Вопросы к модулям

I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
II.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Матрицы, их виды. Линейные операции над матрицами.
Определитель матрицы. Свойства определителей.
Определитель матрицы. Способы вычисления определителя третьего порядка.
Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица.
Ранг матрицы. Свойства ранга. Эквивалентные матрицы.
Исследование системы m уравнений с n неизвестными. Теорема Кронекера - Капелли.
Исследование и решение системы линейных уравнений методом Гаусса.
Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера.
Уравнение линии. Прямая линия.
Прямая на плоскости: общее уравнение; уравнение в отрезках.
Прямая на плоскости: уравнение прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой,
проходящей через две данные точки.
Частные случаи уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Прямая на плоскости: уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном
направлении; уравнение пучка прямых.
Взаимное расположение прямых на плоскости: угол между прямыми, условия
перпендикулярности и параллельности.
Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках.
Частные случаи общего уравнения плоскости.
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки. Параметрические уравнения
плоскости.
Связка плоскостей, пучок плоскостей. Взаимное расположение точки и плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей: угол между плоскостями; условия
параллельности и перпендикулярности.
Прямая в пространстве: параметрические и канонические уравнения.
Общие уравнения прямой в пространстве. Уравнения прямой, проходящей через две точки.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве: прямые лежат в одной плоскости.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве: прямые не лежат в одной плоскости.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Кривые второго порядка. Окружность и эллипс.
Кривые второго порядка. Гипербола и парабола.
Дифференциальное и интегральное исчисления функции одной независимой
переменной
Действительные числа. Изображение действительного числа.
Постоянные и переменные величины. Область изменения переменной величины.
Числовая последовательность. Предел последовательности.
Бесконечно большие и бесконечно малые переменные. Свойства бесконечно малых.
Функция одной независимой переменной. Область определения, способы задания.
Основные элементарные функции, их области определения и графики.
Предел функции. Односторонние пределы.
Основные теоремы о пределах.
9. Вычисление пределов, раскрытие неопределенностей
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
0

и
.
0

Замечательные пределы.
Сравнение эквивалентных бесконечно малых. Принцип замены.
Непрерывность функций.
.Производная функции, геометрический смысл производной.
Дифференцируемость функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и
частного двух функций.
Производные основных элементарных функций.
Дифференцирование сложной функции.
Производные высших порядков. Механический смысл второй производной.
Применение дифференциального исчисления к нахождению пределов: правило Лопиталя.
19. Дифференциал функции.
20. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
21. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного
интеграла.
22. Таблица основных интегралов; непосредственное интегрирование.
23. Интегрирование методом замены переменной.
24. Интегрирование по частям.
25. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
26. Определение определенного интеграла. Свойства.
27. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
28. Замена переменной в определенном интеграле.
29. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
30. Несобственные интегралы.
31. Вычисление площади в прямоугольных координатах.
32. Объем тела вращения.
III. Дифференциальные уравнения и ряды.
1. Понятие дифференциального уравнения. Общее решение. Частное решение. Начальные
условия.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Общий интеграл, Общее решение. Задача
Коши, геометрический смысл задачи Коши.
3. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка. Поле
направлений. Изоклины.
4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
5. Дифференциальные уравнения высшего порядка. Теорема единственности решения.
Общее решение.
6. Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка:
y n   f (x) .
7. Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка:
F ( x, y , y ,..., y n  )  0 .
8. Дифференциальные уравнения высшего порядка, допускающие понижение порядка:
F ( y, y , y ,..., y n  )  0 .
9. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о
решениях дифференциального уравнения. Линейно независимые функции. Условие
линейной независимости.
10. Теорема об общем решении ЛОДУ.
11. ЛОДУ II с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение
для случая действительных различных корней характеристического уравнения.
12. Общее решение ЛОДУ II с постоянными коэффициентами для случая кратных
действительных корней и комплексных корней характеристического уравнения.
13. ЛНДУ II. Теорема об общем решении.
14. ЛНДУ II с постоянными коэффициентами. Вид частного решения для правой части I типа:
f ( x)  Pn ( x)e x .
15. ЛНДУ II с постоянными коэффициентами. Вид частного решения для правой части II типа:
f ( x)  Pn ( x)e x (cos x  i sin x) .
16. ЛНДУ II с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
17. Числовой ряд. Сумма ряда. Определение сходимости ряда.
18. Необходимый признак сходимости числовых рядов.
19. Гармонический ряд.
20. Геометрический ряд.
21. Сравнение рядов с положительными членами.
22. Признак Даламбера. Пример.
23. Признак Коши. Пример.
24. Интегральный признак. Пример.
25. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница.
26. Знакопеременные ряды. Теорема о сходимости знакопеременного ряда. Абсолютная и
условная сходимости.
27. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.
28. Степенные ряды. Интервал сходимости. Способ определения радиуса сходимости.
29. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.
30. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функции по степеням х и х-х0.
31. Разложение в ряд Маклорена функций
y  e x , y  sin x, y  cos x, y  1  x  , y  ln 1  x , y  arctgx.
m
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
IV. Элементы теории вероятностей и математической статистики
Предмет теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей.
События и их виды.
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Относительная частота события.
Статистическая вероятность.
Геометрическая вероятность.
Формулы комбинаторики.
Сумма событий. Теоремы сложения вероятностей.
Полная группа событий. Противоположные события.
Произведение событий. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Повторные испытания. Формула Бернулли.
Повторные испытания. Локальная теорема Лапласа.
Повторные испытания. Интегральная теорема Лапласа.
Повторные испытания. Формула Пуассона.
Случайные величины (виды, примеры).
Дискретная случайная величина, закон распределения. Функция распределения
дискретной случайной величины.
Числовые характеристики дискретной случайной величины.
Виды распределений дискретной случайной величины: биномиальное распределение,
распределение Пуассона, геометрическое распределение.
Непрерывная случайная величина. Функция распределения, свойства. Плотность
распределения, свойства.
Числовые характеристики непрерывной случайной величины: математическое ожидание,
дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
Виды распределений непрерывной случайной величины: нормальное распределение,
равномерное распределение, показательное распределение.
Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборка. Способы
отбора.
Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон
и гистограмма.
Статистические оценки параметров распределения. Несмещенные, эффективные и
состоятельные оценки.
Средние значения: выборочная дисперсия, среднее квадратическое отклонение.
Генеральная средняя, выборочная средняя. Устойчивость выборочных средних.
Генеральная дисперсия, выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по
исправленной выборочной.
Коэффициент вариации. Доверительный интервал.
Теория корреляции. Линейная корреляция. Корреляционная таблица.
Условные средние. Выборочные уравнения регрессии.
Выборочный коэффициент корреляции. Линейная корреляция.
Выборочное корреляционное отношение. Свойства.