Лекция 5 2. Случайные величины

Лекция 5
2. Случайные величины
2.1 Понятие случайной величины и ее закона распределения
Как мы уже заметили, в теории вероятностей, нет различий в подсчете вероятностей
событий для многих экспериментов, с совершенно различными исходами. Поэтому разумно
было бы все похожие эксперименты описывать с помощью одной вероятностной модели,
введя соответствие между исходами эксперимента и числами.
Пусть имеется случайный эксперимент и задано вероятностное пространство
{, , P} .
Определение 1. Случайной величиной  называется функция  :   R , отображающая
множество элементарных исходов на множество действительных чисел, и такая, что при любом x  R множество тех исходов  , для которых  ( )  x , принадлежит  -алгебре событий данного эксперимента.
Для тех, кто не собирается забивать голову понятиями, связанными с  -алгеброй событий, можно считать, что случайная величина есть любая функция из  в R , то есть величина, принимающая в результате испытания то или иное числовое значение, в зависимости
от исхода испытания.
Среди случайных величин можно выделить два основных типа: дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Определим пока эти величины следующим образом:
Определение 2. Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая
может принимать конечное или счетное множество значений.
Определение 3. Случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют
некоторый промежуток (конечный или бесконечный) называется непрерывной случайной
величиной.
Определение 4. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями или множествами значений
случайной величины и соответствующими им вероятностями.
2.1.1 Дискретная случайная величина и ее ряд распределения
Определение 5. Говорят, что случайная величина  имеет дискретное распределение, если
она может принять конечное или счетное множество значений x1 , x2 , с вероятностями
26
P  x1   p1 , P  x2   p2 ,  , причем
p
i
 1.
i
Определение 6. Рядом распределения дискретной случайной величины называется совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей.
Обычно ряд распределения задают в виде таблицы:
ξ
х1
х2
…
хn
P
р1
р2
…
рn
либо аналитически pk  P(  xk ), k  1, 2,
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.
Для его построения возможные значения случайной величины xi откладываются по оси абсцисс, а вероятности pi - по оси ординат; точки c координатами xi , pi  соединяются ломаными линиями.
Пример 1. Построить ряд распределения случайной величины  - числа выпадений орла при
трех подбрасываниях монеты.
Решение. Случайная величина  может принять четыре различных значения: 0, 1, 2, 3.
Найдем вероятности этих значений по формуле Бернулли:
x1  0
P  x1   C 30 1 / 2   1 / 2   1 / 8
x2  1
P  x 2   C 31 1 / 2  1 / 2   3 / 8
x3  2
P  x3   C 32 1 / 2   1 / 2  3 / 8
x4  3
P  x 4   C 33 1 / 2   1 / 2  1 / 8
0
3
1
2
2
1
3
0
Следовательно, ряд распределения:
ξ
0
1
2
3
Р
1/8
3/8
3/8
1/8
2.1.2 Функция распределения случайной величины
Ряд распределения можно составить только для дискретной случайной величины.
Действительно, непрерывная случайная величина может принимать бесконечное множество
значений, которые перечислить нельзя. Да и вероятность каждого отдельного значения этой
случайной величины не может быть отличной от нуля. Поэтому, для характеристики распределения вероятностей таких величин используют не вероятности отдельных значений, а вероятности попадания этих значений в некоторый интервал.
Определение 7. Функцией распределения случайной величины  называется функция
27
F  x  , значение которой в каждой точке x  R равно вероятности того, что случайная вели-
чина  примет значение меньшее x , то есть:
F  x   P  x  .
(2.1)
Свойства функции распределения.
1)
Функция распределения F  x  есть неубывающая функция, то есть, если x2  x1 , то
F x2   F x1  .
Доказательство. Если x2  x1 , то событие {  x1} является подмножеством события
{  x2 } , следовательно P  x1   P  x2   F x1   F x2  .
2)
lim F x   F ()  0 ,
x  
Доказательство.
lim F x   F ()  1 .
x 
F    P    0 ,
так
как
событие
{  }
невозможное,
F   P    1 , так как событие {  } достоверное.
3)
Функция F  x  непрерывна слева в каждой точке, т.е. lim F ( x)  F ( x0 ) .
xx0 0
Доказательство. Пусть {x n } возрастающая последовательность, сходящаяся к x 0 . Тогда
{  x1}  {  x2 } 
 {  xn }  {  xn1} 
и

{  x }  {  x }
n
n 1
(т.е., как говорят,
0
событие {  x0 } является предельным для последовательности событий {  xn } при
xn  x0 ). Следовательно, в соответствии с аксиомой А5 теории вероятностей, и учитывая
монотонность и ограниченность функции F (x) , получим:
lim F ( x)  lim F ( xn )  lim P(  xn )  P(  x0 )  F ( x0 ) .
x x0 0
n
n
Теорема. Если функция F (x) удовлетворяет условиям 1-3, то она является функцией распределения некоторой случайной величины  (без доказательства).
4)
lim F ( x)  P(  x0 ) , или F ( x0  0)  F ( x0 )  P(  x0 ) .
x x0 0
Доказательство. Представим событие {  x} в виде суммы несовместных событий:
{  x0 }  {x0    x} .
Тогда
lim F ( x)  lim P(  x)  P(  x0 )  lim P( x0    x) .
x x0 0
x x0 0
x x0 0
Пусть {x n } убывающая последовательность, сходящаяся к x 0 . Событие {  x0 } является,
очевидно,
предельным
( {x0    x1}  {x0    x2 } 
для
{x 0    x n }
событий
 {x0    xn } 

и
 {x
n 1
0
при
x n  x0
   xn }  {  x0 } ). Следова-
тельно по аксиоме 5, lim P( x0    x)  lim P( x0    xn )  P(  x0 ) , и
x x0 0
n
28
lim F ( x)  P(  x0 )  P(  x0 )  P(  x0 )) .
x x0 0
5)
Если функция распределения непрерывна в точке x 0 , то P(  x0 )  0 .
Доказательство. По предыдущему свойству P(  x0 )  F ( x0  0)  F ( x0 ) . Но, если F (x)
непрерывна в точке x 0 , то F ( x0  0)  F ( x0 ) .
6)
Вероятность попадания случайной величины на интервал [ a, b) равна разности значений функции распределения в граничных точках интервала:
Pa    b  F (b)  F (a)
(2.2)
Доказательство. Представим событие {  b} в виде суммы несовместных событий:
{  b}  {  a}  {a    b} . По теореме сложения вероятностей имеем:
P(  b)  P(  a)  P(a    b) . Откуда получаем:
P(a    b)  P(  b)  P(  a)  F (b)  F (a)
2.1.3 Функция распределения дискретной случайной величины
Значение функции распределения дискретной случайной величины для любого x  R
может быть найдено по формуле:
F x   P  x    P  xi  ,
(2.3)
xi  x
где суммирование идет по всем значениям случайной величины xi меньшим величины x .
Заметим, что для дискретной случайной величины, функция распределения представляет
ступенчатую функцию, имеющую разрывы 1-го рода в точках, отвечающих возможным значениям случайной величины. Величина разрыва равна вероятности этих значений.
Пример 2. Дан ряд распределения случайной величины  :
ξ
0
1
2
3
Р
0,1
0,3
0.2
0,4
Найти функцию распределения F  x  этой случайной величины и построить ее.
Решение.
Если x  0 , то F x   P  x  0 ;
если 0  x  1 , то F x  P  x  P  x1   p1  0,1;
если 1  x  2 , то F x  P  x  P  x1   P  x2   p1  p2  0,1  0,3  0,4 .
если 2  x  3 , то F x   P  x   P  x1   P  x2   P  x3  
 p1  p2  p3  0,1  0,3  0,2  0,6 ;
29
если x  3 , то F x   P  x   P  x1   P  x2   P  x3  
 p1  p2  p3  p4  0,1  0,3  0,2  0,4  1,0 .
P
F(x)
0.5
1.0
0.4
0.8
0.3
0.6
0.2
0.4
0.1
0.2
0.0
X
0
1
2
ξ
0.0
3
0
1
2
3
Рис 16. Многоугольник распределения и функция распределения вероятностей.
Построим многоугольник распределения и полученную функцию распределения вероятности.
2.1.4 Непрерывные случайные величины.
Плотность распределения непрерывной случайной величины.
Определение 8. Говорят, что случайная величина  имеет непрерывное распределение, или
является непрерывной случайной величиной, если существует неотрицательная функция
f  (x) такая, что для любого x  R функция распределения F (x) случайной величины 
представима в виде:
F x  
x
 f  t dt
(2.4)

Функция f   x  называется плотностью распределения (плотностью вероятности) случайной величины  .
Свойства плотности и функции распределения непрерывной случайной величины:
1.
f x   0 (по определению).

2.
 f x dx  1 (условие нормировки)
(2.5)

Доказательство.

x


f t dt  F     1 .
 f x dx  lim
x  
30
Теорема. Если функция f x  удовлетворяет условиям 1-2, то она является плотностью распределения некоторой случайной величины.
Доказательство. Пусть  есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком
функции f (x) . Заметим, что S   1 по свойству 1. Возьмем в качестве  абсциссу точки,
брошенной наудачу в эту область. Тогда, по геометрическому определению вероятности:
x
Sd
F ( x)  P(  x) 
 f (t )dt , т.е. f x  есть плотность распределения  .
S  
3. Если случайная величина имеет непрерывное распределение, то ее функция распределения есть непрерывная функция.
Доказательство. Непрерывность функции распределения следует из представления
F x  
x
 f  t dt
и непрерывности интеграла, как функции верхнего предела.

4. Функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема почти
всюду, причем:
F ( x)  f ( x) .
(2.6)
(Термин “почти всюду” означает “для всех x , кроме возможно x из множества нулевой меры (длины)”).
Замечание. Исходя из данного свойства и определения производной плотность вероятности
F  x  x   F  x 
P x  X  x  x 
 lim
,
x 0
x 0
x
x
можно было бы определить как f  x   F  x   lim
т.е. как предел отношения вероятности попадания на бесконечно малый интервал длиной x
к длине этого интервала.
5. Если случайная величина имеет непрерывное распределение, то для любого x 0
P(  x0 )  0 .
Доказательство. Так как F (x) для непрерывной величины есть непрерывная функция, то
по свойству 5 функции распределения P(  x0 )  0 . Таким образом, нулевой вероятностью
могут обладать не только невозможные события. Событие, заключающееся в том, что непрерывная случайная величина  примет конкретное значение x возможно, однако вероятность
его равна нулю.

6.
 f xdx  P(     )
(2.7)
31
Доказательство. P(     )  F (  )  F ( ) 


f x dx 





f x dx   f x dx . Заметим, что

поскольку вероятность отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю,
эта же формула дает вероятности попадания и в интервалы:      ,      ,      .
Геометрически данное свойство означает, что площадь под кривой плотности вероятности на
интервале ( ,  ) , есть вероятность попадания в этот интервал.
.
Пример 3 Задана плотность распределения f  x  случайной величины  :

 A cos x,
f x   
 0,

x
x

2

2
Требуется :
1) найти коэффициент A ;
2) построить график плотности распределения f  x  ;
3) найти функцию распределения F  x  и построить ее график;
4) найти вероятность попадания величины  на участок от 0 до

.
4
Решение. 1) Для определения коэффициента A воспользуемся условием нормировки плотности распределения:



f  x dx 


2
 A cos xdx  A sin x 2  2 A  1 , откуда A 



2
1
.
2
2
2) График плотности f  x  представлен на рис 17.
3) Имеем: F  x  
x
 f t dt .



Так как на интервале   ,  функция f  x  равна нулю, то на этом интервале F x   0 .
2

  
На интервале   ,  функция
 2 2
F x  
 2
x

 /2
1
f  x   cos x , следовательно, на этом интервале:
2
x
 f t dt   f t dt  0  

1
1
cos tdt  sin x  1
2
2
/2
32
 
На интервале  ,   функция f  x  вновь равна нулю, следовательно, на этом интервале
2 
F x  

 2
 2

 /2

f t dt 


f t dt 
x


f t dt  0 
 2

/2


0,
x

2
 1

F  x    (sin x  1), x 
2
2


1,
x

2
1
cos tdt  0  1 .
2
/2


.
График функции F  x  изображен на рис 18.
4) Вероятность попадания величины  на участок от 0 до

P       



f x dx  P 0     
4

 4

0

находим по формуле:
4
 4
1
1
2
cos xdx  sin x

;
2
2
4
0
либо по формуле: P       F    F  :
  1   1
2

.
 P 0       sin  1  sin 0  1 
4  2
4  2
4

f x
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-
p
2
-
F x
1
0.8
0.6
0.4
0.2
p
p
p
4
4
2
Рис 17.
x
-
p
2
-
p
p
p
4
4
2
x
Рис 18.
33