Тест 6. Числовые характеристики случайных величин.

Тест 6.
Числовые характеристики случайных величин.
Известно, что закон распределения вероятностей случайных величин
является исчерпывающей характеристикой случайных величин. Во многих
случаях
нахождение
закона
распределения
вероятностей
случайной
величины связано с большими трудностями, поэтому ряд практически
важных задач помогают решить числовые характеристики случайных
величин,
которые,
По-существу,
являются
осреднёнными
характеристиками распределения.
К числовым характеристикам относятся:
1. Математическое ожидание mx;
2. Мода Mx;
3. Медиана Xm;
4. Дисперсия Dx
5. Среднее квадратическое отклонение
x .
1. Математическое ожидание.
Для
дискретных
случайных
величин
математическое
ожидание
определяется по формуле:
mx 
n
 xi  pi
i 1
Математическое ожидание случайной величины является центром
распределения вероятностей по аналогии с понятием «центр тяжести»; это то
значение случайной величины, относительно которого стабилизируется
среднее-арифметическое значение случайной величины.
Для непрерывных случайных величин их математическое ожидание с
плотностью распределения f ( x ) определяется выражением:

m x   x  f ( x)dx , где [α ; β] – интервал возможных значений

случайных величин x.
Свойства математического ожидания:
1) Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой:
m x (c )  c
2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического
ожидания:
m x (k  x)  k  m x (x)
3) Математическое ожидание суммы двух случайных величин, являющихся
функцией одного случайного события A, равно сумме математических
ожиданий этих случайных величин:
m x ( x  y )  m x ( x)  m x ( y )
4) Математическое
ожидание
произведения
взаимно
независимых
случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
m x ,y ( x  y )  m x ( x)  m y ( y )
2. Мода.
Для дискретных случайных величин нахождение моды не требует какихлибо вычислений, так как она равна тому значению x i , которому
соответствует наибольшая вероятность, т.е. которая чаще встречается.
Для непрерывных случайных величин – это точка максимума графика
плотности распределения.
3. Медиана.
Для дискретных случайных величин – это число, стоящее посередине
упорядоченного ряда.
Для непрерывных случайных величин – это такое значение x i , при
котором площади под кривой плотности распределения справа и слева равны.
4. Дисперсия.
Это числовая характеристика рассеяния случайной величины, чем меньше
дисперсия, тем меньше рассеяние и тем точнее можно предсказать
возможные значения случайной величины.
Рассеяние связано с отклонением значения случайной величины от
математического ожидания. Понятие дисперсии лежит в основе теории
дозирующих автоматов, систем управления и наведения и т.д.
Для дискретных случайных величин дисперсия определяется по
формуле:
Dx   (xi  m x )2  p i или Dx   x i2p i  m 2x
Для непрерывной случайной величины:

D x   x 2  f ( x )dx  m 2x

Свойства дисперсии:
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(c)  M(c) 2  M(c)  0
2
2) Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в
квадрат:
D(k  x)  k 2  D(x)
3) Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин равна
сумме дисперсий слагаемых:
D( x  y )  D( x)  D( y )
4) Дисперсия суммы случайной величины и постоянной равна дисперсии
случайной величины:
D( x  c)  D( x)  D(c)  D( x)  0  D( x)
5. Среднее квадратическое отклонение (СКО).
 x  Dx ;  x  0
Это величина, характеризующая рассеяние от математического ожидания;
она удобна тем, что ее можно нанести на график плотности вероятности
случайной величины.
1. Дискретная случайная величина Х задана распределением вероятностей:
X
p
-1
0,1
0
0,3
3
0,6
Тогда математическое ожидание случайной величины Y=2X равно:
1) 3,8
2) 4
3) 3,7
4) 3,4
2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
вероятностей:
X
p
-1
0,1
2
a
4
b
Ее математическое ожидание равно 3,3, если:
1) a=0,1; b=0,9
2) a=0,1; b=0,8
3) a=0,8; b=0,1
4) a=0,2; b=0,7
3. Число посетителей фондовой биржи за фиксированный интервал времени
является случайной дискретной величиной и задано рядом распределения:
X
p
0
0,1
1
0,3
2
0,4
3
0,2
Математическое ожидание этой случайной величины равно:
1) 1,7
2) 2,3
3) 1,5
4) 2,0
4. Математическое ожидание числа выпавших очков при бросании кубика
составляет:
1) 3,5
2) 2
3) 4
4) 2,5
5. Мода вариационного ряда: 1; 4; 4; 5; 6; 8; 9 равна:
1) 1
2) 4
3) 37
4) 9
6. Дискретная случайная величина X принимает три возможных значения:
x1=4 с вероятностью p1=0,5; x2=6 с вероятностью p2=0,3 и x3 с
вероятностью p3. Математическое ожидание mx величины X равно 8.
Тогда x3 и p3 равны.
1) x3=21
p3=0,2
3) x3=16
p3=0,4
2) x3=10
p3=0,6
4) x3=12
p3=0,1
7. Модой дискретной случайной величины называют такое значение
признака, которое:
1) наблюдалось наибольшее число раз, то есть имеет наибольшую
вероятность;
2) повторяется наименьшее число раз;
3) обладает максимальной дисперсией.
8. Президент компании получает 100 000 руб. в месяц, четверо его
заместителей – по 20 000 руб., а 20 служащих – по 10 000 руб. Мода
зарплаты в компании:
1) 10 000 руб.
2) 20 000 руб.
3) 30 000 руб.
9. Дан числовой ряд:
100
120
80
Мода этого ряда:
1) 150
120
145
2) 160
100
120
80
120
3) 120
150
4) 113,5
10. Медианой непрерывной случайной величины называют такое ее
значение, относительно которого:
1) равновероятное получение больших и меньших значений этой
случайной величины;
2) все остальные значения обладают меньшей вероятностью;
3) дисперсия всегда равна нулю.
11. Медианой ряда: 8; 4; 9; 5; 2 является:
1) 5
2) 9
3) 2
12. В таблице приведены данные о признаке и его частотах. Медианой этого
ряда является значение признака:
Xi
частота
1) 9
7
3
8
6
9
5
10
1
2) 8
11
2
12
3
13
2
3) 12
14
2
15
1
4) 11
13. Дисперсия характеризует:
1) рассеивание, разброс случайной величины;
2) наибольшую вероятность случайной величины;
3) наименьшую вероятность случайной величины.
14. Для случайных величин x и y известно, что D(x)=5, а D(y)=6. Тогда
дисперсия случайной величины £=3x+2y будет равна:
1) 27
2) 30
3) 69
15. Имеется числовой ряд: 1; 2; 3; 4; 5. Его дисперсия равна:
1) 2
2) 3
3) 11
16. В таблице приведены расходы студента за 4 дня:
день
расходы
понедельник
180
вторник
250
среда
240
четверг
250
Среднее квадратическое отклонение расходов равно:
1) 29,15
2) 70
3) 60
4) 23
17. Случайная величина принимает все целые значения от -15 до +15 с
равными вероятностями. Ее математическое ожидание равно:
1) 0
2) -30
3) +30
18. Дискретная случайная величина задана законом распределения:
Xi
pi
-1
0,1
0
0,3
1
0,5
2
0,1
Математическое ожидание величины X составит:
1) 0,3
2) 0,4
3) 0,6
19. Дискретная случайная величина задана рядом:
Xi
pi
-1
0,1
0
0,3
1
0,5
2
0,1
Математическое ожидание величины y  2x  1 составит…
2
1) 1,72
2) 2,2
3) 1,32
20. Известно, что mx=2, my=1,5. Тогда математическое ожидание mz
величины z  3x  y  2,5 составит …
1) 8,5
2) 7
3) 6
21. Дискретная случайная величина X задана таблицей:
Xi
pi
0
0,3
1
0,5
2
0,2
а) математическое ожидание случайной величины равно…
1) 1,3
2) 0,9
3) 1,2
б) СКО случайной величины X равно:
1) 0,909
2) 0,7
3) 0,64
22. Дискретная случайная величина X задана таблицей:
Xi
pi
-1
0,4
0
0,5
1
0,1
а) математическое ожидание случайной величины равно…
1) -0,5
2) -0,3
3) 0
б) СКО случайной величины X равно:
1) 0,46
2) 0,64
3) 0,53
23. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения
f ( x) 
1
x на отрезке X [0;2]. Тогда математическое ожидание этой
3
величины будет равно …
1) 8/9
2) 6/9
3) 8/3
4) 3
24. Непрерывная случайная величина имеет плотность распределения
1
f ( x )  x на отрезке X [0;2]. Среднее квадратическое отклонение
2
этой случайной величины равно:
1) 2
2)
2
3) 4/3
Тест
Пояснения
1.
m x  x 1  p1  x 2  p 2  x 3  p 3  (1)  0,1  0  0,3  3  0,6  1,7
№
m( y)  2m x  2  1,7  3,4
2.
 pi  1,
m x  3,3 ,
т.е.
Ответ
3,4
0,1  a  b  1

 1  0,1  2a  4b  3,3
Решаем эту систему и находим значения a и b:
a  b  0,9

2a  4b  3,4
 a  0,9  b
2(0,9  b)  4b  3,4 
a=0,1;
b=0,8
1,8  2b  4b  3,4  2b  1,6  b  0,8
a  0,9  0,8  0,1
Итак : a  0,1; b  0,8
3.
m x  0  0,1  1  0,3  2  0,4  3  0,2  1,7
4.
Вероятности чисел очков одинаковы и равны p=1/6
m x  1/ 6(1  2  3  4  5  6)  21/ 6  3,5
5.
Значение признака, равное 4, встречается наибольшее число раз.
6.
Имеем условие, что
 p i  1, т.е. 0,5  0,3  p 3  1 p 3  0,2
8  4  0,5  6  0,3  x 3  0,2, откуда 0,2x 3  4,2  x 3  21
7.
Мода – наиболее часто встречающееся значение признака.
8.
Наиболее часто встречающееся значение 10 000
9.
В этом числовом ряду значение 120 встречается наибольшее число
раз – 3, поэтому мода равна 120.
1,7
3,5
4
x 3  21
p 3  0,2
1)
10 000
120
10.
Медиана – среднее значение.
1)
11.
Если ряд упорядочить, то: 2; 4; 5; 8; 9. В середине ряда число 5.
5
12.
Надо записать ряд:
7,7,7; 8,8,8,8,8,8; 9,9,9,9,9; 10; 11,11; 12,12,12; 13,13; 14,14; 15.
9
Всего 25 чисел. Число 9 – медиана (это число в середине ряда).
13.
Дисперсия характеризует рассеивание случайной величины от ее
математического ожидания.
1)
14.
По свойству дисперсии получается:
D(z)  D(3x  2 y)  D(3x )  D(2 y)  32  D( x )  2 2  D( y) 
 9  5  4  6  69
15.
69
Среднее арифметическое:
x  (1  2  3  4  5) / 5  3
 x i2 n  (12  2 2  32  4 2  5 2 ) 5  11
2
D x  11  32  2
16.
D x  (1802  2502  2402  2502 ) 4 
 ((180  250  240  250) 4) 2  850
 x  D x  850  29,15 руб .
17
mx=0, при pi=const, это среднее значение случайной величины.
18.
m x  1  0,1  0  0,3  1  0,57  2  0,1  0,6
19.
m y  m(2x 2  1)  (2  (1) 2  1)  0,1  (2  (0) 2  1)  0,3 
 (2  (1) 2  1)  0,5  (2  (2) 2  1)  0,1  3
20.
0
0,6
3
По свойству математического ожидания имеем:
mz  m(3x  y  2,5)  3m x  m y  2,5  3  2  1,5  2,5  7
21.
29,15
а) m x   x i p i  0  0,3  1  0,5  2  0,2  0,9
7
0,9
б)
Dx  m
x2
 (m x ) 2  0 2  0,3  12  0,5  2 2  0,2  0,9 2 
 1,3  0,81  0,49
0,7
 ч  D x  0,49  0,7
22.
а) m x  1  0,4  0  0,5  1  0,1  0,3
-0,3
б)
D x  (1) 2  0,4  0 2  0,5  12  0,1  (0,3) 2  0,5  0,09  0,41
  0,41  0,64
0,64
23.
24.
1
12 2
1 x3
m x   x  f ( x )dx   x  xdx   x dx  
3
30
3 3
0
0
2
2
2

0
8
9
8/9
2
1 3
1 x4
2
2
2
D x   x  f ( x )dx  m x   x dx  m x  
 m 2x  2  m 2x
2 4 0
0
02
2
2
1 2
x3
Вычислим: m x   x  f ( x )dx   x dx 
6
0
02
2
2
2
2
 4
Dx  2     ;
9
 3
x  Dx 
2
2

9
3
2

0
8 4
 ;
6 3
2
3