ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Учреждение образования
«Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины»
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
________________ И.В. Семченко
(подпись)
____________________
(дата утверждения)
Регистрационный № УД-____________/р.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Учебная программа для специальности
1-31 03 01 Математика (по направлениям)
1-31 03 01-02 Математика (научно-педагогическая деятельность)
Факультет
математический
Кафедра
экономической кибернетики и теории вероятностей
Курс (курсы) 4
Семестр (семестры) 7
Лекции
30 часов
Зачёт
7
Лабораторные
занятия
36 часов
Самостоятельная управляемая работа студентов
Всего аудиторных
часов по дисциплине
6 часов
72 часов
Всего часов
по дисциплине 108 часов
Форма получения
высшего образования дневная
Составил Ю.Е. Летунович ассистент
2010
2
Учебная программа составлена на основе базовой учебной программы
«Элементы теории массового обслуживания», утвержденной 28 мая
2010 г., регистрационный №УД-15-2010-532/баз
Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта
на заседании кафедры экономической кибернетики и теории вероятностей
___ __________ 20__ г., протокол № __
Заведующий кафедрой
профессор ____________ Ю.В. Малинковский
Одобрена и рекомендована к утверждению
Методическим советом математического факультета
___ __________ 20_ г., протокол № __
Председатель
доцент ____________ В.М. Селькин
3
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Огромное количество математических моделей, используемых для
описания процессов и явлений в науке, технике, экономике, финансах и
т.д., в той или иной степени требует привлечения аппарата теории массового обслуживания. Это связано с тем, что человек постоянно сталкивается с различными явлениями, в которых в некоторые случайные моменты
времени наступают однородные события (поступают заявки, требования,
вызовы, задания, программы и т.д.), которые требуют некоторых операций
(обслуживания, работы, передачи по кабелям и т.д.). Теория массового обслуживания как раз является адекватным математическим аппаратом, служащим для описания подобных явлений. Кроме того, процессами массового обслуживания описываются информационные и вычислительные сети,
локальные сети, сети спутниковой связи, сети передачи данных и т.д.
Целью курса по выбору «Элементы теории массового обслуживания»
является овладение студентами основами использования
аппарата теории массового обслуживания при решении прикладных задач.
Задачами курса по выбору являются:
- усвоение студентами основных понятий теории массового обслуживания;
- овладение методами решения типовых задач;
- формирование навыков построения математических моделей реальных явлений с использованием теории массового обслуживания;
- овладение навыками применения теории массового обслуживания
при формализации моделей.
Материал курса по выбору базируется на ранее полученных студентами знаниях по таким дисциплинам, как «Теория вероятностей и математическая статистика», «Математический анализ», «Обыкновенные дифференциальные уравнения», «Математическая физика», «Теория функций
комплексного переменного».
В результате изучения курса по выбору:
Студент должен знать:
- основы теории массового обслуживания: типы входящих потоков,
суперпозицию и просеивание простейших потоков, задание стандартных
процессов обслуживания, классификацию стандартных систем кендалловского типа, марковские системы обслуживания и стационарное распределение вероятностей их состояний, метод вложенных цепей Маркова, распределение времени ожидания и времени пребывания для системы M|G|1,
формулы Литтла.
Студент должен уметь:
- использовать методы аналитического и численного решения типовых
математических задач.
Студент должен владеть:
4
- принципами построения и основными методами использования математических моделей систем и процессов, возникающих в предметных областях.
Общее количество часов – _108_; аудиторное количество часов —
_72_, из них: лекции — _30__, лабораторные занятия — _36__, самостоятельная управляемая работа студентов (СУРС) — _6_. Форма отчётности
— зачет.
5
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
Раздел 1 Дополнительные сведения из теории вероятностей и
теории случайных процессов
Тема 1 Вспомогательные распределения
Распределения вероятностей, связанные с показательным. Показательное распределение. Лемма об «отсутствии памяти». Теорема о распределении минимума нескольких независимых случайных величин с показательным распределением. Распределение Эрланга. Фазовое представление
случайной величины с распределением Эрланга.
Тема 2 Полумарковские процессы
Полумарковские последовательности. Эквивалентность двух определений полумарковской последовательности. Полумарковские процессы.
Ведущая и сопровождающая компоненты. Переходная функция. Регулярные полумарковские процессы. Построение их траекторий с помощью
трех и двух элементов. Вложенная цепь Маркова. Эргодическая теорема.
Марковизация полумарковских процессов. Линейчатые процессы.
Тема 3 Преобразование Лапласа-Стилтьеса
Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения неотрицательной случайной величины и его свойства. Связь с характеристическими и производящими функциями. Аналитичность преобразования
Лапласа-Стилтьеса. Выражение числовых характеристик неотрицательной
случайной величины через преобразование Лапласа-Стилтьеса. Теоремы
непрерывности.
Раздел 2 Теория входящего потока
Тема 1 Рекуррентные потоки
Задание входящего потока с помощью согласованных конечномерных распределений промежутков времени между моментами поступления.
Поток с ограниченным последействием. Отсутствие последействия у потока. Рекуррентный поток с запаздыванием и рекуррентный поток. Формулы
для преобразования Лапласа от производящей функции числа поступающих заявок. Поток Эрланга как частный случай рекуррентного потока.
6
Тема 2 Пуассоновский поток
Простейший поток, его параметр и интенсивность. Соотношение
между параметром и интенсивностью для стационарных потоков и для
пуассоновского потока. Различные эквивалентные определения простейшего потока. Стационарность, ординарность и отсутствие последействия.
Объединение и просеивание простейших потоков. Поток Эрланга и фазовое представление промежутков времени между моментами поступления.
Лемма о моменте поступления первой заявки в суперпозиции нескольких
независимых пуассоновских потоков.
Тема 3 Стационарные потоки
Различные определения стационарности. Стационарный поток без
последействия. Производящая функция числа поступивших заявок. Преобразование Лапласа от производящей функции. Распределение числа поступающих заявок. Вывод формулы для преобразования Лапласа. Числовые
характеристики. Частный случай ординарного потока.
Тема 4 Нестационарные потоки
Нестационарные потоки. Мгновенное значение параметра и мгновенное значение интенсивности. Ординарный поток без последствия с переменным параметром. Производящая функция числа поступивших заявок
в произвольном промежутке времени. Преобразование Лапласа от производящей функции. Распределение числа поступающих заявок. Вывод формулы для преобразования Лапласа. Стационарный поток как частный случай.
Тема 5 Процесс обслуживания
Время обслуживание и его задание с помощью согласованных конечномерных распределений длительностей обслуживания. Рекуррентное,
экспоненциальное, эрланговское и детерминированное обслуживание.
Экспоненциальный прибор. Фазовое представление эрланговского обслуживания. Интенсивность и скорость обслуживания. Вероятность окончания обслуживания в малом интервале времени. Частный случай экспоненциального обслуживания.
Раздел 3. Марковские системы обслуживания
Тема 1 Описание систем массового обслуживания
Элементарные составляющие системы массового обслуживания.
Классификация систем массового обслуживания. Дисциплины обслужива-
7
ния. Системы с ожиданием. Системы с отказами. Смешанные системы.
Обозначения Кендалла. Дисциплины обслуживания FCFS, LCFS, SIRO, PS.
Системы с относительным, абсолютным и вероятностным приоритетом.
Системы с ограничениями на время ожидания и время пребывания. Предварительный анализ марковских систем. Представление процессами размножения и гибели.
Тема 2 Стандартные марковские системы
Системы М /М /1, М /М /n /0 (задача Эрланга), М /М /n, М /М /n /N .
Установление условий регулярности и эргодичности соответствующих
марковских процессов. Коэффициент загрузки. Составление уравнений
равновесия для вероятностей состояний и уравнений равновесия для сечений в графе. Нахождение стационарного распределения их вероятностей.
Среднее число заявок в очереди и в системе.
Тема 3 Фазовый метод марковизации
Нестационарная система М /М /. Непосредственное определение
стационарного распределения. Составление уравнений Колмогорова.
Уравнения для производящей функции. Задача Коши и ее решение. Определение зависящего от времени распределения вероятностей. Получение
стационарного распределения с помощью перехода к пределу. Метод фаз
Эрланга.
Раздел 4. Полумарковские системы обслуживания
Тема 1 Метод вложенных цепей Маркова
Различные методы исследования системы М /G /1. Исследование системы М /G /1 с помощью метода вложенных цепей Маркова. Применение
эргодических теорем Мустафы и Фостера. Установление условия эргодичности. Составление уравнений равновесия для вложенной цепи. Вывод
уравнения для производящей функции стационарного распределения.
Определение стационарного распределения. Формула Поллячека-Хинчина
для стационарного распределения и формулы Поллячека-Хинчина для
среднего числа заявок.
Тема 2 Распределение времени пребывания и ожидания
Время ожидания и время пребывания заявок в системе М / G /1. Стационарные функции их распределения. Вывод формул для преобразования
Лапласа-Стилтьеса от их стационарных распределений. Нахождение функции распределения для случая экспоненциального обслуживания в явном
виде. Стационарное распределение времени ожидания как пример случай-
8
ной величины со смешанным распределением, представляющем взвешенную сумму дискретного и абсолютно-непрерывного распределений. Формулы Литтла и их физический смысл.
1
1
1.1
1.2
1.3
2
Дополнительные сведения из теории вероятностей и
теории случайных процессов
Вспомогательные распределения.
1. Распределения вероятностей, связанные с показательным.
2. Показательное распределение.
3. Лемма об «отсутствии памяти».
4. Распределение Эрланга.
Полумарковские процессы.
1. Полумарковские последовательности.
2. Полумарковские процессы.
3. Регулярные полумарковские процессы.
4. Вложенная цепь Маркова.
5. Эргодическая теорема.
6. Линейчатые процессы.
3
6
Преобразование Лапласа-Стилтьеса.
1. Преобразование Лапласа-Стилтьеса функции распределения неотрицательной случайной величины и его
свойства.
2. Связь с характеристическими и производящими
функциями.
3. Аналитичность преобразования Лапласа-Стилтьеса.
2
4
5
2
2
2
6
7
8
[1-5]
2
Формы контроля
знаний
Литература
контролируемая
самостоятельная работа студента
лабораторные
занятия
практические
(семинарские)
занятия
Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых
вопросов
лекции
Номер раздела, темы,
занятия
Количество аудиторных часов
Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА ДИСЦИПЛИНЫ
[1-5]
[1-5]
9
10
4. Теоремы непрерывности.
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Теория входящего потока
Рекуррентные потоки.
1. Поток с ограниченным последействием.
2. Отсутствие последействия у потока.
3. Рекуррентный поток с запаздыванием и рекуррентный
поток.
4. Поток Эрланга как частный случай рекуррентного
потока.
Пуассоновский поток.
1. Простейший поток, его параметр и интенсивность.
2. Различные эквивалентные определения простейшего
потока.
3. Стационарность, ординарность и отсутствие последействия.
4. Объединение и просеивание простейших потоков.
5. Поток Эрланга.
Стационарные потоки.
1. Различные определения стационарности.
2. Стационарный поток без последействия.
3. Распределение числа поступающих заявок.
4. Вывод формулы для преобразования Лапласа.
5. Числовые характеристики.
6. Частный случай ординарного потока.
Нестационарные потоки.
1. Нестационарные потоки.
2. Ординарный поток без последствия с переменным
параметром.
3. Распределение числа поступающих заявок.
4. Вывод формулы для преобразования Лапласа.
5. Стационарный поток как частный случай.
Процесс обслуживания.
1. Рекуррентное, экспоненциальное, эрланговское и детерминированное обслуживание.
2. Экспоненциальный прибор.
3. Фазовое представление эрланговского обслуживания.
4. Интенсивность и скорость обслуживания.
5. Вероятность окончания обслуживания в малом интер-
12
2
14
4
[1-5]
4
6
[1-5]
2
2
[1-5]
2
2
[1-5]
2
[1-5]
Контрольная
работа
11
3
3.1
3.2
3.3
4
4.1
вале времени.
6. Частный случай экспоненциального обслуживания.
Марковские системы обслуживания
Описание систем массового осблуживания.
1. Классификация систем массового обслуживания.
2. Системы с ожиданием. Системы с отказами. Смешанные системы.
3. Обозначения Кендалла.
4. Дисциплины обслуживания: FCFS, LCFS, SIRO, PS.
5. Системы с относительным, абсолютным и вероятностным приоритетом.
6. Системы с ограничениями на время ожидания и время
пребывания.
7. Предварительный анализ марковских систем.
8. Представление процессами размножения и гибели.
Стандартные марковские системы.
1. Системы М /М /1, М /М /n /0 (задача Эрланга), М /М
/n, М /М /n /N .
2. Установление условий регулярности и эргодичности
соответствующих марковских процессов.
3. Коэффициент загрузки.
4. Составление уравнений равновесия.
5. Нахождение стационарного распределения их вероятностей.
6. Среднее число заявок в очереди и в системе.
Фазовый метод марковизации.
1. Нестационарная система М /М /.
2. Составление уравнений Колмогорова.
3. Задача Коши и ее решение.
4. Определение зависящего от времени распределения
вероятностей.
5. Получение стационарного распределения с помощью
перехода к пределу.
6. Метод фаз Эрланга.
Полумарковские системы обслуживания
Метод вложенных цепей Маркова.
1. Различные методы исследования системы М /G /1.
2. Исследование системы М /G /1 с помощью метода
вложенных цепей Маркова.
8
2
16
6
4
12
4
[1-5]
Групповые
консультации
2
4
2
[1-5]
Групповые
консультации
4
2
4
2
[1-5]
[1-5]
12
4.2
Применение эргодических теорем Мустафы и Фостера.
3. Установление условия эргодичности.
4. Составление уравнений равновесия для вложенной
цепи.
5. Определение стационарного распределения.
6. Формула Поллячека-Хинчина для стационарного распределения и формулы Поллячека-Хинчина для среднего числа заявок.
Распределение времени пребывания и ожидания.
1. Время ожидания и время пребывания заявок в системе М / G /1.
2. Стационарные функции их распределения.
3. Нахождение функции распределения для случая экспоненциального обслуживания в явном виде.
4. Формулы Литтла и их физический смысл.
Текущий контроль успеваемости студентов
2
30
2
36
[1-5]
6
Контрольная
работа
Зачёт
ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Перечень лабораторных работ
1. Полумарковские процессы.
2. Потоки событий: рекуррентный поток.
3. Поток Эрланга.
4. Потоки событий: пуассоновский поток.
5. Свойства пуассоновского потока.
6. Объединение и просеивание простейших потоков.
7. Потоки событий: стационарный поток.
8. Интенсивность обслуживания.
9. Исследование системы M/M/1.
10.Задача Эрланга.
11.Исследование системы M/M/n.
12.Исследование системы M/M/n/N.
13.Составление уравнений равновесия.
14.Нахождение стационарного распределения.
15. Нестационарная система М /М /.
16.Метод фаз Эрлага.
17.Метод вложенных цепей Маркова.
18. Исследование системы M/G/1с помощью метода вложенных цепей
Маркова.
Формы контроля знаний
1. Контрольные работы.
Темы контрольных работ
1. Стандартные марковские системы.
2. Фазовый метод марковизации.
14
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Буриков, А.Д. Теория массового обслуживания. Учебное пособие по
спецкурсу /, А.Д. Буриков, Ю.В. Малинковский, М.А. Маталыцкий. –
Гродно: ГрГУ. – 1984. 106 с.
2. Ковалев, Е.А. Методические указания по курсу “Теория массового обслуживания” для студентов 4 курса специальности “Математика” / Е.А.
Ковалев, Ю.В. Малинковский.- Гомель: ГГУ. – 1985. - 26 с.
3. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. - М.: Наука. – 1987. - 336 с. (или 1966. - 432 с.).
4. Риордан, Дж. Вероятностные системы обслуживания / Дж. Риордан. М.: Связь. - 1966.- 184 с.
Дополнительная
5. Матвеев, В.Ф. Системы массового обслуживания / В.Ф. Матвеев, В.Г.
Ушаков. - М.: МГУ. – 1984. – 240 с.
15
ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Название
дисциплины,
с которой
требуется согласование
Название
кафедры
Предложения
об изменениях
в содержании
учебной программы
по изучаемой
учебной
дисциплине
Решение, принятое
кафедрой, разработавшей учебную
программу (с указанием даты и номера протокола)
16
ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
на _____/_____ учебный год
№№
пп
Дополнения и изменения
Основание
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
экономической кибернетики
и теории вероятностей
(протокол № ____ от ________ 20__ г.)
Заведующий кафедрой
экономической кибернетики
и теории вероятностей
д.ф.-м.н.,профессор
УТВЕРЖДАЮ
Декан математического факультета
УО «ГГУ им. Ф. Скорины»
к.ф.-м.н., доцент
_______________Ю.В. Малинковский
__________________ С.П. Жогаль