ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ С ГИБРИДНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ Мелентьев О.Г., доцент СибГУТИ, к.т.н. e-mail [email protected] При передаче дискретных сообщений часто используют системы с обратной связью и переспросом (ARQ). Известно множество различных вариантов систем (ARQ), в том числе, с ожиданием, с непрерывной передачей и блокировкой, с адресным переспросом и т.д. Однако в последнее время появился ряд публикаций, в которых рассматриваются системы с гибридной обратной связью (Hybrid ARQ) [1,2]. Данные системы занимают промежуточное положение между системами с переспросом и системами с исправлением ошибок, комбинируя лучшее этих двух стратегий. Рассмотрим одну из гибридных стратегий и получим для неё некоторые вероятностновременные характеристики (ВВХ). Описание системы. Передаваемая информационная последовательность разбивается на кадры длиной k элементов. Каждый информационный кадр защищается корректирующим кодом с обнаруживающей способностью tоб . Информационный кадр вместе с заголовком и r1 проверочными разрядами кода, обнаруживающего ошибки, образуют блок длиной n1 элемент. Блок, в свою очередь, защищается кодом, исправляющим ошибки с исправляющей способностью tи . В результате данной операции получается дополнительная группа из r2 проверочных разрядов. Далее будем называть r2 – корректирующей группой. В общем случае к информационному кадру может быть добавлен заголовок. Сказанное иллюстрирует рисунок 1. Рисунок 1. Структура передаваемых блоков. Первоначально передается блок n1 . Если на приеме в нем обнаружена ошибка, то запрашивается передача корректирующей группы r2 . После исправления ошибок информационный блок повторно проверяется на наличие ошибок. Если ошибки не обнаруживаются, то он выдается 1 получателю. Если ошибки остаются, то в следующей попытке повторяется информационный блок n1 . Оценим вероятность успешной доставки блока за Lm попыток для гибридной системы и проведем сравнение с системой, в которой обеспечивается только обнаружение ошибок и повторение информационных блоков. Для упрощения расчетов положим, что вероятность необнаруженной ошибки в блоке равна нулю. Для системы с ожиданием вероятность успешной доставки блока за Lm попыток можно определить по известной формуле Lm1 1 Pe Lm . 1 P l 0 e где, Pe – вероятность обнаружения ошибки в блоке, P(0, n1) – вероятность приема блока без ошибок. При описании гибридной системы необходимо дополнительно учесть вероятности исправления ошибок – Pи и вероятность того, что после исправления, ошибки останутся – PНИ . Для данного случая, граф системы представлен на рисунке 2. Pуд P(0, n1) Pel P(0, n1) Рисунок 2. Граф гибридной ARQ-системы Вероятность успешной доставки, для гибридной ARQ-системы может быть определена выражением Pуд P(0, n1) Pe Pи Pe Pни P(0, n1) Pe2 Pни Pи Pe2 Pни 2 P(0, n1) Pe3Pни 2 Pи Pe3Pни3P(0, n1) Pe4 Pни3Pи ..... Представим данный ряд в виде двух рядов содержащих четные и нечетные члены. Ряд нечетных членов: Lm 1, 3, 5... Pуд( нечет) P(0, n1) Pe Pни P(0, n1) Pe 2 Pни 2 P(0, n1) Pe3Pни 3P(0, n1) ..... Lm 1 P(0, n1) 1 Pe Pни Pe 2 Pни 2 Pe3Pни 3 .... Pe Pни 2 2 Lm 1 2 Lm 1 1 Pe Pни 2 1 l . P(0, n1) Pe Pни P(0, n1) 1 Pe Pни l 0 Ряд четных членов: Lm 2, 4, 6... Pуд(чет) Pe Pи Pe2 Pни Pи Pe3Pни 2 Pи Pe4 Pни3Pи ..... l 1 2 2 3 3 2 Pe Pи 1 Pe Pни Pe Pни Pe Pни ... ( Pe Pни ) Pe Pи Lm 1 2 l 0 Pe Pни l Lm 1 Pe Pни 2 . Pe Pи 1 Pe Pни Таким образом, при Lm – нечетном: ( нечет) (чет) Pуд ( Lm) Pуд ( Lm) Pуд ( Lm 1) , ( нечет) (чет) ( Lm 1) Pуд ( Lm) . при Lm – четном Pуд ( Lm) Pуд В некоторых случаях, те же результаты удобно представить в следующем виде: Lm 1 2 l 0 Pуд P(0, n1) Pel Pни l Pи Pel 1Pни l ; если Lm – четное, то если Lm – нечетное, то при Lm 1 , Pуд P (0, n1) ; при Lm 3 , Pуд P(0, n1) Lm 1 1 2 l 0 Pи Pel 1Pниl P(0, n1)Pel 1Pниl 1. Логично предположить, что выигрыш в вероятности успешной доставки гибридной системы по сравнению с классической системой с переспросом будет возможен, если вероятность исправления ошибок после передачи дополнительных проверочных разрядов будет выше, чем вероятность принятия блока без ошибок, т.е Pи P (0, n1) . Для определения Pи проведем следующие рассуждения. При передаче блока n1 возможно появление некоторого числа ошибок – i. При передаче корректирующей группы r2 также возможно некоторое число ошибок, обозначим его – j. Правильное исправление возможно только тогда, когда суммарное число ошибок не превысит исправляющую способность кода tи. Однако корректирующая группа будет передаваться только при условии, что в информационном блоке будет присутствовать хотя бы одна ошибка. Вероятность данного условия Pe . Таким образом, для вероятности исправления ошибок можно записать 3 tи tи i P(i, n1) Pи P( j, r 2) . i 1 j 0 Pe Для случая независимых ошибок Pe 1 (1 Pош )n1 , тогда tи tи i tи tи i P(i, n1) 1 Pи P( j , r 2) P(i, n1) P( j , r 2) . n1 n1 1 ( 1 P ) 1 ( 1 P ) i 1 j 0 i 1 j 0 ош ош Найдем вероятности поражения блоков ошибками i j P(i, n1) P( j, r 2) Cni 1Pош (1 Pош )n1i Crj2 Pош (1 Pош )r 2 j i j Cni 1Crj2 Pош (1 Pош )n1 r 2i j . Окончательно получим tи tи i 1 j i j i n1 r 2i j . Pи Cn1Cr 2 Pош (1 Pош ) n1 1 (1 Pош ) i 1 j 0 Таким образом, выигрыш в вероятности успешной доставки при применении гибридной системы, при независимых ошибках возможен в случае выполнения неравенства tи tи i 1 i j Cni 1Crj2 Pош (1 Pош )n1 r 2i j (1 Pош )n1 . 1 (1 Pош )n1 i 1 j 0 Следует заметить, что информационный блок и проверочные разряды передаются не сразу друг за другом, а через некоторое время. Поэтому поражение одного из этих блоков ошибками не зависит от поражения другого, даже если канал с группирующимися ошибками. Оценим затраты двоичных элементов на передачу блока при заданном числе попыток для рассматриваемых систем. В первой попытке всегда передается информационный блок длиной n1. Дополнительные затраты за счет следующих попыток будут определяться вероятностями этих попыток. Вероятность l-ой попытки определится неудачей после предыдущей (l-1)-вой попытки. Для классической системы с ожиданием затраты в прямом канале при Lm 1 Lm попытках определятся выражением Z пр n1 Pel . l 0 Lm 1 Затраты в обратном канале определятся аналогично Zок nок Pel , l 0 где nок – длина квитанции в обратном канале. В системе с гибридной ОС при вычислении затрат необходимо учитывать две длины блока n1, r2, а также вероятности обнаружения ошибок в блоке и их исправления. В зависимости от максимального числа переспросов, разрешенных в системе Lm , средние затраты в прямом канале могут быть вычислены по следующим формулам: 4 – при одной попытке Z пр n1; Lm 1 2 l 0 – при четном значении Lm , Z пр n1 Pel Pни l r 2 Pel 1 Pни l ; – при нечетном значении Lm 3 , Z пр n1 Lm1 1 2 l 0 r 2 Pel 1 Pниl n1 Pel 1 Pниl 1 . Затраты в обратном канале находятся аналогично затратам в прямом канале, но вместо длин n1 и r2 подставляется длина квитанции в обратном канале nok. При одной попытке Z ок nok . При четном значении Lm 2 , Lm 1 2 l 0 Zок nok Pel Pни l nok Pel 1 Pни l Lm 1 2 Pel Pни l Pel 1 Pни l . l 0 nok При нечетном значении Lm 3 , Zок nok Lm 1 1 2 l 0 Lm 1 1 2 nok Pel 1 Pниl nok Pel 1 Pниl 1 l l 1 l 1 l 1 nok 1 Pe Pни Pe Pни . l 0 Суммарные затраты на передачу одного блока можно определить как сумму затрат в прямом и обратном каналах каждой из данных систем Z Z пр Z ok . Во многих случаях представляет интерес вычисление относительной скорости передачи информации. Данную величину можно определить n1 zag r (tоб ) Pуд . выражением E Z На рисунке 3 представлены зависимости вероятностно-временных характеристик от максимального числа переспросов. Исходные данные для расчетов: pош 1 10 2 , n1 300 , tоб tи 3 , zag 32 , nok zag 32 . 5 Рисунок 3. Зависимости вероятностно-временных характеристик систем с ожиданием от максимального числа переспросов Для проверки корректности полученных выше выражений была разработана имитационная модель гибридной системы с ожиданием. Результаты имитационного моделирования на графиках показаны окружностями. Совпадение их с аналитическими результатами позволяют судить о состоятельности полученных выше выражений. Из рисунков видно, что вероятность успешной доставки при первой попытке одинакова в обеих системах. После второй попытки Pуд гибридной системы заметно повышается. Это можно объяснить превышением вероятности исправления ошибок над вероятностью поражения блока. Следует отметить, что все четные попытки вносят больший вклад в повышение Pуд , чем нечетные. Это приводит к ломаному характеру зависимости. Затраты в прямом канале при использовании гибридной системы меньше уже со второй попытки. Выигрыш по затратам в обратном канале появляется после третьей попытки. Это объясняется тем что, несмотря на большую вероятность успешной доставки при второй попытке, после нее все равно приходится отправлять квитанцию. 6 Увеличение вероятности успешной доставки одновременно с уменьшением затрат приводит к выигрышу гибридной системы по относительной скорости передачи. Литература 1. J. Perez-Romero, R. Agusti, O. Sallent Analysis of TYPE II Hybrid ARQ Strategy in a DS-CDMA Packet Transmission Environment. IEEE Transactions on Communications. Vol/5 No 8, 2003 2. S. Sesia, G. Caire, G. Vivier. Incremental Redundancy Hybrid ARQ Schemes Based on Low-Density Parity-Check Codes. IEEE Transactions on Communications. Vol. 52, No. 8, August 2004, pp. 1311-1321 7