ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ Учебная программа дисциплины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Учебная программа дисциплины
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
ВЛАДИВОСТОКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЭКОНОМИКИ И СЕРВИСА
ИНСТИТУТ ИНФОРМАТИКИ, ИННОВАЦИЙ И
БИЗНЕС-СИСТЕМ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И МОДЕЛИРОВАНИЯ
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
СТАТИСТИКА И СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Учебная программа дисциплины
по специальностям
230101.65 Вычислительные машины, комплексы, системы и сети
230201.65 Информационные системы и технологии
080801.65 Прикладная информатика (в экономике)
Владивосток
Издательство ВГУЭС
2014
ББК 22.17
Учебная программа по дисциплине «Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы» составлена в
соответствии с требованиями ГОС ВПО.
Предназначена для
студентов специальностей
230101.65
«Вычислительные машины, комплексы, системы и сети», 230201.65
«Информационные системы и технологии», 080801.65 «Прикладная
информатика (в экономике)».
Составитель: Ембулаев В.Н., профессор кафедры математики и
моделирования.
Утверждена на заседании кафедры математики и
моделирования от 7.02.2011 г., протокол № 7, редакция 2014г.
Рекомендована к изданию учебно-методической комиссией
Института информатики, инноваций и бизнес – систем.
© Издательство Владивостокского
государственного университета
экономики и сервиса, 2014.
ВВЕДЕНИЕ
При моделировании объектов сложной структуры приходится
сталкиваться со случайными явлениями и процессами, которые не могут
быть определены точно ни до, ни после наблюдений. В этом случае
прибегают к изучению закономерностей массовых однородных
случайных явлений на основе теории вероятностей и математической
статистики. А решение некоторых классических задач теории
вероятностей показало их тесную связь и с теорией статистических
(случайных) процессов.
Дисциплина предназначена для ознакомления студентов с
элементами теории вероятностей на основе изучения разделов:
случайные события, повторные независимые испытания, случайные
величины, закон больших чисел; с математической статистикой на
основе изучения разделов: определение характеристик и нахождение
законов распределения случайных величин на основе опытных данных,
линии регрессии, корреляция; со случайными процессами на основе
изучения
однородных
и
неоднородных,
стационарных
и
нестационарных случайных процессов. С учетом специфики основных
разделов курса и специальностей, для которых он предназначен,
повышенное внимание уделяется формированию у студентов
практических навыков решения задач теории вероятностей,
математической статистики и случайных процессов.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ.
1.1 Цели и задачи учебной дисциплины
Целью
изучения
дисциплины
«Теория
вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы» является
ознакомление студентов с такими понятиями как событие, испытание,
вероятность, случайная величина, функция распределения, плотность
вероятности, числовые характеристики, закон больших чисел, выборка,
распределение выборки, полигон, гистограмма, статистические оценки,
эмпирическое распределение, регрессия, корреляция, случайный
процесс, тип процесса. На основе этих понятий выводятся основные
формулы вычисления численных значений вероятностей, а так же
излагаются
методы
и
приемы
описания
количественных
закономерностей массовых случайных явлений и обработки
экспериментальных данных. Излагаемые методы и приемы не всегда
сопровождаются строгим теоретическим обоснованием. Повышенное
внимание уделяется практическому использованию полученных
значений при решении задач теории вероятностей, математической
статистики и случайных процессов.
3
1.2. Перечень компетенций, приобретаемых
при изучении дисциплины
Для изучения дисциплины «Теория вероятностей, математическая
статистика и случайные процессы» достаточно знакомства с курсом
математического анализа в объеме обычной программы для вузов. В
свою очередь данная дисциплина является основой многих других
дисциплин технического, экономического и даже гуманитарного циклов
и практически во всех циклах специальных разделов математики.
В результате изучения дисциплины «Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы» студенты должны
знать основные определения и понятия изучаемых разделов, уметь
сформулировать и доказать основные результаты этих разделов. В ходе
практических занятий студент должен приобрести навыки решения
типичных заданий, решаемых на основе изучаемого теоретического
материала.
1.3. Основные виды занятий и особенности их проведения
Дисциплина «Теория вероятностей, математическая статистика и
случайные процессы» для специальностей 230101.65 «Вычислительные
машины, комплексы, системы и сети», 230201.65 «Информационные
системы и технологии», 080801.65 «Прикладная информатика (в
экономике)» изучается общим объёмом 117 часов в течение четвертого
семестра.
1.3.1. Лекционные занятия
Построены как типичные лекционные занятия классической
математической дисциплины. Недельная аудиторная нагрузка
составляет два часа. На лекциях излагается теоретический материал,
который по мере необходимости иллюстрирутся примерами.
1.3.2. Практические занятия
Построены как типичные практические занятия классической
математической дисциплины. Недельная аудиторная нагрузка
составляет один час. На практических занятиях изучаются методы
решения конкретных задач и приобретаются навыки решения подобных
задач.
1.4. Виды контроля и отчетности по дисциплине
В рамках изучения дисциплины «Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы» проводятся
следующие виды контроля знаний студентов по дисциплине:
4
-домашние задания;
-индивидуальные домашние задания;
-текущие контрольные работы;
-промежуточные аттестации (с учётом результатов выполнения
всех предыдущих этапов);
-итоговая аттестация – зачёт.
2. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
2.1. Перечень тем лекционных занятий
Тема 1. «Основные определения и понятия теории
вероятностей». Предмет теории вероятностей. Опыт (испытания) и
события.
Виды
событий.
Частота
событий.
Классическое,
статистическое, подсчётом шансов и геометрическое способы
определения вероятности события. Свойства вероятностей события.
Тема 2. «Правила сложения и умножения вероятностей».
Совместные и несовместные события. Зависимые и независимые
события. Формулы сложения вероятностей. Формулы умножения
вероятностей.
Тема 3. «Полная вероятность события». Формула полной
вероятности. Формула Байеса или Теорема гипотез.
Тема 4. «Повторные испытания». Формула Бернулли.
Наивероятнейшее число появлений события при повторных испытаниях
по схеме Бернулли.
Тема 5. «Асимптотические функции, которые используются
вместо формулы Бернулли». Локальная теорема Лапласа.
Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона.
Тема 6. «Случайные величины». Дискретные и непрерывные
случайные величины. Закон распределения дискретной случайной
величины. Функция распределения дискретной случайной величины.
Тема 7. «Математические операции над случайными
величинами». Сумма, разность и умножение двухслучайных величин,
умножение константы на случайную величину, квадрат случайной
величины, равенство двух случайных величин.
Тема 8. «Числовые характеристики дискретной случайной
величины». Математическое ожидание и её свойства, дисперсия и её
свойства, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана.
Тема 9. «Закон больших чисел». Неравенство Маркова,
неравенство Чебышева (первая и вторая формы), теорема Чебышева.
Тема 10. «Непрерывная случайная величина». Плотность
вероятности и функция распределения непрерывной случайной
5
величины. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
(математическое ожидание, дисперсия).
Тема 11. «Распределение непрерывной случайной величины».
Равномерное и нормальное распределения непрерывной случайной
величины.
Тема 12. «Выборочный метод изучения статистических
данных». Генеральная совокупность и выборка. Статистическое
распределение выборки. Полигон и гистограмма частот.
Тема 13. «Статистические оценки параметров распределения».
Генеральная средняя и выборочная средняя. Генеральная дисперсия и
выборочная дисперсия. Точность оценки. Доверительный интервал.
Тема 14. «Характеристики эмпирического распределения».
Обычный, начальный, центральный и условный эмпирические моменты
порядка k. Метод произведений вычисления выборочных средней и
дисперсии.
Тема 15. «Элементы теории корреляции». Корреляционная
таблица. Линейная корреляционная зависимость. Коэффициент
корреляции и его свойства.
Тема 16. «Вычисление коэффициента корреляции». Метод
четырёх полей вычисления выборочного коэффициента корреляции.
Тема 17. «Случайные процессы». Основные понятия случайных
процессов. Типы и виды случайных функций. Способы заданий
случайных функций.
3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ
ДИСЦИПЛИНЫ
3.1. Перечень и тематика самостоятельных работ студентов
по дисциплине
Для студентов специальностей 23010165
«Вычислительные
машины, комплексы, системы и сети», 23020165 «Информационные
системы и технологии», 08080165 «Прикладная информатика
(в
экономике)» предусмотрены две контрольные работы (по два часа
каждая), а также два индивидуальных домашних задания.
Темы контрольных работ
1. Определение вероятности события.
2. Вычисление числовых характеристик случайных величин.
6
Темы индивидуальных домашних заданий
1. Решить задачу на определение числовых харатеристик
нормального распределения непрерывной случайной величины.
2. С использованием метода четырёх полей и метода произведений
определить коэффициент корреляции, характеризующий тесноту связи
между двумя заданными вариационными рядами.
3.2. Рекомендации по работе с литературой
В процессе изучения дисциплины «Теория вероятностей,
математическая статистика и случайные процессы» помимо
теоретического материала, предоставленного во время лекционных
занятий, возникает необходимость в изучении учебной литературы, так
как некоторые темы, частично или полностью, изучают самостоятельно.
В учебнике В.Е. Гмурман «Теория вероятностей и математическая
статистика» рассматриваются ряд тем, предусмотренных программой
дисциплины.
3.3. Методические рекомендации по организации
самостоятельной работы студентов
В ходе изучения курса студент слушает лекции по большинству
тем, посещает практические занятия, занимается индивидуально.
Индивидуальные занятия включают закрепление тем, изучаемых как
аудиторно, так и самостоятельно. Освоение курса предполагает, помимо
посещения лекций и практических занятий, выполнение аудиторных
контрольных работ. Особое место в овладении данным курсом
отводится самостоятельной работе по решению текущих и
индивидуальных домашних заданий. Учебным планом предусмотрены
консультации, которые студент может посещать по желанию.
Для выполнения индивидуальных домашних заданий необходимо
изучить соответствующий теоретический материал и научиться решать
типовые задачи по нужной теме. При решении индивидуальных
домашних заданий необходимо делать ссылки на соответствующие
теоремы, свойства, формулы. Решение индивидуальных домашних
заданий нужно выполнять подробно, делать все необходимые
пояснения и, если нужно, иллюстрировать решение чертежами.
3.4 Контрольные вопросы для самостоятельной оценки
качества освоения дисциплины
1.
2.
3.
Что называют испытанием и событием?
Какие существуют виды событий?
Какие события называют случайными?
7
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
Какое событие называют «практически достоверным»?
Какое событие называют «практически невозможным»?
Дать классическое определение вероятности наступления события?
Дать определение относительной частоты наступления события?
Дать понятие статистической вероятности наступления события?
Записать и знать формулы комбинаторики: число перестановок из n,
число решений из n по k, число сочетаний из n по k?
Что понимают под суммой двух или нескольких несовместимых и
совместных событий?
Как формулируется теорема сложения вероятностей для двух или
нескольких несовместимых событий?
Как формулируется терема сложения вероятностей двух
совместимых событий?
Дать понятие произведения двух или нескольких событий?
Сформулировать
теорему
умножения
вероятностей
для
независимых событий?
Сформулировать теорему умножения вероятностей для зависимых
событий?
Каким вероятностным свойством обладает полная группа событий?
Как записать и объяснить формулу полной вероятности события?
Какие события называются противоположными? Каким свойством
обладают противоположные события с точки зрения теории
вероятностей?
Записать и объяснить теорему гипотез?
Уметь записать формулу Бернулли. Указать класс задач, решаемых
с использованием формулы Бернулли.
В чем состоит смысл локальной теории Лапласа? Знать, какими
свойствами обладает функция Лапласа.
Сформулировать интегральную теорему Лапласа. Знать, когда
применять интегральную теорему Лапласа.
Уметь записать формулу Пуассона. Знать, когда применять
формулу Пуассона.
Дать понятие дискретной случайной величины.
Что понимают под законом распределения вероятностей случайной
величины?
Дать определение математического ожидания дискретной
случайной величины.
Какими свойствами обладает математическое ожидание дискретной
случайной величины?
Дать определение дисперсии дискретной случайной величины?
Какими свойствами обладает дисперсия дискретной случайной
величины?
8
30. Что понимают под средним квадратическим отклонением
дискретной случайной величины?
31. Чему равны математическое ожидание, дисперсия, среднее
квадратическое отклонение и наивероятнейшее число наступления
события при n независимых повторных испытаниях, когда
случайная величина распределена по биноминальному закону?
32. Дать понятие непрерывной случайной величины. Уметь отличать
непрерывную случайную величину от дискретной?
33. Что понимают под законом распределения непрерывной случайной
величины?
34. Дать понятие функции распределения.
35. Сформулировать и доказать свойства функции распределения
непрерывной случайной величины.
36. Как найти вероятность попадания непрерывной случайной
величины в данный интервал (a<x<b), если известна функция
распределения?
37. В чем состоит различие графиков функции распределения
непрерывной и дискретной случайных величин?
38. Каков
смысл
плотности
распределения
вероятности
(дифференциальной функции)?
39. Как определить вероятность попадания непрерывной случайной
величины в заданный интервал (a<x<b), если известна плотность
распределения вероятностей?
40. Какими
свойствами
обладает
плотность
распределения
вероятностей?
41. Как найти функцию распределения (интегральный закон), зная
плотность распределения (дифференциальный закон)? И наоборот?
42. Знать формулы для расчета числовых характеристик непрерывной
случайной величины: математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение, мода.
43. Дать понятие равномерно распределенной непрерывной случайной
величины.
44. Дать понятие нормально распределенной непрерывной случайной
величины.
45. В чем состоит различие между повторной и бесповторной
выборками?
46. Уметь определить генеральную и выборочную совокупность
элементов.
47. Определить генеральную и выборочную среднюю.
48. Определить генеральную и выборочную дисперсию.
49. Как строят графики статистического распределения в виде полигона
и гистограммы?
9
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
Что называется обычным эмпирическим моментом порядка k?
Что называется начальным эмпирическим моментом порядка k?
Что называется центральным эмпирическим моментом порядка k?
Как определить условные варианты?
В чем заключается смысл метода произведений вычисления
выборочных средней и дисперсии?
Иметь понятие о корреляционной зависимости.
Знать, в чем состоят две основные задачи теории корреляции?
Знать, что определяет выборочный линейный коэффициент
корреляции?
Знать, когда корреляция называется линейной (прямой и обратной)?
Какими свойствами обладает коэффициент корреляции?
Как можно определить тесноту связи по коэффициенту корреляции?
Дать определение корреляционной зависимости.
Какую корреляцию называют нелинейной (криволинейной)?
Как записать уравнения параболической, гиперболической,
показательной и логарифмической регрессии?
Дать определение корреляционного отношения.
Иметь понятие о случайных процессах.
Дать определение стационарного случайного процесса.
Дать определение однородного случайного процесса.
4. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
4.1. Основная литература
1. Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров, Задачи и упражнения по теории
вероятностей. -М.: Высш. шк., 2006.
2. Е.С.Вентцель, Л.А.Овчаров, Теория вероятностей и ее
инженерные приложения. - М.: Высш. шк., 2007.
3. Е. С. Вентцель, Теория вероятностей. - М.: КНОРУС, 2010.
4. В. Е. Гмурман, Руководство к решению задач по теории
вероятностей и математической статистике. - М.: Юрайт : ИД Юрайт,
2011.
5. В. П. Яковлев, Теория вероятностей и математическая
статистика. - М.: Дашков и К*, 2012.
6. В. Е. Гмурман, Теория вероятностей и математическая
статистика. - М.: Юрайт : ИД Юрайт, 2011.
7. Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров, Теория случайных процессов и ее
инженерные приложения. - М.: КНОРУС, 2011.
10
4.2. Дополнительная литература
1. Л. Н. Фадеева, А. В. Лебедев, Теория вероятностей и
математическая статистика. - М.: Эксмо, 2010.
2. Румшинский Л. З., "Элементы теория вероятностей".- М: Наука,
2006г.
3. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., "Теория вероятностей.
Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы" -M:
Наука,2007.
4. Щиголев Б. М., «Математическая обработка наблюдений» - М.:
Наука, 2005г.
5. Агекян Т. А., «Теория вероятностей для астрономов и физиков» М.: Наука, 200г.
6. Чистяков В. П., «Курс теории вероятностей» - М.: Наука, 2008г.
11