РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Л.М. Волосникова/
__________ _____________ 201__г.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов 080109.65 специальности
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,
заочная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы
___________________ / Гайдамак И.В. /
«______»___________2013 г.
Рассмотрено на заседании кафедры МАиТФ, __.__.2013, протокол №__
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем 11 стр.
Зав. кафедрой
________/ Хохлов А.Г./
«______»___________ 2013 г.
Рассмотрено на заседании УМК Финансово-экономического института
___.___.201__г. протокол №__
Соответствует ГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК ________________________/ Корчемкина Е.С. /
«______»_____________201__ г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Директор ИБЦ ___________________________/ Ульянова Е.А. /
«______»_____________201__ г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ____________/ Фарафонова И.Ю. /
«______»_____________20__ г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики и компьютерных наук
Кафедра математического анализа и теории функций
ГАЙДАМАК И.В.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Учебно-методический комплекс.
Рабочая программа для студентов 080109.65специальности
«Бухгалтерский учет, анализ и аудит»,
заочная форма обучения
Тюменский государственный университет
2013
Гайдамак И.В. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов 080109.65
специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит», заочная форма
обучения. Тюмень, 2013, 11 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС
ВПО для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит».
Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ:
Теория вероятностей и математическая статистика [электронный ресурс] /
Режим доступа: http://www.umk.utmn.ru, свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического анализа и теории
функций. Утверждено проректором по учебной работе Тюменского
государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Хохлов А.Г., зав кафедрой математического
анализа и теории функций, к.ф.-м.н.
© Тюменский государственный университет, 2013.
© Гайдамак И.В., 2013.
1. Пояснительная записка
Требования ГОС к содержанию курса
Сущность и условия применимости теории вероятностей. Основные
понятия теории вероятностей. Вероятностное пространство. Случайные
величины и способы их описания. Модели законов распределения
вероятностей, наиболее употребляемые в социально-экономических
приложениях. Закон распределения вероятностей для функций от известных
случайных величин. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел и его
следствие. Особая роль нормального распределения: центральная предельная
теорема. Цепи Маркова и их использование в моделировании социальноэкономических процессов. Статистическое оценивание и проверка гипотез,
статистические методы обработки экспериментальных данных.
Цели и задачи дисциплины
Целью изучения данной дисциплины является знакомство студентов с
основными понятиями и закономерностями теории вероятностей, методами
математической статистики, обретение навыков решения типовых задач.
Задачи дисциплины: в рамках данной дисциплины студенты должны
овладеть знаниями по таким разделам теории вероятностей, как случайные
события и случайные величины, закон больших чисел и предельные теоремы;
научиться применять методы математической статистики - анализировать и
идентифицировать исследуемую прикладную задачу, выбирать адекватные
методы ее решения, решать задачу, интерпретировать результаты в терминах
прикладной области и прогнозировать поведение исследуемого процесса при
изменении влияющих факторов. В процессе обучения закрепляются такие
общие
профессиональные
умения
как
классификация
(типов
формализованных задач), оценивание (результатов расчета), моделирование
и формализация процессов (как типовых, так и нестандартных видов).
Требования к уровню освоения содержания дисциплины






В результате освоения дисциплины студент должен:
иметь представление:
об основных задачах теории вероятностей;
об основных понятиях и условиях применения вероятностных методов
для исследования случайных явлений;
об основных вероятностных моделях.
знать:
аксиомы теории вероятностей;
виды случайных событий и их возможные комбинации;
способы вычисления вероятностей случайных событий;
виды случайных величин, способы их задания, математические
операции над случайными величинами и их числовые характеристики;









основные законы распределений;
важнейшие теоремы теории вероятностей.
уметь:
определять количество элементов в конечных множествах;
вычислять вероятности случайных событий;
определять тип случайной величины и находить ее числовые
характеристики;
задавать распределение случайной величины;
делать выводы после получения основных результатов;
анализировать и идентифицировать исследуемые прикладные задачи;
осуществлять выбор адекватных методов решения поставленных задач.
Структура и трудоемкость дисциплины.
Семестр 3-й. Форма промежуточной аттестации – зачет. Общая трудоемкость
дисциплины составляет 118 часов, в том числе – 5 часов лекционные занятия,
5 часов – семинарские занятия, 108 часов – самостоятельная работа студента.
2. Тематический план.
№
Наименование темы
1
2
3
Случайные события
Случайные величины
Математическая статистика
Итого (часов):
Лекции
2
2
1
5
Сем.
занятия
1
2
2
5
Сам.
работа
30
30
48
108
3. Содержание разделов дисциплины.
1. Случайные события
Элементы теории множеств и комбинаторики. Основные понятия теории
вероятностей. Классическое, геометрическое, статистическое определение
вероятности. Условная вероятность. Теоремы сложения и умножения
вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторные
независимые испытания. Схема Бернулли. Асимптотические приближения
формулы Бернулли: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы
Муавра-Лапласа.
2. Случайные величины
Дискретные случайные величины: ряд распределения, функция
распределения, способы задания. Числовые характеристики дискретных
случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, ковариация,
среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Основные законы
распределения дискретных случайных величин. Непрерывные случайные
величины. Функция распределения, плотности. Числовые характеристики
непрерывных случайных величин: математическое ожидание, дисперсия,
среднее квадратическое отклонение, мода, медиана, квантили, центральные и
начальные моменты. Основные законы распределения непрерывных
случайных величин. Закон больших чисел
и предельные теоремы.
Неравенство Маркова. Неравенство и теорема Чебышева. Теорема Бернулли.
Теорема Пуассона. Центральная предельная теорема. Теорема Ляпунова.
Случайные процессы. Определение случайного процесса и его
характеристики. Понятие Марковского случайного процесса с дискретным
множеством состояний.
3. Математическая статистика
Основы выборочного метода. Генеральная и выборочная совокупности.
Основные числовые характеристики выборки. Оценка функции
распределения и плотности. Полигон и гистограмма относительных частот.
Статистические оценки параметров распределения. Проверка статистических
гипотез. Корреляционно-регрессионный анализ.
4. Планы семинарских занятий.
1. Классическая и геометрическая вероятности. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Вычисление вероятностей
независимых и зависимых событий.
2. Дискретные случайные величины. Задание закона распределения
вероятностей, построение многоугольника распределения. Вычисление
функции распределения и построение ее графика. Нахождение числовых
характеристик дискретных случайных величин.
Непрерывные
случайные
величины.
Вычисление
функции
распределения и плотности распределения вероятностей, построение их
графиков. Решение задач на вычисление математического ожидания,
дисперсии, среднего квадратического отклонения.
Закон больших чисел и
предельные теоремы. Решение задач с применением неравенства Маркова,
неравенства Чебышева, теоремы Чебышева, Бернулли, Ляпунова.
3. Основы выборочного метода. Составление статистических рядов.
Графическое изображение полученных данных: полигон и гистограмма
частот или относительных частот, кумулята. Расчет основных числовых
характеристик статистических распределений.
Статистические оценки параметров распределения. Проверка
статистических гипотез. Корреляционно-регрессионный анализ. Построение
корреляционного поля. Выдвижение статистической гипотезы о наличии или
отсутствии взаимосвязи между случайными признаками, направлении
зависимости. Уравнения линейной и нелинейной регрессий.
5. Вопросы к зачету
1.
2.
3.
Правила и формулы комбинаторики, условия их применения.
Основные понятия теории вероятностей, действия над событиями.
Свойство статистической устойчивости относительных частот,
классическое и статистическое определение вероятности случайного
события.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
Комбинации случайных событий.
Аксиомы и свойства вероятности случайного события.
Геометрическое определение вероятности.
Зависимые и независимые случайные события. Условная вероятность.
Теоремы сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности, условия её применения.
Формула Байеса, условия её применения.
Повторные независимые испытания, формула Бернулли.
Формула Пуассона, условия её применения.
Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия её применения.
Определение дискретной случайной величины и способы её задания.
Числовые характеристики дискретных случайных величин.
Основные законы распределения дискретных случайных величин.
Определение непрерывной случайной величины и способы её задания.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Свойства математического ожидания и дисперсии.
Основные законы распределения непрерывных случайных величин.
Нормальный закон распределения.
Закон больших чисел и предельные теоремы.
Основные идеи выборочного метода.
Точечные оценки параметров распределения и требования к ним.
Интервальные оценки параметров распределения.
Общая логическая схема проверки статистических гипотез.
Основные этапы корреляционно-регрессионного анализа.
Виды регрессионных моделей.
6. Вопросы и задачи для самопроверки
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Вопросы для самопроверки
Что такое случайное событие. Какие виды случайных событий Вы
знаете? Приведите примеры.
Какие операции применимы к случайным событиям? Какими
свойствами они обладают? Приведите примеры.
Чем отличаются и в чём схожи такие понятия комбинаторики, как
сочетания, размещения и перестановки? Приведите примеры.
Сформулируйте классическое определение вероятности. В чем
ограниченность этого определения? В чем различие между
вероятностью и относительной частотой?
Когда применяют геометрическое определение вероятности? Почему в
этих случаях нельзя пользоваться классическим определением?
Сформулируйте и докажите теорему о сложении вероятностей
несовместных событий.
Дайте определение произведения событий. Приведите примеры:
произведения двух независимых событий; произведения двух
зависимых событий.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Что такое условная вероятность?
Сформулируйте теорему об умножении вероятностей для двух событий
(общий случай). Какую форму принимает эта теорема в случае, когда
события независимы?
В каких случаях применяется формула полной вероятности? Каким
свойствам должны удовлетворять гипотезы?
Что такое априорные и апостериорные вероятности? Применение и
значение формулы Байеса.
Какие испытания являются повторными независимыми? Приведите
пример.
В каких случаях применяются: формула Бернулли, теорема Пуассона,
теорема Муавра-Лапласа?
Что такое дискретная случайная величина? Приведите пример.
Какими способами можно задать дискретную случайную величину?
Какими свойствами обладает функция распределения дискретной
случайной величины?
Назовите основные числовые характеристики дискретной случайной
величины, способы их вычисления и свойства.
Что такое непрерывная случайная величина? Приведите пример.
Какими свойствами обладает функция распределения непрерывной
случайной величины?
Какими способами можно задать непрерывную случайную величину?
Какими свойствами обладает функция плотности вероятностей
непрерывной случайной величины? Что она показывает?
Назовите основные числовые характеристики непрерывной случайно
величины, способы их вычисления и свойства.
Как называется функция плотности вероятностей нормального закона
распределения и какими свойствами обладает?
Что такое функция Лапласа, для чего она используется и какими
свойствами
обладает?
Функция
распределения
нормально
распределённой случайной величины.
Стандартный нормальный закон распределения. Его свойства.
Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой
случайной величины, их влияние на график функции плотности
вероятностей.
Свойства случайной величины, имеющей нормальный закон
распределения. Правило трёх сигм.
Что такое закон больших чисел в широком смысле и в узком смысле?
Что позволяет оценить лемма Маркова и неравенство Чебышева?
Сформулируйте теорему Чебышева и условия её применения.
Сформулируйте теорему Бернулли и теорему Пуассона.
Что устанавливает центральная предельная теорема? Сформулируйте
теорему Ляпунова.
Запишите равенство Маркова и поясните его сущность.
Что называется случайным процессом? Какие Вы знаете виды
случайных процессов?
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Дайте определения генеральной и выборочной совокупности
Какие свойства точечных оценок Вы знаете.
Назовите основные методы получения точечных оценок.
Какие основные этапы получения интервальных оценок можно
выделить
Укажите распределения статистик, используемых при интервальном
оценивании определенных параметров распределения.
Что называют статистической гипотезой? Приведите примеры нулевой,
конкурирующей, простой, сложной гипотез.
Что называется ошибкой первого рода, второго рода?
Дайте определение критической области. Какие виды критических
областей вам известны? Приведите примеры критериев для каждого
случая.
Что называется уровнем значимости?
Что такое критерий согласия? Сформулируйте правило проверки
гипотезы о законе распределения с помощью критерия согласия
Пирсона.
Укажите алгоритм расчета мощности критерия при проверке
различных статистических гипотез.
Назовите основные этапы процедуры проверки гипотезы о виде
законов распределения генеральной совокупности.
Задачи для самопроверки
1. В ящике 2 белых и 4 чёрных шара. Один за другим вынимаются все
имеющиеся в нём шары. Найти вероятность того, что последний шар будет
чёрным.
2. В партии товара, состоящей из 30 мужских пальто, находится 20 изделий
местного производства. Товаровед наудачу выбирает 3 изделия. Какова
вероятность того, что все 3 изделия окажутся: а) местного производства; б)
не местного производства.
3. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% - государственные
органы, 30% - другие банки, остальные - физические лица. Вероятности
невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01, 0,05 и 0,2. Найти
вероятность невозврата очередного запроса на кредит. Начальнику
кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита,
но в факсимильном сообщении имя клиента было неразборчиво. Какова
вероятность, что данный кредит не возвращает какой-то банк?
4. Какова вероятность выпадения хотя бы двух шестёрок при трёх бросаниях
игральной кости?
5. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что
из 900 посаженых семян: а) прорастёт ровно 700; б) число проросших не
менее 790 и не превышает 830.
6. Инвестор покупает ценные бумаги за счет займа, взятого с процентной
ставкой i под залог недвижимости. Процентная ставка на ценные бумаги X случайная величина с М(Х)=a, a>i, D(X)≤72. Какова вероятность того, что
инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости? Указание:
оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность события (Х<i).
7. Ценная бумага может подорожать на 1% в течение следующего месяца с
вероятностью 0,6. Она также может подешеветь на 1% в течение следующего
месяца с вероятностью 0,4. Предполагая, что ежемесячные изменения цены
независимы, рассчитайте: а) вероятность того, что за три месяца цена станет
равной (1,01 )3 от первоначальной; б) вероятность того, что затри месяца
цена станет равной 0,99 (1,01)2 от первоначальной.
8.
На крупном промышленном предприятии при проведении курса
технической подготовки, предназначенного для всех принятых работников
рабочих специальностей, было установлено, что имеется зависимость между
возрастом работника и временем, необходимым для освоения определенных
навыков и умений. В таблице приведен возраст 8 работников, выбранных
произвольно, а также время, необходимое для выработки у них навыков в
определенной области.
Работник
A
Б
В
Г
Д
Е
Ж
З
Возраст (лет)
18
19
20
21
22
23
29
38
Время
(часов)
4
3
4
6
5
8
6
7
подготовки
а) с помощью метода регрессии определите продолжительность подготовки,
необходимую для нового работника в возрасте 30 лет; б) определите
коэффициент корреляции и прокомментируйте точность вашей оценки в том,
что касается части (а). Какие другие факторы могут повлиять на
продолжительность подготовки, необходимой для каждого работника?
9. Поступление страховых взносов в 130 филиалов страховых организаций в
регионе А составило 26∙104 ден. ед., в регионе В на 100 филиалов пришлось
18∙104 ден. ед. Стандартное отклонение величины страховых взносов в
регионе А равна 39∙108 ден. ед., в регионе В – 25∙108 ден. ед. На уровне
значимости α = 0,05 определите, существенно ли различается средняя
величина поступления страховых взносов в регионах А и В из расчета на 1
филиал.
7. Учебно-методическое
дисциплины.
и
информационное
обеспечение
7.1 Основная литература:
1.
2.
Мосягин В.Е. Теория вероятностей: учебно-методическое пособие для
студентов очной формы обучения/ Вячеслав Евгеньевич Мосягин; В. Е.
Мосягин ; Тюм. гос. ун-т, Каф. мат. анализа и теории функций. Тюмень: Изд-во ТюмГУ. Ч. 1 и 2 – 2011.
Пыткеев Е.Г., Хохлов А.Г. Теория вероятностей и математическая
статистика. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2012
7.2. Дополнительная литература:
Калинина В.Н., Панкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая
школа, 2001. – 335 с.
4.
Колемаев В. А., Калинина В. Н. Теория вероятностей и математическая
статистика: учебник/под ред. В.А.Колемаева. – М.: ИНФРА-М, 1997. –
302 с.
5.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика:
Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004 – 573 с.
6.
Математика для экономистов: теория вероятностей и мат. статистика :
курс лекций : учеб. пособие для студ. вузов, обуч. по напр. 080100
"Экономика"/ Л. Н. Фадеева. - Москва: ЭКСМО, 2006. - 400 с.
7.
Никитина Н.Ш. Математическая статистика для экономистов: учеб.
пособ. для студ. высш. уч. зав., обуч. по экономич. спец. – М.: ИНФРАМ, 2001. – 170 с.
8.
Рублева Г.В., Шутова Е.И. Математика: теория вероятностей и
математическая статистика. Учебно-методический комплекс для
студентов направления «Экономика». Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007 г. 226 с.
9.
Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность: учеб.пособие. Изд-во
«Наука», Новосибирск, 1975. - 423 с.
10. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. Кол-в авторов: Лунгу
К.Н., Норин В.П., Письменный Д.Т., Шевченко Ю.А.; под ред. Федина
С.Н. М.: Изд-во «Айрис-Пресс», 2005. - 592 с.
3.
7.3. Методические материалы:
11.
Гайдамак И.В., Кузнецова Н.Л., Лукашенко С.Н., Шутова Е.И. Теория
вероятностей и математическая статистика (контрольные мероприятия).
Учебно-методический комплекс. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2007 г. – 110
с.
Гайдамак И.В. Математика: теория вероятностей и математическая
статистика.
Учебно-методический
комплекс
для
студентов
специальности «Экономика». Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010 г. – 84 с.
13. Бобров Н.Е., Гайдамак И.В. Практикум по статистике на компьютере –
Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета,
2003.
12.
7.4. Программное обеспечение и Интернет – ресурсы:
1.
http://teorver-online.narod.ru/
(А.Д.Манита,
МГУ,
Интернет-учебник
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов
естественных факультетов)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
http://www.ksu.ru/infres/volodin/ (И.Н.Володин, Казанский ГУ, лекции по
теории вероятностей и математической статистике)
http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/student/tv/examples.asp
(примеры решения типовых задач курса теории вероятностей, решенные
в среде математического пакета Mathcad)
http://dfe3300.karelia.ru/koi/posob/PT/ (Web-версия учебного курса
«Теория вероятностей» )
http://www.statsoft.ru/home/textbook/default.htm. (Электронный учебник
по статистике. Москва, StatSoft, Inc.)
http://www.astro.spbu.ru/staff/nsot/Teaching/tver/zadachi.html
(Первоапрельский задачник по теории вероятностей)
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/probability.htm (книги по
теории вероятностей и математической статистике)