111,696 
111,696 2
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле
m
(ni  npi )2
2
 
, где
npi
i 1
m - число интервалов; ni - частота (эмпирическая); n - объем выборки; pi - теоретическая
вероятность попадания случайной величины в i-ый интервал; npi - теоретическая частота.
Вероятность pi попадания случайной величины Х в интервал
(xi ; xi+1 ) найдем по
формуле
pi = P (xi < X < xi+1) =
1  x a
 x  282 
 x  a  1   xi 1  282 
 Ô  i 1
  Ô i
 .
  Ô i
  Ô 
2   
   2   111,696 
 111,696 
p1  P(50  X  150) 
1   150  282 
 50  282 
Ô
  Ô
 

2   111,696 
 111,696 
= 0,5  (Ф(-1,18) - Ф(-2,08)) = 0,5  (-0,7620 + 0,9625) = 0,1002.
23
p2  P(150  X  250) 
1   250  282 
 150  282 
Ô
  Ô
 

2   111,696 
 111,696 
= 0,5  (Ф(-0,29) - Ф(-1,18)) = 0,5  (-0,2282 + 0,7620) = 0,2669.
p3  P(250  X  350) 
1   350  282 
 250  282 
Ô
  Ô
 

2   111,696 
 111,696 
= 0,5  (Ф(0,61) - Ф(-0,29)) = 0,5  (0,4581 + 0, 2282) = 0,3432.
p4  P(350  X  450) 
1   450  282 
 350  282 
Ô
  Ô
 

2   111,696 
 111,696 
= 0,5  (Ф(1,50) - Ф(0,61)) = 0,5  (0,8664 - 0,4581) = 0,2041.
p5  P(450  X  550 
1   550  282 
 450  282 
Ô
  Ô
 

2   111,696 
 111,696 
= 0,5  (Ф(2,40) - Ф(1,50)) = 0,5  (0,9836 - 0,8664) = 0,0586.
Для расчета составим вспомогательную таблицу
i
1
2
3
4
5
Интервал
(xi ; xi+1)
Эмпирические
частоты ni
Вероятность
pi
Теоретические
частоты npi
50 - 150
150 - 250
250 - 350
350 - 450
450 - 550
Суммы
14
24
35
20
7
100
0,1002
0,2669
0,3432
0,2041
0,0586
0,9730
10,020
26,690
34,320
20,410
5,860
97,300
ni - npi
(ni - npi)2
(ni - npi)2 / npi
3,980
-2,690
0,680
-0,410
1,140
15,8404
7,2361
0,4624
0,1681
1,2996
1,5809
0,2711
0,0135
0,0082
0,2218
2,0955
2
 набл
 2,0955.
Найдем по таблице критическое значение критерия  кр2  2,к , k = m – s – 1 , m = 5 - число
интервалов, s = 2 - число параметров распределения,  = 0,05 - уровень значимости, k = 5 2 - 1 = 2,  êð2   02,05;2 = 5,99.
2
Сравниваем наблюдаемое значение критерия с критическим  íàáë
  êð2
2,0955 < 5,99. Это означает, что наблюдаемое значение не попало в критическую область.
Поэтому гипотеза о нормальном распределении размера кредита согласуется с данными
выборки и должна быть принята.
Гистограмма - это совокупность прямоугольников, основаниями которых служат частичные
n
интервалы (xi; xi+1], а высота которых равна  i  i .
n  ki
ki = xi+1 - xi - длина частичного интервала, ki = 100, n  ki = 100  100 = 10000
14
35
20
24
 0,0014 ,  2 
 0,0024 ,  3 
 0,0035 ,  4 
 0,0020 ,
10000
10000
10000
10000
7
5 
 0,0007 .
10000
Для построения графика нормальной кривой отметим точки (xi; pi/k), где xi - середина
интервала, pi - вероятность попадания в интервал.
1 
Вершина при х = а = 282.
y max 
0,3989


0,3989
 0,0574.
111,696
24
p1 / k = 0,1002 / 100 = 0,0010
p3 / k = 0,3432 / 100 = 0,0034
p5 / k = 0,0586 / 100 = 0,0006
p2 / k = 0,2669 / 100 = 0,0027
p4 / k = 0,2041 / 100 = 0,0020
3. Решение.
По исходным данным составим корреляционную таблицу, где интервалы представлены
своими серединами.
yj
20
30
20
30
40
50
60
70
7
52
1
3
110
14
1
13
23
4
1
2
6
3
nj
60
128
40
12
xi
40
50
60
ni
1
6
3
10
10
176
40
12
9
3
250
t
1) Найдем групповые средние по Y по формуле y xi 
y n
j
j 1
n xi
ij
.
x1 = 20 y1  y x120  (20  7 + 30  3) / 10 = 230 / 10 = 23,000
x2 = 30 y2  y x 230  (20  52 + 30  110 + 40  13 + 50  1) / 176 = 4910 / 176 = 27,898
x3 = 40 y3  y x 340  (20  1 + 30  14 + 40  23 + 50  2) / 40 = 1460 / 40 = 36,500
x4 = 50 y4  y x 450  (30  1 + 40  4 + 50  6 + 60  1) / 12 = 550 / 12 = 45,833
x5 = 60 y5  y x 560  (50  3 + 60  6) / 9 = 510 / 9 = 56,667
x6 = 70 y6  y x 670  60  3 / 3 = 60,000
25
Составим таблицу 2.
Таблица 2
xi
yi
20
30
40
50
60
70
23,000
27,898
36,500
45,833
56,667
60,000
По точкам (хi; yi ) построим эмпирическую линию регрессии Y на X. Эти точки
расположены вблизи прямой с уравнением y = ax + b, где a и b неизвестные параметры и их
нужно определить.
m
Групповые средние по Х найдем по формуле x j 
xn
i 1
i
nj
ij
.
y1 = 20
x1  x y120  (20  7 + 30  52 + 40  1) / 60 = 1740 / 60 = 29,000
y2 = 30
x 2  x y 230  (20  3 + 30  110 + 40  14 + 50  1) / 128 = 3970 / 128 = 31,016
y3 = 40
x3  x y 340  (30  13 + 40  23 + 50  4) / 40 = 1510 / 40 = 37,750
y4 = 50
x 4  x y 450  (30  1 + 40  2 + 50  6 + 60  3) / 12 = 590 / 12 = 49,167
x5  x y 560  (50  1 + 60  6 + 70  3) / 10 = 620 / 10 = 62,000
y5 = 60
Составим таблицу 3
Таблица 3
xj
29,000
31,016
37,750
49,167
62,000
yj
20
30
40
50
60
По точкам ( x j ; yj) построим эмпирическую линию регрессии X на Y. Эти точки
расположены вблизи прямой с уравнением x = cy + d, где c и d неизвестные параметры и
их нужно определить.
Для получения уравнений прямых регрессий вычислим выборочные средние
t
m
x
 xi nxi
i 1
и y
y n
j 1
j
yj
.
n
n
20  10  30  176  40  40  50  12  60  9  70  3 8430
x

 33,72
250
250
20  60  30  128  40  40  50  12  60  10 7840
y

 31,36
250
250
Выборочные дисперсии находим по формулам  x2  x 2  x 2 и  y2  y 2  y 2
20 2  10  30 2  176  40 2  40  50 2  12  60 2  9  70 2  3 303500

 1214
250
250
 x2  1214 – 33,722 = 76,9616.
x2 
20 2  60  30 2  128  40 2  40  50 2  12  60 2  10 269200

 1076,8
250
250
 y2  1076,8 – 31,362 = 93,3504.
Вычислим средние квадратические отклонения
y2 
 x   x2  76,9616  8,7728;  y   y2  93,3504  9,6618.
26
m
Вычислим   xy  x  y по формуле  
t
 x  y
i 1 j 1
i
j
 nij
 x y.
n
 = (20  20  7 + 20  30  3 + 30  20  52 + 30  30  110 + 30  40  13 + 30  50  1 +
+ 40  20  1 + 40  30  14 + 40  40  23 + 40  50  2 + 50  30  1 + 50  40  4 +
+ 50  50  6 + 50  60  1 + 60  50  3 + 60  60  6 + 70  60  3) / 250 – 33,72  31,36 =
= 281000 / 250 – 1057,4592 = 1124 – 1057,4592 = 66,5408.
Вычислим коэффициенты регрессии по формулам

 66,5408 : 76,9616  0,8646  0,865;
 x2

 x / y  2  66,5408 : 93,3504  0,7128  0,713.
y
а) Составим уравнение регрессии X на Y x  x   x / y ( y  y )
x – 33,72 = 0,713  ( y – 31,36 ) или x = 0,713 y + 11,366.
Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (11,366; 0,00).
Уравнение регрессии X на Y показывает средний возраст мужчины, вступившего в брак с
женщиной возраста y.

Содержательный смысл коэффициента регрессии  x / y  2  0,713 состоит в том, что при
y
увеличении возраста женщины, вступающей в брак, на 1 год возраст супруга увеличивается
в среднем на 0,713 года.
Составим уравнение регрессии Y на X y  y   y / x ( x  x )
y/x 
y – 31,36 = 0,865  (x – 33,36) или y = 0,865 x + 2,206.
Прямую проведем через точки (33,72; 31,36) и (0,00; 2,206).
Уравнение регрессии Y на X показывает средний возраст женщины, вступившей в брак с
мужчиной возраста х.

Содержательный смысл коэффициента регрессии  y / x  2  0,865 состоит в том, что при
x
увеличении возраста мужчины, вступающего в брак, на 1 год возраст супруги
увеличивается в среднем на 0,865 года.
б) Коэффициент корреляции r 

66,5408

 0,7850.
 x y 8,7728  9,66181
Для проверки значимости коэффициента корреляции вычислим наблюдаемое значение
r n2
0,7850  250  2
t
; tíàáë 
 19,958.
2
1 r
1  0,78502
Критическое значение для уровня значимости α = 0,05 и числа степеней свободы k = n–2= =
250 -2 = 248 находим по таблице t1- 0,05;248 = t0,95;248 = 1,97.
Получили |tнабл| > tкр, так как 19,958 > 1,97.
Следовательно, коэффициент корреляции значимо отличается от нуля.
Коэффициент корреляции r = 0,7851 > 0 и попадает по абсолютной величине в интервал
0,7 - 0,99. Следовательно, между возрастом вступающих в брак мужчины (Х) и женщины
(Y) существует прямая сильная корреляционная связь. При увеличении (уменьшении)
значения одной величины соответственно увеличивается (уменьшается) среднее значение
другой.
в) Используем уравнение прямой регрессии Х на Y x = 0,713 y + 11,366.
При y = 30 х = 0,713  30 + 11,366 = 32,756.
Средний возраст мужчин, имеющих супруг в возрасте 30 лет, равен 32,756 лет.
27
Вариант 2
1. Для изучения структуры банков по размеру кредита из 3000 банков страны по
схеме собственно-случайной бесповторной выборки было отобрано 100. Распределение
банков по сумме выданных кредитов представлено в таблице:
Размер кредита,
млн. руб.
1 - 6,3
6,3 - 11,6
11,6 - 16,9
11,6 - 22,2
22,2 - 27,5
Итого
Число банков
20
11
36
17
16
100
Найти: а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключен средний размер кредита всех
банков; б) вероятность того, что доля всех банков, выдающих кредит менее, чем 16,9 млн.
руб., отличается от доли таких банков в выборке не более чем на 5% (по абсолютной
величине); в) объем выборки, при котором те же границы для среднего размера кредита
всех банков (см. п. а)) можно гарантировать с вероятностью 0,9876.
2. По данным задачи 1, используя критерий 2 - Пирсона, при уровне значимости α =
0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х – размер кредита – распределена
по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического
распределения и соответствующую нормальную кривую.
28
3. Имеются данные по 50 предприятиям одной из отраслей промышленности за год.
Распределение этих предприятий по двум признакам – выпуску продукции Х (млн. руб.) и
численности работающих Y (чел.) – представлено в таблице:
y
x
40 - 50
50 - 60
60 - 70
70 - 80
80 - 90
90 - 100
Итого:
100 - 220
220 - 340
340 - 460
1
2
1
1
3
5
1
4
2
1
4
15
460 - 580
580 - 700
700 - 820
1
8
9
2
12
2
5
13
3
5
Итого:
6
7
12
13
9
3
50
Необходимо:
1) Вычислить групповые средние x j è yi , построить эмпирические линии регрессии.
2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная
корреляционная зависимость: а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики
на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую
интерпретацию полученных уравнений; б) вычислить коэффициент корреляции на уровне
значимости α = 0,05, оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи
между переменными X и Y; в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить
средний выпуск продукции предприятия, число работающих на котором равно 700 человек.
29
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»
ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
Барнаул 2010
30
2 курс, 4 семестр (Экзамен)
1. Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, виды событий,
примеры.
2. Классическое определение вероятности события.
3. Теорема сложения вероятностей совместных и несовместных событий.
4. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых событий. Условная
вероятность.
5. Полная группа событий. Противоположные события.
6. Формула полной вероятности.
7. Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли, формула Пуассона
локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Наивероятнейшее число
наступления события.
8. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Основные числовые
характеристики дискретной случайной величины.
9. Непрерывная случайная величина. Основные числовые характеристики непрерывной
случайной величины.
10. Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины.
11. Понятие о законе больших чисел.
12. Вариационный ряд. Виды вариационных рядов их графическое изображение.
13. Числовые характеристики вариационного ряда.
14. Генеральная и выборочная совокупности.
15. Выборка: виды, способы образования. Основная задача выборочного метода.
16. Понятие об интервальном оценивании. Доверительная вероятность, доверительный
интервал.
17. Статистическая гипотеза, статистический критерий.
18. Уровень значимости и мощность критерия.
19. Построение теоретического закона распределения по опытным данным.
20. Понятие о критериях согласия.
21. Критерий Пирсона  2 и схема его применения.
22. Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.
23. Основные задачи теории корреляции.
24. Линейная регрессия. Уравнения регрессии.
25. Коэффициент корреляции: оценка тесноты и вида связи между признаками Х и Y.
31
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ К ЭКЗАМЕНУ
Барнаул 2010
32
2 курс, 4 семестр
1. На квадрат [0,5]x[0,5] случайным образом бросается точка. Найти вероятность
попадания ее в треугольник с вершинами (1,1), (1,2), (2,2).
2. Дано линейное уравнение ax=b. Если a  ( 0 ,8 ) , b  ( 0 ,10 ) произвольно, то
какова вероятность того, что корень данного уравнения будет больше единицы?
3. Сколькими способами можно поставить оценки четверым студентам на экзамене,
если не ставить оценку «неудовлетворительно»?
4. Пусть
P( A  B ) 
1
1
1
, P( A )  , P( B )  . Найти P( A  B ) .
4
2
3
5. В комиссию избрали 9 человек. Сколькими способами из них можно выбрать
секретаря и его заместителя?
6. Случайная величина задана таблицей:
xi
1
2
3
4
5
Pi
0,1
0,15
0,2
0,35
0,2
Найти интегральную функцию распределения.
7. Сколько различных перестановок в слове биссектриса?
8. На карточках написаны числа от 1 до 15. Наугад извлекаются 2 карточки. Какова
вероятность того, что сумма чисел на этих карточках равна 10?
9. Студент знает ответы на 15 экзаменационных билетов из 20. Какова вероятность
сдать экзамен, если он заходит вторым?
10. Дана функция распределения случайной величины
F( x ) 
1
1
arctgx  .

2
Найдите плотность вероятности Р(х) и постройте ее график.
11. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наугад.
Определите вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.
12. Дана плотность вероятности случайной величины х.
0, x  6;
x
P( x )    3, 6  x  8; Найдите М[x], D[x].
02, x  8.

13. Вероятность сдачи зачета 0,6. Если зачет сдан, то студент допускается к экзамену,
вероятность сдачи которого 0,8. Какова вероятность сдать зачет и экзамен?
14. Случайная величина задана таблицей:
xi
2
5
8
9
Pi
0,1
0,4
0,3
0,2
Найти М[x], D[x],  ( x ) .
15. Дано линейное уравнение ax=b. Если a  ( 0 ,8 ) , b  ( 0 ,10 ) , то какова
вероятность того, что корень данного уравнения будет больше единицы?
16. Найти закон распределения Z=X+Y, если X и Y независимые случайные величины.
Xi
5
6
Yi
0
1
P
0,2
0,8
i
Pi
0,6
0,4
17. Вероятность поражения цели при каждом выстреле равна 0,2. Сколько надо
произвести выстрелов, чтобы можно было ожидать в среднем 5 попаданий.
18. Известно, что M[x]=7, D[x]=1,2. Найти M[Y] и D[Y], если Y=2x – 3.
19. Какова вероятность того, что при 80 бросаниях игральной кости 5 выпадет от 10 до
20 раз включительно.
20. В группе 10 юношей, которые играют, набрасывая кольца на колышек. Для пяти из
них вероятность попадания 0,6, для трех – 0,5, для остальных – 0,3. Кольцо попало
на колышек. Какова вероятность, что оно брошено юношей из первой группы.
33
21. Ученик знает 25 билетов из 30. Перед ним взят только 1 билет. Какова вероятность
сдать ему экзамен?
22. Имеются 2 урны. Первая содержит два белых и два черных шара, а вторая – один
белый и два черных шара. Сначала выбирается урна, а потом – шар. Какова
вероятность того, что будет выбран белый шар?
34
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»
ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ (ЗАЧЕТНЫЙ) ТЕСТ
Барнаул 2010
35
СТРУКТУРА
ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО (ЗАЧЕТНОГО) ТЕСТА
I. ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ (ЗАЧЕТНЫЙ) ТЕСТ
1. Число способов, которым можно выбрать двух человек из трех равно …:
А.1
Б.2
В.3
Г.4
2. Число трехбуквенных слов из букв слова «ромб» равно …
А.2
Б.3
В.4
Г.5
3. Вероятность попадания при одном выстреле 0,9, тогда вероятность трех промахов при
трех выстрелах равна …
А. 0,001
Б. 0,5
В. 0,01
Г. 0,005
4. Вероятность угадывания последней цифры телефонного номера ровно с двух раз равна …
А. 0,2
Б. 0,1
В. 0,3
Г. 0,5
5. Число различных очередей из трех человек равно …
А. 3
Б. 4
В. 6
Г. 8
6. Элементарное событие – это …
А. эксперимент
Б. число
В. исход эксперимента
Г. вывод
7. Событие – это …
А. утверждение
Б. подмножество
В. пространство элементарных событий
Г. доказательство
8. Вероятность – это …
А. функция на пространстве элементарных событий
Б. утверждение
В. множество
Г. эксперимент
9. P(A+B)=…
А. P(A)+P(B)-P(AB)
Б. P(A)-P(B)
В. P(AB)+P(A)
Г.P(AB)+P(B)
10. Случайная величина – это …
А. доказанное утверждение
36
Б. измеримая функция
В. очевидное свойство
Г. положительное число
II. КЛЮЧИ К ТЕСТАМ (для проверяющего)
1. В
2. В
3. А
4. Б
5. В
6. В
7. Б
8. А
9. А
10. Б
37
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность:080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»
ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный
университет культуры и искусств»
Экзаменационный билет № 1
по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика»
1. Случайные события и их классификация.
2. Виды выборок.
Утверждаю
Заведующий кафедрой
________________ Ю.И. Колюжов
15 апреля 2010 г..
38
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика (в менеджменте)»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ
ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
Барнаул 2010
39
Теории вероятностей и математической статистике отводится существенная роль в
профессиональной подготовке будущего специалиста. Содержание курса тесно связано с
содержанием курса высшая математика.
Лекционный курс теории вероятностей и математической статистики должен
строиться таким образом, чтобы, приступая к изучению нового раздела, студенты знали,
какие вопросы ранее изученного материала будут использованы при изучении нового.
Каждая лекция должна носить проблемный характер. Студенты должны привлекаться к
постановке проблемы, к поиску путей ее решения, обоснованию каждого утверждения.
Используемые методы должны ориентировать будущего специалиста на их усвоение и
применение в будущей профессиональной деятельности.
В начале каждой лекции необходимо уяснить цель, которую лектор ставит перед
собой и перед студентами. Необходимо ориентировать студентов на сравнение того, что он
слышит на лекции с тем, что им было изучено ранее, укладывать новую информацию в
собственную, уже имеющуюся у него систему знаний. По ходу лекции целесообразно
подчеркивать новые термины, выяснять их смысл и особенность использования в процессе
доказательства утверждений и решения конкретных задач.
Важная роль должна быть отведена на лекции дискуссии. С этой целью в процессе
подготовки к лекции целесообразно продумать систему вопросов, на которые должны
ответить студенты, с полным обоснованием своих утверждений.
В конце лекции вместе со студентами целесообразно подвести ее итоги и убедиться,
что поставленная цель достигнута.
Каждое практическое занятие целесообразно начинать с повторения теоретического
материала, который будет использован на нем. Для этого очень важно четко
сформулировать цель занятия и основные знания, умения и навыки, которые студент
должен приобрести в течение занятия.
Успех занятия во многом зависит от системы подобранных задач. Каждая задача
должна быть направлена на отработку определенных теоретических положений и умений
их использования в процессе выполнения конкретных заданий, и тесно взаимосвязано с
другими задачами, выносимыми на занятия.
Практическое занятие должно ориентировать студента на организацию
самостоятельной работы. С этой целью на каждом занятии должна быть предусмотрена
небольшая самостоятельная работа студентов под контролем преподавателя, во время
выполнения которой студент может обратиться к преподавателю с вопросом, получить на
него ответ. Сам процесс организации самостоятельной работы на занятии должен служить
образцом организации самостоятельной деятельности студента. Очень полезна организация
самостоятельной работы со взаимопроверкой студентами работ друг друга. Это развивает
умение осуществлять контроль и коррекцию результатов своего собственного труда.
В отличие от дневного, на заочном отделении лекции носят обзорный характер.
Здесь должны быть четко выделены вопросы, выносимые на самостоятельное изучение и
требования к уровню их усвоения.
40
Министерство культуры Российской Федерации
Алтайский филиал федерального государственного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Московский государственный университет культуры и искусств»
Кафедра прикладной информатики
Учебно-методический комплекс дисциплины:
Теория вероятностей и математическая статистика
Специальность: 080801.65 – «Прикладная информатика ( в менеджменте)»
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ДЛЯ
СТУДЕНТОВ
Барнаул 2010
41
Осваивая курс теории вероятностей и математической статистики, студенту
необходимо научиться работать на лекциях, на практических занятиях и организовывать
самостоятельную внеаудиторную деятельность.
В начале лекции необходимо уяснить цель, которую лектор ставит перед собой и
студентами. Важно внимательно слушать лектора, отмечать наиболее существенную
информацию и кратко записывать ее в тетрадь. Сравнивать то, что услышано на лекции с
прочитанным и усвоенным ранее, укладывать новую информацию в собственную, уже
имеющуюся, систему знаний.
По ходу лекции важно подчеркивать новые термины, устанавливать их взаимосвязь с
понятиями, научиться использовать новые понятия в процессе доказательства теорем и
решения задач.
Необходимо очень тщательно вслед за лектором делать рисунки, чертежи, графики,
схемы. Если лектор приглашает к дискуссии, необходимо принять в ней участие.
Если на лекции студент не получил ответа на возникшие у него вопросы,
необходимо в конце лекции задать их лектору. Дома необходимо прочитать записанную
лекцию, подчеркнуть наиболее важные моменты, составить словарь новых терминов,
составить план доказательства каждой теоремы и перечислить все используемые при ее
доказательстве утверждения.
Зная тему практического занятия, необходимо готовиться к нему заблаговременно.
Для этого необходимо изучить лекционный материал, соответствующий теме занятия и
рекомендованный преподавателем материал из учебной литературы. А также решить все
задачи, которые были предложены для самостоятельного выполнения на предыдущей
лекции или практическом занятии.
В процессе подготовки к занятиям необходимо воспользоваться материалами
учебно-методического комплекса дисциплины.
Важнейшей особенностью обучения в высшей школе является высокий уровень
самостоятельности студентов в ходе образовательного процесса. Эффективность
самостоятельной работы зависит от таких факторов как:
- уровень мотивации студентов к овладению конкретными знаниями и умениями;
- наличие навыка самостоятельной работы, сформированного на предыдущих этапах
обучения;
- наличие четких ориентиров самостоятельной работы.
Приступая к самостоятельной работе, необходимо получить следующую информацию:
- цель изучения конкретного учебного материала;
- место изучаемого материала в системе знаний, необходимых для формирования
специалиста;
- перечень знаний и умений, которыми должен овладеть студент;
- порядок изучения учебного материала;
- источники информации;
- наличие контрольных заданий;
- форма и способ фиксации результатов выполнения учебных заданий;
- сроки выполнения самостоятельной работы.
Эта информация представлена в учебно-методическом комплексе дисциплины.
При выполнении самостоятельной работы рекомендуется:
- записывать ключевые слова и основные термины,
- составлять словарь основных понятий,
- составлять таблицы, схемы, графики и т.д.
- писать краткие рефераты по изучаемой теме.
Следует выполнять рекомендуемые упражнения и задания, решать задачи.
Результатом
самостоятельной
работы
должна
быть
систематизация
и
структурирование учебного
материала по изучаемой теме, включение его в уже
имеющуюся у студента систему знаний.
42
После изучения учебного материала необходимо проверить усвоение учебного
материала с помощью предлагаемых контрольных вопросов и при необходимости
повторить учебный материал.
В процессе подготовки к экзамену необходимо систематизировать, запомнить
учебный материал, научиться применять его на практике (в процессе доказательства теорем
и решении задач).
Основными способами приобретения знаний, как известно, являются: чтение
учебника и дополнительной литературы, рассказ и объяснение преподавателя, решение
задач, поиск ответа на контрольные вопросы.
Приобретение новых знаний требует от учащегося определенных усилий и активной
работы на каждом этапе формирования знаний. Знания, приобретенные учащимся в ходе
активной самостоятельной работы, являются более глубокими и прочными.
Важнейшим условием для успешного формирования прочных знаний является их
упорядочивание, приведение их в единую систему. Это осуществляется в ходе выполнения
учащимся следующих видов работ по самостоятельному структурированию учебного
материала:
- запись ключевых терминов,
- составление словаря терминов,
- составление таблиц,
- составление схем,
- составление классификаций,
- выявление причинно-следственных связей,
- составление коротких рефератов, учебных текстов,
- составление опорных схем и конспектов,
- составление плана рассказа.
Информация, организованная в систему, где учебные элементы связаны друг с
другом различного рода связями (функциональными, логическими и др.), лучше
запоминается. При структурировании учебного материала по математическому анализу на
помощь учащемуся приходит содержание самой учебной дисциплины. Поэтому учащемуся
остается только найти элементы (компоненты) этих систем и выявить существующие между
ними связи и отношения, после чего визуализировать все это в виде схемы, рисунка,
таблицы и т.д.
43