СПб ГОУ СПО «КОР №1» « »

СПб ГОУ СПО «КОР №1»
Материал для дистанционного обучения по теме:
«В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А »
Учитель: Нарижная Ольга Борисовна
Санкт-Петербург
2013-2014 уч.год
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Определение: Векторной величиной называется величина, которая
геометрически представляется направленным отрезком, т.е. отрезком имеющим
 
длину и направление. Обозначается вектор: AB; a .
За длину вектора принимается длина соответствующего отрезка. Длина


вектора обозначается a .Вектор, имеющий длину, равную единице ( a =1)
называется единичным вектором. Любая точка пространства рассматривается
как вектор, имеющий нулевую длину и произвольное направление , и назывется
нулевым вектором.
Два вектора называются равными, если: а) они имеют одинаковую длину; б)
параллельны и направлены в одну сторону. Вектора называются
коллинеарными, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых, при
этом если они направлены в одну сторону, то это сонаправленные вектора, если
в противоположные, то противоположно направленные вектора, Два вектора,
имеющие одинаковую длину и противоположное направление называются
противоположными.
Типы векторов:
1. Свободный вектор – вектор, который может быть перемещен в любую точку
пространства.
2. Скользящий вектор – вектор, который можно перемещать только вдоль
линии, на которой он расположен.
3. Связанный вектор – вектор, который характеризует векторную величину
только в данной точке.
Действия над векторами:


1.Умножение вектора на число: a  k  b
Результатом умножения вектора на число является вектор длина которого в к

раз больше длины вектора b , а направления совпадают, если к>0, и
противоположны, если к<0.


Для любых векторов a и b , и любых чисел
равенства:
kl a  k la  - сочетательный закон;



 

k a  b  ka  kb
k  l a  ka  la
k, l справедливы следующие
первый распределительный закон;
второй распределительный закон.


Отметим, что вектор  1a является вектором противоположным вектору a .
-



Лемма: если векторы a и b коллинеарны и a  0 , то существует число k
такое, что


b  ka .
Сложение векторов:
Суммой векторов
 

a и b называется вектор c равный диагонали


a иb:
параллелограмма, построенного на векторах


c

 + b =
a

a

b
Это правило получило название правила параллелограмма.
Два вектора, если они не выходят из одной точки можно сложить по правилу
треугольника: вектора должны быть расположены так, чтобы начало второго
вектора совпадало с концом первого, тогда суммарный вектор равен вектору,
проведенному из начала первого вектора в конец второго.
При сложении трех и более векторов действует правило многоугольника:
векторы располагаются цепочкой, т. е. соединяется конец предыдущего и
начало следующего вектора; суммой таких векторов является вектор, начало
которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом последнего.
Вычитание векторов:


Разностью векторов a и b называется такой вектор, сумма которого с






вектором b равна вектору a . Разность a  b векторов a и b можно найти

 



по формуле : a  b = a +(- b ), где (- b ) вектор, противоположный вектору b .
Правило вычитания векторов: для нахождения вектора равного разности
векторов надо соединить концы этих векторов и конец результирующего
вектора должен совпадать с концом уменьшаемого вектора.
Законы сложения:
   
a b  b a
переместительный закон;
a  b  c  a  b  c 


- сочетательный закон.
КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ.
Векторы называются компланарными, если при откладывании от одной точки
они будут лежать в одной плоскости.
Свойства компланарных векторов:
1. Два вектора всегда компланарны.
2.Два вектора, вместе с их суммарным вектором или с вектором равным
разности этих векторов, образуют тройку компланарных векторов.
3. Три вектора, два из которых коллинеарны, образуют тройку коллинеарных
векторов.

Признак компланарности векторов: если вектор c можно представить в виде

 



c  xa  yb , где x и y - некоторые числа, то векторы a , b и c
компланарны.
Для сложения трех некомпланарных векторов можно пользоваться правилом
параллелепипеда: сумма трех некомпланарных векторов равна диагонали
параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Z
M3
az
M
a
k
ay
a
x
0
j
M2
Y
i
M1
X
ТЕОРЕМА.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам,
причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
 


p  xa  yb  zc . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
 

Вектора a , b и c некомпланарны.
B
c
C
b
S

D
a
A
Разложение вектора по осям координат.
Z
M3
az
M
a
k
ay
a
x
0
M2
j
i
M1
X

Пусть задан вектор a в прямоугольной системе координат Оxyz.

Тогда : a x , a y , a z - проекции вектора a на оси координат.






OM 1 = a x  i ; OM 2 = a y  j ; OM 3 = a z  k




OM = OM 1 + OM 2 + OM 3




a = a x i + ay  j + a z  k
Определение. Коэффициенты в разложении произвольного вектора по
единичным координатным векторам называются координатами вектора.

Следовательно, вектор a имеет координаты { a x ; a y ; a z }.
Действия с векторами, заданными координатами.
Y
1. Умножение вектора на число.


При умножении вектора a на число к каждая координата вектора a
умножается на число к:


b =k a


При этом координаты вектора b имеют вид: b { b x ; b y ; b z }=

= b {k a x , k a y , k a z }.
2.Сложение (вычитание) векторов.
При сложении векторов в координатной форме справедливо следующее
правило: Каждая координата вектора равного суммы(разности) двух векторов
равна сумме(разности) соответствующих координат этих векторов.
Аналогично для п-векторов.
  
a =b + c

a { bx + c x ; b y + C y ; b z + c z }
3. Скалярное произведение векторов.
 
Нетрудно показать, что a x  b x + a y  b y + a z  b z = a  b (1)

где a x , a y , a z - проекции вектора a на оси координат; или, что то -же самое,

координаты вектора a ;


b x , b y , b z - проекции вектора b на оси координат, или координаты вектора b .
(1) – формула скалярного произведения векторов, заданных координатами этих
векторов.
4.Векторное произведение векторов.
Выведем формулу векторного произведения в координатной форме.








Пусть a = a x  i + a y  j + a z  k ; b = b x  i + b y  j + b z  k .
Составим векторное произведение:
 
 

 
 
 
a  b = a x  bx  i  i + a y  bx  j  i + a z  bx  k  i + a x  b y  i  j + a y  b y  j 

 


 
 
j + a z  by  k   j + a x  bz  i  k + a y  bz  j  k + a x  bz  k  k
 
 
 
но i  i =0; j  j =0; k  k =0, т.к. координатные векторы взаимно
перпендикулярны.
 
Вектор k = i

 j , т.к. площадь параллелограмма, построенного на этих

векторах равна площади единичного квадрата и поворот с конца вектора k





виден от i к j против часовой стрелки. Вектор i  j и вектор k имеют
одинаковую длину и направление, следовательно, они равны.
Тогда получаем:


  
a  b = i ( a y  b z - a z  b y ) - j ( a x  b z - a z  b x )+ k ( a x  b y - a y   b x )
или в матричной форме:

i
 
a  b = ax
bx

j
ay
by

k
az .
bz
Задачи по теме:
Вариант 1.






1.Даны векторы a 2;1;1 и b 1;3;2. Найдите a  2b и a  2b .
2.В треугольнике АВС ВМ – медиана, А(-1;2;2), В(2;-2;-6), М(1;1;-1). Найдите 1)

координаты точки С, 2)найдите длину стороны ВС,3) разложите вектор ÂÑ по
координатным векторам.
3. Ребра правильного тетраэдра DABC равны a , К – середина ВС. Найдите 1)


DA AK 
2) DA  BC .
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – центр грани DD1C1C . Какой угол острый,


тупой или прямой, между векторами AM и BD1 ?
Вариант 2


 2
1. Даны векторы a2;0;1 и b 0;3;3. Найдите длину вектора a  b .
3
 3
1  
1
1
2. Докажите, что векторы a 3 ;3;4  и b  10;8 ;12  коллинеарны.
2
3
2
 5



3. Вычислите угол между векторами CA и CB если даны координаты точек
А(1;3;0), В(2;3;-1) и С(1;2;0).


4. Найдите значение k при котором векторы a2; k;3и b 1;2;1
перпендикулярны.
Вариант 3.



1.Даны векторы a5;1;2, b  5;1;1 и c 1;1;1. Вычислите длину вектора
 

a  b  2c .
2.Даны точки Р(-2;5;-1) и Н(4;1;1). Найдите расстояние от начала координат до
середины отрезка РН.
 



 

3.Даны векторы a  xi  3 j  4k и b  4i  xj  2k . При каком значении x
векторы взаимно перпендикулярны?
4. Вычислите угол между прямыми АВ и РН, если точки имеют координаты
А(2;-2;0), В(-1;-1;1), Р(2;-3;1),Н(3;-2;2).
Вариант 4.
1.Лежат ли точки А(2;3;1), В(3;-1;2), С(4,-5;3) на одной прямой.
  

 
 

2.Найдите длину вектора ð  2a  b , если a  2i  3 j  k , а b  i  k

 
 

3.Найдите скалярное произведение векторов a и b , если a  2i  j  2k ,



b  2i  3k .
4.Перпендикурны ли прямые MN иCK, если M(-8;-5;3),N(-15;0;-1),
C(4;-1;0), K(-7;5;-4).Если не перпендикулярны вычислите угол между ними.
Вариант 5.
 1 5  
1.Выясните коллинеарны ли следующие векторы a  ; ;1, b 6;10;18.
 3 9

2.Найдите длину медианы AA1 треугольника АВС , если вершины треугольника
имеют следующие координаты A2;1;3, B3;2;0, C3;2;2.

3.Найдите значениех, при котором векторы a2;1; x, bx;4;2 взаимно
перпендикулярны.
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – центр грани AA1C1C . Какой угол острый,


тупой или прямой, между векторами AM и BD1 ?
Вариант 6.
   


1.Даны векторы m 2;1;1, n1;3;2.Найдите 2m  n , 2m  n .
2.В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,
A(1;3;-1),B(-2;1;0),О(0;1,5).Найдите координаты вершин C и D.Найдите длину
стороны ВС.
3.В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=BC=2 AA1 . Найдите
косинус угламежду прямыми ACи BD1 .


 
  
4. a  1, b  2, a ˆ; b  120 .Найдите значение выражения a  a  b .


Вариант 7.
1. В треугольнике АВС А(0;0;0), В(1;2;1), С(1;-1;1). Найдите координаты центра
описанной около треугольника окружности и ее радиус.



2.Вектор a сонаправлен с вектором b  2;2;1 . Найдите координаты вектора a ,

если a  12 .
3. Точки А(1;1;5), В(4;7;5), С(8;5;5), D(5;-1;5) являются вершинами
прямоугольника АВСD. Найдите больший угол между диагоналями
прямоугольника.
  

 
  
4. Даны векторы m, n : m  2, n  2 , m ,̂ n  135 .Найдите m  n   n .
Вариант 8.


1. В пространстве даны три точки A,B,C, причем AB2;3;1, AC 4; m; n . При
каких m и n эти точки лежат на одной прямой?
2. В треугольнике ABC BC  3 AC , А(1;-1;1), В(-1;-1;3). Вершина С лежит на
отрицательной полуоси Oz. Найдите длину медианы СМ .
3. . В кубе ABCDA1B1C1D1 точка М – середина ребра A1D1 , длина ребра равна

1.Найдите: а) угол между прямыми , C1 M и CA1 , б) расстояние между

серединаит отрезков C1 M и CA1 .
4. Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), D(1;-7;-1) являются вершинами ромба
АВСD. Найдите острый угол ромба.
Вариант 9.



1.При каких значениях векторы a2;1;3, b 1;3;2, c m;2;1 компланарны?
2.Прямая АВ задана двумя точками А(-1;2;1) и В(2;1;-1). Найдите координаты
точки М, лежащей на этой прямой, если АМ= 3 14 .



 

3.Найдите длину вектора a  2b , если a  2, b  3, a  b  60 .


4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точкаМ центр грани AA1 B1 B , К- середина АD. Найдите
площадь треугольника ÌC 1 Ê , если ребро куба равно 1.